高中数学教案：二倍角公式

第三章三角恒等变换3．1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式3．1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式1．理解并掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式及其推导过程．2．灵活运用二倍角公式及其不同变形，能正用、逆用公式，进一步学习化归思想方法．基础梳理一、二倍角的正弦、余弦、正切公式α＋β＝sin αcos β＋cos αsin β中，令β＝α，在公式sin()得到sin 2α＝2sin_αcos_α，这就是二倍角的正弦公式；α＋β＝cos αcos β－sin αsin β中，令β＝α，在公式cos()得到cos 2α＝cos2α－sin2α，这就是二倍角的余弦公式，其变形形式有：cos 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； 在公式tan ()α＋β＝tan α＋tan β1－tan αtan β中，令β＝α，得到tan 2α＝2tan α1－tan α，这就是二倍角的正切公式．练习1：2sin 15°cos 15°＝12．练习2：cos 2α2－sin 2α2＝cos_α．练习3：2tan 2α1－tan 22α＝tan_4α． 思考应用1. 二倍角的正弦、余弦、正切公式中的角是否为任意角？解析：注意 tan 2α＝2tan α1－tan 2α这个公式，因为要使tan 2α，tan α有意义，即2α≠π2＋k π且α≠π2＋k π(k ∈Z)还有1－tan 2α≠0即tan α≠±1从而推出α≠π4＋k π(k ∈Z)综上所述α≠π4＋k π2且α≠π2＋k π(k ∈Z)而公式S 2α、C 2α中，角α可以是任意角．二、二倍角公式中应注意的问题(1)对“二倍角”公式应该有广泛的理解．如8α是4α的二倍角，α是α2的二倍角，α3是α6的二倍角等等．又如α＝2×α2，α2＝2×α4，…，α2n ＝2×α2n ＋1等等．(2)当α＝k π＋π2()k ∈Z 时，tan α的值不存在，这时求tan 2α的值可用诱导公式求得．(3)一般情况下，sin 2α≠2sin α，例如sin π3≠2sin π6.(4)公式的逆用变形． 升幂公式： 1＋cos α＝2cos 2α2，1－cos α＝2sin2α2，1±sin 2α＝()sin α±cos α2．降幂公式：cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2．思考应用2．试应用二倍角的正弦、余弦公式化简并讨论函数y ＝2cos 2⎝⎛⎭⎪⎫x －π4－1的奇偶性与周期性．解析：∵y ＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －π4－1＝cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x －π2 ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫π2－2x ＝sin 2x ，∴函数y ＝2cos 2⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －π4－1为奇函数， 且其最小正周期T ＝2π2＝π.自测自评1．若sin α2＝45，cos α2＝－35，则角α是(C )A ．第一象限的角B ．第二象限的角C ．第三象限的角D ．第四象限的角 解析：∵sin α＝2sin α2cos α2＝2×45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝－2425<0，cos α＝cos 2α2－sin 2α2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－352－⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝－725<0，∴角α是第三象限角．故选C.2．设sin 2α＝－sin α，α∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫π2，π，则tan 2α分析：由sin 2α＝2sin αcos α及sin 2α＝－sin α，α∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫π2，π解出α，进而求得tan 2α的值．解析：∵sin 2α＝－sin α，∴2sin αcos α＝－sin α.∵α∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫π2，π，sin α≠0，∴cos α＝－12，∴α＝23π， ∴tan 2α＝tan 43π＝tan ⎝⎛⎭⎪⎪⎫π＋π3＝tan π3＝ 3.3.sin 20°cos 20°cos 2155°－sin 2155°的值是(A ) A.12 B ．－12 C.32 D ．－32解析：原式＝12sin 40°cos 310°＝sin 40°2cos ⎝⎛⎭⎫270°＋40° ＝sin 40°2sin 40°＝12.故选A. 4．已知x ∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫－π2，0，cos x ＝45，则tan 2x ＝－247． 解析：∵x ∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫－π2，0，cos x ＝45， ∴sin x ＝－35，tan x ＝－34，∴tan 2x ＝2tan x 1－tan 2 x＝－247.基础提升1．函数y ＝cos 2x －sin 2x 的最小正周期是(A ) A ．π B.π2 C.π4D ．2π解析：∵y ＝cos 2x ，∴函数的最小正周期T ＝π.故选A. 2．化简2sin 2α1＋cos 2α·cos 2αcos 2α的结果是(B )A ．tan αB ．tan 2αC ．1 D.12解析：原式＝2sin 2α2cos 2α·cos 2αcos 2α＝tan 2α.故选B. 3．化简sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 的结果是(B ) A.12sin 2x B.12cos 2x C ．－12cos 2x D ．－12sin 2x解析：原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫sin π4cos x ＋cos π4sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫sin π4cos x －cos π4sin x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22cos x ＋22sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫22cos x －22sin x＝12(cos 2x －sin 2x )＝12cos 2x .故选B. 4．已知cos α＝－35，且π<α<3π2，则cos α2＝ (B )A.55 B ．－55 C.255 D ．－255解析：∵cos α＝2cos2α2－1，∴cos2α2＝1＋cos α2＝15. ∵π<α<3π2，∴π2<α2<3π4，∴cos α2＝－15＝－55.故选B. 5．当3π<α<4π时，化简1＋cos α2－ 1－cos α2(A ) A.2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋π4 B ．－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋π4C.2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－π4 D ．－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－π4解析：1＋cos α2－1－cos α2＝cos2α2－sin 2α2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2－⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2，∵3π<α<4π， ∴3π2<α2<2π， ∴sin α2<0，cos α2>0.∴原式＝sin α2＋cos α2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α2＋π4.故选A. 巩固提高6．已知三角形的一个内角α满足sin α＋cos α＝34，则三角形的形状是(B )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形 解析：∵sin α＋cos α＝34，且sin 2α＋cos 2α＝1， ∴1＋sin 2α＝916，∴sin 2α＝－716<0，又α是三角形的一个内角，故α是钝角． 故选B.7．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝35，π2≤α＜3π2，求cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4的值．解析：∵π2≤α＜3π2，∴3π4≤α＋π4＜7π4， 又cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫α＋π4＝35 ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫α＋π4＝－1－cos 2⎝⎛⎭⎪⎪⎫α＋π4＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝－45.∴cos 2α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2α＋π2＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫α＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α＋π4＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫－45×35＝－2425.又由cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α＋π4＝35，得2cos 2⎝⎛⎭⎪⎪⎫α＋π4－1＝－725，即cos 2⎝⎛⎭⎪⎪⎫α＋π4＝－725，∴sin 2α＝725. ∴cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2α＋π4＝cos 2αcos π4－sin 2αsin π4＝－2425×22－725×22＝－31250. 8．已知sin α＋cos α＝33(0<α<π)，求cos 2α的值．解析：∵sin α＋cos α＝33，∴(sin α＋cos α)2＝13， 2sin αcos α＝－23，又0<α<π，∴sin α>0，cos α<0.∵(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝53，∴sin α－cos α＝153.∴cos 2α＝(cos α＋sin α)(cos α－sin α)＝－153×33＝－53. 9．已知函数y ＝12cos 2x ＋32sin x cos x ＋1()x ∈R .(1)当函数y 取得最大值时，求自变量x 的集合；(2)该函数的图象可由y ＝sin x ()x ∈R 的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？解析：(1)y ＝12cos 2x ＋32sin x cos x ＋1＝14⎝⎛⎭⎫2cos 2x －1＋14＋34·()2sin x cos x ＋1 ＝14cos 2x ＋34sin 2x ＋54 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫cos 2x sin π6＋sin 2x cos π6＋54 ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π6＋54. 所以y 取最大值时，只需2x ＋π6＝π2＋2k π⎝⎛⎭⎫k ∈Z ， 即x ＝π6＋k π⎝⎛⎭⎫k ∈Z . 所以当函数y 取最大值时，自变量x 的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪⎪x ＝π6＋k π，k ∈Z.(2)将函数y ＝sin x 依次进行如下变换：①把函数y ＝sin x 的图象向左平移π6个单位长度，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π6的图象； ②把得到的图象上各点横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π6的图象； ③把得到的图象上各点纵坐标缩短到原来的12倍(横坐标不变)，得到函数y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π6的图象； ④把得到的图象向上平移54个单位长度，得到函数 y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π6＋54的图象． 综上得到y ＝12cos 2x ＋32sin x cos x ＋1⎝⎛⎭⎫x ∈R 的图象．1．利用同角三角函数基本关系式求值常有两类题：一类是已知角α的某个三角函数值，求其他三角函数值．解法是直接利用三角函数基本关系式求解．另一类是已知tan α的值，求关于sin α，cos α的齐次分式的值的问题，比如求sin α＋cos αsin α－cos α的值，因为cos α≠0，所以用cos α除之，将待求式化为关于tan α的表达式，可整体代入tan α＝m 的值，从而完成待求式的求值．2．关于化简与证明：(1)sin 2α＋cos 2α＝1及()sin α＋cos α2＝1＋2sin αcos α是常用的技巧；同时应注意正切化两弦．(2)利用同角三角函数关系式证明时，要熟悉公式，方法有从左至右或从右至左或从两侧同时证明．。

3. 1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式三维目标1.通过探索、发现并推导二倍角公式,了解它们之间、以及它们与和角公式之间的内在联系,并通过强化题目的训练,加深对二倍角公式的理解，培养运算能力及逻辑推理能力,从而提高解决问题的能力.2.通过二倍角的正弦、余弦、正切公式的运用，会进行简单的求值、化简、恒等证明.体会化归这一基本数学思想在发现中和求值、化简、恒等证明中所起的作用，进一步掌握联系变化的观点，自觉地利用联系变化的观点来分析问题，提高分析问题、解决问题的能力.3.通过本节学习，引导领悟寻找数学规律的方法，培养的创新意识，以及善于发现和勇于探索的科学精神.重点难点教学重点：二倍角公式推导及其应用.教学难点：如何灵活应用和、差、倍角公式进行三角式化简、求值、证明恒等式. 教学过程(问题导入) 1、 若sinα=53,α∈(2,π),求sin2α，cos2α的值.并总结思想方法。

2、①请试着用sin α 或cos α,表示sin2α，cos2α。

②请试着用tan α表示tan 2α。

（新知讲解）这些公式都叫做倍角公式.倍角公式给出了α的三角函数与2α的三角函数之间的关系.公式说明：(Ⅰ)这里的“倍角”专指“二倍角”,遇到“三倍角”等名词时,“三”字等不可省去；(Ⅱ)通过二倍角公式,可以用单角的三角函数表示二倍角的三角函数；(Ⅲ)二倍角公式是两角和的三角函数公式的特殊情况；(Ⅳ)公式(S 2α),(C 2α)中的角α没有限制，都是α∈R .但公式(T 2α)需在α≠21kπ+4π和α≠kπ+2π(k ∈Z )时才成立，但是当α=kπ+2π,k ∈Z 时,虽然tanα不存在,此时不能用此公式，但tan2α是存在的,故可改用诱导公式. （Ⅴ）二倍角公式不仅限于2α是α的二倍的形式,其他如4α是2α的二倍,2a 是4a 的二倍,3α是23a 的二倍,3a 是6a 的二倍，2π-α是4π-2a 的二倍等,所有这些都可以应用二倍角公式. （应用示例）例1 已知sin2α=135,4π<α<2π,求sin4α,cos4α,tan4α的值.练习1、已知cos8α=54-,8π<α<12π,求sin 4a ,cos 4a ,tan 4a 的值。

§倍角公式
(一)教学目标：
1.知识目标：
(1)掌握2,2,2S C T ααα公式的推导，明确α的取值X 围；
(2) 能正确运用二倍角公式求值、化简、证明。

2.能力目标：
(1)通过公式的推导，了解它们的内在联系，从而培养逻辑推理内容能力； (2)通过综合运用公式，掌握有关技巧，提高分析问题、解决问题的能力。

3.情感目标：
引导学生发现数学规律,培养学生思维的严密性与科学性等思维品质.
(二)教学重点、难点
重点：二倍角的正弦、余弦、正切公式以及公式的变形，二倍角公式的简单应用。

难点：理解二倍角公式，用单角的三角函数表示二倍角的三角函数，倍角公式与以前学
过的同角三角函数的基本关系式、诱导公式、和角公式的综合应用。

(三)教学方法
本节课采用观察、赋值、启发探究相结合的教学方法，进行教学活动。

通过设置问题让学生理解二倍角公式是由和角公式由一般化归为特殊而来的。

对于二倍角公式的灵活运用，采用讲、练结合的方式进行处理，让学生从实例中去理解,从而能灵活地运用二倍角公式解题。

sin sin αcos sin α±1tg tg tg tg αβ
αβ
±
师：今天，我们继续学习二倍角的正弦、余师生互动。

二倍角公式教案二倍角公式是高中数学中的一个重要概念，它与三角函数的性质密切相关。

本教案将以通俗易懂的方式，帮助学生理解和掌握二倍角公式的概念和应用。

一、教学目标1. 理解二倍角公式的定义及其推导过程；2. 能够熟练运用二倍角公式求解相关问题；3. 能够将二倍角公式应用于实际问题的解决；4. 提高学生对数学的抽象思维能力和计算能力。

二、教学步骤步骤一：引入知识（10分钟）教师可设计一个小游戏或提出一个引人入胜的问题，引起学生的兴趣，来激发学生学习的积极性。

例如，可以出示一个三角形的角度ABC，让学生猜测角度BAC是多大，并给出合理的解释。

步骤二：概念解释与推导过程（15分钟）1. 教师通过对前一步骤的问题的解答，引出二倍角的概念。

2. 教师通过几何图形的引入，解释正弦、余弦和正切函数以及角度的概念。

3. 教师通过将角度的一半和角度的两倍的对比，引出二倍角公式的概念。

4. 教师通过几何图形的推导，解释二倍角公式的推导过程。

步骤三：公式的证明与性质（15分钟）1. 教师通过使用数学恒等式，根据三角函数的性质，证明二倍角公式的正确性。

2. 教师解释二倍角公式的几何意义，即角度的一半和两倍之间的关系。

3. 教师提出二倍角公式的数学性质，让学生通过举例来验证。

步骤四：公式的应用与问题解决（20分钟）1. 教师提供一些二倍角公式的应用问题，并引导学生运用二倍角公式进行计算。

2. 教师通过对问题的解答过程的讲解，让学生理解二倍角公式在解决实际问题中的应用。

3. 教师设计一些扩展问题，让学生发散思维，拓展应用二倍角公式的能力。

步骤五：小结与巩固（10分钟）教师对本节课的内容进行小结，强调二倍角公式的重要性和实用性。

并布置相关练习，巩固学生对二倍角公式的理解和应用。

三、教学重点和难点1. 理解二倍角公式的定义及其推导过程；2. 能够熟练运用二倍角公式求解相关问题。

四、教学方式1. 引导式教学：通过问题引导学生主动思考，激发他们的学习兴趣。

二倍角的正弦、余弦、正切王业奇sin sin αtan tan 1tan tan αβαβ±提出问题:若β=α，则得二倍角的正弦、一、例题:例一、（公式巩固性练习)求值: 1．sin2230'cos2230’=4245sin 21=2．=-π18cos 22224cos =π 3．=π-π8cos 8sin 22224cos -=π- 4．=ππππ12cos 24cos 48cos 48sin 8216sin 12cos 12sin 212cos 24cos 24sin4=π=ππ=πππ 例二、 1．5555(sincos )(sin cos )12121212ππππ+- 225553sin cos cos 121262πππ=-=-=2．=α-α2sin 2cos 44α=α-αα+αcos )2sin 2)(cos 2sin 2(cos 2222 3．=α+-α-tan 11tan 11α=α-α2tan tan 1tan 224．=θ-θ+2cos cos 21221cos 2cos 2122=+θ-θ+例三、若tan = 3,求sin2 cos2 的值.解：sin2cos2=57tan 11tan tan 2cos sin cos sin cos sin 2222222=θ+-θ+θ=θ+θθ-θ+θ例四、条件甲：a =θ+sin 1，条件乙：a =θ+θ2cos 2sin ， 那么甲是乙的什么条件？解:=θ+sin 1a =θ+θ2)2cos 2(sin即a =θ+θ|2cos 2sin |当在第三象限时，甲 乙；当a > 0时,乙 甲∴甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件.例五、(P43 例一）已知),2(,135sin ππ∈α=α，求sin2，cos2，tan2的值。

解：∵),2(,135sin ππ∈α=α∴1312sin 1cos 2-=α--=α∴sin2 = 2sin cos = 169120-cos2 = 169119sin 212=α-tan2 = 119120-∵1)42sin(1≤π+≤-x ∴]221,221[+-∈y例二、求证：)6(sin )3cos(cos sin 22α-π-α+πα+α的值是与无关的定值。

高中数学《二倍角公式的应用》教案一、教学目标：1. 理解二倍角公式的概念。

2. 掌握二倍角公式的推导方法及应用。

3. 能够合理运用二倍角公式解决实际问题。

二、教学内容：1. 二倍角公式的概念和推导方法。

2. 二倍角公式的应用。

三、教学过程：1. 二倍角公式的概念小结：以正弦函数为例，了解一下二倍角公式的概念。

若已知$\sin\theta$，如何求 $\sin2\theta$？$\sin\theta$ 和 $\cos\theta$ 的二倍角公式：$\sin2\theta=2\sin\theta\cos\theta$，$\cos2\theta=\cos^2\theta-\sin^2\theta=2\cos^2\theta-1=1-2\sin^2\theta$。

2. 二倍角公式的推导方法小结：推导 $\cos2\theta$ 的公式，和 $\sin2\theta$ 基本一样，只不过是利用了 $\cos\theta$ 和 $\sin\theta$ 的平方和差的关系式。

$\cos2\theta=\cos^2\theta-\sin^2\theta=2\cos^2\theta-1=1-2\sin^2\theta$。

3. 二倍角公式的应用例 1 已知 $\sin\theta=\dfrac{3}{5}$，求 $\cos2\theta$。

解：$ \begin{aligned}[t] & \cos^2\theta+\sin^2\theta=1 \\ &\therefore\cos^2\theta=1-\sin^2\theta=1-\dfrac{9}{25}=\dfrac{16}{25} \end{aligned} $由 $\cos2\theta=2\cos^2\theta-1$，得$\cos2\theta=2\times\dfrac{16}{25}-1=-\dfrac{9}{25}$。

例 2 已知 $0<\theta<\dfrac{\pi}{2}$，$\tan\theta=\dfrac{2}{3}$，求 $\sin2\theta$、$\cos2\theta$ 和 $\tan2\theta$。

5.5.2 二倍角的正弦、余弦、正切公式教材分析：本课时内容是二倍角的正弦、余弦、正切公式，它是重要的三角恒等变换公式之一．二倍角公式是学生学习简单的三角函数恒等变换的重要基础．在此之前学生已学习了三角函数的概念、诱导公式、图象与性质以及和差公式等内容.因此二倍角公式的学习是建立在学生已有的三角函数学习经验上的，学习中主要体现的转化和归纳思想是在完善和归纳11个公式上进行的．“二倍角公式”的内容安排在“三角恒等变换”一章的第3节，是在学习完和差公式后，由和角公式导出倍角公式，并引导学生归纳总结11个三角恒等变换公式，体会11个公式的内在联系，并尝试利用二倍角公式进行简单的恒等变换和数值计算，因此二倍角公式的学习既是对前面所学内容的补充与归纳，也为后面简单三角恒等变换的学习打下基础．基于以上分析，确定本节课的教学重点：二倍角公式的推导和11个公式的归纳与简单应用．学情分析：本课时延续前面的思路，推导其他5个公式．本节课设置了一个“探究”，一个“归纳”．“探究”给出问题，启发学生去寻求推导过程．教学时，可以引导学生回顾上一节的探究思路，在此基础上，充分发挥学生的主动性，推导得到二倍角的正弦、余弦和正切公式．在推导过程的探究中理解换元思想的重要作用，为三角变换打好基础．“归纳”是对11个公式之间关系的总结，可以引导学生画出这些公式的关系结构图，以便帮助学生理解它们的逻辑关系．在例1的学习中让学生对“倍”的相对性加以认识，灵活使用“倍”的变换和“换元”的方法，发展学生的推理能力，提升逻辑推理素养．例2有一定的综合性，也是和（差）公式的应用问题．由于对22与A，B之间的A B关系的看法不同会产生不同的解题思路，所以使用一题多解的方法鼓励学生使用多种思路去思考问题，并要关注三角形背景下的隐含条件．由此确定本节课的难点是：二倍角公式的灵活应用．教学目标：1.会由两角和与差的正弦、余弦、正切公式推导得到二倍角公式，并了解它们之间的内在联系；2.二倍角的正弦、余弦、正切公式的初步应用，并能将公式变形运用． 教学重点：三角变换的内容、思路和方法． 教学难点：认识三角变换的特点． 教学过程：（一）复习引入前面的课程中以公式C αβ-()为基础，已经得到了六个和（差）角公式，今天我们将以和（差）角公式为基础来推导倍角公式．问题1：请同学们先回忆一下两角和（差）的正弦、余弦、正切公式．师生活动：教师提出问题，学生回顾思考后回答问题．根据学生的回答，教师进行必要的补充．最后指出：cos =cos cos sin sin αβαβαβ±()，sin =sin cos cos sin αβαβαβ±±()，tan tan tan =1tan tan αβαβαβ±±()．追问：如果将和(差)公式中的α、β合理赋值，可以出现sin 2α，cos 2α，tan 2α的表达式吗？师生活动：教师提出问题，激发学生的求知欲，引导学生能够积极思考并尝试回答． （二）二倍角的正弦、余弦、正切公式的探究 1．二倍角的正弦、余弦、正切公式的探究探究：你能利用S αβ±（），C αβ±()，T αβ±()推导出sin 2α，cos 2α，tan 2α的公式吗？ 通过推导，可以得到：sin 2=2sin cos ααα，22cos 2=cos sin ααα-，22tan tan2=1tan ααα-．师生活动：教师引导学生将和(差)公式中的α、β如何合理赋值,才能出现sin 2α，cos 2α，tan 2α的表达式，并让学生尝试自行完成推导过程．从中培养学生直观想象和数学运算的数学素养．推导过程：令=βα，则sin 2=sin =sin cos sin =2sin cos ααααααααα++()cos ， 22cos2=cos =cos sin sin =cos sin ααααααααα+--()cos ，22tan tan 2tan tan2==1tan 1tan αααααα+--． 问题2：如果要求二倍角的余弦公式（2C α）中仅含正弦（余弦），那么又可得到什么样的式子呢？师生活动：学生回答，教师在学生回答的基础上进行补充，最后得出： 由于 22sin cos =1αα+，所以 2cos 212sin αα=-， 2cos2=2cos 1αα-．公式说明：以上这些公式都叫做倍角公式．倍角公式给出了α的三角函数与2α的三角函数之间的关系．这里的“倍角”专指“二倍角”，遇到“三倍角”等名词时，“三”字等不可省去．追问：在2S α和2C α中α∈R ，2T α公式中对α有要求吗？师生活动：引导学生思考探究，最终得到：要保证公式中分母21tan 0α-≠，且tan α有意义，即ππ24k α≠+且ππZ 2k k α≠+∈()，若遇此时可使用诱导公式直接求． 设计意图：引导学生对探究得到的公式进行周密的思考，培养学生的数学严谨性． 问题3：若已知4sin =5α，π02α∈（， ），能求sin2α，cos2α的值吗？ 解：由 4sin =5α，π02α∈（， ），所以 3cos =5α.于是 sin2=2sin cos ααα4324=2=5525⨯⨯，2cos2=12sin αα-247=12=525-⨯-().设计意图：引导学生套用公式求值，并关注角的范围对求三角函数值的影响，初步熟悉二倍角公式的使用方法．2．例题1（教材第221页例5） 已知5sin 2=13α，ππ42α＜＜，求sin4α，cos4α，tan4α的值． 分析：已知条件给出了2α的正弦函数值．由于4α是2α的二倍，因此可以考虑用倍角公式．说明：“倍”是描述两个数量之间关系的，2α是α的二倍,4α是2α的二倍，2α是4α的二倍，这里蕴含着换元思想．解：由ππ42α＜＜，得π2π2α＜＜．又 5sin 2=13α所以 12cos 2=13α-．于是 sin4=sin 22αα⨯[()] =2sin 2cos 2αα512120=2=1313169⨯⨯--()； cos4=cos 22αα⨯[()]2=12sin 2α-25119=12()=13169-⨯；sin4tan4=cos4ααα120169120==169119119-⨯-． 师生活动：教师引导学生完成例题，并与学生共同归纳总结解决问题的方法．提醒学生注意：注意角α的取值范围，避免符号出错．本题利用同角三角函数关系由sin 2α求cos 2α时，就需要注意讨论2α的范围．设计意图：本例题是倍角公式的正用，通过本例的解答，要求学生对“倍”的相对性有一定的认识．在三角变换中，换元思想能起到很大作用，因此教科书也用边空给出了提示．事实上，灵活使用“倍”的变换、“换元”等都体现了思维的灵活性，对发展学生的推理能力、提升逻辑推理素养，有着很好的推动作用．问题4： 能试求下列各式的值吗？ （1）sin15cos15︒︒； （2）22ππcos sin 88-； （3）2tan 22.51tan 22.5︒-︒； （4）22cos 22.51︒-．解：（1）111sin15cos15=2sin15cos15=sin30=224︒︒⨯︒︒︒；（2）22πππcos sin =cos =884-； （3）2tan 22.511=tan45=1tan 22.522︒︒-︒；（4）22cos 22.51=cos 45=︒-︒． 师生活动：学生观察式子的结构特点，并思考它与哪个公式有关联，如何使用公式进行求值．教师引导逆用二倍角公式并随时纠正学生出现的问题，最后给出答案．设计意图：这里是公式的逆用，这种在原有基础上的变通是创新意识的体现，主要形式有：2sin cos =sin 2ααα，1sin cos =sin 22ααα，22cos sin =cos 2ααα-，21cos2cos =2αα+，21cos2sin =2αα-，22tan =tan21tan ααα-． 前五个公式也称为降幂公式，有降低幂指数的功效． （三）和（差）公式、倍角公式的内在联系问题5：从和（差）角公式、倍角公式的推导过程可以发现，这些公式存在紧密的逻辑联系，请你进行归纳总结．师生活动：前面在两角和公式中，令=αβ得到了二倍角的三角函数公式，那么和（差）公式和二倍角公式有什么样的内在联系呢？引导学生回顾三角恒等变换的11个公式，由推导探究的顺序归纳它们之间的内在联系，教师对学生的阐述给予启发和纠正，最后得到关系图如图所示：设计意图：教材中的“归纳”是对11个公式之间关系的总结，可以引导学生画出这些公式的关系结构图，以便于学生理解它们的逻辑关系．例2（教材222页例6） 在ABC △中，4cos =5A ，tan =2B ，求tan 2+2A B ()的值． 问题6：2+2A B 与A ，B 之间能构成怎样的关系呢？我们有怎样的解题思路呢? 解法1：在ABC △中，由4cos =5A ，0<<πA ，得3sin ==5A ，所以sin 353tan ===cos 544A A A ⨯， 22322tan 244tan 2===31tan 714A A A ⨯--()． 又 tan =2B ， 所以 222tan 224tan 2===1tan 123B B B ⨯---． 于是 244tan 2tan 24473tan 2+2===2441tan 2tan 2117173A B A B A B -+--⨯-()()． 解法2：在ABC △中， 由 4cos =5A ，0<<πA ，得3sin =5A ，所以 sin 353tan ===cos 544A A A ⨯． 又 tan =2B ，所以 3+2tan tan 114tan +===31tan tan 2124A B A B A B +---⨯()， 所以 221122tan 442tan 2+2=tan[2+===111tan 11712A B A B A B A B ⨯-+-+--()()()()]()()． 师生活动：学生独立思考并尝试寻找解题思路，教师给予引导，支持学生一题多解，从不同的关系入手，选择多种方法，在解答过程中提醒学生明确角的范围，不要因扩大或缩小角的范围导致出错，注意规范学生的语言和书写表达．设计意图：本例题具有一定的综合性，也是和（差）公式的应用问题．由于对2A +2B 与A ，B 之间关系的看法不同会产生不同的解题思路，所以教科书给出了两种解法．不过，它们都是对倍角、和角关系的联合运用，本质上没有区别．列出两种解法是为了鼓励学生用不同思路去思考．值得注意的是，在三角形的背景下研究问题，会带来一些隐含条件，如0<<πA ，=πA B C ++等．教学中可以在学生自己尝试解决问题后，引导他们进行适当的归纳总结．（三）练习反馈（教材223页练习3、4）1．已知sin 2sin αα=-，ππ2α∈（，），求tan α的值． 解：∵2sin cos sin ααα=-且ππ2α∈（，）， ∴1cos 2α=-，∴sin =α，∴sin tan ==cos ααα． 师生活动：教师提出问题，学生尝试完成，教师对证明过程进行分析评价．设计意图：引导学生能够使用倍角公式进行等式变形，使用时注意会用角的范围确定三角函数值的正负，正确结合同角三角函数关系式进行求值计算．2．已知1tan 2=3α，求tan α的值． 解：∵22tan 1tan 2==1tan 3ααα-， ∴2tan 6tan 1=0αα+-，∴tan =3α-±师生活动：教师提出问题，学生尝试完成，教师对证明过程进行分析评价．设计意图：检测学生对正切的倍角公式的理解运用，并能使用换元的思想利用解二次方程求值．（四）归纳小结本节课学习了二倍角的正弦、余弦和正切公式，要熟记公式，在解题过程中要善于发现题目中三角函数式的规律，学会灵活运用所学知识．师生活动：引导学生总结归纳，相互补充纠正，教师注意规范和订正．三角式中常见的规律有：1．包含的角具有“二倍”的关系，可使用二倍角公式使角统一；2．若“半角”三角函数是二次式，可逆用倍角公式将“半角”化为“一倍角”，同时可降幂，因此二倍角公式的逆用还可称为降幂公式．设计意图：锻炼学生归纳总结、语言表达的能力．（四）布置作业教材第223页,练习第1，2题， 第229页，习题5.5第7题．六、目标检测设计 已知1sin cos =3αα+，且0<<πα，求sin2α，cos2α，tan2α的值． 解：∵1sin cos =3αα+， ∴21sin cos =9αα+（），即 112sin cos =9αα+， ∴8sin 2=2sin cos =9ααα-．∵0<<πα，∴sin >0α，又 4sin cos =<09αα-，∴cos <0α，从而sin cos >0αα-．∴sin cos =αα-∴cos sin =αα--．∴22cos 2=cos sin =cos +sin cos sin =ααααααα---()()∴sin 2tan 2==cos2ααα．设计意图：检测学生对二倍角公式的理解运用，从中重视数学语言表述的规范和思维的严谨．。

《二倍角公式》教学设计二倍角公式—学情分析学生在必修4第一章已经学习过三角函数的相关内容，对三角函数有了一定的了解，高中一年级学生正值身心发展的鼎盛时期，智力水平已经有了明显上升，观察具有一定的目的性，系统性，全面性但是欠精确，逻辑思维能力尚属经验型，运算能力有待加强。

在知识储备上，通过前面的学习，对三角函数的知识已有较为全面的认识。

教学要尊重学生自主选择学习内容、学习伙伴、学习方式的权利；要充分发挥学生的积极性和主动性，让学生通过自主学习，理解课文思想内容，并在自学实践中逐步提高理解能力。

结合教材的内容和学生的年龄特点及认识水平，在本堂课的教学中，我指导学生采取多质疑、自主学习、合作探究的方法进行学习。

二倍角公式—教材分析教材的地位和作用：二倍角的正弦、余弦、正切是学生在已经学习了两角和、差的正、余弦和正切的公式的基础上的进一步延伸，推导出倍角公式，是三角函数的重要公式 ，应用这组公式也是本章的重点内容。

在第一章，学生接触了同角三角函数的变换，在本章，学生将利用和角公式推导出倍角公式，从而进行三角恒等变换，从而提升学生的推理能力和逻辑推理能力，从而增强学生做题的灵活性。

二倍角公式评测练习(30分钟独立完成，相信自己)1.2. ()51sin ,sin213αα已知=求()132sin cos , ,sin2 ,sin -cos 324ππαααααα+=<<已知求()123cos(),cos(2)333ππαα+=+已知求8sin cos cos cos .48482412ππππ（1）3.巩固提升：二倍角公式—课后反思二倍角公式是两角和的正弦、余弦及正切公式的推广及特殊化。

进而，公式的推导相当简单，难点在于公式的运用，尤其是逆用及变形运用，对于学生的思维及能力是相当大的挑战。

毕竟，公式本身就是符号的集合，抽象是其主要特征。

当然也正因为其抽象性，才具有广泛的迁移性及应用。

从简到繁，由易到难，层层推进，设计练习系列，遵循学生认知规律，或许能够有效化解难点。

课 题: 4 7二倍角的正弦、余弦、正切（2）教学目的:要求学生能较熟练地运用公式进行化简、求值、证明, 增强学生灵活运用数学知识和逻辑推理能力教学重点: 二倍角公式的应用教学难点: 灵活应用和、差、倍角公式进行三角式化简、求值、证明恒等式 授课类型: 新授课课时安排: 1课时教 具: 多媒体、实物投影仪教学过程:一、复习引入:二倍角公式:αααcos sin 22sin =；)(2αSααα22sin cos2cos -=；)(2αC ααα2tan 1tan 22tan -=；)(2αT 1cos 22cos 2-=αααα2sin 212cos -=)(2αC ' （１）二倍角公式的作用在于用单角的三角函数来表达二倍角的三角函数, 它适用于二倍角与单角的三角函数之间的互化问题.（２）二倍角公式为仅限于 是 的二倍的形式, 尤其是“倍角”的意义是相对的（３）二倍角公式是从两角和的三角函数公式中, 取两角相等时推导出, 记忆时可联想相应角的公式.（4） 公式 , , , 成立的条件是: 公式 成立的条件是 . 其他（5）熟悉“倍角”与“二次”的关系（升角—降次, 降角—升次）（6）特别注意公式的三角表达形式, 且要善于变形： 22cos 1sin ,22cos 1cos 22α-=αα+=α 这两个形式今后常用 二、讲解范例:例1化简下列各式:1.2．=- 40tan 140tan 2 80tan 21 3. 2sin2157 5( ( 1 =4．=ππ125sin 12sin 416sin 2112cos 12sin =π=ππ 5. cos20(cos40(cos80( =20sin 80cos 40cos 40sin 21=8120sin 160sin 8120sin 80cos 80sin 41===例2求证: [sin((1+sin()+cos((1+cos()]×[sin((1(sin()+cos((1(cos()] = sin2(证: 左边 = (sin(+sin2(+cos(+cos2()×(sin((sin2(+cos((cos2()= (sin θ+ cos θ+1)×(sin θ+cos θ -1)= (sin θ+ cos θ)2 -1 = 2sin θcos θ = sin2θ = 右边∴原式得证关于“升幂”“降次”的应用:在二倍角公式中, “升次”“降次”与角的变化是相对的 在解题中应视题目的具体情况灵活掌握应用例3求函数x x x y sin cos cos 2+=的值域 解: ——降次 ∵1)42sin(1≤π+≤-x ∴]221,221[+-∈y 例4 求证: 的值是与(无关的定值 证: —降次)sin 3sin cos 3(cos cos ]2cos )23[cos(21απ-απα+α-α-π=)sin cos 23cos 21)2cos 2sin 3sin 2cos 3(cos 212αα-α+α-απ+απ= 41)2sin 43)2cos 1(412cos 212sin 232cos 41=α-α++α-α+α=∴)6(sin )3cos(cos sin 22α-π-α+πα+α的值与α无关例5 化简: ——升幂解：2cos 2sin 22cos 22cos 2sin 22sin 22cos 2sin 22sin 22cos 2sin 22cos 22222θθ-θθθ-θ+θθ-θθθ-θ=原式 )2sin 2(cos 2cos 2)2cos 2(sin 2sin 2)2cos 2(sin 2sin 2)2sin 2(cos 2cos 2θθθθθθθθθθθθ--+--= θ-=θ-=θθ-+θθ+-=θ+θ-=csc 2sin 2)sin cos 1sin cos 1()2tan 2(cot 例6 求证: ——升幂证: 原式等价于: 左边θ+θθθ+θθ=θ++θθ-+θ=2cos 22cos 2sin 22sin 22cos 2sin 2)4cos 1(4sin )4cos 1(4sin 22 θθθθθθθ2tan )2cos 2(sin 2cos 2)2sin 2(cos 2sin 2=++=右边=θθθ2tan tan 1tan 22=- ∴左边=右边 ∴原式得证例7利用三角公式化简:分析：化正切为正弦、余弦, 便于探索解题思路．解：)10cos 10sin 31(50sin )1031(50sin+=+tg 10cos )10sin 2310cos 21(250sin +⋅=10cos 10sin 30cos 10cos 30sin 50sin 2+⋅=10cos 40sin 40cos 2⋅= 110cos 80sin == 指出: 例４的解法用到了很多公式, 其解法的关键是“化切为弦”与逆用公式.三、课堂练习:1 求值: cos280°＋sin250°－sin190°·cos320°解: 原式＝ ＋sin10°cos40°＝1＋21×2×（－sin30°sin50°）＋sin10°cos40° ＝1－21sin50°＋21（sin50°－sin30°） ＝1－41＝43 2求︒-︒10cos 310sin 1的值解: 原式＝ 420sin 20sin 420sin )1030sin(410cos 10sin 2)10sin 30cos 10cos 30(sin 4=︒︒=︒︒-︒=︒︒︒︒-︒︒= 四、小结 本节课学习了以下内容: 数列及有关定义, 会根据通项公式求其任意一项, 并会根据数列的前n 项求一些简单数列的通项公式五、课后作业:1 若 ≤α≤ , 则 等于( )2D.2sin 2sin 2C. 2B.2cos 2cos 2.A αααα-- 24cos 2sin 22+-的值等于( )Ａsin2 Ｂ－cos2 Ｃ3 cos2 Ｄ－3cos2 3sin6°cos24°sin78°cos48°的值为( )81D. 321C. 161B. 161A.- 494cos 93cos 92cos 9ππππ的值等于 5 已知sin ｘ＝ , 则sin2（ｘ－ ）的值等于6 若sin αsin β＋cos αcos β＝0, 则sin αcos α＋sin βcos β的值为7已知.)4cos(2cos ),40(135)4sin(απαπααπ+<<=-求8求值tan70°cos10°（3tan20°－1）参考答案: 1 C 2 3 A 4 5 2－ 6 0 7 8 －1六、板书设计（略）七、课后记:活动目的: 教育学生懂得“水”这一宝贵资源对于我们来说是极为珍贵的, 每个人都要保护它, 做到节约每一滴水, 造福子孙万代。

高中数学二倍角公式有哪些高中数学二倍角公式正弦二倍角公式：sin2α=2cosαsinα推导：sin2A=sin(A+A)=sinAcosA+cosAsinA=2sinAcosA拓展公式：sin2A=2sinAcosA=2tanAcosA^2=2tanA/[1+tanA^2]1+sin2A=(sinA+cosA)^2 余弦二倍角公式：余弦二倍角公式有三组表示形式,三组形式等价：1.Cos2a=Cosa^2-Sina^2=[1-tana^2]/[1+tana^2]2.Cos2a=1-2Sina^23.Cos2a=2Cosa^2-1推导：cos2A=cos(A+A)=cosAcosA-sinAsinA=(cosA)^2-(sinA)^2=2(cosA)^2-1=1-2(si nA)^2高三数学提分方法一、夯实数学基础的方法首先课堂紧跟老师，认真听每一节课，记好课堂笔记，有些学生喜欢自己课后自学，课堂不爱听讲，这是极错误的，因为老师对于高考的了解和对知识的掌握，远远胜过我们自学，紧跟老师是打好基础最关键的一步对课本基础知识的学习，我们强烈建议大家使用思维导图，可以把课本上的知识都画成树状层，这样更容易理解、记忆，这样知识点不再是孤立而是成了网，这比光看书效果要好很多很多二、数学正确的题海战术方法想学好数学，大量刷题确实很有必要，但你真的会刷题吗多数同学虽然也做了大量的题目，但成绩还是不好，核心原因就是做题忽略了最重要的一步，那就是总结反思每做完一道题目，大家还需要总结一下，问一下自己下面这些问题：它考查了哪些知识、自己有没有掌握、题目的解题思路在哪里、突破口是什么、属于哪种题型、此类题型有什么共同的套路、此类题型应该用什么方法来解答只有多问自己几个为什么，你才能真正吃透一道题，达到做一道题会一类题做题并不是越多越好，要知道题海战术只是手段，我们最终的目的还是通过做题加深对知识的理解，掌握解题套路，提高做题速度，如果做题不总结，你刷再多题效果也不会明显高考数学答题思想方法高中数学答题方法化归与转化思想(1)将复杂问题化归为简单问题，将较难问题化为较易问题，将未解决问题化归为已解决问题(2)灵活性、多样性，无统一模式，利用动态思维，去寻找有利于问题解决的变换途径与方法(3)高考重视常用变换方法：一般与特殊的转化、繁与简的转化、构造转化、命题的等价转化高中数学答题方法特殊与一般思想(1)通过对个例认识与研究，形成对事物的认识(2)由浅入深，由现象到本质、由局部到整体、由实践到理论(3)由特殊到一般，再由一般到特殊的反复认识过程(4)构造特殊函数、特殊数列，寻找特殊点、确立特殊位置，利用特殊值、特殊方程(5) 高考以新增内容为素材，突出考查特殊与一般思想必成为命题改革方向高考数学备战攻略每一个知识点都应该被认真对待。

3.1.3 二倍角的正弦、余弦和正切公式一、教学目标1.以两角和正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式。

2.准确理解二倍角公式中的二倍关系，灵活应用二倍角公式。

3.通过对公式的推导让学生了解由“一般”到“特殊”的化归数学思二、教学重难点教学重点：二倍角公式推导及其应用.教学难点：二倍角的理解及其灵活运用三、教材与学情分析“二倍角的正弦、余弦、正切公式”是在研究了两角和与差的三角函数的基础上，进一步研究具有“二倍角”关系的正弦、余弦、正切公式的，它既是两角和与差的正弦、余弦、正切公式的特殊化，又为以后求三角函数值、化简、证明提供了非常有用的理论工具、通过对二倍角的推导知道，二倍角的内涵是 揭示具有倍数关系的两个三角函数的运算规律、通过推导还让学生加深理解了高中数学由一般到特殊的化归思想、因此本节内容也是培养学生运算和逻辑推理能力的重要内容，对培养学生的探索精神和创新能力、发现问题和解决问题的能力都有着十分重要的意义.本节课通过教师提出问题、设置情境及对和角公式中α、β关系的特殊情形α=β时的简化，让学生在探究中既感到自然、易于接受，还可清晰知道和角的三角函数与倍角公式的联系，同时也让学生学会怎样发现规律及体会由一般到特殊的化归思想.这一切教师要引导学生自己去做,因为，《数学课程标准》提出 “要让学生在参与特定的数学活动，在具体情境中初步认识对象的特征，获得一些体验”.四、教学过程1.（复习性提问） 请同学回顾两角和与差的公式（学生回答，教师板书）βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=- βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+ βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(⋅+-=- βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(⋅-+=+2.（探索性提问）当上述公式中角、具有特殊化关系时，公式变为什么形式？（学生自己推导，教师提问）学生回答3.集体订正后，引导学生观察其结构（学生回答 左边角均为，右边角均为，具有“二倍”关系）教师板书（放幻灯片）二倍角公式简记为即为我们今天要学习的二倍角公式 【设计意图 复习已学公式，对其特殊化。