2020年河北省高三数学上学期第一次大联考试题理

《高三上学期第一次月考 2020届省名师联盟高三上学期第一次模拟考试数学（理）试题—附答案》摘要：姓名准考证号考场号座位号 2020届名师联盟高三第一次模拟考试卷理科数学注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置，∴，又为中点，∴，在中，，∴，∴，又，∴平面．（2）面，且，如图以为原点，，，方向建立空间直角坐标系，从而，，，，，由（1）可知是面的一个法向量，设为面的一个法向量，由，令，得，设为二面角的平面角，则，，∴二面角角的正弦值为． 19．【答案，又，，，∴，∴，∴，∴，，∴．（2）由（1）知，，设直线方程为，由，得，设，，则，，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴．∴的方程为． 20．【答案此卷只装订不密封班级姓名准考证号考场号座位号 2020届名师联盟高三第一次模拟考试卷理科数学注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，（） A． B． C． D． 2．（） A． B． C． D． 3．如图为某省年月快递业务量统计图，图是该省年月快递业务收入统计图，下列对统计图理解错误的是（） A．年月的业务量，月最高，月最低，差值接近万件 B．年月的业务量同比增长率超过，在月最高 C．从两图来看年月中的同一个月快递业务量与收入的同比增长率并不完全一致 D．从月来看，该省在年快递业务收入同比增长率逐月增长 4．已知两个单位向量，满足，则的夹角为（） A． B． C． D． 5．函数的部分图象大致为（）A． B． C． D． 6．已知斐波那契数列的前七项为、、、、、、．大多数植物的花，其花瓣数按层从内往外都恰是斐波那契数，现有层次相同的“雅苏娜”玫瑰花朵，花瓣总数为，假设这种“雅苏娜”玫瑰花每层花瓣数由内向外构成斐波那契数列，则一朵该种玫瑰花最可能有（）层． A． B． C． D． 7．如图，正方体中，点，分别是，的中点，为正方形的中心，则（） A．直线，是异面直线 B．直线，是相交直线 C．直线与所成的角为 D．直线，所成角的余弦值为 8．执行如图所示的程序框图，输出的的值为（）A． B． C． D． 9．已知定义在上的奇函数满足，且在区间上是减函数，令，，，则，，的大小关系为（） A． B． C． D． 10．已知点是双曲线的右焦点，动点在双曲线左支上，点为圆上一点，则的最小值为（） A． B． C． D． 11．如图，已知，是函数的图象与轴的两个相邻交点，是函数的图象的最高点，且，若函数的图象与的图象关于直线对称，则函数的解析式是（） A． B． C． D． 12．已知三棱锥满足底面，在中，，，，是线段上一点，且．球为三棱锥的外接球，过点作球的截面，若所得截面圆的面积的最小值与最大值之和为，则球的表面积为（） A． B． C． D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．已知曲线在点处的切线方程为，则实数的值为． 14．已知等差数列的前项和为，满足，且，则最大时的值是． 15．《易经》是中国传统文化中的精髓，如图是易经八卦(含乾、坤、異、震、坎、离、良、兑八卦)，每一卦由三根线组成(“”表示一根阳线，“”表示一根阴线)，从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有两根阳线，四根阴线的概率为． 16．点，是抛物线上的两点，是拋物线的焦点，若，中点到抛物线的准线的距离为，则的最大值为．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）的内角所对的边分别为，已知．（1）求的大小；（2）若，，且的面积为，求． 18．（12分）如图所示的多面体中，四边形是边长为的正方形，，，，平面．（1）设与的交点为，求证：平面；（2）求二面角的正弦值． 19．（12分）设椭圆的左焦点为，右焦点为，上顶点为，离心率为，是坐标原点，且．（1）求椭圆的方程；（2）已知过点的直线与椭圆的两交点为，，若，求直线的方程． 20．（12分）已知函数，为的导数，证明：（1）在区间上存在唯一极大值点；（2）在区间上有且仅有一个零点． 21．（12分）月，全国美丽乡村篮球大赛在中国农村改革的发源地—安徽凤阳举办，其间甲、乙两人轮流进行篮球定点投篮比赛(每人各投一次为一轮)．在相同的条件下，每轮甲乙两人站在同一位置，甲先投，每人投一次球，两人有人命中，命中者得分，未命中者得分；两人都命中或都未命中，两人均得分．设甲每次投球命中的概率为，乙每次投球命中的概率为，且各次投球互不影响．（1）经过轮投球，记甲的得分为，求的分布列；（2）若经过轮投球，用表示经过第轮投球，累计得分，甲的得分高于乙的得分的概率．①求，，；②规定，经过计算机计算可估计得，请根据①中，，的值分别写出，关于的表达式，并由此求出数列的通项公式．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】已知平面直角坐标系中，以为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线方程为，的参数方程为（为参数）．（1）写出曲线的直角坐标方程和的普通方程；（2）设点为曲线上的任意一点，求点到曲线距离的取值范围． 23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】已知，，．证明：（1）；（2）． 2020届名师联盟高三第一次模拟考试卷理科数学答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【答案】D 2．【答案】D 3．【答案】D 4．【答案】C 5．【答案】B 6．【答案】C 7．【答案】C 8．【答案】B 9．【答案】C 10．【答案】A 11．【答案】C 12．【答案】C 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．【答案】 14．【答案】9 15．【答案】16．【答案】三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由，得，所以，即，所以有，因为，所以，所以，即，所以，又，所以，所以，即．（2）因为，所以，又，所以，把代入到中，得． 18．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】（1）证明：由题意可知：平面，从而，∴，又为中点，∴，在中，，∴，∴，又，∴平面．（2）面，且，如图以为原点，，，方向建立空间直角坐标系，从而，，，，，由（1）可知是面的一个法向量，设为面的一个法向量，由，令，得，设为二面角的平面角，则，，∴二面角角的正弦值为． 19．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）设椭圆的焦距为，则，∴，∵，∴，又，，，∴，∴，∴，∴，，∴．（2）由（1）知，，设直线方程为，由，得，设，，则，，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴．∴的方程为． 20．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【解析】（1）由题意知：定义域为，且．令，，，．∵在上单调递减，在上单调递减，在上单调递减．又，，∴，使得，∴当时，；当时，，即在区间上单调递增；在上单调递减，则为唯一的极大值点，即在区间上存在唯一的极大值点．（2）由（1）知，且在区间存在唯一极大值点，在上单调递增，在上单调递减，而，，故在上恒有，∴在上单调递增，又，，因此，在上有且仅有一个零点． 21．【答案】（1）见解析；（2）①，，；②，，．【解析】（1）的可能取值为，，．，，．∴的分布列为（2）①由（1）知，，经过两轮投球甲的累计得分高有两种情况：一是两轮甲各得分；二是两轮有一轮甲得分，有一轮甲得分，∴，经过三轮投球，甲的累计得分高有四种情况：一是三轮甲各得分；二是三轮有两轮各得分，一轮得分；三是轮得分，两轮各得分；四是两轮各得分，轮得分，∴．②由，知，将，，，代人，求得，，∴，，∴，∴．∴，∵，∴是等比数列，首项和公比都是．，∴． 22．【答案】（1），；（2）．【解析】（1）的直角坐标方程，的普通方程．（2）由（1）知，为以为圆心，为半径的圆，的圆心到的距离为，则与相交，到曲线距离最小值为，最大值为，则点到曲线距离的取值范围为． 23．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【解析】证明：（1）∵，，，∴，，∴，∴当，时，的最小值为，∴．（2）∵，，，∴，，当且仅当时，取等号，∴ ，∴时，的最大值为，∴．。

数学答案
1． C 因为 A x | 2x 1 x | x 0， B x | x2 5x 6 0 x | 6 x 1，所以
A B {x | 0 x 1) ．
2．B
2
i
1
1 i
2
i
1 i
1
1
3i
．
3．A 由题意知 0．1．1．0．1．4 0 4m 0 4n 2 5 ，可得 m n 5 ．
A．（0）,
B．（1）,
C．（- , 0）
D．（0，1）
8．蹴鞠（如图所示），又名“蹋鞠”“蹴球”“蹴圆”“筑球”“踢圆”等，“蹴”有用脚蹴、蹋、踢的含义，
“鞠”最早系外包皮革、内实米糠的球．因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、蹋、踢皮球的活动，类似今日 的足球．2006 年 5 月 20 日，蹴鞠已作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家级非物质文化遗产
则（ ）
A． a0 0
B． a3 20
C． a1 a5 0 D． | a0 +a2 a4 a6 a1 a3 a5 |
12．已知 f x是定义在 R 上的奇函数，且 f 1 x f 1 x，当 0 x 1时， f x x ，关于函数
g x f x f | x |，下列说法正确的是（ ）
f
x
sinx
的图象得到函数
g(x)
cos
3
2
x
的图象的过程中，下列表述正确的是（
）
A．先将 f x sinx 的图象上各点的横坐标缩短到原来的 1 （纵坐标不变），再向左平移个 单位长度
2
12
B．先将
f
x
sinx 的图象上各点的横坐标缩短到原来的
1

2021届河北省“五个一”名校联盟高三上学期第一次联考数学试题一、单选题1．已知集合{}21|xA x =>，{}256|0B x x x =+-<，则A B =（ ）A ．（-1，3）B ．（－1，1）C ．（0，1）D ．（0，6）【答案】C【分析】由集合描述得到集合，利用集合基本运算求交集即可；【详解】由{}{}210||xA x x x =>=>，{}{}21|560|6B x x x x x =+-<-<<=，∴{|01)A B x x ⋂=<<． 故选：C【点睛】本题考查了集合的基本运算，根据集合描述得到集合，应用交集运算求集合，属于简单题；2．1(21i i ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭)（ ） A ．13i + B ．13i -C ．3i -D ．3i +【答案】B【分析】直接运算计算结果.【详解】由题意，()1221211213i i i i i i i-+=-+⎛⎫-=--= ⎭-⎪⎝． 故选：B .【点睛】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法法则的应用，属于基础题. 3．在一组样本数据中，1，4，m ，n 出现的频率分别为0.1，0.1，0.4，0.4，且样本平均值为2.5，则m n +=（ ） A ．5 B ．6C ．7D ．8【答案】A【分析】根据平均数公式列式即得结果.【详解】由题意得样本平均值为10.140.10.40.4 2.55m n m n ⨯+⨯+⨯+⨯=∴+= 故选：A【点睛】本题考查平均数公式，考查基本分析求解能力，属基础题.4．若P ：直线l 与双曲线C 只有一个公共点，Q ：直线l 与双曲线C 相切，则P 是Q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【详解】直线与双曲线有一个公共点时，有可能是直线与双曲线的渐近线平行， 此时直线和双曲线相切不成立；直线与双曲线相切时，可以推出直线与双曲线有一个公共点，命题成立， 所以P 是Q 的必要不充分条件. 故选B.【点睛】直线与双曲线的位置关系用数形结合研究比较简洁，当直线与双曲线只有一个公共点时，直线与双曲线未必相切，可以是与渐近线平行，与双曲线类似的还有抛物线，直线与抛物线除了相切可以有一个公共点外，还可以是与对称轴平行.5．已知0x >，0y >，且40x y xy +-=，若不等式a x y ≤+恒成立，则a 的取值范围是（ ） A ．(],6-∞ B ．(],7-∞C ．(],8-∞D ．(],9-∞ 【答案】D【分析】根据题意可得411x y +=，再由41()x y x y x y ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，利用基本不等式求出其最小值即可.【详解】∵40x y xy +-=，∴411x y+=，∴414()5x y x y x y x y y x ⎛⎫+=++=++⎪⎝⎭．∵0x >，0y >，∴44x y y x +≥= （当且仅当4x yy x=，即26x y ==时取等号），∴549x y a ≥+=≥+． 故选：D【点睛】本题考查了基本不等式求最值，注意验证等号成立的条件，属于基础题. 6．函数()2sin ln f x x x =的大致图象为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】利用奇偶函数定义可知()f x 为奇函数，且()0,1x ∈函数符号 即可知正确选项； 【详解】因为()()f x f x -=-，所以()f x 为奇函数， 当(0,1)x ∈时，sin 0x >，2ln 0x <，()0f x <， 故选：D ．【点睛】本题考查了根据函数解析式识别函数图象，利用函数的奇偶性以及区间函数值符号确定函数图象；7．设函数()f x 的定义域为R ，fx 是其导函数，若()()0f x f x '+<，()01f =，则不等式()xf x e ->的解集是（ ）A ．0,B ．1,C ．(),0∞-D ．（0，1）【答案】C【分析】由已知条件构造函数()()xg x e f x =，则()()()xxg x e f x e f x ''=+，可得()g x 在R 上单调递减，由()01f =，可得()xf x e ->等价于()(0)g x g >，从而可求出不等式的解集.【详解】令()()xg x e f x =，则()()()xxg x e f x e f x ''=+，因为()()0f x f x '+<，所以()0g x '<，所以()g x 在R 上单调递减．因为(0)(0)1g f ==，所以()x f x e ->等价于()(0)g x g >， 解得0x <，所以不等式()xf x e ->的解集是(,0)-∞．故选：C.【点睛】此题考查导数的应用，考查由函数的单调性解不等式，解此题的关键是利用已知条件构造函数，属于中档题.8．蹴鞠（如图所示），又名“蹋鞠”“蹴球”“蹴圆”“筑球”“踢圆”等，“蹴”有用脚蹴、蹋、踢的含义，“鞠”最早系外包皮革、内实米糠的球．因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、蹋、踢皮球的活动，类似今日的足球．2006年5月20日，蹴鞠已作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家级非物质文化遗产名录，已知某“鞠”表面上的四个点A ，B ，C ，D 满足14 AB CD ==cm ，8BD AC ==cm ，12AD BC ==cm ，则该“鞠”的表面积为（ ）A ．202πcm 2B 101202πcm 3 C ．101202πcm 2 D ．2023πcm 2 【答案】A【分析】根据题意，得到A ，B ，C ，D 不共面；根据题中条件，可把A ，B ，C ，D 四点放到长方体的四个顶点上，则该长方体的体对角线就是“鞠”的直径．设该长方体的长、宽、高分别为x ，y ，z ，“鞠”的半径为R ，结合题中数据求出半径，即可得出“鞠”的表面积.【详解】若A ，B ，C ，D 共面，则“鞠”的半径无法确定；因此A ，B ，C ，D 不共面；因为 AB CD =，BD AC =， AD BC =，所以可以把A ，B ，C ，D 四点放到长方体的四个顶点上， 则该长方体的体对角线就是“鞠”的直径．设该长方体的长、宽、高分别为x ，y ，z ，“鞠”的半径为R ， 则()22222R x y z =++．因为222196x y AB +==，222144x z AD +==，22264y z AC +==，则()222219614464404x y z ++=++=，所以21012R =， 所以224202 S R cm ππ==.故选：A.【点睛】本题主要考查几何体外接球的表面积，熟记球的表面积公式，以及几何体的结构特征即可，属于常考题型.二、多选题9．由函数()sin f x x =的图象得到函数()cos 23g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象的过程中，下列表述正确的是（ ）A ．先将()sin f x x =的图象上各点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），再向左平移个12π单位长度B ．先将()sin f x x =的图象上各点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），再向左平移6π个单位长度 C ．先将()sin f x x =的图象向左平移6π个单位长度，再将图象上各点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变） D ．先将()sin f x x =的图象向左平移12π个单位长度，再将图象上各点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变） 【答案】AC【分析】先利用诱导公式化简得()cos 2cos 2sin 2336g x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=+⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，然后利用函数sin()y A x ωϕ=+的图像变换规律，得出结论 【详解】()cos 2cos 2sin 2336g x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=+⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．方式一：先将()sin f x x =的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），再向左平移12π个单位长度．方式二：先将()sin f x x =的图象向左平移6π个单位长度，再将横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变）． 故选：AC【点睛】此题考查诱导公式的应用，考查函数sin()y A x ωϕ=+的图像变换规律，属于中档题10．数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难人微．”事实上，很多代数问题转化为点(,)A x y 与点(,)B a b 之间的距离的几何问题．结合上述观点，可得方程2=的解为（ ）A ．3B ．6C ．3-D ．6-【答案】AC【分析】由2=得|2=．其几何意义为平面内一点(,1)x 与两定点(2,0),(2,0)-距离之差的绝对值为2．平面内与两定点(2,0),(2,0)-距离之差的绝对值为2的点的轨迹是双曲线，从而求出双曲线的方程为2213y x -=，然后与直线1y =联立方程组可求得答案【详解】由2=得|2=．其几何意义为平面内一点(,1)x 与两定点(2,0),(2,0)-距离之差的绝对值为2． 平面内与两定点(2,0),(2,0)-距离之差的绝对值为2的点的轨迹是双曲线．设该双曲线的方程为22221(0,0)x ya b a b -=>>，则222222a c c a b =⎧⎪=⎨⎪=+⎩解得1a =，b =所以该双曲线的方程是2213y x -=．联立方程组22113y y x =⎧⎪⎨-=⎪⎩解得x =． 故选：AC【点睛】此题考查方程的解的求法，利用数学转化的思想，把解方程问题转化为双曲线的点的坐标问题，属于中档题 11．已知()()()()()()()201234542345661211111()1x x a a x a x a x a x a x a x -+=++++++++++++，则（ ） A ．00a = B ．320a =C ．150a a +=D ．0246135||a a a a a a a ++=+++【答案】ACD【分析】设()()42()12f x x x =-+，令记1x =-可判断A ，令1t x =+可判断B ，令0,2x x ==-可判断C 和D.【详解】记()()42()12f x x x =-+，则()010a f =-=．令1t x =+，则1x t =-，所以3a 为()42()21t t t -+的展开式中3t 的系数， 因为4()1t +的通项为44r rC t -，所以()23344218a C C =+-=．又135(0)(2)82f f a a a --++==所以150a a +=，220246135()()(0)(2)0a a a a a a a f f +++-++=⋅-=，所以220246135()()a a a a a a a +++=++即0246135||a a a a a a a ++=+++． 故选：ACD.【点睛】本题考查二项式定理，考查分析与转化的能力.12．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且()()11f x f x +=-，当01x ≤≤时，()f x x =，关于函数()()()||g x f x f x =+，下列说法正确的是（ ）A ．()g x 为偶函数B ．()g x 在()1,2上单调递增C ．()g x 在[2016，2020]上恰有三个零点D ．()g x 的最大值为2【答案】AD【分析】根据函数奇偶性的定义，直接判断()g x ，可得A 正确；根据题意，得到函数()f x 是奇函数，且周期为4，得出0x ≥时，[](]2(),4,24()0,24,44f x x k k g x x k k ⎧∈+⎪=⎨∈++⎪⎩，k ∈N ，从而可判断B 错，C 都错；结合其对称性与解析式，可得D 正确. 【详解】函数()g x 的定义域为R ， 且()()()()()()()()g x f x fx f x f x f x f x g x -=-+-=-+=+=，所以()g x 为偶函数，故A 正确．因为()()11f x f x +=-，所以()f x 的图象关于直线1x =对称，又()f x 是奇函数，所以()f x 是周期为4的函数，其部分图象如下图所示．所以当0x ≥时，[](]2(),4,24()0,24,44f x x k k g x x k k ⎧∈+⎪=⎨∈++⎪⎩，k ∈N ， 当(1,2)x ∈时，()()2g x f x =，()g x 单调递减，故B 错误．()g x 在[]2016,2020上零点的个数等价于()g x 在[]0,4上零点的个数，而()g x 在[]0,4上有无数个零点．故C 错误．当0x ≥时，易知()g x 的最大值为2，由偶函数的对称性可知，当0x <时，()g x 的最大值也为2，所以()g x 在整个定义域上的最大值为2， 故D 正确．故选：AD.【点睛】本题主要考查函数基本性质的综合，以及函数零点问题，熟记函数基本性质，以及函数零点的判断方法即可，属于常考题型.三、填空题 13．17tan12π=__________．【答案】2 【分析】由175tantan 1212πππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由诱导公式结合正切的和角公式可得出答案.【详解】11755tantan tan tan 212121264ππππππ⎛⎫⎛⎫=+==+==+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故答案为：2+【点睛】本题考查诱导公式可正切的和角公式的应用，属于基础题14．已知向量(1),m a =，4),(n a =，若m n +与n 同向，则a =__________． 【答案】±2 【分析】由向量平行的性质列出关于a 的方程，检验后可得答案. 【详解】解：有题意m n +与n 同向，所以()//m n n +．可得()4,1a n a m +=++，所以()4(41)a a a =++，解得2a =±， 经检验2a =±都满足题意， 故答案为：±2. 【点睛】本题主要考察平面向量平行的性质，考察学生的基础知识与基本计算能力，注意对结果进行验算.15．将六根长为2米的硬钢丝与三根长为3米的硬钢丝焊接成一个三棱柱，假设钢丝是极细的（计算体积时可将每根钢丝当作线段），焊接过程中钢丝长度不改变．若所得三棱柱的体积为________． 【答案】23【分析】根据题意可得三棱柱的底面为正三角形,侧棱长为3米，根据柱体的体积公式求出棱柱的高，即求.【详解】由于只有三根长为3米的硬钢丝，其余钢丝的长度都不是3米， 所以这三根只能做棱柱的侧棱，所以该三棱柱的底面为正三角形． 设该三棱柱的高为h 米，所以23223h ⨯=，解得2h =， 所以该三棱柱的侧棱与底面所成角的正弦值为23． 故答案为：23【点睛】本题考查了柱体的体积公式，考查了基本运算能力，属于基础题.四、双空题16．已知11,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，11,2B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，直线AM 的斜率与直线BM 的斜率之差是1，则点M 的轨迹C 的方程是__________．若点F 的坐标为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，P 是直线1:2l y =-上的一点，Q 是直线PF 与轨迹C 的交点，且4FP FQ =，则QF =__________． 【答案】()221x y x =≠±34【分析】设点(),M x y ，利用斜率公式结合条件“直线AM 的斜率与直线BM 的斜率之差是1”化简计算可得出点M 的轨迹方程；设点1,2P t ⎛⎫- ⎪⎝⎭，利用4FP FQ =可求得点Q 的纵坐标，利用抛物线的定义可求得QF . 【详解】设(),M x y ，则1122111AM BMy y k k x x ---=-=-+， 整理得点M 的轨迹C 的方程是()221x y x =≠±，如下图所示：设点1,2P t ⎛⎫- ⎪⎝⎭、()00,Q x y ，(),1FP t =-，001,2FQ x y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，4FP FQ =，01412y ⎛⎫∴-=- ⎪⎝⎭，解得014y =.由抛物线的定义可得113424QF =+=. 故答案为：()221x y x =≠±；34. 【点睛】本题考查动点轨迹方程的求解，同时也考查了抛物线焦半径长的计算，考查计算能力，属于中等题.五、解答题17．在①1a b +=+sin 2c A =，③3b =这三个条件中任选一个，补充在下面问题中．若问题中的三角形存在，求c 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由． 问题：是否存在ABC ，它的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，__________，且sinB A =，6C π=？注：如果选择多个条件解答，按第一个解答计分． 【答案】答案见解析.【分析】由条件可得b =，若选①，则可求出边,a b ，再用余弦定理可求解；若选②，由正弦定理可得2asinC =，结合条件可得出a 边，由条件sinB A =进一步得出b ，再用余弦定理可求解；若选③，即=c ．由sin B A =，b =，由余弦定理可得2253a a =-，故不成立.【详解】解：选①：∵sin B A =∴b =．∴1a b +=+1a =，b =∵2222cos c a b ab C =+-，6C π=∴1c =．符合a c b +>，故存在满足条件的ABC ． 选②：由正弦定理sin sin a cA C=,则 sin c sinA a C ⋅=⋅ ∵2c sinA ⋅=，∴2asinC =．∵6C π=∴4a =．∵sin B A =，∴b =，∴b ⋅=．由2222cos 164824162c a b ab C =+-=+-⨯⨯=， 解得：4c =．符合a c b +>，故存在满足条件的ABC ．选③：∵3b =，∴=c ．∵sin B A =∴b =．∵2222cos a b c ab C +-=，∴222392cos 6a a a π+-=⋅．得2253a a =-，不成立． 故不存在满足条件的ABC ．【点睛】角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．属于中档题.18．已知数列{}n a 是公差为2的等差数列，它的前n 项和为n S ，且137,,a a a 成等比数列.（1）求{}n a 的通项公式；（2）求数列12n S ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和n T .【答案】（1）22n a n =+；（2）24n nT n =+.【分析】（1）根据条件求出数列的首项，即可写出通项公式； （2）求出n S ，即可得12n S ，利用裂项相消法可求解.【详解】（1）137,,a a a 成等比数列，2317a a a ，则2111412a a a ，解得14a =，41222na n n ；（2）242232nn n S n n ，2111112321212n S n n n n n n ，111111112334122224n nT n n n n =-+-++-=-=++++. 【点睛】本题考查等差数列基本量计算，考查裂项相消法求数列前n 项和，属于中档题. 19．2020年上半年受新冠疫情的影响，国内车市在上半年累计销量相比去年同期有较大下降.国内多地在3月开始陆续发布促进汽车消费的政策，开展汽车下乡活动，这也是继2009年首次汽车下乡之后开启的又一次大规模汽车下乡活动.某销售商在活动的前2天大力宣传后，从第3天开始连续统计了6天汽车销售量y （单位：辆）如下表：（1）从以上6天中随机选取2天，求这2天的销售量均在20辆以上（含20辆）的概率.（2）根据上表中前4组数据，求y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+. （3）用（2）中的结果计算第7、8天所对应的ˆy，再求ˆy 与当天实际销售量y 的差，若差值的绝对值都不超过1，则认为求得的线性回归方程“可行”，若“可行”则能通过此回归方程预测以后的销售量.请根据题意进行判断，（2）中的结果是否可行？若可行，请预测第9天的销售量；若不可行，请说明理由.附：回归直线ˆˆˆybx a =+的斜率和截距的最小二乘法估计值分别为：1221ˆˆˆ,ni ii nii x y nx ybay bx xnx ==-⋅==--∑∑ 【答案】（1）25；（2）ˆ211y x =+；（3）可行，29.【分析】（1）先确定6天中销售量均在20辆以上（含20辆）有4天，再根据组合以及古典概型概率公式求结果；（2）先求均值，再代入公式求ˆˆ,ba ，即得结果；（3）根据回归直线方程确定对应的ˆy，再根据定义判断是否“可行”，最后代入9x =得结果.【详解】（1）6天中销售量均在20辆以上（含20辆）有4天，242662155CP C ===（2）3456172019244.5,2044x y ++++++====41317420519624370i ii x y==⨯+⨯+⨯+⨯=∑4222221345686ii x==+++=∑23704 4.52028644ˆ.5b-⨯⨯==-⨯ 202ˆ 4.511a=-⨯= 所以ˆ211yx =+ （3）由（2）知，7x =时，141125y =+=，25-24=1；8x =时，161127y =+=，27-27=0所以求得的线性回归方程“可行”9x =时，181129y =+=【点睛】本题考查古典概型概率公式、线性回归方程及其应用，考查基本分析求解能力，属基础题.20．如图，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，B 1C 1⊥平面AA 1C 1C ，D 是AA 1的中点，ACD ∆是边长为1的等边三角形.（1）求证：CD ⊥B 1D ；（2）若BC =3，求二面角B —C 1D —B 1的大小. 【答案】（1）证明见解析；（2）6π【分析】（1）根据计算，利用勾股定理逆定理得1CD DC ⊥;根据B 1C 1⊥平面AA 1C 1C ，得11CD B C ⊥,最后根据线面垂直判断定理以及性质定理证明结果； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量数量积求二面角大小. 【详解】（1）因为ACD 是边长为1的等边三角形， 所以11111121,1,33CD A D AC DAC C D π===∠=∴= 22211112CC CC C D CD CD DC =∴=+∴⊥因为B 1C 1⊥平面AA 1C 1C ，CD ⊂平面AA 1C 1C ，所以11CD B C ⊥ 因为111,DC B C 为平面B 1C 1D 内两相交直线，所以CD ⊥平面B 1C 1D 因为1B D ⊂平面B 1C 1D ,所以CD ⊥B 1D ；（2）以D 为坐标原点，1,,DC DC 过D 平行BC 直线为,,x y z 轴建立如图所示空间直角坐标系，则11(0,0,0),(3,0,0),(3,0,3),(0,1,3),D C B B设平面BC 1D 的一个法向量为1(,,)n x y z =，平面C 1DB 1的一个法向量为2111(,,)n x y z =由11100n DC n DB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得300,30x x y z ⎧=⎪∴=⎨+=⎪⎩令1,3z y =∴=-∴1(0,3,1)n =- 由212100n DC n DB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得300,330x x z x z ⎧=⎪∴==⎨+=⎪⎩令1,y =∴2(0,1,0)n = 12121212335cos ,,2126||||n n n n n n n n π⋅-∴<>===-∴<>=⨯因为二面角B —C 1D —B 1为锐二面角，所以二面角B —C 1D —B 1为6π【点睛】本题考查线面垂直判定与性质定理、利用空间向量求二面角，考查综合分析论证与求解能力，属中档题.21．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右焦点为(),0F c ，短轴长为2，且C 截直线x c =所得线段MN． （1）求椭圆C 的方程；（2）若A ，B 为C 上的两个动点，且AFM BFM ∠=∠．证明：直线AB 过定点，并求定点的坐标．【答案】（1）2212x y +=；（2）证明见解析；直线AB 过定点()2,0．【分析】（1）根据C 截直线x c =所得线段MN，可得22bMN a==再结合短轴长为2求解.（2）由题意可知直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为y kx m =+，与椭圆方程联立，根据AFMBFM ∠=∠，且FM 垂直x 轴，可得0FA FB k k +=，结合韦达定理可求m 与k 的关系，再代入直线方程求解.【详解】（1）把x c =代入22221x y a b+=，得2by a =±，则22b MN a ==，即22b a =．又22b =，则1b =，所以a =故C 的方程为2212x y +=．（2）由题意可知直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为y kx m =+，联立2212x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()222124220k x kmx m +++-=．设A ，B 的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ， 则()()222222164122216880k m kmk m ∆=-+-=-+>，且122412km x x k +=-+，21222212m x x k -=+．设直线FA ，FB 的倾斜角分别为α，β， ∵AFMBFM ∠=∠，且FM 垂直x 轴，∴tan tan 0αβ+=，即0FA FB k k +=，∴1212011y y x x +=--，则()()1221110y x y x -+-=， 即()()()()1221110kx m x kx m x +-++-=， ∴()()1212220kx x k m x x m --+-=，∴()2222242201212m kmk k m m k k -⨯+-⨯-=++，化简可得2m k =-， 则直线AB 的方程为()22y kx k k x =-=-， 故直线AB 过定点()2,0．【点睛】本题主要考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系以及定点问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题.22．已知函数()()()()2210f x ln x a a x a =+--≥． （1）当1a =时，求曲线()y f x =在1x =处的切线方程； （2）当12a >时，0x 是函数()y f x =最小的零点，求证：函数()()21g x f x x =+-在区间0()2,a x -上单调递减．（注：131)1.n < 【答案】（1）52ln 333y x =-++；（2）证明见解析. 【分析】（1）由()1ln31f =-，得出切点坐标，由1()22f x x '=-+得出切线的斜率方程，得出答案. （2）由1()22f x a x a '=-+，讨论出函数的单调区间，得出012,22x a a a ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，从而当0,)(2x a x ∈-时，()0f x <，将绝对值打开，利用导数研究即可. 【详解】（1）解：当1a =时，()221()f x ln x x =+-+所以1()22f x x '=-+，且()1ln31f =-，函数()y f x =在1x =处的切线斜率5(1)3k f '==-． 所以函数()y f x =在1x =处的切线方程为5(ln 31)(1)3y x --=--，即52ln 333y x =-++． （2）证明：由1()22f x a x a'=-+，令()0f x '=，解得122x a a =-， 所以函数()f x 在区间12,2 2a a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增，在区间[12,2a a ⎡⎫--+∞⎪⎢⎣⎭单调递减，所2max 1()241(2)12f x f a a a n a a ⎛⎫=-=+--⎪⎝⎭． 令21()41(2)12h a a a n a a ⎛⎫=+-->⎪⎝⎭，则11()8102h a a h a ⎛⎫''=+->> ⎪⎝⎭，所以()h a 在区间1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭单调递增，11()022h a h ⎛⎫>=> ⎪⎝⎭． 而当2x a →-时，()f x →-∞，由题意，可以得012,22x a a a ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭． 所以当0,)(2x a x ∈-时，()0f x <，则()()()()()211212g x f x x a x ln x a =-+-=+--+， 当02a x x -≤<时，011()222222g x a a x a x a'=+-<+-++，要想证明函数()()21g x f x x =+-在区间0()2,a x -上单调递减，只需()0g x '≤， 故只要证明01222x a a≤-+．记21()24ln(22)221a G a f a a a a a a ⎛⎫=-=+--+ ⎪++⎝⎭， 211()81(1)1G a a a a '=+--++在区间1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，所以1G ()02a G ⎛⎫''>> ⎪⎝⎭．所以()G a 在区间1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，1117()1ln 3ln 302236G a G ⎛⎫>=+--=-> ⎪⎝⎭．所以01()222f x f a a ⎛⎫<- ⎪+⎝⎭，01112,2,22,22222x a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫∈---∈-- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，且()f x 在区间1 2,22a a a --⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增，所以01222x a a <-+， 所以函数()()21g x f x x =+-在区间0()2,a x -上单调递减．【点睛】本题考查求函数的切线方程，考查函数的零点，讨论分析参数的单调性问题，考查分析问题，等价转化的能力，属于难题.。

创 作人： 历恰面 日 期： 2020年1月1日创 作人： 历恰面 日 期： 2020年1月1日2021年第一次全国大联考【卷】创 作人：历恰面 日 期： 2020年1月1日理科数学试卷第一卷〔一共40分〕一．选择题：本大题一一共8个小题，每一小题5分，一共40分，在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的．1.设集合{}2230M x x x =+-=，{}1,1,3N =-，那么MN =〔 〕A ．{}1,3-B ．{}1,1,3-C ．{}1,1,3,3--D ．{}1,1,3-- 2.某几何体的三视图如下图，且该几何体的体积是32，那么正视图中的x 的值是〔 〕 A.2B.92C.32D.33.设公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，假设4232()a a a =+，那么74SS =〔 〕A ．74 B ．145C ．7D ．14 p ：(0,+)x ∃∈∞，sin x x =，命题q ：x R ∀∈，1x e >，那么以下为真命题的是〔 〕A.p q ∨B.p q ∧C.()p q ∧⌝D.()p q ⌝∨{1,2,,2016}S =⋅⋅⋅，假设X 是S 的子集，把X 中所有元素之和称为X 的“容量〞，〔规定空集容量为0〕，假设X 的容量为奇〔偶〕数，那么称X 为S 的奇〔偶〕子集，记S 的奇子集个数为m ，偶子集个数为n ，那么m ，n 之间的关系为〔 〕A ．m n =B ．m n >C ．m n <D ．无法确定6.P 为△ABC内部一点，且满足||2||2PB PA ==，56APB π∠=，且2340PA PB PC ++=，那么ABC ∆的面积为〔 〕A.98B.43 C.1 D.657.如下图，直线l 经过抛物线22(0)y px p =>的焦点F ，且与抛 物线交于点P ，Q 两点，由P ，Q 分别作抛物线的切线交于M ，假如||PF a =，||QF b =，那么||MF 的值是( )A. a b +B. 1()2a b + C. ab D. abx ，其余棱长均为1，那么该三棱锥的体积〔 〕A.有最大值无最小值B.有最小值无最大值第二卷〔一共110分〕二．填空题：本大题一一共7小题，多空题每一小题6分，单空题每一小题4分，一共36分.9.双曲线1222=-y x 的渐近线方程是_______，离心率是________．10.设函数1, 1()2, 1x f x x x x ⎧>⎪=⎨⎪--≤⎩， 那么[(2)]f f =_______，不等式1()2f a >的解集是________．11.设(sin cos )sin cos f αααα+=⋅，那么()f x 的定义域为 ，(sin )6f π的值是______.12.不等式组03434x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩所表示的平面区域的面积为_______，假设lg lg()y x a -+的最大值是1，那么正数a 的值是_____.13.如图，在三棱锥D ABC -中，2AB AD ==，1BC =，3AC BD ⋅=-，那么CD = .14.设4()24xxf x =+，记[]m 表示不超过实数m 的最大整数，例如[1.2]1=，[0.5]1-=-，[2]2=，那么函数11[()][(1)]22y f x f x =-+--的值域为 ．15.设x ，,,y z w R ∈，且满足22221x y z w +++=，那么2P xy yz zw =++的最大值是_________．三．解答题 ：本大题一一共5小题，一共74分．解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤．16.〔此题满分是14分〕在△ABC 中，内角A ，B ，C 对的边长分别是a ，b ，c ，cos (cos 3sin )cos 0B A A C +-=．〔1〕求C 的值；〔2〕假设2c =，求2a b +的取值范围．17.〔此题满分是15分〕如图，平面ABCD ⊥平面ABE ，四边形ABCD 是边长为2的正方形，且点B 在平面ACE 上的射影F 恰好落在边CE 上．〔1〕求证：AE ⊥平面BCE ；〔2〕当二面角B AC E --的余弦值为33时，求BAE ∠的大小．创 作人： 历恰面 日 期： 2020年1月1日创 作人： 历恰面 日 期： 2020年1月1日18.〔此题满分是15分〕定义在R 上的二次函数()f x 为偶函数，且满足(1)6f =，(3)2f =.〔1〕求()f x 的解析式；〔2〕假设()f x 在区间[,]a b 上值域为[2,2]a b ，试求所有符合题意的[,]a b .19.〔此题满分是15分〕如下图，椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为2(1,0)F ，点(3,0)H 在椭圆上． 〔1〕求椭圆的方程；〔2〕点M 在圆222x y b +=上，且M 在第一象限，过M 作圆222x y b +=的切线交椭圆于P ，Q 两点，求证：Q PF 2△的周长是定值．20.〔此题满分是15分〕等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足1n n S a =-(*n N ∈).〔1〕求数列{}n a 的通项公式； 〔2〕设11111n n n b a a +=-+-，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：对于任意的*n N ∈， 1224n n T n -<≤.创 作人：历恰面 日 期： 2020年1月1日。