2018届高三年级第一次百校大联考数学试题

2018年第一次全国大联考【新课标Ⅲ卷】理科数学·全解全析123456789101112ABBCACDDCDBC1．A 【解析】(23i)(1i)22i 3i 3(23)(32)i mm m m m +-=-++=++-，依题意，得230,320,m m +=⎧⎨-≠⎩解得23m =-，故选A ．4．C 【解析】依题意，设双曲线C 的方程为22(0)49x y λλ-=≠，将(4,3)代入可得169349λ-==，故双曲线C ：2211227x y -=，则双曲线C 的实轴长为PMN △的面积132S =⨯=，故选C ．5．A 【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，依题意，得33445q a a q +=，故225q q+=，则22520q q -+=，解得122q q ==或（舍去），则112a =，故101091101(12)(1)1221122a q Sq --===---，故选A．6．C 【解析】还原该几何体如图所示，依题意，4PN =，QN PQ ==4PM =，MN =QM =C ．7．D 【解析】运行该程序，12,2,,22S n a A ====，14,2S =继续运行，13,,44n a A ===，38,4S =继续运行，14,,88n a A ===，716,8S =继续运行，15,,1616n a A ===，153216S =，由题意观察各选项，可知选D ．9．C 【解析】方法一：记函数()f x 的最小正周期为T ，依题意，2M =，3(222T ππ=--，故4T =π，故2142ωπ==π，故1()2sin()2f x x ϕ=+，将(,2)2A π-代入1()2sin()2f x x ϕ=+中，得()1(2222k k ϕππ⨯-+=+π∈Z ，则32()4k k ϕπ=+π∈Z ，又0ϕ<<π，故34ϕπ=，即13()2sin()24f x x π=+，当[6,4]x ∈-π-π时，()f x 的最大值为2，最小值为，故所求最值之和为2-，故选C.方法二：记函数()f x 的最小正周期为T ，依题意，2M =，3()222T ππ=--，故4T =π，则求函数()f x 在[6,4]-π-π上的最值之和可以转化为求函数()f x 在[2,4]ππ上的最值之和，根据题图，可知函数()f x 在[2,4]ππ上的最大值为2，最小值在(2,0)-中取得，故函数()f x 在[6,4]-π-π上的最值之和(0,2)∈，观察各选项可知选C.学科*网10．D 【解析】将该三棱锥补形为一长方体，其中底面长为2，宽为1，高为2，由三棱锥四个顶点均为长方体的顶点，可知长方体的外接球即为三棱锥的外接球，设长方体外接球的直径为R 2，则9221)2(2222=++=R ，解得23=R ，即长方体外接球的半径为23，故所求球的体积为3439(322π⨯=π．11．B 【解析】设椭圆方程为λ=+4922x y （0>λ），直线l 的方程为1-=my x ，联立方程消去x 得036918)49(22=-+-+λmy y m ，设),(),,(2211y x B y x A ，则根据根与系数的关系，得4918221+=+m my y ，12293694y y m λ-=+.由点C 在椭圆内，得41>λ，所以120y y <，又OAC △与OBC △的面积之比为1:3，可得213y y -=，则491822221+=-=+m m y y y ，所以49922+-=m my ，则OAB OAC OBC S S S =+△△△49||18||2||21||||21||||21222121+==-=⨯⨯+⨯⨯=m m y y y y OC y OC ||4||918m m +=，又12492||4||9=⨯≥+m m ，所以183122OAB OAC OBC S S S =+≤=△△△，当且仅当||4||9m m =，即23m =±时取等号，故OAB △面积的最大值为23，故选B．13．22680【解析】依题意，2128n=，解得7n =，故7(23)x -的展开式的通项公式为777177C (2)(3)C 2(3)r r r r rr r r T x x ---+=-=-，令73r -=，解得4r =，故3x 的系数为4347C 2(3)=22680-.16．343-【解析】因为131n n a a n --=+，所以1111333n n a a n -=++，考虑构造等比数列，由111111((1)]24324n n a n a n --+=---，得111(124113(1)24n n a n a n --+=---，所以11{()}24n a n -+是一个公比为13的等比数列，将22512a =-代入2133a a -=中，解得1374a =-，故1111(10()243n n a n --+=-⨯，即111110()243n n a n -=+-⨯，又()12111111110(110()243243n n n n a a n n ----=+-⨯---⨯11120(0(2)23n n -=+⨯>≥，1233725230,0,041236=a a a =-<-<=>，所以n S 的最小值为123725344123a a +=--=-.17．（本小题满分12分）【解析】（I ）因为27cos 7cos 7cos B b C c B =+，且3a =，所以9cos 7cos 7cos a B b C c B =+，即9sin cos 7sin cos 7sin cos A B B C C B =+,即()9sin cos 7sin 7sin A B B C A =+=，又sin 0A ≠，所以7cos 9B =，（2分）又22214a c b +-=及余弦定理得cos 7ac B =，则7379c ⨯=，解得3c =；由22214a c b +-=，3a =，3c =，得2b =.（6分）（II ）因为7cos 9B =，所以sin 9B ==.又由余弦定理，得2222222331cos 22233b c a A bc +-+-===⨯⨯，则sin 3A ==，（10分）所以227142102sin()sin cos cos sin 393927A B A B A B -=-=-⨯.（12分）18．（本小题满分12分）【解析】（I ）填写表格如下：空气质量指数3(μg/m )[)0,50[)50,100[)100,150[)150,200[]200,250天数4080502010（3分）故X 的分布列为：X01234P11001401001270100148010012101001（9分）（III ）依题意，任取1天空气质量指数在150以上（含150）的概率为320，由二项分布知识可知，3~(5,)20Y B ，故()335204E Y =⨯=.（12分）19．（本小题满分12分）【解析】（I ）如图，连接PD .因为90MPA ∠=，且MPA ∠是二面角A BC D --的平面角，故平面ABC ⊥平面BCDE .（2分）因为AB AC =，P 为线段BC 的中点，故AP BC ⊥，因为平面ABC 平面BCDE BC =，AP ⊂平面ABC ，故AP ⊥平面BCDE ，因为DE ⊂平面BCDE ，故AP DE ⊥.（4分）因为1,2,3BE BC CD ===，所以DE EP DP ===，故222DE EP DP +=，即DE EP ⊥，因为AP EP P = ，所以DE ⊥平面APE .（6分）由0,0,AD DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m 得30,220,x ty z x z --+=⎧⎨-=⎩令,x t =可得2,y z t ==，故(,2,)t t =m ；（10分）又(0,0,1)=n 为平面ABC 的一个法向量，平面ADE 与平面ABC 所成角的平面角的余弦值为14，所以14=，解得7t =（负值舍去），故7AP =.（12分）20．（本小题满分12分）【解析】（I ）因为曲线962-+-=x x y 与x 轴相切，令0962=-+-=x x y ，得3=x ，所以曲线962-+-=x x y 与x 轴相切于点)0,3(.（1分）设圆C 的标准方程为：222)()(r b y a x =-+-，则依题意，得⎪⎩⎪⎨⎧-==-+-=1)()3(3222a b r b a a ，（2分）解得⎪⎩⎪⎨⎧===223r b a ，（4分）∴所求圆C 的标准方程为：4)2()3(22=-+-y x ．（5分）设),(),,(2211y x N y x M ，则根据根与系数的关系，得221146kk x x ++=+，22119k x x +=.（8分）因为3ON OM =，所以123x x =，所以12322(1)k x k +=+，221212232933[]2(1)1k x x x k k +===++.（10分）解得433±=k ，所以直线l的方程为34y x +=或34y x -=．（12分）21．（本小题满分12分）【解析】（I ）依题意，得22111()(0)px f 'x x x px px -=-=>；（2分）当0p <时，10px -<，此时21()0px f 'x px -=>，故()f x 在(0,)+∞上单调递增；（4分）当0p >时，当1(0,x p ∈时，()0f 'x <，故()f x 在1(0,)p 上单调递减；当1(,)x p∈+∞时，()0f 'x >，故()f x 在1(,)p+∞上单调递增.（6分）（II ）依题意，得e (ln 1)xm x x ≥+-，（8分）令()e (ln 1)xh x x x =+-，下面求函数()h x 的最小值，1()(ln 1)e 1x h'x x x =+-+，令1()ln 1m x x x =+-，结合（I ）中结论可知，()1ln 1m x x x=+-在[]1,e 上单调递增，故()()10m x m ≥=，故1ln 10x x+-≥在[]1,e 上恒成立.（10分）故()1(ln 1)e 110x h'x x x=+-+≥>，故()()e ln 1xh x x x =+-在[]1,e 上单调递增.故min [()](1)1e h x h ==-，故1e m ≥-.综上所述，实数m 的取值范围为[)1e,-+∞.（12分）22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程（II ）设曲线C 上一点)sin ,cos 3(θθP ，则点P 到直线l 的距离11|2sin cos 3|+--=θθd |2cos()2|6θπ+-=，（8分）可知当cos()16θπ+=-时，d 取得最大值，且为22，即直线m 与直线l 之间的最大距离为22．（10分）23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲【解析】（I ）3)1(|42||)42(||42|||2222++=++=++--≥+++-a a a a x a x a x a x ，（2分）由33)1(2≥++a ，得3|42|||2≥+++-a x a x ，即3)(≥x f ．（4分）（II ）当1-=a 时，21,2()|1||2|3,2121,1x x f x x x x x x --<-⎧⎪=-++=-≤≤⎨⎪+>⎩.（7分）作出函数)(x f 的图象及直线5y =如图：可知所围成的图形为梯形，令5)(=x f ，得3-=x 或2，（9分）则所求图形的面积为822)53(=⨯+．（10分）。

江西省新余市两校2018届高三数学第一次联考试题 理一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合21A x x ⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭，{}(2)(1)0B x x x =+->，则A B 等于（ ） A ．(0,2) B ．(1,2) C ．(2,2)- D ．(,2)(0,)-∞-+∞ 2.设:1p x >，:21xq >，则p 是q 成立的（ ） A ．充要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件 D ．既不充分也不必要条件3.若变量,x y 满足约束条件1211x y x y y +≥-⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩，则3z x y =-的最大值为（ ）A ．-7B ．-1C ．1D ．24.函数ln ()x f x e x -=-+的大致图象为（ Ｂ ）5.已知()f x 为奇函数，函数()f x 与()g x 的图象关于直线1y x =+对称，若(3)2f -=-则(1)g =（ ）A ．-2B ．2 C. -1 D ．46.若1cos 86πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则3cos 24πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（ ）A. 1817B.1817-C.1918D.1918- 7．已知等差数列{}n a 的前n 项为n S ，且15914,27a a S +=-=-，则使得n S 取最小值时的n为（ ）A. 1B. 6C. 7D. 6或78. 某几何体的三视图如图所示，其中俯视图下半部分是半径为2的半圆，则该几何体的表面积是（ ）A. B . C. D.9.已知01c <<，10a b >>>，下列不等式成立的是（ ）A ．a b c c >B ．a b a c b c<++ C.c c ba ab >D ．log log a b c c > 10. a ，b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC 的直角边AC 所在直线与a ，b都垂直，斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转，则下列结论中正确的是（ ）①当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成30°角；②当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成60°角；③直线AB 与a 所成角的最小值为45°；④直线AB 与a 所成角的最小值为60°。

数学试题 第1页（共6页） 数学试题 第2页（共6页）绝密★启用前2018年第一次全国大联考【江苏卷】数学Ⅰ（考试时间：120分钟 试卷满分：160分）注意事项：1．本试卷均为非选择题（第1题~第20题，共20题）。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。

3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。

4．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。

5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．） 1．已知集合{|23}S x x =∈-≤≤Z ,2{|40}T x x =∈-<R ,则ST =__________.2．已知复数3(23i)(1i )z =++,其中i 是虚数单位,若z 是z 的共轭复数,则z 的模是__________.3．某学校为调查毕业班学生的学习问题现状,将参加高三上学期期末统考的800名学生随机地编号为：000,001,002,,799,准备从中抽取一个容量为40的样本,按系统抽样的方法把总体分成40组.第1组编号为000,001,,019；第2组编号为020,021,,039；；第40组编号为780,781,,799.若在第1组中随机抽取到的一个号码为012,则在第35组中应抽取的号码为__________.4．在平面直角坐标系xOy 中,若双曲线2221(0)4y x a a-=>的焦距为,则其离心率e =__________. 5．若函数2lg(2)y x x =+-的定义域为A ,则函数1(()2x y x A =∈的值域是__________.6．如图是一个算法的流程图,若输出的y 的值是9,则输入的x 的值为__________.7．已知数列{}n a 的前n 项和为n S 8．从长度分别为3,4,5,6,7的五条线段中任意取出三条,则以这三条线段为边可以构成锐角三角形的概率是__________.9．已知圆锥的高4h =,底面圆的半径3R =,则该圆锥的内切球（与圆锥的底面和各母线均相切的球）的表面积S =__________.10．已知非零向量,a b 的夹角为钝角,且||4=b .若当12t =-时,||t -b a 则向量a 在向量b 方向上的投影是__________.11．在锐角ABC △中,角,,AB C 所对的边分别为,,a b c ,cos cos )2sin b C c B a A +=,4b =,则a 的取值范围是__________.12．已知a 是区间[1,7]上的任意实数,直线1l ：220ax y a ---=与不等式组830x mx y x y ≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩表示的平面区域总有公共点,则直线30(,)l mx y n m n -+=∈R ：的倾斜角α的取值范围为__________.13．已知两实数,x y 满足2225x y +=,若在,x y 之间插入四个实数,使这六个实数构成等差数列,则这个等差数列后三项和的最大值为__________.14．设定义在R 上的偶函数()f x 满足()(2)f x f x =-,且当[1,2]x ∈时,23()f x x x =-.若方程()0f x bx +=有5个不同的实数根,则实数b 的取值范围为__________.二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（本小题满分14分）如图,已知在三棱锥P ABC -中,PB AB =,PB ⊥平面ABC ,AB BC ⊥,且点,,D E F 分别是棱,,PA PC BC 的中点,点,G H 分别是线段,BD BE 的中点.（1）求证：平面FGH平面PAC ；（2）求证：PA ⊥平面BCD .数学试题 第3页（共6页） 数学试题 第4页（共6页）16．（本小题满分14分）已知ABC △的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,向量(,)c a b =+m ,(,)c a b c =-+n ,且3a =,⊥m n . （1）求A 及ABC △面积的最大值； （2）求b c +的取值范围. 17．（本小题满分14分）如图,某单位为处理含有某种有毒物质的污水,要制造一个无盖长方体消毒箱,有毒污水由A 孔流入,经消毒处理后从B孔流出.现有制箱材料60平方米,并设计箱体的底面边长分别为a 米,2米,高度为b 米（,A B 孔的面积忽略不计）.由研究分析知从B 孔流出的水中该有毒物质的质量分数与,a b 的乘积成反比,且比例系数为(0)k k >.（1）问,a b 各为多少米时,经消毒后流出的水中该有毒物质的质量分数最小?（2）出于安全考虑,在消毒箱的正面制作一警示牌,写上“有毒水质,请勿接触”的标语.为了使警示牌更加醒目,其中CD 、DE 、EF 三段用发光材料制作.求发光材料总长度z 的最小值.18．（本小题满分16分）如图,已知点F 为抛物线22(0)C y px p =>：的焦点,过点F 的动直线l 与抛物线C 交于,M N 两点,且当直线l 的倾斜角为45︒时,||16MN =. （1）求抛物线C 的方程；（2）试确定在x 轴上是否存在点P ,使得直线,PM PN 的斜率之和恒为零?若存在,求出P 点的坐标；若不存在,说明理由.19．（本小题满分16分）给定正整数k ,若各项为非零的实数数列{}n a 满足21111k n k n k n n n k n k n a a a a a a a --+-++-+=对任意n *∈N （n k >）恒成立,则称数列{}n a 是“()G k 数列”.（1）若数列{}n a 为等比数列,求证：数列{}n a 是“(3)G 数列”；（2）若正项数列{}n a 既是“(3)G 数列”,又是“(2)G 数列”,求证：数列{}n a 是等比数列. 20．（本小题满分16分）已知函数2()e 2ln f x x x x x =--,2()e x g x ax x =-+（a ∈R ）,其中e 为自然常数. （1）求函数()f x 的图象在点(1,(1))f 处的切线方程；（2）若()()g x f x ≥对任意的0x >恒成立,求实数a 的取值范围.数学试题 第5页（共6页） 数学试题 第6页（共6页）数学Ⅱ（附加题）（考试时间：30分钟 试卷满分：40分）注意事项：1．本试卷均为非选择题（第21题~第23题）。

四省名校（广西南宁二中等）2018届高三上学期第一次大联考数学试题（理）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集为R ，集合112xA x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=≤⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，{}2560B x x x =-+≤，则()A B =R I ð（ ）A ．{}{}03x x ≤U B ．{}23x x ≤≤ C ．{}023x x x ≤<>或D ．{}023x x x <≤≥或2．已知i 是虚数单位，z 是z 的共轭复数，()1i1i 1iz -+=+，则z 的虚部为（ ） A ．12B ．12-C ．1i 2 D ．1i 2-3．如图是今年国庆中秋长假期间某客运站客运量比去年同期增减情况的条形图.根据图中的信息，以下结论中不正确的是（ ）A ．总体上，今年国庆长假期间客运站的客流比去年有所增长B ．10月3日、4日的客流量比去年增长较多C ．10月6日的客运量最小D ．10月7日，同比去年客流量有所下滑 4．()()6222a ba b +-的展开式中44a b 的系数为（ ）A ．320B ．300C ．280D ．2605．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一条渐近线与直线:43100l x y -+=垂直，且双曲线的一个焦点在抛物线240y x =-的准线上，则双曲线的方程为（ ）A ．221916x y -= B ．221169x y -= C ．2216436x y -= D ．2213664x y -= 6．设函数()sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则下列结论错误的是（ ） A ．()f x 的一个周期为2π B ．()f x 的图形关于直线8x π=对称 C ．()f x 的一个零点为8x π=-D ．()f x 在区间0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减 7．执行如图所示的程序框图，若输出的S 值为45，则输入的n 值为（ ）A ．3B ． 4C ．5D ．68．已知正三棱柱（上下底面是等边三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱）的高为2，它的6个顶点都在体积为3π的球的球面上，则该正三棱柱底面三角形边长为（ ）A B C ．3 D ．9．中国人在很早就开始研究数列，中国古代数学著作《九章算术》、《算法统宗》中都有大量古人研究数列的记载.现有数列题目如下：数列{}n a 的前n 项和214n S n =，*n ∈N ，等比数列{}n b 满足112b a a =+，234b a a =+，则3b =（ ） A ．4 B ．5 C ．9 D ．1610．过椭圆()22122:10x y C a b a b+=>>的左顶点且斜率为12的直线l 与圆2222:C x y b +=交于不同的两个点，则椭圆1C 的离心率的取值范围是（ ）A．0,5⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭ B．5⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ C．0,5⎛ ⎝⎭ D．5⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭11．已知定义在区间()0,+∞上的函数()f x 满足()()12120f x f x x x ->-，其中12,x x 是任意两个大于0的不等实数.若对任意()0,x ∈+∞，都有()()2log 3ff x x -=，则函数()()()112g x f x f x '=----的零点所在区间是（ ）A ．()1,2B ．()2,3C ．()3,4D ．()4,512．已知半径为2的扇形AOB 中，120AOB ∠=︒，C 是OB 的中点，P 为弧AB 上任意一点，且OP OA OC λμ=+u u u r u u r u u u r，则λμ+的最大值为（ ）A ．2 B．3 C．3 D．3二、填空题：每题5分，满分20分13．已知O 为坐标原点，点()2,1A -，若点(),M x y 为平面区域10,0,0x y x y y -+≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩上的动点，则2z x y =-+的最大值是 ．14．设12,F F 是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的两个焦点，P 是双曲线上的一点，满足1OP OF =uu u r uuu r，O 是坐标原点，若12F F P ∆的面积为4，则b = ．15．已知函数()()22,0,1,0,x x f x x x ⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩若()()()3f f f a >，则实数a 的取值范围为 ． 16．已知底面边长为2的正三棱锥P ABC -（底面为正三角形，且顶点在底面的射影为正三角形的中心的棱锥叫正三棱锥）的外接球的球心O 满足0OA OB OC ++=u u r u u u r u u u r r，则这个正三棱锥的内切球半径r = ．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2cos cos cos c A a B b A ⋅-⋅=⋅. （1）求角A 的大小；（2）已知a =ABC ∆面积的最大值.18．在某单位的食堂中，食堂每天以10元/斤的价格购进米粉，然后以4.4元/碗的价格出售，每碗内含米粉0.2斤，如果当天卖不完，剩下的米粉以2元/斤的价格卖给养猪场.根据以往统计资料，得到食堂某天米粉需求量的频率分布直方图如图所示，若食堂购进了80斤米粉，以x （斤）（其中50100x ≤≤）表示米粉的需求量，T （元）表示利润. （1）估计该天食堂利润不少于760元的概率；（2）在直方图的需求量分组中，以区间中间值作为该区间的需求量，以需求量落入该区间的频率作为需求量在该区间的概率，求T 的分布列和数学期望.19．直角三角形ABC 中，90C ∠=︒，4AC =，2BC =，E 是AC 的中点，F 是线段AB上一个动点，且()01AF AB λλ=<<uu u r uu u r，如图所示，沿BE 将CEB ∆翻折至DEB ∆，使得平面DEB ⊥平面ABE . （1）当13λ=时，证明：BD ⊥平面DEF ；（2）是否存在λ，使得DF 与平面ADE ？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.20．已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的右焦点为()1,0F ，过F 且与x 轴垂直的弦长为3.（1）求椭圆E 的标准方程；（2）过F 作直线l 与椭圆交于A B 、两点，问在x 轴上是否存在点P ，使P A P B ⋅u u r u u r为定值，若存在，请求出P 点坐标，若不存在，请说明理由.21．已知函数()()1ln 1f x ax a x x =-+-+. （1）若0a =，求()f x 的单调区间；（2）若关于x 的不等式()0f x ≥对一切[)1,x ∈+∞恒成立，求实数a 的取值范围； （3）求证：对*n ∈N ，都有()1111ln 135212n n +++<++L .请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．选修4-4：坐标系与参数方程已知直线1cos ,:2sin x t C y t αα=⎧⎨=+⎩（t 为参数），圆2cos ,:sin x C y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）.（1）当3απ=时，求1C 与2C 的交点坐标； （2）过坐标原点O 作1C 的垂线，垂足为A ，P 为OA 的中点，当α变化时，求P 点的轨迹方程，并指出它是什么曲线.23．选修4-5：不等式选讲已知函数()()210f x x m x m =++->. （1）当1m =时，求不等式()10f x ≤的解集；（2）若不等式()13f x +≥的解集为R ，求实数m 的取值范围.【参考答案】一、选择题1-5:CACBC 6-10:DBACC 11-12：BC 二、填空题13．2 14．2 15．(),4-∞ 16．6三、解答题17．解：（1）∵2cos cos cos c A a B b A ⋅-⋅=⋅. 由正弦定理得2sin cos sin cos sin cos C A A B B A -=. ∴()2sin cos sin sin C A A B C =+=， 在ABC ∆中，sin 0C ≠，∴1cos 2C =. ∵()0,A ∈π，∴3A π=. （2）由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==.又a =2212212bc b c bc =+-≥-.∴12bc ≤， 当且仅当b c =时取等号，∴ABC ∆的面积1sin 2S bc A =≤.即ABC ∆面积的最大值为18．解：（1）一斤米粉的售价是4.4522⨯=元.当5080x ≤≤时，()22108028020640T x x x =-⨯+-=-. 当80100x <≤时，22801080960T =⨯-⨯=.故20640,5080,960,80100.x x T x -≤≤⎧=⎨<≤⎩设利润T 不少于760元为事件A ，利润T 不少于760元时，即20640760x -≥.解得70x ≥，即70100x ≤≤. 由直方图可知，当70100x ≤≤时，()()100.030.0150.020.65P A =⨯++=.（2）当55x =时，2055640460T =⨯-=； 当65x =时，2065640660T =⨯-=； 当75x =时，2075640860T =⨯-=； 当80x >时，2055640460T =⨯-=. 所以T 可能的取值为460，660，860，960.()4600.015100.15P T ==⨯=， ()6600.02100.2P T ==⨯=， ()8600.03100.3P T ==⨯=，()()9600.0150.02100.35P T ==+⨯=.故T 的分布列为()4600.156600.28600.3E T =⨯+⨯+⨯9600.35795+⨯=.19．解：（1）在ABC ∆中，90C ∠=︒，即AC BC ⊥，则BD DE ⊥， 取BF 的中点N ，连接CN 交BE 于M ， 当13λ=时，F 是AN 的中点，而E 是AC 的中点， ∴EF 是ANC ∆的中位线，∴EF CN ∥.在BEF ∆中，N 是BF 的中点，∴M 是BE 的中点. 在Rt BCE ∆中，2EC BC ==， ∴CM BE ⊥，则EF BE ⊥.又平面DBE ⊥平面ABC ，平面DBE I 平面ABC BE =，∴EF ⊥平面DBE . 又BD ⊂平面BDE ，∴EF BD ⊥. 而EF DE E =I ，∴BD ⊥平面DEF .（2）以C 为原点，CA 所在直线为x 轴，CB 所在直线为y 轴，建立如图所示空间直角坐标系.则()0,0,0C ，()4,0,0A ，()0,2,0B ，()2,0,0E ，由（1）知M 是BE 中点，DM BE ⊥，而平面DBE ⊥平面ABC . ∴DM ⊥平面ABC，则(D .假设存在满足题意的λ，则由AF AB λ=u u u r u u u r.可得()44,2,0F λλ-，则(34,21,DF λλ=--uuu r.设平面ADE 的一个法向量为(),,n x y z =r，则0,0,n AE n AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r uu u r r uuu r即20,30,x x y -=⎧⎪⎨-++=⎪⎩令y =0x =，1z =-，即()1n =-r.∴DF 与平面ADE 所成的角的正弦值sin cos ,DF nDF n DF nθ⋅==uuu r ruuu r r uuu r r3==. 解得12λ=（3λ=舍去）. 综上，存在12λ=，使得DF 与平面ADE . 20．解：（1）由题意知222a b c =+，1c =.又当x c =时，2b y a=±.∴223b a ⋅=.则224,3a b ==.∴椭圆E 的标准方程为22143x y +=. （2）假设存在点P 满足条件，设其坐标为(),0t ，设()11,A x y ，()22,B x y ， 当l 斜率存在时，设l 方程为()1y k x =-，联立()221,143y k x x y ⎧=-⎪⇒⎨+=⎪⎩()22224384120k x k x k +-+-=，0∆>恒成立.∴2122843k x x k +=+，212241243k x x k -=+. ∴()11,PA x t y =-uu r ，()22,PB x t y =-uu r. ∴()()1212PA PB x t x t y y ⋅=--+uu r uu r()()()()2121211x t x t k x x =--+--()()()222212121k x x k t x x k t =+-++++()()()()()22222222141284+34+3k k k t k k t k k +--+⋅++=()()2222485312=43t t k t k --+-+.当PA PB ⋅uu r uu r 为定值时，2248531243t t t ---=.∴118t =.此时223121354364t PA PB t -⋅==-=-uu r uu r . 当l 斜率不存在时，11,08P ⎛⎫⎪⎝⎭，31,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，31,2B ⎛⎫- ⎪⎝⎭.33,82PA ⎛⎫=- ⎪⎝⎭uu r ，33,82PB ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭uu r ，13564PA PB ⋅=-uu r uu r . ∴存在满足条件的点P ，其坐标为11,08⎛⎫⎪⎝⎭.此时PA PB ⋅uu r uu r 的值为13564-.21．解：（1）当0a =时，函数()ln 1f x x x =-+， 定义域为()0,+∞，()111xf x x x-'=-=. 令()0f x '>可得01x <<，令()0f x '<可得1x >. 所以()f x 的单调增区间为()0,1，单调减区间为()1,+∞. （2）()1ln 1ax a f x a x x -+'=+-，()()2211ax a a a f x x x x---''=+=. ①当12a ≥时，1111a -<-≤，()2110a x a f x x ⎡⎤⎛⎫-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦''=≥.故()f x '在区间()1,+∞上递增，所以()()10f x f ''≥=，从而()f x 在区间()1,+∞上递增. 所以()()10f x f ≥=对一切[)1,x ∈+∞恒成立.②当102a <<时，111a ->，()211a x a f x x ⎡⎤⎛⎫-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦''=.当11,1x a ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭时，()0f x ''<， 当11,x a ⎛⎫∈-+∞⎪⎝⎭时，()0f x ''>. 所以1x ≥时，()min 11f x f a ⎛⎫''=-⎪⎝⎭. 而()10f '=，故110f a ⎛⎫'-<⎪⎝⎭. 所以当11,1x a ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭时，()0f x '<，()f x 递减，由()10f =，知110f a ⎛⎫-<⎪⎝⎭，此时()0f x ≥对一切[)1,x ∈+∞不恒成立. ③当0a ≤时，()210a a f x x x-''=+<， ()f x '在区间()1,+∞上递减，有()()10f x f ''<=，从而()f x 在区间()1,+∞上递减，有()()10f x f <=. 此时()0f x ≥对一切[)1,x ∈+∞不恒成立. 综上，实数a 的取值范围是1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.（3）由（2）可知，取12a =，当1x >时，有()21ln 1x x x ->+.取1k x k +=，有12ln 21k k k +>+，即()2ln 1ln 21k k k +->+.所以()()()ln 1ln 1ln ln ln 1ln2ln1n n n n n +=+-+--++-L22221213n n >++++-L ， 所以()11111ln 13521212n n n ++++<+-+L . 22．解：（1）当3πα=时，1C的普通方程为2y -=，2C 的普通方程为221x y +=.联立方程组222,1,y x y ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩得1C 与2C的交点为12⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭. （2）1C 的普通方程为sin cos 2cos 0x y ααα-+=.由题意可得A 点坐标为()22cos sin ,2cos ααα-.故当α变化时，P 点轨迹的参数方程为2sin cos ,cos x y ααα=-⎧⎨=⎩（α为参数）. P 点的轨迹方程为221124x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭. 故P 点轨迹是圆心为10,2⎛⎫⎪⎝⎭，半径为12的圆. 23．解：（1）当1m =时，()121f x x x =++-31,1,3,11,31,1,x x x x x x -+<-⎧⎪=-+-≤≤⎨⎪->⎩当1x <-时，由()10f x ≤得3110x -+≤， 解得31x -≤<-；当11x -≤≤时，()10f x ≤成立； 当1x >时，由()10f x ≤得3110x -≤， 解得1113x <≤. 综上，不等式()10f x ≤的解集为1133x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭. （2）由()13f x +≥得123x m x +++≥， 令()12g x x m x =+++31,1,1,10,31,0.x m x m x m m x x m x ---<--⎧⎪=-++--≤≤⎨⎪++>⎩知()()min 0132g x g m m ==+≥⇒≥. ∴实数m 的取值范围为[)2,+∞.。

2018届 高三上学期第一次联考试卷数学（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.1．已知集合A={ x|≥1}，集合B={ x|log 2x ＜1}，则 A ∩B=（ ）A ．（﹣∞，2）B ．（0，1）C ．（0，2）D ．（1，2）2．已知复数z=（i 为虚数单位），则在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知sin α=，则cos （π﹣2α）=（ ）A ．﹣B ．﹣C ．D ．4．已知函数f （x ）=lg ，则f =（ ）A ．0B ．2C ．20D ．40345．若一个正六棱柱（底面是正六边形，侧棱垂直于底面）的正视图如图所示，则其体积等于（ ）A ．B ．C ．2D ．66．设ω＞0，函数的图象向左平移个单位后与原图象重合，则ω的最小值是（ ）A ．B ．C ．D ．37．如图，画一个边长为2的正三角形，再将这个正三角形各边的中点相连得到第二个正三角形，依此类推，一共画了5个正三角形．那么这五个正三角形的面积之和等于（ ）A ．2B ．C ．D ．8．已知a ＜0，则“ax 0=b ”的充要条件是（ ）A ．∃x ∈R ， ax 2﹣bx ≥ax 02﹣bx 0B ．∃x ∈R ， ax 2﹣bx ≤ax 02﹣bx 0C ．∀x ∈R ， ax 2﹣bx ≤ax 02﹣bx 0D ．∀x ∈R ， ax 2﹣bx ≥ax 02﹣bx 09．设F 1，F 2分别为双曲线=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点P ，满足|PF 2|=|F 1F 2|，且F 2到直线PF 1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ．210．已知直线l ：y=k （x ﹣1）与抛物线C ：y 2=4x 相交于A 、B 两点，过AB 分别作直线x=﹣1的垂线，垂足分别是M 、N ．那么以线段MN 为直径的圆与直线l 的位置关系是（ ） A ．相交B ．相切C ．相离D ．以上都有可能11．已知函数f （x ）=x 3+2x ﹣1（x ＜0）与g （x ）=x 3﹣log 2（x+a ）+1的图象上存在关于原点对称的点，则实数a 的取值范围为（ ）A ．（﹣∞，2）B ．（0，）C ．（，2）D ．（0，2）12．函数f （x ）=（x 2﹣3）e x ，当m 在R 上变化时，设关于x 的方程f 2（x ）﹣mf （x ）﹣=0的不同实数解的个数为n ，则n 的所有可能的值为（ ） A ．3 B ．1或3 C ．3或5 D ．1或3或5二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上.13．设M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，，，则= ．14．如果不等式组表示的平面区域内存在点P （x 0，y 0）在函数y=2x +a 的图象上，那么实数a 的取值范围是 ．15．四面体A ﹣BCD 中，AB=AC=DB=DC=2，AD=BC=4，则它的外接球表面积等于 ．16．四边形ABCD 中，∠BAC=90°，BD+CD=2，则它的面积最大值等于 ．三、解答题：本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．已知数列{a n }的前n 项和S n ，满足S n =n 2﹣3n ． （I ）求数列{a n }的通项公式a n ；（II ）设b n =，数列{b n }的前n 项和T n （n ∈N*），当T n ＞时，求n 的最小值．18．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且asinA=（b ﹣c ）sinB+（c﹣b ）sinC ．（1）求角A 的大小；（2）若a=，cosB=，D 为AC 的中点，求BD 的长．19．如图，已知长方形ABCD 中，AB=2，AD=，M 为DC 的中点，将△ADM 沿AM 折起，使得平面ADM ⊥平面ABCM （Ⅰ）求证：AD ⊥BM（Ⅱ）若点E 是线段DB 上的一动点，问点E 在何位置时，二面角E ﹣AM ﹣D 的余弦值为．20．已知椭圆M ： +=1（a ＞b ＞0）的一个焦点为F （﹣1，0），离心率e=左右顶点分别为A 、B ，经过点F 的直线l 与椭圆M 交于C 、D 两点（与A 、B 不重合）． （I ）求椭圆M 的方程；（II ）记△ABC 与△ABD 的面积分别为S 1和S 2，求|S 1﹣S 2|的最大值，并求此时l 的方程．21．设函数f （x ）=e x ﹣x 2﹣x ﹣1，函数f′（x ）为f （x ）的导函数． （I ）求函数f′（x ）的单调区间和极值；（II ）已知函数y=g （x ）的图象与函数y=f （x ）的图象关于原点对称，证明：当x ＞0时，f （x ）＞g （x ）；（Ⅲ）如果x 1≠x 2，且f （x 1）+f （x 2）=0，证明：x 1+x 2＜0．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为ρ=2sinθ．（I）求圆C的直角坐标方程；（II）设圆C与直线l交于点A、B，若点P的坐标为（3，），求|PA|+|PB|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）=|x﹣|+|x+m|（m＞0）（1）证明：f（x）≥4；（2）若f（2）＞5，求m的取值范围．2018届高三上学期第一次联考试卷数学（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.x＜1}，则 A∩B=（）1．已知集合A={ x|≥1}，集合B={ x|log2A．（﹣∞，2） B．（0，1）C．（0，2）D．（1，2）【考点】交集及其运算．【分析】先求出集合A和B，利用交集定义能求出A∩B．【解答】解：∵集合A={ x|≥1}={x|1＜x≤2}，x＜1}={x|0＜x＜2}，集合B={ x|log2∴A∩B={x|1＜x＜2}=（1，2）．故选：D．2．已知复数z=（i为虚数单位），则在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】复数的分子与分母同乘分母的共轭复数，化简为a+bi的形式，即可推出结果．【解答】解： ==，故它所表示复平面内的点是（）．在复平面内对应的点，在第一象限．故选A．3．已知sinα=，则cos（π﹣2α）=（）A．﹣B．﹣C．D．【考点】同角三角函数基本关系的运用．【分析】利用诱导公式、二倍角的余弦公式，求得cos（π﹣2α）的值．【解答】解：sinα=，则cos（π﹣2α）=﹣cos2α=﹣（1﹣2sin2α）=2sin2α﹣1=﹣，故选：B．4．已知函数f （x）=lg，则f =（）A．0 B．2 C．20 D．4034【考点】对数的运算性质．【分析】利用对数的运算性质可得f（﹣x）+f（x）=2，即可得出．【解答】解：f（﹣x）+f（x）=lg+==2，∴f =2．故选：B．5．若一个正六棱柱（底面是正六边形，侧棱垂直于底面）的正视图如图所示，则其体积等于（）A．B．C．2D．6【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由正视图可得，正六边形的边长为，正六棱柱的高为1，即可求出其体积．【解答】解：由正视图可得，正六边形的边长为，正六棱柱的高为1，则体积为=2，故选C．6．设ω＞0，函数的图象向左平移个单位后与原图象重合，则ω的最小值是（）A．B．C．D．3【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】根据图象向左平移个单位后与原图象重合，得到是一个周期，写出周期的表示式，解出不等式，得到ω的最小值．【解答】解：∵图象向左平移个单位后与原图象重合∴是一个周期∴ω≥3 所以最小是3故选D．7．如图，画一个边长为2的正三角形，再将这个正三角形各边的中点相连得到第二个正三角形，依此类推，一共画了5个正三角形．那么这五个正三角形的面积之和等于（）A．2B．C．D．【考点】等比数列的前n项和．【分析】此五个正三角形的边长a形成等比数列：2，1，，，．再利用等比数列的求和n公式即可得出这五个正三角形的面积之和．【解答】解：此五个正三角形的边长a形成等比数列：2，1，，，．n∴这五个正三角形的面积之和=×==．故选：D．8．已知a ＜0，则“ax 0=b”的充要条件是（ ）A ．∃x ∈R ， ax 2﹣bx ≥ax 02﹣bx 0B ．∃x ∈R ， ax 2﹣bx ≤ax 02﹣bx 0C ．∀x ∈R ， ax 2﹣bx ≤ax 02﹣bx 0D ．∀x ∈R ， ax 2﹣bx ≥ax 02﹣bx 0 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】a ＜0，令f （x ）=ax 2﹣bx ，利用导数可得：x=函数f （x ）的极大值点即最大值点，即可判断出结论．【解答】解：a ＜0，令f （x ）=ax 2﹣bx ，则f′（x ）=ax ﹣b ，令f′（x ）=0，解得x=．∴x=函数f （x ）的极大值点即最大值点，∴∀x ∈R ， ax 2﹣bx ≤ax 02﹣bx 0，∴a ＜0，则“ax 0=b”的充要条件是：∀x ∈R ， ax 2﹣bx ≤ax 02﹣bx 0， 故选：C ．9．设F 1，F 2分别为双曲线=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点P ，满足|PF 2|=|F 1F 2|，且F 2到直线PF 1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ．2【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用题设条件和双曲线性质在三角形中寻找等量关系，得出a 与b 之间的等量关系，运用双曲线的a ，b ，c 的关系和离心率公式即可求出双曲线的离心率． 【解答】解：依题意|PF 2|=|F 1F 2|，可知三角形PF 2F 1是一个等腰三角形， F 2在直线PF 1的投影是其中点，且F 2到直线PF 1的距离等于双曲线的实轴长， 由勾股定理可知|PF 1|=4b ，根据双曲定义可知4b ﹣2c=2a ，整理得c=2b ﹣a ， 代入c 2=a 2+b 2整理得3b 2﹣4ab=0，求得=，即b=a ， 则c==a ，即有e==． 故选：A ．10．已知直线l ：y=k （x ﹣1）与抛物线C ：y 2=4x 相交于A 、B 两点，过AB 分别作直线x=﹣1的垂线，垂足分别是M 、N ．那么以线段MN 为直径的圆与直线l 的位置关系是（ ） A ．相交B ．相切C ．相离D ．以上都有可能【考点】抛物线的简单性质．【分析】先由抛物线定义可知AM=AF ，可推断∠1=∠2；又根据AM ∥x 轴，可知∠1=∠3，进而可得∠2=∠3，同理可求得∠4=∠6，最后根据∠MFN=∠3+∠6，则答案可得． 【解答】解：如图，由抛物线定义可知AM=AF ，故∠1=∠2， 又∵AM ∥x 轴，∴∠1=∠3，从而∠2=∠3，同理可证得∠4=∠6， 而∠2+∠3+∠4+∠6=180°，∴∠MFN=∠3+∠6=×180°=90°，∴以线段MN 为直径的圆与直线l 的位置关系是相切， 故选B ．11．已知函数f （x ）=x 3+2x ﹣1（x ＜0）与g （x ）=x 3﹣log 2（x+a ）+1的图象上存在关于原点对称的点，则实数a 的取值范围为（ ）A ．（﹣∞，2）B ．（0，）C ．（，2）D ．（0，2）【考点】函数与方程的综合运用；函数的图象．【分析】设出对称点的坐标，代入两个函数的解析式，转化为方程有解，利用函数图象关系列出不等式求解即可．【解答】解：函数f（x）=x3+2x﹣1（x＜0）与g（x）=x3﹣log2（x+a）+1的图象上存在关于原点对称的点，设函数f（x）=x3+2x﹣1（x＜0）上的一点为（m，n），m＜0，可得n=m3+2m﹣1，则（﹣m，﹣n）在g（x）=x3﹣log2（x+a）+1的图象上，﹣n=﹣m3﹣log2（﹣m+a）+1，可得2m=log2（﹣m+a），即（m＜0）有解，即，t＞0有解．作出y=，与y=log2（t+a），t＞0的图象，如图：只需log2a＜1即可．解得a∈（0，2）．故选：D．12．函数f（x）=（x2﹣3）e x，当m在R上变化时，设关于x的方程f2（x）﹣mf（x）﹣=0的不同实数解的个数为n，则n的所有可能的值为（）A．3 B．1或3 C．3或5 D．1或3或5【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】求f（x）的导数，单调区间和极值，作出f（x）的图象，令t=f（x），则t2﹣mt﹣=0，由判别式和根与系数的关系可得方程有一正一负根，结合图象可得原方程实根的个数．【解答】解：函数f（x）=（x2﹣3）e x的导数为f′（x）=（x+3）（x﹣1）e x，当x＞1或x＜﹣3时，f′（x）＞0，f（x）递增；当﹣3＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）递减．即有f（x）在x=1处取得极小值﹣2e；在x=﹣3处取得极大值6e﹣3，作出f（x）的图象，如图所示；关于x的方程f2（x）﹣mf（x）﹣=0，由判别式为m2+＞0，方程有两个不等实根，令t=f（x），则t2﹣mt﹣=0，t1t2=﹣＜0，则原方程有一正一负实根．当t＞6e﹣3，y=t和y=f（x）有一个交点，当0＜t＜6e﹣3，y=t和y=f（x）有三个交点，当﹣2e＜t＜0时，y=t和y=f（x）有两个交点，当t＜﹣2e时，y=t和y=f（x）没有交点，则x的方程f2（x）﹣mf（x）﹣=0的实根个数为3．故选：A．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上.13．设M是线段BC的中点，点A在直线BC外，，，则= 2 ．【考点】向量在几何中的应用．【分析】根据向量加法的平行四边形形法则和减法的三角形法则，可得以AB、AC为邻边的平行四边形ABDC为矩形，可得AM是Rt△ABC斜边BC上的中线，可得=，结合题中数据即可算出的值．【解答】解：∵∴以AB、AC为邻边作平行四边形，可得对角线AD与BC长度相等因此，四边形ABDC为矩形∵M是线段BC的中点，∴AM是Rt△ABC斜边BC上的中线，可得=∵，得2=16，即=4∴==2故答案为：214．如果不等式组表示的平面区域内存在点P（x0，y）在函数y=2x+a的图象上，那么实数a的取值范围是[﹣3，0] ．【考点】简单线性规划．【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，推出a的范围即可．【解答】解：不等式组表示的可行域如图：平面区域内存在点P（x0，y）在函数y=2x+a的图象上，可得a≤0，指数函数y=2x，向下平移a单位，经过可行域的A时，a可得最小值，由，可得A（2，1），此时1=22+a，解得a=﹣3，实数a的取值范围是：[﹣3，0]故答案为：[﹣3，0]．15．四面体A﹣BCD中，AB=AC=DB=DC=2，AD=BC=4，则它的外接球表面积等于32π．【考点】球的体积和表面积．【分析】如图，取BC、AD中点分别为E、F，连结DE，AE，EF，取EF中点O，AO=DO=OB=OC=2，即可得O为四面体A﹣BCD的外接球，半径R=2，【解答】解：如图，取BC、AD中点分别为E、F，连结DE，AE，EF，∵AB=AC=DB=DC=2，∴AE⊥BC，DE⊥BC，∴AE=DE，∴EF⊥AD，取EF中点O，OF=，∴AO=DO=，同理可得OB=OC=2，故O为四面体A﹣BCD的外接球，半径R=2，则它的外接球表面积等于4πR2=32π，故答案为：32π．16．四边形ABCD中，∠BAC=90°，BD+CD=2，则它的面积最大值等于．【考点】三角形中的几何计算．【分析】由题意，当D 在BC 的正上方时S △DBC 面积最大，A 为BC 的正下方时S △ABC 面积最大，设BC 为2x ，可求DH=，S四边形ABCD=x 2+x ，设x=sin θ，则利用三角函数恒等变换的应用化简可得S 四边形= [1+sin （2θ﹣）]，利用正弦函数的性质即可求得S 四边形的最大值．【解答】解：∵∠BAC=90°，BD+CD=2，∴D 在以BC 为焦点的椭圆上运动，A 在以BC 为直径的圆上运动，∴当D 在BC 的正上方时S △DBC 面积最大，A 为BC 的正下方时S △ABC 面积最大，此时，设BC 为2x ，则DH=，∴S 四边形ABCD =S △BCD +S ABC =x +=x 2+x，设x=sin θ，则=cos θ，∴S 四边形=sin 2θ+sin θcos θ=（2sin 2θ+2sin θcos θ）=（1﹣cos2θ+sin2θ）= [1+sin（2θ﹣）]，∴当sin （2θ﹣）=1时，即θ=时，S 四边形取得最大值，最大值为：．故答案为：．三、解答题：本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．已知数列{a n }的前n 项和S n ，满足S n =n 2﹣3n ． （I ）求数列{a n }的通项公式a n ；（II ）设b n =，数列{b n }的前n 项和T n （n ∈N*），当T n ＞时，求n 的最小值．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（I ）利用公式a n =S n ﹣S n ﹣1得出通项公式，再验证n=1是否成立即可；（2）化简bn，使用裂项法求和，解不等式得出n的范围即可．【解答】解：（I）∵Sn=n2﹣3n．∴当n=1时，S1=12﹣3×1=﹣2，即 a1=﹣2，当n≥2时，Sn﹣1=（n﹣1）2﹣3（n﹣1）=n2﹣5n+4∴an =Sn﹣Sn﹣1=2n﹣4，显然，n=1时，2n﹣4=﹣2=a1也满足上式，∴数列{an }的通项公式an=2n﹣4．（II）bn===﹣，∴Tn=（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）=1﹣=．令＞得 n＞2016，∵n∈N*，故n的最小值为2017．18．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且asinA=（b﹣c）sinB+（c ﹣b）sinC．（1）求角A的大小；（2）若a=，cosB=，D为AC的中点，求BD的长．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（I）由已知，利用正弦定理可得a2=（b﹣c）b+（c﹣b）c，化简可得2bc=（b2+c2﹣a2），再利用余弦定理即可得出cosA，结合A的范围即可得解A的值．（Ⅱ）△ABC中，先由正弦定理求得AC的值，再由余弦定理求得AB的值，△ABD中，由余弦定理求得BD的值．【解答】解：（I）∵，∴由正弦定理可得： a2=（b﹣c）b+（c﹣b）c，即2bc=（b2+c2﹣a2），∴由余弦定理可得：cosA==，∵A∈（0，π），∴A=．（Ⅱ）∵由cosB=，可得sinB=，再由正弦定理可得，即，∴得b=AC=2．∵△ABC中，由余弦定理可得BC2=AB2+AC2﹣2AB•AC•cos∠A，即10=AB2+4﹣2AB•2•，求得AB=32．△ABD中，由余弦定理可得BD2=AB2+AD2﹣2AB•AD•cos∠A=18+1﹣6•=13，∴BD=．19．如图，已知长方形ABCD中，AB=2，AD=，M为DC的中点，将△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM（Ⅰ）求证：AD⊥BM（Ⅱ）若点E是线段DB上的一动点，问点E在何位置时，二面角E﹣AM﹣D的余弦值为．【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（Ⅰ）根据线面垂直的性质证明BM⊥平面ADM即可证明AD⊥BM（Ⅱ）建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法建立二面角的夹角关系，解方程即可．【解答】（1）证明：∵长方形ABCD中，AB=2，AD=，M为DC的中点，∴AM=BM=2，∴BM⊥AM．∵平面ADM⊥平面ABCM，平面ADM∩平面ABCM=AM，BM⊂平面ABCM∴BM⊥平面ADM∵AD⊂平面ADM∴AD⊥BM；（2）建立如图所示的直角坐标系，设，则平面AMD的一个法向量=（0，1，0），=+=（1﹣λ，2λ，1﹣λ），=（﹣2，0，0），设平面AME的一个法向量为=（x，y，z），则，取y=1，得x=0，z=，则=（0，1，），∵cos＜，＞==，∴求得，故E为BD的中点．20．已知椭圆M： +=1（a＞b＞0）的一个焦点为F（﹣1，0），离心率e=左右顶点分别为A、B，经过点F的直线l与椭圆M交于C、D两点（与A、B不重合）．（I）求椭圆M的方程；（II）记△ABC与△ABD的面积分别为S1和S2，求|S1﹣S2|的最大值，并求此时l的方程．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由焦点F坐标可求c值，根据离心率e及a，b，c的平方关系可求得a值；（Ⅱ）当直线l不存在斜率时可得，|S1﹣S2|=0；当直线l斜率存在（显然k≠0）时，设直线方程为y=k（x+1）（k≠0），与椭圆方程联立消y可得x的方程，根据韦达定理可用k表示x1+x2，x 1x2，|S1﹣S2|可转化为关于x1，x2的式子，进而变为关于k的表达式，再用基本不等式即可求得其最大值．【解答】解：（I）设椭圆M的半焦距为c，即c=1，又离心率e=，即=∴a=2，b2=a2﹣c2=3∴椭圆M的方程为（II ）设直线l 的方程为x=my ﹣1，C （x 1，y 2），D （x 2，y 2），联立方程组，消去x 得，（3m 2+4）y 2﹣6my ﹣9=0∴y 1+y 2=，y 1y 2=﹣＜0S 1=S △ABC =|AB|•|y 1|，S 2=S △ABD =|AB|•|y 2|，且y 1，y 2异号∴|S 1﹣S 2|=|AB|•|y 1+y 2|=×4×|y 1+y 2|==∵3|m|+≥4，当且仅当3|m|=，即m=±时，等号成立∴|S 1﹣S 2|的最大值为=此时l 的方程为x ±2y+=021．设函数f （x ）=e x ﹣x 2﹣x ﹣1，函数f′（x ）为f （x ）的导函数． （I ）求函数f′（x ）的单调区间和极值；（II ）已知函数y=g （x ）的图象与函数y=f （x ）的图象关于原点对称，证明：当x ＞0时，f （x ）＞g （x ）；（Ⅲ）如果x 1≠x 2，且f （x 1）+f （x 2）=0，证明：x 1+x 2＜0． 【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间和极值即可； （Ⅱ）令F （x ）=f （x ）﹣g （x ），求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出F （x ）＞F （0），证出结论即可；（Ⅲ）要证x 1+x 2＜0，即证x 1＜﹣x 2，根据函数的单调性只需证﹣f （x 2）=f （x 1）＜f （﹣x 2），即f （x 2）+f （﹣x 2）＞0，结合（Ⅱ）得出结论． 【解答】解：（I ）f′（x ）=e x ﹣x ﹣1，f′′（x ）=e x ﹣1 当x ＜0时，f′′（x ）＜0，当x ＞0时，f′′（x ）＞0∴f′（x ）在（﹣∞，0）上单调递减；在（0，+∞）上单调递增． 当x=0时，f′（0）=0为f′（x ）极小值，无极大值．（II）证明：由题意g （x）=﹣f （﹣x）=﹣e﹣x+x2﹣x+1，令F （x）=f （x）﹣g （x）=f （x）+f （﹣x）=e x+e﹣x﹣x2﹣2（x≥0），F′（x）=e x﹣e﹣x﹣2x，F′′（x）=e x+e﹣x﹣2≥0因此，F′（x）在[0，+∞）上单调递增，从而有F′（x）≥F′（0）=0；因此，F （x）在[0，+∞）上单调递增，当x＞0时，有F （x）＞F （0）=0，即f （x）＞g （x）．（III）证明：由（I）知，f′（x）≥0，即f （x）在R上单调递增，且f （0）=0．因为x1≠x2，不妨设x1＜x2，于是有x1＜0，x2＞0，要证x1+x2＜0，即证x1＜﹣x2．因为f （x）单调递增，f （x1）+f （x2）=0故只需证﹣f （x2）=f （x1）＜f （﹣x2），即f （x2）+f （﹣x2）＞0因为x2＞0，由（II）知上不等式成立，从而x1+x2＜0成立．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为ρ=2sinθ．（I）求圆C的直角坐标方程；（II）设圆C与直线l交于点A、B，若点P的坐标为（3，），求|PA|+|PB|的值．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（I）由圆的极坐标方程ρ=2sinθ，可得ρ2=2ρsinθ，即可求圆C的直角坐标方程；（II）设A、B点所对应的参数分别为t1，t2，把直线l的参数方程代入圆C的方程，利用参数的几何意义，即可求|PA|+|PB|的值．【解答】解：（I）由圆的极坐标方程ρ=2sinθ，可得ρ2=2ρsinθ，∴x 2+y 2=2y ，∴圆C 的直角坐标方程为，x 2+y 2﹣2y=0（II ）设A 、B 点所对应的参数分别为t 1，t 2，把直线l 的参数方程代入圆C 的方程 则t 1，t 2是下面方程的根（3+t ）2+（+t ）2﹣2（+t ）=0整理得，t 2+3t+4=0所以，t 1+t 2=﹣3，t 1t 2=4（t 1，t 2同号）∵直线l 过P （3，）∴根据t 的几何意义可知|PA|=|t 1|，|PB|=|t 2|∴|PA|+|PB|=|t 1|+|t 2|=|t 1+t 2|=3[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f （x ）=|x ﹣|+|x+m|（m ＞0） （1）证明：f （x ）≥4；（2）若f （2）＞5，求m 的取值范围． 【考点】带绝对值的函数．【分析】（1）运用绝对值不等式的性质：绝对值的和不小于差的绝对值，利用基本不等式即可证得结论．（2）若f （2）＞5，即|2﹣|+|2+m|＞5，即有|2﹣|＞3﹣m ，即2﹣＞3﹣m 或2﹣＜m ﹣3．转化为二次不等式，解出即可，注意m ＞0．【解答】（1）证明：∵f （x ）=|x ﹣|+|x+m|≥|（x ﹣）﹣（x+m ）|=|﹣﹣m|=+m （m ＞0）又m ＞0，则+m ≥4，当且仅当m=2取最小值4． ∴f （x ）≥4；（2）解：若f （2）＞5，即|2﹣|+|2+m|＞5，即有|2﹣|＞3﹣m ，即2﹣＞3﹣m或2﹣＜m﹣3．由于m＞0，则m2﹣m﹣4＞0或m2﹣5m+4＞0，解得m＞或m＞4或0＜m＜1．故m的取值范围是（，+∞）∪（0，1）．。

2018年安徽省百校大联考高考数学模拟试卷（理科）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1．已知集合A={y|y=2x﹣1，x∈R}，B={x|x2﹣x﹣2＜0}，则（）A．﹣1∈A B．∉B C．A∩（∁R B）=A D．A∪B=A2．设i是虚数单位，复数（a∈R）在平面内对应的点在直线方程x﹣y+1=0上，则a=（）A．﹣1 B．0 C．1 D．23．下列函数满足“∀x∈R，f（x）+f（﹣x）=0，且f′（x）≤0”的是（）A．f（x）=x2|x|B．f（x）=﹣xe|x|C．f（x）=D．f（x）=x+sinx4．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，公差为d，若﹣=100，则d的值为（）A．B．C．10 D．205．已知双曲线C：﹣=1（b＞0）的离心率为2，则C上任意一点到两条渐近线的距离之积为（）A．B．C．2 D．36．若α∈（0，），且cos2α+cos（+2α）=，则tanα（）A．B．C．D．7．圆柱挖去两个全等的圆锥所得几何体的三视图如图所示，则其表面积为（）A．30πB．48πC．66πD．78π8．在底和高等长度的锐角三角形中有一个内接矩形，矩形的一边在三角形的底边上，如图，在三角形内取一点，则该点落入矩形内的最大概率为（）A．B．C．D．9．执行如图所示程序框图，输出的a=（）A．﹣1 B．C．1 D．210．已知x，y满足约束条件，则z=﹣x+y的最小值为（）A．﹣2B．﹣C．0 D．11．已知函数f（x）=asinx﹣cosx的一条对称轴为x=﹣，且f（x1）•f（x2）=﹣4，则下列结论正确的是（）A．a=±1 B．f（x1+x2）=0C．|x1+x2|的最小值为D．f（x）的最小正周期为2|x1﹣x2|12．已知＜a＜4，函数f（x）=x3﹣3bx2+a有且仅有两个不同的零点x1，x2，则|x1﹣x2|的取值范围是（）A．（，1）B．（1，2）C．（，3）D．（2，3）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13．已知（+y）（x+）5的展开式中的系数为20a，其中a≠0，则a的值为______．14．已知向量在向量=（1，）方向上的投影为2，且|﹣|=，则||=______．15．已知抛物线C：y2=6x的焦点为F，B为C的准线上一点，A为直线BF与C的一个交点，若=3，则点A到原点的距离为______．16．已知△ABC中，AB+AC=6，BC=4，D为BC的中点，则当AD最小时，△ABC的面积为______．三、解答题.17．已知数列{a n}的前n项和为S n，且a1=3，S n+1﹣2S n=1﹣n，n∈N*．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）证明： +++…+＜．18．随着智能手机的发展，微信越来越成为人们交流的一种方式．某机构对使用微信交流的50的4人中赞成使用微信交流的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望参考公式：K2=，其中n=a+b+c+d．如图所示的几何体中，为菱形，ACEF为平行四边形，△BDF为等边三角形，O 为AC与BD的交点．（Ⅰ）求证：BD⊥平面ACEF；（Ⅱ）若∠DAB=60°，AF=FC，求二面角B﹣EC﹣D的正弦值．20．已知点M（x，y）到点F（2，0）的距离与定直线x=的距离之比为，设点M的轨迹为曲线E（Ⅰ）求曲线E的方程；（Ⅱ）设F关于原点的对称点为F′，是否存在经过点F的直线l交曲线E与A、B两点，使得△F′AB的面积为？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．21．设函数f（x）=e x﹣ax2﹣2x﹣1．（1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线为l，且l在y轴上的截距为﹣2，求实数a 的值；（2）若1＜a＜2，证明：存在x0∈（﹣，﹣），使得f′（x0）=0，且f（x0）＜．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点（异于A、B），AD与过点C的切线互相垂直，垂足为D，AD交⊙O于点P，过点B的切线交直线DC于点T．（Ⅰ）证明：BC=PC；（Ⅱ）若∠BTC=120°，AB=4，求DP•DA的值．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（φ为参数），在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2是圆心为（3，），半径为1的圆．（Ⅰ）求曲线C1，C2的直角坐标方程；（Ⅱ）设M为曲线C1上的点，N为曲线C2上的点，求|MN|的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）=|x+2|+|x﹣2|，x∈R．（Ⅰ）求不等式f（x）≤6的解集；（Ⅱ）若关于x的方程f（x）=a|x﹣1|恰有两个不同的实数根，求a的取值范围．2018年安徽省百校大联考高考数学模拟试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分。

福建省百所重点校2018届高三年上学期联合考试高三数学试卷（理科）第Ⅰ卷(共60分)一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设x ∈R ，i 为虚数单位，且11i 1ix +∈+-R ，则x =（ ）A ．—1B ．1C ．—2D ．22．设集合{}27A x x x =<，{}5217B x x =<<，则A B 中整数元素的个数为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．63．已知向量()1,a x =，(),4b x =，则“2x =-”是“a 与b 反向”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马．"马主曰:“我马食半牛．”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗,禾苗主人要求赔偿5斗粟．羊主人说:“我羊所吃的禾苗只有马的一半．”马主人说:“我马所吃的禾苗只有牛的一半．”打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？已知牛、马、羊的主人各应偿还a 升，b 升，c 升，1斗为10升，则下列判断正确的是（ ）A ．,,a b c 依次成公比为2的等比数列，且507a = B ．,,abc 依次成公比为2的等比数列，且507c =C ．,,a b c 依次成公比为12的等比数列，且507a =D ．,,a b c 依次成公比为12的等比数列，且507c =5．若函数()()2e 11xf x a x =--+在()0,1上递减，则a 取值范围是（）A ．()22e 1,++∞B ．)22e1,⎡++∞⎣ C ．()2e1,++∞D ．)2e1,⎡++∞⎣6．某几何的三视图如图所示，其中每个视图中的四个小正方形的边长都相等,若该几何体的体积为122，则该几何体的表面积为（ ）A ．36B ．42C ．48D ．64 7．定义在R 上的奇函数()224sin xx f x a x -=⋅--的一个零点所在区间为（ )A ．(),0a -B ．()0,aC ．(),3aD ．()3,3a +8．设变量,x y 满足约束条件0,10,30,32,x y x x x y +≥⎧⎪-≥⎪⎨-≤⎪⎪+≥⎩,则z x y =-的取值范围为（ ）A ．[]2,6B ．(],10-∞C ．[]2,10D ．(],6-∞ 9．在四棱锥P ABCD -中，已知异面直线PB 与AD 所成的角为60°，给出下面三个命题：1p ：若2AB =，则此四棱锥的侧面积为443+； 2p :若,E F 分别为,PC AD 的中点，则EF ∥平面PAB ;3p ：若,,,,P A B C D 都在球O 的表面上，则球O 的表面积是四边形ABCD 面积的2π倍．在下列命题中,为真命题的是( ） A ．23pp ∧ B ．()12p p ∨⌝ C ．13pp ∧ D ．()23p p ∧⌝10．设()(),0,11,a b ∈+∞,定义运算：log ,,log,,a b b a b a b a a b ≤⎧Θ=⎨>⎩，则（ ）A ．()()()248284482ΘΘ>ΘΘ>ΘΘB ．()()()824482284ΘΘ>ΘΘ>ΘΘC ．()()()482284824ΘΘ>ΘΘ>ΘΘD ．()()()482248284ΘΘ>ΘΘ>ΘΘ11．设nS 为数列{}na 的前项n 和，()112322n n n aa n ---=⋅≥，且1232a a =．记n T 为数列1n n a S ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和，若*n ∀∈N ，n T m <，则m 的最小值为（ )A ．13B ．12C ．23D ．112．当0x ≥时，()e ln 11xx a x x ≥++恒成立,则a 的取值范围为（）A ．(],1-∞B ．(],e -∞C ．1,e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．(],0-∞第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分,将答案填在答题纸上） 13．设向量,a b 满足2a b +=，225a b +=，则a b ⋅=．14．函数()f x =的值域为 ．15．若函数()()sin f x x ωϕ=+0,2πωϕ⎛⎫><⎪⎝⎭的图象相邻的两个对称中心为5,06⎛⎫- ⎪⎝⎭，1,06⎛⎫⎪⎝⎭，将()f x 的图象纵坐标不变，横坐标缩短为原来的12，得到()g x 的图象，则()g x = ．16．如图，在四棱锥E ABCD -中，EC ⊥底面ABCD ,FD EC ∥，底面ABCD 为矩形，G 为线段AB 的中点,CG DG ⊥，2CD =，DF CE =,BE 与底面ABCD 所成角为45°，则四棱锥E ABCD -与三棱锥F CDG -的公共部分的体积为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2cos a c A =51A =．（1）求sin C ； (2）求b c．18．设nS 为数列{}n a 的前项n 和,2nSn =，数列{}n b 满足23b a =，12n n b b +=+．（1)求na 及nb ；（2)记n表示n 的个位数字,如61744=，求数列1n n a b ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⋅⎪⎪⎩⎭的前20项和．19．已知向量()2sin ,1a x =,2cos ,16b x π⎛⎫⎛⎫=+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，函数(),f x a b x =⋅∈R ． （1）若2a =，(),0x π∈-，求x ；（2）求()f x 在0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭上的值域; （3)将()f x 的图象向左平移6π个单位得到()g x 的图象，设()()212h x g x x x =-+-，判断()h x 的图象是否关于直线1x =对称，请说明理由．20．如图，在三棱锥P ACD -中，3AB BD =，PB ⊥底面ACD ，BC AD ⊥，10AC =，5PC =，且2cos 10ACP ∠=． (1）若E 为AC 上一点，且BE AC ⊥，证明：平面PBE ⊥平面PAC ． （2)求二面角A PC D --的余弦值．21．已知函数()33f x x x a =-+的图象与x 轴相切,且切点在x 轴的正半轴上．（1）求曲线()y f x =与y 轴，直线1x =及x 轴围成图形的面积S ;（2）若函数()()g x f x mx =+在()3,a -上的极小值不大于1m -，求m 的取值范围．22．已知函数()ln f x x =，()()()11F x f x f x =+--． （1）当*n ∈N 时,比较()132ni F i =∑与()3112133n +-的大小; （2）设()()()121ee axf xg x x a a -⎛⎫+=-≤- ⎪⎝⎭，若函数()g x 在()0,+∞上的最小值为21e a -，求a 的值．高三数学试卷参考答案(理科）一、选择题1-5:BBCDB 6-10：CCDAB 11、12:AA 二、填空题13．12- 14．[)0,2 15．sin 26x ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭16．29三、解答题17．解:(1)∵2cos a c A =，∴sin 2sin cos A C A =, ∴tan 2sin 0A C =>．∵1A =，∴cos 5A =, ∴1tan 2A =，从而1sin 4C =．(2)∵1sin sin 4C A =<=， ∴C为锐角，cos 4C =，∴()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+14420==，∴sin sin b B cC==．18．解：（1）当2n ≥时，121nn n a S S n -=-=-，由于111a S ==也满足21n a n =-，则21n a n =-．∵235ba ==,12n nb b +-=，∴13b =,∴{}nb 是首项为3，公差为2的等差数列，∴21nb n =+．（2）∵21na n =-，∴{}n a 的前5项依次为1，3，5，7，9．∵21nbn =+，∴{}n b 的前5项依次为3，5，7,9，1．易知，数列{}na 与{nb 的周期均为5， ∴1n n a b ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⋅⎪⎪⎩⎭的前20项和为1111141335577991⎛⎫++++⎪⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭11111111141233557799⎡⎤⎛⎫=⨯⨯-+-+-+-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦1812042999⎛⎫=⨯⨯+=⎪⎝⎭． 19．解：（1）∵24sin a ==，∴21sin4x =,1sin 2x =±． 又(),0x π∈-,∴6x π=-或56π-．（2）()4sin cos 16f x x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭14sin cos sin 122x x x ⎛⎫=-+⎪ ⎪⎝⎭222sin 12x x x =-+=()1cos 212sin 26x x π⎛⎫--+=+ ⎪⎝⎭．∵0,2x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，∴72,666x πππ⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭， ∴1sin 2,162x π⎛⎫⎛⎤+∈- ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，故()f x 在0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭上的值域为(]1,2-． （3）∵()2sin 22cos 262g x f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴()()()2cos 2211h x x x =-+--．∵()()()22cos 2211h x x x -=-+--()()()2cos 2211x x h x =-+--=，∴()h x 的图象关于直线1x =对称．20．（1)证明：由PB ⊥底面ACD ，得PB AC ⊥． 又BE AC ⊥,BEPB B =，故AC ⊥平面PBE ．∵AC ⊂平面PAC ,∴平面PBE ⊥平面PAC ． （2）解:∵2222cos APAC PC AC PC ACP =+-⋅⋅∠1521310=-⨯=，∴AP =22222210,5,13AB BC BC PB AB PB ⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩3,1,2.AB BC PB =⎧⎪⇒=⎨⎪=⎩以B 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系B xyz -， 则()0,3,0A -，()1,0,0C ,()0,0,2P ，()0,1,0D ，()1,0,2PC =-，()1,3,0AC =，()1,1,0CD =-．设()111,,n x y z =是平面PAC 的法向量，则0,0,n PC n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即111120,30,x z x y -=⎧⎨+=⎩令16x=，得()6,2,3n =-设()222,,m x y z =是平面PCD 的法向量，则0,0,m PC m CD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,即222220,0,x z x y -=⎧⎨-+=⎩令22x=，得()2,2,1m =．∴1111cos,3721m n m n m n⋅===⨯, 由图可知，二面角A PC D --为钝角，故二面角A PC D --的余弦值为1121-．21．解:（1）∵()233f x x'=-,∴令()0f x '=得1x =±，由题意可得()120f a =-=,解得2a =． 故()332f x xx =-+，()14201132042S f x dx x x x ⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭⎰1332424=-+=．(2）()332g x xx mx =-++=()332x m x +-+，()233g x x m '=+-，当30m -≥时，()g x 无极值;当30m -<，即3m <时，令()0g x '<得3333m mx ---<<令()0g x '>得33m x -<-33mx ->∴()g x 在33m x -=<,当323m-≥，即9m ≤-，()g x 在()3,2-上无极小值，故当93m -<<时，()g x 在()3,2-上有极小值且极小值为33213m g m m -⎫=+-+≤-⎪⎭， 即3m ≤-． ∵3m <32≥，∴154m ≤-． 又93m -<<，故159,4m ⎛⎤∈-- ⎥⎝⎦．22．解:（1）()()()()()122462ni F i F F F F n ==++++∑()35721ln ln 2113521n n n +⎛⎫=⨯⨯⨯⨯=+ ⎪-⎝⎭, 构造函数()()()313ln 133h x x x x =--≥，()3233x h x x x x -'=-=,当3x ≥时,()0h x '<，∴()h x 在[)3,+∞上单调递减． ∴()()133ln 3903h x h ≤=-+<，故当()*21x n n =+∈N 时，()()313ln 2121103n n ⎡⎤+-+-<⎣⎦，即()()313ln 212113n n ⎡⎤+<+-⎣⎦，即()132ni F i =<∑()3112133n +-． （2）由题可得()1e ln ax g x x ax x -=--，则()111e e ax ax g x ax a x --'=---=()111e ax ax x -⎛⎫+- ⎪⎝⎭，由11e0ax x --=得到1ln xa x-=， 设()1ln x p x x -=，()2ln 2x p x x-'=．当2e x >时，()0p x '>；当20e x <<时，()0p x '<．从而()p x 在()20,e 上递减，在()2,e +∞上递增．∴()()22min1e e p x p ==-． 当21e a ≤-时,1ln x a x -≤,即11e 0ax x--≤学必求其心得，业必贵于专精 （或111e 1eax ax x x x ----=，设()1e 1ax p x x -=-，证明()0p x ≤亦可得到11e 0ax x --≤）． 在10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上,10ax +>,()0g x '≤,()g x 递减； 在1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上，10ax +<，()0g x '≥，()g x 递增． ∴()2min 11e g x g a a ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭2111ln e a a ⎛⎫+--=- ⎪⎝⎭， ∴1ln 1a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,解得1e a =-．。

2018年山西省百校联考中考数学模拟试卷（一）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请选出并在答题卡上将该项涂黑）1．（3分）若等式（﹣5）□5=﹣1成立，则□内的运算符号为（）A．+B．﹣C．×D．÷2．（3分）观察下列图形，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3．（3分）一个不透明的布袋里装有5个红球，2个白球，3个黄球，它们除颜色外其余都相同，从袋中任意摸出1个球，是黄球的概率为（）A．B．C．D．4．（3分）计算（﹣ab2）3的结果是（）A．﹣3ab2B．a3b6 C．﹣a3b5D．﹣a3b65．（3分）由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的俯视图如图所示，其中正方形中的数字表示该位置上的小正方体的个数，那么该几何体的主视图是（）A．B．C．D．6．（3分）太原市出租车的收费标准是：白天起步价8元（即行驶距离不超过3km 都需付8元车费），超过3km以后，每增加1km，加收1.6元（不足1km按1km 计），某人从甲地到乙地经过的路程是xkm，出租车费为16元，那么x的最大值是（）A．11 B．8 C．7 D．57．（3分）《九章算术》是中国古代数学的重要著作，方程术是它的最高成就，其中记载：今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问：牛、羊各直金几何？”译文：“假设有5头牛、2只羊，值金10两；2头牛、5只羊，值金8两．问：每头牛、每只羊各值金多少两？”设每头牛值金x两，每只羊值金y 两，则列方程组错误的是（）A．B．C．D．8．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点C，D，E在⊙O上，若∠AEC=20°，则∠BDC的度数为（）A．100°B．110°C．115° D．120°9．（3分）如图，小岛在港口P的北偏西60°方向，距港口56海里的A处，货船从港口P出发，沿北偏东45°方向匀速驶离港口P，4小时后货船在小岛的正东方向，则货船的航行速度是（）A．7海里/时 B．7海里/时 C．7海里/时 D．28海里/时10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，直线y=k1x+2（k1≠0）与x轴交于点A，与y轴交于点B，与反比例函数y=在第二象限内的图象交于点C，连接OC，=1，tan∠BOC=，则k2的值是（）若S△OBCA．3 B．﹣ C．﹣3 D．﹣6二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）11．（3分）不等式组的解集是．12．（3分）2017年11月7日，山西省人民政府批准发布的《山西省第一次全国地理国情普查公报》显示，山西省国土面积约为156700km2，该数据用科学记数法表示为km2．13．（3分）有5张背面看上去无差别的扑克牌，正面分别写着5，6，7，8，9，洗匀后正面向下放在桌子上，从中随机抽取2张，抽出的卡片上的数字恰好是两个连续整数的概率是．14．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=CB，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF，若∠CAE=32°，则∠ACF的度数为°．15．（3分）如图，在平面直角坐标系中，⊙O的圆心A的坐标为（1，0），半径为1，点P为直线y=x+3上的动点，过点P作⊙A的切线，且点为B，则PB的最小值是．三、解答题（本大题共8小题，共75分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．（10分）（1）计算：（﹣2）2﹣+（+1）2﹣4cos60°；（2）化简：÷（1﹣）17．（6分）计算两个两位数的积，这两个数的十位上的数字相同，个位上的数字之和等于10．53×57=3021，38×32=1216，84×86=7224，71×79=5609．（1）你发现上面每个数的积的规律是：十位数字乘以十位数字加一的积作为结果的千位和百位，两个个位数字相乘的积作为结果的，请写出一个符合上述规律的算式．（2）设其中一个数的十位数字为a，个位数字为b，请用含a，b的算式表示这个规律．18．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣2，4），B（﹣4，1），C（0，1）．（1）画出与△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点C1的坐标；（2）画出以C1为旋转中心，将△A1B1C1逆时针旋转90°后的△A2B2C2；（3）尺规作图：连接A1A2，在C1A2边上求作一点P，使得点P到A1A2的距离等于PC1的长（保留作图痕迹，不写作法）；（4）请直接写出∠C1A1P的度数．19．（8分）某教育局组织了“落实十九大精神，立足岗位见行动”教师演讲比赛，根据各校初赛成绩在小学组、中学组分别选出10名教师参加决赛，这些选手的决赛成绩如图所示：根据上图提供的信息，回答下列问题：（1）请你把下面表格填写完整：（2）考虑平均数与方差，你认为哪个组的团体成绩更好些，并说明理由；（3）若在每组的决赛选手中分别选出3人参加总决赛，你认为哪个组获胜的可能性大些？请说明理由．20．（9分）如图，在▱ABCD中，BD⊥BC，∠BDC=60°，∠DAB和∠DBC的平分线相交于点E，F为AE上一点，EF=EB，G为BD延长线上一点，BG=AB，连接GE．（1）若▱ABCD的面积为9，求AB的长；（2）求证：AF=GE．21．（9分）如图，城市规划部门计划在城市广场的一块长方形空地上修建乙面积为1500m2的停车场，将停车场四周余下的空地修建成同样宽的通道，已知长方形空地的长为60m，宽为40m．（1）求通道的宽度；（2）某公司承揽了修建停车场的工程（不考虑修通道），为了尽量减少施工对城市交通的影响，实施施工时，每天的工作效率比原计划增加了20%，结果提前2天完成任务，求该公司原计划每天修建多少m2？22．（11分）综合与实践美妙的黄金矩形阅读理解在数学上称短边与长边的比是（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形（GoldenRectangle），黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调、匀称的美感．（1）某校团委举办“五•四手抄报比赛”，手抄报规格统一设计成：长是40cm的黄金矩形，则宽约为cm；（精确到0.1cm）操作发现利用一张正方形纸片折叠出一个黄金矩形．第一步，如图1，折叠正方形纸片ABCD，使AB和DC重合，得到折痕EF（点E，F分别在百年AD，BC上），然后把纸片展平．第二步，如图2，折叠正方形纸片ABCD，使得BC落在BE上，点C′和点C对应，得到折痕BG（点G在CD上），再次纸片展平．第三步，如图3，沿过点G的直线折叠正方形纸片ABCD，使点A和点D分别落在AB和CD上，折痕为HG，显然四边形HBCG为矩形．（2）在上述操作中，以AB=2为例，证明矩形HBCG是黄金矩形．（参考计算：=）拓广探索（3）“希望小组”的同学通过探究发现：以黄金矩形的长边为一边，在原黄金矩形外作正方形，得到的新矩形仍然是黄金矩形．如图4，如果四边形ABCD是黄金矩形（AB＞AD），四边形DCEF是正方形，那么四边形ABEF也是黄金矩形，他们的发现正确吗？请说明理由．23．（14分）如图，抛物线y=x2﹣4x﹣5与x轴交于A，B两点（电B在点A的右侧），与y轴交于点C，抛物线的对称轴与x轴交于点D．（1）求A，B，C三点的坐标及抛物线的对称轴．（2）如图1，点E（m，n）为抛物线上一点，且2＜m＜5，过点E作EF∥x轴，交抛物线的对称轴于点F，作EH⊥x轴于点H，求四边形EHDF周长的最大值．（3）如图2，点P为抛物线对称轴上一点，是否存在点P，使以点P，B，C为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．2018年山西省百校联考中考数学模拟试卷（一）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请选出并在答题卡上将该项涂黑）1．（3分）若等式（﹣5）□5=﹣1成立，则□内的运算符号为（）A．+B．﹣C．×D．÷【解答】解：∵（﹣5）÷5=﹣1，∴等式（﹣5）□5=﹣1成立，则□内的运算符号为÷，故选：D．2．（3分）观察下列图形，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故本选项错误；B、是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项错误；C、是轴对称图形，也是中心对称图形．故本选项正确；D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故本选项错误．故选：C．3．（3分）一个不透明的布袋里装有5个红球，2个白球，3个黄球，它们除颜色外其余都相同，从袋中任意摸出1个球，是黄球的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：因为一共10个球，其中3个黄球，所以从袋中任意摸出1个球是黄球的概率是．故选：C．4．（3分）计算（﹣ab2）3的结果是（）A．﹣3ab2B．a3b6 C．﹣a3b5D．﹣a3b6【解答】解：（﹣ab2）3=﹣a3b6，故选：D．5．（3分）由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的俯视图如图所示，其中正方形中的数字表示该位置上的小正方体的个数，那么该几何体的主视图是（）A．B．C．D．【解答】解：如图所示：故选：A．6．（3分）太原市出租车的收费标准是：白天起步价8元（即行驶距离不超过3km 都需付8元车费），超过3km以后，每增加1km，加收1.6元（不足1km按1km 计），某人从甲地到乙地经过的路程是xkm，出租车费为16元，那么x的最大值是（）A．11 B．8 C．7 D．5【解答】解：可设此人从甲地到乙地经过的路程为xkm，根据题意可知：（x﹣3）×1.6+8≤16，解得：x=8．即此人从甲地到乙地经过的路程最多为8km．故选：B．7．（3分）《九章算术》是中国古代数学的重要著作，方程术是它的最高成就，其中记载：今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问：牛、羊各直金几何？”译文：“假设有5头牛、2只羊，值金10两；2头牛、5只羊，值金8两．问：每头牛、每只羊各值金多少两？”设每头牛值金x两，每只羊值金y 两，则列方程组错误的是（）A．B．C．D．【解答】解：设每头牛值金x两，每只羊值金y两，由5头牛、2只羊，值金10两可得：5x+2y=10，由2头牛、5只羊，值金8两可得2x+5y=8，则7头牛、7只羊，值金18两，据此可知7x+7y=18，所以方程组错误，故选：D．8．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点C，D，E在⊙O上，若∠AEC=20°，则∠BDC的度数为（）A．100°B．110°C．115° D．120°【解答】解：如图，连接BE．∵AB是直径，∴∠AEB=90°，∵∠AEC=20°，∴∠BEC=90°﹣20°=70°，∵∠CDB+∠BEC=180°，∴∠BDC=110°，故选：B．9．（3分）如图，小岛在港口P的北偏西60°方向，距港口56海里的A处，货船从港口P出发，沿北偏东45°方向匀速驶离港口P，4小时后货船在小岛的正东方向，则货船的航行速度是（）A．7海里/时 B．7海里/时 C．7海里/时 D．28海里/时【解答】解：设货船的航行速度为x海里/时，4小时后货船在点B处，作PQ⊥AB于点Q．由题意AP=56海里，PB=4x海里，在直角三角形APQ中，∠APQ=60°，所以PQ=28．在直角三角形PQB中，∠BPQ=45°，所以，PQ=PB×cos45°=2x．所以，2x=28，解得：x=7．故选：A．10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，直线y=k1x+2（k1≠0）与x轴交于点A，与y轴交于点B，与反比例函数y=在第二象限内的图象交于点C，连接OC，=1，tan∠BOC=，则k2的值是（）若S△OBCA．3 B．﹣ C．﹣3 D．﹣6【解答】解：如图，作CH⊥y轴于H．由题意B（0，2），∵•OB•CH=1，∴CH=1，∵tan∠BOC==，∴OH=3，∴C（﹣1，3），把点C（﹣1，3）代入y=，得到k2=﹣3，故选：C．二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）11．（3分）不等式组的解集是﹣1＜x≤2．【解答】解：解不等式2﹣x≥0，得：x≤2，解不等式，得：x＞﹣1，则不等式组的解集为﹣1＜x≤2，故答案为：﹣1＜x≤2．12．（3分）2017年11月7日，山西省人民政府批准发布的《山西省第一次全国地理国情普查公报》显示，山西省国土面积约为156700km2，该数据用科学记数法表示为 1.567×105km2．【解答】解：156 700=1.567×105．故答案为：1.567×105．13．（3分）有5张背面看上去无差别的扑克牌，正面分别写着5，6，7，8，9，洗匀后正面向下放在桌子上，从中随机抽取2张，抽出的卡片上的数字恰好是两个连续整数的概率是．【解答】解：列表如下：所有等可能的情况有20种，其中恰好是两个连续整数的情况有8种，则P（恰好是两个连续整数）==，故答案为：14．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=CB，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF，若∠CAE=32°，则∠ACF的度数为58°．【解答】解：∵∠ABC=90°，∴∠ABE=∠CBF=90°，在Rt△CBF和Rt△ABE中，∴Rt△CBF≌Rt△ABE（HL），∴∠FCB=∠EAB，∵AB=BC，∠ABC=90°，∴∠CAB=∠ACB=45°．∵∠BAE=∠CAB﹣∠CAE=45°﹣32°=13°，∴∠BCF=∠BAE=13°，∴∠ACF=∠BCF+∠ACB=45°+13°=58°故答案为：5815．（3分）如图，在平面直角坐标系中，⊙O的圆心A的坐标为（1，0），半径为1，点P为直线y=x+3上的动点，过点P作⊙A的切线，且点为B，则PB的最小值是2．【解答】解：如图，作AP⊥直线y=x+3，垂足为P，作⊙A的切线PB，切点为B，此时切线长PB最小，∵A的坐标为（1，0），设直线与x轴，y轴分别交于D，C，∴D（0，3），C（﹣4，0），∴OD=3，AC=5，∴DC==5，∴AC=DC，在△APC与△DOC中，，∴△APC≌△DOC，∴AP=OD=3，∴PB=．故答案为：2三、解答题（本大题共8小题，共75分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．（10分）（1）计算：（﹣2）2﹣+（+1）2﹣4cos60°；（2）化简：÷（1﹣）【解答】解：（1）原式=4﹣2+2+2+1﹣4×=7﹣2=5；（2）原式=÷=•=．17．（6分）计算两个两位数的积，这两个数的十位上的数字相同，个位上的数字之和等于10．53×57=3021，38×32=1216，84×86=7224，71×79=5609．（1）你发现上面每个数的积的规律是：十位数字乘以十位数字加一的积作为结果的千位和百位，两个个位数字相乘的积作为结果的十位和个位，请写出一个符合上述规律的算式44×46=2024．（2）设其中一个数的十位数字为a，个位数字为b，请用含a，b的算式表示这个规律．【解答】解：（1）由已知等式知，每个数的积的规律是：十位数字乘以十位数字加一的积作为结果的千位和百位，两个个位数字相乘的积作为结果的十位和个位，例如：44×46=2024，故答案为：十位和个位，44×46=2024；（2）（10a+b）（10a+10﹣b）=100a（a+1）+b（10﹣b）．18．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣2，4），B（﹣4，1），C（0，1）．（1）画出与△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点C1的坐标；（2）画出以C1为旋转中心，将△A1B1C1逆时针旋转90°后的△A2B2C2；（3）尺规作图：连接A1A2，在C1A2边上求作一点P，使得点P到A1A2的距离等于PC1的长（保留作图痕迹，不写作法）；（4）请直接写出∠C1A1P的度数．【解答】解：（1）△A1B1C1如图所示，并写出点C1的坐标（（0，﹣1））；（2）△A2B2C2如图所示；（3）点P如图所示；（4）请直接写出∠C1A1P的度数为22.5°；19．（8分）某教育局组织了“落实十九大精神，立足岗位见行动”教师演讲比赛，根据各校初赛成绩在小学组、中学组分别选出10名教师参加决赛，这些选手的决赛成绩如图所示：根据上图提供的信息，回答下列问题：（1）请你把下面表格填写完整：（2）考虑平均数与方差，你认为哪个组的团体成绩更好些，并说明理由；（3）若在每组的决赛选手中分别选出3人参加总决赛，你认为哪个组获胜的可能性大些？请说明理由．【解答】解：（1）完成表格如下：（2）由于平均数一样，而八年级的方差小于七年级的方差，方差越小则其稳定性就越强，所以应该是八年级实力强一些；（3）七年级前三名总分：99+91+89=279（分），八年级前三名总分：97+88+88=273（分），故七年级实力更强些．20．（9分）如图，在▱ABCD中，BD⊥BC，∠BDC=60°，∠DAB和∠DBC的平分线相交于点E，F为AE上一点，EF=EB，G为BD延长线上一点，BG=AB，连接GE．（1）若▱ABCD的面积为9，求AB的长；（2）求证：AF=GE．【解答】（1）解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，∵∠BDC=60°，∴∠ABG=60°，∵BG=AB，∴△ABG为等边三角形，∴AB=AG=BG，∠ABG=∠GAB=∠AGB=60°，∵BD⊥BC，∴∠ADB=∠DBC=90°，∴∠DAB=∠GAB=30°，在Rt△ADB中，BD=AB，AD=AB，∵S=AD•BD=AB2=9，平行四边形ABCD∴AB=6，即AG=6；（2）证明：连接BF，∵AE、BE分别平分∠BAD、∠DBC，∴∠BAE=∠BAD=15°，∠DBE=∠DBC=45°，∴∠ABE+∠BAE+∠AEB=180°，∴∠AEB=60°，∵EF=BE，∴△BFE为等边三角形，∴BE=BF，∠FBE=60°，∴∠ABD=∠FBE=60°，∴∠ABF=∠GBE，在△ABF和△GBE中，，∴△ABF≌△GBE（SAS），∴AF=GE．21．（9分）如图，城市规划部门计划在城市广场的一块长方形空地上修建乙面积为1500m2的停车场，将停车场四周余下的空地修建成同样宽的通道，已知长方形空地的长为60m，宽为40m．（1）求通道的宽度；（2）某公司承揽了修建停车场的工程（不考虑修通道），为了尽量减少施工对城市交通的影响，实施施工时，每天的工作效率比原计划增加了20%，结果提前2天完成任务，求该公司原计划每天修建多少m2？【解答】解：（1）设通道的宽度为x米．由题意（60﹣2x）（40﹣2x）=1500，解得x=5或45（舍弃），答：通道的宽度为5米．（2）设原计划每天修xm2．根据题意，得﹣=2．解得x=125．经检验，x=125是原方程的解，且符合题意．答：原计划每天天修125m222．（11分）综合与实践美妙的黄金矩形阅读理解在数学上称短边与长边的比是（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形（GoldenRectangle），黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调、匀称的美感．（1）某校团委举办“五•四手抄报比赛”，手抄报规格统一设计成：长是40cm的黄金矩形，则宽约为24.7cm；（精确到0.1cm）操作发现利用一张正方形纸片折叠出一个黄金矩形．第一步，如图1，折叠正方形纸片ABCD，使AB和DC重合，得到折痕EF（点E，F分别在百年AD，BC上），然后把纸片展平．第二步，如图2，折叠正方形纸片ABCD，使得BC落在BE上，点C′和点C对应，得到折痕BG（点G在CD上），再次纸片展平．第三步，如图3，沿过点G的直线折叠正方形纸片ABCD，使点A和点D分别落在AB和CD上，折痕为HG，显然四边形HBCG为矩形．（2）在上述操作中，以AB=2为例，证明矩形HBCG是黄金矩形．（参考计算：=）拓广探索（3）“希望小组”的同学通过探究发现：以黄金矩形的长边为一边，在原黄金矩形外作正方形，得到的新矩形仍然是黄金矩形．如图4，如果四边形ABCD是黄金矩形（AB＞AD），四边形DCEF是正方形，那么四边形ABEF也是黄金矩形，他们的发现正确吗？请说明理由．【解答】解：（1）宽约为40×≈40×0.681≈24.7cm．故答案为24.7．（2）如图2中，连接EG，设CG=C′G=x．∵AB=2，AE=ED=1，∴BE=，EC′=﹣2，在Rt△EGD和Rt△EGC′中，12+（2﹣x）2=x2+（﹣2）2，解得x=﹣1，∴=，∴图3中的矩形HBCG是黄金矩形；（3）如图4中，四边形ABEF是黄金矩形这个结论正确；理由：设AB=a，则AD=BC=a，∵四边形DCEF是正方形．∴DC=DF=EF=CE=a，∴AE=BE=a+a=a，∴==，∴矩形ABEF是黄金矩形．23．（14分）如图，抛物线y=x2﹣4x﹣5与x轴交于A，B两点（电B在点A的右侧），与y轴交于点C，抛物线的对称轴与x轴交于点D．（1）求A，B，C三点的坐标及抛物线的对称轴．（2）如图1，点E（m，n）为抛物线上一点，且2＜m＜5，过点E作EF∥x轴，交抛物线的对称轴于点F，作EH⊥x轴于点H，求四边形EHDF周长的最大值．（3）如图2，点P为抛物线对称轴上一点，是否存在点P，使以点P，B，C为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）当x=0时，y=﹣5，∴C（0，﹣5），当y=0时，x2﹣4x﹣5=0，x1=5，x2=﹣1，∴A（﹣1，0），B（5，0），由对称性得：抛物线的对称轴是：x==2；（2）如图1，∵E（m，n），且2＜m＜5，∴E在第四象限，∴EF=m﹣2，EH=n=﹣m2+4m+5，设四边形EHDF周长为W，则W=2（EF+EH）=2（m﹣2﹣m2+4m+5）=﹣2m2+10m+6=﹣2（m﹣）2+，∵﹣2＜0，∴当m=时，四边形EHDF周长的最大值是；（3）设P（2，y），分三种情况：①当∠CBP=90°时，如图2，∴∠PBO=∠OCB，∵∠PDB=∠COB=90°，∴△PDB∽△BOC，∴==1，∴PD=DB，∴y=5﹣2=3，∴P（2，3）；②当∠BCP=90°时，如图3，∵∠OBC=45°，∴△GDB是等腰直角三角形，∴BD=DG=3，∴BG=3，∵BC=5，∴CG=5﹣3=2，∵△PCG∽△BDG，∴=，∴，∴PG=4，∴P（2，﹣7）；③以AB为直径画圆，交对称轴于P1、P2，如图4，则∠CP1B=∠CP2B=90°，过C作CH⊥对称轴于H，∴△P1DB∽△CHP1，∴，∴=，∴y1=﹣6（舍），y2=1，∴P1（2，1），同理得：P2（2，﹣6）；综上所述，点P的坐标为（2，3）或（2，﹣7）或（2，﹣6）或（2，1）．赠送初中数学几何模型【模型二】半角型：图形特征：AB正方形ABCD 中，∠EAF =45° ∠1=12∠BAD 推导说明：1.1在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且∠FAE ＝45°，求证：EF ＝BE +DF45°DEa +b-a45°A1.2在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC、CD 上，且EF ＝BE +DF ，求证：∠FAE ＝45°E-aaBE挖掘图形特征：x-a a-a运用举例：1．正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点,且∠EDF=45°.将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM.（1）求证：EF=FM（2）当AE=1时，求EF的长．DE2.如图，△ABC是边长为3的等边三角形，△BDC是等腰三角形，且∠BDC=120°．以D为顶点3．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠C ＝90°，BC ＝CD ＝2AD ＝4，E 为线段CD 上一点，∠ABE ＝45°.（1）求线段AB 的长；（2）动点P 从B 出发，沿射线．．BE 运动，速度为1单位/秒，设运动时间为t ，则t 为何值时，△ABP 为等腰三角形； （3）求AE －CE 的值.变式及结论：4.在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=∠CEF=45°．（1）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG（如图1），求证：△AEG≌△AEF；（2）若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N（如图2），求证：EF2=ME2+NF2；（3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变（如图3），请你直接写出线段EF，BE，DF之间的数量关系．F。

全国大联考2018届高三第一次联考理科试题 （集合与简易逻辑、函数、导数、三角函数）一、选择题1、集合},sin {},1,log {2R x x y y N x x y y M ∈==>==，则N M ⋂为（ ） A 、]0,1[-B 、)0,(-∞C 、]1,0(D 、]1,0[2、曲线x e y x +=在点（0,1）处的切线方程为（ ）A 、01=-+y xB 、01=+-y xC 、012=-+y xD 、012=+-y x3、若55cos sin ],0,4[=+-∈x x x π，则x 2cos 的值为（ ） A 、53B 、54C 、257D 、2512 4、为了得到函数)32cos(π+=x y 的图像，可将函数x y 2sin =的图像（ ）A 、向左平移65π单位长度 B 、向右平移65π单位长度 C 、向左平移125π单位长度 D 、向左平移125π单位长度5、给出下列三个说法：（1）命题“若,5=+y x 则3,2==y x ”的逆否命题是真命题； （2）0>∃x ，使不等式0223)2(2≤+∙-xx 成立；（3）命题1sin ,:,032,:2>∈∃≥--∈∀x R x q x x R x p ，则q p ⌝∧是假命题；其中说法错误的序号为（ ）A 、（1）B 、（1）（2）C 、（2）（3）D 、（1）（3） 6、若2)2(1e dx x xa e =+⎰（其中是自然对数的底数），则实数a 等于（ ） A 、21B 、1C 、2D 、-1 7、已知3.035.02.3,2.3,8log ===-p n m ，则实数p n m ,,的大小关系（ ） A 、n p m <<B 、p n m <<C 、p m n <<D 、m p n <<8、若βαtan ,tan 是方程0532=--x x 的两根，则)(2tan βα+的值为（ ）A 、2524-B 、724C 、54D 、34 9、已知函数⎩⎨⎧>-+≤-=0,0,)(x m x e x m x x f x在实数R 上有零点，则实数m 的取值范围（ ） A 、)1,0[B 、)2,(-∞C 、),2()1,(+∞⋃-∞D 、),1(]0,(+∞⋃-∞ 10、已知函数,0,0)(sin()(πϕωϕω<>>+=A x A x f ')(x f 的解析式为（ ）A 、)62cos()(π-=x x fB 、)62sin()(π+=x x fC 、)62cos(21)(π+=x x f D 、)62sin(21)(π-=x x f11、设函数)('x f 是奇函数))((R x x f ∈的导函数，0)1(=-f 当0>x 时，0)()('<-x f x xf ，则使得0)(>x f 成立的x 取值范围是（ ）A 、)1,0()1,(⋃--∞B 、),1()0,1(+∞⋃-C 、)0,1()1,(-⋃--∞D 、),1()1,0(+∞⋃ 12、已知曲线x x x f 2cos 32sin )(+=关于点)0,(0x 成中心对称，若]2,0[0π∈x ，则0x （ ）A 、12πB 、6πC 、3πD 、125π 二、填空题 13、已知51)5cos(=-πα，则=+)103sin(πα_____________14、已知,2tan =α则αααcos sin sin 2-的值是____________15、函数)5)(9()(22++-=bx ax x x f ，若函数)1(+=x f y 是偶函数，则=+b a ____________16、若曲线2'2)1(ln )2()(x x f x f x f +-=在点))21(,21(f 处的切线为l ，则切线l 的斜率为_____________三、解答题17、（本小题10分）已知集合}51{≤<=x x A ，集合}0652{≥--=x x x B （1）求B A ⋂（2）若集合}34{-≤≤=a x a x C ，且A A C =⋃，求实数a 的取值范围。

江苏省百校2018年高三年级大联考一模数 学 试 题注意事项：1．本试卷满分160分，考试时间120分钟。

2．答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、学号、准考证号写在答题纸的密封线内，试题的答案写在答题纸上对应题目的答案空格内，考试结束后，将答题纸交回。

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题纸相应的位．．．．．．．置上．．。

1．已知全集{1,2,3,4},{2,3},{3,4},()U U P Q C P Q ===集合则= 。

2．若复数是纯虚数，则a = 。

3．直线12:210:1l x my l y x +-==+与直线垂直的充要条件是m= 。

4．一个社会调查机构就该地区居民的月收入情况走访调查了10 000人，并根据所得数据画出 样本的频率分布直方图（如图所示）。

为了 分析居民的收入与年龄、学历、职业等因素 的关系，决定再从这10 000人中用分层抽样 的方法抽取100人作进一步调查，则在[3500,4000)（元/月）这一收入段应抽取 人。

5．某人有甲、乙两只U 盘，现存储两个不同的文档，则此人使用同一U 盘存储这两个文档的概率是 。

6．已知1cos 211,tan(),tan(2)sin cos 3ααβαβαα-=-=-则= 。

7．按如图所示的流程图运算，若输入1x =，则输出的k= 。

8．已知αβ和是两个不同的平面，m n 和是两条不同的直线，给出下列命题： ①若//,//,//m n m n αα则 ②若,,//m n m n αα⊥⊥则③若//,,//m n m n ααβ=则； ④若,//,,m m n n αβαβ⊥⊂⊥则其中，真命题．．．的序号是 。

（写出所有真命题的序号） 9．若实数222210,2,21,x y x y y x y x x y ⎧+--+≤-⎨-≤≤⎩满足则的最小值是 。

10．如图，在△ABC 中，11,,34AM AN AB AC ==BN 与CM 交于点P ，且 AB a =，,(,),AC b AP xa yb x y ==+∈∈R R 若则x y += 。

全国大联考(湖南专用)2 018届高三第一次联考·数学试卷（理科） 编审：江西金太阳教育研究所数学研究室考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．共150分，考试时间120分钟. 2．答题前，考生务必将密封线内的项目填写清楚.3．请将第Ⅰ卷答案填在第Ⅱ卷前的答题卡上，第Ⅱ卷用蓝黑钢笔或圆珠笔答题.4．本试卷主要考试内容：① 排列、组合、二项式定理和概率占20％；② 选修Ⅱ统计、极限、数学归纳法、导数和复数占80％.第Ⅰ卷 (选择题共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的.1．若z 1=2+i ，z 2=1－i ，则z = z 1z 2在复平面上对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．设m ，n 都是不大于6的自然数，则方程1y x 2n62m6C C =-可表示的双曲线个数是 A ．16 B ．15 C ．12 D ．63．利用数学归纳法证明(n+1)(n +2)…(n+n)=2n ·1·3·…· (2n －1)时，由k 到k+1左边应 添加的因式是A ．2k+1B ．1k 1k 2++ C ．2(2k+1) D ．1k 3k 2++ 4．在100件每品中，有60件正品，40件次品，从中有放回地抽取3次，每次抽取1件，那么恰有2次抽到正品的概率是A ． 0.184B ． 0.144C ．0.236D ． 0.432 5．曲线y=2x 4上的点到直线y=－x －1的距离的最小值为A ．2B ．22 C ． 32D ．2165 6．已知2b ax 1x 1x 2lim 2x =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++∞→，则b 的值为 A ．0 B ．4 C ．－4 D ．不确定7．1_次试验成功的概率为p ，进行10次独立重复试验，则成功次数的方差的最大值为A ．10B ．5．C ．25 D ．45 8．用0，1，2，3四个数字组成没有重复数字的自然数，把这些自然数从小到大排成一个数列，则1230是这个数列的A ．第31项B ．第33项C ．第34项D ．第35项9．若函数()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-->-+---=2x 2x 8x 2x 4x 8x 2x 1x f 322，则()x f lim 2x →的值是A ．45B ．12C ．4D ．不存在10．路灯距离地面8 m ，一个身高为1.6 m 的人以84 m ／min 的速率从路灯在地面上的射影点C ，沿某直线离开路灯，那么人影长度的变化速率v 为A ．7 m ／sB ．7m ／sC ．7m ／sD ．7m ／s第Ⅱ卷 (非选择题 共100分)二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.把答案填在题中的横线上11．若n3x 1x ⎪⎭⎫ ⎝⎛- (n ∈N)的展开式中第3项为常数项，则展开式中二项式系数最大的是第_____________项.12．已知无穷等比递减数列的首项为2，公比为负数，各项和为S ，则S 的取值范围为______________。