2019届高三第一次全国大联考(全国Ⅰ卷)-理科数学

绝密★启用前六大注意1 考生需自己粘贴答题卡的条形码考生需在监考老师的指导下，自己贴本人的试卷条形码。

粘贴前，注意核对一下条形码上的姓名、考生号、考场号和座位号是否有误，如果有误，立即举手报告。

如果无误，请将条形码粘贴在答题卡的对应位置。

万一粘贴不理想，也不要撕下来重贴。

只要条形码信息无误，正确填写了本人的考生号、考场号及座位号，评卷分数不受影响。

2 拿到试卷后先检查有无缺张、漏印等拿到试卷后先检查试卷有无缺张、漏印、破损或字迹不清等情况，尽管这种可能性非常小。

如果有，及时举手报告；如无异常情况，请用签字笔在试卷的相应位置写上姓名、考生号、考场号、座位号。

写好后，放下笔，等开考信号发出后再答题，如提前抢答，将按违纪处理。

3 注意保持答题卡的平整填涂答题卡时，要注意保持答题卡的平整，不要折叠、弄脏或撕破，以免影响机器评阅。

若在考试时无意中污损答题卡确需换卡的，及时报告监考老师用备用卡解决，但耽误时间由本人负责。

不管是哪种情况需启用新答题卡，新答题卡都不再粘贴条形码，但要在新答题卡上填涂姓名、考生号、考场号和座位号。

4 不能提前交卷离场按照规定，在考试结束前，不允许考生交卷离场。

如考生确因患病等原因无法坚持到考试结束，由监考老师报告主考，由主考根据情况按有关规定处理。

5 不要把文具带出考场考试结束，停止答题，把试卷整理好。

然后将答题卡放在最上面，接着是试卷、草稿纸。

不得把答题卡、试卷、草稿纸带出考场，试卷全部收齐后才能离场。

请把文具整理好，放在座次标签旁以便后面考试使用，不得把文具带走。

6 外语听力有试听环外语考试14:40入场完毕，听力采用CD 播放。

14：50开始听力试听，试听结束时，会有“试听到此结束”的提示。

听力部分考试结束时，将会有“听力部分到此结束”的提示。

听力部分结束后，考生可以开始做其他部分试题。

2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷共4页，23小题，满分150分，考试用时120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡的相应位置上。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。

答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合{}}242{60M x x N x x x =-<<=--<，，则M N ⋂=A. }{43x x -<<B. }{42x x -<<-C. }{22x x -<<D. }{23x x <<【答案】C 【解析】 【分析】本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养．采取数轴法，利用数形结合的思想解题． 【详解】由题意得，{}{}42,23M x x N x x =-<<=-<<，则{}22M N x x ⋂=-<<．故选C ．【点睛】不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分．2.设复数z 满足=1i z -，z 在复平面内对应的点为(x ，y )，则 A. 22+11()x y += B. 22(1)1x y -+=C. 22(1)1x y +-=D. 22(+1)1y x +=【答案】C【解析】 【分析】本题考点为复数的运算，为基础题目，难度偏易．此题可采用几何法，根据点（x ，y ）和点(0，1)之间的距离为1，可选正确答案C ．【详解】,(1),z x yi z i x y i =+-==+-1,z i -=则22(1)1x y +-=．故选C ．【点睛】本题考查复数的几何意义和模的运算，渗透了直观想象和数学运算素养．采取公式法或几何法，利用方程思想解题．3.已知0.20.32log 0.2,2,0.2a b c ===，则A. a b c <<B. a c b <<C. c a b <<D. b c a <<【答案】B 【解析】 【分析】运用中间量0比较,a c ，运用中间量1比较,b c 【详解】22log 0.2log 10,a =<=0.20221,b =>=0.3000.20.21,<<=则01,c a c b <<<<．故选B ．【点睛】本题考查指数和对数大小的比较，渗透了直观想象和数学运算素养．采取中间变量法，利用转化与化归思想解题．4.古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是12-（12≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是12．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm ，头顶至脖子下端的长度为26 cm ，则其身高可能是A. 165 cmB. 175 cmC. 185 cmD. 190cm【答案】B 【解析】 【分析】理解黄金分割比例的含义，应用比例式列方程求解．【详解】设人体脖子下端至腿根的长为x cm ，肚脐至腿根的长为y cm，则262611052x x y +==+，得42.07, 5.15x cm y cm ≈≈．又其腿长为105cm ，头顶至脖子下端的长度为26cm ，所以其身高约为42．07+5．15+105+26=178．22，接近175cm ．故选B ．【点睛】本题考查类比归纳与合情推理，渗透了逻辑推理和数学运算素养．采取类比法，利用转化思想解题．5.函数f (x )=2sin cos x xx x++在[—π，π]的图像大致为A.B.C.D.【答案】D 【解析】 【分析】先判断函数的奇偶性，得()f x 是奇函数，排除A ，再注意到选项的区别，利用特殊值得正确答案． 【详解】由22sin()()sin ()()cos()()cos x x x xf x f x x x x x-+----===--+-+，得()f x 是奇函数，其图象关于原点对称．又221422()1,2()2f πππππ++==>2()01f πππ=>-+．故选D ． 【点睛】本题考查函数的性质与图象，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养．采取性质法或赋值法，利用数形结合思想解题．6.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是A.516B.1132C.2132D.1116【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查利用两个计数原理与排列组合计算古典概型问题，渗透了传统文化、数学计算等数学素养，“重卦”中每一爻有两种情况，基本事件计算是住店问题，该重卦恰有3个阳爻是相同元素的排列问题，利用直接法即可计算．【详解】由题知，每一爻有2中情况，一重卦的6爻有62情况，其中6爻中恰有3个阳爻情况有36C ，所以该重卦恰有3个阳爻的概率为3662C =516，故选A ．【点睛】对利用排列组合计算古典概型问题，首先要分析元素是否可重复，其次要分析是排列问题还是组合问题．本题是重复元素的排列问题，所以基本事件的计算是“住店”问题，满足条件事件的计算是相同元素的排列问题即为组合问题．7.已知非零向量a ，b 满足a =2b ，且（a –b ）⊥b ，则a 与b 的夹角为A.π6B.π3C.2π3D.5π6【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查利用平面向量数量积数量积计算向量长度、夹角与垂直问题，渗透了转化与化归、数学计算等数学素养．先由()a b b -⊥得出向量,a b 的数量积与其模的关系，再利用向量夹角公式即可计算出向量夹角．【详解】因为()a b b -⊥，所以2()a b b a b b -⋅=⋅-=0，所以2a b b ⋅=，所以cos θ=22||12||2a b b a b b ⋅==⋅，所以a 与b 的夹角为3π，故选B ．【点睛】对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为[0,]π．8.如图是求112122++的程序框图，图中空白框中应填入A. A =12A+ B. A =12A+C. A =112A+D. A =112A+【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查算法中的程序框图，渗透阅读、分析与解决问题等素养，认真分析式子结构特征与程序框图结构，即可找出作出选择．【详解】执行第1次，1,122A k ==≤是，因为第一次应该计算1122+=12A +，1k k =+=2，循环，执行第2次，22k =≤，是，因为第二次应该计算112122++=12A +，1k k =+=3，循环，执行第3次，22k =≤，否，输出，故循环体为12A A=+，故选A ．【点睛】秒杀速解 认真观察计算式子的结构特点，可知循环体为12A A=+．9.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知4505S a ==，，则A. 25n a n =-B. 310n a n =-C. 228n S n n =-D. 2122n S n n =- 【答案】A 【解析】 【分析】等差数列通项公式与前n 项和公式．本题还可用排除，对B ，55a =，44(72)1002S -+==-≠，排除B ，对C，245540,25850105S a S S ==-=⨯-⨯-=≠，排除C．对D，2455410,4240052S a S S ==-=⨯-⨯-=≠，排除D ，故选A ．【详解】由题知，41514430245d S a a a d ⎧=+⨯⨯=⎪⎨⎪=+=⎩，解得132a d =-⎧⎨=⎩，∴25n a n =-，故选A ． 【点睛】本题主要考查等差数列通项公式与前n 项和公式，渗透方程思想与数学计算等素养．利用等差数列通项公式与前n 项公式即可列出关于首项与公差的方程，解出首项与公差，在适当计算即可做了判断．10.已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点.若222AF F B =││││，1AB BF =││││，则C 的方程为A. 2212x y +=B. 22132x y +=C. 22143x y +=D. 22154x y +=【答案】B 【解析】 【分析】可以运用下面方法求解：如图，由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在12AF F △和12BF F △中，由余弦定理得2221222144222cos 4,422cos 9n n AF F n n n BF F n⎧+-⋅⋅⋅∠=⎨+-⋅⋅⋅∠=⎩，又2121,AF F BF F ∠∠互补，2121cos cos 0AF F BF F ∴∠+∠=，两式消去2121cos cos AF F BF F ∠∠,，得223611n n +=，解得n =22224,312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ． 【详解】如图，由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在1A F B △中，由余弦定理推论得22214991cos 2233n n n F AB n n +-∠==⋅⋅．在12AF F △中，由余弦定理得2214422243n n n n +-⋅⋅⋅=，解得n =22224,,312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ．【点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好的落实了直观想象、逻辑推理等数学素养．11.关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论：①f (x )是偶函数 ②f (x )在区间（2π,π）单调递增 ③f (x )在[,]ππ-有4个零点 ④f (x )的最大值为2 其中所有正确结论的编号是 A. ①②④ B. ②④C. ①④D. ①③【答案】C 【解析】 【分析】画出函数()sin sin f x x x =+的图象，由图象可得①④正确，故选C ．【详解】()()()()sin sin sin sin ,f x x x x x f x f x -=-+-=+=∴为偶函数，故①正确．当2x ππ<<时，()2sin f x x =，它在区间,2π⎛⎫π⎪⎝⎭单调递减，故②错误．当0x π≤≤时，()2sin f x x =，它有两个零点：0,π；当0x π-≤<时，()()sin sin 2sin f x x x x =--=-，它有一个零点：π-，故()f x 在[],-ππ有3个零点：0-π,,π，故③错误．当[]()2,2x k k k *∈ππ+π∈N时，()2sin f x x =；当[]()2,22x k k k *∈π+ππ+π∈N 时，()sin sin 0f x x x =-=，又()f x 为偶函数，()f x ∴的最大值为2，故④正确．综上所述，①④ 正确，故选C ．【点睛】化简函数()sin sin f x x x =+，研究它的性质从而得出正确答案．12.已知三棱锥P -ABC 的四个顶点在球O 的球面上，P A =PB =PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E ，F 分别是P A ，PB 的中点，∠CEF =90°，则球O 的体积为A. B.C.D.【答案】D 【解析】 【分析】本题也可用解三角形方法，达到求出棱长的目的．适合空间想象能力略差学生．设2PA PB PC x ===，,E F 分别为,PA AB 中点，//EF PB ∴，且12EF PB x ==，ABC ∆为边长为2等边三角形，CF ∴=又90CEF ∠=︒1,2CE AE PA x ∴===AEC ∆中余弦定理()2243cos 22x x EAC x+--∠=⨯⨯，作PD AC ⊥于D ，PA PC =，D Q 为AC 中点，1cos 2AD EAC PA x ∠==，2243142x x x x+-+∴=，22121222x x x ∴+=∴==，PA PB PC ∴===，又===2AB BC AC ，,,PA PB PC ∴两两垂直，2R ∴==R ∴=，34433V R ∴=π==，故选D . 【详解】,PA PB PC ABC ==∆为边长为2的等边三角形，P ABC ∴-为正三棱锥，PB AC ∴⊥，又E ，F 分别PA 、AB 中点，//EF PB ∴，EF AC ∴⊥，又EF CE ⊥，,CEAC C EF =∴⊥平面PAC ，PB ⊥平面PAC ，PAB PA PB PC ∴∠=90︒,∴===，P ABC ∴-为正方体一部分，2R ==344,2338R V R =∴=π=⨯=π，故选D ．【点睛】本题考查学生空间想象能力，补型法解决外接球问题．可通过线面垂直定理，得到三棱两两互相垂直关系，快速得到侧棱长，进而补型成正方体解决．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2019 年普通高等学校招生全国统一考试（全国I 卷）理科数学一、选择题（本大题共12 小题，共60 分）1. 已知集合M { x | 4 x 2} ，N { x | x2 x 6 0} ，则M N （）A. { x | 4 x 3}B. { x | 4 x 2}C. { x | 2 x 2}D. { x |2x 3}2. 设复数z 满足z i 1，z 在复平面内对应的点为(x, y) ，则（）A. 2 2(x 1) y 1B. 2 2(x 1) y 1C. 2 ( 1)2 1x yD. 2 ( 1)2 1x y3. 已知a log 2 0.2 ，0.2b 2 ，0.3c 0.2 ，则（）A. a b cB. a c bC. c a bD. b c a5 1 4. 古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是25 1（0.6182称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此. 此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是5. 若某人满足上述两个黄金分割比12例，且腿长为105cm ，头顶至脖子下端的长度为26cm ，则其身高可能是（）1A. 165cmB. 175cmC.185cmD.190cm5.函数f (x)sin x x2cosx x在[ , ] 的图像大致为（）A.B.C.D.26.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化. 每一“重卦”由从下到上排列的 6 个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，下图就是一重卦. 在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是（）A.5 16B. 1132C. 21 32D. 11 167.已知非零向量a,b满足 a 2 b ，且(a b) b ，则a 与b 的夹角为（）A.6B.32C.3D. 5618.右图是求2+12+ 12的程序框图，图中空白框中应填入（）1 A A.2AB. A 2 1 A3C. A 11 2AD. A11 2A9.记S n 为等差数列a n 的前n 项和.已知S4 0 ，a5 5 ，则（）A.a n 2n 5B. a n 3n 10C. 2 211S 2n 8n D.S n 2nn n210.已知椭圆 C 的焦点为( 1,0)F ，F2 (1,0 )，过F2 的直线与 C 交于A ，B 两点. 若1| AF2 | 2|F2B |，| AB | | BF1 |，则C 的方程为（）2x2A. 1y22 y2xB. 13 22 y 2xC. 14 32 y 2xD. 15 411.关于函数f ( x) sin x sin x 有下述四个结论：①f (x) 是偶函数② f (x) 在区间( , )2单调递增③f (x) 在, 有4 个零点④ f (x) 的最大值为2其中所有正确结论的编号是（）A.①②④B.②④C.①④D.①③12.已知三棱锥P ABC的四个顶点在球O的球面上，PA PB PC，ABC 是边长为2的正三角形，E, F分别是PA，AB 的中点，CEF 90 ，则球O的体积为（）A. 8 6B. 4 6C. 2 64D. 6二、填空题（本大题共 4 小题，共 20 分）13. 曲线2xy 3(x x)e 在点 (0,0) 处的切线方程为.1 14. 记 S n 为等比数列a n 的前 n 项和，若 1a，32aa ，则 S 5.4615. 甲乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该对获胜，决赛结 束）根据前期的比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为 0.5，且各场比赛相互独立，则甲队以4:1获胜的概率是.16. 已知双曲线 C: 22xy 221(a 0,b 0)ab的左、右焦点分别为 F 1, F 2 ，过 F 1 的直线与 C 的两条渐近线分别交于A,B两点 . 若 u u ruu u u r uuru u u u r F 1 A AB, F 1B F 2 B 0，则C 的离心率为 .三、解答题（本大题共 5 小题，共 60 分）17.ABC 的内角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c . 设22sin B sinC sin A sin B sinC .（1）求 A ；（2）若 2a b 2c ，求 sin C . 18. 如图，直四棱柱 ABCDA 1B 1C 1D 1 的底面是菱形， AA 1 4, AB 2, BAD 60 ，E,M ,N 分别是 BC, BB 1, A 1D 的中点 .（1）证明： MN / / 平面 C 1 DE ； （2）求二面角 A MA 1N 的正弦值 .219. 已知抛物线 C : y3x 的交点为 P .的焦点为 F ，斜率为3 2的直线 l 与 C 的交点为 A ， B ，与 x 轴 （1）若 | AF | | BF | 4 ，求 l 的方程； （2）若 AP3PB ，求 | AB |.520.已知函数 f (x) sin x ln(1 x), f (x)为 f (x) 的导函数. 证明：(1) f (x)在区间( 1, )2存在唯一极大值点；(2) f (x) 有且仅有2个零点.21．为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物实验．实验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比实验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮实验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多 4 只时，就停止实验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮实验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得 1 分，乙药得1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得 1 分，甲药得1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0 分．甲、乙两种药的治愈率分别记为和，一轮实验中甲药的得分记为X ．（1）求X 的分布列；（2）若甲药、乙药在实验开始时都赋予 4 分，( 0,1, ,8)p i 表示“甲药的累计得分为ii时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则p0 0 ，p8 1 ，p ap bp cp (i 1,2, ,7) ，其中 a P(X 1 )， b P(X0) ，i i 1 i i 1c P( X 1) ．假设0.5，0.8 ．（i ）证明：{ p i 1 p i }( i 0,1, 2, ,7) 为等比数列；（ii ）求p4 ，并根据p4 的值解释这种实验方案的合理性．四、选做题（ 2 选1）（本大题共 2 小题，共10 分）0.4在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为xy221 t1 t (t )为参数. 以坐标原点O为极4t21 t点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2 cos 3 sin 11 0 .（1）求C和l 的直角坐标方程；（2）求C上的点到l 距离的最小值.0.5已知a,b,c 为正数，且满足abc 1，证明：（1）1 1 1a b c2 2 2a b c6（2） 3 3 3(a b) (b c) (c a) 2472019 年普通高等学校招生全国统一考试（全国I 卷）理科数学答案21.答案：C解答：由题意可知, N { x | 2 x 3} , 又因为M { x | 4 x 2} , 则M N { x | 2 x 2} ，故选C .22.答案：C解答：∵复数z 在复平面内对应的点为(x, y)，∴z x yi∴x yi i 1∴ 2 ( 1)2 1x y23.答案：B解答：由对数函数的图像可知： a log 2 0.2 0；再有指数函数的图像可知： b 20.2 1，0.60 c 0.2 1，于是可得到： a c b .24.答案：B解答：方法一：设头顶处为点A，咽喉处为点 B ，脖子下端处为点 C ，肚脐处为点D ，腿根处为点E ，足底处为F ，B D t，521 ，根据题意可知A BBD , 故AB t ；又AD AB BD ( 1)t ，A DDF，故DF 1t ；2( 1) 5 1所以身高h AD DF t 代入可得h 4.24t .，将0.6182根据腿长为105cm ，头顶至脖子下端的长度为26cm 可得AB AC ，D F EF ；15 1即t 26，105t ，将0.618即t 26，1052所以169.6 h 178.08，故选B.方法二：代入可得40 t 42由于头顶至咽喉的长度与头顶至脖子下端的长度极为接近，故头顶至脖子下端的长度26cm 可估值为头顶至咽喉的长度；根据人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比是15 1 5 1（0.618 称为黄金分割比例）可计算出咽喉至肚脐的长度约为42cm ；将2 2人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度相加可得头顶至肚脐的长度为68cm，头顶至5 1肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是可计算出肚脐至足底的长度约为110；将头2 顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度相加即可得到身高约为178cm ，与答案175cm 更为接近，故选 B. 5. 答案：D 解答：sin x xf ( x)∵ 2cos x xsincosx x2x xf (x)，∴f (x) 为奇函数，排除A，sin4 22 2f ( ) 0，排除C，又2 22cos2 2sinf ，排除B，故选 D.( ) 02 21 cos25.答案：A解答：每爻有阴阳两种情况，所以总的事件共有26 种，在6个位置上恰有3个是阳爻的情况有36C种，所以3C 20 56P .62 64 16答案：26.答案 B解答：设a 与 b 的夹角为，∵(a b) b∴2 (a b) b a b cos b =0∴cos = 1 2∴=.327.答案：A解答：2把选项代入模拟运行很容易得出结论选项 A 代入运算可得1A=12+2+12，满足条件，选项 B 代入运算可得1A=2+2+12, 不符合条件，选项C代入运算可得1A , 不符合条件，2选项D代入运算可得28.答案：A解析：1A 1+ , 不符合条件.4依题意有S4a 6d 04 1a a 4d 55 1，可得a1 3d 2， 2 5a n ，n2 4S nn .n29.答案：B解答：由椭圆C 的焦点为( 1,0 )1可设| BF2 | m ，则| AF2 | 2m ，| BF1 | | AB | 3m ，根据椭圆的定义可知1 | 12 ，得m a BF | | BF | m 3m 2a21，所以| BF2 | a，| AF2 | a ，可知A(0, b) ，22 23 1x y根据相似可得)B( , b 代入椭圆的标准方程 12 22 2a b22 a2 c2，得 3a ，b 2 ，2 y2xC 13 2.30.答案：C解答：因为f ( x) sin x sin( x) sin x sin x f (x) ，所以f ( x) 是偶函数，①正确，因为5 2, ( , )6 3 2，而5 2f ( ) f ( )6 3画出函数 f (x) 在, 上的图像，很容易知道 f (x) 有3零点，所以③错误，结合函数图像，可知 f (x) 的最大值为2 ，④正确，故答案选 C.31.答案：D解答：3设P A x，则2 2 2 2 2 2PA PC -AC x x 4 x 2 cos APC =22PA PC 2 x x x∴ 2 2 2 2 cos CE PE PC PE PC APC2 2 2x x x 2 x2x 2 x 224 2 x 4∵CEF 90 ，1 xEF PB ,CF 32 2∴ 2 2 2 CE EF CF , 即2 2x x2 34 4，解得x 2 ，∴PA PB PC 2又AB BC AC 2易知PA, PB ,PC 两两相互垂直，故三棱锥P ABC 的外接球的半径为 62，3∴三棱锥P ABC 的外接球的体积为4 63 26 ，故选 D.32.答案：y 3x 解答：∵x 2 x y 3(2 x 1)e 3(x x)e2 x3(x 3x 1)e ，∴结合导数的几何意义曲线可知在点(0,0) 处的切线方程的斜率为k 3，∴切线方程为y 3x .33.答案：S5解答：121 312a ，a a ∵4 613 设等比数列公比为q∴ 3 2 5(a q ) a q1 1∴q 3∴S5121 334.答案：0.184解答：甲队要以4 :1，则甲队在前 4 场比赛中输一场，第 5 场甲获胜，由于在前 4 场比赛中甲有 2 个主场 2 个客场，于是分两种情况：1 2 2 1C2 0.6 0.4 0.5 0.6 0.6 C2 0.5 0.5 0.6 0.18 .35.答案：2解答：由u u ru u u u r u u ru u u u rF1 A AB, F1B F2 B 0知A是B F1 的中点，u u ru u u u rF B F B1 2，又O是F1, F2 的中点，所以OA为中位线且OA BF1 ，所以OB OF1 ，因此F1O A BOA ，又根据两渐近线对称，FOA F OB ，所以F2OB 60 ，1 2 eb2 21 ( ) 1 tan 60 2a.36.答案：略解答：（1）由 2 2sin B sin C sin A sin Bsin C 得 2 2 2sin B sin C sin A sin B sin C结合正弦定理得 2 2 2b c a bc∴cos A=2 2 2 1b c a2 b c 2又A (0, ) ，∴=A .3（2）由2a b 2c 得 2 sin A sin B 2sin C , ∴ 2 sin A sin A C 2sin C∴6sin( C) 2sin C , 2 3∴3 1 2sin C cos C2 2 25∴2 sin( C)6 2又02C ∴3C6 6 2又s in(C ) 0∴06 C6 2∴cos2C ，6 2∴sin C sin( C) sin cos cos sinC C 6 26 6 6 6 6 64.37.答案：（1）见解析；（2）105 .解答：（1）连结M ,E和B1,C，∵M ,E 分别是BB1 和BC 的中点，∴ME / /B1C 且1ME B C，12又N 是A1 D ，∴ME / /DN ，且ME DN ，∴四边形MNDE 是平行四边形，∴MN / /DE ，又DE 平面C1 DE ，MN 平面C1 DE ，∴MN / /平面C1DE .（2）以D 为原点建立如图坐标系，由题 D (0,0,0) ，A(2,0,0) ，A1(2,0,4) ，M (1, 3,2)uuruA1 A (0,0, 4) ，u u u u rA1M ( 1, 3, 2) ，u u u rA1D ( 2,0, 4)，设平面AA1 M 的法向量为u rn1 (x1, y1,z1) ，平面DA1M 的法向量为u u rn2 (x2, y2 ,z2 )，由u r uurun A A01 1u r uuuru 得n A M01 14z 01，令x 3y 2z 01 1 1x 得1 3u rn1 ( 3,1,0)，6由∴u u r uuur n A D 02x4z2221u u r uuuru得x 3y2z0 n A M 022221u r u u r u r u u r n n1512cos n ,nu r u u r，∴二面角125n n12u u r，令 x 22 得n 2(2,0, 1)，A MAN 的正弦值为 10 15.38. 答案：（1）8y 12x 7 0 ；4 13（2）.3解答：3lyx b2，设 ( , ) A x 1 y ， B( x 2, y 2 ) ， 1y 3 2x b消去 y 化简整理得 （1）联立直线 l 与抛物线的方程：2y3x 92292b2x (3b 3) x b 0，(3b 3)40，44 1 b ，2 4 (3 3b)xx，1293依题意 | AF | |BF | 4可知4x 1 x，即225x 1 x，故 224 (3 3b) 95 2 ，得7b ，满足0，故直线l 的方程为83 7y x ，即8y 12x 7 0 .2 8y 32x b（2）联立方程组消去x 化简整理得y2 2y2b 0 ， 4 8b 0 ，2y 3x1b ，y1 y2 2 ，y1y2 2b ，AP 3PB ，可知2 y1 3y ，则2y2 2 ，得27y 1，y1 3，故可知23b 满足0，21 4 4 13| 1 2 y1 y2 | 1 |31|AB | | .k 9 3 39.答案：略解答：(1) 对f (x) 进行求导可得， f (x) cos x11 x，( 1 )x2取g( x) cos x11 x1g ( x) sin x，则 2(1 x),1在( 1, ) g (x) sin xx 内 2(1 x)2为单调递减函数，且g( 0 ) ，1 1g( ) 1 0 22(1 )2 所以在x (0, 1)内存在一个x ，使得g (x) 0 ，所以在x ( 1,x ) 内g (x) 0 ，f (x)为增函数；在0 x x 内g (x) 0 ，f (x) 为减函数，( , )2所以在 f (x) 在区间( 1, )2存在唯一极大值点；（2）由（1）可知当x ( 1,0) 时， f (x)单调增，且 f (0) 0 ，可得 f ' x 0则f (x) 在此区间单调减；当x (0, x0) 时， f (x) 单调增，且 f (0) 0 ， f (x) 0 则f (x) 在此区间单调增；又f (0) 0则在x ( 1, x0) 上f ( x) 有唯一零点x 0 .x x 时， f (x) 单调减，且当( 0, )2 f (x ) 0, f ( ) 0 ，则存在唯一的x1 (x0, ) ，2 2使得 f ( x1) 0，在x (x0, x1) 时，f (x) 0 ，f ( x) 单调增；当x x 时，f (x) 单( , )12调减，且( ) 1 ln(1 ) 1 ln 0f e ，所以在2 2 x ( x , ) 上f ( x) 无零点；2当x ( , ) 时，y sin x 单调减，y ln(1 x) 单调减，则 f (x) 在( , )x 上单调2 2减, f ( ) 0 ln(1 ) 0 , 所以在x ( , ) 上f (x) 存在一个零点.2当x ( , ) 时， f ( x) s i n x l n (x1 ) 1 l n (恒1 成立，则 f (x) 在x ( , ) 上无零点.8综上可得， f (x) 有且仅有2个零点.40.答案：（1）略；（2）略解答：：1、1、0．（1）一轮实验中甲药的得分有三种情况1分时是施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈，则P( X 1) (1 ) ；得得1分时是施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈，则P(X 1) (1 ) ；得0分时是都治愈或都未治愈，则P(X 0) (1 )(1 ) ．X的分布列为：则（2）（i ）因为0.5，0.8 ，则a P(X 1) 0.4 ，b P( X 0) 0.5 ，c P(X1) 0.1．可得p i 0.4 p i 1 0.5 p i 0.1 p i 1 ，则0.5 p i 0.4 p i 1 0.1 p i 1 ，4 ，p pi 1 i0.4( p i p i 1) 0.1( p i 1 p i ) ，则则p pi i 1所以{ p i p i }( i 0,1, 2, ,7) 为等比数列．1（ii ）{ p i 1 p i }( i 0,1, 2, ,7) 的首项为p1 p0 p1 ，那么可得：7p8 p7 p1 4 ，6p7 p6 p1 4 ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯p2 p1 p1 4 ，以上7 个式子相加，得到7 6p8 p1 p1 (4 4 4) ，8 81 4 4 1 3 6 7则p p (1 4 4 4 ) p p ，则18 p ，8 1 1 11 4 3 4 1再把后面三个式子相加，得 2 3p4 p1 p1 (4 4 4 ) ，9则4 44 1 4 1 3 1 12 3p p (1 4 4 4 ) p ．4 1 1 8 43 34 1 4 1 257p 表示“甲药治愈的白鼠比乙药治愈的白鼠多 4 只，且甲药的累计得分为4”，因为0.5，40.8 ，，则实验结果中“甲药治愈的白鼠比乙药治愈的白鼠多 4 只，且甲药的累计得分为4”这种情况的概率是非常小的，而合理的．1p 的确非常小，说明这种实验方案是42570.7答案：略解答：(1) 曲线C: 由题意得x21 t 212 21 t 1 t即x 112t 2，则ty2(x 1)，然后代入即可得到2y42 1x (x ? 1)而直线l ：将x cos , y sin 代入即可得到2x 3y 11 0 （2）将曲线C 化成参数方程形式为则d4sin( ) 11 2cos 2 3 sin 11 67 7所以当36 2时，最小值为70.8答案：见解析：解答：（1）abc 1，1 1 1a b cbc ac ab.由基本不等式可得：2 2 2 2 2 2b c a c a b bc , ac ,ab ，2 2 2于是得到1 1 1a b c2 2 2 2 2 2b c a c a b2 2 22 2 2a b c .（2）由基本不等式得到：3a b ab a b 3 ab2 ，2 ( ) 8( )ab ab a b 3 ab 2 ，10。

2019年普通高等学校招生全国统一考试数学(全国卷Ⅰ,理)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.(2019全国Ⅰ,理1)已知集合M={x|-4<x<2},N={x|x2-x-6<0},则M∩N=()A.{x|-4<x<3}B.{x|-4<x<-2}C.{x|-2<x<2}D.{x|2<x<3}N={x|-2<x<3},则M∩N={x|-2<x<2},故选C.2.(2019全国Ⅰ,理2)设复数z满足|z-i|=1,z在复平面内对应的点为(x,y),则()A.(x+1)2+y2=1B.(x-1)2+y2=1C.x2+(y-1)2=1D.x2+(y+1)2=1z=x+y i(x,y∈R).因为z-i=x+(y-1)i,所以|z-i|=√x2+(y-1)2=1,则x2+(y-1)2=1.故选C.3.(2019全国Ⅰ,理3)已知a=log20.2,b=20.2,c=0.20.3,则()A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.b<c<aa=log20.2<0,b=20.2>20=1,又0<c=0.20.3<0.20<1,所以a<c<b.故选B.4.(2019全国Ⅰ,理4)古希腊时期,人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是√5-1 2√5-12≈0.618,称为黄金分割比例,著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外,最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是√5-12.若某人满足上述两个黄金分割比例,且腿长为105 cm,头顶至脖子下端的长度为26 cm,则其身高可能是()A.165 cmB.175 cmC.185 cmD.190 cmx cm,则26x ≈√5-12,得x≈42.07,又其腿长为105 cm,所以其身高约为42.07+105+26=173.07(cm),接近175 cm.故选B.5.(2019全国Ⅰ,理5)函数f(x)=sinx+xcosx+x2在[-π,π]的图像大致为()f (-x )=-f (x )及区间[-π,π]关于原点对称,得f (x )是奇函数,其图像关于原点对称,排除A .又f (π2)=1+π2(π2)2=4+2ππ2>1,f (π)=π-1+π2>0,排除B,C .故选D .6.(2019全国Ⅰ,理6)我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化.每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成,爻分为阳爻“”和阴爻“”,右图就是一重卦.在所有重卦中随机取一重卦,则该重卦恰有3个阳爻的概率是( )A.516 B.1132 C.2132 D.1116,每一爻有2种情况,故一重卦的6个爻有26种情况.其中6个爻中恰有3个阳爻有C 63种情况,所以该重卦恰有3个阳爻的概率为C 6326=516,故选A .7.(2019全国Ⅰ,理7)已知非零向量a ,b 满足|a |=2|b |,且(a -b )⊥b ,则a 与b 的夹角为( )A.π6B.π3 C.2π3 D.5π6(a-b )⊥b ,所以(a-b )·b=a ·b-b 2=0, 所以a ·b=b 2.所以cos <a ,b >=a ·b|a |·|b |=|b |22|b |2=12,所以a 与b 的夹角为π3,故选B .8.(2019全国Ⅰ,理8)右图是求12+12+12的程序框图,图中空白框中应填入( )A.A=12+AB.A=2+1AC.A=11+2AD.A=1+12A1次,A=12,k=1≤2,是,第一次应该计算A=12+12=12+A,k=k+1=2;执行第2次,k=2≤2,是,第二次应该计算A=12+12+12=12+A ,k=k+1=3;执行第3次,k=3≤2,否,输出,故循环体为A=12+A ,故选A .9.(2019全国Ⅰ,理9)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.已知S 4=0,a 5=5,则( ) A.a n =2n-5B.a n =3n-10C.S n =2n 2-8nD.S n =12n 2-2n,{S 4=4a 1+4×32·d =0,a 5=a 1+4d =5,解得{a 1=-3,d =2.故a n =2n-5,S n =n 2-4n ,故选A .10.(2019全国Ⅰ,理10)已知椭圆C 的焦点为F 1(-1,0),F 2(1,0),过F 2的直线与C 交于A ,B 两点.若|AF 2|=2|F 2B|,|AB|=|BF 1|,则C 的方程为( )A.x 22+y 2=1B.x 23+y 22=1C.x 24+y 23=1 D.x 25+y 24=1,由已知可设|F 2B|=n ,|BF 1|=m.由|AB|=|BF 1|,则|AF 2|=m-n ,|AB|=m. 又|AF 1|+|AF 2|=|BF 1|+|BF 2|,故|AF 1|=2n. 由椭圆的定义及|AF 2|=2|F 2B|, 得{m -n =2n ,m +n =2a ,解得{m =3a2,n =a 2.∴|AF 1|=a ,|AF 2|=a. ∴点A 为(0,-b ). ∴k AF 2=b1=b.过点B 作x 轴的垂线,垂足为点P.由题意可知△OAF 2∽△PBF 2. 又|AF 2|=2|F 2B|,∴|OF 2|=2|F 2P|.∴|F 2P|=12.又k AF 2=|BP ||F 2P |=|BP |12=b ,∴|BP|=12b.∴点B (32,12b).把点B 坐标代入椭圆方程x 2a 2+y 2b2=1中,得a 2=3.又c=1,故b 2=2.所以椭圆方程为x 23+y 22=1.11.(2019全国Ⅰ,理11)关于函数f (x )=sin |x|+|sin x|有下述四个结论:①f (x )是偶函数 ②f (x )在区间(π2,π)内单调递增 ③f (x )在[-π,π]有4个零点 ④f (x )的最大值为2其中所有正确结论的编号是( ) A.①②④ B.②④ C.①④D.①③f (x )的定义域为R ,关于原点对称,且f (-x )=sin |-x|+|sin(-x )|=sin |x|+|sin x|=f (x ),所以f (x )为偶函数,故①正确;当π2<x<π时,f (x )=2sin x ,它在区间(π2,π)内单调递减,故②错误;当0≤x ≤π时,f (x )=2sin x ,它有两个零点0和π;当-π≤x ≤0时,f (x )=sin(-x )-sin x=-2sin x ,它有两个零点-π和0;故f (x )在区间[-π,π]上有3个零点-π,0和π,故③错误;当x∈[2kπ,2kπ+π](k∈N*)时,f(x)=2sin x;当x∈(2kπ+π,2kπ+2π](k∈N*)时,f(x)=sin x-sin x=0.又f(x)为偶函数,所以f(x)的最大值为2,故④正确;综上可知①④正确,故选C.12.(2019全国Ⅰ,理12)已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上,PA=PB=PC,△ABC是边长为2的正三角形,E,F分别是PA,AB的中点,∠CEF=90°,则球O的体积为()A.8√6πB.4√6πC.2√6πD.√6πPA=PB=PC=2x.∵E,F分别为PA,AB的中点,∴EF∥PB,且EF=12PB=x.∵△ABC为边长为2的等边三角形,∴CF=√3.又∠CEF=90°,∴CE=√3-x2,AE=12PA=x.在△AEC中,由余弦定理可知cos∠EAC=x 2+4-(3-x2) 2×2·x.作PD⊥AC于点D,∵PA=PC,∴D为AC的中点,cos∠EAC=ADPA =12x.∴x 2+4-3+x 24x=12x .∴2x 2+1=2.∴x 2=12,即x=√22. ∴PA=PB=PC=√2.又AB=BC=AC=2,∴PA ⊥PB ⊥PC. ∴2R=√2+2+2=√6. ∴R=√62.∴V=43πR 3=43π×6√68=√6π.故选D .二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。

2019年普通高等学校招生全国统一考试（全国I 卷） 理科数学一、选择题（本大题共12小题，共60分）1.已知集合}24|{<<-=x x M ，}06|{2<--=x x x N ，则=N M （ ）A.}34|{<<-x xB.}24|{-<<-x xC. }22|{<<-x xD. }32|{<<x x2.设复数z 满足1z i -=，z 在复平面内对应的点为(,)x y ，则（ ） A.22(1)1x y ++= B.22(1)1x y -+= C.22(1)1x y +-= D.22(1)1x y ++= 3.已知2log 0.2a =，0.22b =，0.30.2c =，则（ ） A.a b c << B.a c b << C.c a b << D.b c a <<4.古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是215-（618.0215≈-称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是215- .若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为cm 105，头顶至脖子下端的长度为cm 26，则其身高可能是（ ）A.cm 165B.cm 175C.cm 185D.cm 1905. 函数2sin ()cos x xf x x x+=+在[,]ππ-的图像大致为（ ） A.B.C.D.6.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化.每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，下图就是一重卦.在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是（ ） A.516 B.1132 C.2132D.1116 7. 已知非零向量,a b 满足2a b =，且()a b b -⊥，则a 与b 的夹角为（ ）A.6π B.3π C.23π D.56π 8.右图是求112+12+2的程序框图，图中空白框中应填入（ ）A.12A A =+ B.12A A =+ C.112A A =+ D.112A A=+ 9.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.已知40S =，55a =，则（ ）A.25n a n =-B.310n a n =-C.228n S n n =- D.2122n S n n =- 10.已知椭圆C 的焦点为)0,1(1-F ，)0,1(2F ，过2F 的直线与C 交于A ，B 两点.若||2||22B F AF =，||||1BF AB =，则C 的方程为（ ）A.1222=+y x B. 12322=+y x C.13422=+y x D.14522=+y x11. 关于函数()sin sin f x x x =+有下述四个结论： ①()f x 是偶函数 ②()f x 在区间(,)2ππ单调递增③()f x 在[],ππ-有4个零点 ④()f x 的最大值为2其中所有正确结论的编号是（ ）A.①②④B.②④C.①④D.①③12. 已知三棱锥P ABC -的四个顶点在球O 的球面上，PA PB PC ==，ABC ∆是边长为2的正三角形，,E F 分别是PA ，AB 的中点，90CEF ∠=︒，则球O 的体积为（ ）A.B.C.二、填空题（本大题共4小题，共20分）13.曲线23()xy x x e =+在点(0,0)处的切线方程为 . 14.记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若113a =，246a a =，则5S = . 15.甲乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该对获胜，决赛结束）根据前期的比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛相互独立，则甲队以4:1获胜的概率是 . 16.已知双曲线C:22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线与C 的 两条渐近线分别交于,A B 两点.若112,0F A AB F B F B =⋅=uuu r uu u r uuu r uuu r，则C 的离心率为 .三、解答题（本大题共5小题，共60分）17.ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .设()22sin sin sin sin sin B C A B C -=-. （1）求A ；（22b c +=，求sin C .18.如图，直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是菱形，14,2,60AA AB BAD ==∠=︒，,,E M N 分别是11,,BC BB A D 的中点.（1）证明：//MN 平面1C DE ；（2）求二面角1A MA N --的正弦值.19.已知抛物线x y C 3:2=的焦点为F ，斜率为23的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P . （1）若4||||=+BF AF ，求l 的方程； （2）若PB AP 3=，求||AB .20.已知函数()sin ln(1)f x x x =-+,()f x '为()f x 的导函数.证明：(1)()f x '在区间(1,)2π-存在唯一极大值点；(2)()f x 有且仅有2个零点.21．为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物实验．实验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比实验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮实验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止实验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮实验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得1-分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得1-分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮实验中甲药的得分记为X ．（1）求X 的分布列；（2）若甲药、乙药在实验开始时都赋予4分，(0,1,,8)i p i =表示“甲药的累计得分为i 时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则00p =，81p =，11i i i i p ap bp cp -+=++(1,2,,7)i =，其中(1)a P X ==-，(0)b P X ==，(1)c P X ==．假设0.5α=，0.8β=．（i ）证明：1{}(0,1,2,,7)i i p p i +-=为等比数列；（ii ）求4p ，并根据4p 的值解释这种实验方案的合理性． 四、选做题（2选1）（本大题共2小题，共10分）22.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为22211()41t x t t t y t ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩为参数.以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2cos sin 110ρθθ+=.（1）求C 和l 的直角坐标方程；（2）求C 上的点到l 距离的最小值.23. 已知,,a b c 为正数，且满足1abc =，证明： （1）222111a b c a b c++≤++ （2）333()()()24a b b c c a +++++≥2019年普通高等学校招生全国统一考试（全国I 卷）理科数学答案1.答案：C 解答：由题意可知,}32|{<<-=x x N ,又因为}24|{<<-=x x M ,则}22|{<<-=x x N M ，故选C . 2.答案：C 解答：∵复数z 在复平面内对应的点为(,)x y ， ∴z x yi =+ ∴1x yi i +-= ∴22(1)1x y +-= 3.答案：B 解答：由对数函数的图像可知：2log 0.20a =<；再有指数函数的图像可知：0.221b =>，0.300.21c <=<，于是可得到：a c b <<. 4.答案：B 解答： 方法一：设头顶处为点A ，咽喉处为点B ，脖子下端处为点C ，肚脐处为点D ，腿根处为点E ，足底处为F ，t BD =，λ=-215， 根据题意可知λ=BD AB ,故t AB λ=；又t BD AB AD )1(+=+=λ，λ=DF AD ，故t DF λλ1+=； 所以身高t DF AD h λλ2)1(+=+=，将618.0215≈-=λ代入可得t h 24.4≈.根据腿长为cm 105，头顶至脖子下端的长度为cm 26可得AC AB <，EF DF >；即26<t λ，1051>+t λλ，将618.0215≈-=λ代入可得4240<<t 所以08.1786.169<<h ，故选B.方法二：由于头顶至咽喉的长度与头顶至脖子下端的长度极为接近，故头顶至脖子下端的长度cm 26可估值为头顶至咽喉的长度；根据人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比是215-（618.0215≈-称为黄金分割比例）可计算出咽喉至肚脐的长度约为cm 42；将人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度相加可得头顶至肚脐的长度为cm 68，头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是215-可计算出肚脐至足底的长度约为110；将头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度相加即可得到身高约为cm 178，与答案cm 175更为接近，故选B.5.答案：D 解答： ∵()()()2sin ()cos x x f x x x ---=-+-=2sin cos x xx x+-+()f x =-， ∴()f x 为奇函数，排除A ，又22sin 4222()02cos22f πππππππ++==>⎛⎫+ ⎪⎝⎭，排除C ，()22sin ()01cos f πππππππ+==>++，排除B ，故选D.6.答案：A 解答：每爻有阴阳两种情况，所以总的事件共有62种，在6个位置上恰有3个是阳爻的情况有36C 种，所以36620526416C P ===.答案： 7.答案B 解答：设a 与b 的夹角为θ， ∵()a b b -⊥∴2()cos a b b a b b θ-⋅=-=0 ∴1cos =2θ ∴=3πθ.8.答案：A解答：把选项代入模拟运行很容易得出结论选项A 代入运算可得1=12+12+2A ，满足条件，选项B 代入运算可得1=2+12+2A ,不符合条件， 选项C 代入运算可得12A =,不符合条件，选项D 代入运算可得11+4A =,不符合条件.9.答案：A 解析：依题意有415146045S a d a a d =+=⎧⎨=+=⎩，可得132a d =-⎧⎨=⎩，25n a n =-，24n S n n =-.10.答案：B解答：由椭圆C 的焦点为)0,1(1-F ，)0,1(2F 可知1=c ，又 ||2||22B F AF =，||||1BF AB =，可设m BF =||2，则m AF 2||2=，m AB BF 3||||1==，根据椭圆的定义可知a m m BF BF 23||||21=+=+，得a m 21=，所以a BF 21||2=，a AF =||2，可知),0(b A -，根据相似可得)21,23(b B 代入椭圆的标准方程12222=+b y a x ，得32=a ，2222=-=c a b ，∴椭圆C 的方程为12322=+y x .11.答案：C解答：因为()sin sin()sin sin ()f x x x x x f x -=-+-=+=，所以()f x 是偶函数，①正确， 因为52,(,)632ππππ∈，而52()()63f f ππ<，所以②错误， 画出函数()f x 在[],ππ-上的图像，很容易知道()f x 有3零点，所以③错误， 结合函数图像，可知()f x 的最大值为2，④正确，故答案选C. 12.答案：D 解答：设PA x =，则2222222-42cos =22PA PC AC x x x APC PA PC x x x++--∠==⋅⋅⋅ ∴2222cos CE PE PC PE PC APC =+-⋅⋅∠22222222424x x x x x x x -=+-⋅⋅⋅=+∵90CEF ∠=︒，1,22xEF PB CF ===∴222CE EF CF +=,即222344x x ++=，解得x =∴PA PB PC ===又2AB BC AC ===易知,,PA PB PC 两两相互垂直，故三棱锥P ABC -∴三棱锥P ABC -的外接球的体积为343π⋅=⎝⎭，故选D. 13.答案：3y x = 解答：∵23(21)3()xxy x e x x e '=+++23(31)xx x e =++，∴结合导数的几何意义曲线可知在点(0,0)处的切线方程的斜率为3k =， ∴切线方程为3y x =. 14.答案：5S =1213解答：∵113a =，246a a = 设等比数列公比为q∴32511()a q a q =∴3q =∴5S =121315.答案：0.18解答：甲队要以4:1，则甲队在前4场比赛中输一场，第5场甲获胜，由于在前4场比赛中甲有2个主场2个客场，于是分两种情况：1221220.60.40.50.60.60.50.50.60.18C C ⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅=.16.答案：2解答：由112,0F A AB F B F B =⋅=uuu r uu u r uuu r uuu r 知A 是1BF 的中点，12F B F B⊥uuu r uuu r，又O 是12,F F 的中点，所以OA 为中位线且1OA BF ⊥，所以1OB OF =，因此1F OA BOA ∠=∠，又根据两渐近线对称，12FOA F OB ∠=∠，所以260F OB ∠=︒，2e ===.17.答案：略 解答：（1）由()22sin sin sin sin sin B C A B C -=-得222sin sin sin sin sin B C A B C +-= 结合正弦定理得222b c a bc +-=∴2221cos =22b c a A b c +-=⋅⋅又(0,)A π∈，∴=3A π.（22b c +=sin 2sin A B C +=,()sin 2sin A A C C ++=∴sin()2sin 23C C π++=,1cos 22C C -=∴sin()6C π-=又203C π<<∴662C πππ-<-< 又sin()06C π->∴062C ππ<-<∴cos 62C π⎛⎫-= ⎪⎝⎭ ∴sin sin()66C C ππ=-+=sin cos cos sin 6666C C ππππ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=.18.答案： （1）见解析； （2解答：（1）连结,M E 和1,B C ，∵,M E 分别是1BB 和BC 的中点，∴1//ME B C 且112ME B C =， 又N 是1A D ，∴//ME DN ，且ME DN =，∴四边形MNDE 是平行四边形， ∴//MN DE ，又DE ⊂平面1C DE ，MN ⊄平面1C DE ，∴//MN 平面1C DE.（2）以D 为原点建立如图坐标系，由题(0,0,0)D ，(2,0,0)A ，1(2,0,4)A，M1(0,0,4)A A =-uuu r，1(2)A M =--u u u u r ，1(2,0,4)A D =--uuu r ，设平面1AA M 的法向量为1111(,,)n x y z =u r，平面1DA M 的法向量为2222(,,)n x y z =u u r，由111100n A A n A M ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u r uuu r u r uuuu r得11114020z x z -=⎧⎪⎨-+-=⎪⎩，令1x =得1n =u r ， 由212100n A D n A M ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u r uuu r u u r uuuu r得2222224020x z x z --=⎧⎪⎨-+-=⎪⎩，令22x =得2(2,0,1)n =-u u r ，∴121212cos ,n n n n n n ⋅==⋅u r u u ru r u u r u r u u r 1A MA N --19.答案：（1）07128=+-x y ；（2）3134.解答：设直线l 的方程为b x y +=23，设),(11y x A ，),(22y x B ， （1）联立直线l 与抛物线的方程：⎪⎩⎪⎨⎧=+=xy b x y 3232消去y 化简整理得0)33(4922=+-+b x b x ，0494)33(22>⨯--=∆b b ，21<∴b ，9)33(421b x x -⨯=+，依题意4||||=+BF AF 可知42321=++x x ，即2521=+x x ，故259)33(4=-⨯b ，得87-=b ，满足0>∆，故直线l 的方程为8723-=x y ，即07128=+-x y .（2）联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=xy b x y 3232消去x 化简整理得0222=+-b y y ，084>-=∆b ，21<∴b ，221=+y y ，b y y 221=， 3=，可知213y y -=，则222=-y ，得12-=y ，31=y ，故可知23-=b 满足0>∆，∴3134|13|941||11||212=+⨯+=-⋅+=y y k AB . 20.答案：略 解答：(1)对()f x 进行求导可得，1()cos 1f x x x '=-+，(1)2x π-<< 取1()cos 1g x x x=-+，则21()sin (1)g x x x '=-++, 在(1,)2x π∈-内21()sin (1)g x x x '=-++为单调递减函数，且(0)1g =，21()102(1)2g ππ=-+<+所以在(0,1)x ∈内存在一个0x ，使得()0g x '=，所以在0(1,)x x ∈-内()0g x '>，()f x '为增函数；在0(,)2x x π∈内()0g x '<，()f x '为减函数，所以在()f x '在区间(1,)2π-存在唯一极大值点；（2）由（1）可知当(1,0)x ∈-时，()f x '单调增，且(0)0f '=，可得()0'<x f则()f x 在此区间单调减；当0(0,)x x ∈时，()f x '单调增，且(0)0f '=，()0f x '>则()f x 在此区间单调增；又(0)0f =则在0(1,)x x ∈-上()f x 有唯一零点0x =.当0(,)2x x π∈时，()f x '单调减，且0()0,()02f x f π''><，则存在唯一的10(,)2x x π∈，使得1()0f x '=，在01(,)x x x ∈时，()0f x '>，()f x 单调增；当1(,)2x x π∈时，()f x 单调减，且()1ln(1)1ln 022f e ππ=-+>-=，所以在0(,)2x x π∈上()f x 无零点； 当(,)2x ππ∈时，s i n y x =单调减，ln(1)y x =-+单调减，则()f x 在(,)2x ππ∈上单调减,()0ln(1)0f ππ=-+<,所以在(,)2x ππ∈上()f x 存在一个零点.当(,)x π∈+∞时，()sin ln(1)1ln(1)0f x x x π=-+<-+<恒成立，则()f x 在(,)x π∈+∞上无零点. 综上可得，()f x 有且仅有2个零点.21.答案：（1）略；（2）略 解答：（1）一轮实验中甲药的得分有三种情况：1、1-、0．得1分时是施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈，则(1)(1)P X αβ==-； 得1-分时是施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈，则(1)(1)P X αβ=-=-； 得0分时是都治愈或都未治愈，则(0)(1)(1)P X αβαβ==+--．则X 的分布列为：（2）（i ）因为0.5α=，0.8β=，则(1)0.4a P X ==-=，(0)0.5b P X ===，(1)0.1c P X ===． 可得110.40.50.1i i i i p p p p -+=++，则110.50.40.1i i i p p p -+=+， 则110.4()0.1()i i i i p p p p -+-=-，则114i ii i p p p p +--=-，所以1{}(0,1,2,,7)i i p p i +-=为等比数列．（ii ）1{}(0,1,2,,7)i i p p i +-=的首项为101p p p -=，那么可得：78714p p p -=⨯， 67614p p p -=⨯，………………2114p p p -=⨯，以上7个式子相加，得到76811(444)p p p -=⨯+++，则886781111441(1444)143p p p p --=⨯++++=⨯=-，则18341p =-， 再把后面三个式子相加，得23411(444)p p p -=⨯++，则4423411844141311(1444)334141257p p p --=⨯+++==⨯==-+． 4p 表示“甲药治愈的白鼠比乙药治愈的白鼠多4只，且甲药的累计得分为4”，因为0.5α=，0.8β=，αβ<，则实验结果中“甲药治愈的白鼠比乙药治愈的白鼠多4只，且甲药的累计得分为4”这种情况的概率是非常小的，而41257p =的确非常小，说明这种实验方案是合理的． 22.答案：略 解答：(1)曲线C :由题意得22212111t x t t-==-+++即2211x t +=+，则2(1)y t x =+，然后代入即可得到2214y x +=(1)x ?而直线l ：将cos ,sin x y ρθρθ==代入即可得到2110x +=（2）将曲线C 化成参数方程形式为则d ==所以当362ππθ+=23.答案：见解析： 解答： （1）1abc =，111bc ac ab a b c∴++=++.由基本不等式可得：222222,,222b c a c a b bc ac ab +++≤≤≤， 于是得到222222222111222b c a c a b a b c a b c +++++≤++=++.（2）由基本不等式得到：332()8()a b a b ab +≥+≥，332()8()b c b c bc +≥⇒+≥，332()8()c a c a ac +≥+≥.于是得到333333222()()()8[()()()]a b b c c a ab bc ac +++++≥++824≥⨯=。

2019年高考全国I卷试卷理科数学本试卷5页，23小题，满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合M={x|-4＜x＜2}，N={x|x2-x-6＜0}，则M∩U=A.{x|-4＜x＜3}B.{x|-4＜x＜-2}C.{x|-2＜x＜2}D.{x|2＜x＜3}2.设复数z满足|z-i|=1，z在复平面内对应的点为(x，y)，则A.(x+1)2+y2=1B. (x-1)2+y2=1C.x2+(y-1)2=1D. x2+(y+1)2=10.2，b=20.2,c=0.20.3,则3.已知a=log2A.a＜b＜cB.a＜c＜bC.c＜a＜bD.b＜c＜a4．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐到足底的长度之比是√5−12＝0.618，称之为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此。

此外，最（√5−12。

美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是√5−12若某人满足上述两个黄金分割比例,且腿长为105cm,头顶至脖子下端的长度为26cm,则其身高可能是A.165 cmB.175 cm5．函数f(x)=sinx+xcosx+x 2的[－π，π]图像大致为6．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化，每一“重卦”由从下到上排列的６个爻组成，爻分为阳爻“—”和阴爻“- -”，右图就是一重卦。

2019 年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（全国1 卷参考版）【含答案及解析】姓名 _____________ 班级 ________________ 分数 ____________、选择题1. 设集合 ， ，则（ A ） （ B ）（ C ）（ D ）2. 设，其中， 实数，则（ A ） 1 （ B ）（ C ）（ D ） 2前 9 项的和为 27， B ） 99 （ C ） 984. 某公司的班车在 7:00 ，8:00 ，8:30 发车，小明在 7:50 至 8:30 之间到达发车站乘坐 班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过 10 分钟的概率是 （ A ） （ B ） （ C ） （ D ）5. 已知方程 表 示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为 4，则 n 的取值范围是（ A ） （ B ）（ C ） （ D ）6. 如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径 . 若该几何体的体积是 ，则它的表面积是3. 已知等差数列 （ A ） 100，则 （ D ） 978. 若，则（ A ）（ B ）B ）（C ），则输出 x，y 的值满足9. 执行右面的程序框图，如果输入的A )B )C )D )10.以抛物线 C的顶点为圆心的圆交 C于 A、 B两点，交 C 的准线于 D、E两点. 已知|AB|= ， |DE|= ，则 C的焦点到准线的距离为（ A ） 2 （ B ） 4 （ C ） 6 （ D ） 811.平面过正方体 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 的顶点 A，// 平面 CB 1 D 1 ，平面 ABCD=，m 平面 AB B 1 A 1 =n ，则 m、n 所成角的正弦值为（ A ） _______________________ （ B ）_________________ （ C ）________________ （ D ）12.已知函数为的零点，为图像的对称轴，且在单调，则的最大值为（ A ） 11 （ B ） 9 （ C ） 7 （ D ） 5二、填空题13.设向量 a= （ m，1 ），b= （ 1，2 ），且|a+b| 2 =|a| 2 +|b| 2 ，则m= ____________________________________ .14.的展开式中， x 3 的系数是 __________________________ . （用数字填写答案）15.设等比数列满足 a 1 +a 3 =10 ，a 2 +a 4 =5 ，则 a 1 a 2 ⋯a n 的最大值为 _____________________________________ ．16.某高科技企业生产产品 A 和产品 B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品 A 需要甲材料 1.5kg ，乙材料 1kg ，用 5 个工时；生产一件产品 B需要甲材料 0.5kg ，乙材料 0.3kg ，用 3个工时．生产一件产品 A的利润为 2100 元，生产一件产品 B的利润为 900 元．该企业现有甲材料 150kg ，乙材料 90kg ，则在不超过 600 个工时的条件下，生产产品 A、产品 B 的利润之和的最大值为元三、解答题17.的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知（Ⅰ）求 C；（Ⅱ）若的面积为，求的周长．18.如图，在以 A，B，C，D，E，F 为顶点的五面体中，面 ABEF为正方形， AF=2FD，，且二面角 D-AF-E 与二面角 C-BE-F 都是．Ⅰ）证明：平面 ABEF 平面 EFDC；Ⅱ）求二面角 E-BC-A 的余弦值．19.某公司计划购买 2 台机器，该种机器使用三年后即被淘汰 . 机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200 元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个 500 元. 现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了 100 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：以这 100 台机器更换的易损零件数的频率代替 1台机器更换的易损零件数发生的概率，记表示 2 台机器三年内共需更换的易损零件数，表示购买 2 台机器的同时购买的易损零件数 . （Ⅰ）求的分布列；（Ⅱ ）若要求，确定的最小值；（Ⅲ ）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在与之中选其一，应选用哪个？20.设圆的圆心为 A，直线 l 过点 B （ 1,0 ）且与 x 轴不重合， l 交圆 A于 C，D两点，过 B 作 AC的平行线交 AD于点 E.（Ⅰ）证明为定值，并写出点 E 的轨迹方程；（Ⅱ ）设点 E 的轨迹为曲线 C 1 ，直线 l 交 C 1 于 M,N两点，过 B 且与 l 垂直的直线与圆 A 交于 P,Q 两点，求四边形 MPNQ面积的取值范围 .21.已知函数有两个零点（Ⅰ）求 a 的取值范围；Ⅱ）设 x 1 ，x 2 是的两个零点，证明：22.选修 4-1 ：几何证明选讲如图，△ OAB是等腰三角形，∠ AOB=12°0 .以 O为圆心，OA为半径作圆 .Ⅰ）证明：直线 AB 与O 相切；Ⅱ）点 C,D 在⊙O上，且 A,B,C,D 四点共圆，证明： AB∥CD.23.选修 4— 4：坐标系与参数方程在直角坐标系 x y 中，曲线 C 1 的参数方程为（ t 为参数， a>0 ）．在以坐标原点为极点， x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C 2 ：ρ=.（Ⅰ）说明 C 1 是哪一种曲线，并将 C 1 的方程化为极坐标方程；（Ⅱ）直线 C 3 的极坐标方程为，其中满足 tan =2 ，若曲线 C 1 与 C 2 的公共点都在 C 3 上，求 a ．24.选修 4— 5：不等式选讲已知函数 .（Ⅰ）在图中画出的图像；（Ⅱ）求不等式的解集．参考答案及解析第1 题【答案】第2 题【答案】第3 题【答案】第4 题【答案】第5 题【答案】第6 题【答案】第7 题【答案】第8 题【答案】第9 题【答案】第 10 题【答案】第 11 题【答案】第 12 题【答案】第 14 题【答案】第 15 题【答案】第 13 题【答案】第 16 题【答案】216000【解析】 试题分析：设生产产品/、产品E 分别为工、•匸件，束厢之和为二元，那么1.5x+0.5r n 150.x÷0 3.V M 90.■ 5工十3儿600. ①x...0,Iy-O-目⅛⅛数二= 210(k + 900)∙・二元一次不尊式组①竽价于3x+.v n 300.10x + 3.v n 900,• 5x÷3y n 600,② x..0,L y... 0.作出二元一次不等式组②表示的平面区域(如團)，即可行域.7 7 7p ■ =2100r + 900v 变形，得尸-丁十扁，平行直线―-丁 ,当直线JU 一丁十硫 经过 点M 时J -取得最大值， 10r + 3υ = 900V5x+3v≡600U •解方程组 ,得M 的坐标(6(HOO).所以当X =60 , 3 =100 时，∑aaχ=2100×60 + 900×100 = 216000 .第 17 题【答案】第 18 题【答案】（I ）见解析（∏） 一匹19【解析】试题分析；（I ＞证明AF 丄平面EFDC ,结合AFU 平面ABEF 、可得平面ABEF 丄平面 EFDC .（II ）建立空间坐标系，利用向量求.试题解析：（I 〉由已知可得AF 丄DF ,AFdFE ,所以AF 丄平面EFDC .又AFU 平面ABEF ；故平面ABEF 丄平面EFDC •〈II 〉过D 作DG 丄EF ,垂足为G ,由（I ）知DG 丄平面ABEF ・以G 为坐标原点、，GF 的方向为X 轴正方向，IGFl 为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系 由(I > 知ZDFE 为二面角D-AF-E 的平面角，故ZDFE = 60。

2019年全国高考试题理科数学全国卷I注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合}242{60{}M x x N x x x =-<<=--<，，则N M ⋂= A ．}{43x x -<< B ．}42{x x -<<- C ．}{22x x -<< D ．}{23x x <<答案：C解析：由062<--x x 可得320)2)(3(<<-⇒<+-x x x ，故}32|{<<-x x 综上可得}32|{<<-=⋂x x N M ，故选C 2．设复数z 满足=1i z -，z 在复平面内对应的点为(x ，y )，则 A ．22+11()x y += B ．221(1)x y +=- C ．22(1)1y x +-= D ．22(+1)1y x +=答案：C解析：由z 在复平面内对应的点为),(y x 可得yi x z +=，故1)1(|)1(|||22=-+=-+=-y x i y x i z化简得1)1(22=-+y x ，故选C3．已知0.20.32log 0.220.2a b c ===，，，则 A ．a b c << B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b c a <<答案：B解析： 001log 2.0log 22<⇒=<=a a ，112202.0>⇒=>=b b ，1012.02.003.0<<⇒=<=c c ，b c a <<∴，故选B4．古希腊时期，≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是12．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105 cm ，头顶至脖子下端的长度为26 cm ，则其身高可能是 A ．165 cm B ．175 cmC ．185 cmD ．190cm答案：B解析：不妨设头顶、咽喉、肚脐、足底分别为点A 、B 、C 、D 故可得 ||215|||,|215||CD AC BC AB -=-=假设身高为x ，则x AB x AC x CD 2537||,253||,215||-=-=-=由题可知262537||,106215||<-=>-=x AB x CD 解得5375215212-<<-x 即171178<<x ，故选B5．函数f (x )=2sin cos ++x xx x在[,]-ππ的图像大致为 A ．B ．C ．D ．答案：D解析：因为)()(x f x f -=-，所以)(x f 为奇函数又01)(2>-=πππf ，124412)2(22>+=+=πππππf ，故选D 6．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是A ．516B ．1132C ．2132D ．1116解析：一共有6426=种可能，其中满足恰有3个阳爻的有2036=C 种，概率为1656420=故选A 7．已知非零向量a ，b 满足||2||=a b ，且()-a b ⊥b ，则a 与b 的夹角为 A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6答案：B解析：因为⊥-)(，所以0||cos ||||)(22=-=-⋅=⋅-b b a b b a b b a θ将||2||b a =代入可得21cos =θ，即夹角为3π，故选B 8．如图是求112122++的程序框图，图中空白框中应填入A ．A =12A + B ．A =12A + C ．A =112A + D ．A =112A+答案：A解析：第一步：1,21==k A ，是；第二步2,2121=+=k A ，是；第三步：3,212121=++=k A ，否。

2019年全国高考理科数学试卷（全国I 卷）及答案一、选择题（本大题共12小题，共60分）1.已知集合}24|{<<-=x x M ，}06|{2<--=x x x N ，则=N M （）A.}34|{<<-x xB.}24|{-<<-x xC.}22|{<<-x xD.}32|{<<x x 2.设复数z 满足1z i -=，z 在复平面内对应的点为(,)x y ，则（）A.22(1)1x y ++=B.22(1)1x y -+=C.22(1)1x y +-=D.22(1)1x y ++=3.已知2log 0.2a =，0.22b =，0.30.2c =，则（）A.a b c <<B.a c b <<C.c a b <<D.b c a<<4.古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是215-（618.0215≈-称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是215-.若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为cm 105，头顶至脖子下端的长度为cm 26，则其身高可能是（）A.cm 165B.cm 175C.cm 185D.cm 1905.函数2sin ()cos x xf x x x+=+在[,]ππ-的图像大致为（）A.B.C.D.6.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化.每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，下图就是一重卦.在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是（）A.516B.1132C.2132D.11167.已知非零向量,a b 满足2a b = ，且()a b b -⊥ ，则a 与b的夹角为（）A.6πB.3πC.23πD.56π8.右图是求112+12+2的程序框图，图中空白框中应填入（）A.12A A =+B.12A A=+C.112A A =+D.112A A=+9.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.已知40S =，55a =，则（）A.25n a n =- B.310n a n =- C.228n S n n=- D.2122n S n n =-10.已知椭圆C 的焦点为)0,1(1-F ，)0,1(2F ，过2F 的直线与C 交于A ，B 两点.若||2||22B F AF =，||||1BF AB =，则C 的方程为（）A.1222=+y xB.12322=+y x C.13422=+y x D.14522=+y x 11.关于函数()sin sin f x x x =+有下述四个结论：①()f x 是偶函数②()f x 在区间(,)2ππ单调递增③()f x 在[],ππ-有4个零点④()f x 的最大值为2其中所有正确结论的编号是（）A.①②④B.②④C.①④D.①③12.已知三棱锥P ABC -的四个顶点在球O 的球面上，PA PB PC ==，ABC ∆是边长为2的正三角形，,E F 分别是PA ，AB 的中点，90CEF ∠=︒，则球O 的体积为（）A.B.C.二、填空题（本大题共4小题，共20分）13.曲线23()x y x x e =+在点(0,0)处的切线方程为.14.记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若113a =，246a a =，则5S =.15.甲乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该对获胜，决赛结束）根据前期的比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛相互独立，则甲队以4:1获胜的概率是.16.已知双曲线C:22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线与C 的两条渐近线分别交于,A B 两点.若112,0F A AB F B F B =⋅=uuu r uuu r uuu r uuu r ，则C 的离心率为.三、解答题（本大题共5小题，共60分）17.ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .设()22sin sin sin sin sin B C A B C -=-.（1）求A ；2b c +=，求sin C .18.如图，直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是菱形，14,2,60AA AB BAD ==∠=︒，,,E M N 分别是11,,BC BB A D 的中点.（1）证明：//MN 平面1C DE ；（2）求二面角1A MA N --的正弦值.19.已知抛物线x y C 3:2=的焦点为F ，斜率为23的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P .（1）若4||||=+BF AF ，求l 的方程；（2）若PB AP 3=，求||AB .20.已知函数()sin ln(1)f x x x =-+,()f x '为()f x 的导函数.证明：(1)()f x '在区间(1,2π-存在唯一极大值点；(2)()f x 有且仅有2个零点.21．为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物实验．实验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比实验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮实验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止实验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮实验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得1-分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得1-分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮实验中甲药的得分记为X ．（1）求X 的分布列；（2）若甲药、乙药在实验开始时都赋予4分，(0,1,,8)i p i = 表示“甲药的累计得分为i 时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则00p =，81p =，11i i i i p ap bp cp -+=++(1,2,,7)i = ，其中(1)a P X ==-，(0)b P X ==，(1)c P X ==．假设0.5α=，0.8β=．（i）证明：1{}(0,1,2,,7)i i p p i +-= 为等比数列；（ii）求4p ，并根据4p 的值解释这种实验方案的合理性．四、选做题（2选1）（本大题共2小题，共10分）22.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为22211()41t x t t t y t ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩为参数.以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2cos sin 110ρθθ+=.（1）求C 和l 的直角坐标方程；（2）求C 上的点到l 距离的最小值.23.已知,,a b c 为正数，且满足1abc =，证明：（1）222111a b c a b c++≤++（2）333()()()24a b b c c a +++++≥2019年高考理科数学（全国I 卷）参考答案选择题1-5CCBBD 6-12ABAAB CD13.3y x =14.5S =121315.0.1816.217.解答：（1）由()22sin sin sin sin sin B C A B C -=-得222sin sin sin sin sin B C A B C +-=结合正弦定理得222b c a bc+-=∴2221cos =22b c a A b c +-=⋅⋅又(0,)A π∈，∴=3A π.（22b c +=sin 2sin A B C +=,()sin 2sin A A C C ++=∴6sin()2sin 23C C π++=,∴1sin cos 222C C -=∴2sin()62C π-=又203C π<<∴662C πππ-<-<又sin()06C π->∴062C ππ<-<∴2cos 62C π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∴sin sin()66C C ππ=-+=sin cos cos sin 6666C C ππππ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎝⎭⎝⎭624=.18、解：（1）连结,M E 和1,B C ，∵,M E 分别是1BB 和BC 的中点，∴1//ME B C 且112ME B C =，又N 是1A D ，∴//ME DN ，且ME DN =，∴四边形MNDE 是平行四边形，∴//MN DE ，又DE ⊂平面1C DE ，MN ⊄平面1C DE ，∴//MN 平面1C DE.（2）以D 为原点建立如图坐标系，由题(0,0,0)D ，(2,0,0)A ，1(2,0,4)A，M 1(0,0,4)A A =-uuu r，1(2)A M =--uuuu r ，1(2,0,4)A D =--uuur，设平面1AA M 的法向量为1111(,,)n x y z =u r ，平面1DA M 的法向量为2222(,,)n x y z =u u r，由111100n A A n A M ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u r uuu r u r uuuu r得11114020z x z -=⎧⎪⎨-+-=⎪⎩，令1x =得1n =u r ，由212100n A D n A M ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u r uuur u u r uuuu r得2222224020x z x z --=⎧⎪⎨-+-=⎪⎩，令22x =得2(2,0,1)n =-u u r ，∴12121215cos ,5n n n n n n ⋅==⋅u r u u ru r u u r u r u u r ，∴二面角1A MA N --的正弦值为5.19.解答：设直线l 的方程为b x y +=23，设),(11y x A ，),(22y x B ，（1）联立直线l 与抛物线的方程：⎪⎩⎪⎨⎧=+=x y bx y 3232消去y 化简整理得0)33(4922=+-+b x b x ，0494)33(22>⨯--=∆b b ，21<∴b ，9)33(421b x x -⨯=+，依题意4||||=+BF AF 可知42321=++x x ，即2521=+x x ，故259)33(4=-⨯b ，得87-=b ，满足0>∆，故直线l 的方程为8723-=x y ，即07128=+-x y .（2）联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=x y b x y 3232消去x 化简整理得0222=+-b y y ，084>-=∆b ，21<∴b ，221=+y y ，b y y 221=， PB AP 3=，可知213y y -=，则222=-y ，得12-=y ，31=y ，故可知23-=b 满足0>∆，∴3134|13|941||11||212=+⨯+=-⋅+=y y k AB .20.解答：(1)对()f x 进行求导可得，1()cos 1f x x x '=-+，(12x π-<<取1()cos 1g x x x=-+，则21()sin (1)g x x x '=-++,在(1,2x π∈-内21()sin (1)g x x x '=-++为单调递减函数，且(0)1g =，21(102(1)2g ππ=-+<+所以在(0,1)x ∈内存在一个0x ，使得()0g x '=，所以在0(1,)x x ∈-内()0g x '>，()f x '为增函数；在0(,2x x π∈内()0g x '<，()f x '为减函数，所以在()f x '在区间(1,2π-存在唯一极大值点；（2）由（1）可知当(1,0)x ∈-时，()f x '单调增，且(0)0f '=，可得()0'<x f 则()f x 在此区间单调减；当0(0,)x x ∈时，()f x '单调增，且(0)0f '=，()0f x '>则()f x 在此区间单调增；又(0)0f =则在0(1,)x x ∈-上()f x 有唯一零点0x =.当0(,2x x π∈时，()f x '单调减，且0()0,()02f x f π''><，则存在唯一的10(,)2x x π∈，使得1()0f x '=，在01(,)x x x ∈时，()0f x '>，()f x 单调增；当1(,)2x x π∈时，()f x 单调减，且()1ln(1)1ln 022f e ππ=-+>-=，所以在0(,)2x x π∈上()f x 无零点；当(,)2x ππ∈时，sin y x =单调减，ln(1)y x =-+单调减，则()f x 在(,)2x ππ∈上单调减,()0ln(1)0f ππ=-+<,所以在(,)2x ππ∈上()f x 存在一个零点.当(,)x π∈+∞时，()sin ln(1)1ln(1)0f x x x π=-+<-+<恒成立，则()f x 在(,)x π∈+∞上无零点.综上可得，()f x 有且仅有2个零点.21.解答：（1）一轮实验中甲药的得分有三种情况：1、1-、0．得1分时是施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈，则(1)(1)P X αβ==-；得1-分时是施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈，则(1)(1)P X αβ=-=-；得0分时是都治愈或都未治愈，则(0)(1)(1)P X αβαβ==+--．则X的分布列为：（2）（i ）因为0.5α=，0.8β=，则(1)0.4a P X ==-=，(0)0.5b P X ===，(1)0.1c P X ===．可得110.40.50.1i i i i p p p p -+=++，则110.50.40.1i i i p p p -+=+，则110.4()0.1()i i i i p p p p -+-=-，则114i ii i p p p p +--=-，所以1{}(0,1,2,,7)i i p p i +-= 为等比数列．（ii ）1{}(0,1,2,,7)i i p p i +-= 的首项为101p p p -=，那么可得：78714p p p -=⨯，67614p p p -=⨯，………………2114p p p -=⨯，以上7个式子相加，得到76811(444)p p p -=⨯+++ ，则886781111441(1444)143p p p p --=⨯++++=⨯=- ，则18341p =-，再把后面三个式子相加，得23411(444)p p p -=⨯++，则4423411844141311(1444)334141257p p p --=⨯+++==⨯==-+．4p 表示“甲药治愈的白鼠比乙药治愈的白鼠多4只，且甲药的累计得分为4”，因为0.5α=，0.8β=，αβ<，则实验结果中“甲药治愈的白鼠比乙药治愈的白鼠多4只，且甲药的累计得分为4”这种情况的概率是非常小的，而41257p =的确非常小，说明这种实验方案是合理的．22.(1)曲线C :由题意得22212111t x t t -==-+++即2211x t +=+，则2(1)y t x =+，然后代入即可得到2214y x +=(1)x ¹-而直线l ：将cos ,sin x y ρθρθ==代入即可得到2110x ++=（2）将曲线C 化成参数方程形式为则d =所以当362ππθ+=23.（1）1abc = ，111bc ac ab a b c∴++=++.由基本不等式可得：222222,,222b c a c a b bc ac ab +++≤≤≤，于是得到222222222111222b c a c a b a b c a b c +++++≤++=++.（2）由基本不等式得到：332()8()a b a b ab +≥+≥，332()8()b c b c bc +≥+≥，332()8()c a c a ac +≥+≥.于是得到333333222()()()8[()()()]a b b c c a ab bc ac +++++≥++824≥⨯。