皖南八校2020届高三第一次大联考理科数学试题

“皖南八校”2020届高三第一次联考数学(理科)2019.10考生注意：1.本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分。

满分150分，考试时间120分钟。

2.考生作答时，请将答案答在答题卡上。

第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；第II 卷请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。

3.本卷命题范围：集合与常用逻辑用语、函数与导数、三角函数与解三角形、平面向量、复数。

第I 卷(选择题 共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.在复平面内，复数21i z i =+的共扼复数的对应点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.若集合2{560},{20}xA x x xB x =-->=>，则(R A ð)∩B ＝A.{|－1≤<0}B.{|0<≤6}C.(|－2≤<0}D.{|0<≤3}3.若a ＝log 30.3，b ＝log 0.30.2，c ＝0.20.3，则A.a<b<cB.b<c<aC.a<c<bD.b<a<c 4.已知向量(1,2),(,5)AB BC x =--=u u u r u u u r ，若7AB BC ⋅=-u u u r u u u r ，则AC u u u r ＝A.5B.42C.6D.525.函数2sin 1x x y x+=+的部分图象大致为6.为了测量铁塔OT 的高度，小刘同学在地面A 处测得铁塔在东偏北1907'方向上，塔顶T 处的仰角为300，小刘从A 处向正东方向走140米到地面B 处，测得铁塔在东偏北7907'方向上，塔顶T 处的仰角为600，则铁塔OT 的高度为7米 7米 21米 21米7.在平面直角坐标系Oy 中，角α的顶点为O ，始边与轴正半轴重合，终边过点(214，则5sin()4πα+= 17- B.17+ 71- 71+ 8.已知非零向量a ，b 满足|a ＋2b|7，a ⊥(a －2b)，则向量a ，b 的夹角为 A.6πB.4πC.3πD.2π9.关于复数＝＋yi(，y ∈R)，下列命题①若|＋i|＝1，则2＋(y ＋1)2＝1；②为实数的充要条件是y ＝0；③若i 是纯虚数，则≠0；④若11i z=+，则＋y ＝1。

“皖南八校”2020届高三第一次联考数学（理科）考生注意：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.2. 本卷命题范围：集合与常用逻辑用语、函数、三角函与解三角形、平面向量、复数.第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 在复平面内，复数21iz i=+的共轭复数的对应点位于（ ） A. 第一象限B 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2. 若集合{}2|560A x x x =-->，{}|21x B x =>，则()R C A B =（ ）A. {}|10x x -≤<B. {}|06x x <≤C. {}|20x x -≤<D. {}|03x x <≤3. 若3log 0.3a =，0.3log 0.2b =，0.30.2c =，则（ ） A. a b c <<B. b c a <<C. a c b <<D. b a c <<4. 已知向量()1,2AB =--，(),5BC x =，若7AB BC ⋅=-，则AC =（ ）A. 5B.C. 6D. 5. 函数2sin 1x xy x +=+的部分图象大致为（ ）A. B. C. D.6. 为了测量铁塔OT 的高度，小刘同学在地面A 处测得铁塔在东偏北197'︒方向上，塔顶丁处的仰角为30︒，小刘从A 处向正东方向走140米到地面B 处，测得铁塔在东偏北797'︒方向上.塔顶T 处的仰角为60，则铁塔OT 的高度为（ ）A.B. 米C.D.7. 在平面直角坐标xOy 系中，角α的顶点为O ，始边与x 轴正半轴重合，终边过点(，则5sin 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A.14 B. 14+-C.14D.14+ 8. 已知非零向量a ，b 满足27a b a +=，()2a a b ⊥-，则向量a ，b 的夹角为（ ）A.6π B.4π C.3π D.2π 9. 关于复数(),z x yi x y R =+∈，下列命题①若1z i +=，则()2211x y ++=：②z 为实数的充要条件是0y =；③若zi 是纯虚数，则0x ≠；④若11i z=+，则1x y +=，其中真命题的个数为（ ） A. 1B. 2C. 3D. 410. 若曲线()()21x f x ax e -=-在点()()2,2f 处的切线过点()3,3，则函数()f x 的单调递增区间为（ ）A. ()0,+∞B. (),0-∞C. ()2,+∞D. (),2-∞11. 已知函数()sin cos f x x x =+，则下列说法正确的是（ ） A. 函数()f x 的图象关于直线()x kx k Z =∈对称 B. 函数()f x 在[],2ππ上单调递增 C. 函数()f x 的图象关于点(),02k k Z ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭对称D. 函数()f x 的值域为⎡⎣12. 已知函数()2f x ax x =-，()2,02,0ax x x g x a x x ⎧-≥=⎨-<⎩，若方程()()0g f x =有四个不等的实数根，则实数a 的取值范围是（ ） A. ()4,0-B. ()0,4C. ()(),40,-∞-+∞ D. ()(),04,-∞+∞第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 若()12143a x dx --=⎰，则a =______.14. 已知()sin 1αβ+=-，()7sin 25αβ-=-，则tan tan αβ=______. 15. 已知四边形ABCD 是平行四边形，点E 在CB 的延长线上，3BC =，1AE AB ==，30C ∠=︒.若AE xAB y AD =+，则x =______.16. 已知函数()sin 22cos f x x x =+，则()f x 的最大值为______.三、解答题：本大题共6小题.共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.17. 已知p ：函数()()2246f x x a x =-++在()1,+∞上是增函数，q ：x R ∀∈，2230x ax a ++->，若()p q ∧⌝是真命题，求实数a 的取值范围.18. 已知cos,sin 22x x a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()2,1b = （1）若//a b ，求()sin cos 3sin x x x +的值； （2）若()()22sin2x f x a b =+=，将函数()f x 的图象向右平移2π个单位长度后，得到函数()g x 的图象，求函数()g x 的表达式及()g x 的最小正周期.19. 在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()2sincos sin sin 22A C Ba b c C a A π+-+=-. （1）求角C 的大小；（2）若7c =，()13cos 14A C +=-，求ABC △的面积.20. 已知函数())()cos cos 0f x xx x ωωωω=->，A ，B 分别是曲线()y f x =上的一个最高点和一个最低点，且AB （1）求函数()f x 的单调递增区间和曲线()y f x =的对称中心的坐标； （2）若不等式()1f x m -<对,122x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦恒成立，求实数m 的取值范围.21. 已知函数()3261f x ax x =-+，a R ∈.（1）当2a =，[]3,3x ∈-时，求函数()f x 的最大值；（2）若函数()f x 存在唯一零点0x ，且00x >，求实数a 的取值范围.22. 已知函数()21ln x a x f x a -+=，()11x g x e x-=-.（1）函数()f x 是否有极值？若有，求出极值;若没有，说明理由. （2）若对任意1x >，()()f x g x <，求实数a 的取值范围.“皖南八校”2020届高三第一次联考·数学（理科）参考答案、解析一、选择题 1-5：DBCAB 6-10：CDCCA11-12：AD1. D ()2112i i z i -==+，1z i =-. 2. B {}{}2|560|16R C A x x x x x =--≤=-≤≤，{}|0B x x =>，(){}|06R C A B x x =<≤.3. C 0.30.3log 0.2log 0.31b =>=，000.21c <<=，0a <，∴a c b <<.4. A 107AB BC x ⋅=--=-，3x =-，∵()4,3AC AB BC =+=-，∴5AC =. 6. C 塔底为O ，则在Rt TAO △中，OA =，在Rt TBO △中，OT =，∴3OA OB =.在AOB △，60AOB ∠=︒，140AB =，∴22222114092372OB OB OB OB =+-⨯⨯=，∴OB =∴OT =. 7. Dsin 4α=-，cos 4α=-，5sin sin 44ππαα⎛⎫⎛⎫+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==⎝⎭ 8. C ()222202aa ab a a b a b ⊥-⇒-⋅=⇒⋅=，22227447a b a a a b b a +=⇒+⋅+=，∴a b =，1cos ,2a b a b a b⋅==，∴,3a b π=. 9. C ①②③是真命题.10. A ()221f a =-，()()2'1x f x ax a e-=-+，()'231f a =-，切线方程为()()21312y a a x -+=--，4231a a -=-，1a =， ∴()2'x f x xe-=，∴()'0f x >，0x >，∴()f x 的单调增区间为()0,+∞.11. A[]()2,2x k k k Z πππ∈+∈时，sin 0x ≥，()sin cos 4x x x f x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，[]()2,2x k k k Z πππ∈-∈时，sin 0x ≤，()sin cos 4x x x f x π⎛⎫=-+=+ ⎪⎝⎭.12. D 当0a >时，由()0g t =得0t =或t a =，()()0g f x =化为()0f x =或()f x a =，()0f x =有两解，()f x a =要有两解时，240a a ∆=->，4a >， 当0a =时，()()0g f x =化为()0f x =，20x =只有一解， 当0a <时，由()0g t =得0t =或2at =，()()0g f x =化为()0f x =或()2a f x =，()0f x =有两解，只要()2a f x =，202ax ax -+=有两解，∴220a a ->，∴0a <. 综上，()(),04,a ∈-∞+∞.二、填空题13. 1 14. 16915. 2 16. 214.169 ∵()sin sin cos cos sin 1αβαβαβ+=+=-，()7sin sin cos cos sin 25αβαβαβ-=-=-，∴16sin cos 25αβ=-，9cos sin 25αβ=-，∴tan sin cos 16tan cos sin 9ααββαβ==.15. 2 由1AB AE ==，30ABE C ∠=∠=︒，得BE =，∵3BC =，∴BC =，∴33BE BC =-，∴3333AE AB BE AB BC AB AD =+=-=-，1x =，y =，112x -=+=.16.()2'2cos22sin 24sin 2sin 0f x x x x x =-=--≥，22sin sin 10x x +-≤，11sin 2x -≤≤， 显然2π是()f x 的一个周期，当[]0,2x π∈时，()f x 的单调增区间为0,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，5,26ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，单调减区间为5,66ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，62f π⎛⎫=⎪⎝⎭，()22f π=<()f x 三、解答题17. 解：p 真时，21a +≤，1a ≤-，q 真时，()224238120a a a a --=-+<，26a <<，q ⌝为真时，6a ≥或2a ≤，∵()p q ∧⌝为真， ∴p 与q ⌝都为真， ∴1a ≤-，即(],1a ∈-∞-.18. 解：（1）由//a b ，得cos 2sin 22x x =，1tan 22x =，∴22tan42tan 31tan 2xx x ==-， ∴()()22sin cos 3sin c s os si in cos n 3sin x x x x x x x x +=++()2tan 13tan 121tan 5x x x +==+， （2）()()22sin 2x f x a b =++22cos 2sin 12sin 222x x x ⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4cos 2sin 62sin 622224x x x x π⎛⎫=+++=++ ⎪⎝⎭，∴()662442x x g x ππ⎛⎫=-++=+⎪⎝⎭，最小正周期为4T π=. 19. 解：（1）由()2sincos sin sin 22A C Ba b c C a A π+-+=-，A C B π+=-， 得()sin sin sin B c C a b a A -+=， ∴由正弦定理，得()22a b b c a +=-，∴222a b c ab +-=-， ∴由余弦定理，得1cos 2C =-，∵0C π<<，∴23C π=. （2）在ABC △中，∵()13cos 14A C +=-，∴13cos 14B =，sin B =，∵7c =，∴sin 3sin c Bb C==， 又()sin cos cos si s 1i n n sin 4B C B A B C C =+==+， ∴ABC △的面积1sin 2S bc A ==.20. 解：（1）()2cos cos x x x f x ωωω=-1cos 2222xx ωω+=-， 1sin 262x πω⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，22T πω=，∵AB∴22T π=，∴1ω=， ∴()1sin 262x f x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭， 由()222262k x k k Z πππππ-+≤-≤+∈得()63k x k k Z ππππ-≤≤+∈，∴函数()f x 的单调增区间为(),63k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，由()26x k k Z ππ-=∈得()212k x k Z ππ=+∈， ∴曲线()y f x =的对称中心坐标为()1,2122k k Z ππ⎛⎫+-∈⎪⎝⎭， （2）∵()1f x m -<，∴()()11f x m f x -<<+， ∵,122x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦， ∴52366x πππ-≤-≤，∴sin 2126x π⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭，∴()12f x ≤≤， ∵()1f x m -<对,122x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦恒成立，∴111122m -<<-，即11,22m ⎛⎫∈- ⎪ ⎪⎝⎭. 21. 解：（1）2a =时，()32261f x x x =-+，()()2'61262f x x x x x =-=-， 当0x <或2x >时，()'0f x >；当02x <<时，()'0f x <， ∴()f x 在[]3,0-，[]2,3上，都是增函数，在[]0,2上是减函数，∵()01f =，()3545411f =-+=，∴[]3,3x ∈-时，()f x 的最大值为1. （2）()()2'31234f x ax x x ax =-=-，当0a >时，由()'0f x >得0x <或4x a>，()f x 在(],0-∞上是增函数，且()16150f a a -=--+=--<，()010f =>，∴()f x 在()1,0-上有零点，不合题意，当0a =时，()216f x x =-有两个零点，不合题意，当0a <时，由()'0f x >得40x a <<，()f x 的单调增区间为4,0a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，单调减区间为4,a ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，[)0,+∞，由题意知243210f a a ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，232a >，∵0a <，∴a <-， 此时，()()32226161fa a a a a a =-+=--+226150a a <--+=--<，()01f =，∴()f x 有唯一零点0x ，且()00,x a ∈，∴(,a ∈-∞-.22. 解：（1）()f x 的定义域为()0,+∞，()212'2a a xf x x a x ax -⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，当0a <时，()'0f x >，()f x 的单调增区间为()0,+∞，()f x 没有极值，当0a >时，()'0f x >，0x <<；()'0f x <，x >()f x 的单调增区间为⎛ ⎝，单调减区间为⎫+∞⎪⎪⎭，∴()f x 有极大值111ln 222af a =-+，没有极小值，（2）()1111x xx x e g x ex xe----=-=， 令()1x h x x e-=-，则()1'1x h x e-=-，1x >时，()'0h x <，()h x 在[)1,+∞上是减函数，当1x >时，()()10h x h <=，∴()()10g x g <=，∴要使()()f x g x <对1x >成立，必须()0f x <对1x >成立，当0a <时，由（1）知1x >，()()10f x f >=，所以当()()()1f x g x x <>成立，必有0a >，当2a >1>，由（1）有()10f f >=，从而()()()1f x g x x <>不恒成立， 当02a <≤时，令()()()()211ln 11x x a x e m x f x xx a g x -=-+=-+≥-， ()122121111'1x x e x m x a x x x x -=-+-≤-+-()22221210x x x x x --+=-=-≤， ∴()m x 在[)1,+∞上是减函数，∴1x >时，()()10m x m <=， ∴a 的取值范围是(]0,2.。

安徽省皖南八校2020届高三第一次联考数学理doc 高中数学数学试题〔理科〕考生注意：1．本试卷分第I 卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两部分。

总分值100分，考试时刻100分钟。

2．答题前，请考生务必将答题纸左侧密封线内的项目填写清晰。

请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上，在试题卷上作答无效．．．．．．．．．。

第I 卷 〔选择题 共50分〕一、选择题：本大题10小题，每题5分，共50分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。

1．全集U=R ，集合2{|(1)4}A x x =-≤，那么U C A 等于 〔 〕A ．{|13}x x x ≤-≥或B ．{|13}x x x <->或C ．{|13}x x -<<D ．{|13}x x -≤≤ 2．设复数2221,z i z z =-+则等于〔 〕A ．1i -+B ．1i +C ．12i -+D ．12i +3．命题〝对任意直线l ，有平面α与其垂直〞的否定是〔 〕 A ．对任意直线l ，没有平面α与其垂直 B ．对任意直线l ，没有平面α与其不垂直 C ．存在直线0l ，有平面α与其不垂直 D ．存在直线0l ，没有平面α与其不垂直4．等比数列,5443{}1,31,21,n n a n S q S a S a ≠=+=+的前项和为公比若那么q 等于〔 〕A ．2B ．—2C ．3D ．—15．设点P 是双曲线22221(,0)x y a b a b-=>>与圆2222x y a b +=+在第一象限的交点F 1，F 2分不是双曲线的左、右焦点，且12||2||PF PF =，那么双曲线的离心率为〔 〕A ．5B ．52C ．10D ．1026．假设变量,x y 满足约束条件2001x y x y y --≤⎧⎪≥⎨⎪≤⎩，那么目标函数2z x y =-的最大值为 〔 〕A ．—3B ．3C ．—1D ．17．有一种波，其波形为函数sin()2y x π=的图象，假设在区间[0,]t 上至少有2个波峰〔图象的最高点〕，那么 正整数t 的最小值是 〔 〕A ．3B ．4C ．5D ．68．如右图程序框图，假设输出63p =，那么输入框应填入 A ．6i > B ．5i >C ．4i <D ．3i >9．假设函数()(,)y f x a b =的导函数在区间上不是单调函数，那么函数()y f x =在区间[,]a b 上的图象可能是〔 〕A ．①③B ．②④C ．②③D ．③④ 10．考察底为等腰直角三角形的直三棱柱的9条棱，甲从这9条棱中任选一条，乙从这9条棱中任选一条，那么这两条棱互相垂直的概率为 〔 〕 A ．2281B ．3781C ．4481D ．5981第二卷 〔非选择题 共100分〕二、填空题：本大题共5小题，每题5分，共25分，把答案填在答题卡的相应位置。

安徽省皖南八校2020-2021学年高三上学期第一次联考数学（理）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}220M x x x =--≤，{}xN y y π==，则MN =（ ）A ．(]0,2B ．(]0,1C ．[)2,-+∞D ．[)1,-+∞2．已知复数z 满足2z z i -=，则z 的虚部是（ ） A ．1-B ．1C ．i -D ．i3．已知实数0x >，0y >，则“1xy <”是“1133log log 0x y +>”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件4．若tan 2α，则()()sin cos παπα⋅-+=（ ）A ．45 B ．25C ．25±D ．25-5．定积分22sin x -+⎰的值是（ ）A ．2π B ．πC ．2πD ．32π 6．设向量0,2a ，()2,2b =，则（ ）A ．a b =B ．()//a b b -C ．a 与b 的夹角为3π D ．()a b a -⊥7．已知0.3a e =，12eb ⎛⎫= ⎪⎝⎭，5log c =，sin 4d =，则（ ） A ．a b c d >>>B ．a c b d >>>C ．d b a c >>>D ．b a d c >>>8．某特种冰箱的食物保鲜时间y （单位：小时）与设置储存温度x （单位：C ︒）近似满足函数关系3kx by +=（k ，b 为常数），若设置储存温度0C ︒的保鲜时间是288小时，设置储存温度5C ︒的保鲜时间是144小时，则设置储存温度15C ︒的保鲜时间近似是（ ） A ．36小时B ．48小时C ．60小时D ．72小时9．将函数()sin 3f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），然后向左平移3π个单位，所得函数记为()g x .若1x ，20,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，12x x ≠，且()()12g x g x =，则()12g x x +=（ ）A ．12-B ．C ．12D10．如图，地面四个5G 中继站A 、B 、C 、D ，已知km CD =，30ADB CDB ∠=∠=︒，45DCA ∠=︒，60ACB ∠=︒，则A 、B 两个中继站的距离是（ ）A ．B ．CD ．11．已知函数()2332x f x x x e ⎛⎫=-⋅⎪⎝⎭，则（ ）A．函数()f x 的极大值点为x B ．函数()f x 在(,-∞上单调递减 C ．函数()f x 在R 上有3个零点 D ．函数()f x 在原点处的切线方程为3y x =-12．已知函数()()42,224,2x x f x f x x ⎧+-<-⎪=⎨-≥-⎪⎩以下结论正确的个数有（ ）①()50720202f =；②方程()114f x x =-有四个实根； ③当[)6,10x ∈时，()8816f x x =--；④若函数()y f x t =-在(),10-∞上有8个零点()1,2,3,,8i x i =，则()81i i i x f x =∑的取值范围为()16,0-. A ．1 B ．2C ．3D ．4二、填空题13．设函数()f x 是R 内的可导函数，且()ln ln f x x x =，则()1f '=________.14．已知函数()221xf x x e ππ-⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，则不等式()()121f x f x -<-的解集是________.15．将函数()()cos 0f x x ωω=>的图象向左平移6π个单位长度后，得到函数()y g x =的图象，若函数()g x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是单调递减函数，则实数ω的最大值为________.16．已知ABC ∆为边长为2的等边三角形，动点P 在以BC 为直径的半圆上，若AP AB AC λμ=+，则2λμ+的最小值为________.三、解答题17．已知函数()()sin f x A x =+ωϕ，其中0A >，0>ω，22ππϕ-<<，x ∈R ，其部分图象如图所示.（1）求函数()y f x =的解析式；（2）已知函数()()cos g x f x x =，求函数()g x 的单调递增区间.18．已知函数2()(14)x mf x x x+=≤≤，且()15f =.（1）求实数m 的值，并求函数()f x 的值域；（2）函数()()122g x ax x =--<<，若对任意[]11,4x ∈，总存在[]02,2x ∈-，使得()()01g x f x =成立，求实数a 的取值范围.19．在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且满足()274cos cos 222A B A B +-+=. （1）求角C ；（2）设D 为边AB 上的点，CD 平分ACB ∠，且1CD =，若ACD △与BCD 的面积比2:1，求AC 的长. 20．设函数()()1,0f x a b a bx=>+.（1）若函数()f x 在1x =处的切线方程是430bx y +-=，求实数a ，b 的值； （2）在（1）的条件下，若()()2ln x k f x x -≥对于01x <≤恒成立，求实数k 的取值范围.21．某科技公司生产某种芯片.由以往的经验表明，不考虑其他因素，该芯片每日的销售量y （单位：枚）与销售价格x （单位：元/枚，1050x <≤）：当1030x <≤时满足关系式()23010ny m x x =-+-，（m ，n 为常数）；当3050x <≤时满足关系式704900y x =-+.已知当销售价格为20元/枚时，每日可售出该芯片7000枚；当销售价格为30元/枚时，每日可售出该芯片1500枚. （1）求m ，n 的值，并确定y 关于x 的函数解析式；（2）若该芯片的成本为10元/枚，试确定销售价格x 的值，使公司每日销售该芯片所获利润()f x 最大.（x 精确到0.01元/枚）22．已知函数()()1,,0xf x a e bx a b R ab =⋅--∈≠.（1）讨论()f x 的单调性；（2）证明：当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()()212sin 122ln sin x x x x x +->++.参考答案1．A 【分析】依题意得[]12M =-,，()0,N =+∞，直接求交集即可. 【详解】依题意得[]12M =-,，()0,N =+∞， (]0,2MN ∴=.故选：A . 【点睛】本题考查了集合的交集运算，考查了解一元二次不等式，属于基础题. 2．B 【分析】设(),z a bi a b R =+∈，根据2z z i -=，求得1b =，即可求得复数z 的虚部，得到答案. 【详解】设(),z a bi a b R =+∈，因为2z z i -=，可得()22z z a bi a bi bi i -=+--==， 则22b =，可得1b =，所以复数z 的虚部是1. 故选：B. 【点睛】本题主要考查了复数的运算，共轭复数的概念，以及复数相等的应用，其中解答中熟记复数相等的条件是解答的关键，属于基础题. 3．C 【分析】 由不等式111333log log log 0x y xy +=>，求得01xy <<，结合充要条件的判定方法，即可求解. 【详解】由题意，实数0x >，0y >，不等式111333log log log 0x y xy +=>，解得01xy <<，所以实数0x >，0y >，则“1xy <”是“1133log log 0y +>”的充要条件.故选：C. 【点睛】本题主要考查了充要条件的判定，以及对数的运算性质，其中解答中熟记充要条件的判定方法，以及熟练应用对数的运算性质是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题. 4．D 【分析】先利用诱导公式化简，再利用同角三角函数的关系化简可得结果 【详解】()()()222sin cos tan 2sin cos sin cos sin cos sin cos tan 15ααααππαααααααα-⋅+=-⋅-=⋅===-++. 故选：D 【点睛】此题考查诱导公式的应用，考查同角三角函数的关系的应用，属于基础题 5．C 【分析】根据定积分的性质和运算法则可得答案. 【详解】(2222221sin sin 222x dx xdx ππ---+=+=⨯=⎰⎰⎰.故选：C. 【点睛】本题考查了利用定积分的性质求值的问题，属于基础题. 6．D 【分析】分别用坐标运算向量的模长、夹角、共线、垂直可得答案. 【详解】 因为0,2a ，()2,2b =，所以2a =，22b =，所以a b ≠，故A 错误； 因为0,2a，()2,2b =，所以()2,0a b -=-，所以()a b -与b 不平行，故B 错误；又cos ,42a b a b a b⋅===⋅，所以a 与b 的夹角为4π，故C 错误； 又()000a a b ⋅-=-=， 故选：D 正确. 【点睛】本题考查了向量的坐标运算，属于基础题. 7．B 【分析】由指数函数的单调性判断,a b 的范围，再由对数函数的单调性判断c 的范围，再由三角函数的性质判断d 的范围，从而可得结果 【详解】0.301e e >=，1a ∴>，11110222e ⎛⎫⎛⎫<<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，102b ∴<<，551log 7log 2>=，且55log log 51<=， 112c ∴<<， ∵sin 40d =<.a cb d ∴>>>.【点睛】此题考查指数式、对数式，三角函数值比较大小，利用了函数的单调性，属于基础题 8．A 【分析】根据两次的储存温度和保鲜时间可得3288b =、5132k=从而得到y ，再把储存温度为15°代入即可. 【详解】由题意得532883144b k b +⎧=⎨=⎩，5144132882k∴==，所以15x =时，()31551333288368k bk b y +==⋅=⨯=.故选：A . 【点睛】本题考查了求指数函数型解析式及应用. 9．D 【分析】先利用函数()sin y A ωx φ=+的图像变换规律求得()g x 的解析式，再利用正弦函数的图像的对称性，求得12x x +的值，可得()12g x x +的值. 【详解】将函数()sin 3f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），可得sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象；再向左平移3π个单位，所得函数()sin 23g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，若1x ，20,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，12x x ≠，则142,333x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，242,333x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭， ()()12g x g x =，12223322x x πππ+++∴=， 126x x π∴+=，则()122sin 2sin 633g x x πππ⎛⎫+=⨯+== ⎪⎝⎭故选：D. 【点睛】本题考查函数()sin y A ωx φ=+的图像变换规律，正弦函数的对称性，属于中档题. 10．C 【分析】由正弦定理得求得AC 、BC 长，再由余弦定理得AB 长可得答案. 【详解】由题意可得75DAC ∠=︒，45DBC ∠=︒，在ADC中，由正弦定理得sin 2sin sin 75CD ADCAC DAC⋅∠===∠︒在BDC中，由正弦定理得1sin 1sin 2CD BDC BC DBC⨯⋅∠===∠，在ACB △中，由余弦定理得2222cos AB AC BC AC BC ACB =+-⨯⨯⋅∠())22112112=+-⨯⨯=，所以AB =. 故选：C. 【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理解三角形的应用. 11．D 【分析】求出函数()f x 的导函数，用导数判断函数的单调性，并求极值，从而可以判断零点个数逐项排除可得答案. 【详解】令()0f x '=得x或x =当((),2,x ∈-∞+∞时，()0f x '>，函数()y f x =的增区间为(,-∞，)+∞；当(x ∈时，()0f x '<，函数()y f x =的减区间为(，故B 错误. 所以当x =()y f x=有极大值，故A 错误. 当x <()23302x x x x e f ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭恒成立，所以函数()y f x =在(,-∞没有零点；当x <<时，函数()y f x =在(上单调递减，且()00f =，存在唯一零点；当x >()y f x =在)+∞上单调递增，且()20f =，存在唯一零点.故函数()y f x =在R 上有两个零点，故C 错误. 函数()2332x f x x x e ⎛⎫=-⎪⎝⎭，得()21312x e f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭'，则()03f '=-； 又()00f =，从而曲线()y f x =在原点处的切线方程为3y x =-，故D 正确. 故选：D. 【点睛】本题考查了用导数判断函数的单调性、极值、零点及求切线方程，要求学生有较好的理解力和运算能力，是中档题. 12．B 【分析】根据()()42,224,2x x f x f x x ⎧+-<-⎪=⎨-≥-⎪⎩的图像和性质，逐个判断即可得解.【详解】对①，()()()()50550650720202201620242f f f f ====-=-.故①错误.对②，画出()()42,224,2x x f x f x x ⎧+-<-⎪=⎨-≥-⎪⎩图像知，()114f x x =-有四个根.故②正确.对③，当[)6,10x ∈时，()()()()()2448812812428816f x f x f x f x x x =-=-=-=-+-=--.故③正确.对④，画出图像，()y f x t =-有8个零点，即()y f x =与y t =有8个交点.此时()81iii x f x t ==∑，()814202428216ii xt t ==-⨯+⨯+⨯+⨯=⎡⎤⎣⎦∑.又()2,0t ∈-.若函数()y f x t =-在(),10-∞上有8个零点()1,2,3,,8i x i =，则()81i i i x f x =∑的取值范围为()32,0-，故④错误. 故选：B. 【点睛】本题考查了分段函数的图像与性质，考查了周期型函数，同时考查了数形结合思想以及作图能力，属于中档题.【分析】先利用换元法求出()f x 的解析式，再对函数求导，从而可求出()1f '的值 【详解】令ln t x =，()t f t te =，所以()xf x xe =，()()1x f x x e '=+，()12f e '=.故答案：2e ， 【点睛】此题考查换元法求函数的解析式，考查函数的求导法则的应用，考查计算能力，属于基础题 14．20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】根据函数的奇偶性、单调性将问题转化为121x x ->-可得解. 【详解】由于()()f x f x -=，所以函数为偶函数，当0x ≥时， ()221xf x x e ππ-⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，()321140x f x x x e πππ-⎛⎫'=-+-< ⎪⎝⎭，所以()f x 在[)0,+∞上为减函数，在(),0-∞是增函数，要()()121f x f x -<-，则需121x x ->-，解得20,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.故答案为：20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查了利用函数的奇偶性、单调性解不等式的问题. 15．32【分析】求出()y g x =的平移后的解析式，再利用函数()g x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是单调递减函数，从而得到ω的范围，进而得到其最小值.由题意，将函数()()cos 0f x x ωω=>的图象向左平移6π个单位长度，得到函数()cos 6y g x x ωπω⎛⎫==+⎪⎝⎭的图象，若函数()g x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是单调递减函数， 0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，2,663x ωπωπωπω⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦，[]2,2,263k k ωπωππππ⎡⎤∴⊆+⎢⎥⎣⎦. ()222362k k ωπωπωπππππ∴-=≤+-=，02ω∴<≤. 240633ωπωππ∴<<≤.0k ∴=.[]2,0,63ωπωππ⎡⎤⊆⎢⎥⎣⎦∴. 0623ωπωππ⎧>⎪⎪∴⎨⎪≤⎪⎩，解得302ω<≤，所以实数ω的最大值为32.【点睛】本题考查三角函数的平移变换及单调性，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力. 16．12【分析】建立平面直角坐标系，设点()cos ,sin P θθ，[]0,θπ∈，代换化简32sin()26πλμθ+=-+求得最小值得解. 【详解】以圆心O 为坐标原点，分别以BC AO 、所在直线为x 、y 轴建立平面直角坐标系， 则圆O 方程为221x y += 设点()cos ,sin P θθ，[]0,θπ∈，(1,0),(1,0)A B C -则由条件AP AB AC λμ=+得cos sin λμθθ-+=⎧⎪⎨=⎪⎩11cos 2211cos 22λθθμθθ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，故32sin()26πλμθ+=-+，[]0,θπ∈，当62ππθ+=，即3πθ=时,2λμ+最小值为12故答案为12【点睛】本题考查利用平面向量线性定理求最值，属于基础题. 17．（1）()2sin 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）,,36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦.【分析】（1）从函数()y f x =的图象可确定A 及ω，然后将3x π=代入，求解ϕ；（2）先写出()()cos g x f x x =的解析式并利用辅助角公式化简，然后利用整体思想求解单调区间. 【详解】解：（1）由函数()y f x =的图象可知，2A =，54632T πππ=-=，故2T π=，则1ω=， 又当3x π=时，sin 13πϕ⎛⎫+=⎪⎝⎭，且22ππϕ-<<，故=6πϕ，所以()2sin 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（2）()()1cos 2sin cos 2cos cos 62g x f x x x x x x x π⎫⎛⎫==+=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭2111cos cos 2cos 2sin 222262x x x x x x π⎛⎫=+=++=++ ⎪⎝⎭， 令222,262k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈得：,36k x k k Z ππππ-+≤≤+∈.故()g x 的单调递增区间为,,36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查三角函数()()sin f x A x =+ωϕ的解析式的求解及单调区间的求解问题，解答时注意数形结合、注意整体思想的运用，难度一般. 18．（1）4m =；值域为[]4,5；（2）3a ≥或3a ≤-. 【分析】（1）由()15f =求出4m =得到()f x ，再利用单调性可求出值域； （2）对于任意[]11,4x ∈，总存在[]02,2x ∈-，使得()()01g x f x =成立， 转化为()f x 的值域是()g x 值域的子集可求得答案. 【详解】 （1）()15f =，4m ∴=.()244x f x x x x∴+==+()f x 在[]1,2上递减，在[]2,4上递增，且()24f =，()()145f f ==.()f x ∴值域为[]4,5.（2）对于任意[]11,4x ∈，总存在[]02,2x ∈-，使得()()01g x f x =成立， 则()f x 的值域是()g x 值域的子集； 依题意知，0a ≠当0a >时，()[]021,21g x a a ∈---，[][]4,521,21a a ∴⊆---.0214215a a a >⎧⎪∴--≤⎨⎪-≥⎩.3a ∴≥. 当0a <时，()0[21,21]g x a a ∈---，[][]4,521,21a a ∴⊆---.0214215a a a <⎧⎪∴-≤⎨⎪--≥⎩.3a ∴≤-. 故3a ≥或3a ≤-. 【点睛】本题考查了利用函数的单调性求值域，考查了对于任意1x D ∈，总存在0x E ∈，使得()()01g x f x =成立，转化为则()f x 的值域是()g x 值域的子集问题求解.19．（1）23C π=；（2）3. 【分析】（1）由已知条件可得出关于cos C 的二次方程，结合1cos 1C -<<可求得cos C 的值，由0C π<<可求得角C 的值；（2）利用三角形的面积公式可推导出:2:1:AC BC AD BD ==，设BC x =，则2AC x =，然后在ACD △和BCD 中利用余弦定理可得出关于x 的方程，可求得x 的值，进而可求得AC 的长.【详解】（1）由已知可得()()1cos 74cos 222A B C π++⨯--=，即722cos cos 22C C --=，2722cos 2cos 12C C --+=∴，24cos 4cos 10C C ∴++=，1cos 2C ∴=-. 0C π<<，23C π∴=； （2）由（1）知23C π=，设点D 到AC 边的距离为h ，则点D 到BC 边的距离也为h ，因为CD 平分ACB ∠，3ACD π∴∠=，11sin 232ACDCD SA h C AD π=⋅=⋅⋅，11sin 232BCDS BC BD CD h π=⋅=⋅⋅， 由:2:1ACD BCD S S =△△，得:2:1:AC BC AD BD ==. 设BC x =，则2AC x =，分别在ACD △和BCD 中由余弦定理得，22142AD x x =+-，221BD x x =+-.()()2214241x x x x ∴+-=+-，解得32x =，23AC x ∴==. 【点睛】本题考查三角形中的几何计算，考查了三角形的面积公式以及余弦定理的应用，考查计算能力，属于中等题.20．（1）1a b ==；（2）(,1]-∞. 【分析】（1）利用导数的几何意义，求得函数()f x 在1x =处的切线方程，根据题意，列出方程组，即可求解；（2）把()()2ln x k f x x -≥，转化为()11ln 2x k x x -+≤，令()()112ln g x x x x =-+，结合导数求得函数()g x 的单调性与最小值，即可求解. 【详解】（1）由题意，函数()1f x a bx=+，则()()2b f x a bx '=-+， 可得()()21bf a b '=-+，且()11f a b=+， 所以()f x 在1x =处的切线方程是()()211by x a b a b -=--++， 又因为函数()f x 在1x =处的切线方程是430bx y +-=，所以()()224134b b a b b a b a b ⎧-=-⎪+⎪⎨⎪+=⎪++⎩，解得11a b =⎧⎨=⎩或75a b =-⎧⎨=⎩，又由0,0a b >>，所以1a b ==. （2）由（1）可得()11f x x=+， 因为()()2ln x k f x x -≥，即()11ln 2x k x x -+≤. 令()()112ln g x x x x =-+，则()111111ln 2ln 2x x g x x x x +⎛⎫⎛⎫'=-+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令()()ln 1112h x x x x g ⎛⎫'==-- ⎪⎝⎭，所以()22111122x x x x h x -⎛⎫=-+= ⎪⎝'⎭， 当(]0,1x ∈时，()0h x '≥，()h x 递增，即()g x '递增， 所以()()11ln1102g x ≤--='，所以()g x 在(]0,1递减，则()()min 11g x g ==， 可得1k ≤，即实数k 的取值范围为(,1]-∞. 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义，以及恒成立问题的求解，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与最值，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．21．（1）40m =，30000n =，()()()23000040301030107049003050x x y x x x ⎧-+<≤⎪=-⎨⎪-+<≤⎩；（2）.166x ≈. 【分析】(1)由题意得到关于实数,m n 的方程组，求解方程组可得40m =，30000n =，则每日的销售量()()()23000040301030107049003050x x y x x x ⎧-+<≤⎪=-⎨⎪-+<≤⎩； (2)利用(1)中的结论求得利润函数，然后讨论可得：销售价格.166x ≈元/枚时，每日利润最大. 【详解】解：（1）因为20x时，7000y =；30x =时，1500y =，所以150020100700010nn m ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 解得40m =，30000n =，每日的销售量()()()23000040301030107049003050x x y x x x ⎧-+<≤⎪=-⎨⎪-+<≤⎩. （2）由（1）知，当1030x <≤时：每日销售利润()()()()()22300004030104030103000010f x x x x x x ⎡⎤=-+-=--+⎢⎥-⎣⎦ ()324070150090003000x x x =-+-+，()1030x <≤.则()()()()240314015004030350f x x x x x '=-+=--，当503x =或30x =时，()0f x '=，当5010,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增；当50,303x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减. 503x ∴=是函数()f x 在(]10,30上的唯一极大值点，50320004030000327f ⎛⎫=⨯+ ⎪⎝⎭；当3050x <≤时：每日销售利润()()()()270490010708070f x x x x x =-+-=--+，()f x 在40x =有最大值，且()5040630003f f ⎛⎫=< ⎪⎝⎭.综上，销售价格501663.x =≈元/枚时，每日利润最大. 【点睛】本题考查函数的实际应用问题，属于基础题 22．（1）答案不唯一，具体见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）先对函数求导，然后分0a >，0b <；0a >，0b >；0a <，0b >；0a <，0b <四种情况讨论导函数的正负，可得其单调区间；（2）由（1）可知()10xx e f x =--≥，即1x x e ≤-恒成立，从而可得()()221lnsin sin 1ln 1x xx x e++<-，即()()()221lnsin n 11si x x x x ++<-，而()()2222lnsin 1in lns xx x x x ++<+，从而可证得结论【详解】解：（1）()f x 的定义域为(),-∞+∞，()xf x ae b '=-，当0a >，0b <时，0fx ，则()f x 在(),-∞+∞上单调递增；当0a >，0b >时，令0f x，得ln bx a>，令0fx ，得lnb x a<， 则()f x 在,lnb a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递减，在ln ,b a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增；当0a <，0b >时，0f x ，则()f x 在(),-∞+∞上单调递减； 当0a <，0b <时，令0f x，得lnbx a<，令0f x，得ln bx a>，则()f x 在,lnb a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在ln ,b a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减；综上，当0a >，0b <时，()f x 在(),-∞+∞上单调递增；当0a >，0b >时，()f x 在,ln b a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递减，在ln ,b a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增；当0a <，0b >时，()f x 在(),-∞+∞上单调递减；当0a <，0b <时，()f x 在,ln b a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭单调递增，在ln ,b a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减； （2）证明：当1a b ==时，()1x f x e x =--.由（1）知，()()min 00f x f ==，所以()10xx e f x =--≥. 即1x x e ≤-.当且仅当0x =时取等号. 当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()210x +>，()21n s l in 0x x +<， 则()()221lnsin sin 1ln 1x x x x e++<-， 即()()()221lnsin n 11si x x x x ++<-，又()()2222lnsin 1in lns x x x x x ++<+， 所以()()()212ln si i 221n s n x x x x x +++<-，即()()()212sin 122ln sin x x x x x +->++. 【点睛】此题考查导数的应用，考查利用导数求函数的单调区间，考查利用导数证明不等式，考查分类思想，属于较难题。

“皖南八校”2020届高三第一次联考数 学（理科）_______________________________________________________________________________ 2019. 10考生注意:1. 本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

满分150分，考试时间120分钟。

2. 本卷命题范围：集合与常用逻辑用语、函数、三角函与解三角形、平面向量、复数。

第I 卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的.1.在复平面内，复数21i z i=+的共轭复数的对应点位于 A.第一象限 B 第二象限 C.第三象限 D.第四象限2. 若集合2{560},{21}x A x x x B x =-->=>，则()R C A B = A.{10}x x -≤< B.{06}x x <≤ C.{20}x x -≤< D.{03}x x <≤3. 若0.330.3log 0.3,log 0.2,0.2a b c ===，则A. a b c <<B. b c a <<C. a c b <<D. b a c << 4 .已知向量(1,2),(,5)AB BC x =--=,若7AB BC ⋅=-,则AC =A. 5B. D. 5 .函数2sin 1x x y x +=+的部分图象大致为6.为了测量铁塔OT ’的高度，小刘同学在地面A 处测得铁塔在 东偏北方向上，塔顶丁处的仰角为30°,小刘从A 处向 正东方向走140米到地面£处，测得铁塔在东偏北方向上.塔顶T 处的仰角为60。

,则铁塔OT 的高度为A. B.C. D.7.在平面直角坐标xOy 系中，角α的顶点为O ,始边与x 轴正半轴重合，终边过点(，则5sin 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭B. 8.已知非零向量满足，则向量的夹角为A.6π B.4π C.3π D.2π 9．关于复数(,)z x yi x y R =+∈，下列命题①若1z i +=，则22(1)1x y ++=：②z 为实数的充要条件是0y =；③若zi 是纯虚数，则0x ≠；④若11i z=+，则1x y +=•其中真命题的个数为A. 1B. 2C. 3D.410. 若曲线2()(1)x f x ax e -=-在点(2,(2))f 处的切线过点(3,3)，则函数()f x 的单调递增区间为A.(0,)+∞B.(,0)-∞C.(2,)+∞D.(,2)-∞11. 已知函数()sin cos f x x x =+，则下列说法正确的是 A. 函数()f x 的图象关于直线()x kx k Z =∈对称B. 函数()f x 在[,2]ππ上单调递增C. 函数()f x 的图象关于点(,0)()2k k Z ππ+∈对称D. 函数()f x 的值域为[12. 已知函数2()f x ax x =-，2,0()2,0ax x x g x a x x ⎧-≥=⎨-<⎩，若方程(())0g f x =有四个不等的实数 根，则实数a 的取值范围是A. (-4,0)B. (0,4)C.(,4)(0,)-∞-+∞D.(,0)(4,)-∞+∞ 第II 卷（非选择题共90分）二、 填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 若214()13a x dx -=-⎰，则a = ____________ . 14. 已知7sin()1,sin()25αβαβ+=--=-，则tan tan αβ= ___________ . 15. 已知四边形ABCD 是平行四边形，点E 在CB 的延长线上，3,1BC AE AB ===,30C ∠=.若AE xAB y AD =+，则x = .16. 已知函数()sin 22cos f x x x =+，则()f x 的最大值为 ___________ .三、 解答题：本大题共6小题.共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.17. （本小题满分10分）已知:P 函数2()(24)6f x x a x =-++在(1,)+∞上是增函数，:q x R ∀∈，2230x ax a ++->，若()p q ∧⌝是真命题,求实数a 的取值范围.18.（本小题满分12分） 已知(cos ,sin )22x x a =，(2,1)b = （1） 若，求sin (cos 3sin )x x x +的值；（2） 若2()()2sin 2x f x a b =+=，将函数()f x 的图象向右平移2π个单位长度后，得到函数()g x 的图象，求函数()g x 的表达式及()g x 的最小正周期.19.（本小题满分12分）在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2()sin cos sin sin 22A CB a b cC a A π+-+=- （1） 求角C 的大小；（2） 若137,cos()14c A C =+=-，求ABC 的面积20.(本小题满分12分)已知函数()cos cos )(0)f x x x x ωωωω=->，,A B 分别是曲线()y f x =上的一个最高点和一个最低点，且AB (1)求函数()f x 的单调递增区间和曲线()y f x =的对称中心的坐标；(2) 若不等式()1f x m -<对,122x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦恒成立，求实数m 的取值范围.21. (本小题满分12分)已知函数32()61,f x ax x a R =-+∈(1)当2,[3,3]a x =∈- 时，求函数()f x 的最大值；(2) 若函数()f x 存在唯一零点0x ，且00x >，求实数a 的取值范围.22. (本小题满分12分) 已知函数21ln ()x a x f x a -+=，11()x g x e x-=-. (1) 函数()f x 是否有极值？若有，求出极值;若没有，说明理由.(2) 若对任意1,()()x f x g x ><，求实数a 的取值范围.。

安徽省皖南八校2020届高三数学第一次联考试卷本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择)两部分，共150分。

考试时间120分钟。

参考公式：如果事件 A、B互斥，那么：P(A+B)=P(A)十P(B)：如果事件A、B相互独立，那么：P(A-B)=P(A)·P(B)；如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率是：球的表面积公式：，其中R表示球的半径。

球的体积公式：，其中R表示球的半径。

注意事项1、请考生务必将自己的姓名、准考证号填写在指定地方。

2、答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，填在第Ⅱ答题卡上；答第Ⅱ卷直接在试卷指定区域作答。

3、考试结束，监考人员将第Ⅱ卷收回。

第1卷(选择题共60分)一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)l、若从集合A到集合B的映射f满足B中的任何一个元素在A中都有原象，则称映射f为从集合A到集合B的满射，现集合A中有3个元素，集合B中有2个元素，则从集合A到集合B的满射f的个数是：A、5B、6C、8D、92、已知等差数列{}满足，则有：A、 B、 C、D、3、在函数中，最小正周期性为的函数个数是：A、0B、1C、2D、34、(文)椭圆而上的点P到它的左准线距离为l0，那么点P到它的右焦点的距离为：A、15B、12C、10D、8(理)双曲线上的点P到它的右准线的距离为，那么点P到它的左焦点的距离为：A、4或12B、4或20C、12或20D、8或105、若函数y=f(x)的图象图(1)为线段AB、线段BC组成，则其反函数的表达式为：6、(文)函数的单调递增区间为：A、 B、 C、 D、(理)已知函数，则f (一3)与f (2)的大小关系是：A、f (一3)<f (2)B、f (一3)> f (2)C、f (一3) = f (2)D、不能确定7、(文)已知函数有极大值和极小值，则实数的取值范围是：A、一1<<2B、一3<<6C、<-3或>6D、<-1或>2(理)的值为：A、0B、不存在C、D、8、(文)某厂有1000名员工，现管理部门为了调查该厂员工身体状况，随机抽取了部分员工统计，绘制的统计图为图(2)，请估计该厂员工身体状况为E等的人数是：A、60B、50C、40D、20(理)甲、乙二人同做同一题目已知甲做对的概率为0．75，乙做对的概率为，设表示做对题目的人数，则E=A、 B、 C、 D、9、(文)已知 (为常数)在[一2，2]上有最大值，那么此函数在[一2，2]上有最小值为：A、一37B、一29C、一5D、一1l(理) 已知函数是区间上的连续函数，当时，则，等于：A、 B、1 C、 D、010、(文)若函数，在区问[a，2a]上的最大值是最小值的3倍，则a = ：A、 B、 C、 D、(理)若函数在在[1，2]上为减函数，则c的取值范围是：A、 B、 C、 D、ll、(文)设[x]表示不超过x的最大整数(例如：[5．5]=5，[一5．5]＝－6)，则不等式的解集为：A、(2，3)B、[2，4]C、[2，3]D、(理)若随机变量，且，则为：A、 B、 C、 D、12、(文)己知，且与互相垂直，则实数的值为：A、 B、 C、 D、(理)如图(3)，点P为△ABC的外心，且等于：A、2B、4C、6D、8第Ⅱ卷（非选择题共90 分）二、填空题：（本大题共4 小题，每小题4 分，共16 分，把答案填在横线上。

安徽省”皖南八校“高三数学上学期第一次联考试题 理 考生注意：1.本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分。

满分150分，考试时间120分钟。

2.考生作答时，请将答案答在答题卡上。

第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；第II 卷请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。

3.本卷命题范围：集合与常用逻辑用语、函数与导数、三角函数与解三角形、平面向量、复数。

第I 卷(选择题 共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.在复平面内，复数21i z i =+的共扼复数的对应点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.若集合2{560},{20}xA x x xB x =-->=>，则(R A ð)∩B＝A.{x|－1≤x<0}B.{x|0<x≤6}C.(x|－2≤x<0}D.{x|0<x≤3}3.若a ＝log 30.3，b ＝log 0.30.2，c ＝0.20.3，则A.a<b<cB.b<c<aC.a<c<bD.b<a<c 4.已知向量(1,2),(,5)AB BC x =--=u u u r u u u r ，若7AB BC ⋅=-u u u r u u u r ，则AC u u u r ＝A.5B.42C.6D.525.函数2sin 1x x y x+=+的部分图象大致为6.为了测量铁塔OT 的高度，小刘同学在地面A 处测得铁塔在东偏北1907'方向上，塔顶T 处的仰角为300，小刘从A 处向正东方向走140米到地面B 处，测得铁塔在东偏北7907'方向上，塔顶T 处的仰角为600，则铁塔OT 的高度为7米7米21217.在平面直角坐标系xOy 中，角α的顶点为O ，始边与x 轴正半轴重合，终边过点(2，14，则5sin()4πα+= 17- B.17+71-71+ 8.已知非零向量a ，b 满足|a ＋2b|7|a|，a⊥(a－2b)，则向量a ，b 的夹角为 A.6π B.4π C.3π D.2π 9.关于复数z ＝x ＋yi(x ，y∈R)，下列命题①若|z ＋i|＝1，则x 2＋(y ＋1)2＝1；②z 为实数的充要条件是y ＝0；③若zi 是纯虚数，则x≠0；④若11i z =+，则x ＋y ＝1。

安徽省皖南八校2020-2021学年高三上学期摸底联考理科数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知全集U =R ，集合{}21A x x =≥，{}0B x x =≤，则()⋂=U C A B （ ） A ．()1,1- B ．(]0,1 C ．1,0 D ．1,02．已知命题:p m R ∃∈，()23log x f x m x =-是增函数，则p ⌝为（ ）A ．m ∃∈R ，()23log xf x m x =-是减函数 B ．m R ∀∈，()23log xf x m x =-是增函数 C ．m ∃∈R ，()23log xf x m x =-不是增函数 D ．m R ∀∈，()23log xf x m x =-不是增函数3．已知双曲线()222210,0y x a b a b-=>>的两条渐近线互相垂直，且焦距为物线22y bx =的准线方程为（ ）A ．x =B ．2x =-C ．y =D ．2y =- 4．已知向量()2,2a =，()1,b x =，若()//2a a b +，则b =（ ）A ．10B ．2CD 5．将函数()2sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象向左平移14个周期后，所得图象对应的函数为（ ）A ．()2sin 212g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．()2sin 26g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．()72sin 212g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ D ．()22sin 23g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭6．我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题（意为）：“有一个人要走378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.”那么，此人第3天和第4天共走路程是（ ）A ．72里B ．60里C ．48里D ．36里7．执行如下的程序框图，为使输出的b 的值为16，则循环体的判断框内①处应开始填的整数为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．68．函数y =||2x sin2x 的图象可能是A ．B ．C ．D ．9．若正实数x ，y 满足260x y xy ++-=，则2x y +的最小值为（ ）A ．)41B ．)41C ．12D ．410．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体中直线AB (点B 为俯视图中矩形的中心)与平面ACD 所成角的余弦值为（ ）A ．45B ．35C ．310 D11．已知函数()()f x x R ∈满足()()2f x f x -=-，若函数1x y x +=与()y f x =图象的交点为()()()112220202020,,,,,,x y x y x y ，则交点的所有横坐标和纵坐标之和为（ ）A ．1010B ．-2020C ．2020D ．404012．若曲线()21x e f x ax -=+在点()()1,1f 处的切线过点1,0，则函数()f x 的单调递减区间为（ ）A ．,0B ．0,C ．()(),11,0-∞-⋃-D ．(),1-∞-，1,0二、填空题 13．已知复数z 满足：()27142i z i +=-，则z =_________________. 14．已知点M 的坐标(,)x y 满足不等式组240{2030x y x y y +-≥--≤-≤，N 为直线22y x =-+上任一点，则MN 的最小值是___________15．已知等差数列{}n a 的公差d 不为0，等比数列{}n b的公比12q ⎡∈⎢⎣⎭，若1a d =，21b d =，222123123a a a b b b ++++是正整数，则实数q =____________. 16．已知偶函数()f x 满足()()20f x f x -+=，且当[]0,1x ∈时，()xf x x e =⋅，若在区间[]1,3-内，函数()()21g x f x kx k =--+有且仅有3个零点，则实数k 的取值范围是______________.三、解答题17．在三角形ABC 中，已知角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin csin sin sin a A C a C b B +-=.（1）求角B 的大小；（2）若b =ABC 面积的最大值.18．已知等差数列{}n a 的公差为()0d d ≠，等差数列{}n b 的公差为2d ，设n A ，n B 分别是数列{}n a ，{}n b 的前n 项和，且13b =，23A =，53A B =.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）设11n n n n c b a a +=+•，数列{}n c 的前n 项和为n S ，证明：2(1)n S n <+. 19．如图,在三棱柱111ABC A B C -中,1ABC 是边长为2的等边三角形,平面1ABC ⊥平面11AAC C ,四边形11AAC C 为菱形,1160AAC ∠=︒,1AC 与1A C 相交于点D .(1)求证:1BD C C ⊥.(2)求平面1ABC 与平面111A B C 所成锐二面角的余弦值.20．某工厂生产了一批零件，从中随机抽取100个作为样本，测出它们的长度（单位：厘米），按数据分成[]10,15，(]15,20，(]20,25，(]25,30，(]30,355组，得到如图所示的频率分布直方图．以这100个零件的长度在各组的频率代替整批零件长度在该组的概率．（1）估计该工厂生产的这批零件长度的平均值（同一组中的每个数据用该组区间的中点值代替）；（2）若用分层抽样的方式从第1组和第5组中抽取5个零件，再从这5个零件中随机抽取2个，求抽取的零件中恰有1个是第1组的概率．21．已知点()()00,P x f x 是曲线()()211ln 2f x x a x a x =-++上任意一点，a R ∈. （1）若在曲线()y f x =上点P 处的切线的斜率恒大于23331a a a x +---，求实数a 的取值范围.（2）点()()11,A x g x ､()()22,B x g x 是曲线()()212g x x f x =-上不同的两点，设直线AB 的斜率为k .若1a =-，求证：()122k x x +>.22．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点F在直线30x y -+=上，且2a b +=（1）求椭圆的方程；（2）直线l 与椭圆交于A 、C 两点，线段AC 的中点为M ，射线MO 与椭圆交于点P ，点O 为PAC 的重心，探求PAC 面积S 是否为定值，若是，则求出这个值；若不是，则求S 的取值范围.参考答案1．D【分析】由集合A 的描述知{|1A x x =≥或1}x ≤-，即可得U C A ，利用集合交运算求()U C A B ⋂即可.【详解】由题意得，{|1A x x =≥或1}x ≤-，{}11U C A x x =-<<，而{}0B x x =≤， ∴()(]1,0U C A B =-.故选：D【点睛】本题考查了集合的基本运算，由集合描述求集合，利用集合的交、补运算求交集，属于简单题；2．D【分析】根据存在性命题否定直接写出结果，再对照选择.【详解】因为,x p ∃的否定为,x p ∀⌝；所以对于命题:p m R ∃∈，()23log x f x m x =-是增函数， p ⌝为m R ∀∈，()23log x f x m x =-不是增函数故选：D【点睛】本题考查命题的否定，考查基本求解能力，属基础题.3．B【分析】 根据双曲线()222210,0y x a b a b-=>>的两条渐近线互相垂直，得到a b =，然后利用焦距为b ，进而得到抛物线的方程求解.【详解】因为双曲线()222210,0y x a b a b-=>>的两条渐近线互相垂直，所以a b =，又焦距为所以22262a b ⎛+== ⎝⎭，解得a b ==所以 2y =，所以抛物线的准线方程是x =， 故选：B.【点睛】 本题主要考查双曲线和抛物线的几何性质，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 4．D【分析】先求得2a b +的坐标，再根据()//2a a b +，解得x ，然后利用求模公式求解.【详解】因为向量()2,2a =，()1,b x =，所以()24,22a b x +=+，因为()//2a a b +， 所以42222x +=， 解得1x =， 所以2b =.故选：D【点睛】本题主要考查考查平面向量共线的应用以及向量模的求法，还考查了运算求解的能力，属于基础题.5．B【分析】求出函数周期可得平移单位，由平移变换得新函数解析式．【详解】函数的周期为π，将函数()f x 的图象向左平移14个周期即4π个单位，所得图象对应的函数为()2sin 22sin 2436g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦． 故选：B.【点睛】本题考查函数的周期，考查函数的图象平移变换．函数()sin()f x A x ωϕ=+向左平移α个单位得图象的解析式为()()sin g x A x ωαϕ=++⎡⎤⎣⎦．向右平移α个单位得图象的解析式为()()sin g x A x ωαϕ=-+⎡⎤⎣⎦．6．A【分析】设这个人第()N n n *∈天所走的路程为n a 里，可知数列{}n a 是公比为12q =的等比数列，求出1a 的值，进而可求得34a a +的值，即可得解.【详解】设这个人第()N n n *∈天所走的路程为n a 里，可知{}n a 是公比12q =的等比数列， 由6378S =，得16161163237813212a a S ⎛⎫- ⎪⎝⎭===-，解得1192a =， 23341119219248247222a a ⎛⎫⎛⎫∴+=⨯+⨯=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 所以此人第3天和第4天共走了72里.故选：A.【点睛】本题考查等比数列基本量的计算，考查计算能力，属于基础题.7．B【分析】根据程序流程图输出结果补全条件即可.【详解】初始值为：2a =，1b =，当2a =时，执行122b ==，3a =，当3a =时，执行224b ==，4a =，当4a =时，执行4216b ==，5a =，∴当5a =时应跳出循环，故判断条件应是4a ≤.故选：B【点睛】本题考查了利用输出结果补全流程图中的条件，属于简单题.8．D【解析】分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在π(,π)2上的符号，即可判断选择.详解：令||()2sin 2x f x x =， 因为,()2sin 2()2sin 2()x x x R f x x x f x -∈-=-=-=-，所以||()2sin 2x f x x =为奇函数，排除选项A,B; 因为π(,π)2x ∈时，()0f x <，所以排除选项C ，选D. 点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复．9．D【分析】由260x y xy ++==，变形为()62xy x y =-+，再利用基本不等式得到21122222+⎛⎫=≤ ⎪⎝⎭x y xy xy ，从而得到()2126222x y x y +⎛⎫-+≤ ⎪⎝⎭，然后利用一元二次不等式的解法求解. 【详解】因为260x y xy ++==， 所以()62xy x y =-+， 因为x ，y 为正实数，所以21122222+⎛⎫=≤ ⎪⎝⎭x y xy xy ，当且仅当2x y =时等号成立，所以()2126222x y x y +⎛⎫-+≤ ⎪⎝⎭，解得24x y +≥.所以2x y +的最小值为4 故选：D 【点睛】本题主要考查基本不等式的应用以及一元二次不等式的解法，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 10．D 【分析】作CD 的中点E ，通过三视图，还原几何体，得到EAB ∠即为直线平面ACD 所成角，即可求解. 【详解】如图，该几何体为一个底面为正方形的四棱锥，挖去一个半圆锥， 作CD 的中点E ，易知EAB ∠为直线AB 与平面ACD 所成的角.又AE =1BE =，AB =所以cosEAB ∠==.故选：D. 【点睛】本题考查三视图和线面夹角，属于容易题. 11．C 【分析】根据已知条件得出函数()y f x =及1x y x+=的图象都关于(0,1)对称，这样它们的交点也关于(0,1)对称，2000个交点两两配对，坐标之和易求． 【详解】函数()()f x x R ∈满足()()2f x f x -=-，即为()()2f x f x +-=可得()f x 的图像关于点()0,1对称.函数1x y x+=，即11y x =+的图象关于点()0,1对称，即若点()11,x y 为交点，则点()11,2x y --也为交点；同理若点()22,x y 为交点，则点()22,2x y --也为交点；则交点的所有横坐标和纵坐标之和为()()()()(112220202020111122x y x y x y x y x ⎡++++++=++-+⎣)()()()()1222220202020200020000222020y x y x y x y x y ⎤-+++-+-++++-+-=⎦.故选：C ． 【点睛】本题考查函数图象的对称性，掌握对称性质是解题关键．函数()y f x =： （1）若满足()(2)2f x f m x n +-=，则函数图象关于点(,)m n 对称； （2）若满足()(2)f x f m x =-，则函数图象关于直线x m =对称． 12．D 【分析】先求出切线方程为()()()211111y x e a e a -=-++，将点1,0代入可得1a =，再利用导数求出函数的单调递减区间. 【详解】由题意()()()2211x ax a e f x ax -+-'=+，∴()()1211e k f a -'==+，又()111e f a -=+，故曲线在点()()1,1f 处的切线方程为()()()211111y x e a e a -=-++，将点1,0代入可得1a =，则()()221x xe f x x -'=+，令()()2201x xe f x x -'=<+，所以1x <-或10x -<<， 故函数在(),1-∞-，1,0上单调递减.故选：D 【点睛】本题主要考查导数的几何意义，考查利用导数求函数的单调区间，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 13【分析】根据复数代数形式的除法运算计算出复数z ，即可求出z . 【详解】42122iz i i+==-，故12z i =+=，【点睛】本题考查复数代数形式的除法运算以及复数的模，属于基础题. 14【解析】由约束条件240{2030x y x y y +-≥--≤-≤作出可行域如图：由图可知，可行域内的动点到直线22y x =-+的最短距离为()2,0A 到直线220x y +-=的距离，等于.点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值. 15．12【分析】由已知等差、等比数列以及1a d =，21b d =，222123123a a a m b b b ++=++是正整数，可得2141q q m++=，结合11,22q ⎡⎫∈⎪⎢⎪⎣⎭，即可求m 的值，进而求q . 【详解】由1a d =，21b d =，令()()223222111123221231112141a a d a d a a a m b b b b b q b q q q++++++===++++++，其中m 为正整数，有2141q q m ++=，又11,22q ⎡⎫∈⎪⎢⎪⎣⎭， ∴271,24q q ⎡⎫++∈⎪⎢⎣⎭，71424m≤<，得78m <≤，故8m =， ∴2147184q q ++==，解得12q =或32q =-(舍去).故答案为：12【点睛】本题考查了数列，依据等差、等比数列的性质及已知条件求公比，属于中档题； 16．111,532e e ++⎛⎫⎧⎫⎨⎬⎪⎝⎭⎩⎭ 【分析】由()(2)0f x f x -+=，得到函数的周期为2，又由()()210g x f x kx k =--+=，得到()(2)1f k x x =+-，作出两个函数的图象，利用数形结合，即可得到结论.【详解】由题意，函数满足()()20f x f x -+=， 即()()2f x f x =+，即函数()f x 的周期为2， 当[]0,1x ∈时，()xf x x e =⋅，可得函数为单调递增函数，且()00f =，()1f e =， 当[]1,0x ∈-时，()()xf x f x x e -=-=-⋅，由图象可知当1x =时，()1f e =，当3x =时，()()31f f e ==， 即()1,B e ，()3,C e ，直线()21y k x =+-恒过点()2,1A --， 当直线()21y k x =+-经过点()1,B e 时， 此时在区间[]1,3-内两个函数有2个交点， 此时31e k =-，解得13e k +=. 直线()21y k x =+-经过点()3,C e 时， 此时在区间[]1,3-内两个函数有4个交点， 此时51e k =-，解得15e k +=. 直线()21y k x =+-经过点()0,0O 时，此时在区间[]1,3-内两个函数有3个交点，此时12k =. 所以要使得函数()()21g x f x kx k =--+有且仅有3个零点， 则直线的斜率满足1153e e k ++<<或12k =，即实数k 的取值范围是111,532e e ++⎛⎫⎧⎫⎨⎬⎪⎝⎭⎩⎭. 故答案为：111,532e e ++⎛⎫⎧⎫⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭【点睛】本题主要考查了函数的零点个数的判定及其应用，其中解答中利用函数的周期性和函数的单调性之间的关系，将方程转化为两个函数的图象之间的交点个数，结合两个函数的图象求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想和推理、运算能力，属于中档试题.17．（1）3B π=；（2）4. 【分析】（1）结合正弦定理对已知条件进行化简后，观察等式利用余弦定理即可得正确结论；（2）根据角的转换写出关于角A 的式子，再根据A 的取值范围即可确定出三角形ABC 面积的最大值. 【详解】（1）设三角形ABC 的外接圆的直径长为2R 由已知sin sin sin sin a A c C a C b B +-=及正弦定理所以2222222a c ac b R R R R+-=，所以222a c ac b +-=， 即222a c b ac +-=.由余弦定理得2221cos 22a cb B ac +-==，因为0B π<<，所以3B π=.（2）因为3B π=，所以2sin sin sin a c bA C B====， 三角形ABC面积112sin 4sin sin sin 2223S ac B A C A A π⎛⎫==⨯⋅=- ⎪⎝⎭cos 2A A ⎛=+⎝13sin sin 2cos 222444264A A A A π⎫⎛⎫=+-=-+⎪ ⎪⎭⎝⎭∵20,3A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴72,666A πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，当且仅当3A π=时，262A ππ-=，此时ABC. 【点睛】本题主要考查了利用正弦定理、余弦定理解三角形，以及三角形的面积公式，属于中档题. 18．（1）n a n =，21n b n =+；（2）见解析 【分析】（1）由等差数列的通项公式及求和公式列1a d ，的方程组求解则n a n =可求，进而得21n b n =+（2）利用()111212111n c n n n n n n ⎛⎫=++=++- ⎪⋅++⎝⎭分组求和即可证明【详解】（1）因为数列{}n a ，{}n b 是等差数列，且23A =，53A B =，所以112351096a d a d d+=⎧⎨+=+⎩.整理得1123549a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得111a d =⎧⎨=⎩，所以()11?n a a n d n =+-=，即n a n =，()11221n b b n d n =+-⋅=+，即21n b n =+.综上，n a n =，21n b n =+. （2）由（1）得()111212111n c n n n n n n ⎛⎫=++=++- ⎪⋅++⎝⎭，所以()11111352112231n S n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⋯+++-+-+⋯+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 即()()22211211111n S n n n n n n =++-=+-<+++. 【点睛】本题考查等差数列的通项公式及求和公式，裂项相消求和，考查推理计算能力，是中档题 19．（1）证明见解析；（2. 【分析】(1)由已知得1BD AC ⊥,再由平面1ABC ⊥平面11AAC C ,两个平面垂直的性质定理可得结论;(2) 以D 为原点,以DA ,DC ,DB 所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系,求出平面ABC 的一个法向量m 与平面1ABC 的一个法向量是DC ,再利用向量的夹角公式求解. 【详解】(1)侧面11AAC C 是菱形,D 是1AC 的中点, ∵1BA BC =,∴1BD AC ⊥.∵平面1ABC ⊥平面11AAC C ,且BD ⊂平面1ABC , 平面1ABC 平面111AAC C AC =,∴BD ⊥平面11AAC C ,1C C ⊂平面11AAC C ,∴1BD C C ⊥.(2)由棱柱的定义知:在三棱柱111ABC A B C -中,平面//ABC 平面111A B C , ∴平面1ABC 与平面111A B C 所成的锐二面角与二面角1C AB C --相等. ∵BD ⊥平面11AAC C ,∴1BD A C ⊥.如图,以D 为原点,以DA ,DC ,DB 所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系. 由已知可得12AC =,1AD =,1BD A D DC ====BC ∴()0,0,0D ,()1,0,0A,(B ,()11,0,0C -,()C .设平面ABC 的一个法向量(),,m x y z =,(AB =-,(0,BC =,由0AB m ⋅=,0BC m ⋅=,得0x ⎧-=⎪=,可得()3,1,1m =.∵平面1ABC ⊥平面11AAC C ,11AC AC ⊥,∴CD ⊥平面1ABC , ∵平面1ABC 的一个法向量是()DC =, ∵5cos 5m DC m DC D m C⋅⋅==即平面1ABC 与平面111A B C .【点睛】本题主要考查空间向量的应用、二面角、线面与面面垂直,考查了空间想象能力与逻辑推理能力.20．（1）23.1；（2）35.【分析】（1）根据频率分布直方图得到各组频率，然后由平均数公式求解.（2）由题意可知第1组和第5组的零件数分别是8和12，利用分层抽样得到应从第1组中抽取2个零件，从第5组中抽取3个零件，然后再利用古典概型的概率求法求解. 【详解】（1）由频率分布直方图可得各组频率依次为0.08,0.18,0.4,0.22,0.12， 则这批零件长度的平均值为12.50.0817.50.1822.50.427.50.2232.50.1223.1x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．（2）由题意可知第1组和第5组的零件数分别是8和12， 则应从第1组中抽取2个零件，记为A ，B ； 应从第5组中抽取3个零件，记为c ，d ，e .从这5个零件中随机抽取2个的情况有AB ，Ac ，Ad ，Ae ，Bc ，Bd ，Be ，cd ，ce ，de ，共10种，其中符合条件的情况有Ac ，Ad ，Ae ，Bc ，Bd ，Be ，共6种. 故所求概率63105P ==. 【点睛】本题主要考查频率分布直方图的应用以及平均数，古典概型的概率的求法，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 21．（1）32a <-或3a ≥；（2）证明见解析. 【分析】（1）先对函数求导，得到()()21x a x af x x-++'=，由题意，00x >时，得到()22000013331x a x a a a a x x -+++->--恒成立，即00x >时，22002230x ax a a ++-->恒成立，令()()222230F x x ax a a x =++-->，结合二次函数的性质，即可得出结果；（2）由1a =-，得到()ln g x x =，由于12x x ≠，不妨先设120x x >>，令12x t x =，()()2ln 112t f t t t =+>+，对其求导，根据导数的方法判定单调性，得出()()11f t f >=，推出121212ln ln 2x x x x x x -->+，即可证明结论成立.【详解】 （1）由()()211ln 2f x x a x a x =-++得 ()()()()()2111a a x x a x f a x a x x x x x-+-+'=-++-==， 由题意得，当00x >时，()22000013331x a x a a a a x x -+++->--恒成立， 即当00x >时，22002230x ax a a ++-->恒成立，设函数()()222230F x x ax a a x =++-->，则其对称轴方程为x a =-，()0F x >在()0,∞+上恒成立.若0a -≤，即0a ≥，则()F x 在()0,∞+上单调递增， ∵()0F x >在()0,∞+上恒成立， ∴2 230a a --≥，解得3a ≥；若0a <，则()0F a ->，即230a -->，解得32a <-. 综上可得32a <-或3a ≥. （2）若1a =-，则()()21ln 2g x x f x x =-=，由于12x x ≠，不妨先设120x x >>， 令12x t x =，()()2ln 112tf t t t =+>+，()()()()()()22222411210212121t t t f t t t t t t t -++--'=+==>+++， 故()2ln 12t f t t =++在()1,+∞上单调递增， 所以()()11f t f >=，即1212ln 2121x x xx +>+，∴121212ln ln 2x x x x x x -->+，∴()()()1212122g x g x x x x x -+⎡⎤⎣⎦>-，∴()122k x x +>得证. 综上可知，原命题得证. 【点睛】本题主要考查由导数的几何意义求参数，考查由导数的方法证明不等式，熟记导数的方法判定函数单调性，求函数最值即可，属于常考题型.22．（1）22142x y +=；（2）是定值，2. 【分析】（1）根据题意，得到()F ，由题中条件列出方程组求解，得出2a =，b =可得出椭圆方程；（2）若直线l 的斜率不存在，先求出此时PAC 的面积；若直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y kx m =+，设()11,A x y ，()22,C x y ，根据韦达定理，由题中条件，表示出点P 的坐标，代入椭圆方程，得出22122k m +=，再得到坐标原点O 到直线l的距离为d =根据三角形面积公式，化简整理，即可得出结果. 【详解】（1）∵直线30x y -+=与x轴的交点为()，∴c =2222a b a b ⎧-=⎪⎨+=+⎪⎩，∴解得2a =，b =22142x y +=.（2）若直线l 的斜率不存在，则MO 在x 轴上，此时2OP a ==，因为点O 为PAC 的重心，所以212OM ==，将1x =代入椭圆方程，可得y ==，即2AM =，所以322S PM AM =⋅=⋅=； 若直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y kx m =+，代入椭圆方程，整理得()222124240kxkmx m +++-=设()11,A x y ，()22,C x y ，则122412kmx x k +=-+，()21222212m x x k-⋅=+，()121222212m y y k x x m k +=++=+. 由题意点O 为PAC 的重心，设()00,P x y ，则12003x x x ++=，12003y y y ++=， 所以()0122412km x x x k =-+=+，()0122212my y y k =-+=-+， 代入椭圆22142x y +=，得()()2222222224212121212k m m k m k k ++=⇒=++， 设坐标原点O 到直线l 的距离为d，则d =则PAC 的面积132S AC d =⋅12x =-⋅1232x x m =-⋅m =m ===. 综上可得，PAC 面积S . 【点睛】本题主要考查求椭圆的标准方程，考查椭圆中三角形的面积问题，熟记椭圆的标准方程，以及椭圆的简单性质即可，属于常考题型.。

“皖南八校”2020届高三第一次联考数 学（理科）_______________________________________________________________________________ 2019. 10考生注意:1. 本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

满分150分，考试时间120分钟。

2. 本卷命题范围：集合与常用逻辑用语、函数、三角函与解三角形、平面向量、复数。

第I 卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的.1.在复平面内，复数21i z i =+的共轭复数的对应点位于 A.第一象限 B 第二象限 C.第三象限 D.第四象限2. 若集合2{560},{21}x A x x x B x =-->=>，则()R C A B = A.{10}x x -≤< B.{06}x x <≤ C.{20}x x -≤< D.{03}x x <≤3. 若0.330.3log 0.3,log 0.2,0.2a b c ===，则A. a b c <<B. b c a <<C. a c b <<D. b a c << 4 .已知向量(1,2),(,5)AB BC x =--=,若7AB BC ⋅=-,则AC =A. 5B. D. 5 .函数2sin 1x x y x +=+的部分图象大致为6.为了测量铁塔OT ’的高度，小刘同学在地面A 处测得铁塔在 东偏北方向上，塔顶丁处的仰角为30°,小刘从A 处向 正东方向走140米到地面£处，测得铁塔在东偏北方 向上.塔顶T 处的仰角为60。

,则铁塔OT 的高度为 A.207米 B.257米 C.2021米 D.2521米7.在平面直角坐标xOy 系中，角α的顶点为O ,始边与x 轴正半轴重合，终边过点(2,14)--，则5sin 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭A.174-B.174+-C.714-D.174+ 8.已知非零向量满足，则向量的夹角为 A.6π B.4π C.3π D.2π 9．关于复数(,)z x yi x y R =+∈，下列命题①若1z i +=，则22(1)1x y ++=：②z 为实数的充要条件是0y =；③若zi 是纯虚数，则0x ≠；④若11i z =+，则1x y +=•其中真命题的个数为A. 1B. 2C. 3D.410. 若曲线2()(1)x f x ax e -=-在点(2,(2))f 处的切线过点(3,3)，则函数()f x 的单调递增区间为A.(0,)+∞B.(,0)-∞C.(2,)+∞D.(,2)-∞11. 已知函数()sin cos f x x x =+，则下列说法正确的是A. 函数()f x 的图象关于直线()x kx k Z =∈对称B. 函数()f x 在[,2]ππ上单调递增C. 函数()f x 的图象关于点(,0)()2k k Z ππ+∈对称D. 函数()f x 的值域为[2,2]-12. 已知函数2()f x ax x =-，2,0()2,0ax x x g x a x x ⎧-≥=⎨-<⎩，若方程(())0g f x =有四个不等的实数根，则实数a 的取值范围是A. (-4,0)B. (0,4)C.(,4)(0,)-∞-+∞D.(,0)(4,)-∞+∞ 第II 卷（非选择题共90分）二、 填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 若214()13a x dx -=-⎰，则a = ____________ . 14. 已知7sin()1,sin()25αβαβ+=--=-，则tan tan αβ= ___________ . 15. 已知四边形ABCD 是平行四边形，点E 在CB 的延长线上，3,1BC AE AB ===,30C ∠=.若AE xAB y AD =+，则x = . 16. 已知函数()sin 22cos f x x x =+，则()f x 的最大值为 ___________ .三、 解答题：本大题共6小题.共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.17. （本小题满分10分）已知:P 函数2()(24)6f x x a x =-++在(1,)+∞上是增函数，:q x R ∀∈，2230x ax a ++->，若()p q ∧⌝是真命题,求实数a 的取值范围.18.（本小题满分12分） 已知(cos ,sin )22x x a =，(2,1)b = （1） 若，求sin (cos 3sin )x x x +的值；（2） 若2()()2sin 2x f x a b =+=，将函数()f x 的图象向右平移2π个单位长度后，得到函数()g x 的图象，求函数()g x 的表达式及()g x 的最小正周期.19.（本小题满分12分）在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2()sin cos sin sin 22A CB a b cC a A π+-+=- （1） 求角C 的大小；（2） 若137,cos()14c A C =+=-，求ABC 的面积20.(本小题满分12分)已知函数()cos cos )(0)f x x x x ωωωω=->，,A B 分别是曲线()y f x =上的一个最高点和一个最低点，且AB (1)求函数()f x 的单调递增区间和曲线()y f x =的对称中心的坐标；(2) 若不等式()1f x m -<对,122x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦恒成立，求实数m 的取值范围.21. (本小题满分12分)已知函数32()61,f x ax x a R =-+∈(1)当2,[3,3]a x =∈- 时，求函数()f x 的最大值；(2) 若函数()f x 存在唯一零点0x ，且00x >，求实数a 的取值范围.22. (本小题满分12分) 已知函数21ln ()x a x f x a -+=，11()x g x e x -=-. (1)函数()f x 是否有极值？若有，求出极值;若没有，说明理由. (2) 若对任意1,()()x f x g x ><，求实数a 的取值范围.。