线性代数2003-2004(2)(包双宝)

2003年考研数学（三）真题答案1.【分析】当≠x 0可直接按公式求导，当x=0时要求用定义求导.【详解】当1>λ时，有,0,0,0,1sin 1cos )(21=≠⎪⎩⎪⎨⎧+='--x x xx x x x f 若若λλλ显然当2>λ时，有)0(0)(lim 0f x f x '=='→，即其导函数在x=0处连续.2. 【分析】 曲线在切点的斜率为 0，即 y = ′0 ，由此可确定切点的坐标应满足的条件，再根据在切点处纵坐标为零，即可找到2b 与a 的关系.【详解】由题设，在切点处有03322=-='a x y ，有.22a x =又在此点y 坐标为0，于是有0300230=+-=b x a x ,故.44)3(6422202202a a a x a x b =⋅=-=3. 【分析】 本题积分区域为全平面，但只有当0 ≤x ≤1,0 ≤y −x ≤1时，被积函数才不为零，因此实际上只需在满足此不等式的区域内积分即可.【详解】⎰⎰-=Ddxdy x y g x f I )()(=dxdya x y x ⎰⎰≤-≤≤≤10,102=.])1[(212112a dx x x a dy dx ax x=-+=⎰⎰⎰+4. 【分析】 这里 ααT为 n 阶矩阵，而 αT= α2a 2为数，直接通过 AB =E 进行计算并注意利用乘法的结合律即可.【详解】由题设，有)1)((T T a E E AB αααα+-==TT T T aa E αααααααα⋅-+-11=T T T Ta a E αααααααα)(11-+-=TT T a a E αααααα21-+-=E aa E T=+--+αα)121(,于是有0121=+--a a ，即0122=-+a a ，解得.1,21-==a a 由于A<0,故a=-1.5.. 【分析】 利用相关系数的计算公式即可.【详解】 因为)4.0()()]4.0([()4.0,cov(),cov(---=-=X E Y E X Y E X Y Z Y =)(4.0)()()(4.0)(Y E X E Y E Y E XY E +--=E(XY)–E(X)E(Y)=cov(X,Y),且.DX DZ =于是有cov(Y,Z)=DZDY Z Y ),cov(=.9.0),cov(==XY DYDX Y X ρ【评注】 注意以下运算公式：D (X +a ) =DX ，cov(X ,Y +a ) =cov(X ,Y ).6.. 【分析】 本题考查大数定律：一组相互独立且具有有限期望与方差的随机变量n X X X ,,,21 ，当方差一致有界时，其算术平均值依概率收敛于其数学期望的算术平均值：).(1111∞→→∑∑==n EX n X n ni i p n i i 【详解】这里22221,,,n X X X 满足大数定律的条件，且22)(i i i EX DX EX +==21)21(412=+，因此根据大数定律有∑==n i i n X n Y 121依概率收敛于.21112=∑=n i i EX n 二、选择题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）7.【分析】由题设，可推出f(0)=0,再利用在点x=0处的导数定义进行讨论即可.【详解】显然x=0为g(x)的间断点，且由f(x)为不恒等于零的奇函数知，f(0)=0.于是有)0(0)0()(lim )(lim)(lim 00f x f x f x x f xg x x x '=--==→→→存在，故x=0为可去间断点.【评注1】本题也可用反例排除，例如f(x)=x,则此时g(x)=,0,0,0,1=≠⎩⎨⎧=x x x x 可排除(A),(B),(C)三项，故应选(D).【评注2】若f(x)在0x x =处连续，则.)(,0)()(lim000A x f x f A x x x f x x ='=⇔=-→.8..【分析】可微必有偏导数存在，再根据取极值的必要条件即可得结论.【详解】可微函数f(x,y)在点),(00y x 取得极小值，根据取极值的必要条件知0),(00='y x f y ，即),(0y x f 在0y y =处的导数等于零,故应选(A).【评注1】本题考查了偏导数的定义，),(0y x f 在0y y =处的导数即),(00y x f y '；而),(0y x f 在0x x =处的导数即).,(00y x f x '【评注2】本题也可用排除法分析，取22),(y x y x f +=，在(0,0)处可微且取得极小值，并且有2),0(y y f =，可排除(B),(C),(D),故正确选项为(A).9.【分析】根据绝对收敛与条件收敛的关系以及收敛级数的运算性质即可找出答案.【详解】若∑∞=1n na绝对收敛，即∑∞=1n na收敛，当然也有级数∑∞=1n na收敛，再根据nn n a a p +=，nn n a a q -=及收敛级数的运算性质知，∑∞=1n np与∑∞=1n nq都收敛，故应选(B).10.. 【分析】 A 的伴随矩阵的秩为 1, 说明 A 的秩为 2，由此可确定 a,b 应满足的条件.【详解】 根据A 与其伴随矩阵 A*秩之间的关系知，秩(A)=2，故有0))(2(2=-+=b a b a ab b b a b bb a ，即有02=+b a 或a=b.但当a=b 时，显然秩(A)2≠,故必有a ≠b 且a+2b=0.应选(C).【评注】n （n )2≥阶矩阵A 与其伴随矩阵A*的秩之间有下列关系：.1)(,1)(,)(,0,1,*)(-<-==⎪⎩⎪⎨⎧=n A r n A r n A r n A r 11..【分析】本题涉及到线性相关、线性无关概念的理解，以及线性相关、线性无关的等价表现形式.应注意是寻找不正确的命题.【详解】(A):若对于任意一组不全为零的数s k k k ,,,21 ,都有02211≠+++s s k k k ααα ，则s ααα,,,21 必线性无关，因为若s ααα,,,21 线性相关，则存在一组不全为零的数s k k k ,,,21 ,使得02211=+++s s k k k ααα ，矛盾.可见（A ）成立.(B):若s ααα,,,21 线性相关，则存在一组，而不是对任意一组不全为零的数s k k k ,,,21 ，都有.02211=+++s s k k k ααα (B)不成立.(C)s ααα,,,21 线性无关,则此向量组的秩为s ；反过来，若向量组s ααα,,,21 的秩为s ，则s ααα,,,21 线性无关，因此(C)成立.(D)s ααα,,,21 线性无关,则其任一部分组线性无关，当然其中任意两个向量线性无关，可见(D)也成立.综上所述，应选(B).【评注】原命题与其逆否命题是等价的.例如，原命题：若存在一组不全为零的数s k k k ,,,21 ，使得02211=+++s s k k k ααα 成立，则s ααα,,,21 线性相关.其逆否命题为：若对于任意一组不全为零的数s k k k ,,,21 ，都有02211≠+++s s k k k ααα ，则s ααα,,,21 线性无关.在平时的学习过程中，应经常注意这种原命题与其逆否命题的等价性.12.. 【分析】按照相互独立与两两独立的定义进行验算即可，注意应先检查两两独立，若成立，再检验是否相互独立.【详解】因为21)(1=A P ，21)(2=A P ，21)(3=A P ，41)(4=A P ，且41)(21=A A P ，41)(31=A A P ，41)(32=A A P ，41)(42=A A P 0)(321=A A A P ，可见有)()()(2121A P A P A A P =，)()()(3131A P A P A A P =，)()()(3232A P A P A A P =，)()()()(321321A P A P A P A A A P ≠，)()()(4242A P A P A A P ≠.故321,,A A A 两两独立但不相互独立；432,,A A A 不两两独立更不相互独立，应选(C).【评注】本题严格地说应假定硬币是均匀的，否则结论不一定成立.13..【分析】只需求出极限)(lim 1x f x -→，然后定义f(1)为此极限值即可.【详解】因为)(lim 1x f x -→=)1(1sin 11[lim 1x x x x --+-→πππ=xx xx x πππππsin )1(sin )1(lim 111---+-→=xx x xx ππππππππcos )1(sin cos lim 111-+---+-→=xx x x xx ππππππππππsin )1(cos cos sin lim11221----+-→=.1π由于f(x)在)1,21[上连续，因此定义π1)1(=f ，使f(x)在]1,21[上连续.【评注】 本题实质上是一求极限问题，但以这种形式表现出来，还考查了连续的概念.在计算过程中，也可先作变量代换 y=1-x ，转化为求 y →0 +的极限，可以适当简化.14..【分析】本题是典型的复合函数求偏导问题：),(v u f g =，)(21,22y x v xy u -==，直接利用复合函数求偏导公式即可，注意利用.22uv f v u f ∂∂∂=∂∂∂【详解】vfx u f y x g ∂∂+∂∂=∂∂，.vf y u f x yg ∂∂-∂∂=∂∂故v f v f xv u f xy u f y x g ∂∂+∂∂+∂∂∂+∂∂=∂∂2222222222，.2222222222v f v f y u v f xy u f x y g ∂∂-∂∂+∂∂∂-∂∂=∂∂所以222222222222)()(vf y x u f y x yg x g ∂∂++∂∂+=∂∂+∂∂=.22y x +【评注】 本题考查半抽象复合函数求二阶偏导.15.. 【分析】 从被积函数与积分区域可以看出，应该利用极坐标进行计算.【详解】 作极坐标变换：x =r cos θ, y =r sin θ，有dxdyy x e e I Dy x)sin(22)(22+=⎰⎰+-π=.sin 2022dr r re d er ⎰⎰-πππθ令2r t =，则tdt e e I t sin 0⎰-=πππ.记tdt e A t sin 0⎰-=π，则tt de e A --⎰-=int 0π=]cos sin [0⎰----ππtdt e t e t t=⎰--πcos ttde =]sin cos [0tdt e te t t⎰--+-ππ=.1A e-+-π因此)1(21π-+=e A ，).1(2)1(2πππππe e e I +=+=-【评注】本题属常规题型，明显地应该选用极坐标进行计算，在将二重积分化为定积分后，再通过换元与分步积分（均为最基础的要求），即可得出结果，综合考查了二重积分、换元积分与分步积分等多个基础知识点.16..【分析】先通过逐项求导后求和，再积分即可得和函数，注意当x=0时和为1.求出和函数后，再按通常方法求极值.【详解】.1)1()(1212∑∞=-+-=-='n n n xx x x f 上式两边从0到x 积分，得).1ln(211)0()(202x dt t t f x f x+-=+-=-⎰由f(0)=1,得).1(),1ln(211)(2<+-=x x x f 令0)(='x f ，求得唯一驻点x=0.由于,)1(1)(222x x x f +--=''01)0(<-=''f ，可见f(x)在x=0处取得极大值，且极大值为f(0)=1.【评注】 求和函数一般都是先通过逐项求导、逐项积分等转化为可直接求和的几何级数情形，然后再通过逐项积分、逐项求导等逆运算最终确定和函数.17.. 【分析】 F(x)所满足的微分方程自然应含有其导函数，提示应先对 F(x)求导，并将其余部分转化为用 F(x)表示，导出相应的微分方程，然后再求解相应的微分方程.【详解】(1)由)()()()()(x g x f x g x f x F '+'='=)()(22x f x g +=)()(2)]()([2x g x f x g x f -+=(22)x e -2F(x),可见F(x)所满足的一阶微分方程为.4)(2)(2x e x F x F =+'(2)]4[)(222C dx e e e x F dx xdx +⎰⋅⎰=⎰-=]4[42C dx e e x x+⎰-=.22x xCe e-+将F(0)=f(0)g(0)=0代入上式，得C=-1.于是.)(22x x e e x F --=【评注】本题没有直接告知微分方程，要求先通过求导以及恒等变形引出微分方程的形式，从题型来说比较新颖，但具体到微分方程的求解则并不复杂，仍然是基本要求的范围.18..【分析】根据罗尔定理，只需再证明存在一点c )3,0[∈，使得)3(1)(f c f ==，然后在[c,3]上应用罗尔定理即可.条件f(0)+f(1)+f(2)=3等价于13)2()1()0(=++f f f ，问题转化为1介于f(x)的最值之间，最终用介值定理可以达到目的.【详解】因为f(x)在[0，3]上连续，所以f(x)在[0，2]上连续，且在[0，2]上必有最大值M 和最小值m ，于是M f m ≤≤)0(，M f m ≤≤)1(，M f m ≤≤)2(.故.3)2()1()0(M f f f m ≤++≤由介值定理知，至少存在一点]2,0[∈c ，使.13)2()1()0()(=++=f f f c f 因为f(c)=1=f(3),且f(x)在[c,3]上连续，在(c,3)内可导，所以由罗尔定理知，必存在)3,0()3,(⊂∈c ξ，使.0)(='ξf 【评注】介值定理、微分中值定理与积分中值定理都是常考知识点，且一般是两两结合起来考.本题是典型的结合介值定理与微分中值定理的情形.19..【分析】方程的个数与未知量的个数相同，问题转化为系数矩阵行列式是否为零，而系数行列式的计算具有明显的特征：所有列对应元素相加后相等.可先将所有列对应元素相加，然后提出公因式，再将第一行的（-1）倍加到其余各行，即可计算出行列式的值.【详解】方程组的系数行列式ba a a a ab a a a a a b a a a a a b a A n n n n ++++=321321321321=).(11∑=-+ni i n a b b(1)当0≠b 时且01≠+∑=ni iab 时，秩(A)=n ，方程组仅有零解.(2)当b=0时，原方程组的同解方程组为.02211=+++n n x a x a x a 由01≠∑=ni ia可知，),,2,1(n i a i =不全为零.不妨设01≠a ，得原方程组的一个基础解系为T a a )0,,0,1,(121 -=α，T a a )0,,1,0,(132 -=α，.)1,,0,0,(,1T n n a a -=α当∑=-=ni iab 1时，有0≠b ，原方程组的系数矩阵可化为⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----∑∑∑∑====n i i n nni inni inni ia a a a a a a a a a a a a a a a a a a a 1321132131213211（将第1行的-1倍加到其余各行，再从第2行到第n 行同乘以∑=-ni ia11倍）→⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----∑=1001010100113211 n ni ia a a a a （将第n 行n a -倍到第2行的2a -倍加到第1行，再将第1行移到最后一行）→.0000100101010011⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--- 由此得原方程组的同解方程组为12x x =，13x x =，1,x x n = .原方程组的一个基础解系为.)1,,1,1(T =α【评注】本题的难点在∑=-=ni iab 1时的讨论，事实上也可这样分析：此时系数矩阵的秩为n-1(存在n-1阶子式不为零)，且显然T)1,,1,1( =α为方程组的一个非零解，即可作为基础解系.20..【分析】特征值之和为A 的主对角线上元素之和，特征值之积为A 的行列式，由此可求出a,b 的值；进一步求出A 的特征值和特征向量，并将相同特征值的特征向量正交化（若有必要），然后将特征向量单位化并以此为列所构造的矩阵即为所求的正交矩阵.【详解】（1）二次型f 的矩阵为.200200⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=b b a A 设A 的特征值为).3,2,1(=i i λ由题设，有1)2(2321=-++=++a λλλ，.12242002002321-=--=-=b a b ba λλλ解得a=1,b=-2.(2)由矩阵A 的特征多项式)3()2(2020202012+-=+----=-λλλλλλA E ，得A 的特征值.3,2321-===λλλ对于,221==λλ解齐次线性方程组0)2(=-x A E ，得其基础解系T )1,0,2(1=ξ，.)0,1,0(2T =ξ对于33-=λ，解齐次线性方程组0)3(=--x A E ，得基础解系.)2,0,1(3T -=ξ由于321,,ξξξ已是正交向量组，为了得到规范正交向量组，只需将321,,ξξξ单位化，由此得T 51,0,52(1=η，T )0,1,0(2=η，.)52,0,51(3T -=η令矩阵[]⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-==5205101051052321ηηηQ ，则Q 为正交矩阵.在正交变换X=QY 下，有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=300020002AQ Q T ，且二次型的标准形为.322232221y y y f -+=【评注】本题求a,b ，也可先计算特征多项式，再利用根与系数的关系确定：二次型f 的矩阵A 对应特征多项式为)].2()2()[2(20020022b a a b b a A E +----=+----=-λλλλλλλ设A 的特征值为321,,λλλ，则).2(,2,2232321b a a +-=-=+=λλλλλ由题设得1)2(2321=-+=++a λλλ，.12)2(22321-=+-=b a λλλ解得 a=1,b=2.21..【分析】先求出分布函数F(x)的具体形式，从而可确定Y=F(X),然后按定义求Y 的分布函数即可。

试题类型：1单选题 难易程度：1 2 3 4 5 试题内容： 试题答案： 试题解析：第一章 行列式1.=4321( )A ．-4B ．-2C ．2D ．4难易：1 答案：B解析：2-32-41=⨯⨯2.199819992000200120022003200420052006=( ) A ．-1 B ．0 C ．1 D ．2难易：2 答案：B解析：0120051120021119991-200620052004200320022001200019991998==3.123024001-=( ) A ．1 B ．2 C ．-1 D ．-2难易：2 答案：D解析：-21042-110042-0321=⨯=4. 已知4阶行列式4D 第1行的元素依次是1,2，-1，-1，它们的余子式依次为2，-2,1,0，则4D =( ) A ．-5 B ．-3 C ．3D ．5难易：3 答案：D 解析：5011-2--22114141313121211114=+⨯⨯+⨯=-+-=）（M a M a M a M a D5. 设多项式11-1-11-11-11-1-1101-0)(xx f =,则)(x f 的常数项为( )A ．-4B ．-1C ．1D ．4难易：3 答案：D解析：42000201-1-1-1-11-11-111-1-1-1-11-1-11-11-11-1-1101-0)0(0,0)(=⨯=⨯====f x x x f 带入行列式中得到：将的常数项，则求 6. 已知3元齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=+0320320-321321321x x x ax x x x x x 有非零解，则a=( )A ．-2B ．-1C ．2D ．1难易：3答案：C 7. 已知行列式12211=b a b a ，22211=c a c a ，则=++222111c b a c b a ( )A ．-3B ．-1C ．1D ．3难易：2 答案：D 8.321=( )A ．-6B ．6C ．7D ．-7难易：1 答案：A9.齐次线性方程组只有零解当且仅当它的系数行列式|A|( ) A ．|A|=0 B ．|A|＞0 C ．|A|≤0 D ．|A|≠0难易：2 答案：D10.若n 个方程的n 元线性方程组的系数行列式0≠=nij a D ，则方程有A ．唯一解B ．无穷解C ．无解难易：2 答案：A 11.()的根是则方程设0)(f ,1312f =--=x x x ( )A ．4B ．-4C ．5D ．-5难易：2 答案：C12.二阶行列式35-42=D 的值A ．26B ．-26C ．20D ．-20难易：2 答案：A13.三阶行列式981564321=D 的值A ．-28B ．-30C ．30D ．28难易：2 答案：C14.3阶行列式222cc1b b 1a a 1的值为( )A. (b-a)(c-a)(c-b)B.(b+a)(c-a)(c-b)C.(b-a)(a-c)(c-b)D.(b-a)(a-c)(c+b) 难易：2 答案：A第二章 矩阵15.已知矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=17422365,13822103B A ，则=+B A 2( ) A.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-112166651210 B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-117166651213C.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-11116665123 D ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1117166651213 难易：2 答案：B16.已知()()121,102==B A T，则=AB ( )A ．201402201⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭B ．242000121⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭C ．3D ．无法计算难易：2 答案：B17.设3阶矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=333231232221131211a a a a a a a a a A ，若存在初等矩阵P ，使得⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=3332312322213313321231112-2-2-a a aa a a a a a a a a PA ，则P=( ) A ．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛102-010001 B ．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1000102-01C ．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100012-001 D ．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛10001002-1 难易：3 答案：B18.设n 阶矩阵ABC 满足ABC=E,则1-B =( ) A ．11--C A B ．11--A C C ．AC D ．CA难易：3 答案：D19.设AB 、为n 阶方阵，下列各形式不一定成立的是( ) A.BA AB = B ．T T T A B AB =)(C ．EA AE =D ．BA AB = 难易：3 答案：D20.设矩阵()⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛==654321,4321,2,1C B A ,则下列矩阵运算中有意义的是( ) A.ACB B ．ABC C ．BAC D ．CBA 难易：1 答案：B21.设A 为3阶矩阵，且2=A ,则=1-2-A ( )A.-4 B ．-1 C ．1 D ．4 难易：3 答案：A22.设A,B 为任意n 阶矩阵，E 为n 阶单位矩阵，O 为n 阶零矩阵，则下列各式中正确的是( )A. ()()22B A B A B A -=-+ B ．()222B A AB =C ．()()E A E A E A -=-+2D ．由AB=O 必可推出A=O 或B=O 难易：3 答案：C23.设⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=*0320A ，则=-1A ( )A. ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-02/13/10B ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-03/12/10 C. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-03/12/10D ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-02/13/10 难易：3 答案：A24.设A 为n 阶矩阵，如果E A 21=，则=A ( ) A ． 21 B. 121-n C ． n 21D ．2难易：2 答案：C25.设A 为3阶矩阵，且0≠=a A ，将A 按列分块为),,(321ααα=A ，若矩阵),2,(3221αααα+=B ，则=B ( )A ．0B ．aC ．a 2D ．a 3 难易：3 答案：C26. ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=412320101-321A 的等价标准形( ) A.()0EB.()00EC.⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛00ED.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0E难易：3 答案：D27. ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1131-12021A 的逆矩阵( )A.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3/85/8-1/81/8-1/8-5/81/41/41/4- B.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3/85/8-1/81/8-1/85/81/41/41/4 C.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3/8-5/8-1/81/8-1/85/81/4-1/41/4 D.⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛3/85/8-1/8-1/81/85/81/41/41/4难易：3 答案：A28. ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=44-311-21-12013A 的秩为( )A.r(A)=1B.r(A)=2C.r(A)=3D.r(A)=0 难易：2 答案：B29. ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=172543421362B A ，则AB=( ) A 、⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛143614161911165018B 、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛23274228 C 、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛42282372D 、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛42282372难易：2 答案：A30.相乘可以交换与满足什么条件时，当⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=y x B A y x 213421,A 、y=x+1B 、y=-x+1C 、y=-x-1D 、 y=x-1 难易：3 答案：A31.设n 阶矩阵A ，B ，C 满足ABC=E ，则A. 111---=C B AB. 111---=B C AC. CA B =-1D. AC B =-1 难易：3第三章 向量空间32. 当t 为何值时，向量组()()()t ,3,51-,3,10,1,1321===ααα，，线性相关( )A ． 3B ．1C ．2D ．-1难易：3 答案：B33.向量组T T T t )5,4,0(,),0,2(,)1,2,1(121-==-=ααα的秩为2，则=t ( ) A ．1 B ．3 C ．-2 D ．-1 难易：3 答案：B34.设向量组s ααα,...,,21线性无关，并且可由向量组t 21,...,,βββ线性表出,则s 与t 的大小关系是( )A. S ≤tB.S ＞t C .S=t D .t ≤S难易：4 答案：A35.设向量组321,,ααα线性无关，则下列向量组中线性无关的是( ) A.2121,,αααα+ B.2121,,αααα- C.133221,,αααααα--- D.133221,,αααααα+++答案：D36.设向量组()()TT,0,1000,121==αα，，,下列向量中可以由21αα，线性表出的是( )A.()T00,2，B.()T42,3-， C.()T01,1， D.()T01-,0， 难易：3 答案：A37. 设向量组s ααα,...,,21线性相关，则必可推出( ) A.s ααα,...,,21中至少有一个向量为零向量 B.s ααα,...,,21中至少有两个向量成比例C.s ααα,...,,21中至少有一个向量可由其余向量线性表出D.s ααα,...,,21中每一个向量都可由其余向量线性表出难易：3 答案：C38. 设A 是n 阶矩阵(n ≥2)，0=A 则下列结论中错误的是( ) A.r(A)＜nB.A 必有两行元素成比例C.A 的n 个列向量线性相关D.A 有一个行向量可由其余的n-1个行向量线性表出难易：3 答案：B39. 向量组⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=110001-2-10642302-1-032154321ααααα，，，，的秩是( ) A.5 B.4 C.3 D.2难易：2 答案：C 40. 设向量线性无关，线性相关，则下列结论中错误的是( ) A.21,a a 线性无关B.4a 可由21,a a 线性表出C.4321,,,a a a a 线性相关D.4321,,,a a a a 线性无关难易：4 答案：D41. 设向量组)3,2,1(1=α，)2,1,0(2=α，)1,0,0(3=α，)6,3,1(=β，则( ) A.βααα,,,321线性无关B ．β不能由321,,ααα线性表示C ．β可由321,,ααα线性表示，且表示法惟一D ．β可由321,,ααα线性表示，但表示法不惟一难易：3 答案：C42.向量组()()()3,2,12,4,21,2,1321===ααα，，的秩( )A ．1B ．2C ．3D ．0 难易：2 答案：B321,,a a a 421,,a a a43.设()()()1,0,2-,1-0,0,1,2-1-,01,1===γβα，，， 则 γβα3-2+=( ) A. ()4-,0,90，B ．()4-,9,00，C ．()4-,0,50，D ．()4,0,50， 难易：2 答案：A44.已知()()为则，，αβαβα,2,1,1,2431-,23,132TT=+=+( ) A. ()T10-,5-,9-,2 B ．()T 10,5-,9-,2 C ．()T 10,5,9-,2 D ．()T10,5,9-,2-难易：3 答案：B 45.向量组()()()3,4,6,0,1-5,0,3,2,13,0,4,1,2321===ααα，，的秩( )A.1 B ．2 C ．3 D ．0 难易：3 答案：C46.向量组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛132,121,32,13a b 的秩为2，则a,b 为( )A.a=2 b=5 B ．a=5 b=2 C ．a=-2 b=-5 D ．a=-2 b=5 难易：2 答案：A第四章 线性方程组47.设A 是n m ⨯矩阵，则方程组0=Ax 有非零解的充要条件是( ) A.n A R =)( B ．n A R <)( C ．m A R =)( D ．m A R <)( 难易：248.已知方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-+=-=++0)1(020232132321kx x k x x x x kx x 有非零解，则=k ( ) B ．-1 B ．-1或4 C ．1或4 D ．4 难易：3 答案：D49.设三元线性方程组b Ax =有解，且2)(=A R ，基础解系中解向量个数为( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 难易：2 答案：C50.设A 是n m ⨯矩阵，则方程组b Ax =有唯一解的充要条件是( ) A ．n b A R A R ==),()( B ．n b A R A R <=),()( C ．m b A R A R ==),()( D ．m b A R A R <=),()( 难易：2 答案：A51.齐次线性方程组⎩⎨⎧=+=++0 032321x x x x x 的基础解系中解向量个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．0难易：3 答案：C52.齐次线性方程组021=+++n x x x 的基础解系中解向量个数为( ) A ．0 B ．1 C ． n D ． 1-n 难易：353.设3元线性方程组b Ax =，已知2),()(==B A r A r ，其两个解21,ηη满足T T k )1,2,3(,)1,0,1(2121--=--=+ηηηη,k 为任意实数，则方程组的通解( ) A.T T k )1-,2,3()1,0,1(21-+- B. T T k )1,0,1()1,2,3(21-+-- C. T T k )1,2,3()1,0,1(--+- D. T T k )1,0,1()1,2,3(-+-- 难易：4 答案：A54.设3元非齐次线性方程组b Ax =的增广),(b A 经初等行变换可化为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+---→1)2)(1(0021101301),(k k k b A若该方程无解，则数=k ( )A ．2B ．1C ． -1D ． -2 难易：4 答案：D55.设3元非齐次线性方程组12()2,(1,2,0),(1,3,1)T T Ax b r A a a ===-=满足为其两个解，则其导出组0Ax =的通解为( )A ．()T1-1-2-，，=ξ B. ()为任意实数，，k k T,150=ξ C ．()为任意实数，，k k T,1-1-2-=ξ D ．()T150，，=ξ 难易：4 答案：C56.设A 为4×5矩阵且3)(=A r ，则齐次线性方程组0=Ax 的基础解系中所含向量的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案：B57. 设线性方程组1231231232000x x x kx x x x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩有非零解，则k 的值为( )A ． -2B ． -1C ．1D ． 2 难易：3 答案：D58. 设有非齐次线性方程组b Ax =，其中A 为n m ⨯矩阵，且1)(r A r =，2),(r b A r =，则下列结论中正确的是( )A. 若m r =1，则0=Ax 有非零解 B ．若n r =1，则0=Ax 仅有零解 C. 若m r =2，则b Ax =有无穷多解 D ．若n r =2，则b Ax =有唯一解 难易：3 答案：B59. 设非齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-+=++2324321321321ax x x ax x x x x x 无解，则数=a ( ) A ． -2 B ． -1 C ．1 D ． 2 难易：2 答案：B60. 设四元线性方程组b Ax =有解，且2)(=A R ，基础解系中解向量个数为( ) A ．3 B ．2 C ．1D ．0难易：2 答案：B第五章 特征值与特征向量61.已知向量T k )0,1,(=α和T ) 1 , 2 , 1(=β正交，则=k ( ) A ．2 B ．3C ．-2D ．-3难易：2 答案：C62.设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=200710342A ，则E A 2+的一个特征值为( )A ．2B ．4C ．-2D ．-1难易：4 答案：B63.设三阶方阵A 的特征值为3,2,2，则=A ( ) A ．7 B ．-7 C ．12 D ．14难易：2 答案：C64.设3阶矩阵A 的3个特征向量是1,0.-2，相应的特性向量依次为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛011101111，，，令⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=110101111P ，则AP P -1为( )A.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛02-1B.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛102-C.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛012-D.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2-01难易：2 答案：B65.下列矩阵不能对角化的是( )A.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0221B.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0221C.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1022D.⎪⎪⎭⎫⎝⎛0122 难易：4 答案：B66.设A 为可逆矩阵，则与A 有相同特征值的矩阵为( ) A.T A B.2A C.1-A D.*A 难易：3 答案：A67.设3=λ是可逆矩阵A 的一个特征值，则矩阵1-41⎪⎭⎫⎝⎛A 有一个特征值为( )A.34-B. 43-C.43D.34 难易：3 答案：D68. 设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=110101011A ,则A 的特征值为( )A.1,0,1B. 1,1,2C.-1,1，2D.-1,1,1 难易：3 答案：C69.已知三阶矩阵A 的特征值为1,1，-2，则E A A 432-+的值为( ) A.1 B. -2 C.0 D.2 难易：3 答案：C第六章 实二次型70.若()2221231231323,,2322f x x x x x x x x tx x =++-+是正定二次型，则t 满足( )A.2t ≤B.2t 2-＜＜C.2-t ＞D.2t 2-t ＞且＜ 难易：3 答案：B71.下列各式哪个是二次型( ) A.023212221=+-+x x x x x B.23222--+z y xC. 322121x x x x ++ D.xz xy y x42322+-+难易：3 答案：D72.以下关于正定矩阵叙述正确的是( )A.正定矩阵的乘积一定是正定矩阵B.正定矩阵的行列式一定小于零C.正定矩阵的行列式一定大于零D.正定矩阵的差一定是正定矩阵 难易：3 答案：C73.设二次型()2322321-,,x x x x x f =则f( )A.正定B. 不定C.负定D.半正定 难易：3答案：B74.二次型()323121321-,,x x x x x x x x x f +=的矩阵是( )A. ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛02/12/1-2/102/1-2/12/1-0B. ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛002/1-2/12/12/1-2/12/1-0C.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛02/12/1-2/102/12/1-2/10 D.⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛02/12/12/102/12/12/10 难易：3 答案：C75.3121232221224-6-2-x x x x x x x f ++=的正定性为( ) A 、正定 B 、半正定 C 、半负定 D 、负定 难易：3 答案：D76.二次型()31212322213212462-,,x x x x x x x x x x f +-+=秩为( )A 、2B 、3C 、1D 、0 难易：2 答案：B77. 对称矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0110A 对应的二次型为( )A 、212x x f =B 、2221x x f += C 、2221-x x f = D 、21x x f =难易：2 答案：A78. 已知3阶实对称矩阵A 的特征多项式)5)(2)(1(-+-=-λλλλA E ，则二次型Ax x x x x f T =),,(321的正惯性指数为( )A. 1B. 2C. 3D.0 难易：3 答案：B79.二次型212221212),(x x x x x x f +--=的规范形为( ) A. 2121-y ),(=x x f B. 2121y ),(=x x f C. 222121y y ),(+=x x f D.222121y y ),(-=x x f 难易：3 答案：A80.yz xz xy z y x f 44-2-7-222-+=的矩阵为( )A 、⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛7-22-2112-1-1B 、⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛7-2-2-2-11-2-1-1C 、⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛72-2-2-11-2-1-1D 、⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛7-2-2-2112-1-1难易：2 答案：B。

T
= D ，同理可证
(1)
34215 35215
1998 1999
2000
;(2) 2001 2002 2003 28092 29092 2004 2005 2006 y x+ y x x+ y x y
x 1 2 3 (3) 0 1 2 ;(4) y x+ y 1 1 1
a1 − b1 a1 − b2 a1 − bn a − b a − b a2 − bn (5) 2 1 2 2 an − b1 an − b2 an − bn
a14 a15 a24 a25 0 0 . 0 0 0 0
a
a13 a23 0 0 0
解：(1)原式 = 1 × 1 − log b
× loga b = 0
原 式
=(1× 3 × 5 × 4 ) × ( −1)
(3)
N ( 2341)
=60 × ( −1)( 0 + 0 + 0 + 3) =−60
原 式
( 0 + 0 + 0 +0 + n −1)
= ( −1)
n!
(5)原式 = 0 (不同行式不同列相乘， 每次均会出现 0， 故其和为 0) 6. 问
a11 0 0 a41
0 a a33a44 − a14 a23a32 a41 = a33 0 0 a44
解：由定义知，原式=0
x+ y −y = −2 ( x 3 + y 3 ) y−x
a1 − b1 a1 − b2 a1 − bn a2 − b1 a2 − b2 a2 − bn = 0 an − b1 an − b2 an − bn

序本书吸取了当前全国十二大著名辅导机构出版的和他们内部非出版的考研数学辅导资料共计100余本书的绝大部分精髓，是一本含金量相当高、专门适应国家命题数学1-4类和各校自主命题的数学甲乙或AB 的考研全面基础延展复习与综合强化提高的全程通用讲义。

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全书以矩阵为主线，以秩、初等矩阵和行简化阶梯形三大核心技术为手段，运用抽象概念形象思维化理念，以独特的结构和模式，开创性、系统性地解决了线性代数的抽象与疑难问题，帮助读者居高临下对付2009年线数考研，是作者的得意名作。

书中采用了作者系统的原创性陈氏秘技和形象记忆掌握法，尤其对三基的延拓层面无与伦比，奉献了读者渴望的评注，蛰伏5年著成，2009版对相关内容作大篇幅修改，2008版的使用效果和威力首次就受到全国广大学子的高度认可。

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本书特别强调数学“三基”的全面训练，即基本概念与定义，基本性质与定理，基本运算与结论的夯实与拓展，然后全面分析22年来的国题，分析其四类命题历年之间的重复规律，进而研究目前尚未考到的知识点中可能出现的题型及其有哪些交叉知识点综合的题型。

作者深入而细致研究了教育部历年来主要知名考研命题专家的资料与风格，现已连续辅导了六届数学考研，积累了独特而卓有成效的经验，2007年辅导的学员参加2008年数学考研，平均成绩达到106分，最高分139。