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=(a1, a2,…, an)
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向量的和:设=(a1, a2,…, an)， =(b1, b2,…, bn), 则与的和为
+ =(a1+ b1, a2+ b2 ,…, an+ bn) 数乘向量:设=(a1, a2,…, an )，k是任一实数， 则数 k与向量的积为
k =k(a1, a2,…, an) =(ka1, ka2,…, kan)
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§4.1 向量空间和子空间的定义 §4.2 线性组合与线性表出 §4.3 线性相关与线性无关 §4.4 向量空间的基和维数 §4.5 极大无关组和向量组的秩 §4.6 矩阵的秩 §4.7 线性方程组解的结构 §4.8 基变换和坐标变换*
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§4.1 定义及性质
一、 向量空间的定义 定义4.1.1 任意n个(实)数a1, a2,…, an 构成的如 下的n元有序组
线性代数第四章
向量之间关于这两个运算的关系, 即所谓的线 性关系则是线性代数所要研究的核心内容. 利用 这些理论去解释线性方程组求解过程, 将会发现 对线性方程组的系数矩阵施行初等行变换并将其 化为行阶梯型时, 这些阶梯型矩阵中其元素不全 为零的行的数目其实是该矩阵行向量间和列向量 间所共有的一个十分重要的数字特征, 从而我们 能够更深入地了解线性方程组解的结构.
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二. 向量子空间
定义4.1.3 设W是的Rn一个非空子集. 如果
(i) 对任意的, ∈W，均有 + ∈W ; (ii) 对任意的∈W 和任意的k∈R，有k∈W.
则称W是Rn的一个子空间.
子空间中向量加法和数乘向量满足向量空间定 义中的八条运算律. 从而 将向量空间和它的子空 间均称为向量空间.
条运算律)称为n维实向量空间.
1． + = +
（加法交换律）
2． +(+)=(+)+
（加法结合律）
3． +O=
4． +(-)=O
5． 1=
6． k(l)=(kl)
7. k( + )=k+k
8. (k+l)= k+l
其中, , , 是任意向量, k, l是任意的实数.
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特别地我们有：设, 是Rn中任意两个向量，则 (i) 0 =O，kO=O；k为任意实数； (ii) 如k=O，那么k=0 或者=O； (iii) 如+ =O，那么 = ； (iv) (1) =
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，
定义4.2.2 设 1, 2, …, m, Rn, 如果存在数
l1, l2, …, lm 使得
=l11+l22+…+lmm 则称向量 可由向量组1, 2, …, m线性表出. 注. 显然, 一向量 可由向量组1, 2, …, m 线性 表出当且仅当 也是向量组1, 2, …, m 的一个
线性组合.
向量的差:设=(a1, a2,…, an)， =(b1, b2,…, bn), 则与的差为
=(a1 b1, a2 b2 ,…, an bn)
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显然, 关于向量的加法和数乘, 定理2.1.1中运 算律成立. 我们现在定义：
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定义4.1.2 所有n维实向量的集合Rn中定义了如上
的向量加法和数乘向量两种运算, (并满足如下的8
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例1 证明: 如果W是Rn的一个子空间, 则必有OW.
例2 设S为R2中所有形如
a
3a
(a为任意实数) 的向
量的集合, 验证S是R2的一个子空间.
例3 验证下述集合是Rn(n2)的一个子空间. S (a1, a2, L , an1, 0) | a1, a2, L , an1 R
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例4 验证如下形式的向量的全体构成的集合 不是 的子空间.
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例4.2.1 线性方程组的向量形式: 给定一线性方
程组
a11x1 a12 x 2 a1n xn b1 a21x1 a22 x2 a2n xn b2
am1 x1 am2 x2 amn xn bm
令系数矩阵 [aij]mn的列向量组为1, 2, …, n, 而 且令向量 =(b1, b2, …, bm)T,则该线性方程组可以
(a1, a2, 1), a1, a2 R
明显地， Rn是Rn自身的子空间; 另外, 只含零 向量的子集 ={O }也是Rn 的一个子空间.
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，
§4.2 线性组合与线性表出
一、 线性组合与线性表出
定义4.2.1 设 1, 2, …, mRn, k1, k2, …, km
为m个数, 称向
k11+k22+…+kmm 为向量组1, 2, …, m的一个线性组合.
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向量的相等: 两个向量=(a1, a2,…, an) 和 =(b1, b2,…, bn) 相等，当且仅当 ai= bi, i=1, 2, …, n, 并记为= .
零向量:分量全为零的向量称为零向量，记为 O=(0, 0, …, 0)
负向量:任一向量=(a1, a2,…, an)的各分量反号得 到的向量称为 的负向量，记为
(a1, a2,…, an) 称为n维(实)向量, 每一ai称为此向量的第i个分量.
如上定义的n维向量也称为n维行向量. n维向 量也可以用列的形式写出, 称为列向量:
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其中，b1, b2,…, bn 为任意（实）数. 如无特别申 明，n维向量均为实向量.
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通常, 记为R所有实数的集合, 并记Rn为所有n维行 向量的集合或所有n维列向量的集合. 现考虑为所 有n维行向量的集合的情形（同理可讨论为所有n 维列向量的集合的情形）.
表示为以下向量形式：
x11+ x22+…+xnn =
从而, 线性方程组(4.2.1)是否有解当且仅当该方程
组的常数项向量是否可由其系数矩阵的列向量组 1, 1, …, n线性表出.
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例4.2.2 试判定向量=(1Fra bibliotek 2, 0, 2)T是否可由向
量组
1=(1, 1, 1, 0)T, 2=(1, 1, 0, 1)T, 3=(1, 0, 1, 1)T, 4=(0,1, 1, 1)T
线性表出.
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二、生成子空间*
设 1, 2, …, m 是 Rn 中任一组向量. 构造集合 span(1, 2, …, m)= {k11+k22+…+kmm | kiR, i=1, 2, … , m}
即 span(1, 2, …, m)是 1, 2, …, m 的所有线性
组合的集合.
