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a21 x1 a22 x2 a2n xn b2 ,
am1 x1 am2 x2 amn xn bm .
a1 x1 a2 x2 an xn b
方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应．
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定义１ 给定向量组A :1,2 ,,m，对于任何一
组实数k1，k2，, km，向量
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故 11 22 m1 m1 1am 0 因 1 , 2 ,, m1 , 1 这 m 个数不全为0，
故 1 ,2 ,,m线性相关. 必要性 设 1 ,2 ,,m 线性相关，
则有不全为0的数 k1 , k2 ,, km , 使
k11 k22 kmm 0.
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若记A （1 , 2 ,, m )和B （ b1 ,b2 ,,bs ).B
能由A线性表示，即对每个向量bj ( j 1,2,, s)存 在数k1 j , k2 j ,kmj ,使
bj k1 j1 k2 j 2 kmj m
k1 j
（
1
,
2
,,
m
)
k2
j
,
kmj
k11 k2 2 km m
称为向量组的一个线性组合，k1，k2，, km称为这 个线性组合的系数.
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给定向量组A : 1 , 2 ,, m和向量b,如果存在
一
组数1，2，,
，使
m
b 11 2 2 m m
则向量b是向量组A的线性组合，这时称向量 b 能 由向量组 A 线性表示．
1 n 0时,才有
11 2 2 n n 0成立 .
2. 对于任一向量组,不是线性无关就是
线性相关 .
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3.向量组只包含一个向量 时,若 0则说 线性相关,若 0,则说 线性无关 .
4.包含零向量的任何向量 组是线性相关的.
5.对 于 含 有 两 个 向 量 的 向量 组, 它 线 性 相 关 的 充要条件是两向量的分量对应成比例，几何意义 是两向量共线；三个向量相关的几何意义是三向 量共面.
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§2 向量组的线性相关性
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一、线性相关性的概念
定义３ 给定向量组A :1,2 ,,m ,如果存在不
全为零的数k1, k2 ,, km使
k11 k2 2 km m 0
则称向量组A是线性相关的，否则称它线性无关．
注意
1. 若 1 , 2 ,, n线性无关,则只有当
３．当没有明确说明是行向量还是列向量时， 都当作列向量.
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三、向量空间
解析几何
向量 (n 3)
线性代数
既有大小又有方向的量
坐
有次序的实数组成的数组
几何形象： 可随意 平行移动的有向线段
标
代数形象： 向量的 坐标表示式
系 aT (a1 ,a2 ,,an )
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因k1 , k2 ,, km 中至少有一个不为0，
不妨设 k1 0,则有
1
k2 k1
2
k3 k1
3
km k1
m .
即 1 能由其余向量线性表示.
证毕.
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线性相关性在线性方程组中的应用
若方程组中有某个方程是其余方程的线性组 合时，这个方程就是多余的，这时称方程组（各 个方程）是线性相关的；当方程组中没有多余方 程，就称该方程组（各个方程）线性无关（或线 性独立）.
确定飞机的状态，需
要以下6个参数：
机身的仰角 机翼的转角
( ) (2 2 )
机身的水平转角 (0 2 )
飞机重心在空间的位置参数P(x,y,z)
所以，确定飞机的状态，需用6维向量
a ( x, y, z, , , )
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四、向量、向量组与矩阵
若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）
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1 0 2
(1 , 2 , 3 ) 1 2 4
1 5 7
r2 ~ r1
r3 r1
11 00 10
00 22 55
22 22 75
r3
5 2
r2
~
1 0 0
0 2 0
2 2
，
0
可 见R( 1
, 2
, 3
)
2，向量组1 , 2
,
线
3
性相
关；
R(1 , 2 ) 2,向量组1 , 2线性无关.
T 1
T 2
ams
sT
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设矩阵A经初等行变换变成B，则B的每个行 向量都是A的行向量组的线性组合，即B的行向量 组能由A的行向量组线性表示. 由初等变换可逆性 可知，A的行向量组能由B的行向量组线性表示， 于是A的行向量组与B的行向量组等价.
类似，若矩阵A经初等列变换变成B，则A的 列向量组与B的列向量组等价.
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对方程组A的各个方程做线性运算所得到的 一个方程就称为方程组A的一个线性组合；若方 程组B的每个方程都是方程组A的线性组合，就 称方程组B能由方程组A线性表示，这时方程组 A的解一定是方程组B的解；若方程组A与方程组 B能相互线性表示，就称这两个方程组等价，等 价的方程组一定同解.
证明 （略）
下面举例说明定理的应用.
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例１ n 维向量组
e1 1,0,,0T ,e2 0,1,,0T ,，en 0,0,,1T
称为n维单位坐标向量组,讨论其线性相关性 .
解 n维单位坐标向量组构成的矩阵 E (e1, e2 ,, en )
是n阶单位矩阵. 由 E 1 0，知R(E ) n.
A
:
1，
，
2
, m等价的充分必要条件
R(A) R(B) R(A B)
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定理3 向量组 B : b1，b2， , bl 能由向量组
A
:
1，
，
2
, m线性表示，则
R(b1，b2，
, bl )
R(1，
，
2
,m )
向量组与矩阵的对应关
系
向量组B : b1，b2，
, bl
能由向量组A
矩阵A
(aij
) mn
又有m个n维行向量
a11 a21
a12 a22
a1n a2n
T 1
T 2
A ai1
ai2
ain
T i
am1 am2 amn
T m
向量组
T 1
,
T 2
,
…，
T m
称为矩阵A的行向量组．
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反之，由有限个向量所组成的向量组可以构 成一个矩阵.
b11
（
c1
,
c2
,, cn
)
（
1
,
2
,,
s
)
b21
b12
b22
b1n b2n
bs1 ks2 ksn
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同时，C的行向量组能由B的行向量组线性表示, A 为这一表示的系数矩阵：
T 1
T 2
m
T
a11 a21
am1
a12 a22
am2
a1s a2s
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定理2 向量组 B : b1，b2， , bl 能由向量组
A
:
1，
，
2
, m线性表示的充分必要条件
是矩阵
A
(1，
，
2
,m ) 的秩等于矩阵
A B (1，2， ,m,b1，b2， ,bl ) 的秩，即
R(A) R(A B)
推论 向量组 B : b1，b2， , bl 与向量组
解析几何
空间
(n 3)
线性代数
点空间：点的集合
几何形象： 空间 直线、曲线、空间 平面或曲面
坐
向量空间：向量的集合
标
代数形象：向量空
系
间中的平面
( x, y,z) axbyczd r ( x, y,z)T axbyczd
P(x, y,z)
一一对应
r ( x, y, z)T
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即R(E)等于向量组中向量个数，故由定理知此 向量组是线性无关的.
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例２ 已知
1
0
2
1
1
，
2
2
，
3
4
，
1
5
7
试讨论向量组1， 2， 3及1， 2的线性相关性.
解
分析
对矩阵（1，
2，
），施行初等行变换变
3
成行阶梯形矩阵,
可同时看出矩阵（1，
2，
）
3
及（1，2）的秩，利用定理4即可得出结论.
第四章 向量组的线性相关性
§ 1 向量组及其线性组合 § 2 向量组的线性相关性 § 3 向量组的秩 § 4 线性方程组的解的结构 § 5 向量空间
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§1 向量组及其线性组合
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一、 n维向量的概念
定义1 n 个有次序的数 a1, a2 ,, an 所组成的数 组称为n维向量，这n个数称为该向量的n个分量， 第i个数ai 称为第i个分量 .
