量子力学导论第5章答案

1 第五章 力学量随时间的变化与对称性 5.1）设力学量A不显含t，H为本体系的Hamilton量，证明

HHAAdtd,,222

证.若力学量A不显含t，则有HAidtdA,1, 令CHA,

则HCHCidtCdidtAd,1,11222, HHAAdtd,, 222

5.2）设力学量A不显含t，证明束缚定态，0dtdA 证：束缚定态为:：tiEnnnertr,。 在束缚定态trn,，有trEtrtitrHnnnn,,,。 其复共轭为trEertitrHnntiEnnn,,****。



nndtdAdtdA,





••nnnnnnAAAdtd,,,



nnnnHiAAHidtdA1,,1



nnnnAHiHAiHAitA,1,1,1



nnHAAHiHAi,1,10,,1AHHA

i。

5.3）xxiaPxaaDexpexp表示沿x方向平移距离a算符.证明下列形式波函数（Bloch波函数）xexkikx,xaxkk

是aDx的本征态，相应的本征值为ikae 证：axeaxxaDkaxikx xexeeikakikxika,证毕。 2

5.4）设m表示zL的本征态（本征值为m），证明 meeyz

ikLikL

是角动量L沿空间,方向的分量nL cossinsincossinzyxLcLLnLLn

的本征态。 证：算符yikLe相当于将体系绕y轴转角，算符zikLe相当于将体系绕z轴转角，m原为zL的本征态，本

征值为m，经过两次转动，固定于体系的坐标系（即随体系一起转动的坐标系）的'z轴（开始时和实验室z轴重合）已转到实验室坐标系的,方向，即n方向，mYlm变成了，即变成了nL的本征态。本征值是状态的物理属性，不受坐标变换的影响，故仍为m。（还有解法二，参 钱. .《剖析》. P327）

5.5）设Hamilton量rVuPH22。证明下列求和规则 uxEEnnmmn22

2



。

x是r的一个分量， n是对一切定态求和，nE是相应于n态的能量本征值，nEnHn。

证： xxxpuipiupxuHx221,21,2 （） A

nnmmnxEE

2

mEEnnxmmnnmxHnmHxnnxmn

mHxnnxmn,

)(2,21mPxnnxmuxnmPnnxmuixn



nxnxPm

u

i

又AnmnmxnnEEmmxnnHxmn,)(nxnxPmui A2 nxxmxPxPmui

nxmPxmui,



uiui2

，

A uxEEnnmmn22

2



。

不难得出，对于ZY,分量，亦有同样的结论，证毕。

5.6）设prF,为厄米算符，证明能量表象中求和规则为 3

kFHFkFEEnnkkn,,212

（1）

证：式（1）左端令AkFnnFkEEnknkFHHFnnFkn kFHFk,, （2）

计算中用到了公式 1nnn。

由于FH,是厄米算符，有下列算符关系： FHHFFHFHHFFHHFFH,,

（3）

式（2）取共轭，得到 AAkFHFk,,

kFFHk,

)3(

,kFFHk （4）

结合式（2）和（4），得

AkFHFkFEEnnkkn,,212

证毕。 5.7）证明schrödinger方程变换在Galileo变换下的不变性，即设惯性参照系'K的速度相对于惯性参照系K运动（沿x轴方向），空间任何一点 两个参照系中的坐标满足下列关系： '''',,,ttzzyyvtxx。 （1）

势能在两个参照系中的表示式有下列关系 txVttxVtxV,,,''''' （2）

证明schrödinger方程在'K参照系中表为 ''222''2Vxmti



在K参照系中表为 



Vxmti2

22

2



其中 ttxtmxmi,2exp'2 证：由波函数的统计解释，和'的意义完全相同。 txwtx,,2， 是t时刻在x点找到粒子的几率密度；

'''2''',,txwtx

，是't时刻在'x点找到粒子的几率密度。

但是在给定时刻，给定地点发现粒子的几率应与参照系的选择无关，所以相应的几率应相等，即 4

''',,txwtxw （6）

从（1）式有 txwttxw,,' （6’） 由此可以得出， 和'两个波函数彼此只应差绝对值为1的相因子，所以 ttxetxetxtxiSiS,,,',''' （7）

txettxtxiS,,,' （7）

由（1）式， xx', txvt', 222'2xx

（3）式变为：'''''''''222,,,2txtxVtxxm '''''',,txtitxxi

（8）

将（7’）代入（8）式，可得 









tSxSxSmtSmitxVxxSmixm2222222222,2ti





（9） 选择适当的txS,，使得（9）（4），

0xSm

 。 （10）

02222222tSxSxSmxSmi （10’）

从（10）可得 tfxmS 。 （11） tf是的任意函数，将（11）代入（10’），可得

22mtf

积分，得 Ctmtf22 。 C为积分常数，但0时，'K系和K系重合，'应等于，即S应等于0，故应取0C，从而得到

tmxmS22 （12）

代入（7’）式，最后得到波函数的变换规律： 5





tmxmi2'211exp

 （13）

逆变换为 '2'''21exptmxmieiS （13’） 相当于式（13）中的，带”，“的量和不带”，“的量互换。 讨论：txS,的函数形式也可用下法求出：

因txS,和势能V无关，所以只需要比较平面波（自由粒子）在K和'K系中的表现形式，即可确定txS,. 沿x方向运动的自由粒子，在伽利略变换下，动量、能量的变换关系为 mPP

'

2222''212122mPEmPmPm

PE （14）

据此，K系和'K系中相应的平面波波函数为 EtPxie

， '''''tExPie （15）

（1）、（14）代入（15），即得





tmxmi2'211exp



此即（13）式，由于这个变换关系仅取决于K和'K系的相对速度，而与粒子的动量P无关，所以上式适用于任何自由粒子。它正是所求的变换关系。