第六章 中心力场
6.1) 利用6.1.3节中式（17）、（18），证明下列关系式
相对动量 ()21121p m p m M
r p
-==∙
μ （1） 总动量
1p p R M P
+==∙ （2）
总轨迹角动量p r P R p r p r L L L
⨯+⨯=⨯+⨯=+=221121 （3）
总动能 μ
22222
22
221
21p
M
P m p m p T +
=+= （4）
反之，有 ,11r m R r
μ+
= r m R r
2
2μ-= （5） p P m p +=2
1μ
，p P m p -=
1
2μ
（6）
以上各式中，()212121 ,m m m m m m M +=+=μ
证： 2
12
211m m r m r m R ++=
， （17） 21r r r -=， （18）
相对动量 ()211221212
11p m p m M r r m m m m r p
-=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+=
=∙
∙∙
μ （1’）
总动量 ()212
1221121p p m m r m r m m m R M P
+=+++==∙
∙∙ （2’）
总轨迹角动量 221121p r p r L L L
⨯+⨯=+=
)5(2211p r m u R p r m u R ⨯⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-+⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛
+= ()
()
2112
211p m p m
M
r p p R -⨯
++⨯=
)
2)(1(p r P R ⨯+⨯=
由（17）、(18)可解出21,r r
，即（5）式；由（1’）（2’）可解出（6）。
总动能()22
11
2
262221212222m p P m m p P m m p m p T ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-+
⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛+=+=
μμ
2
12
2
2
2
2
122
11
2
2
2
2
12
2222m m p P u m p
P
m m u
m m p P u m p
P
m m u
⋅-
+
+
⋅+
+
=
()
()
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛++
++
+=
2122
2
212
2
2
211
1121
22m m p P
m m m P
m m m μ
222
2
p
M
P +
=
（4’）
［从（17），(18)式可解出（5）式；从（1），(2)式可解出（6）式］.
6.2) 同上题，求坐标表象中p 、P 和L 的算术表示式
r i p ∇-= R i P ∇-= ，p r P R L
⨯+⨯=
解： ()
()
2112
2112
1r r m m
M
i p m p m
M
p ∇-∇-=
-=
（1）
其中 1
1
1
1
z k y j x i
r ∂∂+∂∂+∂∂
=∇，
而
x X M m x x x X x X x ∂∂+
∂∂=
∂∂∂∂+
∂∂
∂∂=
∂∂1111
，
同理，y Y
M m y ∂∂
+
∂∂=∂∂11
z
Z
M m z ∂∂+∂∂=∂∂
11
；
（利用上题（17）（18）式。）
∴ =
∇1r r R M
m ∇+∇1；仿此可设 =
∇2r r R M
m ∇-∇1 （2）
代入（1）中，得 ⎪⎭
⎫
⎝⎛∇+∇-∇+∇-=
r R r R m M m m m M m m M i p 121221 r i ∇-= （3）
()2
121r r i p p P ∇+∇-=+=
)
2(R
i ∇
-= （4）
p r P R L ⨯+⨯=
只要将（3）、（4）式中的p 、P 以相应的算符代入即可。
6.3）利用氢原子能级公式，讨论下列体系的能谱： （a ）电子偶素（positronium ，指-
+
-e e 束缚体系） （b ）u 原子（muonic atom ）
（c ）u 子偶素（muonium ，指-+
-u u 束缚体系） 解：由氢原子光谱理论，能级表达式为：
