第一章 量子力学的诞生
1.1设质量为m 的粒子在一维无限深势阱中运动， îíì<<><¥=a
x a
x x x V 0,0,0,)(
试用de Broglie 的驻波条件，求粒子能量的可能取值。
解：据驻波条件，有 ),3,2,1(2
L =×
=n n a l
n a /2=\l （1）
又据de Broglie 关系 l /h p = （2） 而能量
()
L h h ,3,2,12422/2/2
2222222
22==×===n ma n a m n h m m p E p l （3）
1.2设粒子限制在长、宽、高分别为c b a ,,的箱内运动，试用量子化条件求粒子能量的可能取值。
解：除了与箱壁碰撞外，粒子在箱内作自由运动。假设粒子与箱壁碰撞不引起内部激发，则碰撞为弹性碰撞。动量大小不改变，仅方向反向。选箱的长、宽、高三个方向为z y x ,,轴方向，把粒子沿z y x ,,轴三个方向的运动分开处理。利用量子化条件，对于x 方向，有
()ò==×L ,3,2,1,
x x x
n h n dx p
即 h n a p x x =×2 （a 2：一来一回为一个周期）
a h n p x x 2/=\,
同理可得， b h n p y y 2/=, c h n p z z 2/=,
L ,3,2,1,,=z y x n n n
粒子能量 ÷÷ø
öççèæ++=++=222222222
222)(21c n b n a n m
p p p m E z y x z y x n n n z
y x h p
L ,3,2,1,,=z y x n n n
1.3设质量为m 的粒子在谐振子势222
1
)(x m x V w =中运动，用量子化条件求粒子能量E 的可能取值。 提示：利用 )]([2,
,2,1,
x V E m p n nh x d p -===×ò
L
解：能量为E 的粒子在谐振子势中的活动范围为 a x £ （1） 其中a 由下式决定：221
()2
x a E V x m a w ===
。
由此得 2/2w m E a = ， （2）
a x ±=即为粒子运动的转折点。有量子化条件
222222
a
p dx dx m m a m a nh w p
w wp ++--×===×
==òò
òÑ
得w
wp m n
m nh a h 22
==
（3） 代入（2），解出 L h ,3,2,1,
==n n E n w （4）
积分公式：
c a
u a u a u du u a ++-=-ò
arcsin 2222
22
2
1.4设一个平面转子的转动惯量为I ，求能量的可能取值。 提示：利用
,,2,1,20
L ==ò
n nh d p p
j j j p 是平面转子的角动量。转子的能量I p E 2/2
j =。
解：平面转子的转角（角位移）记为j 。
它的角动量.
j j I p =（广义动量），j p 是运动惯量。按量子化条件
L ,3,2,1,220
===ò
m mh p dx p j p
j p
mh p =\
j ，
因而平面转子的能量
I m I p E m 2/2/222
h ==j ，
L ,3,2,1=m
第二章 波函数与Schrödinger 方程
2.1设质量为m 的粒子在势场)(r V v
中运动。 （a ）证明粒子的能量平均值为 w ×=ò
r d E 3
，
y y y y w V m
**2
2+Ñ=h （能量密度）
（b ）证明能量守恒公式 0=×Ñ+¶¶s t w v ÷÷ø
öççèæѶ¶+Ѷ¶-=**22y y y y t t m s h v （能流密度） 证：（a ）粒子的能量平均值为（设y 已归一化）
V T r d V m E +=÷÷ø
öççèæ+Ñ-=ò3
22*
2y y h （1）
ò=y y V r d V *3 （势能平均值） （2）
()()()[]
ò
òÑ×Ñ-Ñ×Ñ-=÷÷øö
ççèæÑ-=y y y y y
y **3222*
3
2)(2动能平均值r d m m r d T h h 其中T 的第一项可化为面积分，而在无穷远处归一化的波函数必然为0。因此
y y Ñ×Ñ=ò
*
322r d m T h （3）
结合式（1）、（2）和（3），可知能量密度,2**2
y y y y w V m
+Ñ×Ñ=h （4）
且能量平均值 ò
×=w r d E 3 。
（b ）由（4）式，得
..
.
2**.....
2*22**..
222
2*2222V V t m t t
t t V V
m t t t t t t s V V t m t m s E w y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y
é
ù¶¶*¶¶*¶êú=Ñ×Ñ+Ñ×Ñ++¶ê¶¶ú¶¶ë
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éùæöæö¶*¶¶*¶¶*¶êúç÷ç÷=Ñ×Ñ+Ñ-Ñ+Ñ++êúç÷ç÷¶¶¶¶¶¶èøèøëûæöæö¶*¶=-Ñ×+-Ñ++-Ñ+ç÷ç÷¶¶èøèø
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