一元二次方程解析式三种形式

一元二次函数知识点汇总1.定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的一元二次函数. 2.二次函数2ax y =的性质(1)抛物线2ax y =）（0≠a 的顶点是原点，对称轴是y 轴.(2)函数2ax y =的图像与a 的符号关系：①当0>a 时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点；②当0<a 时⇔抛物线开口向下⇔顶点为其最高点 3.二次函数 c bx ax y ++=2的图像是对称轴平行于(包括重合)y 轴的抛物线.4.二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成：()k h x a y +-=2的形式，其中ab ac k a b h 4422-=-=，. 5.抛物线c bx ax y ++=2的三要素：开口方向、对称轴、顶点.①a 决定抛物线的开口方向：当0>a 时，开口向上；当0<a 时，开口向下；a 越小，抛物线的开口越大，a 越大，抛物线的开口越小。

②对称轴为平行于y 轴(或重合)的直线，记作h x =.特别地，y 轴记作直线0=x . ③定点是抛物线的最值点[最大值(0<a 时)或最小值(0>a 时)]，坐标为(h ,k )。

6.求抛物线的顶点、对称轴的方法(1)公式法：a b ac a b x a c bx ax y 442222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=，∴顶点是），（a b ac a b 4422--，对称轴是直线a b x 2-=. (2)配方法：运用配方法将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是h x =.(3)运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以抛物线上纵坐标相等的两个点连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.★用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失★ 7.抛物线c bx ax y ++=2中，c b a ,,的作用(1)a 决定开口方向及开口大小，这与2ax y =中的a 完全一样.(2)b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线c bx ax y ++=2的对称轴是直线abx 2-=,故： ①0=b 时，对称轴为y 轴；②0>ab 时,对称轴在y 轴左侧；③0<ab 时,对称轴在y 轴右侧. (3)c 的大小决定抛物线c bx ax y ++=2与y 轴交点的位置.当0=x 时，c y =，∴抛物线c bx ax y ++=2与y 轴有且只有一个交点(0，c )：① 0=c ，抛物线经过原点; ②0>c ,与y 轴交于正半轴；③0<c ,与y 轴交于负半轴. 以上三点中，当结论和条件互换时仍成立.如抛物线的对称轴在y 轴右侧，则 0<ab .8. 二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①2ax y =；②k ax y +=2；③()2h x a y -=；④()k h x a y +-=2；⑤c bx ax y ++=2.9.用待定系数法求二次函数的解析式(1)一般式：c bx ax y ++=2.已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式. (2)顶点式：()k h x a y +-=2.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.(3)交点式：已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式：()()21x x x x a y --=. 10.直线与抛物线的交点（或称二次函数与一次函数关系） (1)y 轴与抛物线c bx ax y ++=2得交点为(c ,0)(2)与y 轴平行的直线h x =与抛物线c bx ax y ++=2有且只有一个交点(h ,c bh ah ++2). (3)抛物线与x 轴的交点二次函数c bx ax y ++=2的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程02=++c bx ax 的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定： ①有两个交点⇔0>∆⇔抛物线与x 轴相交；②有一个交点(顶点在x 轴上)⇔0=∆⇔抛物线与x 轴相切； ③没有交点⇔0<∆⇔抛物线与x 轴相离.(4)平行于x 轴的直线与抛物线的交点同(3)一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k ，则横坐标是k c bx ax =++2的两个实数根.而根的存在情况仍如(3)一样由根的判别式判定。

求二次函数解析式的三种方法一、已知任意三点求解析式用一般式，即2(0)y ax bx c a =++≠。

方法是：把三点坐标分别代入一般式，得到关于a 、b 、c 的三元一次方程组，求出a 、b 、c 的值，即可得到二次函数的解析式。

例1、如图，抛物线经过A 、B 、C 三点，顶点为D ，且与x 轴的另一个交点为E ，求抛物线的解析式x分析：观察图像，点A 、B 、C 、E 的坐标已知，在其中任选三点，将它们的坐标代入一般式，即可求出抛物线的解析式解：设抛物线的解析式为2y ax bx c =++，由图像可知，抛物线经过点A （-1，0）、B （0，3）、C （2，3）三点，所以03423a b c c a b c -+=⎧⎪=⎨⎪++=⎩，解得123a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以抛物线的解析式为23y x x =-++二、已知顶点或最大（小）值求解析式用顶点式，即2()(0)y a x h k a =-+≠方法是：先将顶点坐标（h ，k ）或最大（小）值代入顶点式，再把另一点的坐标代入求出a ，即可得抛物线的解析式例2、已知二次函数2y ax bx c =++的顶点为（-2，1），且过点（2，7），求二次函数的解析式分析：本题提供的是一般式，若用一般式求解比较繁琐，若设顶点式，则只需求一个待定系数即可。

解：设二次函数为2(2)1y a x =++，把点（2，7）代入解析式，得27(22)1a =++，解得12a =，所以二次函数的解析式为21(2)12y x =++，即21212y x x =++ 三、已知与x 轴两交点坐标求解析式用交点式，即12()()(0)y a x x x x a =--≠ 方法是：将抛物线与x 轴两个交点的横坐标1x 、2x 代入交点式，然后将抛物线上另一点的坐标代入求出a，即可得抛物线的解析式例3、已知变量y是x的二次函数，且函数图像如图，在x轴上截得的线段AB长为4个单位，又知函数图像顶点坐标为P（3，-2），求这个函数的解析式分析：因为函数图像在x轴上截得的线段AB长为4个单位，且函数图像顶点坐标为P （3，-2），根据图像可知，图像与x轴的两个交点的坐标分别为A（1，0）、B（5，0），然后利用交点式即可求出二次函数的解析式解：因为函数图像顶点坐标为P（3，-2），在x轴上截得的线段AB长为4个单位，所以抛物线与x轴的交点分别为A（1，0）、B（5，0），设所求二次函数解析式为(1)(5)y a x x=--。

一元二次方程根的判别式应用探讨一元二次方程，就是只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程，其一般形式为ax 2+bx+c=0（a≠0）。

在系数a ≠0的情况下，Δ=b 2－4ac>0时，方程有2个不相等的实数根；Δ=b 2－4ac =0时，方程有两个相等的实数根；Δ=b 2－4ac <0时，方程无实数根。

反之，若方程有2个不相等的实数根，则Δ=b 2－4ac>0；若方程有两个相等的实数根，则Δ=b 2－4ac =0；若无实数根，则Δ=b 2－4ac <0。

因此，Δ=b 2－4ac 称为一元二次方程根的判别式。

根的判别式b 2-4ac 的使用条件，是在一元二次方程中，而非别的方程中，因此，解题过程中要注意隐含条件a ≠0。

使用判别式之前一定要先把方程变化为一般形式，以便正确找出a 、b 、c 的值。

一元二次方程根的判别式在初中数学中有着广泛的应用，也是中考必考内容，并占有一定的份量。

将其应用归纳为直接应用和综合应用两方面，直接应用包括①不解一元二次方程，判断（证明）根的情况、②根据方程根的情况，确定待定系数的取值范围、③限制一元二次方程的根与系数关系的应用；综合应用包括④判断二次三项式是完全平方式时的待定系数、⑤判断双曲线与直线的公共点个数、⑥判断抛物线与直线（含x 轴）的公共点个数。

下面通过近年全国各地中考的实例探讨其应用。

一.不解一元二次方程，判断（证明）根的情况：例1：（2012广西河池3分）一元二次方程2x 2x 20++=的根的情况是【 】 A ．有两个相等的实数根 B ．有两个不相等的实数根C ．只有一个实数根D ．无实数根练习题：1（2012广东珠海6分）已知关于x 的一元二次方程x 2+2x+m=0．（1）当m=3时，判断方程的根的情况；（2）当m=﹣3时，求方程的根。

2. （2011福建福州4分）一元二次方程x （x ﹣2）=0根的情况是 【 】A 、有两个不相等的实数根B 、有两个相等的实数根C 、只有一个实数根D 、没有实数根3. （2011福建福州4分）一元二次方程x （x ﹣2）=0根的情况是 【 】A 、有两个不相等的实数根B 、有两个相等的实数根C 、只有一个实数根D 、没有实数根4. （2011内蒙古包头3分）一元二次方程x 2+x+ 1 4=0的根的情况是【 】A 、有两个不等的实数根B 、有两个相等的实数根C 、无实数根D 、无法确定 二. 根据方程根的情况，确定待定系数的取值范围：典型例题：例1：（2012湖北襄阳3分）如果关于x 的一元二次方程k x 10=有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是【 】A ．k ＜12B ．k ＜12且k≠0C ．﹣12≤k ＜12D ．﹣12≤k ＜12且k≠0 例3：（2012湖南常德3分）若一元二次方程2x 2x m 0++=有实数解，则m 的取值范围是【 】A. m 1≤-B. m 1≤C. m 4≤D.m 12≤ 例6：（2012湖北孝感12分）已知关于x 的一元二次方程x 2＋(m ＋3)x ＋m ＋1＝0．(1)求证：无论m 取何值，原方程总有两个不相等的实数根；(2)若x 1、x 2是原方程的两根，且|x 1－x 2|＝，求m 的值和此时方程的两根。

二次三项式、一元二次方程、一元二次不等式、二次函数四个“二次”综合题的解题途径一、关于二次函数y=ax 2+bx+c 的图象 1、 函数表达式: ○1一般形式: y=ax 2+bx+c ○2标准形式: y=a(x-m)2+n ○3两点形式: y=a(x-x 1)(x-x 2) 2、 若图象经过（m,n ）⇔am 2+bm+c=n特例：○1图象在y 轴上的截距为t ⇔ c=t ○2图象经过原点⇔c=0 ○3图象与轴交于点(1,0) ⇔ a+b+c=0 3、顶点在y 轴左侧 ⇔ -2ba< 0 ○1顶点在y 轴右侧 ⇔ -2b a> 0 ○2顶点在x 轴上方 ⇔ 244ac b a -> 0○3顶点在x 轴下方 ⇔ 244ac b a-<0○4顶点在直线y=kx+m ⇔ -2bak+m= 244ac b a - .○5顶点位置最高 ⇔244ac b a - 取得最大值 .○6顶点位置最低 ⇔ 244ac b a-取得最小值.4、 图象于x 轴交于两点⇔ f(x)=0有两个不相等的实数根⇔ a ≠0,△>0 图象与x 轴相切 ⇔f(x)=0有两个相等的实数根⇔a ≠0,△=0. 图象与x 轴相离 ⇔ f(x)=0 无实数根 ⇔a ≠0,△<0.5、 图象与x 轴的两个交点位置.○1在y 轴两侧 ⇔ f(x)=0两个实根异号⇔a ≠0,△>0，c a<0. ○2在y 轴同侧 ⇔ f(x)=0两个实根同号⇔ a ≠0 ,△>0，c a>0. ○3都在y 轴右侧⇔f(x)=0两个正实根⇔△>0, -2b a >0, c a>0 . ○4都在y 轴左侧⇔ f(x)=0两个负实根⇔ △>0, -2b a <0, c a>0. ○5图象与x 轴的两交点距离为s ⇔ a ≠0,△>0,∣x 1-x 2∣=s ⇔22s a ∆=,s=a.特别当a =1时○6图象与x 轴的两交点在x=m 的两侧⇔ a>0,f(m)<0,a<0, f(m)>0 ⇔ af(m) <0 ⇔f(x)=0 的一根比m 大一根比m 小。