二次函数待定系数法求函数解析式

待定系数法求二次函数解析式一、用待定系数法求二次函数的解析式用三种方法：1．已知抛物线过三点，设一般式为y＝ax2＋bx＋c．2．已知抛物线顶点坐标及一点，设顶点式y＝a(x－h)2＋k．3．已知抛物线与x轴有两个交点（或已知抛物线与x轴交点的横坐标），设两根式：y＝a(x－x1)(x－x2) ．（其中x1、x2是抛物线与x轴交点的横坐标）例题分析例1 已知抛物线经过点A（－1，0），B（4，5），C（0，－3），求抛物线的解析式．例2 已知抛物线顶点为（1，－4），且又过点（2，－3）．求抛物线的解析式．例3 已知抛物线与x轴的两交点为（－1，0）和（3，0），且过点（2，－3）．求抛物线的解析式．二、应用迁移 巩固提高1.已知二次函数的图象过（－1，－9）、（1，－3）和（3，－5）三点，求此二次函数的解析式。

2.二次函数，=－2时=－6, =2时=10, =3时=24,求此函数的解析式。

3.已知抛物线的顶点（－1，－2）且图象经过（1，10），求此抛物线解析式。

4.已知抛物线的顶点坐标为（4，－1），与轴交于点（0，3），求这条抛物线的解析式5.二次函数的对称轴为=3，最小值为－2，且过（0，1），求此函数的解析式。

6.抛物线的对称轴是=2，且过（4，－4）、（－1，2），求此抛物线的解析式。

7.已知二次函数的图象与轴的交点为（－5，0），（2，0），且图象经过（3，－4），求解析式8.抛物线的顶点为（－1，－8），它与轴的两个交点间的距离为4，求此抛物线的解析式。

9. 二次函数，当x＜6时随的增大而减小，＞6时随的增大而增大，其最小值为－12，其图象与轴的交点的横坐标是8，求此函数的解析式。

10、已知直线y=x-3与x轴交于点A，与y轴交于点B，二次函数的图象经过A、B两点，且对称轴方程为x=1，求这个二次函数的解析式。

11、 已知二次函数y1= ax2+bx+c和一次函数y2=mx+n的图象交于两点A（-2，－5）和B（1，4），且二次函数图象与y轴的交点在直线y=2x+3上，求这两个函数的解析式。

一、用待定系数法确定函数解析式的基本方法分四步 完成：一设、二代、三解、四还原。 一设:指先设出二次函数的解析式 二代:指根据题中所给条件，代入二次函数的 解析式，得到关于待定系数的方程或方程组。 三解:指解此方程或方程组 四还原:指将求出的待定系数的值还原回原解析式中
二、求二次函数的解析式 (1)关键是求出待定系数的值． (2)设解析式的形式：解（1）∵图象顶点为(1，－6)，
∴设其解析式为 y＝a(x－1)2－6.
∵图象经过点(2，－8)，
∴－8＝a(2－1)2－6.∴a＝－2.
∴函数解析式为 y＝－2(x－1)2－6.
例3拓展应用：抛物线 y＝ax2＋bx＋c经过A(-2，-4),
O(0，0),B(2，0)三点 （1）求抛物线 y＝ax2＋bx＋c的解析式。 （2）若点M是该抛物线对称轴上的一点，求AM+OM的 最小值。 y
-2
O。 B 。 x
。 M 。
A。
-4
x=1
。 A1 (4，-4)
【变式训练】
1.二次函数y x 2 bx c的图象的最低点为（ - 1,3），
此函数解析式 _____________ 2．抛物线 y＝－x2＋bx＋c 的图象如图 所示， 求此抛物线的解析式。 3．已知二次函数 y＝ax2＋bx＋c 中的 x，y 满足下表：
当已知抛物线上三个点时，设一般式
例1 二次函数的图象经过点A(1,3) ,B(0,3) ，C(－1,1)三点 求此函数的解析式；
解：设所求函数关系式为 y＝ax2＋bx＋c，
∵图象经过点 A(1,3)， B(0,3)， C(-1,1)，
c＝3， ∴a＋b＋c＝3， a－b＋c＝1. a＝－1， 解得b＝1， c＝3.

y= -1(x+1)(x-3) = -x2+2x+3
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3.交点式 y=a(x-x1)(x-x2) 知道抛物线与x轴的两个交点的坐
标,或一个交点的坐标及对称轴方程或顶 点的横坐标时选用两根式比较简便. (1)当△=b2- 4ac≥0 ,抛物线与x轴相交
y=ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2) △=b2- 4ac＞0 ，交点有两个， 分别是: (x1, 0)和(x2, 0) △=b2- 4ac =0,交点只有一个 即顶点[-b/2a,(4ac-b2)/4a] △=b2- 4ac <0 ,无交点
解：设二次函数解析式为y=ax2+bx+c ∵ 图象过B(0,2) ∴ c=2 ∴ y=ax2+bx+2 ∵ 图象过A(2,-4),C(-1,2)两点 ∴ -4=4a+2b+2
2=a-b+2 解得 a=-1,b=-1 ∴ 函数的解析式为：
y=-x2-x+2
2. 顶点式 y=a(x-h)2+k (a≠0)已知对称轴
y=a(x-1)2+4 ∵抛物线过点(-1, 0) ∴ 0=a(-1-1)2+4 得 a= -1
∴ 函数的解析式为： y= -1(x-1)2+4= -x2+2x+3
解法3:（交点式） 由题意可知两根为x1=-1、x2=3 设二次函数解析式为y=a(x-x1)(x-x2) 则有： y=a(x+1)(x-3) ∵ 函数图象过点(1,4) ∴ 4 =a(1+1)(1-3) 得 a= -1 ∴ 函数的解析式为：

二次函数待定系数法求函数解析式精心整理专题训练：求二次函数的解析式一、已知三点求解析式1.经过三点（-1，-22），（1，-8），（2，8）的二次函数为抛物线，其开口方向向上，对称轴为x=1，顶点坐标为(1,-14)。

解析式为y = 2x^2 - 4x - 16.2.经过三点（0，0），（-1，-1），（1，9）的二次函数为抛物线，解析式为y = 4x^2 - 4x。

3.经过三点（-1，-6），（1，-2），（2，3）的二次函数为抛物线，其开口方向向上，对称轴为x=0，顶点坐标为(0,-1)。

解析式为y = x^2 - x - 5.4.经过三点（1，a），（2，b），（3，4）的二次函数为抛物线，解析式为y = -3x^2 + 18x - 15.5.经过两点（-1，10），（2，7）且3a+2b=16的二次函数为抛物线，解析式为y = -x^2 + 4x +6.6.经过两点（a，b）和（12，b）且顶点纵坐标为3的二次函数为抛物线，解析式为y = -1/36(x-a)^2 + b + 3.7.经过两点（-3，c）和（0，3）的二次函数为抛物线，其顶点为M(－3，c+1)，对称轴为x=－3，解析式为y = -x^2 + 6x + c。

8.经过三点A（-1，0），B（0，-1），C（1，2）的二次函数为抛物线，解析式为y = x^2 - x - 1.9.经过三点（-1，-2），（0，-1），（1，0）的二次函数为抛物线，解析式为y = x^2 - x - 2.10.抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OA=2，OC=3，解析式为y = -1/2x^2 + 3.11.经过点A（-1，4），（1，4）的二次函数为抛物线，解析式为y = x^2 - 4.12.经过三点（1，0），（-1，0），（0，-3）的二次函数为抛物线，其顶点为(0,-3)且对称轴为y=-3，解析式为y = -x^2 - 3.13.经过三点（-1，3），（3，-1），（4，3）的二次函数为抛物线，其开口方向向下，对称轴为x=3，顶点坐标为(3,2)。

22.1.5待定系数法求二次函数解析式 二次函数解析式常见有以下几种形式 ： (1)一般式：2y ax bx c =++(a ，b ，c 为常数，a ≠0)；(2)顶点式：2()y a x h k =-+(a ，h ，k 为常数，a ≠0)；(3)交点式：12()()y a x x x x =--(1x ，2x 为抛物线与x 轴交点的横坐标，a ≠0)．题型1：一般式求二次函数解析式-一个或两个参数未知1.若抛物线y ＝x 2+bx +c 的对称轴为y 轴，且点P （2，6）在该抛物线上，则c 的值为（ ） A ．﹣2B ．0C ．2D ．4题型2：一般式求二次函数解析式-a 、b 、c 未知2.二次函数y ＝ax 2+bx+c （a≠0）的图象过点A （﹣1，8）、B （2，﹣1），与y 轴交于点C （0，3），求二次函数的表达式．题型3：顶点式求二次函数解析式3.已知抛物线的顶点是A（2，﹣3），且交y 轴于点B（0，5），求此抛物线的解析式.【变式3-2】已知如图，抛物线的顶点D的坐标为（1，-4），且与y轴交于点C（0，-3）.（1）求该函数的关系式；（2）求该抛物线与x轴的交点A，B的坐标.题型4：交点式求二次函数解析式4.已知二次函数y=ax2+bx+c的图像经过A（-1，0），B（3，0），C（0，-3）三点，求这个二次函数的解析式．题型5：综合-待定系数法与二次函数的性质5.已知：二次函数的图象经过点A(−1，0)，B(0，−3)和C(3，12)．（1）求二次函数的解析式并求出图象的顶点D的坐标；（2）设点M(x1，y1)，N(1，y2)在该抛物线上，若y1≤y2，直接写出x1的取值范围．题型6：综合-待定系数法求最短距离6.如图，已知抛物线y=1a(x−2)(x+a)（a＞0）与x轴交于点B、C，与y轴交于点E，且点B在点C的左侧．（1）若抛物线过点M（﹣2，﹣2），求实数a的值；（2）在（1）的条件下，解答下列问题；①求出△BCE的面积；②在抛物线的对称轴上找一点H，使CH+EH的值最小，直接写出点H的坐标．【变式6-1】如图，抛物线y=x2﹣bx+c交x轴于点A（1，0），交y轴于点B，对称轴是x=2．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点P，使△PAB的周长最小？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．题型7：综合-三角形面积7.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛线y＝ax2＋bx＋2过B(－2，6)，C(2，2)两点。

X -7 -6 -5 -4 -3 -2
y -27 -13 -3 3 5 3
则当x=1时，y的值为 A.5 B.-3 C.-13 D.-27
5. 已知二次函数中，其函数与自变量之间 的部分对应值如下表所示：
．
x …0 1 2 3 4 …
y …4 1 0 1 4 …
点A（x1，y1）、B（x2，y2）在函数的图象上，
部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程
x2 2x k 0 的一个解x1 3，另一个
解 x2 ；
y
O1 3
x
(第15题图)
22.1.4二次函数 y=ax2+bx+c的图象
8 6 4 2
－4 －2
24
1.完成下列表格:
二次函数 开口方向 对称轴 顶点坐标
y=2(x+3)2+5
向上 直线x=－3 (－3,5)
y 1 (x 4)2 4 2
x
如何平移：
y 3 (x 1)2 4
y 3 (x 1)2 2 4
y 3 (x 3)2 3 4
y 3 (x 5)2 2 4
发展性训练
1.由y=3(x+2)2+4的图像经过怎样的平移 变换，可以得到y=3x2的图像.
右移2单位，下移4单位
2.把函数y=x2-2x的图像向右平移２个单 位，再向下平移３个单位所得图像对应 的函数解析式为
（1）请直接写出抛物线y=2x2-4x+1的伴随抛物线和伴随直线的解析 式：
伴随抛物线的解析式： y=-2x2+1 。
伴随直线的解析式： y=-2x+1 。
（2）若一条抛物线的伴随抛物线和伴随直线分别是y= -x2-3和y= -

待定系数法求二次函数的解析式—知识讲解〔提高〕【学习目标】1. 能用待定系数法列方程组求二次函数的解析式；2. 经历探索由已知条件特点，灵活选择二次函数三种形式的过程，正确求出二次函数的解析式，二次函数三种形式是可以互相转化的．【要点梳理】要点一、用待定系数法求二次函数解析式 1.二次函数解析式常见有以下几种形式 ：(1)一般式：2y ax bx c =++(a ，b ，c 为常数，a ≠0)； (2)顶点式：2()y a x h k =-+(a ，h ，k 为常数，a ≠0)；(3)交点式：12()()y a x x x x =--(1x ，2x 为抛物线与x 轴交点的横坐标，a ≠0)． 2.确定二次函数解析式常用待定系数法，用待定系数法求二次函数解析式的步骤如下第一步，设：先设出二次函数的解析式，如2y ax bx c =++或2()y a x h k =-+，或12()()y a x x x x =--，其中a ≠0；第二步，代：根据题中所给条件，代入二次函数的解析式中，得到关于解析式中待定系数的方程(组)； 第三步，解：解此方程或方程组，求待定系数； 第四步，复原：将求出的待定系数复原到解析式中． 要点诠释：在设函数的解析式时，一定要根据题中所给条件选择合适的形式：①当已知抛物线上的三点坐标时，可设函数的解析式为2y ax bx c =++；②当已知抛物线的顶点坐标或对称轴或最大值、最小值时．可设函数的解析式为2()y a x h k =-+；③当已知抛物线与x 轴的两个交点(x 1，0)，(x 2，0)时，可设函数的解析式为12()()y a x x x x =--．【典型例题】类型一、用待定系数法求二次函数解析式1. 已知抛物线y ax bx c =++2经过A ，B ，C 三点，当x ≥0时，其图象如图1所示.求抛物线的解析式，写出顶点坐标.图1【答案与解析】设所求抛物线的解析式为y ax bx c =++2〔a ≠0〕. 由图象可知A ，B ，C 的坐标分别为〔0，2〕，〔4，0〕，〔5，-3〕.∴=++=++=-⎧⎨⎪⎩⎪c a b c a b c 216402553,,，解之，得a b c =-==⎧⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪12322,,∴抛物线的解析式为y x x =-++123222 y x x x =--+=--+1232123225822()()∴该抛物线的顶点坐标为()32258，.【总结升华】这道题的一个特点是题中没有直接给出所求抛物线经过的点的坐标，需要从图象中获取信息.已知图象上三个点时，通常应用二次函数的一般式列方程求解析式.要特别注意：如果这道题是求“图象所表示的函数解析式”，那就必须加上自变量的取值范围x ≥0.2. 一条抛物线y x mx n =++142经过点()032，与()432，.求这条抛物线的解析式. 【答案与解析】抛物线y x mx n =++142经过点〔032,〕和(,)432， ∴这条抛物线的对称轴是直线x =2.设所求抛物线的解析式为y x h =-+1422().将点(,)032代入，得1402322()-+=h ，解得h =12. ∴这条抛物线的解析式为y x =-+142122()，即y x x =-+14322. 【总结升华】解析式中的a 值已经知道，只需求出m n ,的值。

待定系数法求二次函数的解析式—知识讲解一般来说，二次函数的一般形式为：y = ax^2 + bx + c （其中a、b、c为常数，且a≠0）。

我们可以使用待定系数法来求解二次函数的解析式，具体步骤如下：1.设定待定系数：我们设定系数a、b、c的值为待定系数。

即假设a、b、c的值为未知数。

2.建立方程：根据二次函数的一般形式y = ax^2 + bx + c，我们可以将二次函数转化为一元二次方程。

在方程中，将x、y的值用待定系数a、b、c表示。

3.解方程：根据设定的待定系数，将二次方程化简为标准形式，并利用解一元二次方程的方法求解出待定系数的值。

4.得出结果：通过求解出的待定系数，我们可以得出二次函数的解析式。

下面我们通过一个具体的例子来说明待定系数法的应用。

例：已知二次函数图像经过点（1，3），（-2，2）和（3，4），求解此二次函数的解析式。

解：根据已知条件，我们可以列出三个方程：（1，3）：a+b+c=3（-2，2）：4a-2b+c=2（3，4）：9a+3b+c=4根据设定的待定系数a、b、c，化简以上方程可以得到：a+b+c=3----（1）4a-2b+c=2----（2）9a+3b+c=4----（3）我们可以使用消元法或代入法来求解此方程组。

首先，将方程（2）的2倍加到方程（1）中，可以得到：6a-2b+2c=6然后，将方程（3）的3倍减去方程（1）中，可以得到：24a+6b-3c=6现在我们得到了两个新的方程：6a-2b+2c=6----（4）24a+6b-3c=6----（5）再将方程（5）的3倍加到方程（4）中，可以得到：6a+4c=24我们可以解得：a=3-2c将上式代入方程（1）中，可以得到：(3-2c)+b+c=3整理可得：b-c=0b=c所以，我们可以令b=c。

现在我们得到了a=3-2c和b=c。

将a、b、c的值代入方程（1）中，可以得到：(3-2c)+c+c=3化简可得：-2c+3=3-2c=0c=0将c=0代入a=3-2c和b=c中，可以得到：a=3b=0所以，二次函数的解析式为：y=3x^2通过以上步骤，我们成功使用待定系数法求解了二次函数的解析式。

3．设 y＝f(x)是二次函数，方程 f(x)＝0 有两个相等实根，
且 f′(x)＝2x＋2，求 f(x)的解析式．
解：设 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， 则 f′(x)＝2ax＋b＝2x＋2， ∴a＝1，b＝2，f(x)＝x2＋2x＋c. 又∵方程 f(x)＝0 有两个相等实根， ∴Δ＝4－4c＝0，c＝1，故 f(x)＝x2＋2x＋1.
求函数解析式的四种常用方法
(3)换元法：已知复合函数 f(g(x))的解析式， 可用换元法，此时要注意新元的取值范围；
求函数解析式的四种常用方法
(4)解方程组法：已知关于 f(x)与 f1x或 f(－ x)的表达式，可根据已知条件再构造出另 外一个等式组成方程组，通过解方程求出 f(x)．
求函数解析式的四种常用方法
求函数解析式的四种常用方法
(1) 配凑法：由已知条件 f(g(x))＝F(x)， 可将 F(x)改写成关于 g(x)的表达式， 然后以 x 替代 g(x)，便得 f(x)的表达式；
变式 题
换元法 拼凑法
求函数解析式的四种常用方法
(2)待定系数法：若已知函数的类型 (如一次函数、二次函数)可用待定系数法；
（4）.已知f(1-cosx)=sin2x，求f(x)
（5）.二次函数f(x)满足f(x+2)=f(2-x)，且f(x)＝0 的两实根平方和为10，图象过点(0，3)，求f(x) 的解析式。
（6）：已知：方程：x2+ax+a+1=0的两根满足一 个条件：一根大于k，一根小于k(k是实数)，求a 的取值范围。
(4)定义在(－1,1)内的ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ数 f(x)满足 2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)， 求函数 f(x)的解析式．

待定系数法求二次函数的解析式—知识讲解（基础）【学习目标】1. 能用待定系数法列方程组求二次函数的解析式；2. 经历探索由已知条件特点，灵活选择二次函数三种形式的过程，正确求出二次函数的解析式，二次函数三种形式是可以互相转化的．【要点梳理】要点一、用待定系数法求二次函数解析式1.二次函数解析式常见有以下几种形式 ：(1)一般式：2y ax bx c =++(a ，b ，c 为常数，a ≠0)；(2)顶点式：2()y a x h k =-+(a ，h ，k 为常数，a ≠0)；(3)交点式：12()()y a x x x x =--(1x ，2x 为抛物线与x 轴交点的横坐标，a ≠0)．2.确定二次函数解析式常用待定系数法，用待定系数法求二次函数解析式的步骤如下第一步，设：先设出二次函数的解析式，如2y ax bx c =++或2()y a x h k =-+，或12()()y a x x x x =--，其中a ≠0；第二步，代：根据题中所给条件，代入二次函数的解析式中，得到关于解析式中待定系数的方程(组)； 第三步，解：解此方程或方程组，求待定系数；第四步，还原：将求出的待定系数还原到解析式中．要点诠释：在设函数的解析式时，一定要根据题中所给条件选择合适的形式：①当已知抛物线上的三点坐标时，可设函数的解析式为2y ax bx c =++；②当已知抛物线的顶点坐标或对称轴或最大值、最小值时．可设函数的解析式为2()y a x h k =-+；③当已知抛物线与x 轴的两个交点(x 1，0)，(x 2，0)时，可设函数的解析式为12()()y a x x x x =--．【典型例题】类型一、用待定系数法求二次函数解析式1．（2014秋•岳池县期末）已知二次函数图象过点O （0，0）、A （1，3）、B （﹣2，6），求函数的解析式和对称轴．【答案与解析】解：设二次函数的解析式为y=ax 2+bx+c ，把O （0，0）、A （1，3）、B （﹣2，6）各点代入上式得解得，∴抛物线解析式为y=2x 2+x ；∴抛物线的对称轴x=﹣=﹣=﹣．【总结升华】若给出抛物线上任意三点，通常可设一般式：y=ax 2+bx+c (a ≠0).举一反三：【高清课程名称：待定系数法求二次函数的解析式高清ID 号： 356565 关联的位置名称（播放点名称）：例1】【变式】已知：抛物线2y ax bx c =++经过A （0，5-），B （1，3-），C （1-，11-）三点，求它的顶点坐标及对称轴．【答案】设52-+=bx ax y (a ≠0)，据题意列⎩⎨⎧--=--+=-51153b a b a ，解得⎩⎨⎧=-=42b a ， 所得函数为5422-+-=x x y对称轴方程：1=x ，顶点()31-,.2.（2015•巴中模拟）已知抛物线的顶点坐标为M （1，﹣2），且经过点N （2，3），求此二次函数的解析式．【答案与解析】解：已知抛物线的顶点坐标为M （1，﹣2），设此二次函数的解析式为y=a （x ﹣1）2﹣2，把点（2，3）代入解析式，得：a ﹣2=3，即a=5，∴此函数的解析式为y=5（x ﹣1）2﹣2．【总结升华】本题已知顶点，可设顶点式.举一反三：【高清课程名称：待定系数法求二次函数的解析式高清ID 号： 356565 关联的位置名称（播放点名称）：例2】 【变式】在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为(14)A -，，且过点(30)B ，. （1）求该二次函数的解析式；（2）将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接写出平移后所得图象与x 轴的另一个交点的坐标.【答案】（1）223y x x =--．（2）令0y =，得2230x x --=，解方程，得13x =，21x =-． ∴二次函数图象与x 轴的两个交点坐标分别为(30)，和(10)-，．∴二次函数图象向右平移1个单位后经过坐标原点．平移后所得图象与x 轴的另一个交点坐标为(40)，.3．已知二次函数的图象如图所示，求此抛物线的解析式．【答案与解析】解法一：设二次函数解析式为2y ax bx c =++(a ≠0)，由图象知函数图象经过点(3，0)，(0，3)． 则有930,3,1,2a b c c b a⎧⎪++=⎪=⎨⎪⎪-=⎩ 解得1,2,3.a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩∴ 抛物线解析式为223y x x =-++．解法二：设抛物线解析式为12()()y a x x x x =--(a ≠0)．由图象知，抛物线与x 轴两交点为(-1，0)，(3，0)．则有(1)(3)y a x x =+-，即223y ax ax a =--．又33a -=，∴ 1a =-．∴ 抛抛物物解析式为223y x x =-++．解法三：设二次函数解析式为2()y a x h k =-+(a ≠0)．则有2(1)y a x k =-+，将点(3，0)，(0，3)代入得 40,3,a k a k +=⎧⎨+=⎩ 解得1,4.a k =-⎧⎨=⎩ ∴ 二次函数解析式为2(1)4y x =--+，即223y x x =-++．【总结升华】二次函数的解析式有三种不同的形式，它们是相互联系、并可相互转化的，在实际解题时，一定要根据已知条件的特点，灵活选择不同形式的解析式求解．类型二、用待定系数法解题4．已知抛物线经过(3，5)，A(4，0)，B(-2，0)，且与y 轴交于点C ．(1)求二次函数解析式；(2)求△ABC 的面积．【答案与解析】(1)设抛物线解析式为(2)(4)y a x x =+-(a ≠0)，将(3，5)代入得5(32)(34)a =+- ， ∴ 1a =-．∴ (2)(4)y x x =-+-．即228y x x =-++．(2)由(1)知C(0，8)，∴ 1(42)8242ABC S =+⨯=△． 【总结升华】此题容易误将(3，5)当成抛物线顶点．将抛物线解析式设成顶点式．。

用待定系数法求二次函数解析式的几种方法待定系数法是一种可以用来求二次函数解析式的有效方法。

基本原理是，通过把二次函数拆分为两个一次函数的乘积，然后根据给定的条件将未知的系数代入到两个一次函数之中，从而计算出二次函数的解析式。

首先，我们可以用待定系数法计算二次函数的标准形式的解析式。

一般来说，二次函数的标准形式是ax^2+bx+c=0，根据定理，二次函数的根为： x = [-b (b^2-4ac)] / 2a.二次函数分解为两个一次函数相乘：ax^2 + bx + c = a(x+p)(x+q),p + q = -b, pq = c.结合给定的条件，将未知的系数代入到两个一次函数之中，即可求得p、q的值。

最后，根据互相关联的关系，计算出q p的值，就可以得到二次函数的标准形式的解析式。

其次，我们可以用待定系数法求解二次函数的非标准形式的解析式。

一般来说，非标准形式的二次函数是一般形式ax^2 + bx + c = 0类似于标准形式，我们可以将二次函数分解为两个一次函数相乘：ax^2 + bx + c = a(x + p/a )(x + q/a)。

对于任意给定的一般形式的二次方程，我们可以先将它降幂变为标准形式，然后再计算p、q的值。

最后，根据互相关联的关系，计算出 q p的值，就可以得到二次函数的非标准形式的解析式。

再次，我们还可以用待定系数法解决一些特殊情况下的二次函数。

比如说，二次函数在x=0处有极值点时，ax^2+bx+c= 0.种情况下，我们可以将二次函数分解为两个一次函数:ax^2 + bx + c = a(x + p)(x + q) + ap, q = 0。

根据给定的条件，将未知的系数代入到两个一次函数之中，即可求得p、q的值。

最后，根据互相关联的关系，计算出q p的值，就可以得到二次函数的特殊情况下的解析式。

总之，待定系数法是一种可以用来求二次函数解析式的有效方法。

它可以用来求解二次函数的标准形式和非标准形式，以及一些特殊情况下的二次函数的解析式。

待定系数法求二次函数的解析式—知识讲解设定二次函数的解析式为$f(x)=ax^2+bx+c$，其中$a$、$b$和$c$为待定系数。

一、已知函数的根情况一：已知函数的两个根$x_1$和$x_2$，则有以下条件：$$f(x_1)=0$$$$f(x_2)=0$$代入二次函数解析式，可得：$$a{x_1}^2+b{x_1}+c=0$$$$a{x_2}^2+b{x_2}+c=0$$将上述方程组化简，得：$$a{x_1}^2+b{x_1}=-c$$$$a{x_2}^2+b{x_2}=-c$$注意到$x_1$和$x_2$为已知值，$a$、$b$和$c$为待定系数，上述方程可以看作是一个关于$a$、$b$和$c$的线性方程组。

通过解这个方程组，即可求出$a$、$b$和$c$。

情况二：已知函数的一个根$x_1$和函数经过的一个点$(x_3,y_3)$，则有以下条件：$$f(x_1)=0$$$$f(x_3)=y_3$$代入二次函数解析式，可得：$$a{x_1}^2+b{x_1}+c=0$$$$a{x_3}^2+b{x_3}+c=y_3$$将上述方程组化简，得：$$a{x_1}^2+b{x_1}=-c$$$$a{x_3}^2+b{x_3}=y_3-c$$同样地，将上述方程看作是一个关于$a$、$b$和$c$的线性方程组，求解即可得到$a$、$b$和$c$的值。

二、已知函数的值当已知二次函数经过的两个点$(x_1,y_1)$和$(x_2,y_2)$时，同样可以通过设定$a$、$b$和$c$为待定系数，列出方程组来求解。

将已知点代入二次函数解析式，可得：$$a{x_1}^2+b{x_1}+c=y_1$$$$a{x_2}^2+b{x_2}+c=y_2$$进一步化简，得：$$a{x_1}^2+b{x_1}=y_1-c$$$$a{x_2}^2+b{x_2}=y_2-c$$同样地，上述方程可看作是一个关于$a$、$b$和$c$的线性方程组，通过求解该方程组，即可求出$a$、$b$和$c$的值。

二次函数解析式求法------待定系数法1．二次函数的三种常用形式一般式：()20y ax bx ca =++≠； 顶点式：()()20y a x h k a =−+≠；交点式：()()()120y a x x x x a =−−≠． 2．求二次函数解析式的一般方法已知图象上三点或三点的对应值，通常选择一般式()20y ax bx c a =++≠；已知图象上顶点坐标（或对称轴和最值），通常选择顶点式()()20y a x h k a =−+≠；已知图象与x 轴的两个交点的横坐标x 1，x 2，通常选择交点式()()()120y a x x x x a =−−≠．3．待定系数法求二次函数解析式的一般步骤用待定系数法确定二次函数解析式的基本方法分四步完成：一设：指先设出恰当的二次函数解析式；二代：指根据题中所给条件，代入二次函数解析式，得到关于a 、b 、c （或h ，k ）的方程组；三解：指解方程或方程组；四还原：指将求出的a 、b 、c （或h ，k ）代回原解析式中．例题1、已知一个二次函数的图象经过（3，0）、（0，﹣3）、（1，﹣4）三点，求这个二次函数的解析式．2.已知抛物线y=ax2+bx+c经过（﹣1，﹣22），（0，﹣8），（2，8）三点．（1）求出抛物线解析式；（2）判断点（﹣2，﹣40）是否在该抛物线上？说明理由．3、.已知抛物线的顶点坐标是（﹣1，2），且过点（0，32）．（1）求此抛物线所对应的函数表达式；（2）求证：对任意实数m，点M（m，﹣m2）都不在此抛物线上．4、在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为(14)A−，，且过点(30)B，.（1）求该二次函数的解析式；（2）将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接写出平移后所得图象与x轴的另一个交点的坐标.变式练习1、已知一抛物线与x轴的交点是)0,2A，B（1，0），且经过点(−C（2，8）.（1）求该抛物线的解析式；（2）求该抛物线的顶点坐标.2、已知二次函数的图象如图所示，求此抛物线的解析式．3.根据下列条件，分别求出对应的二次函数解析式．(1)已知抛物线的顶点是(1，2)，且过点(2，3)；(2)已知二次函数的图象经过(1，-1)，(0，1)，(-1，13)三点；(3)已知抛物线与x轴交于点(1，0)，(3，0)，且图象过点(0，-3)．4.已知抛物线2=++的顶点坐标为(3，-2)，且与x轴两交点间的距离为y ax bx c4，则抛物线的解析式为___ _____．5.已知抛物线经过(3，5)，A(4，0)，B(-2，0)，且与y轴交于点C．(1)求二次函数解析式；(2)求△ABC的面积．。

函 数 解 析 式 的 八 种 求 法一．待定系数法：（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等）若已知)(x f 的结构时，可设出含参数的表达式，再根据已知条件，列方程或方程组，从而求出待定的参数，求得)(x f 的表达式。

【例1】已知函数f(x)是一次函数，且满足关系式3f(x+1)-2f(x -1)=2x +17，求f(x )的解析式。

分析：所求的函数类型已定，是一次函数。

设f(x)=ax+b(a≠0)则f(x+1)=?，f(x-1)=?解：设f(x)=ax+b(a≠0)，由条件得：3[a(x+1)+b]-2[a(x-1)+b]=ax+5a+b=2x+17，∴f(x)=2x+7 【例2】求一个一次函数f(x)，使得f{f[f(x)]}=8x+7分析：所求的函数类型已定，是一次函数。

设f(x)=ax+b(a≠0)则f{f[f(x)]}=f{f[ax+b]}=f[a(ax+b)+b]=? 解：设f(x)=ax+b （a≠0)，依题意有a[a(ax+b)+b]+b=8x+7 ∴x a 3+b(2a +a+1)=8x+7，∴f(x)=2x+1例 设)(x f 是一次函数，且34)]([+=x x f f ，求)(x f 解：设bax x f +=)( )0(≠a ，则bab x a b b ax a b x af x f f ++=++=+=2)()()]([∴⎩⎨⎧=+=342b ab a ∴⎩⎨⎧⎩⎨⎧=-===3212b a b a 或 32)(12)(+-=+=∴x x f x x f 或 例、已知二次函数)(x f y =满足),2()2(--=-x f x f 且图象在y 轴上的截距为1，被x 轴截得的线段长为22，求函数)(x f y =的解析式。

分析：二次函数的解析式有三种形式： ① 一般式：)0()(2≠++=a c bx ax x f② 顶点式：()为函数的顶点点其中k h a kh x a x f ,,0)()(2≠++=③ 双根式：的两根是方程与其中0)(,0))(()(2121=≠--=x f x x a x x x x a x f解法1：设)0()(2≠++=a cbx ax x f ，则由y 轴上的截距为1知：1)0(=f ，即c=1 ① ∴ 1)(2++=bx ax x f由)2()2(--=-x f x f 知：1)2()2(1)2()2(22+--+--=+-+-x b x a x b x a 整理得：0)4(=-x b a , 即： 04=-b a ②由被x 轴截得的线段长为22知，22||21=-x x ， 即84)()(21221221=-+=-x x x x x x . 得:814)(2=--aab .整理得： 2284a a b =- ③ 由②③得： 2,21==b a , ∴ 1221)(2++=x x x f .解法2：由)2()2(--=-x f x f 知：二次函数对称轴为2-=x ，所以设)0()2()(2≠++=a kx a x f ；以下从略。

求二次函数的解析式的几种方法山东省沂水县高桥镇初级中学 王瑞辉二次函数解析式的求法是二次函数知识的重点，也是中考必考内容。

现在举例，说明求二次函数解析式的常用方法，希望对同学们学习有所帮助。

一、二次函数常见的三种表达式：（1）一般式：y ax bx c a =++≠20()；（2）交点式：y a x x x x =--()()12，其中点(,)()x x 1200，，为该二次函数与x 轴的交点；（3）顶点式：()2()0y a x h k a =-+≠，其中点(),h k 为该二次函数的顶点。

二、利用待定系数法求二次函数关系式(1)、已知二次函数图象上任意三个点的坐标，可设一般式求二次函数的关系式。

例1、已知抛物线2y ax bx c =++，经过点（2，1）、（-1，-8）、（0，-3）．求这个抛物线的解析式．解：根据题意得421,8,3,a b c a b c c ++=⎧⎪-+=-⎨⎪=-⎩解之得1,4,3,a b c =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩所以抛物线为243;y x x =-+-说明：用待定系数法求系数a b c 、、需要有三个独立条件，若给出的条件是任意三个点，可设解析式为2(0)y ax bx c a =++≠，然后将三个点的坐标分别代入，组成一次方程组用加减消元法来求解．(2)、已知抛物线与x 轴的两个交点坐标和图象上另一个点坐标，可设交点式求二次函数的关系式。

若知道二次函数与x 轴有两个交点()()1200x x ，，，，则相当于方程20ax bx c ++=有两个不相等的实数根12x x ，，从而212()()ax bx c a x x x x ++=--，故二次函数可以表示为12()()(0)y a x x x x a =--≠．例2、已知一个二次函数的图象经过点A （－1，0），B （3，0），C （0，－3）三点．求此二次函数的解析式．解：根据题设，设此二次函数的解析式为(1)(3)y a x x =+-．又∵该二次函数又过点（0，－3），∴(01)(03)3a +-=-．解得1a =．因此，所求的二次函数解析式为(1)(3)y x x =+-，即223y x x =--．说明：在把函数与x 轴的两个交点坐标代入12()()(0)y a x x x x a =--≠求值时，要注意正确处理两个括号内的符号．(3)、已知抛物线顶点和另外一个点坐标时，设顶点式y =a (x -h )2+k (a ≠0)例3、对称轴与y 轴平行的抛物线顶点是(-2，-1)，抛物线又过(1，0)，求此抛物线的函数解析式。

二次函数待定系数法求解析式
二次函数待定系数法是求解二次函数解析式的一种常用方法。

它的基本思想是：已知二次函数的某些性质或特征，根据这些性质或特征列出方程组，通过待定系数的方式求解二次函数的解析式。

具体来说，二次函数待定系数法的求解步骤如下：
1. 根据题目条件列出方程组。

2. 假设二次函数的解析式为 $y=ax^2+bx+c$，其中 $a$，$b$，$c$ 为待定系数。

3. 根据方程组解出 $a$，$b$，$c$ 的值，从而得到二次函数的解析式。

常用的二次函数待定系数法有以下几种：
1. 已知二次函数图像过某个点和另一个点的切线，求解析式。

2. 已知二次函数图像过三个点，求解析式。

3. 已知二次函数的对称轴和顶点坐标，求解析式。

4. 已知二次函数的零点和另一个点，求解析式。

5. 已知二次函数的一个根和一个点，求解析式。

6. 已知二次函数的一个根和对称轴的位置，求解析式。

二次函数待定系数法是数学中一个非常重要的方法，掌握它可以帮助我们更好地理解和应用二次函数。

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