十种二次函数解析式求解方法

求二次函数解析式的四种方法详解二次函数是一种常见的函数形式，其解析式可以通过四种方法求得。

下面将详细介绍这四种方法。

方法一：配方法求解二次函数解析式配方法是一种常用的求解二次函数解析式的方法。

对于形如$f(x) = ax^2 + bx + c$的二次函数，我们可以通过配方法将其转化为$(px+q)^2$形式，然后利用完全平方公式求解。

1. 将二次项与常数项系数乘以2，即将原函数表示为$f(x) = a(x^2 + \frac{b}{a}x) + c$；2. 将中间项$\frac{b}{a}x$除以2，并在括号外面加上一个平方项和一个负号，即表示为$f(x) = a(x^2 + \frac{b}{a}x +(\frac{b}{2a})^2 - (\frac{b}{2a})^2) + c$；3. 将括号内部的三项利用完全平方公式进行转化，即表示为$f(x) = a((x+\frac{b}{2a})^2 - (\frac{b}{2a})^2) + c$；4. 化简后得到$f(x) = a(x+\frac{b}{2a})^2 - \frac{b^2}{4a} + c$。

其中，$(x+\frac{b}{2a})^2$是一个完全平方项，可以展开得到$x^2 + bx + \frac{b^2}{4a^2}$。

所以上述表达式可以进一步简化为：$f(x) = ax^2 + bx + c = a(x+\frac{b}{2a})^2 - \frac{b^2}{4a} + c$这就是二次函数的配方法解析式。

方法二：因式分解法求解二次函数解析式对于形如$f(x) = ax^2 + bx + c$的二次函数，我们可以使用因式分解法对其解析式进行求解。

1.如果二次函数可以因式分解为$(x-x_1)(x-x_2)$的形式，其中$x_1$和$x_2$是函数的根，则此二次函数的解析式形式为$f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$；2.将一般形式的二次函数进行因式分解，即将二次项系数a与常数项c进行合适的分解，得到$(x-x_1)(x-x_2)$的形式。

十种二次函数解析式求解方法二次函数是一个形如y = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b和c是实数且a不为0。

解析式是一种表示函数的方式，它可以用来求解函数的性质和方程的解。

下面是十种二次函数解析式求解方法：1. 一般式：二次函数的一般式为y = ax^2 + bx + c。

通过将函数写成一般式，可以快速识别出a、b和c的值，进而求解一些重要的性质，如顶点、轴对称线、开口方向等。

2.标准式：二次函数的标准式为y=a(x-h)^2+k，其中(h,k)为顶点的坐标。

通过将一般式转化为标准式，可以直观地找出顶点的坐标及与x轴的交点。

3.因式分解：有时候，二次函数的解析式可以通过因式分解的方式得到。

例如，对于函数y=x^2-5x+6，我们可以将其因式分解为y=(x-2)(x-3)，从而得到x=2和x=3是方程的解。

4.完全平方：如果二次函数的解析式可以表示为一个完全平方的形式，那么我们可以通过提取出完全平方的方式得到方程的解。

例如，对于函数y=x^2-4x+4，我们可以将其写成y=(x-2)^2的形式，从而得到x=2是方程的解。

5. 配方法：对于一般的二次方程ax^2 + bx + c = 0，我们可以通过配方法将其转化为一个完全平方的形式。

通过配方法，我们可以找到一个常数k使得ax^2 + bx + c = a(x + p)^2 + k，从而得到方程的解析式。

6.求导方法：通过对二次函数求导，我们可以得到函数的导数。

导数可以帮助我们找到函数的最值点和切线，进而求解其他问题。

7.顶点公式：二次函数的顶点公式为(h,k)，其中h=-b/(2a)，k=f(h)。

通过顶点公式，我们可以快速找到二次函数的顶点，进而求解一些重要的性质。

8. 零点公式：二次函数的零点公式为x = (-b ± √(b^2 -4ac))/(2a)。

通过零点公式，我们可以求解二次函数的零点或解方程。

9. 判别式：二次函数的判别式为Δ = b^2 - 4ac。

十种二次函数解析式求解方法〈一〉三点式。

1， 已知抛物线y=ax 2+bx+c 经过A （3，0），B （32，0），C （0，-3）三点，求抛物线的解析式。

2， 已知抛物线y=a(x-1)２+4 ， 经过点A （2，3），求抛物线的解析式。

〈二〉顶点式。

1， 已知抛物线y=x 2-2ax+a 2+b 顶点为A （2，1），求抛物线的解析式。

2， 已知抛物线 y=4(x+a)2-2a 的顶点为（3，1），求抛物线的解析式。

〈三〉交点式。

1， 已知抛物线与 x 轴两个交点分别为（3，0）,(5,0),求抛物线y=(x-a)(x-b)的解析式。

2， 已知抛物线线与 x 轴两个交点（4，0），（1，0）求抛物线y=21a(x-2a)(x-b)的解析式。

〈四〉定点式。

1， 在直角坐标系中，不论a 取何值，抛物线2225212-+-+-=a x a x y 经过x 轴上一定点Q ，直线2)2(+-=x a y 经过点Q,求抛物线的解析式。

2， 抛物线y= x 2 +(2m-1)x-2m 与x 轴的一定交点经过直线y=mx+m+4，求抛物线的解析式。

3， 抛物线y=ax 2+ax-2过直线y=mx-2m+2上的定点A ，求抛物线的解析式。

〈五〉平移式。

1， 把抛物线y= -2x 2 向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到抛物线y=a( x-h)2 +k,求此抛物线解析式。

2， 抛物线32-+-=x x y 向上平移,使抛物线经过点C(0,2),求抛物线的解析式.〈六〉距离式。

1， 抛物线y=ax 2+4ax+1(a ﹥0)与x 轴的两个交点间的距离为2，求抛物线的解析式。

2， 已知抛物线y=m x 2+3mx-4m(m ﹥0)与 x 轴交于A 、B 两点，与 轴交于C 点，且AB=BC,求此抛物线的解析式。

〈七〉对称轴式。

1、 抛物线y=x 2-2x+(m 2-4m+4)与x 轴有两个交点，这两点间的距离等于抛物线顶点到y 轴距离的2倍，求抛物线的解析式。

二次函数解题思路十大技巧二次函数解题技巧：二次函数有点难，求点坐标是关键。

一求函数解析式，再求面积带线段。

动点问题难解决，坐标垂线走在前。

三角相似莫相忘，勾股方程解疑难。

二次函数解题思路技巧1.平移：二次函数图像经过平移变换不会改变图形的形状和开口方向，因此a值不变。

顶点位置将会随着整个图像的平移而变化，因此只要按照点的移动规律，求出新的顶点坐标即可确定其解析式。

2.轴对称：此图形变换包括x轴对称和关于y轴对称两种方式。

二次函数图像关于x轴对称的图像，其形状不变，但开口方向相反，因此a值为原来的相反数。

顶点位置改变，只要根据关于x轴对称的点的坐标特征求出新的顶点坐标，即可确定其解析式。

二次函数图像关于y轴对称的图像，其形状和开口方向都不变，因此a值不变。

但是顶点位置会改变，只要根据关于y轴对称的点的坐标特征求出新的顶点坐标，即可确定其解析式。

熟悉几个特殊型二次函数的图象及性质1 、通过描点，观察 y=ax2 、 y=ax2 + k 、 y=a ( x + h ) 2 图象的形状及位置，熟悉各自图象的基本特征，反之根据抛物线的特征能迅速确定它是哪一种解析式。

.2 、理解图象的平移口诀“加上减下，加左减右”。

“y=ax2 → y=a ( x + h ) 2 + k ”“加上减下”是针对 k 而言的，“加左减右”是针对 h 而言的。

.总之，如果两个二次函数的“二次项系数”相同，则它们的抛物线形状相同，由于顶点坐标不同，所以位置不同，而抛物线的平移实质上是顶点的平移，如果抛物线是一般“形式”，应先化为顶点式再平移。

3 、通过描点“画图”、图象平移，理解并明确解析式的特征与图象的特征是完全相对应的，我们在解题时要做到胸中有图，看到函数就能在头脑中反映出它的图象的基本特征；。

求二次函数解析式的方法
一、利用顶点坐标求解析式。

对于二次函数y=ax^2+bx+c，其顶点坐标为(-b/2a, c-b^2/4a)。

因此，我们可以通过已知的顶点坐标来求解析式。

例如，如果已知
顶点坐标为(2, 3)，则可以列出方程组：
a2^2+b2+c=3。

a2+b=0。

通过解方程组，即可求得二次函数的解析式。

二、利用描点法求解析式。

描点法是通过已知的函数图像上的点来求解析式的一种方法。

如果已知二次函数上的两个点的坐标分别为(x1, y1)和(x2, y2)，
则可以列出方程组：
ax1^2+bx1+c=y1。

ax2^2+bx2+c=y2。

通过解方程组，即可求得二次函数的解析式。

三、利用配方法求解析式。

对于一般的二次函数y=ax^2+bx+c，我们可以利用配方法将其写成完全平方的形式。

例如，对于函数y=x^2+2x+1，我们可以将其写成(y+1)=(x+1)^2的形式，从而得到解析式y=(x+1)^2-1。

四、利用判别式求解析式。

二次函数的判别式Δ=b^2-4ac可以用来判断二次函数的解的情况。

当Δ>0时，函数有两个不相等的实数根；当Δ=0时，函数有两个相等的实数根；当Δ<0时，函数没有实数根。

因此，我们可以通过判别式来求解析式。

以上是几种常用的求二次函数解析式的方法，当然还有其他一些方法，如利用导数、利用函数的对称性等。

通过这些方法，我们可以灵活地求得二次函数的解析式，从而更好地理解和应用二次函数。

二次函数解析式的方法
二次函数解析式是指二次函数的一般式或顶点式的形式表达式。

一般式为：y=ax+bx+c，其中a、b、c为常数，a≠0；顶点式为：
y=a(x-h)+k，其中(h,k)为顶点坐标，a为抛物线的开口方向和大小的常数。

要得到二次函数的解析式，可以通过以下方法：
1. 根据已知点求解析式：假设已知二次函数过点(x1,y1)，
(x2,y2)，(x3,y3)，则可以列出三个方程：y1=ax1+bx1+c，
y2=ax2+bx2+c，y3=ax3+bx3+c，将x1、x2、x3代入，得到三个带有未知数a、b、c的方程组，将方程组化简，就可以得到a、b、c的值，从而得到二次函数的解析式。

2. 根据顶点和一个点求解析式：假设已知二次函数的顶点坐标为(h,k)，过另一个点(x1,y1)，则可以根据顶点式得到方程：
y=k+a(x-h)，再将(x1,y1)代入，得到一个带有未知数a的方程，将方程化简，就可以得到a的值，从而得到二次函数的解析式。

3. 根据对称轴和一个点求解析式：假设已知二次函数的对称轴为直线x=p，过点(x1,y1)，则可以根据对称性得到方程：y=a(x-p)+k，将(x1,y1)代入，得到一个带有未知数a的方程，将方程化简，就可以得到a的值，从而得到二次函数的解析式。

以上是三种求解二次函数解析式的方法，可以根据具体情况选择合适的方法进行求解。

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求二次函数解析式的四种方法详解二次函数是指形如y=ax^2+bx+c的函数，其中a、b、c为常数。

常见的四种方法求二次函数解析式包括配方法、因式分解法、求根公式法和完成平方法。

1.配方法：配方法适用于二次函数的系数不为1时，即a≠1的情况。

步骤：a) 将二次函数写成完全平方的形式，即通过将ax^2+bx+c中的b项分拆成两个相等的项得到。

例如：y=x^2+6x+5可以写成y=(x+3)^2-4b)化简得到二次函数的解析式。

例如：在上述例子中，化简得到y=x^2+6x+5=（x+3)^2-42.因式分解法：因式分解法适用于二次函数可以被因式分解的情况，即可以找到两个一次因式的乘积形式。

步骤：a) 将二次函数写成完全平方的形式，即通过将ax^2+bx+c中的b项分拆成两个相等的项得到。

例如：y=x^2+6x+5可以写成y=(x+1)(x+5)。

b)化简得到二次函数的解析式。

例如：在上述例子中，化简得到y=x^2+6x+5=(x+1)(x+5)。

3.求根公式法：求根公式法适用于二次函数的解存在有理根的情况。

步骤：a) 根据二次函数的系数a、b、c，计算出二次函数的判别式Δ=b^2-4ac。

b)根据判别式Δ的数值，判断方程的解的情况：-如果Δ>0，则有两个不相等的实根；-如果Δ=0，则有两个相等的实根（重根）；-如果Δ<0，则没有实根，但可能有两个虚根。

c)根据求根公式x=(-b±√Δ)/(2a)，求出实根或复根。

4.完成平方法：完成平方法适用于二次函数的系数为1时，即a=1的情况。

步骤：a)将二次函数进行配方，将其转化成完全平方的形式。

例如：y=x^2+6x+___，需要找到一个数来补全。

根据(b/2)^2的性质，可以将6/2=3得到的平方数补全，即y=x^2+6x+9b)化简得到二次函数的解析式。

例如：在上述例子中，化简得到y=x^2+6x+9=(x+3)^2通过以上四种方法，可以根据具体的二次函数形式，选择适合的方式来求得二次函数的解析式。

确定二次函数解析式的常用方法求二次函数的解析式是初中函数学习的重点,其常用方法就是待定系数法,选择什么样形式的解析式来求解,要根据题目的条件而定,下面介绍求二次函数解析式的三种常用方法：一、已知三点坐标，通常选择一般式：y=ax2+bx+c：例1、已知二次函数的图象经过三点（1，1），（-1，7），（2，4），求其解析式。

解：设二次函数的解析式y=ax2+bx+c,把三点坐标代入得：a+b+c=1 a=2a-b+c=7 解得 b=-34a+2b+c=4 c=2∴二次函数的解析式为：y=2x2-3x+2。

二、已知顶点和另一点，通常选择顶点式：y=a(x-h)2+k。

例2、已知抛物线的顶点为（-1，-3），与y轴交点为（0，-5），求此抛物线的解析式。

解：∵抛物线的顶点为(-1,-3)。

∴设其解析式为y=a(x+1)2-3。

把(0,-5)代入上式得：-5=a-3, 则a =-2∴抛物线的解析式为y=-2(x+1)2-3即：y=-2x2-4x-5，（最后要化为一般式）三、已知抛物线与x轴的两个交点A（x1,0）,B(x2,0) 和另一条件时，通常选用交点式：y=a(x-x1)(x-x2)。

例3、已知抛物线与y轴交于点A（0，3），与X轴分别交于B（1，0），C（5，0）两点，求此抛物线的解析式。

解：∵点B（1，0），C（5，0）是抛物线与X轴的交点。

∴可设其解析式为y=a(x-1)(x-5)。

把点A（0，3）坐标代入上式得：3=a(0-1)(0-5), 解得a=3/5∴所求抛物线的解析式为y=3/5（x-1 ）（x-5）即：y=3/5 x2-18/5 x+3，（最后要化为一般式）由此可以看出，求二次函数的解析式要根据题目不同条件，灵活的采用不同类型的分析式作为解题模型，这样才能提高解题效率，另外所求的解析式最后要化为一般式。

二次函数解析式的8种求法二次函数的解析式的求法是数学教学的难点，学不易掌握．他的基本思想方法是待定系数法，根据题目给出的具体条件，设出不同形式的解析式，找出满足解析式的点，求出相应的系数．下面就不同形式的二次函数解析式的求法归纳如下，和大家共勉：一、定义型：此类题目是根据二次函数的定义来解题，必须满足二个条件：1、a ≠0； 2、x 的最高次数为2次．例1、若 y =( m 2+ m )x m 2 – 2m －1是二次函数，则m = ．解：由m 2+ m ≠0得:m ≠0，且 m ≠－ 1由m 2–2m –1 = 2得m =－1 或m =3∴ m = 3 ．二、开放型此类题目只给出一个条件，只需写出满足此条件的解析式，所以他的答案并不唯一． 例2、(1)经过点A （0，3）的抛物线的解析式是 ．分析：根据给出的条件，点A 在y 轴上，所以这道题只需满足c b a y ++=χχ2中的C =3，且a ≠0即可∴32++=χχy （注：答案不唯一）三、平移型：将一个二次函数的图像经过上下左右的平移得到一个新的抛物线．要借此类题目，应先将已知函数的解析是写成顶点式y = a ( x – h )2 + k ，当图像向左（右）平移n 个单位时，就在x – h 上加上（减去）n ；当图像向上（下）平移m 个单位时，就在k 上加上（减去）m ．其平移的规律是：h 值正、负，右、左移；k 值正负，上下移．由于经过平移的图像形状、大小和开口方向都没有改变，所以a 得值不变．例3、二次函数 253212++=χχy 的图像是由221χ=y 的图像先向 平移 个 单位，再向 平移 个单位得到的．解：Θ253212++=χχy = ()23212-+χ， ∴二次函数 253212++=χχy 的图像是由221χ=y 的图像先向左平移3个单位，再向下平移2个单位得到的．这两类题目多出现在选择题或是填空题目中四、一般式当题目给出函数图像上的三个点时，设为一般式c b a y ++=χχ2，转化成一个三元一次方程组，以求得a ，b ，c 的值；五、顶点式若已知抛物线的顶点或对称轴、极值，则设为顶点式()k h x a y +-=2．这顶点坐标为（ h ，k ），对称轴方程x = h ，极值为当x = h 时，y 极值=k 来求出相应的系数；六、两根式已知图像与 x 轴交于不同的两点()()1200x x ，，，，设二次函数的解析式为()()21x x x x a y --=，根据题目条件求出a 的值．例4、根据下面的条件，求二次函数的解析式：1．图像经过（1，－4），（－1，0），（－2，5）2．图象顶点是（－2，3），且过（－1，5）3．图像与x 轴交于（－2，0），（4，0）两点，且过（1，－29） 解：1、设二次函数的解析式为：c b a ++=χχγ2，依题意得：40542a b c a b c a b c -=++⎧⎪=-+⎨⎪=-+⎩ 解得：⎪⎩⎪⎨⎧-=-==321c b a∴322--=x x y2、设二次函数解析式为：y = a ( x – h )2 + k ，Θ 图象顶点是（－2，3）∴h =－2，k =3，依题意得：5=a ( －1 + 2)2+3，解得：a =2∴y = 2( x +2)2 + 3=11822++x x3、设二次函数解析式为：y = a ( x – 1χ) ( x – 2χ)．Θ图像与x 轴交于（－2，0），（4，0）两点，∴1χ=－2，2χ=4依题意得：－29= a ( 1 +2) ( 1– 4) ∴a =21 ∴ y = 21 ( x +1) ( x – 4)=223212--x χ． 七、翻折型（对称性）：已知一个二次函数c b a ++=χχγ2，要求其图象关于x 轴对称（也可以说沿x 轴翻折）；y 轴对称及经过其顶点且平行于x 轴的直线对称，（也可以说抛物线图象绕顶点旋转180°）的图象的函数解析式，先把原函数的解析式化成y = a ( x – h )2 + k 的形式．（1）关于x 轴对称的两个图象的顶点关于x 轴对称，两个图象的开口方向相反，即a 互为相反数．（2）关于y 轴对称的两个图象的顶点关于y 轴对称，两个图象的形状大小不变，即a 相同．（3）关于经过其顶点且平行于x 轴的直线对称的两个函数的图象的顶点坐标不变，开口方向相反，即a 互为相反数．例6 已知二次函数5632+-=x x y ，求满足下列条件的二次函数的解析式：（1）图象关于x 轴对称；（2）图象关于y 轴对称；（3）图象关于经过其顶点且平行于x 轴的直线对称．解：5632+-=x x y 可转化为2)1(32+-=x y ，据对称式可知 ①图象关于x 轴对称的图象的解析式为2)1(32---=x y ，即：5632-+-=x x y ． ②图象关于y 轴对称的图象的解析式为：2)1(32++=x y ，即：5632++=x x y ；③图象关于经过其顶点且平行于x 轴的直线对称的图象的解析式为2)1(32+--=x y ，即1632++-=x x y ．八、数形结合数形结合式的二次函数的解析式的求法，此种情况是融代数与几何为一体，把代数问题转化为几何问题，充分运用三角函数、解直角三角形等来解决问题，只要充分运用有关几何知识求出解析式中的待定系数，以达到目的．例7、如图，已知抛物线c b y ++-=χχ271和x 轴正半轴交与A 、B 两点，AB =4，P 为抛物线上的一点，他的横坐标为－1，∠PAO =45ο，37cot =∠PBO ．()1求P 点的坐标；()2求抛物线的解析式．解: 设P 的坐标为(－1，y )， ∵P 点在第三象限∴y ＜0，过点P 作PM ⊥X 轴于点M ． 点M 的坐标为(－1，0)|BM| = |BA |+ |AM|∵∠PAO =45ο∴ |PM | = |AM| = |y | =－y∵374cot =--==∠y y PM BM PBO ∴y = －3 ∴P 的坐标为(－1，－3)∴A 的坐标为(2，0)将点A 、点P 的坐标代如函数解析式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+--=-++-=c b c b 7132740 解得：87b = ； 127c =- ∴抛物线的解析式为：21812777y χχ=-+-．。

二次函数解析式解题技巧二次函数解析式是数学学习当中非常重要的一个章节，也是数学考试的一个必考知识点。

下面是小编为大家整理的关于二次函数解析式解题技巧，希望对您有所帮助。

欢迎大家阅读参考学习!二次函数解析式解题技巧函数解析式的常用求解方法：(1)待定系数法：(已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等)：若已知f(x)的结构时，可设出含参数的表达式，再根据已知条件，列方程或方程组，从而求出待定的参数，求得f(x)的表达式。

待定系数法是一种重要的数学方法，它只适用于已知所求函数的类型求其解析式。

(2)换元法(注意新元的取值范围)：已知f(g(x))的表达式，欲求f(x)，我们常设t=g(x)，从而求得x=(g^(-1))(t)，然后代入f(g(x))的表达式，从而得到f(t)的表达式，即为f(x)的表达式。

(3)配凑法(整体代换法)：若已知f(g(x))的表达式，欲求f(x)的表达式，用换元法有困难时，(如g(x)不存在反函数)可把g(x)看成一个整体，把右边变为由g(x)组成的式子，再换元求出f(x)的式子。

(4)消元法(如自变量互为倒数、已知f(x)为奇函数且g(x)为偶函数等)：若已知以函数为元的方程形式，若能设法构造另一个方程，组成方程组，再解这个方程组，求出函数元，称这个方法为消元法。

(5)赋值法(特殊值代入法)：在求某些函数的表达式或求某些函数值时，有时把已知条件中的某些变量赋值，使问题简单明了，从而易于求出函数的表达式。

求函数解析式是中学数学的重要内容，是高考的重要考点之一。

极客数学帮给出求函数解析式的基本方法，供广大师生参考。

一、定义法根据函数的定义求其解析式的方法。

二、换元法利用换元法求函数解析式必须考虑“元”的取值范围，即f(x)的定义域。

三、方程组法根据题意，通过建立方程组求函数解析式的方法。

方程组法求解析式的关键是根据已知方程中式子的特点，构造另一个方程。

四、特殊化法通过对某变量取特殊值求函数解析式的方法。

求二次函数解析式的四种基本方法二次函数是初中数学的一个重要内容，也是高中数学的一个重要基础。

熟练地求出二次函数的解析式是解决二次函数问题的重要保证。

二次函数的解析式有三种基本形式：1、一般式：y=ax 2+bx+c (a ≠0)。

2、顶点式：y=a(x －h)2+k (a ≠0)，其中点(h,k)为顶点，对称轴为x=h 。

3、交点式：y=a(x －x 1)(x －x 2) (a ≠0)，其中x 1,x 2是抛物线与x 轴的交点的横坐标。

4.对称点式： y=a(x －x 1)(x －x 2)+m (a ≠0)求二次函数的解析式一般用待定系数法，但要根据不同条件，设出恰当的解析式：1、若给出抛物线上任意三点，通常可设一般式。

2、若给出抛物线的顶点坐标或对称轴或最值，通常可设顶点式。

3、若给出抛物线与x 轴的交点或对称轴或与x 轴的交点距离，通常可设交点式。

4.若已知二次函数图象上的两个对称点（x 1、m)(x 2、m),则设成： y=a(x －x 1)(x －x 2)+m (a ≠0)，再将另一个坐标代入式子中，求出a 的值，再化成一般形式即可。

探究问题，典例指津：例1、已知二次函数的图象经过点)4,0(),5,1(---和)1,1(．求这个二次函数的解析式．分析：由于题目给出的是抛物线上任意三点，可设一般式y=ax 2+bx+c (a ≠0)。

解：设这个二次函数的解析式为y=ax 2+bx+c (a ≠0) 依题意得：⎪⎩⎪⎨⎧=++-=-=+-145c b a c c b a 解这个方程组得：⎪⎩⎪⎨⎧-===432c b a∴这个二次函数的解析式为y=2x 2+3x －4。

例2、已知抛物线c bx ax y ++=2的顶点坐标为)1,4(-，与y 轴交于点)3,0(，求这条抛物线的解析式。

分析：此题给出抛物线c bx ax y ++=2的顶点坐标为)1,4(-，最好抛开题目给出的c bx ax y ++=2，重新设顶点式y=a(x －h)2+k (a ≠0)，其中点(h,k)为顶点。

求二次函数解析式的四种基本方法二次函数是初中数学的一个重要内容，也是高中数学的一个重要基础。

熟练地求出二次函数的解析式是解决二次函数问题的重要保证。

二次函数的解析式有三种基本形式：1、一般式：y=ax 2+bx+c (a ≠0)。

2、顶点式：y=a(x －h)2+k (a ≠0)，其中点(h,k)为顶点，对称轴为x=h 。

3、交点式：y=a(x －x 1)(x －x 2) (a ≠0)，其中x 1,x 2是抛物线与x 轴的交点的横坐标。

4.对称点式： y=a(x －x 1)(x －x 2)+m (a ≠0)求二次函数的解析式一般用待定系数法，但要根据不同条件，设出恰当的解析式：1、若给出抛物线上任意三点，通常可设一般式。

2、若给出抛物线的顶点坐标或对称轴或最值，通常可设顶点式。

3、若给出抛物线与x 轴的交点或对称轴或与x 轴的交点距离，通常可设交点式。

4.若已知二次函数图象上的两个对称点（x 1、m)(x 2、m),则设成： y=a(x －x 1)(x －x 2)+m (a ≠0)，再将另一个坐标代入式子中，求出a 的值，再化成一般形式即可。

探究问题，典例指津：例1、已知二次函数的图象经过点)4,0(),5,1(---和)1,1(．求这个二次函数的解析式． 分析：由于题目给出的是抛物线上任意三点，可设一般式y=ax 2+bx+c (a ≠0)。

解：设这个二次函数的解析式为y=ax 2+bx+c (a ≠0) 依题意得：⎪⎩⎪⎨⎧=++-=-=+-145c b a c c b a 解这个方程组得：⎪⎩⎪⎨⎧-===432c b a∴这个二次函数的解析式为y=2x 2+3x －4。

例2、已知抛物线c bx ax y ++=2的顶点坐标为)1,4(-，与y 轴交于点)3,0(，求这条抛物线的解析式。

分析：此题给出抛物线c bx ax y ++=2的顶点坐标为)1,4(-，最好抛开题目给出的c bx ax y ++=2，重新设顶点式y=a(x －h)2+k (a ≠0)，其中点(h,k)为顶点。

函数解析式的求法一、已知抛物线上任意三点时，通常设解析式为一般式c bx ax y ++=2，然后解三元方程组求解；1. 已知二次函数的图象经过A （0，3）、B （1，3）、C （－1，1）三点，求该二次函数的解析式。

2. 已知抛物线过A （1，0）和B （4，0）两点，交y 轴于C 点且BC ＝5，求该二次函数的解析式。

二、已知抛物线的顶点坐标时和抛物线上另一点时，通常设解析式为顶点式()k h x a y +-=2求解。

3. 已知二次函数的图象的顶点坐标为（1，－6），且经过点（2，－8），求该二次函数的解析式。

4. 已知二次函数的图象的顶点坐标为（1，－3），且经过点P （2，0）点，该二次函数的解析式为。

三、（选学）已知抛物线与轴的交点的坐标时，通常设解析式为交点式))((21x x x x a y --=。

5. 的图象经过A （－1，0），B （3，0），函数有最小值－8，求该二次函数的解析式。

B6. 已知x ＝1时，函数有最大值5，且图形经过点（0，－3），则该二次函数的解析式。

7. 抛物线c bx x y ++=22与x 轴交于（2，0）、（－3，0），则该二次函数的解析式。

8. 若抛物线c bx ax y ++=2的顶点坐标为（1，3），且与22x y =的开口大小相同，方向相反，则该二次函数的解析式。

9. 抛物线c bx x y ++=22与x 轴交于（－1，0）、（3，0），则b ＝，c ＝.10. 若抛物线与x 轴交于(2，0)、（3，0），与y 轴交于(0，－4)，则该二次函数的解析式。

C11. 已知二次函数c bx ax y ++=2的图象与x 轴交于(2，0)、（4，0），顶点到x 轴的距离为3，求函数的解析式。

练习1、二次函数y=ax 2+bx+c 的对称轴为x=3，最小值为－2，，且过（0，1），求此函数的解析式。

2、 已知抛物线c bx ax y ++=2开口向下，并且经过A （0，1）和M （2，－3）两点。

十种二次函数解析式求解方法1. 使用配方法：当二次函数无法直接因式分解时，可以使用配方法来求解。

假设二次函数的解析式为y=ax^2+bx+c，先将常数项c移到等式的另一边，得到y=ax^2+bx=-c。

然后再在x^2的系数a前面添加一个实数k，使得ax^2+bx=-c可以表示为(ax^2+bx+k^2)-k^2=-c。

然后将等式两边进行平移，即得到(ax^2+bx+k^2)=k^2-c。

这样，原本的二次函数就可以表示为一个完全平方的形式加上一个常数。

然后可以通过完全平方公式来求解。

2.利用零点的性质：二次函数的解析式可以表示为y=a(x-x1)(x-x2)，其中x1和x2分别是二次函数的两个零点。

通过求解方程a(x-x1)(x-x2)=0，即可得到这两个零点的值。

3. 利用判别式：对于一元二次方程ax^2+bx+c=0，方程的判别式Δ=b^2-4ac可以判断方程的解的情况。

当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程没有实数根，但有两个共轭的复数根。

4.利用顶点的性质：二次函数的解析式可以表示为y=a(x-h)^2+k，其中(h,k)是二次函数的顶点的坐标。

通过将方程和y=k相等，然后通过解方程(x-h)^2=(k-k)/a，可以得到x的值。

然后将x的值代入二次函数的解析式，即可得到y的值。

5. 利用对称性：二次函数的解析式可以表示为y=ax^2+bx+c。

二次函数的对称轴的方程为x=-b/2a。

通过将x=-b/2a代入二次函数的解析式，即可得到对称轴上的y的值。

6. 利用平方差公式：对于二次函数的解析式y=(x-p)^2-q，其中p 和q分别是二次函数的顶点的横坐标和纵坐标。

通过展开平方得到y=x^2-2px+p^2-q，然后将原始的二次函数的解析式和展开后的二次函数的解析式相等，即可得到p和q的值。

7.利用导数的性质：二次函数的导数为一次函数，通过求解一次函数的解析式，可以得到二次函数的极值点，即顶点。

高中函数解析式的十种方法在高中数学学习中，会遇到求函数解析式的一类题，这里是指已知)]([x g f 或)]([x f g ，求)(x f 或)(x g ，或已知)(x f 或)(x g ，求)]([x g f 或)]([x f g 等复合函数的解析式，这些问题是学生在学习中感到棘手的问题。

解决这些问题是否有一套有效的方法可循呢？回答是肯定的。

这类题在现行的高中数学教科书中几乎没有，但在一些二类教材如《目标测试》等书中有很多类似题，它与课本上的函数这一内容关系密切，并且具有一定的规律性，故就有一些有效的解题方法，根据本人的教学心得整理如下：一、定义法：例1：设23)1(2+-=+x x x f ，求)(x f .2]1)1[(3]1)1[(23)1(22+-+--+=+-=+x x x x x f=6)1(5)1(2++-+x x65)(2+-=∴x x x f例2：设21)]([++=x x x f f ，求)(x f .解：设xx x x x x f f ++=+++=++=111111121)]([ xx f +=∴11)(例3：设33221)1(,1)1(x x x x g x x x x f +=++=+，求)]([x g f .解：2)(2)1(1)1(2222-=∴-+=+=+x x f x x x x x x f 又x x x g x x x x xx x x g 3)()1(3)1(1)1(3333-=∴+-+=+=+ 故2962)3()]([24623-+-=--=x x x x x x g f例4：设)(sin ,17cos )(cos x f x x f 求=.解：)2(17cos )]2[cos()(sin x x f x f -=-=ππx x x 17sin )172cos()1728cos(=-=-+=πππ.二、待定系数法：（主要用于二次函数）例5：已知1392)2(2+-=-x x x f ，求)(x f .解：显然，)(x f 是一个一元二次函数。

十种二次函数解析式求解方法一、二次函数解析式的一般形式二次函数解析式一般形式为：f(x) = ax² + bx + c ，其中 a、b、c 是给定的实数，且a ≠ 0。

二、求解二次函数解析式的常见方法1.完全平方解法：将二次函数解析式表示为完全平方形式，进而求得其最简形式。

2.因式分解法：将二次函数解析式进行因式分解，得到对应的零点和轴对称线方程。

3.配凑法：变形后的二次函数解析式可以通过配凑使其变为一个完全平方式，然后用完全平方解法求解。

4.直接开方法：将二次函数解析式表示为开方形式，求出其零点和轴对称线方程另一种方法。

5.图像法：通过绘制函数图像的方法可以得到二次函数的对称轴、顶点和图像的开口方向。

6.列出方程法：通过已知条件列出关于二次函数解析式的方程，进而求解二次函数解析式。

7.求导法：通过对二次函数解析式进行求导，可以得到对应的切线方程，知道切线方程后可以求解出二次函数解析式。

8. 借助计算机软件：使用计算机软件如Mathematica、MATLAB等，在计算机中输入二次函数解析式，即可得到其解析式。

9.使用求根公式：二次函数解析式可以通过求根公式求解，即利用一元二次方程求根公式求解。

10.公式推导：根据二次函数的定义和性质，利用一些数学推导方法求解二次函数解析式。

三、各种方法的详细解释1.完全平方解法：通过完全平方公式将二次函数解析式写成完全平方的形式，然后根据完全平方公式的性质，求得其最简形式。

2.因式分解法：将二次函数解析式进行因式分解，得到对应的零点和轴对称线方程。

根据因式分解的结果可以知道解析式的特征。

3.配凑法：变形后的二次函数解析式可以通过配凑使其变为一个完全平方式，然后用完全平方解法求解。

配凑的目的是为了得到一个方便求解的二次函数形式。

4.直接开方法：将二次函数解析式表示为开方形式，通过解方程求出开方后的值，进而求得零点和轴对称线方程。

5.图像法：在坐标系中通过绘制函数图像的方法可以得到二次函数的对称轴、顶点和图像的开口方向。

求二次函数解析式的常用方法求二次函数解析式，就是确定其中的某些常数值。

但由于所用的解析式可因题设条件相异而选取不同的形式，就产生有多种求法，现举例说明如下，供同学们在学习时参考。

一、用一般式y = ax2+b+c如果题设是图象经过某三点，常选用一般式来求解。

例1、已知二次函数的图象经过点（－2，－15）、（0，5）、（1，9）三点，求这个二次函数的解析式。

解：设二次函数的解析式为y = ax2+b+c，由题意得：4a－2b+c=－15c=5a+b+c=9解之得，a =－1， b =－4， c=5 故所求得二次函数的解析式为：y =－x2－4x+5二、用顶点式y =a（x－h）2+k当题设条件与函数图象的顶点或对称轴或函数的最大（小）值有关时，选顶点式求解较好。

例2、已知抛物线的顶点坐标为（－1，－2），且图象经过（1，10）点，求抛物线的解析式。

解：设抛物线的解析式为：y =a（x－h）2+k由题意可得，y =a（x+1）2－2又抛物线经过点（1，10）∴10= a（1+1）2－2解得：a = 3 故抛物线的解析式为：y =3（x+1）2－2或y =3x2 +6x+1三、用两根式y = a（x－x1）（x－x2）当题设给出图象与x轴两交点坐标时，选用两根式求解为宜（在只交于一点，即切于点（x，0）时，两根式变为y = a（x－x1）2）例3、函数y = ax2+bx+c（a≠0）有最大值8，且方程ax2+bx+c=0的两根为x1=6，x2=2，求二次函数的解析式解：方程ax2+bx+c = 0的两根为x1=6，x2=2，即抛物线y=ax2+bx+c与x轴两交点的横坐标为x1=6，x2=2，故设所求的解析式为y = a（x－6）（x－2）化成一般式为：y=ax2－8ax+12a4ac－b2又因函数的最大值为8，∴———— =84a48a2－64 a2即：————— =8 解得：a=－24a故函数解析式为y = －2（x－6）（x－2）或y =－2 x2+16x－24四、综合运用除上述三种常见方法外，有些题目需要综合运用各种表达式。