1、二次函数解析式,图像与性质

二次函数知识点总结二次函数知识点总结一、函数定义与表达式1.一般式：y = ax^2 + bx + c（a、b、c为常数，a≠0）；2.顶点式：y = a(x - h)^2 + k（a、h、k为常数，a≠0）；3.交点式：y = a(x - x1)(x - x2)（a≠0，x1、x2是抛物线与x轴两交点的横坐标）。

注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即b^2 - 4ac≥0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示。

二次函数解析式的这三种形式可以互相转化。

二、函数图像的性质——抛物线1）开口方向——二次项系数a二次函数y = ax^2 + bx + c中，a作为二次项系数，显然a≠0.当a>0时，抛物线开口向上，a的值越大，开口越小，反之a的值越小，开口越大；当a<0时，抛物线开口向下，a的值越小，开口越小，反之a的值越大，开口越大。

顶点坐标：（h，k）一般式：（-b/2a，-Δ/4a）总结起来，a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小。

|a|越大开口就越小，|a|越小开口就越大。

y = 2x^2y = x^2y = (1/2)x^2y = -(1/2)x^2y = -x^2y = -2x^22）抛物线是轴对称图形，对称轴为直线x = -b/2a。

对称轴顶点式：x = h两根式：x = x1、x = x23）对称轴位置一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。

（“左同右异”）a与b同号（即ab>0）对称轴在y轴左侧a与b异号（即ab<0）对称轴在y轴右侧4）增减性，最大或最小值当a>0时，在对称轴左侧（当x。

-b/2a时），y随着x的增大而增大；当a -b/2a时），y随着x的增大而增大；当a>0时，函数有最小值，并且当x = -b/2a时，ymin = -Δ/4a；当a<0时，函数有最大值，并且当x = -b/2a时，ymax = -Δ/4a；5）常数项c常数项c决定抛物线与y轴交点。

二次函数图像和性质，解析式求法二次函数一．二次函数的概念1．二次函数的定义：一般地，形如 2y ax bx c =++（a b c ，，为常数，0a ≠）的函数称为关于x 的二次函数，其中x 为自变量，y 为因变量，,,a b c 分别为二次函数的二次项、一次项和常数项系数．2．二次函数2y ax bx c =++的结构特征：等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2．知识图谱错题回顾知识精讲一．考点：二次函数的概念．二．重难点：二次函数的概念．三．易错点：二次函数的二次项系数不能等于零，一次项系数和常数项都没有限制．题模一：概念例1.1.1 下列函数解析式中，一定为二次函数的是（ ）A ． y=3x ﹣1B ． y=ax 2+bx+c C ． s=2t 2﹣2t+1 D ． y=x 2+例1.1.2 若21(1)3m y m x mx +=-++是二次函数，则m 的值是（ ）A ． 1-B ． 2C ． 1±D ． 1例1.1.3 若()()2322231my m x m x x -=--++-是二次函数，则m 的值是__________．例1.1.4 二次函数y=ax 2+bx-1（a ≠0）的图象经过点（1，1），则代数式1-a-b 的值为（ ） A ． -3 B ． -1 C ． 2 D ． 5随练 1.1 已知函数①54y x =-，②2263t x x =-，③32283y x x =-+，④2318y x =-，⑤2312y x x=-+，其中二次函数的个数为（ ）随练1.2 已知函数()2113m y m x x +=-+，当m =_________时，它是二次函数．随练1.3 中考）抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）经过点（1，2）和（-1，-6）两点，则a+c=____．y=ax^2的图象和性质一．2y ax =的图象与性质三点剖析题模精讲随堂练习知识精讲a 的符号 图象 开口方向 对称轴 顶点坐标 性质0a >向上y 轴()00，0x >时，y 随x 的增大而增大；0x <时，y 随x 的增大而减小；0x =时，y 有最小值0． 0a <向下y 轴()00，0x >时，y 随x 的增大而减小；0x <时，y 随x 的增大而增大；0x =时，y 有最大值0．一．考点：2y ax =的图象与性质．二．重难点：1．2y ax =的图象与性质；2．对于211y a x =和222y a x =，若12a a =，则1y 和2y 的函数图像是全等的．三．易错点：开口大小由a 决定，a 越大，开口越小．题模一：y=ax^2的图象和性质例2.1.1 若二次函数y=ax 2的图象经过点P （-2，4），则该图象必经过点（ ） A ． （2，4） B ． （-2，-4） C ． （-4，2） D ． （4，-2）例2.1.2 若二次函数22my mx -=有最大值，则m =__________．例2.1.3 在同一直角坐标系下，画出二次函数2y x =，2y x =-，212y x =-和22y x =的图象．例2.1.4 已知1a <-，点()11,a y -，()2,a y ，()31,a y +都在函数2y x =的图象上，则（ ） A ． 123y y y << B ． 132y y y <<C ． 321y y y <<D ． 213y y y <<随练2.1 已知二次函数2y ax =经过点()3,3A ，点B 也在该二次函数图像上，且AB x ∥，则点B 的三点剖析题模精讲随堂练习坐标为（ ）A ． ()3,3-B ．()3,3-C ．()3,1-D ．()1,3-随练2.2 若二次函数21my mx +=有最小值，则m =__________．随练2.3 在同一坐标系中画出二次函数214y x =，212y x =，2y x =的函数图像．y=a （x-h ）^2+k 的图象和性质一．()2y a x h k =-+（0a ≠）的图像和性质()2y a x h k =-+（0a ≠）是二次函数()20y ax bx c a =++≠的顶点式，其中(),h k 为其顶点坐标，x h =为其对称轴．一般式配成顶点式的方法：222222242224b c b b c b b ac b y ax bx c a x x a x x a x a a a a a a a a ⎡⎤-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=++=+++-=++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦． a 的符号 图象开口方向对称轴顶点坐标 性质0a >向上 x h =(,)h kx h >时，y 随x 的增大而增大；x h <时，y 随x 的增大而减小；x h =时，y 有最小值k ．0a <向下 x h =(,)h kx h <时，y 随x 的增大而增大；x h >时，y 随x 的增大而减小；x h =时，y 有最大值k ．二．()2y a x h k =-+（0a ≠）图像的平移变换函数()2y a x h k =-+的图象可以看做是由函数2y ax =的图象先向左或向右平移||h 个单位，再向上或向下平移||k 个单位得到的；当0h >时，向右平移，当0h <时，向左平移；0k >时，向上平移，0k <时，向下平移．平移原则：左加右减，上加下减．例如：将()2y a x h k =-+向左或右平移m ()0m >个单位变为()2y a x h m k =-±+，向右平移m ()0m >个单位变为()2y a x h m k =--+；向上或下平移()0n n >个单位后变为()2y a x h k n =-+±，先向左平移m ()0m >个单位再向下平移()0n n >个单位后变为()2y a x h m k n =-++-．知识精讲三点剖析一．考点：()()20y a x h k a =-+≠的图像和性质，()()20y a x h k a =-+≠图像的平移变换．二．重难点：()()20y a x h k a =-+≠的图像和性质，平移变换左加右减，上加下减的原则．三．易错点：1．在判断()()20y a x h k a =-+≠图像的增减性时一定要先确定开口方向；2．左右平移是针对x ，上下平移是针对y ．题模一：y=a （x-h ）^2+k 的图象和性质例3.1.1 抛物线()223y x =++的顶点坐标是（ ） A ． ()2,3- B ． ()2,3 C ． ()2,3-- D ． ()2,3-例3.1.2 将二次函数223y x x =--化成()2y x h k =-+形式，则h k +结果为（ ） A ． 5- B ． 5C ． 3D ． 3-例3.1.3 已知二次函数()231y x k =--+的图象上有三点()12,A y ，()22,B y ，()35,C y ，则1y 、2y 、3y 的大小关系为（ ）A ． 123y y y >>B ． 213y y y >>C ． 312y y y >>D ． 321y y y >>题模二：y=a （x-h ）^2+k 平移变换例3.2.1 抛物线2(2)1y x =-+是由抛物线2y x =平移得到的，下列对于抛物线2y x =的平移过程叙述正确的是（ ）A ． 先向右平移2个单位，再向上平移1个单位B ． 先向右平移2个单位，再向下平移1个单位C ． 先向左平移2个单位，再向上平移1个单位D ． 先向左平移2个单位，再向下平移1个单位随练3.1 已知抛物线()21533y x =--+，下列说法正确的是（ ）A ． 开口向下，顶点坐标()5,3B ． 开口向上，顶点坐标()5,3 C ． 开口向下，顶点坐标()5,3-D ． 开口向上，顶点坐标()5,3-随练3.2 将二次函数2281y x x =--化成2()y a x h k =-+的形式，结果为（ ） A ． 22(2)1y x =-- B ． 22(4)32y x =-+ C ． 22(2)9y x =-- D ． 22(4)33y x =--题模精讲随堂练习随练3.3 设A （-2，y 1），B （1，y 2），C （2，y 3）是抛物线y=-（x+1）2+a 上的三点，则y 1，y 2，y 3的大小关系为（ ） A ． y 1＞y 2＞y 3 B ． y 1＞y 3＞y 2 C ． y 3＞y 2＞y 1 D ． y 3＞y 1＞y 2随练3.4 抛物线23(1)2y x =-+-经过平移得到抛物线23y x =-，平移的方法是（ ） A ． 向左平移1个单位，再向下平移2个单位 B ． 向右平移1个单位，再向下平移2个单位 C ． 向左平移1个单位，再向上平移2个单位 D ． 向右平移1个单位，再向上平移2个单位随练3.5 在平面直角坐标系中，如果抛物线221y x =+不动，而把x 轴、y 轴分别向上、向右平移2个单位，那么在新坐标系下抛物线的解析式是（ ）A ． ()2223y x =-+ B ． ()2221y x =-- C ． ()2221y x =+-D ． ()2223y x =++y=a^2+bx+c 的图象和性质一．2y ax bx c =++的图象及性质：a 的符号图象 开口方向对称轴顶点坐标性质0a >向上 2b x a =- 24(,)24b ac b a a --2bx a>-时，y 随x 的增大而增大；2b x a<-时，y 随x 的增大而减小；2bx a=-时，y 有最小值244ac b a -． 0a <向下 2b x a =- 24(,)24b ac b a a --2bx a<-时，y 随x 的增大而增大；2b x a>-时，y 随x 的增大而减小；2bx a=-时，y 有最大值244ac b a -． 二．二次函数2y ax bx c =++图象的画法：1．五点绘图法：利用配方法将二次函数()20y ax bx c a =++≠化为顶点式2()y a x h k =-+，一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）．2．画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与y 轴的交点，与x 轴的交点．一．考点：2y ax bx c =++的图象和性质．知识精讲三点剖析二．重难点：2y ax bx c =++的图象和性质，参数对图像的影响．三．易错点：利用函数图像推断参数的取值范围或者利用参数的取值范围推断函数图像．题模一：y=a^2+bx+c 的图象和性质例4.1.1 已知二次函数y=（x ﹣h ）2+1（h 为常数），在自变量x 的值满足1≤x ≤3的情况下，与其对应的函数值y 的最小值为5，则h 的值为（ ） A ． 1或﹣5 B ． ﹣1或5 C ． 1或﹣3 D ． 1或3例4.1.2 点P 1（﹣1，y 1），P 2（3，y 2），P 3（5，y 3）均在二次函数y=﹣x 2+2x+c 的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系是（ ） A ． y 3＞y 2＞y 1 B ． y 3＞y 1=y 2 C ． y 1＞y 2＞y 3 D ． y 1=y 2＞y 3例4.1.3 二次函数y=﹣（x ﹣1）2+5，当m ≤x ≤n 且mn ＜0时，y 的最小值为2m ，最大值为2n ，则m+n 的值为（ ） A ．B ． 2C ．D ．例4.1.4 阅读下面的材料：小明在学习中遇到这样一个问题：若1x m ≤≤，求二次函数267y x x =-+的最大值．他画图研究后发现，1x =和5x =时的函数值相等，于是他认为需要对m 进行分类讨论． 他的解答过程如下：∵二次函数267y x x =-+的对称轴为直线3x =，∴由对称性可知，1x =和5x =时的函数值相等． ∴若15m ≤<，则1x =时，y 的最大值为2；若5m ≥，则x m =时，y 的最大值为267m m -+． 请你参考小明的思路，解答下列问题：（1）当24x -≤≤时，二次函数2241y x x =++的最大值为_______； （2）若2p x ≤≤，求二次函数2241y x x =++的最大值；（3）若2t x t ≤≤+时，二次函数2241y x x =++的最大值为31，则t 的值为_______．题模二：参数对图象的影响例4.2.1 已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，则下列结论：①b ＜0，c ＞0；②a+b+c ＜0；③方程的两根之和大于0；④a ﹣b+c ＜0，其中正确的个数是（ ）题模精讲A ． 4个B ． 3个C ． 2个D ． 1个例4.2.2 一次函数y=ax+b （a ≠0）与二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A ．B ． C． D ．例4.2.3 二次函数2y ax bx c =++的图象的一部分如图所示，求a 的取值范围．随练4.1 若1134A y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，254B y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，314C y ⎛⎫⎪⎝⎭，为二次函数245y x x =+-的图象上的三点，则1y ，2y ，3y 的大小关系是（ ） A ． 123y y y << B ． 213y y y << C ． 312y y y << D ． 132y y y <<随练4.2 y=x 2+（1-a ）x+1是关于x 的二次函数，当x 的取值范围是1≤x ≤3时，y 在x=1时取得最大值，则实数a 的取值范围是（ ） A ． a ≤-5 B ． a ≥5 C ． a=3 D ． a ≥3随练4.3 二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，对称轴是直线x=﹣1，有以下结论：①abc ＞0；②4ac ＜b 2；③2a+b=0；④a ﹣b+c ＞2．其中正确的结论的个数是（ ）O y x11随堂练习A ． 1B ． 2C ． 3D ． 4随练4.4在同一直角坐标系中，函数y mx m =+和函数222y mx x =-+-（m 是常数，且0m ≠）的图像可能是（ ）A ． A 图B ． B 图C ． C 图D ． D 图随练4.5 如图，二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象经过点1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭对称轴为直线1x =-，下列5个结论：①0abc >；②240a b c ++=；③20a b ->；④320b c +>；⑤()a b m am b -≥-其中正确的结论__________．（注：只填写正确结论的序号）随练4.6 已知函数2y ax bx c =++（0a ≠）的图象，如图所示．求证：()22a c b +<．二次函数解析式的求法一．二次函数的解析式1. 一般式：()20y ax bx c a =++≠；2. 顶点式：()2y a x h k =-+()0a ≠；3. 两根式（交点式）：()()()120y a x x x x a =--≠（1x ，2x 是方程0y =的两个解）.二．如何设解析式1. 已知任意3点坐标，可用一般式求解二次函数解析式；2. 已知顶点坐标或对称轴时，可用顶点式求解二次函数解析式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点坐标，可用交点式求解二次函数解析式；4. 已知抛物线经过两点，且这两点的纵坐标相等时，可用对称点式求解函数解析式（交点式可视为对称点式的特例）．一．考点：二次函数解析式的求法．二．重难点：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化．三．易错点：顶点式中符号容易代错，例如顶点为()1,3-，错把解析式设为()213y a x =-+．题模一：待定系数法例5.1.1 已知抛物线2y ax bx c =++经过点()0,3A ，()4,3B ，()1,0C ．（1）填空：抛物线的对称轴为直线x = ，抛物线与x 轴的另一个交点D 的坐标为 ； （2）求该抛物线的解析式． 题模二：顶点式例5.2.1 将二次函数223y x x =--化成()2y x h k =-+形式，则h k +结果为（ ） A ． 5-B ． 5C ． 3D ． 3-x =1y xO知识精讲三点剖析题模精讲例5.2.2 若抛物线y=ax 2+bx+c 的顶点是A （2，1），且经过点B （1，0），则抛物线的函数关系式为____．题模三：两根式例5.3.1 已知抛物线2y ax bx c =++与x 轴的两个交点的横坐标是方程220x x +-=的两个根，且抛物线过点()2,8，求二次函数的解析式．例5.3.2 已知抛物线2y ax bx c =++经过()0,6-，()8,6-两点其顶点的纵坐标是2，求这个抛物线的解析式．随练5.1 已知一个二次函数过()0,0，()1,11-，()1,9三点，求二次函数的解析式．随练5.2 将二次函数241y x x =--化为2()y x h k =-+的形式，结果为（ ） A ． ()225y x =++ B ． ()225y x =+- C ． ()225y x =-+ D ． ()225y x =--随练5.3 已知二次函数的图象过坐标原点，它的顶点坐标是（1，-2），求这个二次函数的关系式．随练5.4 已知二次函数y=x 2+bx+c 经过点（3，0）和（4，0），则这个二次函数的解析式是____．随练5.5 已知抛物线()20y ax bx c a =++≠经过点()1,3A -和点()3,3B ，且顶点到x 轴的距离为1，求抛物线的解析式．二次函数与一元二次方程一．二次函数与x 轴交点1．抛物线与x 轴的交点：二次函数2y ax bx c =++的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程20ax bx c ++=的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点⇔0∆>⇔抛物线与x 轴相交；②有一个交点（顶点在x 轴上）⇔0∆=⇔抛物线与x 轴相切； ③没有交点⇔0∆<⇔抛物线与x 轴相离.2．平行于x 轴的直线与抛物线的交点：可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k ，则横坐标是2ax bx c k ++=的两个实数根.3．抛物线与x 轴两交点之间的距离．若抛物线2y ax bx c =++与x 轴两交点为()10A x ，，()20B x ，，由于1x 、2x 是方程20ax bx c ++=的两个根，故1212b cx x x x a a+=-⋅=，： 随堂练习知识精讲()()222212121212444b cb ac AB x x x x x x x x a a a a -∆⎛⎫=-=-=--=--==⎪⎝⎭.二．二次函数与一元二次方程根的分布问题如下表（以0a >为例）：判别式:24b ac ∆=-0∆>0∆= 0∆<二次函数2y ax bx c =++(0)a >的图象x 2x 1Oyxx 1=x 2O yxO xy一元二次方程:20ax bx c ++=(0)a ≠的根有两相异实根 12,x x =242b b aca -±-12()x x <有两相等实根122bx x a==-没有实根一．考点：二次函数与x 轴交点问题，利用二次函数解决一元二次方程根的分布问题．二．重难点：1．二次函数与x 轴交点问题即当0y =时，转化为一元二次方程20ax bx c ++=；2．在利用二次函数分析一元二次方程根的分布问题时要结合函数图像的性质来分析．三．易错点：利用二次函数分析一元二次方程根的分布问题时首先确定开口方向，然后再结合函数的增减性，对称轴的位置，函数值等因素最终确定一元二次方程根的分布情况．题模一：一元二次方程根的分布问题例6.1.1 “如果二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴有两个公共点，那么一元二次方程ax 2+bx+c=0有两个不相等的实数根．”请根据你对这句话的理解，解决下面问题：若m 、n （m ＜n ）是关于x 的方程1-（x-a ）（x-b ）=0的两根，且a ＜b ，则a 、b 、m 、n 的大小关系是（ ） A ． m ＜a ＜b ＜n B ． a ＜m ＜n ＜b C ． a ＜m ＜b ＜n D ． m ＜a ＜n ＜b例6.1.2 求实数a 的取值范围，使关于x 的方程()221260x a x a -=＋＋＋． （1）有两个实根12x x 、，且满足1204x x <<<；（2）至少有一个正根．题模二：二次函数与x 轴交点三点剖析题模精讲例6.2.1 抛物线y=x 2+2x+m ﹣1与x 轴有两个不同的交点，则m 的取值范围是（ ） A ． m ＜2 B ． m ＞2 C ． 0＜m ≤2 D ． m ＜﹣2例6.2.2 已知关于x 的方程()231220mx m x m --+-=（1）求证：无论m 取任何实数时，方程恒有实数根．（2）若关于x 的二次函数()23122y mx m x m =--+-的图象与x 轴两交点间的距离为2时，求二次函数的表达式．随练6.1 已知关于x 的方程()()2131220k x k x k ++-+-=．（1）讨论此方程根的情况；（2）若方程有两个整数根，求正整数k 的值；（3）若抛物线()()2131220k x k x k ++-+-=与x 轴的两个交点之间的距离为3，求k 的值．随练6.2 若二次函数2(2)31y m x x =+-+与x 轴有两个交点，则m 的取值范围是（ ）A ． 14m <B ． 124m m <≠--且C ． 14m <-D ． 124m m <≠-且随练6.3 如图，平面直角坐标系中，点M 是直线y=2与x 轴之间的一个动点，且点M 是抛物线y=12x 2+bx+c 的顶点，则方程12x 2+bx+c=1的解的个数是（ ）A ． 0或2B ． 0或1C ． 1或2D ． 0，1或2随练 6.4 实数a 在什么范围内取值时，关于x 的方程2(2)50x a x a --+-=的一个根大于0而小于2，另一个根大于4而小于6．随堂练习自我总结作业1 下列函数是二次函数的是（ ） A ． 21y x =+B ． 21y x =-+C ．22y x =+ D ． 2122y x x =-作业2 二次函数227y x x =+-的函数值是8，那么对应的x 的值是（ ） A ． 3B ． 5C ． 35-和D ． 35-和作业3 已知函数2222()(32)2m my m m x m m x m m -=++++++，当m 是什么数时，函数是二次函数？作业4 已知二次函数2y ax =经过点()3,1A ，点A 与点'A 关于y 轴对称，则点'A （ ） A ． 在2y ax =图像上B ． 不在2y ax =图像上C ． 不确定是否在2y ax =图像上D ． 以上说法都不对作业5 已知点()11,y -，()22,y -，()33,y 都在函数()20y ax a =>的图像上，则（ ）A ． 123y y y <<B ． 132y y y <<C ． 321y y y <<D ． 213y y y <<作业6 若二次函数2y ax =有最大值，则21y ax =+有__________值（填最大或最小），且为__________．作业7 在同一直角坐标系中画出二次函数2y x =-，212y x =-，2y x =，212y x =的图像，并简单说明图像之间的规律．课后作业作业8 对于()2232y x =++的图象下列叙述错误的是（ ） A ． 顶点坐标为()3,2-B ． 对称轴为3x =-C ． 当3x <-时y 随x 增大而减小D ． 函数有最大值为2作业9 抛物线()223y x =-+-的顶点坐标是（ ） A ． ()2,3- B ． ()2,3- C ．()2,3 D ．()2,3--作业10 若二次函数22y x x c =++配方后为2()7y x h =++，则c 、h 的值分别为（ ）A ． 8、－1B ． 8、1C ． 6、－1D ． 6、1作业11 已知二次函数()23y a x b =--和()25y b x a =+-分别有最大值、最小值，则这两个二次函数的图像有 个交点．作业12 将抛物线23y x =向_______平移________个单位，再向_______平移________个单位，就能得到抛物线()2335y x =+-．作业13 已知抛物线241y x x =-+．（1）用配方法将241y x x =-+化成()2y a x h k =-+的形式；（2）将此抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位，求平移后所得抛物线的解析式．作业14 已知二次函数2y ax bx c =++的图象过点()()()123257A B C ，，，，，．若点()12M y -，，()21N y -，，()38K y ，也在二次函数2y ax bx c =++的图象上，则下列结论正确的是（ ） A ． 123y y y << B ． 213y y y <<C ． 312y y y <<D ． 132y y y <<作业15 二次函数22y x x m =-++的图象与x 轴的一个交点为()3,0A ，另一个交点为B ，与y 轴交于点C ．（1）求()()231421m m m +-+的值及点B 、点C 的坐标； （2）直接写出当0y >时，x 的取值范围； （3）直接写出当12x -≤≤时，y 的取值范围．作业16 设23y x ax a =++-，（1）当x 取任意实数时，y 恒为非负数，求a 的取值范围；（2）当22x -≤≤时，y 的值恒为非负数，求实数a 的取值范围．作业17 在同一坐标系中，一次函数y ax b =+与二次函数2y bx a =+的图象可能是（ ）A ． A 图B ． B 图C ． C 图D ． D 图作业18 小明从二次函数2y ax bx c =++的图象（如图）中观察得出了下面五条信息：①0c <；②0abc >；③0a b c -+>；④230a b -=；⑤40c b ->．你认为其中正确的信息是（ ）A ． ②③④⑤B ． ①②③④C ． ①③④⑤D ． ①②③⑤作业19 已知抛物线2y ax bx c =++的一段图象如图所示．（1）确定a 、b 、c 的符号； （2）求a b c ++的取值范围．作业20 如果抛物线2y ax bx c =++经过点()1,12-，()0,5和()2,3-，则a b c ++的值为（ ）A ． 4-B ． 2-C ． 0D ． 1作业21 已知二次函数图象经过点()1,3A ，()0,2B ，()5,3C 三点，求此二次函数解析式．作业22 把二次函数243y x x =-+化成()2y a x h k =-+的形式，其结果是（ ） A ． ()221y x =-- B ． ()221y x =+- C ． ()227y x =-+ D ． ()227y x =++作业23 已知二次函数2y ax bx c =++的图象经过点()1,0和()5,0-两点，顶点纵坐标为92，求这个二次函数的解析式．作业24 已知二次函数的图象经过原点及点（-12，-14），且图象与x 轴的另一交点到原点的距离为1，求该二次函数的解析式．作业25 已知二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴交于()2,0、()4,0，顶点到x 轴的距离为3，求函数的解析式．作业26 已知()20y ax bx c a =++≠的图象如图，方程2(0,02)ax bx c n a n ++=≠<<的两个实根是1212,()x x x x <，则两实根满足（ ）A ． 1213x x <<<B ． 1213x x <<<C ． 1213x x <<<D ． 1201,34x x <<<<作业27 设二次方程()22120x a x a +-+-=有一根比1大，另一根比1-小，试确定实数a 的范围．作业28 已知关于x 的一元二次方程20x mx n ++=的两个实数根分别为1x a =，2x b = ()a b <，则二次函数2y x mx n =++中，当0y <时，x 的取值范围是（ ） A ． x a < B ． x b >C ． a x b <<D ． x a <或x b >作业29 已知关于x 的一元二次方程()231230mx m x m -+++=.（1）如果该方程有两个不相等的实数根，求m 的取值范围； （2）在（1）的条件下，当关于x 的抛物线23(1)23y mx m x m =-+++与x 轴交点的横坐标都是整数，且4x <时，求m 的整数值．yxO 21 3。

二次函数及其图象和性质（二）一、内容提要（一）二次函数的解析式：1．一般式：y=ax2+bx+c；其中a≠0, a, b, c 为常数2．顶点式：y=a(x-h)2+k；其中a≠0, a, h, k 为常数，（h,k）为顶点坐标。

3．交点式：y=a(x-x1)(x-x2)；其中a≠0, a, x1,x2为常数，x1,x2是抛物线与横轴两交点的横坐标。

注：这种形式可以作为了解内容，重点是前两种。

（二）二次函数的图象：抛物线（三）性质：1．对称轴，顶点坐标：2．开口方向：a>0, 抛物线开口向上，并向上无限延伸。

a<0, 抛物线开口向下，并向下无限延伸。

3．增减性：（Ⅰ）a>0时，当x时，y随x增大而减少当x>时，y随x增大而增大（Ⅱ）a<0时，当x时，y随x增大而增大当x>时，y随x增大而减小4．最值：（Ⅰ）a>0时，当x=时，（Ⅱ）a<0时，当x= 时，5.抛物线与y轴交点坐标：（0，C）特别地当C=0时，抛物线过原点，反之也成立。

6．抛物线与x轴的位置关系：（Ⅰ）Δ=b2-4ac<0,抛物线与x轴无交点。

（Ⅱ）Δ=b2-4ac=0,抛物线与x轴只有一个交点，交点坐标为（，0）（Ⅲ）Δ=b2-4ac>0,抛物线与x轴有两个交点，交点坐标为（，0）二、典型例题：例1．已知+3x+6是二次函数，求m的值，并判断此抛物线开口方向，写出顶点坐标及对称轴。

解：由题意得解得 m=-1∴y=-3x2+3x+6=,开口向下，顶点坐标（），对称轴x=。

说明：在y=a(x-h)2+k中,（h,k）是抛物线的顶点坐标，所以一般求抛物线的顶点坐标时，常常利用配方法把解析式转化为上述表达形式，直接写出顶点坐标，对称轴方程，也可以用顶点坐标公式（）求得，解题时可根据系数的情况选择适当的方法。

例2．已知抛物线y=ax2+bx+c 如图所示，直线x=-1是其对称轴，(1)确定a,b,c, Δ=b2-4a c的符号，(2)求证:a-b+c>0, (3)当x取何值时，y>0, 当x取何值时y<0。

二次函数的解析式二次函数是一种以二次方项为主要组成的代数函数，其解析式可以通过一些特定的形式来表示。

在这篇文章中，我们将讨论二次函数的解析式以及如何确定它们。

一、二次函数的解析式定义二次函数的一般形式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为实数，且a不等于0。

这种形式的函数图像通常为一个平滑的曲线，被称为抛物线。

二、二次函数的顶点式二次函数的顶点式是另一种常见的表示形式，它利用顶点坐标来描述函数。

顶点式的一般形式为f(x) = a(x-h)^2 + k，其中(a, h, k)表示顶点的坐标。

1.确定顶点坐标要确定二次函数的顶点坐标，首先需要找到抛物线的对称轴。

对称轴的公式为x = -b/2a。

通过计算得到对称轴的x坐标，将其代入原始函数或者顶点式中，即可得到顶点的坐标。

2.分析顶点式形式顶点式中的a值决定了抛物线的开口方向和弯曲程度。

当a大于0时，抛物线开口向上，顶点为最低点；当a小于0时，抛物线开口向下，顶点为最高点。

顶点式中的h和k分别表示顶点的横坐标和纵坐标。

三、二次函数的标准式二次函数的标准式形式为y = ax^2 + bx + c，其中y表示函数的值。

标准式是一种简化形式，常用于计算与建模。

1.求解标准式要将二次函数转换为标准式，需要进行一些代数运算。

首先，可以使用配方法、完全平方和法等方法来将顶点式转换为标准式。

其次，可以通过因式分解或者使用求根公式等方法，将二次函数从其他形式转换为标准式。

2.分析标准式标准式中的a值决定了抛物线的开口方向和弯曲程度。

当a大于0时，抛物线开口向上；当a小于0时，抛物线开口向下。

标准式中的b 和c分别表示x的系数和常数项。

四、二次函数的解析式应用二次函数的解析式在数学和实际应用中扮演重要角色。

它们可以用于描述和分析各种现象和问题，如自然科学、工程学、物理学、经济学等领域的建模和预测。

1.函数图像与性质通过二次函数的解析式，我们可以绘制出函数的图像，进而分析其性质。

二次函数的图象与性质知识要点概述1、二次函数的定义：如果y=ax2＋bx＋c(a、b、c为常数，a≠0)，那么y叫x的二次函数．2、二次函数的图象：二次函数y=ax2＋bx＋c的图象是一条抛物线．3、二次函数的解析式有下列三种形式：(1)一般式：y=ax2＋bx＋c(a≠0)；(2)顶点式：y=a(x－h)2＋k(a≠0)；)(x－x2) (a≠0)，这里x1，x2是抛物线与x轴两个交点的横坐标．(3)交点式：y=a(x－x1确定二次函数的解析式一般要三个独立条件，灵活地选用不同方法求出二次函数的解析式是解与二次函数相关问题的关键．4、抛物线y=ax2＋bx＋c中系数a、b、c的几何意义抛物线y=ax2＋bx＋c的对称轴是，顶点坐标是，其中a的符号决定抛物线的开口方向．a>0，抛物线开口向上，a<0，抛物线开口向下；a，b同号时，对称轴在y轴的左边；a，b异号时，对称轴在y轴的右边；c确定抛物线与y轴的交点（0，c）在x轴上方还是下方．5、抛物线顶点式y=a(x－h)2＋k(a≠0)的特点(1)a>0，开口向上；a<0，开口向下；(2)x=h为抛物线对称轴；(3)顶点坐标为（h，k）．依顶点式，可以很快地求出二次函数的最值．当a>0时，函数在x=h处取最小值y=k；当a<0时，函数在x=h处取最大值y=k．6、抛物线y=a(x－h)2＋k与y=ax2的联系与区别抛物线y=a(x－h)2＋k与y=ax2的形状相同，位置不同．前者是后者通过“平移”而得到．要想弄清抛物线的平移情况，首先将解析式化为顶点式．7、抛物线y=ax2＋bx＋c与x轴的两个交点为A、B，且方程ax2＋bx＋c=0的两根为x1，x2，则有A(x1，0)，B(x2，0)．典型剖析例1、已知二次函数y=ax2＋bx＋c的图象如图所示．下列结论：①a＋b＋c<0；②a－b＋c>0；③abc>0；④b=2a．其中正确结论的个数是（）A．4B．3C．2D．1解：选A．令x=1及由图象知a＋b＋c<0，①正确；令x=－1及由图象a－b＋c>0，②正确；由对称轴知，④正确；由④知a、b同号且抛物线与y轴的交点在x轴上方，即c>0，故③正确．所以选A．例2、二次函数y=x2＋(a－b)x＋b的图象如图所示．那么化简的结果是____________．解：原式=－1．∵图象与y轴交点在x轴上方，∴b＞0．又∵图象的对称轴在y轴右边且二次项系数为1，一次项系数为a－b，例3、已知抛物线y=x2－(2m＋4)x＋m2－10与x轴交于A、B两点，C是抛物线的顶点．(1)用配方法求顶点C的坐标（用含m的代数式表示）；(2)若AB的长为，求抛物线的解析式．解：(1)∵y=x2－(2m＋4)x＋m2－10=[x－(m＋2)] 2－4m－14，∴顶点C的坐标为(m＋2，－4m－14)．(2)∵A、B是抛物线y=x2－(2m＋4)x＋m2－10与x轴的交点且|AB|=，化简整理得：16m=－48，∴m=－3．当m=－3时，抛物线y=x2＋2x－1与x轴有交点且AB=，符合题意．故所求抛物线的解析式为y=x2＋2x－1．例4、如果抛物线y=－x2＋2(m－1)x＋m＋1与x轴交于A、B两点，且A点在x轴的正半轴上，B点在x轴的负半轴上，OA的长是a，OB的长是b．(1)求m的取值范围；(2)若a︰b=3︰1，求m的值，并写出此时抛物线的解析式．解：(1)设A、B两点的坐标分别为(x1，0)，(x2，0)．∵A、B分处原点两侧，∴xx2<0，1即－(m＋1)<0，得m>－1．又∵△=[2(m－1)]2－4×(－1)(m＋1)=4m2－4m＋8=4(m－)2＋7>0，∴m>－1为m的取值范围．(2)∵a︰b=3︰1．设a=3k，b=k(k>0)，=3k，x2=－k．则x1例5、已知某二次函数，当x=1时有最大值－6，且其图象经过点（2，－8）．求此二次函数的解析式．解：∵二次函数当x=1时有最大值－6，∴抛物线的顶点为（1，－6），故设所求的二次函数解析式为y=a(x－1)2－6．由题意将点（2，－8）的坐标代入上式得：a(2－1)2－6=－8，∴a=－2，∴二次函数的解析式为y=－2(x－1)2－6，即y=－2x2＋4x－8．例6、二次函数y=ax2＋bx＋c的图象的一部分如图所示．已知它的顶点M在第二象限，且经过点A（1，0）和点B（0，1）．(1)请判断实数a的取值范围，并说明理由；(2)设此二次函数的图象与x轴的另一个交点为C．当△AMC的面积为△ABC面积的倍时，求a的值．解：（1）由图象可知：a<0，图象过点（0，1），∴c=1．图象过点（1，0），∴a＋b＋c=0，∴b=－(a＋c)=－(a＋1)．由题意知，当x=－1时，应有y>0，∴a－b＋c>0，∴a＋(a＋1)＋1>0，∴a>－1，∴实数a的取值范围是－1<a<0．(2)此时函数为y=ax2－(a＋1)x＋1,与x轴两交点A、C之间的距离为例7、根据下列条件，求抛物线的解析式．(1)经过点（0，－1），（1，），（－2，－5）；(2)经过点（－3，2），顶点是（－2，3）；(3)与x轴两交点（－1，0）和（2，0）且过点（3，－6）．分析：求解析式应用待定系数法，根据不同的条件，选用不同形式求二次函数的解析式，可使解题简捷．但应注意，最后的函数式均应化为一般形式y=ax2＋bx＋c．解：（1）设y=ax2＋bx＋c，把（0，－1），（1，），（－2，－5）代入得方程组∴解析式为y=＋x－1．（2）设y=a(x＋2)2＋3，把（－3，2）代入得2=a(－3＋2)2＋3，解得a=－1．解析式为y＝－x2－4x－1.（3）设y=a(x＋1)(x－2)，把（3，－6）代入得－6=a(3＋1)(3－2)，解得．∴解析式为y=(x＋1)(x－2)，即．。

二次函数图像的性质与解析一、二次函数的定义与标准形式1.二次函数的定义：一般地，形如y=ax^2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数。

2.二次函数的标准形式：y=a(x-h)2+k，其中顶点式y=a(x-h)2+k的图像为抛物线，a为抛物线的开口方向和大小，h、k为顶点坐标。

二、二次函数图像的性质1.开口方向：由a的符号决定，a>0时，开口向上；a<0时，开口向下。

2.对称性：二次函数图像关于y轴对称，即若点(x,y)在图像上，则点(-x,y)也在图像上。

3.顶点：二次函数图像的顶点为抛物线的最高点或最低点，顶点式y=a(x-h)^2+k中，(h,k)为顶点坐标。

4.轴：二次函数图像与x轴的交点为方程ax^2+bx+c=0的根，与y轴的交点为c/a。

5.增减性：当a>0时，二次函数图像在顶点左侧单调递减，在顶点右侧单调递增；当a<0时，二次函数图像在顶点左侧单调递增，在顶点右侧单调递减。

三、二次函数图像的解析1.求顶点：根据顶点式y=a(x-h)^2+k，直接得出顶点坐标为(h,k)。

2.求对称轴：对称轴为x=h。

3.求开口大小：开口大小由a的绝对值决定，绝对值越大，开口越大。

4.求与坐标轴的交点：与x轴的交点为方程ax^2+bx+c=0的根，与y轴的交点为c/a。

5.判断增减性：根据a的符号，判断二次函数图像在顶点两侧的单调性。

四、二次函数图像的应用1.实际问题：利用二次函数图像解决实际问题，如抛物线与坐标轴的交点问题、最值问题等。

2.几何问题：利用二次函数图像研究几何图形的性质，如求解三角形面积、距离等问题。

3.物理问题：利用二次函数图像研究物理现象，如抛物线运动、振动等。

五、二次函数图像的变换1.横向变换：对二次函数y=ax2+bx+c进行横向变换，如向左平移h个单位，得到y=a(x+h)2+k；向右平移h个单位，得到y=a(x-h)^2+k。

二次函数的解析式与图像性质二次函数是高中数学中的重要内容，它的解析式和图像性质在数学中有着广泛的应用。

本文将探讨二次函数的解析式及其相关的图像性质，帮助读者更好地理解和运用二次函数。

1. 二次函数的解析式二次函数的一般形式为：f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为实数且a不等于零。

a决定了二次函数的开口方向，正值表示开口向上，负值表示开口向下。

b和c则分别表示二次函数在x轴和y轴上的截距。

解析式中的a、b、c的值可以通过二次函数的特点来确定。

首先，二次函数的顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a))。

其次，二次函数的对称轴为x = -b/2a。

最后，二次函数的判别式Δ = b^2 - 4ac可以用来判断二次函数的解的情况。

当Δ大于零时，二次函数有两个不相等的实根；当Δ等于零时，二次函数有两个相等的实根；当Δ小于零时，二次函数无实根。

2. 二次函数的图像性质二次函数的图像是一条平滑的曲线，其形状由a的正负值决定。

当a大于零时，曲线开口向上；当a小于零时，曲线开口向下。

二次函数的顶点是曲线的最低点或最高点，也是对称轴的交点。

顶点的横坐标为-x = -b/2a，纵坐标为f(-b/2a)。

通过顶点的坐标，我们可以得到曲线的最值。

当a 大于零时，曲线的最小值为f(-b/2a)；当a小于零时，曲线的最大值为f(-b/2a)。

除了顶点和对称轴，二次函数的图像还与x轴和y轴有关。

当二次函数与x轴相交时，即为二次函数的实根。

根据判别式Δ的值，我们可以判断二次函数与x轴的交点情况。

当Δ大于零时，曲线与x轴有两个不相等的交点；当Δ等于零时，曲线与x轴有两个相等的交点；当Δ小于零时，曲线与x轴没有交点。

二次函数与y轴的交点为常数项c，即函数在x=0时的值。

这个交点可以用来确定曲线与y轴的位置。

3. 二次函数的应用二次函数的解析式和图像性质在数学中有着广泛的应用。

在物理学中，二次函数可以用来描述抛物线运动的轨迹。

第一节 二次函数图像性质及解析式【知识要点】1、二次函数图像与系数：二次函数一般式()02≠++=a c bx ax y 中c b a ,,的符号判断，通常情况下可以通过图象识别。

a 的符号：b 的符号：c 的符号： b a ±2的符号：c b a +±的符号：引申：42a b c ±+，93a b c ±+，111842a b c ±+ ac b 42-的符号：2、二次函数图像的变换3、二次函数图像的增减性4、二次函数解析式板块一：二次函数的图像与系数例1、（2018•宁波）如图，二次函数2y ax bx =+的图象开口向下，且经过第三象限的点P ．若点P 的横坐标为1-，则一次函数()y a b x b =-+的图象大致是( )A ．B ．C ．D ．变式、 （2018•德州）如图，函数221y ax x =-+和(y ax a a =-是常数，且0)a ≠在同一平面直角坐标系的图象可能是( )A ．B ．C ．D ．例2、（2018•资阳）已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，OA OC =，则由抛物线的特征写出如下含有a 、b 、c 三个字母的等式或不等式：①2414ac b a-=-；②10ac b ++=；③0abc >；④0a b c -+>．其中正确的个数是( )A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个变式1、（2017•黄石）如图，是二次函数y=ax 2+bx+c 的图象，对下列结论：①ab ＞0， ②abc ＞0，③241acb<，其中错误的是_______.（只填序号）变式2、（2017锦江区）如右上图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的图象过点（－1，2），下列结论：①abc ＞0；②a ＋b ＋c ＞0；③2a ＋b ＜0；④b ＜－1；⑤b 2－4ac ＜8a ，正确的结论是_______.（只填序号）例3、（2018•抚顺）已知抛物线c bx ax y ++=2（0<2a ≤b ）与x 轴最多有一个交点．以下四个结论:①0abc >；②该抛物线的对称轴在1x =-的右侧； ③关于x 的方程210ax bx c +++=无实数根；④2a b cb++≥． 其中，正确的结论是_____ __.（只填序号）变式、（2018•绥化）抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的部分图象如图所示，与x 轴的一个交点坐标为(4,0)，抛物线的对称轴是1x =．下列结论中：正确的结论是_______.（只填序号） ①0abc >；②20a b +=；③方程23ax bx c ++=有两个不相等的实数根；④抛物线与x 轴的另一个交点坐标为(2,0)-；⑤若点(,)A m n 在该抛物线上，则2am bm c a b c ++≤++．板块二、图象变换例1、（2018•烟台）如图， 二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴交于点(1,0)A -，(3,0)B ． 下列结论：①20a b -=；②22()a c b +<；③当13x -<<时，0y <；④当1a =时， 将抛物线先向上平移 2 个单位， 再向右平移 1 个单位， 得到抛物线2(2)2y x =--．正确的是( )A ．①③B ．②③C ．②④D ．③④变式、抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的图像向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得图像解析式为221y x x =--+，则a 、b 、c 的值为（ ）A 、1,2,4a b c ===-B 、1,2,4a b c ==-=-C 、1,2,4a b c =-==D 、1,2,4a b c =-=-=例2、在平面直角坐标系中，先将抛物线22-+=x x y 关于x 轴作轴对称变换，再将所得的抛物线关于y 轴作轴对称变换，那么经两次变换后所得的新抛物线的解析式为（ ）A ．22+--=x x yB ．22-+-=x x yC ．22++-=x x yD ．22++=x x y变式、（2017陕西）已知抛物线y =x 2﹣2mx ﹣4（m ＞0）的顶点M 关于坐标原点O 的对称点为M ′，若点M ′在这条抛物线上，则点M 的坐标为（ ）A ．（1，﹣5）B ．（3，﹣13）C ．（2，﹣8）D ．（4，﹣20）例3、（2018•玉林）如图，一段抛物线42+-=x y （22-≤≤x ）为1C ，与x 轴交于0A ，1A 两点，顶点为1D ；将1C 绕点1A 旋转180︒得到2C ，顶点为2D ；1C 与2C 组成一个新的图象，垂直于y 轴的直线l 与新图象交于点11(P x ，1)y ，22(P x ，2)y ，与线段12D D 交于点33(P x ，3)y ，设1x ，2x ，3x 均为正数，123t x x x =++，则t 的取值范围是 ．变式：（2018•兰州）如图，抛物线2145722y x x =-+与x 轴交于点A 、B ，把抛物线在x 轴及其下方的部分记作1C ，将1C 向左平移得到2C ，2C 与x 轴交于点B 、D ，若直线12y x m =+与1C 、2C 共有3个不同的交点，则m 的取值范围是 ．例4、关于二次函数21:23C y x x =+-的下列四个结论中，正确的结论是 （只填序号）．①将1C 的图象向上平移m 个单位后，若与x 轴有没有交点，则4m >； ②将1C 的图象向左平移1个单位后得2C ，则函数2C 的解析式为24y x x =+； ③若3C 的图象与1C 的图象关于x 轴对称，函数3C 的解析式为223y x x =-+-；④若1C 的图象顶点为点D ，且1C 与直线21y x =-+交于A 、B 两点，则ABD ∆的面积为142. 变式、将抛物线y =x 2﹣2x ﹣3的图象向上平移____个单位，能使平移后的抛物线与x 轴上两交点以及顶点围成等边三角形．板块三、二次函数图像对称性及增减性考点一：对称性例1、（长春）在平面直角坐标系中，点A 是抛物线()23y a x k =-+与y 轴的交点，点B 是这条抛物线上的另一点，且//AB x 轴，则以AB 为边的等边ABC ∆的周长为_______．变式1、(山东)抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过点A (-2，7)，B (6，7)，C (3，-8)，则该抛物线上纵坐标为-8的另一个点D 的坐标是____________．变式2、（宁波）已知点A （a ﹣2b ，2﹣4ab ）在抛物线y =x 2+4x +10上，则点A 关于抛物线对称轴的对称点坐标为__________． 考点二：增减性例1、（2018秋•南岸区校级期中）如图，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴交于(1,0)-，(3,0)两点，则下列说法：①0abc <；②0a b c -+=；③20a b +=；④20a c +>；⑤若1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，3(C x ，3)y 为抛物线上三点，且1211x x -<<<，33x >，则213y y y <<，其中正确的结论是 （只填序号）．变式、（2018•达州）如图，二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴交于点(1,0)A -，与y 轴的交点B 在(0,2)与(0,3)之间（不包括这两点），对称轴为直线2x =．下列结论：①0abc <；②930a b c ++>；③若点1(2M ，1)y ，点5(2N ，2)y 是函数图象上的两点，则12y y <；④3255a -<<-．其中正确的结论是 （只填序号）．例2、（2017乐山）已知二次函数y =x 2﹣2mx （m 为常数），当﹣1≤x ≤2时，函数值y 的最小值为﹣2，则m 的值是__________．变式1、（2018•潍坊）已知二次函数2()(y x h h =--为常数），当自变量x 的值满足25x ≤≤时，与其对应的函数值y 的最大值为1-，则h 的值为__________．变式2、（2018•泸州）已知二次函数22233y ax ax a =+++（其中x 是自变量），当2x ≥时，y 随x 的增大而增大，且21x -剟时，y 的最大值为9，则a 的值为__________．板块四、解析式例1、（2018宁晋县模拟）已知一条抛物线经过E （0，10），F （2，2），G （4，2），H （3，1）四点，选择其中两点用待定系数法能求出抛物线解析式的为（ ） A ．E ，F B ．E ，G C ．E ，H D ．F ，G变式1、（2017厦门期末）已知某二次函数，当x ＜1时，y 随x 的增大而减小；当x ＞1时，y 随x 的增大而增大，则该二次函数的解析式可以是（ ）A ．y =2 （x +1）2 B ．y =2 （x ﹣1）2 C ．y =﹣2 （x +1）2 D ．y =﹣2 （x ﹣1）2例2、（2018•安丘市）在直角坐标系中，二次函数经过(2,0)A -，(2,2)B ，(0,2)C 三个点． 该二次函数的解析式为_____________________．变式1、（2018•营口）已知抛物线28(0)y ax bx a =++≠经过点(3,7)A --，(3,5)B ，抛物线的解析式为____________________________．2、当x ＝3时，二次函数的最大值是1，且图象与x 轴两交点之间的距离为2，这个二次函数的解析式为_____________．例3、如图，抛物线经过了边长为1的正方形ABOC 的三个顶点,,A B C ，则抛物线的解析式为__________．变式1、（宁波模拟）如右上图，OABC 是边长为1的正方形，OC 与x 轴正半轴的夹角为15o，点B 在抛物线()20y ax a =<的图象上，则a =__________．变式2、如图，抛物线()()15y x x =--交x 轴于A B 、 两点，P 为顶点，四边形ABCP 是平行四边形，则经过P B C 、、三点且对称轴平行于y 轴的抛物线的解析式为__________．例4、如图在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，点A 的坐标为（﹣1，2），点B 在第一象限，且OB ⊥OA ，OB =2OA ，求经过A 、B 、O 三点的二次函数解析式．变式、设抛物线y ＝-x 2＋(m ＋4)x －4m ，其中0＜m ＜4，与x 轴交于A 、B 两点(A 在B 的左侧)，若点D 的坐标为(0，-2)，且AD ·BD ＝10，此抛物线的解析式为_____________.例5、（娄底）抛物线21y x mx m =++（﹣） 与x 轴交于点121200A x B x x x （，），（，），＜，与y 轴交于点0C c （，），且满足2212127x x x x ++=．求抛物线的解析式.变式、已知：函数23121y ax a x a =+++-（） （a 为常数）．(1)若该函数与坐标轴有且仅有两个交点，求a 得值．(2)若该函数图象是开口向上的抛物线，与x 轴相交于点1200A x B x （，），（，）两点，与y 轴相交于点C ，且212x x =- 求抛物线的解析式自我提升训练1、（2018•安丘市）二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，对称轴是直线1x =-，下列结论：（1）0abc <；（2）24b ac >；（3）320a c +=；（4）5320a b c ++<．其中正确的是( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2、（2018•广西）将抛物线216212y x x =-+向左平移2个单位后，得到新抛物线的解析式为( ) A .21(8)52y x =-+ B ．21(4)52y x =-+ C ．21(8)32y x =-+ D ．21(4)32y x =-+2、 （2017•百色）经过A （4，0），B （﹣2，0），C （0，3）三点的抛物线解析式是________. 4、已知二次函数图象的顶点坐标是(1，－4)，且与y 轴交于点(0，－3)，此二次函数的解析式为 ．5、如图，抛物线223y ax ax =-+经过△ABC 的三个顶点，已知BC ∥x 轴，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，且AC ＝BC ．则抛物线的解析式为__________.。

二次函数的图像和性质总结二次函数的图像和性质二次函数的图像与性质可以通过解析式、a的取值、开口方向、函数值的增减、顶点坐标、对称轴和图像与y轴的交点来确定。

当a>0时，二次函数的开口向上；顶点坐标在对称轴上方；在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大。

图像与y轴的交点坐标为(0.c)。

当a<0时，二次函数的开口向下；顶点坐标在对称轴下方；在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小。

图像与y轴的交点坐标为(0.c)。

抛物线的平移法则可以通过把抛物线y=ax^2平移k个单位或h个单位得到y=ax^2+k或y=a(x+h)^2的图像。

当k>0时，向上平移；当k0时，向左平移；当h<0时，向右平移。

二次函数的最值公式：当a>0时，函数有最小值，最小值为y=4ac-b^2/4a；当a<0时，函数有最大值，最大值为y=4ac-b^2/4a。

与y轴的交点坐标为(0.c)。

抛物线的开口大小由a决定，a越大开口越小。

二次函数与一元二次方程的关系：二次函数y=ax^2+bx+c 的图像与一元二次方程ax^2+bx+c=0的解有关，即二次函数的顶点坐标和最值问题可以通过一元二次方程的解来求得。

当a>0时，函数有最小值，最小值为y=4ac-b^2/4a，对应一元二次方程的两根。

当a<0时，函数有最大值，最大值为y=4ac-b^2/4a，对应一元二次方程的两根。

当$\Delta>0$时，二次函数与x轴有两个交点；当$\Delta=0$时，二次函数与x轴有一个交点；当$\Delta<0$时，二次函数与x轴没有交点。

当$\Delta\geq0$时，二次函数与x 轴有交点。

（此定理的逆定理也成立。

）7.二次函数的三种常用形式：1) 一般式：$y=ax^2+bx+c$2) 顶点式：$y=a(x-h)^2+k$3) 两根式：$y=a(x-x_1)(x-x_2)$8.一元二次方程的解法：通过求解方程$ax^2+bx+c=0$中的根来解决问题。

二次函数的图像及性质知识点1.二次函数的定义：形如的函数叫二次函数。

限制条件（1）自变量的最高次数是；（2）二次项系数。

2．二次函数的解析式（表达式）——三种形式，重点是前两种。

（1）一般式：；（2）顶点式：y=a（x-h）2+k（a≠0），此时二次函数的顶点坐标为（，），对称轴是。

注意：顶点形式的最大优点是直接从解析式看出顶点坐标和对称轴，比较方便。

离开它用一般形式也可以。

※（3）交点式（两点式）：设x1、x2是抛物线与x轴的两个交点的横坐标，则y=a（x-x1）（x-x2）此时抛物线的对称轴为直线x=221xx+。

注意：（1）当顶点在X轴上（即抛物线与X轴只有一个交点（0，x1））时，函数表达式为。

这个交点是抛物线的什么点？（2）是不是任意一个二次函数都可以写成交点形式？在什么条件下才有交点式？（3）利用这种形式只是解决相关问题要简便一些，直接用一般形式也可以。

实际上利用一般形式和顶点坐标公式可以解决二次函数的多数问题。

▲三种二次函数的解析式的联系：针对一般形式而言，顶点式：y=a（x-h）2+k（a≠0）中，h= ；k= 。

当Δ=b2-4ac 时，才有两根式。

3、二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与性质 ----抛物线的特征---待定系数a,b,c的作用二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象是一条线，它是一个对称图形，抛物线与对称轴的交点叫抛物线的点。

不过这个结论成立的条件是自变量的取值范围是。

（1）形状----开口大小。

由决定，越大，开口越。

（2）开口方向：由决定。

当a>0时，函数开口方向向；当a<0时，函数开口方向向；（3）对称轴：直线x= ；注意：一次函数的图象是直线，但直线的解析式不一定是一次函数。

例如与坐标轴平行（垂直）的直线的解析式是X=K，或Y=K，它们为什么不是一次函数呢？▲（4）顶点坐标公式：（，）；利用顶点坐标公式的注意事项：当求得顶点横坐标后，可以用纵坐标公式，也可以不用纵坐标公式，而直接将横坐标代入哪里求得纵坐标。

自学资料年份题量分值考点题型2015317二次函数图象与变换；二次函数的图象性质选择、解答、解答2016222二次函数性质（解析式、顶点、函数比较大小、最值）综合题解答2017216二次函数图象上点的坐标特征；函数图象与系数的关系；二次函数图象与系数的关系选择、解答2018215二次函数图象与系数的关系、函数比较大小选择、解答2019215二次函数解析式、对称轴、最值问题以及比较大小选择、解答一、用待定系数法求正比例、反比例、一次、二次函数的解析式【知识探索】1．以求正比例函数的解析式为例：先设解析式为（），其中系数待定；再利用已知条件确定的值，这样的方法称为“待定系数法”．【错题精练】第1页共21页自学七招之日计划护体神功：每日计划安排好，自学规划效率高非学科培训例1．如图，二次函数y=x2+bx+c（a≠0）的图象经过点A（1，0）且与y轴交卡点C，点B和点C关于该二次函数图象的对称轴直线x=2对称，一次函数y=kx+b的图象经过点A及点B．（1）求二次函数与一次函数的解析式；（2）根据图象，直接写出不等式kx+b≤x2+bx+c的解集．【答案】解：（1）∵二次函数y=x2+bx+c（a≠0）的图象经过点A（1，0），∴1+b+c=0，∵二次函数图象的对称轴直线x=2，∴-b2=2，∴b=-4，c=3，∴二次函数的解析式为y=x2-4x+3；∴C（0，3），∵点B和点C关于该二次函数图象的对称轴直线x=2对称，∴B（4，3），设一次函数代解析式为y=kx+b，∴{k+b=04k+b=3，∴{k=1b=−1，∴一次函数的解析式为y=x-1；（2）由图象可得，不等式kx+b≤x2+bx+c的解集x≤1或x≥4．例2．如图，二次函数y=（x+2）2+m的图象与y轴交于点C，点B在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称，已知一次函数y=kx+b的图象经过该二次函数图象上的点A （-1，0）及点B．（1）求二次函数与一次函数的解析式；（2）根据图象，写出满足（x+2）2+m≥kx+b的x的取值范围．第2页共21页自学七招之以背代诵掌：高效记忆有妙招，以背代诵效果好非学科培训第3页 共21页自学七招之错题本锁骨术：巧用智能错题本，错题定期反复练非学科培训【答案】解：（1）∵抛物线y=（x+2）2+m 经过点A （-1，0），∴0=1+m ， ∴m=-1，∴抛物线解析式为y=（x+2）2-1=x 2+4x+3， ∴点C 坐标（0，3），∵对称轴x=-2，B 、C 关于对称轴对称， ∴点B 坐标（-4，3）， ∵y=kx+b 经过点A 、B ， ∴{−4k +b =3−k +b =0，解得{k =−1b =−1，∴一次函数解析式为y=-x-1，（2）由图象可知，写出满足（x+2）2+m≥kx+b 的x 的取值范围为x≤-4或x≥-1．例3．如果抛物线经过点A （2，0）和B （-1，0），且与y 轴交于点C ，若OC=2．则这条抛物线的解析式是（ ）A. y=x 2-x-2B. y=-x 2-x-2或y=x 2+x+2C. y=-x 2+x+2D. y=x 2-x-2或y=-x 2+x+2【解答】解：设抛物线解析式为y=a （x-2）（x+1）， ∵OC=2，∴C 点坐标为（0，2）或（0，-2）， 把C （0，2）代入y=a （x-2）（x+1）得a•（-2）•1=2，解得a=-1，此时抛物线解析式为y=-（x-2）（x+1），即y=-x 2+x+2； 把C （0，-2）代入y=a （x-2）（x+1）得a•（-2）•1=-2，解得a=1，此时抛物线解析式为y=（x-2）（x+1），即y=x 2-x-2．即抛物线解析式为y=-x 2+x+2或y=x 2-x-2． 故选：D ．【答案】D例4．已知二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）中，函数y 与自变量x 的部分对应值如表：x … -2 -1 0 2 … y…-3-4-35…（1）求二次函数的表达式，并写出这个二次函数图象的顶点坐标；（2）求出该函数图象与x轴的交点坐标．【答案】解：（1）由题意，得c=-3．将点（2，5），（-1，-4）代入，得{4a+2b−3=5 a−b−3=−4.解得{a=1b=2.∴y=x2+2x-3．顶点坐标为（-1，-4）．（2）当y=0时，x2+2x-3，解得：x=-3或x=1，∴函数图象与x轴的交点坐标为（-3，0），（1，0）．【举一反三】1．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+1经过A（1，3），B（2，1）两点．（1）求抛物线及直线AB的解析式；（2）点C在抛物线上，且点C的横坐标为3．将抛物线在点A，C之间的部分（包含点A，C）记为图象G，如果图象G沿y轴向上平移t（t＞0）个单位后与直线AB只有一个公共点，求t的取值范围．【答案】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+1经过A（1，3），B（2，1）两点．第4页共21页自学七招之以背代诵掌：高效记忆有妙招，以背代诵效果好非学科培训第5页 共21页自学七招之错题本锁骨术：巧用智能错题本，错题定期反复练非学科培训∴{a +b +1=04a +2b +1=1，解得，{a =−2b =4．∴抛物线的表达式是y=-2x 2+4x+1． 设直线AB 的表达式是y=mx+n ， ∴{m +n =32m +n =1， 解得，{m =−2n =5，∴直线AB 的表达式是y=-2x+5；（2）∵点C 在抛物线上，且点C 的横坐标为3． ∴C （3，-5）．点C 平移后的对应点为点C′（3，t-5），代入直线表达式y=-2x+5， 解得t=4．结合图象可知，符合题意的t 的取值范围是0＜t≤4．2．已知下列抛物线满足以下条件，求各个抛物线的函数表达式．（1）抛物线经过两点A （1，0），B （0，-3），且对称轴是直线x=2； （2）抛物线的顶点是（-2，3），且过点（-1，5）；（3）抛物线与x 轴交于（-2，0），（4，0）两点，且该抛物线的定点为（1，-92）．【答案】解：（1）∵对称轴是直线x=2， ∴抛物线与x 轴另一个交点坐标为（3，0）， 设抛物线解析式为y=a （x-1）（x-3），把B （0，-3）代入得a•（-1）•（-3）=-3，解得a=-1， ∴抛物线解析式为y=-（x-1）（x-3）=-x 2+4x-3； （2）设抛物线的解析式为y=a （x+2）2+3， 把（-1，5）代入得a （-1+2）2+3=5，解得a=2， 所以抛物线解析式为y=2（x+2）2+3；第6页 共21页自学七招之以背代诵掌：高效记忆有妙招，以背代诵效果好 非学科培训（3）设抛物线解析式为y=a （x+2）（x-4）， 把（1，-92）代入得a （1+2）•（1-4）=-92，解得a=12， 所以抛物线解析式为y=12（x+2）（x-4）=12x 2-x-4．3．已知一次函数y=kx+b 与二次函数y=ax 2的图象如图所示，其中一次函数的图象与x 轴、y 轴的交点分别为A （2，0），B （0，2），直线与抛物线的交点分别为P ，Q ．且它们的纵坐标的比为1：4，求这两个函数的解析式．【答案】解：∵一次函数的图象与x 轴、y 轴的交点分别为A （2，0），B （0，2）， ∴{2k +b =0b =2，解得k=-1，b=2．∴一次函数的解析式为y=-x+2， 设P （m ，-m+2），∵直线与抛物线的交点P ，Q 的纵坐标的比为1：4， ∴Q 点的纵坐标为-4m+8， 代入y=-x+2求得x=4m-6， ∴Q （4m-6，-4m+8），代入y=ax 2得，{−m +2=am 2−4m +8=a （4m −6）2，解得a=-15m−6， 代入-m+2=am 2，整理得，m 2-4m+3=0，解得m 1=1，m=3（舍去）， ∴P （1，1），代入y=ax 2得，a=1，∴二次函数的解析式为y=x 2．4．如图所示，已知抛物线y=-2x 2-4x 的图象E ，将其向右平移两个单位后得到图象F ．（1）求图象F所表示的抛物线的解析式：（2）设抛物线F和x轴相交于点O、点B（点B位于点O的右侧），顶点为点C，点A位于y轴负半轴上，且到x轴的距离等于点C到x轴的距离的2倍，求AB所在直线的解析式．【答案】解：（1）∵抛物线y=-2x2-4x=-2（x+1）2+2的图象E，将其向右平移两个单位后得到图象F，∴图象F所表示的抛物线的解析式为y=-2（x+1-2）2+2，即y=-2（x-1）2+2；（2）∵y=-2（x-1）2+2，∴顶点C的坐标为（1，2）．当y=0时，-2（x-1）2+2=0，解得x1=0（不合题意舍去），x2=2，∴点B的坐标为（2，0）．设A点坐标为（0，y），则y＜0．∵点A到x轴的距离等于点C到x轴的距离的2倍，∴-y=2×2，解得y=-4，∴A点坐标为（0，-4）．设AB所在直线的解析式为y=kx+b（k≠0），由题意，得{b=−42k+b=0，解得{k=2b=−4，∴AB所在直线的解析式为y=2x-4．二、正比例、反比例、一次、二次函数图像上的点及图像与坐标轴的交点【错题精练】例1．若函数y=（a+1）x2-2x+1的图象与x轴只有一个交点，则a为______．第7页共21页自学七招之错题本锁骨术：巧用智能错题本，错题定期反复练非学科培训【解答】解：当a+1=0，即a=-1时，原函数为一次函数y=-2x+1，与x轴交于点（【解答】12，0），∴a=-1符合题意；当a+1≠0，即a≠-1时，∵二次函数y=（a+1）x2-2x+1的图象与x轴只有一个交点，∴△=（-2）2-4×1×（a+1）=0，解得：a=0．综上所述：a的值为-1或0．故答案为：-1或0．【答案】-1或0例2．设A（-2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y=-（x+1）2+3上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（）A. y1＞y2＞y3B. y1＞y3＞y2C. y3＞y2＞y1D. y3＞y1＞y2【解答】解：∵函数的解析式是y=-（x+1）2+3，如右图，∴对称轴是x=-1，∴点A关于对称轴的点A′是（0，y1），那么点A′、B、C都在对称轴的右边，而对称轴右边y随x的增大而减小，于是y1＞y2＞y3．故选：A．【答案】A例3．已知函数y=k2x2+（2k-1）x+1与x轴有两个不同的交点，（1）求k的取值范围；（2）是否存在实数k，便得这两个交点关于直线x=-0.5对称？若存在，求出k；如不存在，请说明理由．第8页共21页自学七招之以背代诵掌：高效记忆有妙招，以背代诵效果好非学科培训例4．已知函数y=（k-1）x2-4x+4与x轴只有一个交点，则k的取值范围是（）A. k≤2且k≠1B. k＜2且k≠1C. k=2D. k=2或1【解答】解：当k-1=0，即k=1时，函数为y=-4x+4，与x轴只有一个交点；当k-1≠0，即k≠1时，令y=0可得（k-1）x2-4x+4=0，由函数与x轴只有一个交点可知该方程有两个相等的实数根，∴△=0，即（-4）2-4（k-1）×4=0，解得k=2，综上可知k的值为1或2，故选：D．【答案】D例5．如图，一次函数y=-x与二次函数为y=ax2+bx+c的图象相交于点M，N，则关于x的一元二次方程ax2+（b+1）x+c=0的根的情况是（）A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根C. 没有实数根D. 以上结论都正确【解答】解：∵一次函数y=-x与二次函数为y=ax2+bx+c的图象有两个交点，∴ax2+bx+c=-x有两个不相等的实数根，ax2+bx+c=-x变形为ax2+（b+1）x+c=0，∴ax2+（b+1）x+c=0有两个不相等的实数根，故选：A．【答案】A【举一反三】1．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，若点A（1，y1）、B（-6，y2）是它图象上的两点，则y1与y2的大小关系是（）A. y1＜y2B. y1=y2C. y1＞y2D. 不能确定第9页共21页自学七招之错题本锁骨术：巧用智能错题本，错题定期反复练非学科培训【解答】解：由图可知，二次函数的对称轴为直线x=-3，∴x=-6和x=0时的函数值相同，∵x＞-3时，y随x的增大而减小，∴x=0时的函数值大于x=1时的函数值，∴y1＜y2．故选：A．【答案】A2．若二次函数y=x2-6x+c的图象过A（-1，y1）、B（2，y2）、C（5，y3）三点，则y1、y2、y3大小关系是______．【解答】解：根据二次函数图象的对称性可知，C（5，y3）中，|5-3|＞|3-2|=1，A（-1，y1），B（2，y2）在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，因为-1＜1＜2，于是y1＞y3＞y2．故答案为：y1＞y3＞y2．【答案】y1＞y3＞y23．在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+1与y轴交于点A，并且经过点B（3，n）．（1）求点B的坐标；（2）如果抛物线y=ax2-4ax+4a-1（a＞0）与线段AB有唯一公共点，求a的取值范围．第10页共21页自学七招之以背代诵掌：高效记忆有妙招，以背代诵效果好非学科培训【答案】解：（1）把x=3代入y=x+1，y=3+1=4，∴点B的坐标为B（3，4）；（2）由题意：线段ABy=x+1（0≤x≤3），∵y=ax2-4ax+4a-1=a（x-2）2-1，∴抛物线的对称轴为直线x=2，顶点坐标为（2，-1），∵点A（0，1），点B（3，4），∵当抛物线y=ax2-4ax+4a-1（a＞0）与线段AB有唯一公共点时，∴{4a−1≥132a−4×3a+4a−1＜4①或{4a−1＜132a−4×3a+4a−1≥4②解①得12≤a＜5，②无解，综上所述，当12≤a＜5时，抛物线与线段AB有一个公共点．4．小飞研究二次函数y=-（x-m）2-m+1（m为常数）性质时如下结论：①这个函数图象的顶点始终在直线y=-x+1上；②存在一个m的值，使得函数图象的顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形；③点A（x1，y1）与点B（x2，y2）在函数图象上，若x1＜x2，x1+x2＞2m，则y1＜y2；④当-1＜x＜2时，y随x的增大而增大，则m的取值范围为m≥2．其中错误结论的序号是（）A. ①B. ②C. ③D. ④【解答】解：二次函数y=-（x-m）2-m+1（m为常数）①∵顶点坐标为（m，-m+1）且当x=m时，y=-m+1∴这个函数图象的顶点始终在直线y=-x+1上故结论①正确；②假设存在一个m的值，使得函数图象的顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形令y=0，得-（x-m）2-m+1=0，其中m≤1解得：x1=m-√−m+1，x2=m+√−m+1∵顶点坐标为（m，-m+1），且顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形∴|-m+1|=|m-（m-√−m+1）|解得：m=0或1，当m=1时，二次函数y=-（x-12，此时顶点为（1，0），与x轴的交点也为（1，0），不构成三角形，舍去；∴存在m=0，使得函数图象的顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形故结论②正确；③∵x 1+x 2＞2m∴x 1+x 22＞m ∵二次函数y=-（x-m ）2-m+1（m 为常数）的对称轴为直线x=m∴点A 离对称轴的距离小于点B 离对称轴的距离∵x 1＜x 2，且-1＜0∴y 1＞y 2故结论③错误；④当-1＜x ＜2时，y 随x 的增大而增大，且-1＜0∴m 的取值范围为m≥2．故结论④正确．故选：C ．【答案】C5．如图，二次函数的图象与x 轴交于A （-3，0）和B （1，0）两点，交y 轴于点C （0，3），点C 、D 是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B 、D ．（1）求二次函数的解析式；（2）根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x 的取值范围；（3）若直线与y 轴的交点为E ，连结AD 、AE ，求△ADE 的面积．【答案】解：（1）设二次函数的解析式为y=ax 2+bx+c （a≠0，a 、b 、c 常数），根据题意得 {9a −3b +c =0a +b +c =0c =3，解得：{a =−1b =−2c =3，所以二次函数的解析式为：y=-x 2-2x+3；（2）如图，一次函数值大于二次函数值的x 的取值范围是：x ＜-2或x ＞1．（3）∵对称轴：x=-1．∴D （-2，3）；设直线BD ：y=mx+n 代入B （1，0），D （-2，3）：{m +n =0−2m +n =3， 解得：{m =−1n =1， 故直线BD 的解析式为：y=-x+1，把x=0代入求得E （0，1）∴OE=1，又∵AB=4∴S △ADE=12×4×3-12×4×1=4．三、二次函数图像的开口方向、顶点坐标及对称轴【知识探索】1．二次函数（、、为常数，）： （1）当时，抛物线开口向上，有最低点；当时，抛物线开口向下，有最高点；（2）函数图像的对称轴为直线，顶点坐标为（，）．【错题精练】例1．已知二次函数y =ax 2+bx +c （a ＞0）的图象的对称轴为直线x =1，且（x 1，y1），（x 2，y2）为其图象上的两点，（ ）A. 若x 1＞x 2＞1，则(y 1−y 2)+2a (x 1−x 2)＜0；B. 若1＞x 1＞x 2，则(y 1−y 2)+2a (x 1−x 2)＜0；C. 若x 1＞x 2＞1，则(y 1−y 2)+a (x 1−x 2)＞0；D. 若1＞x 1＞x 2，则(y 1−y 2)+a (x 1−x 2)＞0．【答案】D在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则二次函数y= 2．一次函数y=ax+b和反比例函数y=cxax2+bx+c的图象大致为（）A. B. C. D.【答案】C3．如图，点A、B的坐标分别为（1，1）和（5，4），抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点在线段AB上运动，与x轴交于C、D两点（C在D的左侧），当抛物线的顶点为A时，点C的横坐标为O，则点D 的横坐标最大值为（）A. 5B. 6C. 7D. 8【解答】解：∵抛物线的顶点为A时，点C的横坐标为O，∴设此时抛物线解析式为y=a（x﹣1）2+1，代入（0，0）得，a+1=0，∴a=﹣1，∴此时抛物线解析式为y=﹣（x﹣1）2+1，∵抛物线的顶点在线段AB上运动，∴当顶点运动到B（5，4）时，点D的横坐标最大，∴抛物线从A移动到B后的解析式为y=﹣（x﹣5）2+4，令y=0，则0=﹣（x ﹣5）2+4，解得x=7或3，∴点D 的横坐标最大值为7．【答案】C1．若抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于正半轴C 点，且AC=20，BC=15，∠ACB=90°，则此抛物线的解析式为______．【解答】解：如图，∵∠ACB=90°，AC=20，BC=15，∴AB=√152+202=25，∵12OC•AB=12AC•BC ，∴OC=15×2025=12， ∴OA=√152−122=9，∴OB=25-9=16，∴抛物线与x 轴的交点坐标为（-9，0）、（16，0）或（-16，0）、（9，0），当抛物线过点（-9，0）、（16，0）时，设抛物线解析式为y=a （x+9）（x-16），把C （0，12）代入得a•9•（-16）=12，解得a=-112，此时抛物线解析式为y=-112（x+9）（x-16），即y=-112x 2+712x+12；当抛物线过点（-16，0）、（9，0）时，设抛物线解析式为y=a （x+16）（x-9），把C （0，12）代入得a•16•（-9）=12，解得a=-112，此时抛物线解析式为y=-112（x+16）（x-9）， 即y=-112x 2-712x+12综上所述，抛物线解析式为y=-112x 2+712x+12或y=-112x 2-712x+12．D. 顶点坐标是（1，-3）【答案】D6．如图，在直角坐标系中，抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）与x 轴交于点A （-1，0）、B （3，0）两点，抛物线交y 轴于点C （0，3），点D 为抛物线的顶点．直线y=x-1交抛物线于点M 、N 两点，过线段MN 上一点P 作y 轴的平行线交抛物线于点Q ．（1）求此抛物线的解析式及顶点D 的坐标；（2）问点P 在何处时，线段PQ 最长，最长为多少；（3）设E 为线段OC 上的三等分点，连接EP ，EQ ，若EP=EQ ，求点P 的坐标．【答案】解：（1）∵抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）与x 轴交于点A （-1，0）、B （3，0）两点，交y 轴于点C （0，3），由题意，得{0=a −b +c0=9a +3b +c 3=c，解得：{a =−1b =2c =3∴抛物线的解析式为：y=-x 2+2x+3，∴y=-（x-1）2+4，∴D （1，4）；（2）∵PQ ⊥x 轴，∴P 、Q 的横坐标相同，∵P 点在直线y=x-1上，设P （a ，a-1），则Q （a ，-a 2+2a+3），∴PQ=-a 2+2a+3-a+1=-a 2+a+4，∴PQ=-（a-12）2+174，∴当a=12时，线段PQ 最长为174，则P 点坐标为（12，-12）；（3）∵E 为线段OC 上的三等分点，且OC=3， ∴E （0，1）或E （0，2），设P （p ，p-1）（在y=x-1上），则Q （p ，-p 2+2p+3）． 当E （0，1）时，∵EP=EQ ，∴（p-0）2+（p-1-1）2=（p-0）2+（-p 2+2p+3-1）2， ∴p 2+（p-2）2=p 2+（p 2-2p-2）2，（p-2）2=（p 2-2p-2）2，①当 p 2-2p-2=p-2时，∴p （p-3）=0，∴p=0或3，当p=0，P （0，-1），Q （0，3），当p=3，P （3，2），Q （3，0），过线段MN 上一点P 作y 轴的平行线交抛物线于点Q ． ∵直线y=x-1交抛物线于点M 、N 两点，∴x-1=-x 2+2x+3，解得：x 1=1−√172，x 2=1+√172， M 的横坐标为1−√172，N 点的横坐标为1+√172， ∴P 点横坐标：大于等于1−√172小于等于1+√172， ∴P （3，2），Q （3，0）不符合要求舍去；②p 2-2p-2=-p+2，整理得：p 2-p-4=0，解得：P 1=1−√172，p 2=1+√172， ∵直线y=x-1交抛物线于点M 、N 两点，∴x-1=-x 2+2x+3，解得：x 1=1−√172，x 2=1+√172， M 的横坐标为1−√172，N 点的横坐标为1+√172， ∵过线段MN 上一点P 作y 轴的平行线交抛物线于点Q ． ∴P 点横坐标：大于等于1−√172小于等于1+√172， 当E （0，2）时，∵EP=EQ ，∴（p-0）2+（p-1-2）2=（p-0）2+（-p 2+2p+3-2）2， p 2+（p-3）2=p 2+（p 2-2p-1）2，∴（p-3）2=（p 2-2p-1）2．③当 p 2-2p-1=p-3时，∴（p-1）（p-2）=0∴p=1或2． 当p=1时，P （1，0），Q （1，4）当p=2时，P （2，1），Q （2，3）④p 2-2p-1=-p+3p 2-p-4=0，解得：P 1=1−√172＜-1，p 2=1+√172＞2， P （1−√172，−√17−12）或（1+√172,√17−12）． 综上所述，P 点的坐标为：P （0，-1），P （1，0），P （2，1），P （1−√172，−√17−12）或（1+√172,√17−12）． ∵点P 在线段MN 上，∴P 点的坐标为：P （0，-1），P （1，0），P （2，1）．非学科培训。

二次函数的性质二次函数是一种常见的数学函数形式，它的一般表达式为f(x) =ax^2 + bx + c，其中a、b、c为实数且a ≠ 0。

二次函数具有许多独特的性质，下面将逐一阐述。

一、图像特征二次函数的图像通常是一个开口向上或向下的抛物线。

当 a > 0时，抛物线开口向上；当a < 0时，抛物线开口向下。

抛物线的顶点坐标为(-b/(2a), f(-b/(2a)))，其中f(-b/(2a))为抛物线的最值。

二、轴对称性二次函数具有轴对称性，即抛物线以垂直于x轴的线为轴对称。

轴对称线的方程为x = -b/(2a)。

三、零点与解析式二次函数的零点即为方程f(x) = 0的解。

通过求解二次方程ax^2 +bx + c = 0，可以得到二次函数的零点。

解析式为x = (-b ± √(b^2 -4ac))/(2a)。

四、判别式二次函数的判别式可以帮助我们判断二次方程的根的情况。

判别式的值为D = b^2 - 4ac，根据判别式的不同情况，可得到以下结论：1. 当D > 0时，方程有两个不相等的实数根；2. 当D = 0时，方程有两个相等的实数根；3. 当D < 0时，方程没有实数根，但有两个共轭复根。

五、函数的增减性与极值点对于二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，它的增减性与a的正负有关。

当a > 0时，函数在抛物线的开口上方是递增的；当a < 0时，函数在抛物线的开口下方是递增的。

同时，函数的极值点即为抛物线的顶点，极值点的纵坐标为函数的最值。

六、对称轴与对称性二次函数的对称轴是垂直于x轴的轴线x = -b/(2a)，对称轴将抛物线分为两个对称的部分。

对称性质表明，若抛物线上存在点(x, y)，那么对称轴上也存在对应的点(-x, y)。

七、二次函数与二次方程的关系二次函数与二次方程紧密相关。

二次函数y = ax^2 + bx + c的图像和性质与二次方程ax^2 + bx + c = 0的解密切相关，二者是一一对应的关系。

二次函数的图像和性质总结二次函数（Quadratic Function）是高中数学中重要的一个部分，是指一种形式为y=ax²+bx+c（a≠0）的函数。

二次函数的图像是一条抛物线，其性质包括：开口方向、顶点、对称轴、最值、零点、增减性等。

下面将对二次函数的图像和性质进行详细总结。

一、图像特征：1.开口方向：-当a>0时，抛物线开口向上；-当a<0时，抛物线开口向下。

2.顶点：-对于抛物线开口向上的情况，顶点是抛物线的最低点；-对于抛物线开口向下的情况，顶点是抛物线的最高点。

3.对称轴（y轴）：- 对于一般的二次函数y=ax²+bx+c，其对称轴的方程为x=-b/2a；-对于抛物线开口向上的情况，对称轴是抛物线的最低点；-对于抛物线开口向下的情况，对称轴是抛物线的最高点。

4.最值：-对于抛物线开口向上的情况，最小值为顶点的纵坐标；-对于抛物线开口向下的情况，最大值为顶点的纵坐标。

5.零点：- 零点是指二次函数y=ax²+bx+c与x轴的交点；-二次函数可能有0个、1个或2个零点；- 当判别式D=b²-4ac>0时，有两个不相等的实数根；- 当判别式D=b²-4ac=0时，有两个相等的实数根；- 当判别式D=b²-4ac<0时，无实数根。

6.增减性：-当a>0时，抛物线开口向上，函数在对称轴两侧递增；-当a<0时，抛物线开口向下，函数在对称轴两侧递减。

二、性质总结：1.函数的解析式：- 二次函数的解析式一般形式为y=ax²+bx+c，其中a、b、c为常数，a≠0；-通过解析式可以得到函数的图像特征。

2.零点：-零点是指函数与x轴的交点；- 零点可以通过解二次方程ax²+bx+c=0来求解；- 当判别式D=b²-4ac>0时，有两个不相等的实数根；- 当判别式D=b²-4ac=0时，有两个相等的实数根；- 当判别式D=b²-4ac<0时，无实数根。

二次函数的图象和性质知识点总结一、知识点回顾1. 二次函数解析式的几种形式：①一般式：（a 、b 、c 为常数，a ≠0） ②顶点式：（a 、h 、k 为常数，a ≠0），其中（h ，k ）为顶点坐标。

③交点式：，其中是抛物线与x 轴交点的横坐标，即一元二次方程的两个根，且a ≠0，（也叫两根式）。

2. 二次函数的图象 ①二次函数的图象是对称轴平行于（包括重合）y 轴的抛物线，几个不同的二次函数，如果a 相同，那么抛物线的开口方向，开口大小（即形状）完全相同，只是位置不同。

②任意抛物线可以由抛物线经过适当的平移得到，移动规律可简记为：[左加右减，上加下减]，具体平移方法如下表所示。

③在画的图象时，可以先配方成的形式，然后将的图象上（下）左（右）平移得到所求图象，即平移法；也可用描点法：也是将配成的形式，这样可以确定开口方向，对称轴及顶点坐标。

然后取图象与y 轴的交点（0，c ），及此点关于对称轴对称的点（2h ，c ）；如果图象与x 轴有两个交点，就直接取这两个点（x 1，0），y ax bx c =++2y a x h k =-+()2y a x x x x =--()()12x x 12，ax bx c 20++=y ax bx c =++2y ax bx c =++2y a x h k =-+()2y ax =2y ax bx c =++2y a x h k =-+()2y ax =2y ax bx c =++2y a x h k =-+()2（x 2，0）就行了；如果图象与x 轴只有一个交点或无交点，那应该在对称轴两侧取对称点，（这两点不是与y 轴交点及其对称点），一般画图象找5个点。

a ＞0 a ＜0 a ＞0 a ＜0(1)抛物线开口向上，(1)抛物线开口向下，(1)抛物线开口(1)抛物线开4. 求抛物线的顶点、对称轴和最值的方法①配方法：将解析式化为的形式，顶点坐标为y ax bx c =++2y a x h k =-+()2（h ，k ），对称轴为直线，若a ＞0，y 有最小值，当x ＝h 时，；若a ＜0，y 有最大值，当x ＝h 时，。