考点 用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算-庖丁解题2018-2019学年高一数学人教版(必修4)(解析版)

∵M 为 EC 的中点,∴M ,


∴=(-1,1)- , = -,


=(1,0)- , = ,- ,
∴=-,∴ ∥ .
又 MD 与 MB 有公共点 M,
∴D,M,B 三点共线.
,
,
思 想 方 法
【典例】 如图所示,已知点A(4,0),B(4,4),C(2,6),求AC和OB的
且与共线,
则得(x-4)×6-y×(-2)=0,解得 x=y=3,
所以点 P 的坐标为(3,3).
应用向量共线的坐标表示求解几何问题的步骤:
第一分析题意,将题目中有关的点坐标化,线段向量化,然后利
用题目条件,寻找向量关系,列出方程(组)求出有关变量,最后
回归到几何问题中.
【变式训练】 在△AOB 中,已知点 O(0,0),A(0,5),B(4,3),
1.三点共线问题的实质是向量共线问题,两个向量共线只需满
足方向相同或相反,两个向量共线与两个向量平行是一致的,
利用向量平行证明三点共线需分两步完成:(1)证明向量平
行;(2)证明两个向量有公共点.
2.若A,B,C三点共线,即由这三个点组成的任意两个向量共线.
【变式训练2】 如图所示,已知直角梯形ABCD,AD⊥AB,
的条件列方程(组),求k的值.从而进一步判定向量是同向还是
反向.
解法一:ka+b=k(1,2)+(-3,2)=(k-3,2k+2),
a-3b=(1,2)-3(-3,2)=(10,-4),
当 ka+b 与 a-3b 平行时,存在唯一实数 λ,使 ka+b=λ(a-3b).
- = ,

由(k-3,2k+2)=λ(10,-4),得

平面向量的坐标表示与运算一、引言平面向量是解决平面几何问题的重要工具之一。

为了方便我们进行计算和分析，我们可以使用坐标表示来表示和计算平面向量。

本教案将介绍平面向量的坐标表示方法以及基本的运算规则。

二、平面向量的坐标表示我们知道，在平面直角坐标系中，每一个点都可以表示为一个有序的坐标 (x, y)。

同样，一个平面向量也可以用一组有序数表示，分别代表向量在 x 轴和 y 轴上的分量。

三、平面向量的坐标运算1. 向量的加法向量的加法是指将两个向量相加，求得它们的和。

在向量的坐标表示中，向量的加法可以通过将两个向量的对应分量相加得到。

2. 向量的数乘向量的数乘是指将一个向量与一个实数相乘，求得新的向量。

在向量的坐标表示中，向量的数乘可以通过将向量的每一个分量与实数相乘得到。

3. 向量的减法向量的减法是指将一个向量减去另一个向量，求得它们的差。

在向量的坐标表示中，向量的减法可以通过将被减向量的每一个分量分别减去减向量的对应分量得到。

4. 向量的数量积向量的数量积是指将两个向量相乘得到一个实数。

在向量的坐标表示中，向量的数量积可以通过将两个向量的对应分量相乘，并将得到的乘积相加得到。

5. 向量的夹角向量的夹角是指两个向量之间的夹角大小。

在向量的坐标表示中，可以利用向量的数量积公式求得两个向量的夹角。

四、实例分析考虑以下平面向量 A 和 B：A = (2, 3)B = (4, -1)我们可以通过向量的坐标运算来求解以下问题：1. 计算 A + B2. 计算 2A3. 计算 A - B4. 计算 A·B5. 计算向量 A 与向量 B 之间的夹角五、总结通过本教案我们学习了平面向量的坐标表示方法以及常见的运算规则，这些知识对于解决平面几何问题非常有用。

希望同学们能够通过练习和实践，巩固这些知识，提升自己的数学能力。

= 1 + 1 + 2 + 2
= 1 + 2 + 1 + 2
即 + = 1 + 2 , 1 + 2
同理，可得 − = 1 − 2 , 1 − 2
两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差).
例4 已知 = 2,1 ， = −3,4 ，求 + ， − 的坐标.
（2） = 4,3 ， = −3,8
练习1 在下列小题中，已知向量 ， 的坐标，分别求 + ， − 的坐标.
（1） = −2,4 ， = 5,2
（2） = 4,3 ， = −3,8
练习1 在下列小题中，已知向量 ， 的坐标，分别求 + ， − 的坐标.
已知 ＝(
Ԧ
1 , 1 )，＝(2 , 2 )．
则 ＋＝(
Ԧ
Ԧ
1 ＋2 , 1 ＋2 )，－＝(
1 －2 , 1 －2 )．
两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差)．
课后作业
复习巩固：教科书第30页练习1，2
综合应用：教科书第30页练习3

图6.3-12
图6.3-11
一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标.

练习2 如图，以 , 为基底，求 ， 的坐标．
解：由图，可知 6,2 ， 2,4 ，则

2,4
4
3
= 2 − 6,4 − 2 = −4,2 ；
= 6 − 2,2 − 4 = 4, −2 ；
（1） = −2,4 ， = 5,2
（2） = 4,3 ， = −3,8

平面向量的坐标表示与运算平面向量是解决几何问题和物理问题中非常重要的概念。

平面向量的坐标表示与运算则是描述和处理平面向量的基本方法。

本文将详细介绍平面向量的坐标表示和运算，以帮助读者更好地理解和应用这一概念。

一、平面向量的坐标表示平面向量可以用有序数对表示，这两个数分别表示向量在x轴和y 轴上的投影长度。

假设有一个平面向量A，记作A=(a,b)，其中a和b 分别表示A在x轴和y轴上的投影长度。

这样，平面向量A的坐标表示就是(a,b)。

二、平面向量的运算1、平面向量的加法对于两个平面向量A=(a1,b1)和B=(a2,b2)，它们的加法运算定义如下：A +B = (a1+a2, b1+b2)即将两个向量的x和y分量分别相加，得到新的向量的坐标表示。

2、平面向量的减法对于两个平面向量A=(a1,b1)和B=(a2,b2)，它们的减法运算定义如下：A -B = (a1-a2, b1-b2)即将两个向量的x和y分量分别相减，得到新的向量的坐标表示。

3、平面向量的数量乘法对于一个平面向量A=(a,b)和一个实数k，它们的数量乘法运算定义如下：kA = (ka, kb)即将向量的每一个分量都乘以实数k，得到新的向量的坐标表示。

4、平面向量的点乘对于两个平面向量A=(a1,b1)和B=(a2,b2)，它们的点乘运算定义如下：A·B = a1a2 + b1b2即将两个向量的对应分量乘积相加。

5、平面向量的夹角计算对于两个非零向量A和B，它们的夹角θ可以通过以下公式计算：cosθ = (A·B) / (|A||B|)其中，A·B表示向量A和向量B的点乘，|A|和|B|分别表示向量A 和向量B的模长。

三、平面向量的性质1、平行向量的坐标表示如果两个向量A和B平行，则它们的坐标表示分别为A=(a,b)和B=(ka,kb)，其中k为任意实数。

2、向量共线的判断如果有两个非零向量A和B，则它们共线的充分必要条件是向量A 和向量B之间存在一个实数k，使得A=kB。