2020年高中数学新教材同步必修第二册 第6章 6.2.1 向量的加法运算

2020-2021学年新教材人教A版数学必修第二册教师用书：第6章6.2 6.2.1向量的加法运算含解析6.2平面向量的运算6.2.1向量的加法运算学习目标核心素养1．理解并掌握向量加法的概念，了解向量加法的几何意义及运算律．(难点)2．掌握向量加法运算法则，能熟练地进行向量加法运算．(重点）3．能区分数的加法与向量的加法的联系与区别．（易混点）1。

教材从几何角度给出向量加法的三角形法则和平行四边形法则,结合了对应的物理模型，提升直观想象和数学建模的核心素养．2．对比数的加法,给出了向量的加法运算律，培养数学运算的核心素养。

有一名台湾商人想去拉萨游玩，但是由于台湾没有直达拉萨的航班,因此他选择了这样一个出行方案：乘飞机要先从台北到香港，再从香港到拉萨．问题:这两次位移之和是什么?1．向量加法的定义(1）定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法．(2）对于零向量与任意向量a,规定0＋a＝a ＋0＝a.2．向量求和的法则三角形法则已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作错误!＝a,错误!＝b，则向量错误!叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝错误!＋错误!＝错误!.平行四边形法则已知两个不共线向量a，b，作错误!＝a，错误!＝b，以错误!，错误!为邻边作▱ABCD，则对角线上的向量错误!＝a＋b.[提示]不是，向量相加要考虑大小及方向，而模相加是数量的加法．3．｜a＋b|与｜a|、|b｜之间的关系一般地，我们有|a＋b|≤｜a｜＋|b｜,当且仅当a，b方向相同时等号成立．4．向量加法的运算律（1)交换律：a＋b＝b＋a。

（2）结合律：(a＋b）＋c＝a＋(b＋c)．1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”）（1)任意两个向量的和仍然是一个向量．(）(2)两个向量相加实际上就是两个向量的模相加．（)(3)任意两个向量的和向量不可能与这两个向量共线．()（4)|a｜＋|b｜＞｜a＋b|. （)［答案]（1）√（2)×(3）×（4）×2。

第六章 平面向量及其应用6.2.1向量的加法一、教学目标1．理解向量加法的概念及向量加法的几何意义；2．熟练掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，会作已知两向量的和向量；3．理解向量加法运算律，并能熟练地运用它们进行向量计算。

4.通过对向量加法的学习，培养学生数学抽象、逻辑推理、直观想象等数学素养。

二、教学重难点1．两个向量的和的概念及其几何意义；2．向量加法的运算律。

三、教学过程：1、情景引入在大型生产车间里，一重物被天车从A 处搬运到B 处，如图所示．它的实际位移AB ，可以看作水平运动的分位移AC 与竖直运动的分位移AD 的合位移．问题1：根据物理中位移的合成与分解，你认为AB ，AD ，AC 之间有什么关系？【答案】AB ＝AC ＋AD .问题2：向量AB ，AC ，CB 之间有什么关系？【答案】AB ＝AC ＋CB .2、探索新知（1）向量的加法：求两个向量和的运算叫做向量的加法。

表示：AB BC AC +=． 规定：零向量与任一向量a ，都有00a a a +=+=．说明：①共线向量的加法： a b a b +②不共线向量的加法：如图（1），已知向量a ，b ，求作向量a b +. 作法：在平面内任取一点O （如图（2）），作OA a =，AB b =，则OB a b =+ .（1） （2） b aO BA AB C（2）．向量加法的法则：三角形法则：根据向量加法定义得到的求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则。

表示：OB AB OA =+．【口诀】尾首相接首尾相连。

平行四边形法则：以同一点A 为起点的两个已知向量a ，b 为邻边作ABCD ，则 则以A 为起点的对角线AC 就是a与b 的和，这种求向量和的方法称为向量加法的平行 四边形法则。

【口诀】共起点，和为对角线。

小组合作探究： 问题1：若向量a 和b 共线，它们的加法与数的加法有什么关系？你能否做出向量b a +吗？【答案】（1）当a 和b 同向时，AC BC AB b a =+=+；（2）当a 和b 反向时，AC BC AB b a =+=+。

6.1.2 向量的加法1．向量的加法法则 (1)三角形法则一般地，平面上任意给定两个向量a ，b ，在该平面上任取一点A ，作AB →＝a ，BC →＝b ，作出向量AC →，则向量AC →叫做a 与b 的和(或和向量)，记作a ＋b ，即a ＋b ＝AB →＋BC →＝AC →.上述求两个向量和的作图方法，叫做向量求和的三角形法则． 对于零向量与任一向量a 的和，有a ＋0＝0+a ＝a .向量a ，b 的模与a ＋b 的模的关系：||a|－|b||≤|a ＋b|≤|a|＋|b|. (2)平行四边形法则已知两个不共线向量a ，b ，作AB →＝a ，AD →＝b ，则A ，B ，D 三点不共线，以AB →，AD →为邻边作平行四边形ABCD ，则对角线上的向量AC →＝a ＋b .这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则．(3)多边形法则已知n 个向量，依次把这n 个向量首尾相连，以第一个向量的始点为始点，第n 个向量的终点为终点的向量叫做这n 个向量的和向量．这个法则叫做向量求和的多边形法则．2．向量加法的运算律思考：任意两个非零向量相加，是否都可以用向量的平行四边形法则进行？ [提示] 不一定．当两向量共线时不能用平行四边形法则，只能用三角形法则．1．在△ABC 中，AB →＝a ，BC →＝b ，则a ＋b 等于( ) A.CA → B.BC → C.AB →D.AC →D [∵A B →＝a ，B C →＝b ，∴a ＋b ＝A B →＋B C →＝A C →.] 2．如图所示，AB →＋BC →＋CD →＋DE →＋EF →＋F A →等于( )A ．0B ．0C ．2AD →D ．－2AD →B [由向量求和的多边形法则可知结果为0，故选B.] 3．(AB →＋MB →)＋(BO →＋BC →)＋OM →等于________．AC → [(AB →＋MB →)＋(BO →＋BC →)＋OM →＝AB →＋BO →＋OM →＋MB →＋BC →＝AC →.] 4.AB →＋BC →＋CA →＝________. 0 [AB →＋BC →＋CA →＝AC →＋CA →＝0.]【例1】 (1)化简AE ＋EB ＋BC 等于( ) A.AB → B.AC → C.CE → D.BE → (2)如图所示，a ＋d ＝________，c ＋b ＝________.(3)若正方形ABCD 的边长为1，AB →＝a ，AD →＝b ，AC →＝c.试作出向量a ＋b ＋c ，并求出其模的大小．[思路探究] 利用向量加法的三角形法则或平行四边形法则求和及作图． (1)B (2)DA → CB →[(1)由向量加法的三角形法则可得： AE →＋EB →＋BC →＝AB →＋BC →＝AC →.故选B.(2)由向量求和的三角形法则可知a ＋d ＝DA →，c ＋b ＝CB →.](3)解：根据平行四边形法则可知，a ＋b ＝AB →＋AD →＝AC →.根据三角形法则，延长AC ，在AC 的延长线上作CE →＝AC →，则a ＋b ＋c ＝AC→＋AC →＝AC →＋CE →＝AE →(如图所示)．所以|a ＋b ＋c|＝|AE →|＝212＋12＝2 2.1．向量求和的注意点(1)三角形法则对于两个向量共线时也适用． (2)两个向量的和向量仍是一个向量．(3)平行四边形法则对于两个向量共线时不适用． 2．利用向量的两种加法法则作图的方法1.如图所示，设O 为正六边形ABCDEF 的中心，求下列向量：(1)OA →＋OC →； (2)BC →＋FE →.[解] (1)由题图可知，四边形OABC 为平行四边形， ∴由向量加法的平行四边形法则， 得OA →＋OC →＝OB →.(2)由题图可知，BC →＝FE →＝OD →＝AO →， ∴BC →＋FE →＝AO →＋OD →＝AD →.【例2①a ＋(b ＋c )＝(a ＋c )＋b ；②AB →＋BA →＝0；③AC →＝DC →＋AB →＋BD →. A ．②③ B ．② C ．①D ．③(2)设A ，B ，C ，D 是平面上任意四点，试化简： ①AB →＋CD →＋BC →； ②DB →＋AC →＋BD →＋CA →.[思路探究] 可利用向量加法的交换律使求和的各向量首尾相接，然后再利用加法法则求和．(1)B [由向量的加法满足结合律知①正确；因为AB →＋BA →＝0，故②不正确；DC →＋AB →＋BD →＝AB →＋BD →＋DC →＝AC →成立，故③正确．](2)①AB →＋CD →＋BC →＝(AB →＋BC →)＋CD →＝AC →＋CD →＝AD →. ②DB →＋AC →＋BD →＋CA →＝(DB →＋BD →)＋(AC →＋CA →)＝0＋0＝0.向量加法运算律的意义和应用原则 (1)意义向量加法的运算律为向量加法提供了变形的依据，实现恰当利用向量加法法则运算的目的．实际上，由于向量的加法满足交换律和结合律，故多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行．(2)应用原则利用代数方法通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序．2．化简：(1)(MA →＋BN →)＋(AC →＋CB →)； (2)AB →＋(BD →＋CA →)＋DC →. [解] (1)(MA →＋BN →)＋(AC →＋CB →)＝(MA →＋AC →)＋(CB →＋BN →)＝MC →＋CN →＝MN →. (2)AB →＋(BD →＋CA →)＋DC → ＝AB →＋BD →＋DC →＋CA →＝0.【例3】 如图，用两根绳子把重10 N 的物体W 吊在水平杆子AB 上，∠ACW ＝150°，∠BCW ＝120°，求A 和B 处所受力的大小(绳子的重量忽略不计)．[思路探究] 将两根绳子所受的力用向量来表示，根据向量加法的平行四边形法则画和向量即合力的图示，再借助图示求解．[解] 如图所示，设CE →，CF →分别表示A ，B 所受的力，10 N 的重力用CG →表示，则CE →＋CF →＝CG →，易得∠ECG ＝180°－150°＝30°，∠FCG ＝180°－120°＝60°，所以|CE →|＝|CG →|·cos 30°＝10×32＝53，|CF →|＝|CG →|cos 60°＝10×12＝5，所以A 处所受的力的大小为5 3 N ，B 处所受的力的大小为5 N.应用向量加法解决物理学问题的基本步骤(1)表示：用向量表示相关的量，将所要解决的问题转化为向量的加法问题. (2)运算：应用向量加法的平行四边形法则或三角形法则，进行相关运算. (3)还原：根据向量运算的结果，结合向量共线、相等概念回答原题. 提醒：在根据实际问题转化为向量问题时，由于对实际问题的审题不准确导致解题错误.3.为了调运急需物资，如图所示，一艘船从江南岸A 点出发，以5 3 km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东5 km/h.(1)试用向量表示江水的速度、船速以及船实际航行的速度；(2)求船实际航行的速度的大小与方向．(用与江水的速度方向间的夹角表示) [解] (1)如图所示，AD →表示船速，AB →表示水速．易知AD ⊥AB ，以AD ，AB 为邻边作矩形ABCD ，则AC →表示船实际航行的速度．(2)在Rt △ABC 中，|AB →|＝5，|BC →|＝53，所以|AC →|＝|AB →|2＋|BC →|2＝52＋(53)2＝100＝10.因为tan ∠CAB ＝|BC →||AB →|＝3，所以∠CAB ＝60°.因此，船实际航行的速度大小为10 km/h ，方向与江水的速度方向间的夹角为60°.[1．在△ABC 中，若AB →＝a ，BC →＝b ，CA →＝c ，那么a ＋b ＋c ＝0一定成立吗？ [提示] 一定成立，因为在△ABC 中，由向量加法的三角形法则AB →＋BC →＝AC →，所以AB →＋BC →＋CA →＝0，那么a ＋b ＋c ＝0.2．如果任意三个向量a ，b ，c 满足条件a ＋b ＋c ＝0，那么表示它们的有向线段是否一定构成三角形？[提示] 若任意三个向量a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，则表示它们的有向线段不一定构成三角形，因为当这三个向量为共线向量时，同样有可能满足a ＋b ＋c ＝0，此时，表示它们的有向线段肯定不能构成三角形，所以任意三个向量a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0时，表示它们的有向线段不一定构成三角形．3．设A 1，A 2，A 3，…，A n (n ∈N ，且n ≥3)是平面内的点，则一般情况下，A 1A n →＝A 1A 2→＋A 2A 3→＋A 3A 4→＋…＋A n －1A n .当A 1与A n 重合时，A 1A 2→＋A 2A 3→＋A 3A 4→＋…＋A n －1A n 满足什么关系？[提示] 当A 1与A n 重合时，有A 1A 2→＋A 2A 3→＋A 3A 4→＋…＋A n －1A n ＝0. 【例4】 如图，正六边形ABCDEF 中，BA →＋CD →＋EF →＝( )A ．0 B.BE →C.AD →D.CF →[思路探究] 用向量加法的运算律，将BA →＋CD →＋EF →变形为CD →＋DE →＋EF →就可以利用向量加法的多边形法则求和向量．D [因为多边形ABCDEF 是正六边形，所以BA ∥DE ，BA ＝DE ，所以BA →＝DE →，所以BA →＋CD →＋EF →＝DE →＋CD →＋EF →＝CD →＋DE →＋EF →＝CF →.]三个关键：一是搞清构成平面图形的向量间的相互关系；二是熟练找出图形中的相等向量；三是能根据多边形法则作出向量的和向量.4.如图，E ，F ，G ，H 分别是梯形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，化简下列各式：(1)DG →＋EA →＋CB →； (2)EG →＋CG →＋DA →＋EB →.[解] (1)DG →＋EA →＋CB →＝GC →＋BE →＋CB →＝GC →＋CB →＋BE →＝GB →＋BE →＝GE →. (2)EG →＋CG →＋DA →＋EB →＝EG →＋GD →＋DA →＋AE →＝ED →＋DA →＋AE →＝EA →＋AE →＝0.(教师独具)1．本节课的重点是向量加法的运算律，难点是三角形法则和平行四边形法则的应用．2．学习本节课，需要掌握的方法与规律(1)三角形法则可以推广到n 个向量求和，作图时要求“首尾相连”，即n 个首尾相连的向量的和对应的向量是第一个向量的起点指向第n 个向量的终点的向量．(2)平行四边形法则只适用于不共线的向量求和，作图时要求两个向量的起点重合．(3)求作三个或三个以上的向量和时，用三角形法则更简单．3．本节课的易错点是应用向量加法运算律，注意各向量的起点、终点及向量起点、终点字母的排列顺序，特别注意勿将向量0写成0.1．思考辨析(1)两个向量相加就是两个向量的模相加．( )(2)两个向量相加，结果有可能是个数量．( )(3)向量加法的平行四边形法则适合任何两个向量相加．( )(1)× (2)× (3)× [(1)错误，向量相加与向量长度、方向都有关；(2)错误，向量相加，结果仍是一个向量；(3)错误，向量加法的平行四边形法则适合有相同起点的不共线的向量相加．]2．化简OP →＋PQ →＋PS →＋SP →的结果等于( )A.QP →B.OQ →C.SP →D.SQ →B [OP →＋PQ →＋PS →＋SP →＝OQ →＋0＝OQ →.]3．在矩形ABCD 中，若AB ＝3，BC ＝2，则|AB →＋BC →|＝________.13 [在矩形ABCD 中，AB →＋BC →＝AC →，所以|AB →＋BC →|＝|A B →|2＋|B C →|2＝32＋22＝13.]4．已知向量a ，b ，c ，如图，求作a ＋b ＋c .[解] 在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，AB →＝b ，BC →＝c ，如图，则由向量加法的三角形法则，得OB →＝a ＋b ，OC →＝a ＋b ＋c ，OC →即为所作向量．。

6.2 向量基本定理与向量的坐标6.2.1 向量基本定理学习目标核心素养1.理解两向量共线的含义，并能用共线向量基本定理解决简单的几何问题．(重点)2．知道平面向量基本定理的含义和基底的含义．3．会用平面向量基本定理，用基底表示向量．(难点)1.通过共线向量基本定理的学习，培养数学运算和逻辑推理素养．2．借助平面向量基本定理的学习与应用，提升数学运算及逻辑推理核心素养.1．共线向量基本定理如果a≠0且b∥a，则存在唯一的实数λ，使得b＝λa.在共线向量基本定理中：(1)b＝λa时，通常称为b能用a表示．(2)其中的“唯一”指的是，如果还有b＝μa，则有λ＝μ.思考1：在共线向量基本定理中，为什么要求a≠0?[提示]若a＝0，则0∥b，但是λ0＝0，从而b＝λa中的实数λ具有不确定性，进而不能说存在唯一一个实数λ，使得b＝λa.2．平面向量基本定理如果平面内两个向量a与b不共线，则对该平面内任意一个向量c，存在唯一的实数对(x，y)，使得c＝x a＋y b.3．基底平面内不共线的两个向量a与b组成的集合{a，b}，常称为该平面上向量的一组基底，如果c＝x a＋y b，则称x a＋y b为c在基底{a，b}下的分解式．思考2：设e1，e2是平面向量的一组基底，则e1，e2中可能有零向量吗？平面向量的基底唯一吗？[提示]平面向量基本定理的前提条件是e1，e2不共线，若e1，e2中有零向量，而零向量和任意向量共线，这与定理的前提矛盾，故e1，e2中不可能有零向量；同一平面的基底可以不同，只要它们不共线．1．如图，向量e1，e2，a的起点与终点均在正方形网格的格点上，则向量a 用基底e1，e2表示为()A．e1＋e2B．－2e1＋e2C．2e1－e2D．2e1＋e2B[a＝－2e1＋e2.]2．若k1a＋k2b＝0，则k1＝k2＝0，那么下面对a，b的判断正确的是() A．a与b一定共线B．a与b一定不共线C．a与b一定垂直D．a与b中至少有一个为0B[由平面向量基本定理，可知当a，b不共线时，k1＝k2＝0，故选B.] 3．设e1，e2是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是()A．e1＋e2和e1－e2B．3e1－4e2和6e1－8e2C．e1＋2e2和2e1＋e2D．e1和e1＋e2B[因为6e1－8e2＝2(3e1－4e2)，所以(6e1－8e2)∥(3e1－4e2)，所以3e1－4e2和6e1－8e2不能作为基底．]4．向量a在基底{e1，e2}下可以表示为a＝2e1＋3e2，若a在基底{e1＋e2，e 1－e 2}下可表示为a ＝λ(e 1＋e 2)＋μ(e 1－e 2)，则λ＝________，μ＝________.52 －12 [由条件得2e 1＋3e 2＝λ(e 1＋e 2)＋μ(e 1－e 2)，所以，⎩⎪⎨⎪⎧λ＋μ＝2，λ－μ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝52，μ＝－12.]用基底表示向量【例1】 F 分别是DC ，AB 的中点，设AD →＝a ，AB →＝b ，试以a ，b 为基底表示DC →，BC →，EF →.[思路探究] AD →和AB →是两个不共线向量，于是可以看做一组基底，那么平面中的任一向量可以用AD →和AB →来表示，关键是利用向量线性运算确定系数．[解] 如图所示，连接FD ，∵DC ∥AB ，AB ＝2CD ，E ，F 分别是DC ，AB 的中点， ∴DC 綊FB .∴四边形DCBF 为平行四边形． ∴DC →＝FB →＝12AB →＝12b ，BC →＝FD →＝AD →－AF →＝AD →－12AB →＝a －12b ， EF →＝DF →－DE →＝－FD →－DE →＝－BC →－12DC →＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12b －12×12b ＝14b －a .平面向量基本定理的作用以及注意点(1)根据平面向量基本定理，任何一组基底都可以表示任意向量.用基底表示向量，实质上主要是利用三角形法则或平行四边形法则，进行向量的加减法运算.(2)要注意适当选择向量所在的三角形或平行四边形，利用已知向量表示未知向量，或找到已知向量与未知向量的关系，用方程的观点求出未知向量.1.如图，设点P ，Q 是线段AB 的三等分点，若OA →＝a ，OB →＝b ，则OP →＝________，OQ →＝________.(用a ，b 表示)23a ＋13b 13a ＋23b [OP →＝AP →－AO →＝13AB →＋OA → ＝13(OB →－OA →)＋OA → ＝23OA →＋13OB →＝23a ＋13b .OQ →＝AQ →－AO →＝23AB →＋OA →＝23(OB →－OA →)＋OA →＝13OA →＋23OB →＝13a ＋23b .]直线的向量参数方程式的应用【例2】 已知平面内两定点A ，B ，对该平面内任一动点C ，总有OC ＝3λOA→＋(1－3λ)OB →(λ∈R ，点O 为直线AB 外一点)，则点C 的轨迹是什么图形？并说明理由．[思路探究] 将所给向量式与直线的向量参数方程式比较易得答案，也可以考虑将所给向量式化简后再观察特点．[解] 将已知向量等式两边同时减去OA →，得OC →－OA →＝(3λ－1)OA →＋(1－3λ)OB →＝(1－3λ)(OB →－OA →)＝(1－3λ)AB →，即AC →＝(1－3λ)AB →，λ∈R ，又AC →，AB →共始点， ∴A ，B ，C 三点共线， 即点C 的轨迹是直线AB .理解直线的向量参数方程式时要注意OP →＝(1－t )OA →＋t OB →中三向量共始点，左边向量的系数是1，右边两向量的系数之和为1，也可以结合向量加法的平行四边形法则进行理解.2.如图，设一直线上三点A ，B ，P 满足 AP →＝λPB →(λ≠－1)，O 是平面上任意一点，则( )A.OP →＝OA →＋λOB →1＋λ(λ≠－1)B.OP →＝OA →＋λOB →1－λC.OP →＝OA →－λOB →1＋λ(λ≠－1)D.OP →＝OA →－2λOB →1－λA [∵一条直线上三点A ，B ，P 满足AP →＝λPB →(λ≠－1)， ∴OP →－OA →＝λ(OB →－O P →)， 化简得OP →＝OA →＋λOB→1＋λ(λ≠－1)．]平面向量基本定理的综合应用[1．在向量等式OP →＝xOA →＋yOB →中，若x ＋y ＝1，则三点P ，A ，B 具有什么样的位置关系？[提示] 三点P ，A ，B 在同一直线上．在向量等式OP →＝xOA →＋yOB →中，若x ＋y ＝1，则P ，A ，B 三点共线；若P ，A ，B 三点共线，则x ＋y ＝1.2．平面向量基本定理的实质是什么？[提示] 平面向量基本定理的实质是把任一向量两个方向进行分解． 【例3】 平面内有一个△ABC 和一点O (如图)，线段OA ，OB ，OC 的中点分别为E ，F ，G ，BC ，CA ，AB 的中点分别为L ，M ，N ，设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c .(1)试用a ，b ，c 表示向量EL →，FM →，GN →；(2)求证：线段EL ，FM ，GN 交于一点且互相平分． [思路探究] 本题主要考查平面向量基本定理及应用．(1)结合图形，利用向量的加、减法容易表示出向量EL →，FM →，GN →；(2)要证三条线段交于一点，且互相平分，可考虑证明O 点到三条线段中点的向量相等．[解] (1)由题意得OE →＝12a ，OL →＝12(b ＋c )， ∴EL →＝OL →－OE →＝12(b ＋c －a )．同理：FM →＝12(a ＋c －b )，GN →＝12(a ＋b －c )． (2)证明：设线段EL 的中点为P 1，则 OP 1→＝12(OE →＋OL →)＝14(a ＋b ＋c )．设FM ，GN 的中点分别为P 2，P 3，同理可求得 OP 2→＝14(a ＋b ＋c )，OP 3→＝14(a ＋b ＋c )． ∴OP 1→＝OP 2→＝OP 3→，即EL ，FM ，GN 交于一点，且互相平分．1．任意一向量基底表示的唯一性的理解 条件一 平面内任一向量a 和同一平面内两个不共线向量e 1，e 2 条件二 a ＝λ1e 1＋μ1e 2且a ＝λ2e 1＋μ2e 2 结论⎩⎨⎧λ1＝λ2，μ1＝μ22.任意一向量基底表示的唯一性的应用平面向量基本定理指出了平面内任一向量都可以表示为同一平面内两个不共线向量e 1，e 2的线性组合λ1e 1＋λ2e 2.在具体求λ1，λ2时有两种方法：(1)直接利用三角形法则、平行四边形法则及向量共线定理； (2)利用待定系数法，即利用定理中λ1，λ2的唯一性列方程组求解．3．如图所示，在△OAB 中，OA →＝a ，OB →＝b ，点M 是AB 上靠近B 的一个三等分点，点N 是OA 上靠近A 的一个四等分点．若OM 与BN 相交于点P ，求OP →.[解] OM →＝OA →＋AM →＝OA →＋23AB → ＝OA →＋23(OB →－OA →)＝13a ＋23b . 因为OP →与OM →共线， 故可设OP →＝tOM →＝t 3a ＋2t3b .又NP →与NB →共线，可设NP →＝sNB →，OP →＝ON →＋sNB →＝34OA →＋s (OB →－ON →)＝34(1－s )a ＋s b ，所以⎩⎪⎨⎪⎧34(1－s )＝t 3，s ＝23t ，解得⎩⎪⎨⎪⎧t ＝910，s ＝35，所以OP →＝310a ＋35b .(教师独具)1．本节课的重点是用基底表示向量问题，难点是直线的向量参数方程式的应用．2．本节课重点掌握的规律方法 (1)基底的性质：不共线性与不唯一性． (2)用基底表示向量的方法．3．本节课的易错点是在应用平面向量基本定理时要注意等式a ＝λ1e 1＋λ2e 2中，e 1，e 2不共线这个条件，若没有指明，则应对e 1，e 2共线的情况加以考虑．1．思考辨析(1)同一平面内只有不共线的两个向量可以作为基底．( ) (2)0能与另外一个向量a 构成基底．( ) (3)平面向量的基底不是唯一的．( )(1)√ (2)× (3)√ [平面内任意一对不共线的向量都可以作为基底，故(2)是错误的．(1)，(3)正确．]2．如果e 1，e 2是平面α内所有向量的一组基底，那么，下列命题正确的是( )A ．若实数λ1，λ2，使λ1e 1＋λ2e 2＝0，则λ1＝λ2＝0B ．平面内任一向量a 都可以表示为a ＝λ1e 1＋λ2e 2，其中λ1，λ2∈RC ．λ1e 1＋λ2e 2不一定在平面α内，λ1，λ2∈RD ．对于平面α内任意一向量a ，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2的实数λ1，λ2有无数对 A [考查平面向量基本定理．因为e 1，e 2不共线，所以λ1e 1＋λ2e 2＝0，只能λ1＝λ2＝0.B 选项λ1，λ2∈R 不对，应该是唯一数对；C 选项λ1e 1＋λ2e 2一定在平面α内；D 选项应该是唯一一对．]3．已知A ，B ，D 三点共线，且对任意一点C ，有CD →＝43CA →＋λCB →，则λ＝________.－13 [∵A ，B ，D 三点共线，∴存在实数t ，使AD →＝tAB →，则CD →－CA →＝t (CB →－CA →)，即CD →＝CA →＋t (CB →－CA →)＝(1－t )CA →＋tCB →，∴⎩⎨⎧1－t ＝43，t ＝λ，即λ＝－13.]4．已知e 1，e 2是平面内两个不共线的向量，a ＝3e 1－2e 2，b ＝－2e 1＋e 2，c ＝7e 1－4e 2，试用向量a 和b 表示c .[解] ∵a ，b 不共线，∴可设c ＝x a ＋y b ， 则x a ＋y b ＝x (3e 1－2e 2)＋y (－2e 1＋e 2) ＝(3x －2y )e 1＋(－2x ＋y )e 2＝7e 1－4e 2. 又∵e 1，e 2不共线， ∴⎩⎪⎨⎪⎧3x －2y ＝7，－2x ＋y ＝－4， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－2，∴c ＝a －2b .。