平面向量及其加减运算课后训练

练习内容：22.7平面向量 22.8平面向量的加法 22.9平面向量的减法姓名 学号 成绩一、选择题 (每小题3分，共18分)1．在四边形ABCD 中，AB DC =，且||||AB BC =，那么四边形ABCD 为 ( )A 、平行四边形B 、菱形C 、长方形D 、正方形2．四边形ABCD 中，若向量AB 与CD 是平行向量，则四边形ABCD () A 、是平行四边形 B 、是梯形C 、是平行四边形或梯形D 、不是平行四边形，也不是梯形3．设b 是a 的相反向量，则下列说法错误的是 ( )A 、a 与b 的长度必相等B 、a ∥bC 、a 与b 一定不相等D 、a 是b 的相反向量4．下列说法中不正确的是 ( )A 、零向量是没有方向的向量B 、零向量的方向是任意的C 、零向量与任一向量平行D 、零向量只能与零向量相等5．下列四式不能化简为AD 的是 ( )A 、()AB CD BC ++ B 、()()AD MB BC CM +++C 、AD AD BM +- D 、OC AO CD ++6．下列说法中，正确的有 ( )① 若a b =±，则a ∥b ② 若a ∥b ，则a b =±③ 若a b =±，则||||a b = ④ 若||||a b =，则a b =±A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个二、填空题 (每小题4分，共40分)7．规定了方向的线段叫做8．向量是既有大小、又有 的量，可以用 线段表示9．AB BA + = ；a a - =第10题到15题的图10．平行四边形ABCD 中，与AB 相等的向量有11．平行四边形ABCD 中，与AB 相反的向量有12．平行四边形ABCD 中，与AB 平行的向量有13．平行四边形ABCD 中，与AO 相等的向量有14．平行四边形ABCD 中，与AO 相反的向量有15．平行四边形ABCD 中，与AO 平行的向量有16．设a 表示“向东走1km ”，b”，则a b +表示三、简答题 (每小题6分，共24分)17．判断下列命题是否为真命题(1)★ AB BC DC AD +-= ( ) (2)★向量b 的长度记作||b ( ) (3)★用两个字母表示有向线段，起点字母与终点字母随便哪个写在前面无所谓 ( )18．判断命题“若a b =，则a 与b 是平行向量”是否是真命题。

数学练习平面向量的加减练习题一、绪论在数学学科中，平面向量是一个重要的概念。

它们常常应用于几何、物理和工程等领域，并且对于解决实际问题具有重要意义。

本文将针对平面向量的加减练习题展开讨论，通过解析和计算题目，帮助读者加深对平面向量的理解和运用。

二、练习题下面是一些关于平面向量的加减练习题，希望读者能够仔细阅读题目并尝试解答。

1. 已知向量a = (2, 4)和向量b = (-1, 3)，求向量a + b的结果。

2. 已知向量c = (3, -2)和向量d = (-4, 1)，求向量c - d的结果。

3. 设向量e = (5, 2)，向量f = (-3, 6)，求向量e + f的结果。

4. 设向量g = (7, -1)，向量h = (-2, 5)，求向量g - h的结果。

5. 已知向量i = (4, 0)，向量j = (0, 6)，求向量i + j的结果。

6. 设向量k = (-3, 2)，向量l = (1, -4)，求向量k - l的结果。

7. 设向量m = (2, 5)，向量n = (5, 3)，求向量m + n的结果。

8. 设向量p = (-1, -3)，向量q = (-4, -2)，求向量p - q的结果。

三、解答与计算1. 向量a + b = (2, 4) + (-1, 3) = (2 - 1, 4 + 3) = (1, 7)。

2. 向量c - d = (3, -2) - (-4, 1) = (3 + 4, -2 - 1) = (7, -3)。

3. 向量e + f = (5, 2) + (-3, 6) = (5 - 3, 2 + 6) = (2, 8)。

4. 向量g - h = (7, -1) - (-2, 5) = (7 + 2, -1 - 5) = (9, -6)。

5. 向量i + j = (4, 0) + (0, 6) = (4 + 0, 0 + 6) = (4, 6)。

6. 向量k - l = (-3, 2) - (1, -4) = (-3 - 1, 2 - (-4)) = (-4, 6)。

平面向量的加减与数量积练习题一、向量的加减平面向量的加减是指根据向量的性质进行运算，可以将向量看作有方向和大小的箭头，通过对箭头进行平移和反转等操作进行运算。

1. 已知向量a = 2i + 3j，b = 4i - 5j，求a + b的结果。

解：将a和b的对应分量进行相加，得到：a +b = (2 + 4)i + (3 - 5)j = 6i - 2j2. 已知向量c = 6i - 7j，d = -3i + 2j，求c - d的结果。

解：将c和d的对应分量进行相减，得到：c -d = (6 - (-3))i + (-7 - 2)j = 9i - 9j二、数量积数量积也称为点积或内积，是将两个向量进行运算得到的结果，具体计算方式为将两个向量的对应分量相乘后相加。

3. 已知向量e = 3i + 4j，f = 2i - 5j，求e · f的结果。

解：将e和f的对应分量相乘后相加，得到：e ·f = (3 * 2) + (4 * (-5)) = 6 - 20 = -144. 已知向量g = 5i + 3j，h = -2i + 6j，求g · h的结果。

解：将g和h的对应分量相乘后相加，得到：g · h = (5 * (-2)) + (3 * 6) = -10 + 18 = 8三、练习题1. 已知向量m = 2i + j，n = 3i - 4j，求m + n的结果。

解：将m和n的对应分量进行相加，得到：m + n = (2 + 3)i + (1 - 4)j = 5i - 3j2. 已知向量p = 4i + 3j，q = -2i + 5j，求p - q的结果。

解：将p和q的对应分量进行相减，得到：p - q = (4 - (-2))i + (3 - 5)j = 6i - 2j3. 已知向量r = i - 2j，s = 3i + 4j，求r · s的结果。

解：将r和s的对应分量相乘后相加，得到：r · s = (1 * 3) + (-2 * 4) = 3 - 8 = -54. 已知向量t = 5i + 2j，u = -3i + 6j，求t · u的结果。

解析：由向量加法的三角形法则知 肚--：厂* W 故①正确.答案:Dc.PQ 高中数学第二章平面向量222向量减法运算及其几何意义课后习题新人教A 版必修41. （2016 •广东揭阳惠来一中检测 ）化简-空■■:的结果是（）A.0B.2丿C.-2JD.2 解析：根据平面向量的加法与减法运算法则 I I I I I II I,得BC + AB ― AC =(4艮 + )_沖£ = AC - AC =0.答案:A 2. Af 可以写成：①AO + 0C ；②山° - 0C ；③OA - 0C ；曲£ 一 0A .其中正确的是（） A.①②B.②③C.③④D.①④由向量减法的三角形法则知]AC = OC~OA,故④正确.3. （2016 •陕西渭南阶段性测试 IAB + BC |+| AB — AD1=(A.4B.2解析：T 正方形ABCD 勺边长为 1,答案:D4.如图，P, 0是厶ABC 勺边BC 上的两点，A.0B. BPD.）已知正方形 ABCD 勺边长为1,则|C.D.2I Ii i i r解析：眉B + AQ =（片E -ZP ）+（Kf -百Q ）字B += Q£-BP =o .答案:A 5.化简以下各式： I r I i i i .①AB + BC + CA ；②i4£? - AC 4- BD - CD ］；③百二 0D 、+ AD . 结果为零向量的个数是（ ）A.1B.2C.3D.0I IIII I解析：①：厂-；.-；「 J l"=0;I i i I i i I i ~~I I i T i②_ U 亠■":广-：：「=（■：'）-（■：■■（：）=」） -1.=0；III③0A-OD + AD =（0M + AD ）_OD = 0D- OD =0答案:C6. _______________________________________________________________________ 已知 °^=a, °^=b,若| °州=12, | °坷=5,且/ AOB=0° ,则 | a - b | 的值为 _________________________________答案:137.如图，在厶ABC 中 ,若D 是边BC 的中点，E 是边AB 上一点，II II II II I|解析:BE - DC + ED 二 BE + CD + ED = BE + ED + CD = BD + CD 因为BD 4- C D =° 所以 ；:;丄-厂 4 二 / '=0 答案:0B.2D.0 I E + BC + CA = AC + CA = AC~解析：OAOBAB 构成了一个直角三角形 J ab 2 = J122 + 52,则 | a - b |=13.B8.如图，已知O为平行四边形ABC□内一点，°A=a,°E=b,°C=c,贝2。

平面向量习题及答案平面向量习题及答案引言：平面向量是高中数学中的重要内容之一，它在几何、代数和物理等领域中都有广泛的应用。

通过解决平面向量习题，我们可以加深对平面向量的理解，提高解题能力。

本文将介绍几个常见的平面向量习题，并给出详细的解答过程。

一、向量的加法和减法1. 已知向量a=2i+3j，b=4i-5j，求a+b和a-b。

解答：a+b=(2+4)i+(3-5)j=6i-2ja-b=(2-4)i+(3+5)j=-2i+8j2. 已知向量a=3i+2j，b=-i+4j，求2a-3b。

解答：2a-3b=2(3i+2j)-3(-i+4j)=6i+4j+3i-12j=9i-8j二、向量的数量积和向量积1. 已知向量a=2i+3j，b=-i+4j，求a·b和|a×b|。

解答：a·b=(2)(-1)+(3)(4)=-2+12=10|a×b|=|(2)(4)-(3)(-1)|=|8+3|=112. 已知向量a=3i+2j，b=4i-5j，求a×b的模长和方向角。

解答：a×b=(3)(-5)-(2)(4)=-15-8=-23|a×b|=|-23|=23设a×b与x轴正向的夹角为θ，则cosθ=(4)/√(4^2+(-23)^2)=4/√545θ≈84.3°三、向量的共线与垂直1. 已知向量a=2i+3j，b=-4i-6j，判断a和b是否共线。

解答：若a和b共线，则存在实数k，使得a=kb。

2i+3j=k(-4i-6j)2i+3j=-4ki-6kj2=-4k，3=-6k解得k=-1/2所以，a和b共线。

2. 已知向量a=2i+3j，b=-4i-6j，判断a和b是否垂直。

解答：若a和b垂直，则a·b=0。

a·b=(2)(-4)+(3)(-6)=-8-18=-26-26≠0所以，a和b不垂直。

结论：通过解答上述平面向量习题，我们可以巩固向量的加法、减法、数量积、向量积等基本概念和运算规则。

专题6.2 平面向量的加法、减法、数乘运算知识储备一．向量加法的法则已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作AB＝a，BC＝b，则向量AC叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝AB＋BC＝AC.这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则.对于零向量与任意向量a，规定a＋0＝0＋a＝a以同一点O为起点的两个已知向量a，b为邻边作▱OACB，则以O为起点的对角线OC就是a与b的和.把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则有什么关系？【答案】(1)当向量a与b不共线时，a＋b的方向与a，b不同，且|a＋b|<|a|＋|b|.(2)当a与b同向时，a＋b，a，b同向，且|a＋b|＝|a|＋|b|.(3)当a与b反向时，若|a|>|b|，则a＋b的方向与a相同，且|a＋b|＝|a|－|b|；若|a|<|b|，则a＋b的方向与b相同，且|a＋b|＝|b|－|a|.二．向量的减法1.定义：向量a加上b的相反向量，叫做a与b的差，即a－b＝a＋(－b)，因此减去一个向量，相当于加上这个向量的相反向量，求两个向量差的运算，叫做向量的减法.2.几何意义：在平面内任取一点O，作OA＝a，OB＝b，则向量a－b＝BA，如图所示.3.文字叙述：如果把两个向量的起点放在一起，那么这两个向量的差是以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量.【思考】若a ，b 是不共线向量，|a ＋b |与|a －b |的几何意义分别是什么？【答案】如图所示，设OA ＝a ，OB ＝b .根据向量加法的平行四边形法则和向量减法的几何意义，有OC ＝a ＋b ，BA ＝a －b .因为四边形OACB 是平行四边形，所以|a ＋b |＝|OC |，|a －b |＝|BA |，分别是以OA ，OB 为邻边的平行四边形的两条对角线的长.三 向量数乘的定义实数λ与向量a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa ，其长度与方向规定如下：(1)|λa |＝|λ||a |.(2)λa (a ≠0)的方向⎪⎩⎪⎨⎧<>.00的方向相反时，与当的方向相同；时，与当a a λλ 特别地，当λ＝0时，λa ＝0.当λ＝－1时，(－1)a ＝－a .四 向量共线定理向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b ＝λa .【思考】向量共线定理中为什么规定a ≠0?【答案】若将条件a ≠0去掉，即当a ＝0时，显然a 与b 共线.(1)若b ≠0，则不存在实数λ，使b ＝λa .(2)若b ＝0，则对任意实数λ，都有b ＝λa .能力检测姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共16题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2020·江西高一期末（理））下列四式不能化简为AD 的是（ ）A ．MB AD BM +- B ．()()AD MB BC CM +++C ．()AB CD BC ++D ．OC OA CD -+【答案】A 【解析】对B ，()()AD MB BC CM AD MB BC CM AD +++=+++=，故B 正确； 对C ，()AB CD BC AB BC CD AD ++=++=，故C 正确；对D ，OC OA CD AC CD AD -+=+=，故D 正确；故选：A.2．（2021·北京市第四中学顺义分校高一期末）在平行四边形ABCD 中，设对角线AC 与BD 相交于点O ，则AB CB +=（ ）A ．2BOB ．2DOC ．BD D ．AC【答案】B 【解析】因为四边形ABCD 为平行四边形，故0AO CO +=，故22AB CB AO OB CO OB OB DO +=+++==，故选B.3．（2020·莆田第七中学高二期中）在五边形ABCDE中（如图），AB BC DC+-=（）A．AC B．AD C．BD D．BE【答案】B【解析】AB BC DC AB BC CD AD+-=++=.故选B4．（2020·全国高二单元测试）如图所示，已知空间四边形ABCD，连接AC，BD，M，G分别是BC，CD的中点，则AB＋12BC＋12BD等于（）A．AD B．GA C．AG D．MG 【答案】C【解析】∵四面体A-BCD中，M、G为BC、CD中点，∵12BC BM=，12BD MG=，∵1122AB BC BD AB BM MG AM MG AG ===+++++.故选C 5．（2021·江苏高一）八卦是中国文化中的哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形 ABCDEFGH ，其中1OA =，则给出下列结论：①0BF HF HD -+=；①2OA OC OF +=-；①AE FC GE AB +-=．其中正确的结论为（ ）A ．①①B ．①①C ．①①D ．①①①【答案】C 【解析】对于∵：因为BF HF HD BF FH HD BH HD BD -+=++=+=，故∵错误； 对于∵：因为3602908AOC ︒∠=⨯=︒，则以,OA OC 为邻边的平行四边形为正方形， 又因为OB 平分AOC ∠，所以22OA OC OB OF +==-，故∵正确；对于∵：因为AE FC GE AE FC G EG A FC +-=++=+，且FC GB =，所以AE FC GE AG GB AB +-=+=，故∵正确，故选：C.6．（2019·天津市南开区南大奥宇培训学校高三月考）如图，在四边形ABCD 中，设,,AB a AD b BC c ===，则DC =（ ）A ．a b c -++B ．a b c -+-C ．a b c ++D ．a b c -+【答案】D 【解析】由题意，在四边形ABCD 中，设,,AB a AD b BC c ===，根据向量的运算法则，可得DC DA AB BC b a c a b c =++=-++=-+.故选D.7．（2020·陕西宝鸡市·高三二模（文））点P 是ABC ∆所在平面内一点且PB PC AP +=，在ABC ∆内任取一点，则此点取自PBC ∆内的概率是（ ）A ．12B ．13C ．14D ．15【答案】B【解析】设D 是BC 中点，因为PB PC AP +=，所以2PD AP =，所以A 、P 、D 三点共线且点P 是线段AD 的三等分点， 故13PBC ABC S S ∆∆=，所以此点取自PBC ∆内的概率是13．故选B. 8．（2020·自贡市田家炳中学高二开学考试）P 是ABC 所在平面内一点，若CB PA PB λ=+，其中R λ∈，则P 点一定在（ ）A ．ABC 内部B ．AC 边所在直线上 C ．AB 边所在直线上D ．BC 边所在直线上【答案】B【解析】根据题意，CB PA PB CB PB PA CP PA λλλ=+⇔-=⇔=，∴点P 在AC 边所在直线上，故选B.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

平面向量专题训练知识点回顾1．向量的三种线性运算及运算的三种形式。

向量的加减法，实数与向量的乘积，两个向量的数量积都称为向量的线性运算，前两者的结果是向量，两个向量数量积的结果是数量。

每一种运算都可以有三种表现形式：图形、符号、坐标语言。

主要内容列表如下：运 算图形语言符号语言坐标语言加法与减法→--OA +→--OB =→--OC→--OB -→--OA =→--AB记→--OA =(x 1,y 1)，→--OB =(x 1,y 2) 则→--OA +→--OB =(x 1+x 2,y 1+y 2)AB OB --→=u u u r -→--OA =（x 2-x 1,y 2-y 1）→--OA +→--AB =→--OB实数与向量 的乘积→--AB =λ→aλ∈R记→a =(x,y) 则λ→a =(λx,λy)两个向量 的数量积→a ·→b =|→a ||→b | cos<→a ,→b >记→a =(x 1,y 1), →b =(x 2,y 2) 则→a ·→b =x 1x 2+y 1y 2（3）两个向量平行 ：设a =（x 1,y 1），b =(x 2,y 2)，则a ∥b ⇔a b λ=r r⇔x 1y 2-x 2y 1=0（4）两个向量垂直：设→a =(x 1,y 1), →b =(x 2,y 2)，则→a ⊥→b⇔a 0b •=r r ⇔x 1x 2+y 1y 2=0 课堂精练一、选择题1. 已知平面向量a =,1x （） ，b =2,x x （－）， 则向量+a b ( )A 平行于x 轴 B.平行于第一、三象限的角平分线C.平行于y 轴D.平行于第二、四象限的角平分线2. 已知向量(1,2)=a ，(2,3)=-b ．若向量c 满足()//+c a b ，()⊥+c a b ，则c =（ ） A ．77(,)93 B ．77(,)39-- C ．77(,)39 D ．77(,)93--ECBA 3.已知向量(1,0),(0,1),(),a b c ka b k R d a b ===+∈=-，如果//c d 那么 ( ) A ．1k =且c 与d 同向B ．1k =且c 与d 反向C ．1k =-且c 与d 同向D ．1k =-且c 与d 反向 4已知平面向量(11)(11)==-，，，a b ，则向量1322-=a b （ ） Ａ．(21)--， Ｂ．(21)-，Ｃ．(10)-，Ｄ．(12)，5.设P 是△ABC 所在平面内的一点，2BC BA BP +=u u u r u u u r u u u r，则（ ）A.0PA PB +=u u u r u u u r rB.0PC PA +=u u u r u u u r rC.0PB PC +=u u u r u u u r rD.0PA PB PC ++=u u u r u u u r u u u r r6.已知向量a = (2,1)，a ·b = 10，︱a + b ︱=b ︱=（ ） 7.设a 、b 、c 是单位向量，且a ·b ＝0，则()()a c bc -•-的最小值为( )A.2-2C.1-D.18已知向量(1)(1)n n ==-，，，a b ，若2-a b 与b 垂直，则=a（ ）A ．1BC ．2D ．49平面向量a 与b 的夹角为060，(2,0)a =，1b= 则2ab +=( )B.10.若向量a=（1，1），b=（-1,1），c=（4，2），则c=( )A.3a+bB. 3a-bC.-a+3bD. a+3b11.如图1， D ，E ，F 分别是∆ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，则 ( )A ．0AD BE CF ++=u u u r u u u r u u u r rB ．0BD CF DF -+=u u u r u u u r u u u r rC ．0AD CE CF +-=u u u r u u u r u u u r rD ．0BD BE FC --=u u u r u u u r u u u r r12.已知O 是ABC △所在平面内一点,D 为BC 边中点,且2OA OB OC ++=0u u u r u u u r u u u r，那么（ ）Ａ．AO OD =u u u r u u u rＢ．2AO OD =u u u r u u u rＣ．3AO OD =u u u r u u u rＤ．2AO OD =u u u r u u u r13.设非零向量a 、b 、c 满足c b a c b a =+==|,|||||，则>=<b a ,( )A ．150° B.120° C.60° D.30°14.已知()()3,2,1,0a b =-=-，向量a b λ+与2a b -垂直，则实数λ的值为( )A.17-B.17C.16-D.1615.已知1,6,()2==-=g a b a b a ，则向量a 与向量b 的夹角是（ ）A ．6πB ．4π C ．3π D ．2π16.已知向量(1,1),(2,),x ==a b 若a +b 与-4b 2a 平行，则实数x 的值是 （ ） A ．-2B ．0C ．1D ．217.在ABC △中，AB =u u u r c ，AC =u u u r b ．若点D 满足2BD DC =u u u r u u u r ，则AD =u u u r （ ）A ．2133+b cB ．5233-c bC ．2133-b c D ．1233+b c 18.在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，若(2,4)AB =u u u r ，(1,3)AC =u u u r ,则BD =u u u r （ ）A ． （－2，－4）B ．（－3，－5）C ．（3，5）D ．（2，4）19.设)2,1(-=,)4,3(-=,)2,3(=则=⋅+)2( （ ）A.(15,12)-B.0C.3-D.11- 二、填空题1.若向量a r ，b r 满足12a b ==r r ，且a r 与b r 的夹角为3π，则a b +=r r ．2.设向量(12)(23)==，，，a b ，若向量λ+a b 与向量(47)=--，c 共线，则=λ3.已知向量a 与b 的夹角为120o，且4==a b ，那么(2)+gb a b 的值为4.已知平面向量(2,4)a =r ，(1,2)b =-r ．若()c a a b b =-⋅r r r r r ，则||c =r____________．5.a r ，b r 的夹角为120︒，1a =r，3b =r 则5a b -=r r ．6.已知向量2411()()，，，a =b =．若向量()λ⊥b a +b ，则实数λ的值是7.若向量a 、b 满足b a b a 与,1==的夹角为120°，则b a b a ··+＝8.已知向量(3,1)a =r ，(1,3)b =r ， (,2)c k =r ，若()a c b -⊥r r r则k = ．9.已知向量(3,1)a =r ，(1,3)b =r ，(,7)c k =r ，若()a c -r r∥b r ，则k = ．10.在平面直角坐标系xoy 中，四边形ABCD 的边AB ∥DC,AD ∥BC,已知点A(－2，0)，B （6，8），C(8,6),则D 点的坐标为__________.平面向量专题训练答案：一选择题1 C2 D3 D 4Ｄ 5 B 6 C 7 D 8 Ｃ 9 B 10 B11 A 12 Ａ 13 B 14 A 15 C 16 D 17 A 18 B 19 C 二 填空题2 23 0 _4 285 76 -37 -18 09 5 10_（0，－2）。

九年级数学下册平面向量的加减法练习题在九年级数学下册中，平面向量的加减法是一个重要的知识点。

通过练习题的形式来巩固和提升对平面向量加减法的理解和应用能力，对学生的数学素养和解题能力的提升有着积极的作用。

下面将介绍一些平面向量的加减法练习题，以帮助学生更好地掌握这一知识点。

1. 已知平面向量$\overrightarrow{MN}=\begin{pmatrix} 2 \\ 3\end{pmatrix}$，$\overrightarrow{NP}=\begin{pmatrix} 1 \\ -2\end{pmatrix}$，求$\overrightarrow{MP}$。

解析：根据平面向量的加法定义，$\overrightarrow{MP}=\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{NP}=\begin {pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 1 \\ -2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2+1 \\ 3+(-2)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}$。

2. 已知平面向量$\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix} -1 \\ 2\end{pmatrix}$，$\overrightarrow{AC}=\begin{pmatrix} 3 \\ 4\end{pmatrix}$，求$\overrightarrow{BC}$的模长。

解析：根据平面向量的减法定义，$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3-(-1) \\ 4-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix}$。

数学必修二课后习题答案：平面向量的运算一、平面向量的加法和减法1. 设平面向量A=AA+AA，向量A=AA+AA，其中A、A、A、A为实数。

则A+A= (A+A)A+(A+A)A。

2. 同理，A-A=(A-A)A+(A-A)A。

二、平面向量的数量积1. 设平面向量A=AA+AA，向量A=AA+AA，其中A、A、A、A为实数。

则A·A=AA+AA，即数量积等于横纵坐标的乘积之和。

2. 若A·A=0，则A与A垂直（正交）。

三、平面向量的数量积与运算法则1. 数量积满足交换律，即A·A=A·A。

2. 数量积满足分配律，即A(A+A)=AA+AA。

四、平面向量的模1. 模表示向量的长度。

设平面向量A=AA+AA，其中A、A为实数。

则AAAAAAA|A|=√(A²+A²)。

五、平面向量的共线和向量的夹角1. 若存在实数A，使得A=AA，则向量A与A共线。

2. 两个非零向量A和A的夹角A满足A·A=|A||A|cos A。

六、平面向量的线性运算1. AA+AA+AA=0，其中A、A、A为实数，A、A、A为非零向量且不共线。

2. 若AA+AA+AA=AA，则该式称为平面向量的线性组合，其中A、A、A、A为实数，A、A、A、A为向量。

七、平面中点公式和向量的中点1. 平面上两点A(A₁,A₁)和A(A₂,A₂)的中点A(AA,AA)满足AA=(A₁+A₂)/2，AA=(A₁+A₂)/2。

2. 平面向量A=AA+AA的中点A满足A=(A/2)A+(A/2)A。

八、平面向量的线段分点公式1. 设平面上两点A(A₁,A₁)和A(A₂,A₂)，其中A∶A为实数比。

则在A、A线段上的一点A满足A(AA,AA)，其中AA=(AA₁+AA₂)/(A+A)，AA=(AA₁+AA₂)/(A+A)。

2. 设线段AA上有点A，且AA∶AA=A∶A。

则向量AA=A/A*AA。

1．下列说法正确的是( )A ．若|a |＝|b |，则a ∥bB ．零向量的长度是0C ．长度相等的向量叫相等向量D ．共线向量是在同一条直线上的向量解析：选B 当|a |＝|b |时，由于a ，b 方向是任意的，a ∥b 未必成立，所以A 错误；因为零向量的长度是0，所以B 正确；因为长度相等的向量方向不一定相同，所以C 错误；因为共线向量不一定在同一条直线上，所以D 错误．故选B.2.(多选)如图，在正六边形ABCDEF 中，点O 为其中心，则下列判断正确的是( )A ．AB ―→＝OC ―→ B ．AB ―→∥DE ―→ C ．|AD ―→|＝|BE ―→| D ． AD ―→＝FC ―→解析：选ABC 由题图可知，|AD ―→|＝|FC ―→|，但AD ―→，FC ―→的方向不同，故AD ―→≠FC ―→，D 不正确，其余均正确，故选A 、B 、C. 3．(多选)下列四个条件能使a ∥b 成立的条件是( ) A ．a ＝bB ．|a |＝|b |C ．a 与b 方向相反D ．|a |＝0或|b |＝0解析：选ACD 因为a 与b 为相等向量，所以a ∥b ，即A 能够使a ∥b 成立；由于|a |＝|b |并没有确定a 与b 的方向，即B 不能够使a ∥b 成立；因为a 与b 方向相反时，a ∥b ，即C 能够使a ∥b 成立；因为零向量与任意向量共线，所以|a |＝0或|b |＝0时，a ∥b 能够成立．故使a ∥b 成立的条件是A 、C 、D.4．(多选)对于任意一个四边形ABCD ，下列式子能化简为BC ―→的是( )A ．BA ―→＋AD ―→＋DC ―→B ．BD ―→＋DA ―→＋AC ―→ C ．AB ―→＋BD ―→＋DC ―→D ．DC ―→＋BA ―→＋AD ―→解析：选ABD 在A 中，BA ―→＋AD ―→＋DC ―→＝BD ―→＋DC ―→＝BC ―→；在B 中，BD ―→＋DA ―→＋AC ―→＝BA ―→＋AC ―→＝BC ―→；在C 中，AB ―→＋BD ―→＋DC ―→＝AD ―→＋DC ―→＝AC ―→；在D 中，DC―→＋BA ―→＋AD ―→＝DC ―→＋BD ―→＝BD ―→＋DC ―→＝BC ―→.5.如图，四边形ABCD 是梯形，AD ∥BC ，对角线AC 与BD 相交于点O ，则OA ―→＋BC ―→＋AB ―→＋DO ―→＝( )A ．CD ―→B ．DC ―→C ．DA ―→D ．DO ―→解析：选B OA ―→＋BC ―→＋AB ―→＋DO ―→＝DO ―→＋OA ―→＋AB ―→＋BC ―→＝DA ―→＋AB ―→＋BC ―→＝DB ―→＋BC ―→＝DC ―→.6．如图，在平行四边形ABCD 中，AD ―→＋AB ―→＝________，AD ―→＋DC ―→＝________，AC ―→＋BA ―→＝________.解析：利用三角形法则和平行四边形法则求解． 答案：AC ―→ AC ―→ BC ―→ (或AD ―→)7．在矩形ABCD 中，|AB ―→|＝4，|BC ―→|＝2，则向量AB ―→＋AD ―→＋AC ―→的长度为________．解析：因为AB ―→＋AD ―→＝AC ―→，所以AB ―→＋AD ―→＋AC ―→的长度为AC ―→的模的2倍．又|AC ―→|＝42＋22＝25，所以向量AB ―→＋AD ―→＋AC ―→的长度为4 5. 答案：458.如图所示，四边形ABCD 与四边形ABDE 是平行四边形． (1)找出与向量AB ―→共线的向量； (2)找出与向量AB ―→相等的向量．解：(1)依据图形可知，DC ―→，ED ―→，与AB ―→方向相同，BA ―→ CD ―→，DE ―→，CE ―→与AB ―→方向相反，所以与向量AB ―→共线的向量为BA ―→，DC ―→，CD ―→，ED ―→，DE ―→，CE ―→.(2)由四边形ABCD 与四边形ABDE 是平行四边形，知DC ―→，ED ―→与AB ―→长度相等且方向相同，所以与向量AB ―→相等的向量为DC ―→和ED ―→.9．若向量a ，b 满足|a |＝8，|b |＝12，则|a ＋b |的最小值是________．解析：由向量的三角形不等式，知|a ＋b |≥|b |－|a |，当且仅当a 与b 反向，且|b |≥|a |时，等号成立，故|a ＋b |的最小值为4. 答案：410．如图，在△ABC 中，若D 是边BC 的中点，E 是边AB 上一点，则BE ―→－DC ―→＋ED ―→＝________.解析：BE ―→－CD ―→＋ED ―→＝BE ―→＋ED ―→＋CD ―→＝BD ―→＋CD ―→.因为BD ―→＋CD ―→ ＝0，所以BE ―→－DC ―→＋ED ―→＝0. 答案：011.(多选)如图，在平行四边形ABCD 中，下列结论中正确的是 ( )A ．AB ―→＝DC ―→ B ．AD ―→＋AB ―→＝AC ―→ C ．AB ―→－AD ―→＝BD ―→ D ．AD ―→＋CB ―→＝0解析：选ABD 结合图形可知，A 、B 、D 显然正确．由于AB ―→－AD ―→＝DB ―→，故C 项错．12．已知向量a 与b 反向，则下列等式成立的是( )A ．|a |＋|b |＝|a －b |B ．|a |－|b |＝|a －b |C ．|a ＋b |＝|a －b |D ．|a |＋|b |＝|a ＋b |解析：选A 如图，作AB ―→＝a ，BC ―→＝－b ，易知选A.13.如图，在四边形ABCD 中，设AB ―→＝a ，AD ―→＝b ，BC ―→＝c ，则DC ―→＝( )A ．a －b ＋cB ．b －(a ＋c )C ．a ＋b ＋cD ．b －a ＋c解析：选A DC ―→＝DA ―→＋AB ―→＋BC ―→＝AB ―→－AD ―→＋BC ―→＝a －b ＋c . 14．(多选)下列结果为零向量的是( )A ．AB ―→－(BC ―→＋CA ―→) B ．AB ―→－AC ―→＋BD ―→－CD ―→ C ．OA ―→－OD ―→＋AD ―→D ．NO ―→＋OP ―→＋MN ―→－MP ―→解析：选BCD A 项，AB ―→－(BC ―→＋CA ―→)＝AB ―→－BA ―→＝2AB ―→；B 项，AB ―→－AC ―→＋BD ―→－CD ―→＝CB ―→＋BC ―→＝0；C 项，OA ―→－OD ―→＋AD ―→＝DA ―→＋AD ―→＝0；D 项， NO ―→＋OP ―→＋MN ―→－MP ―→＝NP ―→＋PN ―→＝0.故选B 、C 、D.15．已知O 是平面上一点，OA ―→＝a ，OB ―→＝b ，OC ―→＝c ，OD ―→＝d ，且四边形ABCD 为平行四边形，则( )A ．a ＋b ＋c ＋d ＝0B ．a －b ＋c －d ＝0C ．a ＋b －c －d ＝0D ．a －b －c ＋d ＝0解析：选B 易知OB ―→－OA ―→＝AB ―→，OC ―→－OD ―→＝DC ―→，而在平行四边形ABCD 中有AB ―→＝DC ―→，所以OB ―→－OA ―→＝OC ―→－OD ―→，即b －a ＝c －d ，也即a －b ＋c －d ＝0.故选B. 16.如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC 与BD 交于O 点，则BA ―→－ BC ―→－OA ―→＋OD ―→＋DA ―→＝________.解析：由题图知BA ―→－BC ―→－OA ―→＋OD ―→＋DA ―→＝CA ―→－OA ―→＋OA ―→＝CA ―→. 答案：CA ―→17．若a ，b 为相反向量，且|a |＝1，|b |＝1，则|a ＋b |＝________，|a －b |＝________.解析：若a ，b 为相反向量，则a ＋b ＝0，∴|a ＋b |＝0. 又a ＝－b ，∴|a |＝|－b |＝1.∵a 与b 共线，∴|a －b |＝2. 答案：0 2。

第六章 6.2 6.2.2A 级——基础过关练1．(多选)如图,在平行四边形ABCD 中,下列结论正确的是( )A ．AB →＝DC → B ．AD →＋AB →＝AC → C ．AB →－AD →＝BD → D ．AD →＋CB →＝0【答案】ABD【解析】A 项显然正确；由平行四边形法则知B 正确；C 项中AB →－AD →＝DB →,故C 错误；D 项中AD →＋CB →＝AD →＋DA →＝0.故选ABD ．2．(2021年宜宾模拟)在△ABC 中,BC →＝a ,CA →＝b ,则AB →等于( ) A ．a ＋b B ．－a ＋(－b ) C ．a －b D ．b －a 【答案】B【解析】如图,∵BA →＝BC →＋CA →＝a ＋b ,∴AB →＝－BA →＝－a －b .3．(2021年长春月考)已知非零向量a 与b 同向,则a －b ( ) A ．必定与a 同向 B ．必定与b 同向 C ．必定与a 是平行向量 D ．与b 不可能是平行向量【答案】C【解析】a －b 必定与a 是平行向量．4．(2021年广州月考)(多选)下列各式中能化简为AD →的是( ) A ．(AB →－DC →)－CB → B ．AD →－(CD →＋DC →) C ．－(CB →＋MC →)－(DA →＋BM →) D ．－BM →－DA →＋MB → 【答案】ABC【解析】选项A 中,(AB →－DC →)－CB →＝AB →＋CD →＋BC →＝AB →＋BC →＋CD →＝AD →；选项B 中,AD →－(CD →＋DC →)＝AD →－0＝AD →；选项C 中,－(CB →＋MC →)－(DA →＋BM →)＝－CB →－MC →－DA →－BM →＝BC →＋CM →＋AD →＋MB→＝(MB →＋BC →＋CM →)＋AD →＝AD →；选项D 中,－BM →－DA →＋MB →＝MB →＋AD →＋MB →＝2MB →＋AD →.5．若|AB →|＝8,|AC →|＝5,则|BC →|的取值范围是( ) A ．[3,8] B ．(3,8) C ．[3,13] D ．(3,13)【答案】C【解析】由于BC →＝AC →－AB →,则有|AB →|－|AC →|≤|BC →|≤|AB →|＋|AC →|,即3≤|BC →|≤13. 6．若非零向量a 与b 互为相反向量,给出下列结论：①a ∥b ；②a ≠b ；③|a |≠|b |；④b ＝－a .其中所有正确命题的序号为________． 【答案】①②④【解析】非零向量a ,b 互为相反向量时,模一定相等,因此③不正确．7．若a ,b 为相反向量,且|a |＝1,|b |＝1,则|a ＋b |＝________,|a －b |＝________． 【答案】0 2【解析】若a ,b 为相反向量,则a ＋b ＝0,所以|a ＋b |＝0.又a ＝－b ,所以|a |＝|－b |＝1.因为a 与－b 共线,所以|a －b |＝2.8．如图,已知向量a 和向量b ,用三角形法则作出a －b ＋a .解：如图所示,作向量OA →＝a ,向量OB →＝b ,则向量BA →＝a －b ；作向量AC →＝a ,则BC →＝a －b ＋a .9．如图,已知OA →＝a ,OB →＝b ,OC →＝c ,OD →＝d ,OF →＝f ,试用a ,b ,c ,d ,f 表示以下向量： AC →,AD →,AD →－AB →,AB →＋CF →,BF →－BD →.解：AC →＝OC →－OA →＝c －a . AD →＝AO →＋OD →＝OD →－OA →＝d －a . AD →－AB →＝BD →＝OD →－OB →＝d －b .AB →＋CF →＝OB →－OA →＋OF →－OC →＝b －a ＋f －c . BF →－BD →＝OF →－OB →－(OD →－OB →)＝OF →－OD →＝f －d .10．(2021年信阳月考)如图所示,四边形ACDE 是平行四边形,B 是该平行四边形内一点,且AB →＝a ,AC →＝b ,AE →＝c ,试用向量a ,b ,c 表示向量CD →,BC →,BD →.解：因为四边形ACDE 是平行四边形,所以CD →＝AE →＝c ,BC →＝AC →－AB →＝b －a ,BD →＝BC →＋CD →＝b －a ＋c .B 级——能力提升练11．(2021年咸阳月考)(多选)对于菱形ABCD ,下列各式正确的是( ) A ．AB →＝BC →B ．|AB →|＝|BC →| C ．|AB →－CD →|＝|AD →＋BC →| D ．|AD →＋CD →|＝|CD →－CB →|【答案】BCD【解析】菱形ABCD 中,如图,|AB →|＝|BC →|,∴B 正确．又|AB →－CD →|＝|AB →＋DC →|＝|AB →＋AB →|＝2|AB →|,|AD →＋BC →|＝|AD →＋AD →|＝2|AD →|＝2|AB →|,∴C 正确；又|AD →＋CD →|＝|DA →＋DC →|＝|DB →|,|CD →－CB →|＝|BD →|＝|DB →|,∴D 正确；A 肯定错误,故选BCD ．12．平面内有四边形ABCD 和点O ,若OA →＋OC →＝OB →＋OD →,则四边形ABCD 的形状是( ) A ．梯形 B ．平行四边形 C ．矩形 D ．菱形【答案】B【解析】因为OA →＋OC →＝OB →＋OD →,所以OA →－OB →＝OD →－OC →,即BA →＝CD →.所以AB 綉CD ．故四边形ABCD 是平行四边形．13．平面上有一个△ABC 和一点O ,设OA →＝a ,OB →＝b ,OC →＝c .又OA →,BC →的中点分别为D ,E ,则向量DE →等于( )A ．12(a ＋b ＋c ) B ．12(－a ＋b ＋c ) C ．12(a －b ＋c ) D ．12(a ＋b －c ) 【答案】B【解析】DE →＝DO →＋OE →＝－12a ＋12(b ＋c )＝12(－a ＋b ＋c )．14．如图,在正六边形ABCDEF 中,与OA →－OC →＋CD →相等的向量有________．①CF →；②AD →；③DA →；④BE →；⑤CE →＋BC →；⑥CA →－CD →；⑦AB →＋AE →. 【答案】①【解析】OA →－OC →＋CD →＝CA →＋CD →＝CF →；CE →＋BC →＝BC →＋CE →＝BE →≠CF →；CA →－CD →＝DA →≠CF →；AB →＋AE →＝AD →≠CF →.15．已知|a |＝7,|b |＝2,且a ∥b ,则|a －b |的值为________． 【答案】5或9【解析】当a 与b 方向相同时,|a －b |＝||a |－|b ||＝7－2＝5；当a 与b 方向相反时,|a －b |＝|a |＋|b |＝7＋2＝9.16．如图所示,点O 是四边形ABCD 内任一点,试根据图中给出的向量,确定a ,b ,c ,d 的方向(用箭头表示),使a ＋b ＝BA →,c －d ＝DC →,并画出b －c 和a ＋d .解：因为a ＋b ＝BA →,c －d ＝DC →,所以a ＝OA →,b ＝BO →,c ＝OC →,d ＝OD →.如图所示,作平行四边形OBEC ,平行四边形ODFA ．根据平行四边形法则可得,b －c ＝EO →,a ＋d ＝OF →.17．如图所示,O 是平行四边形ABCD 的对角线AC ,BD 的交点,若AB →＝a ,DA →＝b ,OC →＝c ,试证明：b ＋c －a ＝OA →.证明：(方法一)因为b ＋c ＝DA →＋OC →＝OC →＋CB →＝OB →,OA →＋a ＝OA →＋AB →＝OB →,所以b ＋c ＝OA →＋a ,即b ＋c －a ＝OA →.(方法二)OA →＝OC →＋CA →＝OC →＋CB →＋CD →＝c ＋DA →＋BA →＝b ＋c －AB →＝b ＋c －a .(方法三)因为c －a ＝OC →－AB →＝OC →－DC →＝OC →＋CD →＝OD →＝OA →＋AD →＝OA →－DA →＝OA →－b ,所以b＋c －a ＝OA →.C 级——探索创新练18．(2021年上海月考)如图,在□ABCD 中,AB →＝a ,AD →＝b . (1)用a ,b 表示AC →,DB →；(2)当a ,b 满足什么条件时,a ＋b 与a －b 所在直线互相垂直？ (3)当a ,b 满足什么条件时,|a ＋b |＝|a －b |? (4)a ＋b 与a －b 有可能为相等向量吗？为什么？解：(1)AC →＝AB →＋AD →＝a ＋b ,DB →＝AB →－AD →＝a －b . (2)由(1)知a ＋b ＝AC →,a －b ＝DB →.∵a ＋b 与a －b 所在直线互相垂直,∴AC ⊥BD ． 又四边形ABCD 为平行四边形,∴四边形ABCD 为菱形,即a ,b 应满足|a |＝|b |. (3)|a ＋b |＝|a －b |,即|AC →|＝|DB →|. ∵矩形的两条对角线相等,∴当a 与b 所在直线互相垂直,即AD ⊥AB 时,满足|a ＋b |＝|a －b |.(4)不可能．因为□ABCD 的两条对角线不可能平行,所以a ＋b 与a －b 不可能为共线向量,更不可能为相等向量．。

6.2.1向量的加法运算课后训练巩固提升一、A组1.在四边形ABCD中,,则四边形ABCD是 ()A.梯形B.矩形C.正方形D.平行四边形解析:由平行四边形法则可得,四边形ABCD是以AB,AD为邻边的平行四边形.答案:D2.已知向量a∥b,且|a|>|b|>0,则向量a+b的方向()A.与向量a方向相同B.与向量a方向相反C.与向量b方向相同D.不确定解析:如果a和b方向相同,那么它们的和的方向应该与a(或b)的方向相同;如果它们的方向相反,已知a的模大于b的模,那么它们的和的方向与a的方向相同.答案:A3.如图所示,四边形ABCD是梯形,AD∥BC,AC与BD交于点O,则等于()A B C D解析:答案:B4.在平行四边形ABCD中,若||=||,则四边形ABCD是()A.菱形B.矩形C.正方形D.不确定解析:∵||=||,||=||=||,∴||=||,∴四边形ABCD是矩形.答案:B5.(多选题)下列向量的运算结果为零向量的是()A BC D解析:A项,=0;B项,;C项,=()+()==0;D项,=()+()==0.答案:ACD6.若a表示“向东走8 km”,b表示“向北走8 km”,则|a+b|= ,a+b的方向是.解析:如图所示,作=a,=b,因为a+b=,所以|a+b|=||==8(km),因为∠AOB=45°,所以a+b的方向是东北方向.答案:8 km东北方向7.根据图示填空,其中a=,b=,c=,d=(1)a+b+c= ;(2)b+d+c= .解析:(1)a+b+c=(2)b+d+c=答案:(1)(2)8.若在△ABC中,=a,=b,且|a|=|b|=1,|a+b|=,则△ABC的形状是. 解析:因为||=|a|=1,||=|b|=1,||=|a+b|=,所以△ABC为等腰直角三角形.答案:等腰直角三角形9.如图,请在图中直接标出:(1);(2)解:如图所示,(1)向量等于(2)向量等于10.已知||=|a|=3,||=|b|=3,∠AOB=60°,求|a+b|.解:如图,∵||=||=3,∴以OA,OB为邻边所作的▱OACB为菱形.连接OC,AB,则OC⊥AB,设垂足为点D.∵∠AOB=60°,∴AB=||=3,∴在Rt△OBD中,OD=,∴||=|a+b|=2=3二、B组1.已知四边形ABCD为菱形,则下列等式成立的是()A BC D解析:因为四边形ABCD是菱形,所以,故C项正确.答案:C2.在矩形ABCD中,||=4,||=2,则向量的长度等于()A.2B.4C.12D.6解析:因为,所以的长度为的模的2倍.又||==2,所以向量的长度为4答案:B3.已知P为△ABC所在平面内一点,当成立时,点P位于()A.△ABC的AB边上B.△ABC的BC边上C.△ABC的内部D.△ABC的外部解析:如图,,则点P在△ABC的外部.答案:D4.(多选题)设a=()+(),b是任一非零向量,则下列结论正确的是()A.a∥bB.a+b=bC.|a+b|<|a|+|b|D.|a+b|=|a|+|b|解析:∵a=()+()==0,且b为任一非零向量,∴A,B,D均正确.答案:ABD5.如图,已知电线AO与天花板的夹角为60°,电线AO所受拉力|F1|=24 N.绳BO与墙壁垂直,所受拉力|F2|=12 N,则F1与F2的合力大小为,方向为.解析:如图,以OA,OB为邻边作平行四边形BOAC,则F1+F2=F,即.∵在Rt△OAC中,∠OAC=60°,||=24,||=||=12,∴∠ACO=90°,∴||=12,∴F1与F2的合力大小为12N,方向为竖直向上.答案:12 N竖直向上6.设P为▱ABCD所在平面内一点,则:;;其中成立的为.(填序号)解析:以PA,PC为邻边作平行四边形PAEC,则PE与AC交于AC的中点O,同样以PB,PD为邻边作平行四边形PBFD,对角线BD与PF交于BD的中点O',因为O与O'重合,所以答案:②7.如图,在△ABC中,O为重心,D,E,F分别是BC,AC,AB的中点,化简下列式子:(1);(2);(3)解:(1)(2)=()+(3)∵F,E,D分别是AB,AC,BC的中点,,8.如图所示,P,Q是△ABC的边BC上两点,且BP=QC.求证:证明:,大小相等,方向相反,=0,+0=。

数学《平面向量》复习卷一、填空题1、向量的两个要素是： 和 。

2、A 、B 、C 是⊙O 上的三点，则向量OA 、OB 、OC 的关系是 .3、下列命题：①若两个向量相等则起点相同，终点相同；②若AB =DC ，则ABCD 是平行四边形；③若ABCD 是平行四边形，则AB =DC ； ④a =b ，b =c 则a =c ；其中正确的序号是 .4、如图所示，四边形ABCD 与ABDE 都是平行四边形，则 ①与向量AB 平行的向量有 ； ②若｜AB ｜=1.5,则｜CE ｜= .5、 如图，四边形ABCD 与ABDE 都是平行四边形 ①与向量AB 相等的向量有 ；②若|AB |=3，则向量EC 的模等于 。

6、已知正方形ABCD 的边长为1，AB =a ,AC =c , BC =b ,则｜a +b +c ｜为7、在四边形ABCD 中，AC =AB +AD ，则ABCD 是 形。

8、化简(AB -CD )+(BE -DE )的结果是 。

9、化简：OM -ON +MN .10、一架飞机向西飞行100km,然后改变方向向南飞行100km,飞机两次位移的和为 。

二、选择题1、在四边形ABCD 中，AB ＝DC ，且｜AB ｜＝｜BC ｜，那么四边形ABCD 为( ) A ．平行四边形 B ．菱形 C ．长方形 D ．正方形2、等腰梯形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点P ，点E 、F 分别在两腰AD 、BC 上，EF 过点P 且EF ∥AB ，则下列等式正确的是 （ ） A.AD =BC B.AC =BD C.PE =PF D.EP =PF3. 四边形ABCD 中，若向量AB 与CD 是平行向量，则四边形ABCD ( ) A.是平行四边形 B.是梯形C.是平行四边形或梯形D.不是平行四边形，也不是梯形4、D 、E 、F 分别是△ABC 三边AB 、BC 、CA 的中点，则下列等式不成立的是( )A.FD + DA ＝FAB. FD +DE +EF ＝0C. DE +DA ＝ECD. DA +DE ＝DFECAB5、设b是a的相反向量，则下列说法错误的是( )A. a与b的长度必相等B. a∥bC. a与b一定不相等D. a是b的相反向量6、下列四式不能化简为AD的是( )A.( AB+CD)+ BCB.( AD+MB)+( BC+CM)C. MB+AD-BMD. OC-OA+CD7、□ABCD中，BC -CD+BA等于( )A. BCB. DAC. ABD. AC8、已知一点O到平行四边形ABCD的3个顶点A、B、C的向量分别为a、b、c，则向量OD等于（）A.a+b+cB.a-b+cC.a+b-cD.a-b-c9、已知平行四边形ABCD，O为平面上任意一点.设OA=a，OB=b，OC=c，OD=d，则（）A.a+b+c+d=0 B.a-b+c-d=0C.a+b-c-d=0D.a-b-c+d=010、化简下列各式：①AB+BC+CA；②AB-AC+BD-CD；③OA-OD+AD；④NQ+QP+MN-MP.结果为零向量的个数是（）A.1B.2C.3D.411、下列说法不正确的是（）A.零向量是没有方向的向量B.零向量的方向是任意的C.零向量与任一向量平行D.零向量只能与零向量相等三、解答题1.如图：1已知a、b、c、d，求作向量a b、c d。

张家港市二职中曹文华课题：平面向量的加减运算（习题课）一、选择题：1 ．以下说法中正确的选项是( )Av v v v v v v． a 与 b 的和 a b 与 a 同向、长度等于 a 与 b 的长度之和Bv v v v v v v． a 与 b 的差 a b 与 a 同向、长度等于 a 与 b 的长度之差Cv v v v v v v．当 a 与 b 同向时， a b 与 a 同向、长度等于 a 与 b 长度之和v v v v v v vD．当a与b反向时，a b 与 a 同向、长度等于 a 与 b 的长度之差2 ．已知四边形 ABCD是平行四边形，那么以下等式中恒建立的是( )uuuv uuuv uuuv A．AC DC BCuuuv uuuv uuuv B．AC DC ADuuuv uuuv uuuv C．AC CB BA Duuuv uuuv uuuv ． AC AB AD3 ．已知点 A、B 的坐标分别为 (2 ，-1) 和 (-1 ，1)v v uuuv，则用基底 i 、 j 表示的向量 AB 是( ) v v v v v-2v v vA． 2 i - j B ． - i + j C ． 3 i j D ． -3 i +2 j4uuuv uuuv uuuv) ．已知 AB (3 ，1)，AC (-1 ，2) ，则CB = (A ．(4，-1)B ．(-4 ，1)C ．(2 ，3)D ．(4，1)5uuuv v v uuuv v v( ) ．若向量 OA 2i j ， AB 3i 2 j ，则点B的坐标为A ．(1，-1)B ． (5 ，-3)C ．(-1 ， 1)D ．(3 ， -2)6uuuv uv uuuv v uuuv) ．在平行四边形ABCD中，ABm ，AD n ，则 AO 等于(A ．1 uv vB ．1 uv vC ．1 v uvD ．1 uv v 2(m n) (m n)2(n m)2(m n)27v v(-1 ， 2) ，则v v( ) ．若 a (3 ， -1) ，b 3a 2b 的坐标是A ．(7，1)B ． (-7 ，-1)C ．(-7 ， 1)D ．(7 ， -1)1张家港市二职中曹文华v v v v( x, v v v v)8 ．若c 2i j ， a 1) ， b ( 2, y) ，且 c 2a b ，则 x 和y的值分别是(A．x 2, y 3 B ．x 2, y 3 C． x 0, y 0 D． x 2, y 19.以下各组的两个向量，平行的是r( 2,3) r(4,6)Br(1, 2)r(7,14)A．a ， b ． a ， br r(3, 2) r( 3,2)r(6, 4)C．a (2,3) ， b D．a ， b10. 若平行四边形的 3 个极点分别是（4， 2），（5， 7），（ 3， 4），则第 4 个极点的坐标不行能是（）A．（ 12， 5）B．（-2，9）C．（3，7）D．（-4，-1）二、填空题1uv v uv v______ ，．已知 m (2 ， 3) ，n (-1 ， o) ，则4m 2n2uuuv uuuv uuuv．若 AB =(2，-1)， AC =( — 4，1) ，则BC =__________；uv 1v2m n ______；2uuuvuuuv3 ．已知OA =(3 ，1)，ABuuuv＝ (-2 ， -3) ，则直线OC的方程为 ____________；4.已知 M (3, 2) ， N ( 1,0) ，则线段 MN 的中点 P 的坐标是________；uuur5. 已知A(7,8)，B(3,5)，则向量AB 方向上的单位向量坐标是________。

6.3.3 平面向量的加、减运算的坐标表示一、选择题1.已知向量()()2,1,3,4a b ==-,则a b +=（ ） A ．()6,3- B ．()8,3- C ．()5,1- D ．()1,5-【答案】D【解析】因为向量()()2,1,3,4==-a b ,所以()()()2,13,41,5+=+-=-a b . 本题选择D 选项.2.（2019·全国高一课时练习）如果用,i j r r分别表示x 轴和y 轴方向上的单位向量，且()()2,3,4,2A B ，那么AB u u u r可以表示为（ ）A ．23i j +r rB ．42i j +v vC ．2i j -v vD ．2i j -+v v【答案】C【解析】记O 为坐标原点，则23,42OA i j OB i j =+=+u u u r r r u u u r r r ，所以2AB OB OA i j =-=-u u u r u u u r u u u r r r，故选C.3.在平行四边形中，为一条对角线．若，，则等于( )A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 ∵，∴，∴，故选B.4.（2019·全国高一课时练习）已知四边形ABCD 为平行四边形，其中()()()5,1,1,7,1,2A B C --，则顶点D 的坐标为（ ） A ．()7,6- B ．()7,6C ．()6,7D ．()7,6-【答案】D【解析】设D 的坐标为(),x y ，∵()()()5,1,1,7,1,2A B C --，∴()5,1AD x y =-+u u u r ，()2,5BC =-u u u r ，∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AD BC =u u u r u u u r ，,∴5215x y -=⎧⎨+=-⎩，解得7x =，6y =-，即D 的坐标为()7,6-，故选D.5.（多选题）若向量)33.12(2-+-=x x a 与向量AB 相等，且)4,2(),3,1(B A ，则x a ,的值为（ ）A.1,1==x aB.1,1=-=x aC.4,1-==x aD.4,1-=-=x a 【答案】AC【解析】由)4,2(),3,1(B A 得），11(=，则⎩⎨⎧=-+=-1331122x x a ，解得⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧==4111x a x a 或，故选AC 。

6.2 平面向量的运算6.2.2 向量的减法运算课后·训练提升 基础巩固1.在平行四边形ABCD 中,下列结论错误的是( ) A.AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0 B.AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ C.AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =BD ⃗⃗⃗⃗⃗ D.AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB⃗⃗⃗⃗⃗ =0 答案:C解析:因为四边形ABCD 是平行四边形,所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =DB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,故只有C 中结论错误. 2.在△ABC 中,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =b,则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 等于( ) A.a+b B.-a+(-b) C.a-b D.b-a答案:B解析:如图,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =-CA⃗⃗⃗⃗⃗ +(-BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=-b-a.3.已知O,A,B,C 是4×4方格纸(小正方形的边长为1)上不同的4个格点,O,A 的位置如图所示.若BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向相反,则满足条件的点B,C 共有( )组.A.9B.10C.11D.12答案:D4.(多选题)下列各式中能化简为AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 的是( ) A.(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −DC ⃗⃗⃗⃗⃗ )-CB ⃗⃗⃗⃗⃗ B.AD ⃗⃗⃗⃗⃗ -(CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DC⃗⃗⃗⃗⃗ ) C.-(CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )-(DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) D.-BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 答案:ABC解析:选项A 中,(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −DC ⃗⃗⃗⃗⃗ )-CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ;选项B 中,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ -(CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AD ⃗⃗⃗⃗⃗ -0=AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ;选项C 中,-(CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )-(DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=-CB ⃗⃗⃗⃗⃗ −MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −DA ⃗⃗⃗⃗⃗ −BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(MB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )+AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ;选项D 中,-BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ . 5.(多选题)若a,b 为非零向量,则下列结论正确的是( ) A.若|a|+|b|=|a+b|,则a 与b 方向相同 B.若|a|+|b|=|a-b|,则a 与b 方向相反 C.若|a|+|b|=|a-b|,则|a|=|b|D.若||a|-|b||=|a-b|,则a 与b 方向相同答案:ABD解析:对于选项A,若|a|+|b|=|a+b|,则a 与b 方向相同,结论正确;对于选项B,若|a|+|b|=|a-b|,则a 与b 方向相反,结论正确;对于选项C,若|a|+|b|=|a-b|,则a 与b 方向相反,但a 与b 的模不一定相等,结论错误;对于选项D,若||a|-|b||=|a-b|,则a 与b 方向相同,结论正确. 6.如图,在四边形ABCD 中,设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =b,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c,则DC⃗⃗⃗⃗⃗ 等于( )A.a-b+cB.b-(a+c)C.a+b+cD.b-a+c 答案:A解析:由题意可知,DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-b+a+c.故选A. 7.如图,在△ABC 中,若D 是边BC 的中点,E 是边AB 上一点,则BE ⃗⃗⃗⃗⃗ −DC ⃗⃗⃗⃗⃗ +ED⃗⃗⃗⃗⃗ = .答案:0解析:因为D 是边BC 的中点,所以BE ⃗⃗⃗⃗⃗ −DC ⃗⃗⃗⃗⃗ +ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =BE ⃗⃗⃗⃗⃗ +ED ⃗⃗⃗⃗⃗ −DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =BD ⃗⃗⃗⃗⃗ −DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0. 8.已知OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b,若|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=12,|OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=5,且∠AOB=90°,则|a-b|= . 答案:13解析:∵|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=12,|OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=5,∠AOB=90°,∴|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2,∴|AB⃗⃗⃗⃗⃗ |=13. ∵OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b,∴a-b=OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴|a-b|=|BA⃗⃗⃗⃗⃗ |=13. 9.设点M 是线段BC 的中点,点A 在直线BC 外,且|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=4,|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |,则|AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |= . 答案:2解析:以AB,AC 为邻边作平行四边形ACDB(图略),由向量加减法几何意义可知,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ . ∵|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |, ∴|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|CB⃗⃗⃗⃗⃗ |. 又|BC⃗⃗⃗⃗⃗ |=4,M 是线段BC 的中点, ∴|AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=12|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=12|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2. 10.如图,已知向量a,b,c,求作向量a-b-c.解:方法一:先作a-b,再作a-b-c 即可.如图①所示,以A 为起点分别作向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 和AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,使AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b.连接CB,得向量CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a-b,再以C 为起点作向量CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,使CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =c,连接DB,得向量DB ⃗⃗⃗⃗⃗ .则向量DB ⃗⃗⃗⃗⃗ 即为所求作的向量a-b-c.方法二:先作-b,-c,再作a+(-b)+(-c),如图②. 作AB⃗⃗⃗⃗⃗ =-b,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-c; 作OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,连接OC,则OC⃗⃗⃗⃗⃗ =a-b-c. 11.设O 是△ABC 内一点,且OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c,若以线段OA,OB 为邻边作平行四边形,第四个顶点为D,再以线段OC,OD 为邻边作平行四边形,第四个顶点为H.试用a,b,c 表示DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OH ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BH⃗⃗⃗⃗⃗ . 解:由题意可知四边形OADB 为平行四边形,∴OD ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a+b, ∴DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OD ⃗⃗⃗⃗⃗ =c-(a+b)=c-a-b. 又四边形ODHC 为平行四边形, ∴OH ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD ⃗⃗⃗⃗⃗ =c+a+b, ∴BH ⃗⃗⃗⃗⃗ =OH ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB⃗⃗⃗⃗⃗ =c+a+b-b=a+c. 能力提升1.平面内有四边形ABCD 和点O,若OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则四边形ABCD 的形状是( )A.梯形B.平行四边形C.矩形D.菱形答案:B解析:因为OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OD ⃗⃗⃗⃗⃗ −OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,即BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以AB CD,故四边形ABCD 是平行四边形.2.如图,向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =c,则向量BD⃗⃗⃗⃗⃗ 可以表示为( )A.a+b-cB.a-b+cC.b-a+cD.b-a-c答案:C解析:由题意可得BD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b-a+c.故选C. 3.已知平面上有三点A,B,C,设m=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,若m,n 的长度恰好相等,则有( )A.A,B,C 三点必在同一条直线上B.△ABC 必为等腰三角形,且∠B 为顶角C.△ABC 必为直角三角形,且∠B=90°D.△ABC 必为等腰直角三角形 答案:C解析:∵m=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,m 与n 的长度相等, ∴|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AB⃗⃗⃗⃗⃗ −BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |. 以AB,BC 为邻边作平行四边形ABCD(图略), 则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =DB⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴AC⃗⃗⃗⃗⃗ =DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,平行四边形ABCD 为矩形,则△ABC 为直角三角形,∠B=90°. 4.(多选题)对于菱形ABCD,下列各式中正确的是( ) A.AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ B.|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BC⃗⃗⃗⃗⃗ | C.|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ | D.|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ −CB ⃗⃗⃗⃗⃗ | 答案:BCD解析:如图,在菱形ABCD 中,|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BC⃗⃗⃗⃗⃗ |,∴B 中式子正确.又|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |, |AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |, ∴C 中式子正确;|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |,|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ −CB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |, ∴D 中式子正确;A 中式子不正确,故选BCD.5.已知|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=a,|OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=b(a>b),|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |的取值范围是[5,15],则a= ,b= . 答案:10 5解析:因为a-b=||OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |-|OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ||≤|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |≤|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |+|OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=a+b, 又|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |的取值范围是[5,15], 所以{a +b =15,a -b =5,解得{a =10,b =5.6.如图,已知O 为平行四边形ABCD 内一点,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c,则OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = .答案:a+c-b解析:由已知得AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB⃗⃗⃗⃗⃗ =a+c-b. 7.如图所示,O 是平行四边形ABCD 的对角线AC,BD 的交点,若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =b,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c,求证:b+c-a=OA ⃗⃗⃗⃗⃗ .证明方法一:因为b+c=DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +a=OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ , 所以b+c=OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +a,即b+c-a=OA ⃗⃗⃗⃗⃗ .方法二:OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =c+DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =b+c-AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b+c-a.方法三:因为c-a=OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ -b, 所以b+c-a=OA ⃗⃗⃗⃗⃗ .8.已知△ABC 是等腰直角三角形,∠ACB=90°,点M 是斜边AB 的中点,CM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a,CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =b.求证:(1)|a-b|=|a|; (2)|a+(a-b)|=|b|.证明因为△ABC 是等腰直角三角形,∠ACB=90°,所以CA=CB.又点M 是斜边AB 的中点,所以CM=AM=BM. (1)因为CM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a-b, 又|AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |,所以|a-b|=|a|. (2)因为点M 是斜边AB 的中点, 所以AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以a+(a-b)=CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +(CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −CA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =CB ⃗⃗⃗⃗⃗ , 因为|CA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|CB ⃗⃗⃗⃗⃗ |,所以|a+(a-b)|=|b|.。

6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示A 级必备知识基础练1.向量a=(2,3),b=(1,-1),则2a+b=( ) A.10B.(5,5)C.(5,6)D.(5,7)2.已知a=(-5,6),b=(-3,2),c=(x,y),若a-3b+2c=0,则c 等于( ) A.(-2,6) B.(-4,0) C.(7,6)D.(-2,0)3.(多选题)下列各对向量不共线的是( ) A.a=(2,3),b=(3,-2) B.a=(2,3),b=(4,-6) C.a=(√2,-1),b=(1,√2) D.a=(1,√2),b=(√2,2)4.已知四边形ABCD 的三个顶点为A(0,2),B(-1,-2),C(3,1),且BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则顶点D 的坐标为( ) A.(2,72)B.(2,-12)C.(3,2)D.(1,3)5.已知向量a=(1,2),b=(2,-2),c=(1,λ).若c ∥(2a+b),则λ= .6.已知OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,m),OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(n,1),OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(5,-1),若点A,B,C 在同一条直线上,且m=2n,则m+n= .7.已知a=(x+3,x 2-3x-4),A(1,2),B(3,2). (1)若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,求x 的值; (2)若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥a,求x 的值.8.如图,已知在△AOB 中,A(0,5),O(0,0),B(4,3),OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =14OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OD ⃗⃗⃗⃗⃗ =12OB⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD 与BC 相交于点M,求点M 的坐标.B 级关键能力提升练9.已知点A(√3,1),B(0,0),C(√3,0),∠BAC 的平分线AE 与BC 相交于点E,设BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λCE ⃗⃗⃗⃗ ,则实数λ等于( ) A.2B.12C.-3D.-1310.设向量a=(a 1,b 1),b=(a 2,b 2),定义一种运算“ ”,向量a b=(a 1,b 1) (a 2,b 2)=(a 2b 1,a 1b 2).已知m=2,12,n=(π3,0),点P(x,y)在y=sin x 的图象上运动,点Q 在y=f( OP ⃗⃗⃗⃗⃗ +n(其中O 为坐标原点),则y=f(x)的最小值为 ( )A.-1B.-2C.2D.1211.在平面直角坐标系xOy 中,已知点A(3,1),B(-2,2),C(-1,4). (1)以线段AB,AC 为邻边作平行四边形ACDB,求向量AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标; (2)设实数t 满足(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -t OC⃗⃗⃗⃗⃗ )∥BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,求t 的值.12.如图所示,设点P(x,y)是线段P 1P 2上不同于P 1,P 2的点,且满足|P 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||PP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=λ,即P 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λPP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,λ叫做点P 分有向线段P 1P 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 所成的比,点P 叫做有向线段P 1P 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的以λ为定比的定比分点.求点P 的坐标,并思考P 1,P 2中点的坐标公式.参考答案6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示 6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示1.B ∵向量a=(2,3),b=(1,-1),∴2a+b=(5,5),故选B.2.D ∵a-3b+2c=0,∴(-5,6)-(-9,6)+(2x,2y)=(0,0),即{2x -5+9=0,2y +6-6=0,∴{x =-2,y =0,即c=(-2,0).故选D. 3.ABC A,B,C 中各对向量均不满足向量共线定理,D 中b=√2a,两个向量共线.4.A 设顶点D 的坐标为(x,y).因为BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,3),AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x,y-2),且BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以{2x =4,2y -4=3,所以{x =2,y =72,所以选A. 5.122a+b=2(1,2)+(2,-2)=(4,2),c=(1,λ),由c ∥(2a+b),得4λ-2=0,得λ=12.6.9或92AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(n,1)-(-2,m)=(n+2,1-m),BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC⃗⃗⃗⃗⃗ −OB⃗⃗⃗⃗⃗ =(5,-1)-(n,1)=(5-n,-2). 因为A,B,C 共线,所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线, 所以-2(n+2)=(1-m)(5-n).①又m=2n,②解①②组成的方程组得{m =6,n =3或{m =3,n =32. 所以m+n=9或m+n=92.7.解(1)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0),因为AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a, 所以{x +3=2,x 2-3x -4=0,解得x=-1.(2)因为AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥a,所以x 2-3x-4=0,解得x=-1或4.8.解因为OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =14OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =14(0,5)=(0,54),所以C (0,54). 因为OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(4,3)=(2,32),所以D (2,32).设M(x,y),则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x,y-5),CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x ,y -54),CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,74),AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,32)-(0,5)=(2,-72).因为AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∥AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以-72x-2(y-5)=0,即7x+4y=20. ①因为CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∥CB⃗⃗⃗⃗⃗ , 所以74x-4(y -54)=0,即7x-16y=-20. ②联立①②,解得的坐标为(127,2).9.C 如图,由已知得,∠ABC=∠BAE=∠EAC=30°,∠AEC=60°,|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1,∴|EC⃗⃗⃗⃗⃗ |=1tan60°=√33.∵BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λCE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,λ<0,∴|λ|=|BC ⃗⃗⃗⃗⃗||CE ⃗⃗⃗⃗⃗|=√3√33=3.∴λ=-3.10.B 由题意知,点P 的坐标为(x,sin OP⃗⃗⃗⃗⃗ +n=(12x ,2sinx)+(π3,0)=(12x +π3,2sinx).又因为点Q 在y=f(x)的图象上运动,所以点Q 的坐标满足y=f(x)的解析式,即y=2sin (2x -2π3).所以函数y=f(x)的最小值为-2.11.解(1)由向量加法的平行四边形法则知, AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(-5,1)+(-4,3)=(-9,4). (2)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -t OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-5,1)-(-t,4t)=(t-5,1-4t),BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,4)-(-2,2)=(1,2). 因为(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -t OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )∥BC ⃗⃗⃗⃗⃗ , 所以(t-5)×2=1-4t, 解得t=116.12.解设P(x,y),P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2),则根据题意,得(x-x 1,y-y 1)=λ(x 2-x,y 2-y), 即{x -x 1=λ(x 2-x ),y -y 1=λ(y 2-y ),当λ≠-1时,解得{x=x1+λx21+λ,y=y1+λy21+λ.则点P的坐标为x1+λx21+λ,y1+λy21+λ.当λ=1时,点P的坐标为x1+x22,y1+y22,这就是线段P1P2的中点坐标公式.。

第六章 6.2 6.2.1A级——基础过关练1．下列等式错误的是( )A．a＋0＝0＋a＝a B．AB＋BC＋AC＝0C．AB＋BA＝0D．CA＋AC＝MN＋NP＋PM【答案】B　【解析】AB＋BC＋AC＝AC＋AC＝2AC≠0.故B错．2．(2021年重庆期末)在四边形ABCD中，AC＝AB＋AD，则一定有( )A．四边形ABCD是矩形B．四边形ABCD是菱形C．四边形ABCD是正方形D．四边形A BCD是平行四边形【答案】D　【解析】由AC＝AB＋AD得AD＝BC，即AD＝BC，且AD∥BC，所以四边形ABCD的一组对边平行且相等，故四边形ABCD为平行四边形．3．若向量a表示“向东航行1 km”，向量b表示“向北航行 km”，则向量a＋b表示( )A．向东北方向航行2 km B．向北偏东30°方向航行2 kmC．向北偏东60°方向航行2 km D．向东北方向航行(1＋) km【答案】B　【解析】如图，易知tan α＝，所以α＝30°.故a＋b的方向是北偏东30°.又|a＋b|＝2 km，故选B．4．(2021年成都模拟)(多选)对于任意一个四边形ABCD，下列式子能化简为BC的是( )A．BA＋AC B．BD＋DA＋ACC．AB＋BD＋DC D．DC＋BA＋AD【答案】ABD　【解析】在A中，BA＋AC＝BC；在B中，BD＋DA＋AC＝BA＋AC＝BC；在C中，AB＋BD＋DC＝AD＋DC＝AC；在D中，DC＋BA＋AD＝DC＋BD＝BD＋DC＝BC.5．(多选)已知向量a，b皆为非零向量，下列说法正确的是( )A．若a与b反向，且|a|>|b|，则a＋b与a同向B．若a与b反向，且|a|>|b|，则a＋b与b同向C．若a与b同向，则a＋b与a同向D．若a与b同向，则a＋b与b同向【答案】ACD　【解析】a与b反向，且|a|>|b|，则a＋b与a同向，所以A正确，B错误；a与b同向，则a＋b与a同向，也与b同向．6．在边长为1的等边三角形ABC中，|AB＋BC|＝________，|AB＋AC|＝________．【答案】1 【解析】易知|AB＋BC|＝|AC|＝1.以AB，AC为邻边作平行四边形ABDC，则|AB＋AC|＝|AD|＝2|AB|×sin 60°＝2×1×＝.7．在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，|AB|＝1，则|BC＋CD|＝________．【答案】1　【解析】在菱形ABCD中，连接BD，因为∠DAB＝60°，所以△BAD为等边三角形．又因为|AB|＝1，所以|BD|＝1，所以|BC＋CD|＝|BD|＝1.8．平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，P为平面内任意一点．求证：PA＋PB＋PC＋PD＝4PO.证明：∵PA＋PB＋PC＋PD＝PO＋OA＋PO＋OB＋PO＋OC＋PO＋OD＝4PO＋(OA ＋OB＋OC＋OD)＝4PO＋(OA＋OC)＋(OB＋OD)＝4PO＋0＋0＝4PO，∴PA＋PB＋PC＋PD＝4PO.9．(2021年银川月考)如图所示，P，Q是△ABC的边BC上两点，且BP＋CQ＝0.求证：AP＋AQ＝AB＋AC.证明：∵AP＝AB＋BP，AQ＝AC＋CQ，∴AP＋AQ＝AB＋AC＋BP＋CQ.又∵BP＋CQ＝0，∴AP＋AQ＝AB＋AC.10．如图，点D，E，F分别为△ABC的三边AB，BC，CA的中点．求证：(1)AB＋BE＝AC＋CE；(2)EA＋FB＋DC＝0.证明：(1)由向量加法的三角形法则，∵AB＋BE＝AE，AC＋CE＝AE，∴AB＋BE＝AC＋CE.(2)由向量加法的平行四边形法则，∵EA＝EF＋ED，FB＝FE＋FD，DC＝DF＋DE，∴EA＋FB＋DC＝EF＋ED＋FE＋FD＋DF＋DE＝(EF＋FE)＋(ED＋DE)＋(FD＋DF)＝0＋0＋0＝0.B级——能力提升练11．(2021年聊城期末)(多选)若a＝(AB＋CD)＋(BC＋DA)，b是任一非零向量，则下列结论正确的是( )A．a∥b B．a＋b＝aC．a＋b＝b D．|a＋b|＜|a|＋|b|【答案】AC　【解析】∵a＝AB＋BC＋CD＋DA＝0，b为任一非零向量，∴a∥b，即A对；0＋b＝b，即B错，C对；D中|0＋b|＝|b|＝|0|＋|b|，即D错．故选AC．12．如图，在正六边形ABCDEF中，BA＋CD＋EF等于( )A．0B．BEC．AD D．CF【答案】D　【解析】∵在正六边形ABCDEF中，CD＝AF，EF＝CB，∴BA＋CD＋EF＝BA＋AF＋CB＝CF.13．已知有向线段AB，CD不平行，则( )A．|AB＋CD|>|AB|B．|AB＋CD|≥|CD|C．|AB＋CD|≥|AB|＋|CD|D．|AB＋CD|<|AB|＋|CD|【答案】D　【解析】由向量加法的几何意义得||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|，等号在a，b共线的时候取到，所以本题中，|AB＋CD|<|AB|＋|CD|.14．如图所示，点G是△ABC的重心，则GA＋GB＋GC＝________．【答案】0　【解析】如图所示，连接AG并延长交BC于E点，点E为BC的中点，延长AE到点D，使GE＝ED，则GB＋GC＝GD，GD＋GA＝0，∴GA＋GB＋GC＝0.15.(2021年重庆月考)如图，已知电线AO与天花板的夹角为60°，电线AO所受拉力|F1|＝24 N．绳BO与墙壁垂直，所受拉力|F2|＝12 N，则F1与F2的合力大小为______ __N，方向为________．【答案】12　竖直向上　【解析】以OA，OB为邻边作平行四边形BOAC，则F1＋F2＝F，即OA＋OB＝OC，则∠OAC＝60°，|OA|＝24，|AC|＝|OB|＝12，∴∠ACO＝90°，∴|OC|＝12.∴F1与F2的合力大小为12 N，方向为竖直向上．16．在长江某渡口处，江水以12.5 km/h的速度向东流，渡船的速度为25 km/h，渡船要垂直地渡过长江，其航向应如何确定？【答案】解：如图，AB表示水速，AC表示渡船实际垂直过江的速度，以AB为一边，AC为对角线作平行四边形，AD就是船的速度．在Rt△ACD中，∠ACD＝90°，|DC|＝|AB|＝12.5，|AD|＝25，所以∠CAD＝30°.所以渡船的航向为北偏西30°.C级——探索创新练17．(2021年绵阳模拟)若在△ABC中，AB＝AC＝1，|AB＋AC|＝，则△ABC的形状是( )A．正三角形B．锐角三角形C．斜三角形D．等腰直角三角形【答案】D　【解析】设线段BC的中点为O(图略)，由平行四边形法则和平行四边形对角线互相平分可知|AB＋AC|＝2|AO|，又|AB＋AC|＝，故|AO|＝，又AB＝AC＝1，所以∠AOB＝∠AOC＝90°，BO＝CO＝，所以△ABO和△ACO都是等腰直角三角形，所以△ABC是等腰直角三角形．。