《平面向量的线性运算》--《向量加法运算及其几何意义》课件3

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高中数学第二章平面向量2.2平面向量的线性运算2.2.1向

则
则．对于零向量与任一向量 a 的和有 a＋0
＝ 0＋a ＝量平行作A→B＝a，A→D＝b，则 A、B、D 求和四边三点不共线，以 AB ， AD 为邻边的法形法作平行四边形 ABCD .
则则则对角线上的向量A→C＝a＋b，如图，这种作两个向量和的方法叫作两个向量加法的平行四边形法则.
课时作业
一、向量加法的定义求两个向量和的运算
[自主梳理] ，叫作向量的加法．
二、向量加法的运算法则
已知非零向量 a，b，在平面上任取一点 A，作
向量
A→B＝a.B→C＝b，则向量A→C 叫作 a 与 b 的和，
求和三角形记作 a＋b，即 a＋b＝A→B＋B→C＝A→C . 的法法则这种求两个向量和的方法，称为向量加法的三角形法
探究三向量加法的应用 [典例 3] 在某地抗震救灾中，一架飞机从 A 地按北偏东 35°的方向飞行 800 km 到达 B 地接到受伤人员，然后又从 B 地按南偏东 55°的方向飞行 800 km 送往 C 地医院，求这架飞机飞行的路程及两次位移的和． [解析] 如图所示，设A→B，B→C分别表示飞机从 A 地按北偏东 35°的方向飞行 800 km，从 B 地按南偏东 55° 的方向飞行 800 km. 则飞机飞行的路程指的是|A→B|＋|B→C|；两次飞行的位移的和指的是A→B＋B→C＝A→C.
依题意，有|A→B|＋|B→C|＝800＋800＝1 600(km)．又 α＝35°，β＝55°，∠ABC＝35°＋55°＝90°. 所以|A→C|＝ |A→B|2＋|B→C|2＝ 8002＋8002＝800 2(km)．其中∠BAC＝45°，所以方向为北偏东 35°＋45°＝80°. 从而飞机飞行的路程是 1 600 km，两次飞行的位移和的大小为 800 2 km，方向为北偏东 80°.

向量加法运算及其几何意义 ppt课件

探究 1 a+b < a + b a ， b 不共线或共线反向 2 a+b = a + b a ， b 共线且同向 3 a+b = a - b a ， b 反向且 a≥ b
4 a+b = b - a a ， b 反向且 a≤ b
15
向量加法
结论： a-b≤ a + b≤ a + b
9
例1.如图,已知向量 a , b ,求作向量 a b 。
作法1：在平面内任取一点O，
b
作 OAa，ABb， a
则 O Bab。
O
a
A
b
ab
B
三角形法则
10
例1.如图,已知向量 a , b ,求作向量 a b 。
作法2：在平面内任取一点O，
作 OAa，OBb，
b
以OA,OB为邻边作平行四边形OACB， a
是否也满足交换律和结合律？请画图进行探索。
abba,
向量加法的交换律
( a b ) c a ( b c )
向量加法的结合律
D
B
a
b
ab
O
a
C
b
A
abc
c
bc
A
ab
a
B
C
b
20
例2.长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮船进行运输，如图所示，一艘船从长江南岸A点出发，以2 3 km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2km/h. （1）试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度；
角来表示）。
解： ( 2 ) 在 R t A B C 中， | A B | 2 , | B C | 2 3

向量加法运算及其几何意义PPT教学课件

O A A A A A A A O A 20201 /12/10 1 22 3
n 1 n n 17
PPT教学课件
谢谢观看
Thank You For Watching
18
2.2 平面向量的线性运算
2.2.1 向量加法运算及其几何意义
2020/12/10
1
问题提出
1.向量、平行向量、相等向量、共线向量的含义分别是什么？
2.用有向线段表示向量，向量的大小和方向是如何反映的？什么叫零向量和单位向量？
2020/12/10
2
3.两个实数可以相加，从而给数赋予了新的内涵.如果向量仅停留在概念的层面上，那是没有多大意义的.我们希望两个向量也能相加，拓展向量的数学意义，提升向量的理论价值，这就需要建立相关的原理和法则.
向量加法的平行四边形法则.对于下列两
个向量a与b，如何用平行四边形法则求
其和向量？
a
B
C
ｂ
ｂ
a＋b
O
a
A
平行四边形法则：起点相同连对角
P81 例1 2020/12/10 P84 练习 1，2
9
探究二：向量加法的代数运算性质
思考1：零向量0与任一向量a可以相加吗？规定：a＋0=0＋a=a，
思考2：若向量a与b为相反向量，则a＋b 等于什么？反之成立吗？
C D
2020/12/10
A
A
B
16
小结作业
1.向量概念源于物理，位移的合成是向量加法三角形法则的物理模型，力的合成是向量加法平行四边形法则的物理模型.
2.任意多个向量可以相加，并可以按任意次序、组合进行.若平移这些向量使其首尾相接，则以第一个向量的起点为起点，最后一个向量的终点为终点的向量，即为这些向量的和.

高中数学第二章平面向量2.2平面向量的线性运算2.2.1向量加法运算及其几何意义课件新人教A版必修4 (1)

12
知识拓展1.向量加法的多边形法则:n个向量经过平移,顺次使前一个向量的终点与后一个向量的起点重合,组成一组向量折线,这n 个向量的和等于从折线起点到终点的向量.这个法则叫做向量加法的多边形法则.多边形法则的实质就是三角形法则的连续应用.
2.三角形法则和平行四边形法则就是向量加法的几何意义. (4)规定:a+0=0+a=a. (5)结论:|a+b|≤|a|+|b|.
A.3
B.4
答案:D
C.7
D.5
【做一做 1-3】在边长为 1 的正方形 ABCD 中,|�� + �� + ��|
等于( )
A.0
B.1
C. 2D. 3
解析: |�� + �� + ��| = |�� + ��| = |��| = 1.
∴(a+b)+c=a+(b+c).
(3)运算的意义:向量加法的几何意义是向量加法的三角形法则和平行四边形法则;实数加法的意义是实数的加法法则.
由此可见,向量的加法与实数的加法不相同,其根本原因是向量不仅有大小而且还有方向,而实数仅有大小,是数量,所以向量的运算不能按实数的运算法则来进行.
题型一
图①
图②
再以 OD,OC 为邻边作▱ODEC,连接 OE,则�� = �� +
�� =a+b+c 即为所求.

平面向量的线性运算---平面向量的加减法 ppt课件

• 向量的加法：求两个ຫໍສະໝຸດ 量和的运算，叫做向量的加法• 向量的加法法则：三角形法则、平行四边形法则
PPT课件
6
动脑思考探索新知
（1）a＋b与b＋a相等吗？请画出图来说明．（2）如果向量a和向量b共线，如何画出它们的和向量？
PPT课件
7
动脑思考探索新知
a
b
B
a
b
A a+b
C
一般地，设向量a与向量b不共线，在平面上任取一点A
3 等运变算形中，． a可但直是接，a 应要用注a于意；向向量量的的
４运的算．a 与b数的运a算的意b．义是不同
请画出图形来，分别验证这些法则．
PPT课件
28
巩固知识典型例题
例6 在平行四边形ABCD中，O为两对角线交点如图， AB ＝a， AD ＝b，试用a, b表示向量AO 、OD．
PPT课件
9
向量加法法则
b
已
知
向
量a,
b,求
作
向
量a

b
a
A· a
B
ab
b
作法：
C
1.在平面内任取一点A
2.作AB a, BC b
则向量AC a b
o· a A
b ab
B
C
作法：
1.在平面内任取一点O
2.作OA a,OB b
则向量OC a b
PPT课件
26
动脑思考探索新知
一般地，实数与向量a的积是一个向量，记作 a，它的模为
| a || || a |
（7．3）
若| a | 0，则当 0 时, a的方向与a的方向相同，当 0时， a的方向与a的方向相反．

2.2平面向量的线性运算ppt课件

10
例题
一艘船以 km2 /h3的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为
2km/h，求船实际航行速度的大小与方向（用与流速间的夹角表示）。
解：如图，设AD表示船向垂直于对岸的方向行驶的速度， AB表示水流的速度，以AD、AB为邻边作平行四边形ABCD，则AC就是船实际航行的速度，在RtABC中，| AB| 2km/ h，| BC| km/ h，所以，| AC| | AB|2 | BC|2 4，因为tanCAB 2 3 3，所以CAB 60，
因而2AMABAC，所以AM1 ABAC . 2 37
小结
1．理解实数与向量的积的意义，能说出实数与一个向量的积的模及方向与这个向量的模及方向间的关系；
2．能说出实数与向量的积的三条运算律，并会运用它们进行计算；
38
小结 3．能表述一个向量与非零向量共线的充要条件； 4．会表示与非零向量共线的向量，会判断两个向
2.2.1向量加法运算及其几何意义
1
新课导入
1. 物理学中，两次位移的结果和位移是相同的。
OA, AB
OB
2. 物理学中，作用于物体同一点的两个不共线的合力如何求得？
3. 两个向量的合成可用“平行四边形法则”和“三角形法则”求出，本节将研究向量的加法。
2
向量的加法
• 已知向量a,b，在平面内任取一点A，作 a，
22
• 已知非零向量a，作出a+a+a和(-a)+(-a)+(-a)，并说明它们的几何意义.
• 把a+a+a记作3a，显然3a的方向与a的方向相同，3a的长度是a的3倍，即 |3a|=3|a|.
• 同样，(-a)+(-a)+(-a)=3(-a)，显然3(-a)的方向与a的方向相反，3(-a)的长度是a 的3倍，这样3(-a)=-3a.

向量的加法运算及其几何意义PPT优秀课件

Aｎ-１
A2
A3
A1

A4
Aｎ
A1A2+A2A3+…+ Aｎ-１Aｎ+AｎA１ =____０___
例 1 ：已知 O 为正六边形 A B C D E F 的中心，作出下列向量 u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
当向 a与量 b反向 , 若时 ab, 则 ab的方向a与相,同且 abab;
当向 a与量 b反向 ,若时 ab, 则 ab的方向b与相,同且 abba.
已知 a8,b6,则ab的最大值和最1_4小 _, 2_
探究
向量加法的运算律
对于任意的向量 a ， b ，c ：
2.2.1向量的加法运算及其几何意义
复习回顾:
向量的概念：
既有大小又有方向的量叫向量
向量的表示方法：
（1）几何表示法：用有向线段表示
B(终点）
a
（2）代数表示法：
A(起点）
AB 或 a
向量的长度(或模)：| AB | 或 | a |
复习回顾:
零向量的概念：长度（模）为0的向量，记作 0 单位向量概念：长度（模）为1个单位长度的向量
B A
(2)作 ABa,ADb 共
(3)以AB,AD为邻边作平行四边形ABCD
起
D
C 则 ACab
点
作平移,共起点,四边形,对角线
课堂练习（一）
１.如图,已知a、b，用向量加法的三角形法则作出a+b．
(1)
a+b
b
(2)
b
a
a

专题26平面向量的概念及其线性运算ppt课件

第1轮 ·数学
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第五章为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能
平面向量、复数
解决平面向量概念问题的关注点 (1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性． (2)共线向量即平行向量，它们均与起点无关． (3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图象移动混为一谈． (4)非零向量 a 与|aa|的关系：|aa|是 a 方向上的单位向量．
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平面向量、复数
(4)平行向量：方向___相__同__或__相__反___的非零向量．平行向量又叫___共__线__向__量___.规定：0与任一向量__平__行____.
平面向量、复数
4．(2019·宁夏银川期末)设点 P 是△ABC 所在平面内一点，且B→C＋B→A＝2B→P，则 P→C＋P→A＝__0______.
解析因为B→C＋B→A＝2B→P，由平行四边形法则知，点 P 为 AC 的中点，故P→C＋P→A ＝0.
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λ(a＋b)＝λa＋λb ＝0 时，λa＝0

向量加法运算及其几何意义新授课课件

2.2平面向量的线性运算 -- 向量的加法
复习引入
向量的定义以及有关概念.
向量是既有大小又有方向的量.长度相等、方向相同的向量相等.因此，我们研究的向量是与起点无关的自由向量，即任何向量可以在不改变它的方向和大小的前提下，移到任何位置 .
由于大陆和台湾没有直航，因此要从台湾去上海探亲，乘飞机要先从台北到香港，再从香港到上海，这两次位移之和是什么？
垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2km/h.
（1）试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度；
（2）求船实际航行的速度的大小与方向（用与江水速度的夹
角来表示）。
D
C
解：
A
B
uuur
uuur
（1）如图所示，AD表示船速，AB表示水速，
以AD、AB为邻边作YABCD,
uuur 则AC表示
船实际航行的速度.
A
Br r
C
ab
C r rA
B
ab
rr
rr r r
若a，b方向相同，则 | a b || a | | b |
rr
rr r r
rr
若a，b方向相反，则 | a b || a | | b（| 或 | b | | a |）
rr
rr r r
若a，b不共线，则 r| ar b || ra | r | b |r r
这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则。
向量加法的平行四边形法则：
B
b
ab
C
起
点
相
同
O
r a
以同一点O为起点的两个已知向量
A
ar、br 为邻边作YOACB,

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ABC为 D平行四边形
（3）“向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点，可以推广到n个向量连加（“首尾相接，首尾连”）
一般的 A 0A 1A 1A 2A n2A n1A n1A nA 0A n
A 1 A 2 A 2 A 3 A n 1 A n A n A 1 0
练习1.如图,已知 a b 用向量加法的三角形
复习引入：
1、什么叫向量？一般用什么表示？
既有大小又有方向的量叫向量，一般用有向线段表示。
2、向量的模、零向量、单位向量
向量的大小（长度）称为向量的模、长度为0的向量叫零向量，方向是任意的长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.
3、平行向量(共线向量）
方向相同或相反的非零向量叫平行向量，0 与任意向量平行。
abc c
bc
b
b
a
a
从而，多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行
例1、化简：
(1)AB CDBC AD
(2) MABN ACCB MN (3)AB BDCA DC 0
首尾相接，首尾连
例2.一艘船以 2 3km/h的速度和垂直于对岸的方向行驶，同
时，河水的流速为 2km/h，求船实际航行速度的大小与方向
4、什么叫相等向量？
长度相等且方向相同的向量叫相等向量。
情境：兄弟俩同拉一箱子
（1）两人齐心协力，方向相同
合力
向量的和
f1
F
f2 （2）两人意见分歧，方向不同
f1
F
f2
（3）两人背道而驰，方向相反
f1
F
f2
合力F与f1、f2同向且|F | = | f1 | + | f2 |
合力F与f1、f2不同向且| F | 〈 | f1 | + | f2 |
思考 : 试用向量方法证明：
对角线互相平分的四边形是平行四边形。
已知：四边形ABCD，对角线AC与BD交于 O，AO=OC，DO=OB。
求证：四边形ABCD是平行四边形
证：如图，由向量加法法
D
C
则，有 ABAOOB
O
DCDOOC
又已知 AO OC ，DO OB A
B
ABDC即AB与DC平行且相等
若| f1 | 〉 | f2 | ，则合力F与 f1同向且| F = | f1 | - | f2 | ；若| f1 | 〈 | f2 | ，则合力F与同向且| F | = | f2 | - | f1 |
一、向量的加法
1、定义：求两个向量的和向量的运算叫向量的加法。
2、平行四边形法则
Db C
a a a a a a a a a a a+b
2
答：船实际航行速度为4km/h，方向与流速间的夹角为 60 ．
五、小结
1 向量加法法则：
a
ab a
三角形法则
2 运算性质:
bb
ab a
平行四边形法则
ab b a
(a b) c a (b c)
b
a0 0a a
a b a b a b ,
当且仅当 a ， b 反向时前者取等号，同向时后者取等号。
（用与流速间的夹角表示）． C
解：如图，设AD 表示船速，AB 表示水的流速，D 以AB，AD为邻边作 ABCD，则AC 是船的实际航行速度.
在 RtAB中C， AB 2 BC2 3
A C A 2 B B 2 C 2 2 2 3 2 4 A
B
ta nCAB 23 3 CA 6B 0
法则作出 a b
（1）
b
（2）
b
a
a
（3）
a
b
（4）
a
b
练习2.如图,已知 a b 用向量加法的平行四
边形法则作出 a b
（1）
（2）
ba
b
a
b
二、性质 1 . 交换律 :a b b a
b
a
ab
a
2 . 结合律 : ( a b ) c a ( b c )
abc c
ab
bb
b
A
b
b
a
B
3、三角形法则
A
B
a a a a a a a a aa
b bO b
b
bb
a+b
bb
首尾相接，首尾连
b
a
同方向共线
ab b
a a a+b bAB NhomakorabeaC
a
异方向共线
aa++bb
baba b
a
C AB
注 :a00aa
探究：向量和的特点：
（1）两个向量的和仍是一个向量．
(2)结论：
a b a b a b , 当且仅当 a ， b 共线时取等号