话说函数三种定义的利与弊2009年第1期数学教育研究?l5?话说函数三种定义的利与弊陈秀峰(浙江省宁波市鄞州中学315101)函数是一种特殊的关系,是数学的一个基本而又重要的概念,在现代数学中,它几乎渗透到数学的各个分支,怎样定义函数?根据数学发展的演变,一般有以下三种:变量说,对应说(映射说),关系说.下面就这三种定义,谈谈各自的利弊.1函数变量说的利弊回顾先回顾函数一词的起因.把函数(function)这个词用作数学述语,最早是德国数学家莱布尼兹(Leibniz),在他1673年的一篇手稿里,用函数一词表示一个随着曲线上的点变动而变动的量,此词出现前,牛顿(New—ton)自1665年开始微积分的研究工作后,～直用流量(fluent)一词来表示变量间的关系.早在1775年,欧拉(Euler)曾提出:”如果当某些变量以这样一种方式依赖于另一变量,即当后面这些变量变化时,前面这些变量也随之变化,那么前面的变量称为后面变量的函数.”由以上定义,逐渐演变为目前的函数的”变量说”.它是这样定义的:”设X与是两个变量,如果当变量-z 在实数的某一范围中变化时,变量按一定的规律随z 的变化而变化,我们称z为自变量,Y为因变量,变量叫做变量z的函数,记作Y一厂().”这样用一个变量随另一个变量的变化而变化的说法有许多好处.首先,在日常生活中或生产实践中,各变量之间多半大致已经”天然地”建立了对应关系,因此,虽然变量说并未突出对应关系,却不致误会,例如, 要讨论正方形的面积Y和边长-z的关系,总是在同一个正方形中考虑面积值与边长值的对应.其次,从物理意义上看,例如,一厂(),反映了质点运动时路程随时间变化而变化的规律,”变量说”刻划得自然,形象,直观且通俗易懂.但是,不能不看到,”变量说”有其缺陷的一面.1.”变量说”对函数的实质——对应,缺少充分的刻划,这是最致命的弊病.虽然其定义中也指出了自变量与因变量的概念,但未明确函数是z,y双方变化的一个总体,而却把变量定义为z的函数,使学生思想上先人为主,记住了函数就是y,这与函数是反映变量与变量之间的关系是相悖的.究竟函数是指,,还是,(z),还是一,(z)?变量说易于模糊三者的区别.我们说,只有厂才是函数,而,(z)仅是指函数,在的值,是一个数或是一个元素,而y一厂(z)是借以确定,的方程,是一个式子.因此严格说来,一,(-z)不应读作Y是X的函数,而应读作Y是, 实施于z的结果.应该看到,人们常把对数函数写作logx而不写成log,认为log是没有意义的符号,必须写成logx才对,这是不妥的.当然,一旦掌握了厂,厂(),Y 一厂(z)的区别后,在应用上为方便起见也准许有意识的混同使用,但这与因概念不清而混用是两回事. 2.”变量说”强调的是两个变量及变量域——自变量与因变量,定义域和值域,而对对应规律却轻描谈写,一笔带过.由于忽略对应规律,单纯强调两个变量的相依关系——当z变化时,Y随之变化,则易误解为:Y—sinz +COSz=1不是函数;同样,由于忽视对应规律,单纯强调定义域和值域,则易误解为:Y—sinx,Y—cosz是同一函数.3.变量说把定义域和值域仅规定在实数范围内,也是局限的.例如,一切三角形组成的集合与一切圆组成的集合,因为每个三角形对应于一个外接圆,这种对应关系已不是”量”之间的关系.为此必须延伸函数的概念,把它扩展为”映射”,突出”对应”,不必强调量.2函数对应说与函数变量说优劣比较函数的”对应说”是这样定义的:”设A与B是两个集合,如果按照某一确定的对应关系,对于集合A中每一确定的元素z,总有集合B中一个确定的元素Y和它对应,那么这个对应关系就叫一个映射.当A,B为数集时,称为函数.”由此可见,”对应说”也就是”映射说”.目前这种定义,已越来越多地被一些教科书所采用.首先,”对应说”较之”变量说”,虽然稍觉抽象,但它却抓住了函数本质属性,突出了两个集合元素间的对应就是函数.在对应说中,函数可看作”暗箱”,例如, 上面提到的正方形面积与边长关系的例子,即Y—z, 输入z,输出z,于是”暗箱”相当于”平方机”的作用(如图).输入———-.(j至[卜_+输出其次,”变量说”是建立在变量的基础上,而”对应说”是建立在集合的基础上.事实上,所谓”变量是指有量可度的量,如长度,距离,时间等.但是当某客体无量可度时怎么办?采用了”对应说”,则”变量说”中那种把定义域,值域的变化范围——实数集,作为限制,就自然消失了.因此,”对应说”远比”变量说”的定义普遍得多.只有这样,函数的定义才能适应各种不同的研究对象,使函数呈现出各种形态并被赋以专门的名称.例如在几何空间中有变换的概念;我们还可以把函数看作某空间的一个元素,建立函数集与函数集的对应,于是出现了”算子”的概念.最后,”对应说”在处理复合函数与反函数问题上,远比”变量说”方便且自然,对应说”明确是一种单值对应,这样就排除了多函数的概念,这是因为多值函数不存在逆,又不能进行四则运算,因而缺少研究价值的缘故.?16?数学教育研究2009年第1期3函数关系说的利弊分析在定义关系的基础上,也可定义函数概念——把函数关系看作一个特殊的关系.设R是一个二元关系,如果还满足(z,Y)∈R, (zt,)ER,一定有y—Y2,则称R是函数关系.因此,函数就是两个集合的关系,但两个集合的关系不一定是函数.例如:设X={1,2,3),Y一{4,5,6,7),令R一{(1,4),(1,6),(2,7),(3,5),(3,7)),这里对于X中的元素1,对应y中的元素4和6;3对应5和7.所以R 是由X到y的关系,而不是函数.由此可见,关系和函数虽然都是刻划两集合元素之间的联系,但是有区别的.函数的定义域是某个集合的全体,而不能是这个集合的真子集,在”关系说”对函数的定义中,对于任给的xEX,则存在唯一的yEY与之对应.而仅对关系而言,对于任给的X∈X,可以有多于一个的y中的元素与之对应,所以函数是一种特殊的关系.现在再回顾”对应说”,那里虽然突出了对应法则,但什么是对应法则厂?尚欠明确,显得含糊.我们说,y 一厂(z),这个式子除表示”y是X的函数外”,还表示该函数的具体内容,也即由如何算出Y.另外,若有另一函数=g(z),一般说来厂≠g.但厂和g又怎样区分呢?怎样弥补函数”对应说”的这个缺陷呢?就要借助于”关系说”了.“关系说”虽较抽象,一般中学生较难接受,但”关系说”却把”变量说”中含糊不清的,”对应说”中避开交代其内容的”对应法则厂’,通过对关系添加一个附加条件,把”对应说”定义的函数关系作外延式的数学化描绘,这样,函数概念就完全明确了,它无非是一张理想的表(包括无限多个精确的数据),借此,可以按的值查找出Y的值.总之,”关系说”将函数用集合论的语言加以叙述,除集合论的概念外,没有使用其他未经定义的日常语言,因而是完全数学化了的,也便于为计算机所接受. 然而,”关系说”过于形式化,抽去了函数关系生动形象的直观——变量的运动特征,看不出对应关系,更没有解析式的表达,对初学者不易掌握,在推论中多有不便.综上所述,函数的三种说法各有优点,也各有缺点,应视具体情况加以运用.[责任编校董伸华](上接第2页)戊丙\辛庚,.’z’戊丙甲丁图(5)由这两组图形我们可以看出,利玛窦在当时给周围的人介绍了西方三角函数.介绍的不仅有上面提及的正(余)弦函数和正(余)矢函数,而且还应有正(余) 切函数和正(余)割函数——在图五中有明显的正切, 余切,正割和余割标示.不仅介绍了概念,而且也应当介绍了它们之间的关系,如sin.口+COSa一1,tg+1= sec,等——因为根据图形这些关系是显然的.在上述两个图形之后,此书还有一个图形如图(6)所示.这个图形说明是:”角度:凡三角形佛三角之度皆成两象限.假如乙甲丁勾股形,其丁角五十五度,当乙丙弧,则乙角必三十五度,当乙庚余弧.两角共一象限,九十度.其甲角正方,原系\一,甲丁l’卯\丑\图(6)九十度,合三角成一百八十度.’,L”由此看出利玛窦在这里还介绍了西方数学中关于三角形内角和的概念. 综上,利玛窦在我国传教期间传人了我国西方三角函数知识,他应是传人我国三角函数知识的第一人. 其介绍的三角函数知识有现代角度概念,三角函数概念,正余弦函数表及其应用等.这些内容虽然不是太多,但是却是系统的和明了的,易于学习和掌握.他介绍的这些知识和他与李之藻共同创造的相关概念——正弦,余弦等应当后来西方传教士编写《崇祯历书》时全面传入我国西方三角函数知识的前期基础.参考文献:Eli昊文俊.中国数学史大系(第七卷)[M].北京:北京师范大学出版社,2000.53.[2]方豪.李我存研究[M].杭州:我存杂志社,1937.[3][4][5][6][7]利玛窦,李之藻.同文算指别编[M].中国科学技术典籍通汇[c](数学卷四).郑州:河南教育出版社,1993.267—268,268—271,268,268——269,271.[8]朱维铮.利玛窦中文着译集[c].上海:复旦大学出版社,2001.691—694.[9][1O]E11]利玛窦.理法器撮要[M].利玛窦中文着译集[c].上海:复旦大学出版社,2001.738,739,740.[责任编校钱骁勇]。
一次函数、二次函数、函数的零点（一）基本知识回顾及应用举例1. 一次函数.当时，叫做正比例函数，其图象是直线.当时，直线上升，函数为增函数；当时，直线下降，函数为减函数2. 二次函数的解析式的三种形式（1）一般式；（2）顶点式；（3）零点式3. 二次函数的图象是抛物线.当时，抛物线开口向上；当时，抛物线开口向下.抛物线的顶点坐标为，对称轴方程为.抛物线与轴的交点的横坐标是方程的根，它在轴上截得的线段的长为=.4. 二次方程实根的分布情况，常常根据二次函数的图象与轴的交点的位置来确定.当二次方程在区间内只有一个实根时，有，或；有两个不等实根时，有；在两个区间各有一个实根即时，，.5. 二次函数与一元二次不等式有紧密的联系.图1 图2 图36. 函数零点的概念：对于函数y＝f（x）（x∈D），把使f（x）＝0成立的实数x叫做函数y＝f（x）（x ∈D）的零点。
函数零点的意义：函数y＝f（x）的零点就是方程f（x）＝0的实数根，亦即函数y＝f（x）的图象与x 轴交点的横坐标。
即方程f（x）＝0有实数根函数y＝f（x）的图象与x轴有交点函数y＝f（x）有零点。
例：问：二次函数f（x）=ax2＋bx＋c（a≠0）在什么条件下有两个零点？一个零点？没有零点？7. 例：观察下面函数f（x）＝0的图象（如图4）。
图4①在区间[a，b]上______（有/无）零点；f（a）·f（b）_____0（＜或＞＝。
②在区间[b，c]上______（有/无）零点；f（b）·f（c）_____0（＜或＞＝。
③在区间[c，d]上______（有/无）零点；f（c）·f（d）_____0（＜或＞＝。
如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线并且有f（a）·f（b）<0，那么函数y＝f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c∈（a，b），使得f（c）=0，这个c也就是方程f（x）＝0的根。
如何确定两个函数图象的交点及其延伸在同一直角坐标系中,判断两个函数的图象有无交点、交点的个数以及交点的坐标时,可以将问题转化为方程或方程组的解的情况.对于两个函数()x f y =和()x h y =,若它们对应的方程组()()⎩⎨⎧==x h y x f y 有解,则它们的图象有交点,并且解的个数等于交点的个数,x 的解是交点的横坐标,y 的解是交点的纵坐标;若方程组无解,则它们的图象无交点. 注意:（1）上面的思想方法即数形结合思想.（2）用方程或方程组的解的情况来说明两个函数的图象的交点情况,这是“以数助形”.数形结合思想包括两个方面:“以形助数”和“以数助形”.（3）在解方程或方程组时,我们也可以从方程或方程组中抽象出两个函数（即构造两个函数）,把方程或方程组的解的问题转化为两个函数图象的交点问题,这是“以形助数”.（4）在解二元一次方程组时,我们可以构造两个一次函数,根据它们的图象来确定二元一次方程组的解的情况:若两个一次函数的图象有交点,则二元一次方程组有解;若两个一次函数的图象无交点（此时两个函数的图象互相平行）,则二元一次方程组无解.因为两个一次函数的图象如果有交点,交点只有一个,所以二元一次方程组有解时只有一组解,且交点的坐标就是方程组的对应解.特别地,如果两个一次函数的图象重合,那么二元一次方程组有无数个解. （5）关于x 的一元一次方程0=+b kx 的解,就是一次函数b kx y +=的图象与x 轴（直线0=y ）的交点的横坐标.例 1. 已知二元一次方程组⎩⎨⎧-=+-=-225y x y x 的解为⎩⎨⎧=-=14y x ,则在同一直角坐标系中,直线5:1+=x y l 与直线121:2--=x y l 的交点坐标为_________.分析:方程组⎩⎨⎧-=+-=-225y x y x 所对应的两个函数为5+=x y 和121--=x y ,所以方程图（3）组的解⎩⎨⎧=-=14y x 即为两个函数的图象的交点坐标,其中4-=x 为交点的横坐.习题 1. 如果直线33-=x y 与直线323+-=x y 的交点坐标是⎪⎭⎫⎝⎛a ,34,那么=a _________,方程组⎩⎨⎧=+=+-632033x y x y 的解是__________.习题 2. 如图（1）所示是一次函数b kx y +=与n mx y +=的图象,则二元一次方程组⎩⎨⎧+=+=n mx y bkx y 的解是__________.图（1）图（2）x ) = 13∙x + 1) = x 1例2. 方程x x 3111=--的解为__________. 分析:由x x 3111=--得:1311+=-x x ,构造两个函数:1-=x y 和131+=x y ,它们的图象如图（2）所示,观察图象的交点情况,交点的个数即为方程解的个数,交点的横坐标即为方程的解. 另解:分为两种情况:（1）当x ≥1时,得x x 3111=--,解之得:3=x ,（2）当1<x 时,得x x 3111=--,解之得:0=x ,综上所述,该方程的解为0=x 或3=x .我们把本题中的方程叫做绝对值方程.习题3. 一次函数b kx y +=的图象如图（3）所示, 则方程0=+b kx 的解为 【 】（A ）2=x （B ）2=y （C ）1-=x （D ）1-=y习题 4. 直线12-=x y 与直线32-=x y 的位置关系是__________,所以方程组⎩⎨⎧-=+=3212x y x y 的解的情况是__________. 利用一次函数的图象解二元一次方程组在两个一次函数11b x k y +=和22b x k y +=的图象的交点处,自变量的取值和对应的函数值同时满足这两个函数关系式,交点的坐标就是方程组⎩⎨⎧+=+=2211b x k y b x k y 的解,其中交点的横坐标就是x 的解,交点的纵坐标就是y 的解,因此我们可以利用函数的图象求方程组的解.注意:（1）任何一个二元一次方程组都对应两个一次函数,从“数”的角度看,求方程组的解就是求当自变量为何值时两个函数的值相等;从“形”的角度看,解二元一次方程组就是求两条直线的交点坐标.所以在解二元一次方程组时,可以在同一直角坐标系中画出两个一次函数的图象,找到交点的坐标即可获得方程组的解.（2）如果两个一次函数的图象平行（无交点）,那么二元一次方程组无解;如果两个一次函数的图象重合,那么二元一次方程组有无数个解;如果两个一次函数的图象相交（有一个交点）,那么二元一次方程组有唯一解.习题5. 利用一次函数的图象,求二元一次方程组⎩⎨⎧-=++=225y x x y 的解.解:如图（4）所示,分别作出一次函数=y ____________和=y ____________的图象,得到它们的交点坐标是_________,即方程组⎩⎨⎧-=++=225y x x y 的解为__________.习题6. 利用函数的图象解方程组:⎩⎨⎧-=+=-522y x y x .解:如图（5）所示,在同一直角坐标系中分别作出函数=y ____________和=y ____________的图象,得到它们的交点坐标为_________,所以方程组⎩⎨⎧-=+=-522y x y x 的解为__________.图（4）图（5）习题7. 如图（6）所示,直线1:1+=x y l 与直线n mx y l +=:2相交于点()b P ,1. （1）求b 的值;（2）不解关于y x ,的方程组⎩⎨⎧+=+=n mx y x y 1,请你直接写出方程组的解; （3）直线m nx y l +=:3是否也经过点P ?请说明理由.图（6）。
