表示函数图的三种方法

函数的表示方法★知识梳理一、函数的三种表示法：图象法、列表法、解析法1．图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系； 2．列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系； 3．解析法：就是把两个变量的函数关系，用等式来表示。

二、分段函数在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数。

★重、难点突破重点：掌握函数的三种表示法-----图象法、列表法、解析法，分段函数的概念 难点：分段函数的概念，求函数的解析式重难点：掌握求函数的解析式的一般常用方法： （1）若已知函数的类型（如一次函数、二次函数），则用待定系数法； （2）若已知复合函数)]([x g f 的解析式，则可用换元法或配凑法； 问题1．已知二次函数)(x f 满足564)12(2+-=+x x x f ，求)(x f 方法一：换元法令)(12R t t x ∈=+，则21-=t x ，从而)(955216)21(4)(22R t t t t t t f ∈+-=+-⋅--= 所以)(95)(2R x x x x f ∈+-= 方法二：配凑法因为9)12(5)12(410)12(564)12(222++-+=+-+==+-=+x x x x x x x f 所以)(95)(2R x x x x f ∈+-= 方法三：待定系数法因为)(x f 是二次函数，故可设c bx ax x f ++=2)(，从而由564)12(2+-=+x x x f 可求出951=-==c b a 、、，所以)(95)(2R x x x x f ∈+-=（3）若已知抽象函数的表达式，则常用解方程组消参的方法求出)(x f 问题2：已知函数)(x f 满足x xf x f 3)1(2)(=+，求)(x f 因为 x xf x f 3)1(2)(=+① 以x 1代x 得 xx f x f 13)(2)1(⋅=+②由①②联立消去)1(x f 得)0(2)(≠-=x x xx f ★热点考点题型探析考点1：用图像法表示函数[例1] （09年广东南海中学）一水池有2个进水口, 1个出水口,一个口的进、出水的速度如图甲、乙所示.某天0点到6点,该水池的蓄水量如图丙所示．给出以下3个论断：进水量 出水量 蓄水量（1）0点到3点只进水不出水；（2）3点到4点不进水只出水；（3）4点到6点不进水不出水．则一定不正确．．．的论断是 (把你认为是符合题意的论断序号都填上) . [解题思路]根据题意和所给出的图象，对三个论断进行确认即可。

r=a(1+cosθ)图像画函数的图像通常用三种方法。

一是列表-描点法，这是最原始的画法。

二是利用函数的性质，包括一阶导数和二阶导数等的性质，判断函数的单调性、奇偶性、周期性和凸性等，结合关键点，如极值点、最值点、拐点、零点、与y 轴的交点等，画出函数的图像。

最后一种方法是利用计算器软件画出函数图像。

这当然是最省力的方法了。

极坐标函数通常很难利用第二种方法画出函数的图像。

只能利用第一种方法和第三种方法来画它的图像。

比如r=a(1+cosθ)就是一个极坐标函数，利用计算机软件做出它的图像，是一条心形线。

而且这个心有点“胖”，看起来像一个横放的桃子，桃柄的底端就是极点，柄的方向向左，但柄不是图像的一部分。

参数a决定了“桃子”的大小，如取a=3，则图像如下：如果取a=6，则图像如下：也可以用最原始的描点法画出这个极坐标函数的图像。

比如，取θ=0,π/6,π/4, π/3,π/2,2π/3,3π/4,5π/6,π……,并利用图像关于极轴的对称性，画出整个图像。

如果点不够，就要自己适当增加一些可以求得余弦值的点，比π/12,π/8,3π/2等。

至于图像的对称性，我们倒不需要通过作图来观察得到。

因为cosθ本身是一个偶函数，而θ和-θ是关于极轴对称的。

这就可以推出原函数的图像关于极轴对称了。

即r(-θ)=r(θ). 图像就关于极轴对称。

当然，我们也可以尝试把极坐标方程转化成直角坐标系方程。

为了描述方便，我们设a=1, 则r=√x2+y2,√x2+y2即x2+y2=√x2+y2+x. 可以发现，这样想要画出函数的图像，也很难判断它的性质，甚至用计算机软件都不容易表示出来。

基本上也只能通过描点法来实现了。

动手试一试，你会发现这是一件非常麻烦的事情。

因为当x取非零的整数时，y基本上都取得一个复杂的无理数。

虽然这样，只要你足够耐心，倒还是可以做到的。

因为任意无理数，我们都可以利用勾股定理，在坐标平面上表示出来。

一次函数的三种表示方法一次函数是数学中最基本的函数之一，它的表达式为y=ax+b，其中a和b为常数，x为自变量，y为因变量。

在实际应用中，我们常常需要对一次函数进行分析和处理，因此了解一次函数的三种表示方法是非常重要的。

第一种表示方法：函数图像函数图像是一次函数最直观的表示方法之一。

我们可以通过绘制函数图像来观察函数的性质和特点。

对于一次函数y=ax+b，我们可以通过画出其图像来观察a和b的取值对函数图像的影响。

当a>0时，函数图像呈现出从左下方向右上方的趋势；当a<0时，函数图像呈现出从左上方向右下方的趋势。

而b则是函数图像在y轴上的截距，它决定了函数图像与y轴的交点位置。

第二种表示方法：斜率截距式斜率截距式是一次函数的另一种常见表示方法。

它的表达式为y=kx+b，其中k为斜率，b为截距。

斜率表示的是函数图像在x轴上的变化率，它的值等于函数图像在任意一点的切线斜率。

截距则表示函数图像与y 轴的交点位置。

通过斜率截距式，我们可以方便地计算函数的斜率和截距，并且可以通过斜率和截距的取值来判断函数的性质。

第三种表示方法：点斜式点斜式是一次函数的另一种表示方法，它的表达式为y-y1=k(x-x1)，其中k为斜率，(x1,y1)为函数图像上的一点。

点斜式表示的是函数图像在点(x1,y1)处的切线方程。

通过点斜式，我们可以方便地求出函数图像在任意一点的切线方程，并且可以通过斜率的正负来判断函数图像在该点的上升或下降趋势。

综上所述，一次函数的三种表示方法分别是函数图像、斜率截距式和点斜式。

它们各自具有不同的优点和适用范围，我们可以根据具体情况选择合适的表示方法。

通过深入了解和掌握这三种表示方法，我们可以更好地理解和应用一次函数，为实际问题的解决提供有力的数学工具。

函数有哪几种表示法？你能谈谈它们的优点和不足吗？
答：表示函数有三种方法：解析法，列表法，图象法．结合其意义、优点与不足，分别说明如下．
(1)利用解析式(如学过的代数式)表示函数的方法叫做解析法．用解析式表示函数的优点是简明扼要、规范准确．已学利用函数的解析式，求自变量x＝a时对应的函数值，还可利用函数的解析式，列表、描点、画函数的图象，进而研究函数的性质，又可利用函数解析式的结构特点，分析和发现自变量与函数间的依存关系，猜想或推导函数的性质(如对称性、增减性等)，探求函数的应用等．不足之处是有些变量与函数关系很难或不能用解析式表示，求x与y的对应值需要逐个计算、有时比较繁杂．
(2)通过列表给出y与x的对应数值、表示y是x的函数的方法叫做列表法.列表法的优点是能鲜明地显现出自变量与函数值之间的数量关系,于是一些数学用表应运而生.
(3)利用图象表示y是x的函数的方法叫做图象法．用图象表示函数的优点是形象直观，清晰呈现函数的增减变化、点的对称、最大(或小)值等性质．图象法的不足之处是所画出的图象是近似的、局部的，观察或由图象确定的函数值往往不够准确．
由于函数关系的三种表示方法各具特色，优点突出，但大都存在着缺点，不尽人意，所以在应用中本着物尽其用、扬长避短、优势互补的精神，通常表示函数关系是把这三种方法结合起来运用，先确定函数的解析式，即用解析法表示函数；再根据函数解析式，计算自变量与函数的各组对应值，列表；最后是画出函数的图象．。

函数的三种表示方法对应典型练习题(图像法、列表法、解析法)祖π数学之高分速成新人教八年级下册基础知识3 函数的表示1.函数的表示方法可以用解析式法、列表法和图像法。

解析式法是用公式表示函数，列表法是将函数的定义域和值域列成表格，图像法是用函数的图像来表示函数。

2.描点法画函数图形的一般步骤是先确定定义域和值域，然后选择若干个自变量值，计算出相应的函数值，最后在平面直角坐标系中标出这些点，连接起来就是函数的图形。

题型1】图像法表示函数1.2008年5月12日，四川汶川发生8.0级大地震，我解放军某部火速向灾区推进。

官兵们坐车以某一速度匀速前进，但中途被阻停下。

为了尽快赶到灾区救援，官兵们下车急行军匀速步行前往。

根据函数的图像，可以判断出官兵们行进的距离S与行进时间t之间的关系。

2.故事中的乌鸦喝水问题可以用函数的图像来表示。

设从乌鸦看到瓶的那刻起向后的时间为x，瓶中水位的高度为y，可以画出函数的图像来表示乌鸦喝水的情景。

3.在矩形ABCD中，动点E从点B出发，沿BADC方向运动至点C处停止。

设点E运动的路程为x，△BCE的面积为y。

根据函数的图像，可以求出当x=7时，点E应运动到哪个位置。

4.在矩形ABCD中，AB=2，BC=1，动点P从点B出发，沿路线B-C-D作匀速运动。

根据函数的图像，可以求出△ABP的面积S与点P运动的路程x之间的函数图像。

5.XXX骑自行车上学，开始以正常速度匀速行驶，但行至中途自行车出了故障，只好停下来修车，车修好后，加快了骑车速度。

根据XXX到学校剩下的路程s关于时间t的函数图像，可以判断出符合XXX行驶情况的图像。

6.XXX每天坚持体育锻炼，星期天从家里跑步到公园，打了一会太极拳，然后沿原路慢步走到家。

根据XXX离家的距离y（米）与时间t（分钟）之间关系的函数图像，可以判断出当天XXX的运动情况。

7.小以400米/分叶的速度匀速骑车5分，在原地休息了6分，然后以500米/分的速度骑回出发地。

第7讲 函数的图象1．利用描点法作函数图象 其基本步骤是列表、描点、连线．首先：①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)．其次：列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线．2．利用图象变换法作函数的图象 (1)平移变换(2)对称变换①y ＝f (x )――――→关于x 轴对称y ＝－f (x )； ②y ＝f (x )――――→关于y 轴对称y ＝f (－x )； ③y ＝f (x )――――→关于原点对称y ＝－f (－x )；④y ＝a x (a ＞0且a ≠1)――――→关于y ＝x 对称y ＝log a x (x ＞0)． (3)翻折变换①y ＝f (x )――――――――――→保留x 轴及上方图象将x 轴下方图象翻折上去y ＝|f (x )|． ②y ＝f (x )――――――――――→保留y 轴及右边图象，并作其关于y 轴对称的图象y ＝f (|x |)． (4)伸缩变换①y ＝f (x )a ＞1，横坐标缩短为原来的1a倍，纵坐标不变0＜a ＜1，横坐标伸长为原来的1a 倍，纵坐标不变→y ＝f (ax )．②y ＝f (x )a ＞1，纵坐标伸长为原来的a 倍，横坐标不变0＜a ＜1，纵坐标缩短为原来的a 倍，横坐标不变→y ＝af (x )．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)当x ∈(0，＋∞)时，函数y ＝|f (x )|与y ＝f (|x |)的图象相同．( ) (2)函数y ＝af (x )与y ＝f (ax )(a >0且a ≠1)的图象相同．( ) (3)函数y ＝f (x )与y ＝－f (x )的图象关于原点对称．( )(4)若函数y ＝f (x )满足f (1＋x )＝f (1－x )，则函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称．( ) (5)将函数y ＝f (－x )的图象向右平移1个单位得到函数y ＝f (－x －1)的图象．( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)√ (5)×(教材习题改编)下列图象是函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x <0，x －1，x ≥0的图象的是( )答案：C(教材习题改编)甲、乙二人同时从A 地赶往B 地，甲先骑自行车到两地的中点再改为跑步，乙先跑步到中点再改为骑自行车，最后两人同时到达B 地．已知甲骑车比乙骑车的速度快，且两人骑车速度均大于跑步速度．现将两人离开A 地的距离s 与所用时间t 的函数关系用图象表示，则下列给出的四个函数图象中，甲、乙的图象应该是( )A ．甲是图①，乙是图②B ．甲是图①，乙是图④C ．甲是图③，乙是图②D ．甲是图③，乙是图④ 答案：B(教材习题改编)点P 从点O 出发，按逆时针方向沿周长为l 的图形运动一周，O ，P 两点连线的距离y 与点P 走过的路程x 的函数关系如图，那么点P 所走的图形是( )答案：C(教材习题改编)已知三个函数①y ＝a x ；②y ＝log b x ；③y ＝log c x 的图象如图所示，则a 、b 、c 的大小关系为( )A ．a ＜b ＜cB ．a ＜c ＜bC ．c ＜a ＜bD ．b ＜c ＜a解析：选A ．由题图知，0＜a ＜1，b ＞1，c ＞1.又当x ＞1时，log b x ＞log c x ＞0.即1log x b＞1log x c，所以log x c ＞log x b ，所以c ＞b .即a ＜b ＜c ，故选A ． 已知函数f (x )的图象如图所示，则函数g (x )＝log2f (x )的定义域是________．答案：(2，8]作函数的图象[典例引领]作出下列函数的图象． (1)y ＝x 2－2|x |－1. (2)y ＝x ＋2x －1.(3)y ＝|log 2(x ＋1)|.【解】 (1)先化简，再作图，y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －1，x ≥0，x 2＋2x －1，x <0，图象如图所示．(2)因为y ＝x ＋2x －1＝1＋3x －1，先作出y ＝3x 的图象，将其图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，即得y ＝x ＋2x －1的图象，如图所示．(3)利用函数y ＝log 2x 的图象进行平移和翻折变换，图象如图实线所示．函数图象的三种画法(1)直接法：当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征描出图象的关键点直接作出．(2)转化法：含有绝对值符号的函数，可脱掉绝对值符号，转化为分段函数来画图象． (3)图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、伸缩、翻折、对称得到，可利用图象变换作出．[注意] (1)画函数的图象一定要注意定义域．(2)利用图象变换法时要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响．[通关练习]作出下列函数的图象． (1)y ＝|x －2|·(x ＋1)； (2)y ＝2x －1x －1.解：(1)当x ≥2，即x －2≥0时， y ＝(x －2)(x ＋1)＝x 2－x －2＝⎝⎛⎭⎫x －122－94； 当x <2，即x －2<0时，y ＝－(x －2)(x ＋1)＝－x 2＋x ＋2＝－⎝⎛⎭⎫x －122＋94.所以y ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫x －122－94，x ≥2，－⎝⎛⎭⎫x －122＋94，x <2.这是分段函数，每段函数的图象可根据二次函数图象作出(如图)．(2)因为y ＝2x －1x －1＝2＋1x －1，故函数图象可由y ＝1x 的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到，如图所示．函数图象的识别(高频考点)函数图象的识别是每年高考的重点，题型为选择题，难度适中．主要命题角度有： (1)知式选图； (2)知图选式；(3)由实际问题的变化过程探究函数图象．[典例引领]角度一 知式选图(2017·高考全国卷Ⅲ)函数y ＝1＋x ＋sin xx2的部分图象大致为( )【解析】 易知函数g (x )＝x ＋sin xx 2是奇函数，其函数图象关于原点对称，所以函数y ＝1＋x ＋sin xx2的图象只需把g (x )的图象向上平移一个单位长度，结合选项知选D.【答案】 D角度二 知图选式已知函数f (x )的图象如图所示，则f (x )的解析式可以是( )A ．f (x )＝ln|x |xB ．f (x )＝e xxC ．f (x )＝1x2－1D ．f (x )＝x －1x【解析】 由函数图象可知，函数f (x )为奇函数，应排除B ，C ．若函数为f (x )＝x －1x ，则x →＋∞时，f (x )→＋∞，排除D ，故选A ．【答案】 A角度三 由实际问题的变化过程探究函数图象如图，长方形ABCD 的边AB ＝2，BC ＝1，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记∠BOP ＝x .将动点P 到A ，B 两点距离之和表示为x 的函数f (x )，则y ＝f (x )的图象大致为( )【解析】 当x ∈[0，π4]时，f (x )＝tan x ＋4＋tan 2 x ，图象不会是直线段，从而排除A ，C ．当x ∈[π4，3π4]时，f (π4)＝f (3π4)＝1＋5，f (π2)＝2 2.因为 22＜1＋5，所以 f (π2)＜f (π4)＝f (3π4)，从而排除D ，故选B ．【答案】 B识别函数图象的方法技巧函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势． (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性． (4)从函数的周期性，判断图象的循环往复． (5)从函数的特殊点，排除不合要求的图象．[注意] 由实际情景探究函数图象，关键是将问题转化为熟悉的数学问题求解，要注意实际问题中的定义域问题．[通关练习]1．已知定义在区间[0，2]上的函数y ＝f (x )的图象如图所示，则y ＝－f (2－x )的图象为( )解析：选B ．由f (x )――→关于y 轴对称f (－x )――→右移2个单位f [－(x －2)]――→沿x 轴翻折－f (2－x )． 2.如图，不规则四边形ABCD 中，AB 和CD 是线段，AD 和BC 是圆弧，直线l ⊥AB 交AB 于E ，当l 从左至右移动(与线段AB 有公共点)时，把四边形ABCD 分成两部分，设AE ＝x ，左侧部分的面积为y ，则y 关于x 的图象大致是( )解析：选C ．当l 从左至右移动时，一开始面积的增加速度越来越快，过了D 点后面积保持匀速增加，图象呈直线变化，过了C 点后面积的增加速度又逐渐减慢．故选C ．函数图象的应用(高频考点)函数图象的应用是每年高考的热点，题型既有选择题，也有填空题，难度偏大．主要命题角度有：(1)研究函数的性质； (2)求解不等式；(3)求解方程根(或函数零点)问题．[典例引领]角度一 研究函数的性质已知函数f (x )＝x |x |－2x ，则下列结论正确的是( ) A ．f (x )是偶函数，递增区间是(0，＋∞) B ．f (x )是偶函数，递减区间是(－∞，1) C ．f (x )是奇函数，递减区间是(－1，1) D ．f (x )是奇函数，递增区间是(－∞，0)【解析】 将函数f (x )＝x |x |－2x 去掉绝对值得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x <0，画出函数f (x )的图象，如图，观察图象可知，函数f (x )的图象关于原点对称，故函数f (x )为奇函数，且在(－1，1)上单调递减．【答案】 C角度二 求解不等式函数f (x )是定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)的奇函数，在(0，＋∞)上单调递增，f (3)＝0，若x ·[f (x )－f (－x )]<0，则x 的取值范围为________．【解析】 函数f (x )的图象大致如图所示．因为f (x )为奇函数，且x ·[f (x )－f (－x )]<0，所以2x ·f (x )<0. 由图可知，不等式的解集为(－3，0)∪(0，3)． 【答案】 (－3，0)∪(0，3)角度三 求解方程根(或函数零点)问题(1)直线y ＝k (x ＋3)＋5(k ≠0)与曲线y ＝5x ＋17x ＋3的两个交点坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＋y 1＋y 2等于( )A ．2B ．4C ．6D ．8(2)已知函数f (x )＝|x －2|＋1，g (x )＝kx .若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是( )A ．⎝⎛⎭⎫0，12B ．⎝⎛⎭⎫12，1 C ．(1，2)D ．(2，＋∞)【解析】 (1)因为y ＝5x ＋17x ＋3＝2x ＋3＋5，其图象关于点(－3，5)对称．又直线y ＝k (x＋3)＋5过点(－3，5)，如图所示．所以A 、B 关于点(－3，5)对称，所以x 1＋x 2＝2×(－3)＝－6，y 1＋y 2＝2×5＝10.所以x 1＋x 2＋y 1＋y 2＝4.(2)先作出函数f (x )＝|x －2|＋1的图象，如图所示，当直线g (x )＝kx 与直线AB 平行时斜率为1，当直线g (x )＝kx 过A 点时斜率为12，故f (x )＝g (x )有两个不相等的实根时，k 的范围为⎝⎛⎭⎫12，1.【答案】 (1)B (2)B(1)利用函数图象研究性质的方法①根据已知或作出的函数图象，从最高点、最低点，分析函数的最值、极值． ②从图象的对称性，分析函数的奇偶性．③从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性． ④从图象与x 轴的交点情况，分析函数的零点等． (2)利用函数的图象研究不等式思路当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合求解．(3)利用函数图象研究方程根的策略构造函数，转化为两熟悉函数图象的交点个数问题，在同一坐标系中分别作出两函数的图象，数形结合求解．[通关练习]1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(1－x )＋1，－1≤x <0x 3－3x ＋2，0≤x ≤a 的值域是[0，2]，则实数a 的取值范围是( )A ．(0，1]B ．[1，3]C ．[1，2]D ．[3，2]解析：选B ．先作出函数f (x )＝log 2(1－x )＋1，－1≤x <0的图象，再研究f (x )＝x 3－3x ＋2，0≤x ≤a 的图象．令f ′(x )＝3x 2－3＝0，得x ＝1(x ＝－1舍去)，由f ′(x )>0，得x >1，由f ′(x )<0，得0<x <1.又f (0)＝f (3)＝2，f (1)＝0.所以1≤a ≤ 3.故选B ．2．(2018·广州五校联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－2x ，x ≥0，x 2－2x ，x <0，若f (3－a 2)<f (2a )，则实数a的取值范围是________．解析：如图，画出f (x )的图象，由图象易得f (x )在R 上单调递减，因为f (3－a 2)<f (2a )，所以3－a 2>2a ，解得－3<a <1.答案：(－3，1)识图的方法对于给定函数的图象，要从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性，注意图象与函数解析式中参数的关系．用图的技巧借助函数图象，可以研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等性质．利用函数的图象，还可以判断方程f (x )＝g (x )的解的个数，求不等式的解集等．1．函数y ＝x sin x 在[－π，π]上的图象是( )解析：选A ．容易判断函数y ＝x sin x 为偶函数，排除D.当0<x <π2时，y ＝x sin x >0，当x＝π时，y ＝0，排除B 、C ，故选A ．2．定义一种运算：g ⊗h ＝⎩⎪⎨⎪⎧g (g ≥h )，h (g ＜h )，已知函数f (x )＝2x ⊗1，那么函数f (x －1)的大致图象是( )解析：选B ．由定义知，当x ≥0时，2x ≥1，所以f (x )＝2x ，当x ＜0时，2x ＜1，所以f (x )＝1，所以f (x )＝⎩⎨⎧2x，x ≥0，1，x ＜0，其图象易作，f (x －1)的图象可由f (x )的图象向右平移1个单位长度得到，故选B ．3．已知函数y ＝f (x )的图象如图所示，则函数y ＝log 12f (x )的图象大致是( )解析：选C ．法一：由函数y ＝f (x )的图象知，当x ∈(0，2)时，f (x )≥1，所以log 12f (x )≤0，结合选项知，选C ．法二：由函数f (x )的图象知，函数f (x )在(0，1)上是减函数，在(1，2)上是增函数，所以y ＝log 12f (x )在(0，1)上是增函数，在(1，2)上是减函数．结合各选项知，选C ．4．图中阴影部分的面积S 是关于h 的函数(0≤h ≤H )，则该函数的大致图象是( )解析：选B ．由题图知，随着h 的增大，阴影部分的面积S 逐渐减小，且减小得越来越慢，结合选项可知选B ．5．(2018·河南焦作模拟)函数f (x )＝|x |＋ax2(其中a ∈R )的图象不可能是( )解析：选C ．当a ＝0时，函数f (x )＝|x |＋ax 2＝|x |，函数的图象可以是B ；当a ＝1时，函数f (x )＝|x |＋a x 2＝|x |＋1x2，函数的图象可以类似A ；当a ＝－1时，函数f (x )＝|x |＋a x 2 ＝|x |－1x 2，x >0时，|x |－1x 2＝0只有一个实数根x ＝1，函数的图象可以是D ；所以函数的图象不可能是C ．故选C ．6．如图，定义在[－1，＋∞)上的函数f (x )的图象由一条线段及抛物线的一部分组成，则f (x )的解析式为________．解析：当x ∈[－1，0]时，设y ＝kx ＋b ，由图象得⎩⎪⎨⎪⎧－k ＋b ＝0，k ×0＋b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，b ＝1，所以y ＝x ＋1；当x ∈(0，＋∞)时，设y ＝a (x －2)2－1， 由图象得0＝a ·(4－2)2－1，解得a ＝14，所以y ＝14(x －2)2－1.综上可知，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ∈[－1，0]，14(x －2)2－1，x ∈(0，＋∞).答案：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ∈[－1，0]，14(x －2)2－1，x ∈(0，＋∞) 7．使log 2(－x )<x ＋1成立的x 的取值范围是________．解析：在同一坐标系内作出y ＝log 2(－x )，y ＝x ＋1的图象，知满足条件的x ∈(－1，0)．答案：(－1，0)8．已知函数f (x )的定义域为R ，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x －1，x ≤0，f (x －1)，x >0，若方程f (x )＝x ＋a 有两个不同实根，则实数a 的取值范围为________．解析：当x ≤0时，f (x )＝2－x －1，0<x ≤1时，－1<x －1≤0，f (x －1)＝2－(x －1)－1. 故x >0时，f (x )是周期函数，如图所示．若方程f (x )＝x ＋a 有两个不同的实数根，则函数f (x )的图象与直线y ＝x ＋a 有两个不同交点，故a <1，即a 的取值范围是(－∞，1)． 答案：(－∞，1)9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3－x 2，x ∈[－1，2]，x －3，x ∈（2，5].(1)在如图所示给定的直角坐标系内画出f (x )的图象； (2)写出f (x )的单调递增区间；(3)由图象指出当x 取什么值时f (x )有最值． 解：(1)函数f (x )的图象如图所示．(2)由图象可知，函数f (x )的单调递增区间为[－1，0]，[2，5]． (3)由图象知当x ＝2时，f (x )min ＝f (2)＝－1， 当x ＝0时，f (x )max ＝f (0)＝3.10．已知函数f (x )＝x |m －x |(x ∈R )，且f (4)＝0. (1)求实数m 的值； (2)作出函数f (x )的图象；(3)根据图象指出f (x )的单调递减区间；(4)若方程f (x )＝a 只有一个实数根，求a 的取值范围． 解：(1)因为f (4)＝0，所以4|m －4|＝0，即m ＝4.(2)f (x )＝x |x －4|＝⎩⎪⎨⎪⎧x (x －4)＝(x －2)2－4，x ≥4，－x (x －4)＝－(x －2)2＋4，x <4， f (x )的图象如图所示．(3)f (x )的单调递减区间是[2，4]．(4)从f (x )的图象可知，当a >4或a <0时，f (x )的图象与直线y ＝a 只有一个交点，方程f (x )＝a 只有一个实数根，即a 的取值范围是(－∞，0)∪(4，＋∞)．1．(2017·高考全国卷Ⅰ)函数y ＝sin 2x1－cos x的部分图象大致为()解析：选C ．由题意，令函数f (x )＝sin 2x1－cos x ，其定义域为{x |x ≠2k π，k ∈Z }，又f (－x )＝sin(－2x )1－cos(－x )＝－sin 2x1－cos x ＝－f (x )，所以f (x )＝sin 2x1－cos x 为奇函数，其图象关于原点对称，故排除B ；因为f (π2)＝sin π1－cos π2＝0，f (3π4)＝sin3π21－cos3π4＝－11＋22<0，所以排除A ；f (π)＝sin 2π1－cos π＝0，排除D.故选C ．2．(2017·高考全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝ln x ＋ln(2－x )，则( )A ．f (x )在(0，2)单调递增B ．f (x )在(0，2)单调递减C ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称D ．y ＝f (x )的图象关于点(1，0)对称解析：选C ．法一：由题意知，f (x )＝ln x ＋ln(2－x )的定义域为(0，2)，f (x )＝ln[x (2－x )]＝ln[－(x －1)2＋1]，由复合函数的单调性知，函数f (x )＝ln x ＋ln(2－x )在(0，1)单调递增，在(1，2)单调递减，所以排除A ，B ；又f (12)＝ln 12＋ln(2－12)＝ln 34，f (32)＝ln 32＋ln(2－32)＝ln 34，所以f (12)＝f (32)＝ln 34，所以排除D ，故选C ．法二：由题意知，f (x )＝ln x ＋ln(2－x )的定义域为(0，2)，f ′(x )＝1x ＋1x －2＝2(x －1)x (x －2)，由⎩⎨⎧f ′(x )>00<x <2，得0<x <1；由⎩⎨⎧f ′(x )<00<x <2，得1<x <2，所以函数f (x )＝ln x ＋ln(2－x )在(0，1)单调递增，在(1，2)单调递减，所以排除A ，B ；又f (12)＝ln 12＋ln(2－12)＝ln 34，f (32)＝ln 32＋ln(2－32)＝ln 34，所以f (12)＝f (32)＝ln 34，所以排除D ，故选C ．3.如图，半径为2的圆O 切直线MN 于点P ，射线PK 从PN 出发绕点P 按逆时针方向旋转到PM ，旋转过程中，PK 交圆O 于点Q ，设∠POQ 为x (rad)，弓形PmQ 的面积S ＝f (x )，则f (x )的图象大致是( )解析：选D.由题意知，半径为2的圆O 切直线MN 于点P ，射线PK 从PN 出发绕点P 按逆时针方向旋转到PM ，旋转过程中，弓形PmQ 的面积S ＝f (x )＝x 2π×π×22－12sin x ×22＝2x －2sin x ．因为f ′(x )＝2－2cos x ≥0恒成立且不恒为0，所以f (x )为增函数．令g (x )＝2－2cos x ，则当x ∈[0，π]时，g ′(x )＝2sin x ≥0，故函数f (x )的图象向下凹，当x ∈[π，2π]时，g ′(x )＝2sin x ≤0，故函数f (x )的图象向上凸，故选项D 中的图象满足要求，选D.4．(2018·安徽黄山模拟)函数f (x )＝⎩⎨⎧ln x (x >0)，－－x (x ≤0)与g (x )＝|x ＋a |＋1的图象上存在关于y 轴对称的点，则实数a 的取值范围是( )A ．RB ．(－∞，－e]C ．[e ，＋∞)D ．∅解析：选C ．设y ＝h (x )与y ＝f (x )的图象关于y 轴对称，则h (x )＝f (－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln(－x )，x <0，－x ，x ≥0，作出y ＝h (x )与y ＝g (x )的函数图象如图所示．因为f (x )与g (x )图象上存在关于y 轴对称的点，所以y ＝h (x )与y ＝g (x )的图象有交点，所以－a ≤－e ，即a ≥e.故选C ．5．已知函数f (x )＝2x ，x ∈R .(1)当m 取何值时方程|f (x )－2|＝m 有一个解？两个解？(2)若不等式f 2(x )＋f (x )－m >0在R 上恒成立，求m 的取值范围．解：(1)令F (x )＝|f (x )－2|＝|2x －2|，G (x )＝m ，画出F (x )的图象如图所示，由图象看出，当m ＝0或m ≥2时，函数F (x )与G (x )的图象只有一个交点，原方程有一个解；当0<m <2时，函数F (x )与G (x )的图象有两个交点，原方程有两个解．(2)令f (x )＝t (t >0)，H (t )＝t 2＋t ，因为H (t )＝⎝⎛⎭⎫t ＋122－14在区间(0，＋∞)上是增函数，所以H (t )>H (0)＝0. 因此要使t 2＋t >m 在区间(0，＋∞)上恒成立，应有m ≤0， 即所求m 的取值范围为(－∞，0]．6．已知函数f (x )的图象与函数h (x )＝x ＋1x ＋2的图象关于点A (0，1)对称．(1)求f (x )的解析式；(2)若g (x )＝f (x )＋ax ，且g (x )在区间(0，2]上为减函数，求实数a 的取值范围．解：(1)设f (x )图象上任一点P (x ，y )，则点P 关于(0，1)点的对称点P ′(－x ，2－y )在h (x )的图象上， 即2－y ＝－x －1x ＋2，所以y ＝f (x )＝x ＋1x (x ≠0)．(2)g (x )＝f (x )＋ax ＝x ＋a ＋1x ，g ′(x )＝1－a ＋1x 2. 因为g (x )在(0，2]上为减函数， 所以1－a ＋1x 2≤0在(0，2]上恒成立，即a ＋1≥x 2在(0，2]上恒成立， 所以a ＋1≥4， 即a ≥3，故实数a 的取值范围是[3，＋∞)．。

y x o y x o y x o y x o 函数的图象1、函数的概念：如果在一个变化过程中，有两个变量，例如x 和y ，对于x 的每一个值，y 都有的唯一值与之对应，我们就说x 是自变量，y 是因变量。

此时我们也称y 是x 的函数。

2、表示函数关系的方法通常有三种：解析法、列表法、图象法。

其中解析法是最常见的表示方法。

3、画函数的图像：画函数图象的方法可以概括为列表、描点、连线三步，通常称为三步法画函数图像。

4、画函数图像本质上就是把函数由解析法或列表法向图像法转换的过程。

解析法——————列表法——————图像法5、点函数图像：函数图像上的每一个点，点的横坐标代入自变量，纵坐标代入因变量，这两个量必须满足函数解析式，或在列表中对应，反之，对应的一组自变量和应变量，作为一组有序实数对，则它所对应的点，必然在函数的图像上。

知识点1、函数的图象总结：一般来说，函数的图象是由直角坐标系中的一系列 组成．图象上每一点的坐标(x ，y)代表了函数的 ，它的横坐标x 表示 的某一个值，纵坐标y 表示与它对应的 值． 知识点2、函数图象画图步骤画出函数y ＝x ＋1的图象．总结：画函数图象的方法，可以概括为 、 、 三步，通常称为 法．热身练习：1、点（-1,2）在第象限A 、一 B 、二 C 、三 D 、四2、点（-1,1）关于x 轴的对称点在第（ ）象限 A 、一 B 、二 C 、三 D 、四3、如图，射线乙甲、L L 分别表示甲、乙两名运动员在自行车比赛中所走的路程s 和时间t 的函数关系，则它们所行的速度关系是（ ）A 、甲比乙快 B 、乙比甲快 C 、甲乙同速 D 、不一定4、小明骑自行车上学，开始以正常速度匀速行驶，但行至中途自行车出了故障，只好停下来修车，车修好后，因怕耽误上课，他比修车前加快了骑车的速度继续匀速行驶，下面是行使路程s （米）关于时间t （分）的函数图象，那么符合这个同学行使情况的图像大致是（ ）A BD例题辨析例1、函数x y 21 2的图象．分析 用描点法画函数图象的步骤：分为列表、描点、连线三步．练习画出函数y ＝4x －1的图象：例2、王教授和孙子小强经常一起进行早锻炼，主要活动是爬山．有一天，小强让爷爷先上，然后追赶爷爷；右图中两条线段分别表示小强和爷爷离开山脚的距离 (米)与爬山所用时间(分)的关系(从小强开始爬山时计时)，看图回答下列问题：1．小强让爷爷先上多少米?2．山顶距离山脚多少米?谁先爬上山顶?3．小强通过多少时间追上爷爷?练习如图表示某学校秋游活动时，学生乘坐旅游车所行走的路程与时间的关系的示意图，请根据示意田回答下列问题：1．学生 时下车参观第一风景区，参观时间有 时。