函数的三种表示方法

1表示函数图像的三种方法在本章中，我们将学习三种表示函数的方法． 一、列表法通过表格的形式来表示两个变量的函数关系，称为列表法．用表格表示函数就是把自变量的一组值和其对应的函数值列成一个表格．这样表示函数的好处是非常直观，表格中已有的自变量的每一个值，不需要计算就可以直接从表格中找到与它对应的函数值，使用较方便．但列表法表示函数具有一定的局限性，列出的数值是有限的，而且从表格中也不容易看到自变量和与其函数值之间的对应关系．例1 信件的质量m (克)020m <≤ 2040m <≤ 4060m <≤ 邮费y (元) 0.80 1.20 1.60 m y m的不同取值范围内的对应的y 值．二、解析式法两个变量之间的函数关系，一般情况下可以用含有这两个变量的等式表示．即解析式法，也叫关系式法．用解析法表示函数关系能准确地表示出自变量与其函数之间的数量关系，能很准确的得到所有自变量与其对应的函数值．但利用解析式表示的函数关系，在求函数值时，有时计算比较复杂，而且有的函数关系不一定能用解析式表示出来．如，函数解析式21y x =-能很好的表示y 与x 的对应关系，y 是x 的函数．三、图象法将自变量与其对应的函数值，组成一组组实数对，作为点的坐标，在平面直角坐标系内把这些所有点的坐标描述出来，即可得到函数的图象，用图象表示函数关系的方法，就叫图象法．用图象法表示函数形象直观，通过图象，可形象地把函数的变化趋势表示出来，根据函数的图象还能较好地研究函数的性质．画函数的图象时，要根据不同函数类型的图象特征，选用适当的方法．需要注意的是从函数图象上一般只能得到近似的数量关系．例2 如图表示的是某市6月份一天气温随时间变化的情况，请观察此图，并说说可以得到哪些结论？解：从图象上观察到这一天的最高气温是36℃; 这天共有9个小时的气温在31℃以上; 这天在3～15（点） 内温度在上升;通过计算可以得出次日凌晨1点的气温大约在23～26（℃）之间．。

函数的表示方法★知识梳理一、函数的三种表示法：图象法、列表法、解析法1．图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系； 2．列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系； 3．解析法：就是把两个变量的函数关系，用等式来表示。

二、分段函数在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数。

★重、难点突破重点：掌握函数的三种表示法-----图象法、列表法、解析法，分段函数的概念 难点：分段函数的概念，求函数的解析式重难点：掌握求函数的解析式的一般常用方法： （1）若已知函数的类型（如一次函数、二次函数），则用待定系数法； （2）若已知复合函数)]([x g f 的解析式，则可用换元法或配凑法； 问题1．已知二次函数)(x f 满足564)12(2+-=+x x x f ，求)(x f 方法一：换元法令)(12R t t x ∈=+，则21-=t x ，从而)(955216)21(4)(22R t t t t t t f ∈+-=+-⋅--= 所以)(95)(2R x x x x f ∈+-= 方法二：配凑法因为9)12(5)12(410)12(564)12(222++-+=+-+==+-=+x x x x x x x f 所以)(95)(2R x x x x f ∈+-= 方法三：待定系数法因为)(x f 是二次函数，故可设c bx ax x f ++=2)(，从而由564)12(2+-=+x x x f 可求出951=-==c b a 、、，所以)(95)(2R x x x x f ∈+-=（3）若已知抽象函数的表达式，则常用解方程组消参的方法求出)(x f 问题2：已知函数)(x f 满足x xf x f 3)1(2)(=+，求)(x f 因为 x xf x f 3)1(2)(=+① 以x 1代x 得 xx f x f 13)(2)1(⋅=+②由①②联立消去)1(x f 得)0(2)(≠-=x x xx f ★热点考点题型探析考点1：用图像法表示函数[例1] （09年广东南海中学）一水池有2个进水口, 1个出水口,一个口的进、出水的速度如图甲、乙所示.某天0点到6点,该水池的蓄水量如图丙所示．给出以下3个论断：进水量 出水量 蓄水量（1）0点到3点只进水不出水；（2）3点到4点不进水只出水；（3）4点到6点不进水不出水．则一定不正确．．．的论断是 (把你认为是符合题意的论断序号都填上) . [解题思路]根据题意和所给出的图象，对三个论断进行确认即可。

函数的表示方法1．函数的表示方法：列表法，图象法，解析法；2．分段函数：在函数的定义域内，对于自变量的不同取值区间，有着不同的对应法则3．函数图象的一类基本变换①：将函数的图象关于y轴对称得到的新的图像就是的图像；②：将函数的图象关于x轴对称得到的新的图像就是的图像；③：将函数的图象在x轴下方的部分对称到x轴的上方，连同函数的图象在x轴上方的部分得到的新的图像就是的图像；④：将函数的图象在y轴左侧的部分去掉，函数的图象在y轴右侧的部分对称到y轴的左侧，连同函数的图象在y轴右侧的部分得到的新的图像就是的图像．4．函数值域的求法观察法：通过对解析式的简单变形和观察，利用熟知的基本函数的值域，求出函数的值域；配方法：若函数是二次函数形式，可通过配方后再结合二次函数的性质求值域，但要注意给定区间上的二次函数最值的求法；分离常数法：形如的函数值域为；反函数法：如求函数的值域，解出，，解得；判别式法：求f（x）=（a12+a22≠0）的值域时，常利用函数的定义域非空这一隐含的条件，将函数转化为方程，利用Δ≥0转化为关于函数值的不等式1．关于分段函数的叙述,正确的有( )分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集；分段函数尽管在定义域不同的部分有不同的对应法则，但它们是一个函数；若分别是分段函数的两个不同对应法则的值域，那么A．1个 B．2个 C．3个 D．0个2．已知，则（ ） A． B． C． D．3．函数的图象是（ ） A．关于直线对称 B．关于直线对称C．关于直线对称 D．不是对称图形4．已知，则 5．函数y=的定义域为______________，值域为___________________6．函数的图像是（　）7．已知，则8．函数的值域是1．B　2．A　3．B　4． 5．［－1，2］，［0，］ 6．A7． 8．函数的单调性1．增函数和减函数 对于函数的定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值⑴若当<时，都有<,则说在这个区间上是增函数；⑵若当<时，都有 >,则说在这个区间上是减函数．2．单调性和单调区间 若函数在某个区间是增函数或减函数，则就说函数在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数的单调区间，此时也说函数是这一区间上的单调函数．3．证明函数单调性的一般步骤⑴设,是给定区间内的任意两个值，且<；⑵作差－，并将此差式变形（要注意变形的程度）；⑶判断－的正负（要注意说理的充分性）；⑷根据－的符号确定其增减性．4．复合函数单调性的判断对于函数和，如果在区间上是具有单调性，当时，，且在区间上也具有单调性，则复合函数在区间具有单调性的规律见下表：增↗减↘增↗减↘增↗减↘增↗减↘减↘增↗以上规律还可总结为： “同增异减”．1．下列命题正确的是（）A．定义在上的函数，若存在，使得时有，那么在上为增函数B．定义在上的函数，若有无穷多对，使得时有，那么在上为增函数C．若在区间上为增函数，在区间上也为增函数，那么在上也一定为增函数D．若在区间上为增函数且，那么。

函数的表示法解读函数有三种常用的表示方法解析法意义列表法意义图像法意义相互转化1、解析法把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解析式.优点：①简明、全面地概括了变量间的关系，便于运用解析式研究和应用函数的性质.②通过解析式可求出任意一个自变量的值所对应的函数值.2、列表法即列出表格来表示两个变量的函数关系.优点：不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值，列表法在实际生产和生活中有广泛的应用.3、图像法即用图像表示相对应的函数值.优点：能直观形象地表示自变量的变化，相应的函数值的变化趋势，使我们可通过图像来研究函数的某些性质.特别提示以下两类问题值得我们很好地研究：①如何在条件下确定函数：欲确定一个函数，即是要设法得到这个函数的表示，这时要注意从解析式能否确定、是否可以列出相应的表格和是否可以作出函数的图像这三个方面去考虑，通常情况下的优先考虑是设法求出函数的解析式②在给出函数表示方法的根底上研究函数的性质：无论是用哪一种方法表示出函数，都已经确定了函数中两个变量之间的关系，这一关系反映了该函数的各种性质，具体研究时，主要围绕函数的定义域、值域、图像等方面思考，注意数形结合思考问题4.难点疑点突破〔1〕函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法那么，二是要求出函数的定义域.求函数表达式的主要方法有：待定系数法、换元法、消参法等，如果函数解析式的构造时，可用待定系数法；复合函数f［g(x)］表达式时，可用换元法，这时要注意自变量的取值范围；当表达式简单时，也可用配凑法，假设抽象的函数表达式，那么常用解方程组，消参的方法求出f(x).〔2〕函数的图像是函数关系的一种表示形式，它反映了从“图形〞方面刻画函数的变化规律.它可以帮助我们研究函数的有关性质，也可以帮助我们记忆各类函数的根本性质.函数的图像可能是一条光滑的直线，也可能是直线或折线或其中的一局部，还可能是一些间断点.描点法是作函数的图像的根本方法.。

函数的三种表示方法教案函数是数学中的一个重要概念，它描述了一个变量如何依赖于另一个变量。

在数学和计算机科学中，函数有多种表示方法，包括数学公式、图表和程序代码。

本教案将介绍函数的三种表示方法，并提供相关的教学示例和练习。

一、数学公式表示。

数学公式是最常见的函数表示方法之一。

通过数学公式，我们可以用符号和变量的组合来描述函数的关系。

例如，函数f(x) = x^2就是一个数学公式表示的函数，它表示了输入变量x和输出变量f(x)之间的关系。

在教学中，我们可以通过讲解数学公式的含义和使用方法，帮助学生理解函数的抽象概念，并进行相关的练习和作业。

二、图表表示。

图表表示是另一种直观的函数表示方法。

通过绘制函数的图表，我们可以直观地看到输入和输出之间的关系。

例如，对于函数f(x) = sin(x)，我们可以通过绘制正弦曲线来展示函数的周期性和波动特性。

在教学中，我们可以引导学生观察和分析图表，帮助他们理解函数的变化规律和特点，并进行相关的练习和实验。

三、程序代码表示。

在计算机科学中，函数通常通过程序代码来表示和实现。

程序代码表示方法将函数的计算过程具体化，使得函数可以被计算机执行和应用。

例如，对于函数f(x) = 2x + 1，我们可以用Python代码来实现这个函数，并通过输入不同的x值来得到相应的输出结果。

在教学中，我们可以通过编程实践来教授函数的程序代码表示方法，帮助学生理解函数的实际运用和计算机实现。

综上所述，函数的三种表示方法分别是数学公式表示、图表表示和程序代码表示。

通过这些表示方法，我们可以全面地理解和应用函数的概念和特性。

在教学中，我们可以结合具体的例子和练习，帮助学生掌握这些表示方法，并培养他们的函数思维和计算能力。

希望本教案能够对函数的教学和学习有所帮助。

函数的三种表示方法教案函数是数学中非常重要的概念，它在数学、物理、工程等领域都有着广泛的应用。

在学习函数的表示方法时，我们通常会接触到三种不同的表示方法，分别是表格法、图像法和公式法。

本教案将针对这三种方法进行详细的介绍和示范。

一、表格法。

表格法是最直观的函数表示方法之一。

通过建立自变量和因变量之间的对应关系，我们可以将函数的取值用表格的形式清晰地展现出来。

比如，对于函数y = 2x + 1，我们可以列出x的取值和相应的y的取值，然后将其整理成表格的形式。

这样，我们就可以清晰地看到x和y之间的对应关系，从而更好地理解函数的性质。

二、图像法。

图像法是通过绘制函数的图像来表示函数的方法。

通过将函数表示在坐标系中，我们可以直观地看到函数的增减性、奇偶性、周期性等特点。

同时，图像法也可以帮助我们更好地理解函数与几何图形之间的关系，比如直线函数对应着一条直线，二次函数对应着抛物线等。

因此，通过图像法，我们可以更深入地理解函数的几何意义。

三、公式法。

公式法是最常用的函数表示方法之一。

通过用代数符号和运算符号构成的公式来表示函数，我们可以简洁地表达函数的性质和特点。

比如，对于函数y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c分别代表抛物线的开口方向、顶点坐标等特征。

通过公式法，我们可以直接得到函数的一些重要性质，比如导数、极值、零点等，从而更好地分析函数的性态。

综合运用。

在学习函数的表示方法时，我们需要综合运用表格法、图像法和公式法。

通过表格法，我们可以直观地看到函数值的对应关系；通过图像法，我们可以直观地看到函数的几何特征；通过公式法，我们可以简洁地表达函数的性质。

综合运用这三种方法，可以帮助我们更全面地理解函数的性质和特点。

结语。

通过本教案的学习，相信大家对函数的三种表示方法有了更深入的了解。

在学习函数时，我们要灵活运用这三种方法，从不同的角度去理解函数的性质和特点。

同时，我们也要注重实际问题与函数的联系，通过函数的表示方法去解决实际问题，提高数学建模和问题求解的能力。

函数的表示法[学习目标] 1.掌握函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法.2.会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数. 知识点函数的三种表示方法思考(1)函数的三种表示方法各有什么优、缺点？(2)任何一个函数都可以用解析法、列表法、图象法三种形式表示吗？答(1)三种表示方法的优、缺点比较：(2)不一定并不是所有的函数都可以用解析式表示，不仅如此，图象法也不适用于所有函数，如D(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x∈Q，1，x∈∁R Q.列表法虽在理论上适用于所有函数，但对于自变量有无数个取值的情况，列表法只能表示函数的一个概况或片段.题型一作函数的图象例1作出下列函数的图象：(1)y＝x＋1(x∈Z)；(2)y＝x2－2x(x∈[0,3)).解(1)这个函数的图象由一些点组成，这些点都在直线y＝x＋1上，如图(1)所示.(2)因为0≤x＜3，所以这个函数的图象是抛物线y＝x2－2x介于0≤x＜3之间的一部分，如图(2)所示.跟踪训练1画出下列函数的图象：(1)y＝x＋1(x≤0)；(2)y＝x2－2x(x＞1，或x＜－1).解(1)y＝x＋1(x≤0)表示一条射线，图象如图(1).(2)y＝x2－2x＝(x－1)2－1(x＞1，或x＜－1)是抛物线y＝x2－x去掉－1≤x≤1之间的部分后剩余曲线.如图(2).题型二列表法表示函数例2已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出则f(g(1))的值为________；满足f(g(x))>g(f答案1 2解析∵g(1)＝3，∴f(g(1))＝f(3)＝1.f(g(x))与g(f(x))与x相对应的值如下表所示.∴f(g(x))>g(f(x))的解为x＝2.跟踪训练2已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出(1)f[g(1)]＝__________；(2)若g[f(x)]＝2，则x＝__________.答案(1)1(2)1解析 (1)由表知g (1)＝3，∴f [g (1)]＝f (3)＝1； (2)由表知g (2)＝2，又g [f (x )]＝2，得f (x )＝2， 再由表知x ＝1.题型三 待定系数法求函数解析式例3 (1)已知f (x )是一次函数，且f [f (x )]＝4x －1，求f (x )； (2)已知f (x )是二次函数，且满足f (0)＝1，f (x ＋1)－f (x )＝2x ，求f (x ). 解 (1)∵f (x )是一次函数， ∴设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则f [f (x )]＝f (ax ＋b )＝a (ax ＋b )＋b ＝a 2x ＋ab ＋b . 又∵f [f (x )]＝4x －1， ∴a 2x ＋ab ＋b ＝4x －1，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，ab ＋b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－13或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝1. ∴f (x )＝2x －13或f (x )＝－2x ＋1.(2)∵f (x )是二次函数， ∴设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 由f (0)＝1，得c ＝1，由f (x ＋1)－f (x )＝2x ，得a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋1－ax 2－bx －1＝2x . 左边展开整理得2ax ＋(a ＋b )＝2x ，由恒等式原理知⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝2，a ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1.∴f (x )＝x 2－x ＋1.跟踪训练3 已知二次函数f (x )满足f (0)＝1，f (1)＝2，f (2)＝5，求该二次函数的解析式. 解 设二次函数的解析式为f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1，a ＋b ＋c ＝2，4a ＋2b ＋c ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0，c ＝1，故f (x )＝x 2＋1.题型四 换元法(或配凑法)求函数解析式 例4 求下列函数的解析式： (1)已知f ⎝⎛⎭⎫1＋x x ＝1＋x 2x 2＋1x ，求f (x )； (2)已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，求f (x ).解 (1)方法一 (换元法)令t ＝1＋x x ＝1x＋1，则t ≠1.把x ＝1t －1代入f⎝⎛⎭⎫1＋x x ＝1＋x 2x 2＋1x ，得 f (t )＝1＋⎝⎛⎭⎫1t －12⎝⎛⎭⎫1t －12＋11t －1＝(t －1)2＋1＋(t －1)＝t 2－t ＋1. ∴所求函数的解析式为f (x )＝x 2－x ＋1，x ∈(－∞，1)∪(1，＋∞).方法二 (配凑法)∵f ⎝⎛⎭⎫1＋x x ＝1＋x 2＋2x －2x x 2＋1x ＝⎝⎛⎭⎫1＋x x 2－1＋x －x x ＝⎝⎛⎭⎫1＋x x 2－1＋xx ＋1， ∴f (x )＝x 2－x ＋1. 又∵1＋x x ＝1x＋1≠1，∴所求函数的解析式为f (x )＝x 2－x ＋1(x ≠1). (2)方法一 (换元法)令x ＋1＝t (t ≥1)， 则x ＝(t －1)2，∴f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)2＝t 2－1. ∴f (x )＝x 2－1(x ≥1).方法二 (配凑法)∵x ＋2x ＝(x ＋1)2－1， ∴f (x ＋1)＝(x ＋1)2－1.又∵x ＋1≥1，∴f (x )＝x 2－1(x ≥1).跟踪训练4 已知函数f (x ＋1)＝x 2－2x ，则f (x )＝________. 答案 x 2－4x ＋3解析 方法一 (换元法)令x ＋1＝t ，则x ＝t －1，可得f (t )＝(t －1)2－2(t －1)＝t 2－4t ＋3，即f (x )＝x 2－4x ＋3. 方法二 (配凑法)因为x 2－2x ＝(x 2＋2x ＋1)－(4x ＋4)＋3＝(x ＋1)2－4(x ＋1)＋3， 所以f (x ＋1)＝(x ＋1)2－4(x ＋1)＋3， 即f (x )＝x 2－4x ＋3.忽略函数的定义域致误例5 已知f (x －1)＝2x ＋x ，求f (x ). 错解 令t ＝x －1，则x ＝(t ＋1)2， 所以f (t )＝2(t ＋1)2＋(t ＋1)＝2t 2＋5t ＋3， 所以f (x )＝2x 2＋5x ＋3.正解 令t ＝x －1，则t ≥－1，x ＝(t ＋1)2， 所以f (t )＝2(t ＋1)2＋(t ＋1)＝2t 2＋5t ＋3， 所以f (x )＝2x 2＋5x ＋3(x ≥－1).易错警示跟踪训练5 已知f (1＋1x )＝1x 2－1，求f (x ).解 令t ＝1＋1x (x ≠0)，则x ＝1t －1(t ≠1)，所以f (t )＝(t －1)2－1＝t 2－2t (t ≠1)， 所以f (x )＝x 2－2x (x ≠1).1.已知f (x ＋2)＝6x ＋5，则f (x )等于( ) A.18x ＋17 B.6x ＋5 C.6x －7D.6x －52.小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶. 与以上事件吻合得最好的图象是( )3.已知函数f (x )由下表给出，则f (f (3))＝________.4.已知f(x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)_______. 5.已知f (x )为二次函数，若f (0)＝0，且f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，求f (x )的表达式.一、选择题1.已知f (x )是一次函数，2f (2)－3f (1)＝5,2f (0)－f (－1)＝1，则f (x )等于( ) A.3x ＋2 B.3x －2 C.2x ＋3 D.2x －32.已知f (x －1)＝x 2，则f (x )的解析式为( )A.f (x )＝x 2＋2x ＋1B.f (x )＝x 2－2x ＋1C.f (x )＝x 2＋2x －1D.f (x )＝x 2－2x －1 3.已知f (1－2x )＝1x 2，则f (12)的值为( )A.4B.14C.16D.1164.函数f (x )＝x ＋|x |x的图象是( )5.如图中图象所表示的函数的解析式为( )A.y ＝32|x －1|(0≤x ≤2)B.y ＝32－32|x －1|(0≤x ≤2)C.y ＝32－|x －1|(0≤x ≤2)D.y ＝1－|x －1|(0≤x ≤2)6.设f (x )＝2x ＋a ，g (x )＝14(x 2＋3)，且g (f (x ))＝x 2－x ＋1，则a 的值为( )A.1B.－1C.1或－1D.1或－2二、填空题7.已知f (x )是一次函数，若f (f (x ))＝4x ＋8，则f (x )的解析式为________________.8.函数y ＝x 2－4x ＋6，x ∈[1,5)的值域是________. 9.若2f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝2x ＋12(x ≠0)，则f (2)＝________. 10.如图，函数y ＝f (x )的图象是折线段ABC ，其中A ，B ，C 的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则f (f (0))＝____.三、解答题11.作出下列函数的图象，并求出其值域. (1)y ＝x 2＋2x ，x ∈[－2,2]； (2)y ＝|x ＋1|.12.(1)已知f (x )是一次函数，且满足2f (x ＋3)－f (x －2)＝2x ＋21，求f (x )的解析式； (2)已知f (x )为二次函数，且满足f (0)＝1，f (x －1)－f (x )＝4x ，求f (x )的解析式.13.求下列函数的解析式：(1)已知f ⎝⎛⎭⎫x －1x ＝x 2＋1x 2＋1，求f (x )的解析式； (2)已知f (x )＋2f (－x )＝x 2＋2x ，求f (x )的解析式.当堂检测答案1.答案 C解析 设x ＋2＝t ，得x ＝t －2， ∴f (t )＝6(t －2)＋5＝6t －7， ∴f (x )＝6x －7，故选C. 2.答案 C解析 由题意，知该学生离学校越来越近，故排除选项A ；又由于开始时匀速，后来因交通堵塞停留一段时间，最后是加快速度行驶，故选C. 3.答案 1解析 由题设给出的表知f (3)＝4，则f (f (3))＝f (4)＝1.故填1. 4.答案 f (x )＝2x ＋7解析 设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则3f (x ＋1)－2f (x －1)＝3ax ＋3a ＋3b －2ax ＋2a －2b ＝ax ＋b ＋5a ＝2x ＋17， 所以a ＝2，b ＝7，所以f (x )＝2x ＋7.5.解 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，∵f (0)＝c ＝0， ∴f (x ＋1)＝a (x ＋1)2＋b (x ＋1) ＝ax 2＋(2a ＋b )x ＋a ＋b ，f (x )＋x ＋1＝ax 2＋bx ＋x ＋1＝ax 2＋(b ＋1)x ＋1. 又f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝b ＋1，a ＋b ＝1，∴⎩⎨⎧a ＝12，b ＝12.∴f (x )＝12x 2＋12x .课时精练答案一、选择题 1.答案 B解析 设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)，∵2f (2)－3f (1)＝5,2f (0)－f (－1)＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ k －b ＝5，k ＋b ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝3，b ＝－2，∴f (x )＝3x －2.2.答案 A解析 令x －1＝t ，则x ＝t ＋1， ∴f (t )＝(t ＋1)2＝t 2＋2t ＋1， ∴f (x )＝x 2＋2x ＋1.3.答案 C 解析 根据题意知1－2x ＝12，解得x ＝14，故1x 2＝16.4.答案 C解析 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1， x >0，x －1， x <0.5.答案 B解析 由图象知，当0≤x ≤1时，y ＝32x ；当1<x ≤2时，y ＝3－32x .6.答案 B解析 因为g (x )＝14(x 2＋3)，所以g (f (x ))＝14[(2x ＋a )2＋3]＝14(4x 2＋4ax ＋a 2＋3)＝x 2－x ＋1，求得a ＝－1.故选B.二、填空题7.答案 f (x )＝2x ＋83或f (x )＝－2x －8解析 设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则f (f (x ))＝f (ax ＋b )＝a 2x ＋ab ＋b ＝4x ＋8.所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，ab ＋b ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝83或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－8.所以f (x )＝2x ＋83或f (x )＝－2x －8.8.答案 [2,11)解析 画出函数的图象，如图所示，观察图象可得图象上所有点的纵坐标的取值范围是[f (2)，f (5))，即函数的值域是[2,11). 9.答案 52解析 令x ＝2，得2f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫12＝92，令x ＝12，得2f ⎝⎛⎭⎫12＋f (2)＝32，消去f ⎝⎛⎭⎫12，得f (2)＝52. 10.答案 2 三、解答题11.解 (1)y ＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1，x ∈[－2,2]. 列表如下：作出函数图象如图(1)[－1,8].(2)当x ＋1≥0，即x ≥－1时，y ＝x ＋1；当x ＋1<0，即x <－1时，y ＝－x －1.∴y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≥－1，－x －1，x <－1.作该分段函数的图象如图(2)所示，可得函数的值域是[0，＋∞). 12.解 (1)设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则2f (x ＋3)－f (x －2)＝2[a (x ＋3)＋b ]－[a (x －2)＋b ]＝2ax ＋6a ＋2b －ax ＋2a －b ＝ax ＋8a ＋b ＝2x ＋21， 所以a ＝2，b ＝5，所以f (x )＝2x ＋5.(2)因为f (x )为二次函数，设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0).由f (0)＝1，得c ＝1. 又因为f (x －1)－f (x )＝4x ，所以a (x －1)2＋b (x －1)＋c －(ax 2＋bx ＋c )＝4x ， 整理，得－2ax ＋a －b ＝4x ，求得a ＝－2，b ＝－2， 所以f (x )＝－2x 2－2x ＋1.13.解 (1)∵f ⎝⎛⎭⎫x －1x ＝⎝⎛⎭⎫x －1x 2＋2＋1＝⎝⎛⎭⎫x －1x 2＋3. ∴f (x )＝x 2＋3. (2)以－x 代替x 得：f (－x )＋2f (x )＝x 2－2x . 与f (x )＋2f (－x )＝x 2＋2x 联立得： f (x )＝13x 2－2x .。

初中函数的三种表示方法
初中函数的三种表示方法包括图像、图形和函数式。

图像是初中函数的重要表示方法之一。

图像是通过绘制函数的图形,来表示函数在某一点或区间内的取值情况。

例如,对于函数y=x^2,我们可以用一条斜线表示其在x轴的取值,也可以用一条曲线表示其在y轴的取值。

图形是初中函数的另一个重要表示方法。

图形是通过绘制函数的图像,来表示函数在某一点或区间内的取值情况。

例如,对于函数y=x^2,我们可以用一条斜线表示其在x轴的取值,也可以用一条曲线表示其在y轴的取值。

函数式是初中函数的第三种表示方法。

函数式是将函数的表达式表示为几个变量和常数的乘积的形式。

例如,对于函数y=x^2,我们可以用y=x^2表示,其中y 表示函数的值,x表示变量,^表示幂运算。

除了图像、图形和函数式之外,还有其他表示方法。

例如,对于函数y=x^3,我们可以用三条直线表示其在x轴、y轴和z轴的取值情况。

每种表示方法都有其优点和缺点,以及适用范围。

在实际应用中,我们可以根据具体需要选择最适合的表示方法。

1．2.2函数的表示法第1课时函数的表示法明目标、知重点了解函数的三种表示法的各自优点，掌握用三种不同形式表示函数.自主学习1．函数的三种表示法(1)解析法——用表示两个变量之间的；(2)图象法——用表示两个变量之间的；f x为纵坐标就得到一个点，当自变量取完定义（以自变量x为横坐标，以对应的函数值()域内所有值时，即可得到函数图像。

一般地，作函数图象主要有三步：列表、描点、连线．作图象时一般应先确定函数的定义域，再在定义域内化简函数解析式，再列表描出图象，画图时要注意一些关键点，如与坐标轴的交点，端点的虚、实问题等．）(3)列表法——列出来表示两个变量之间的．2．(了解)函数三种表示法的优缺点例题解析探究点一函数的表示方法例1某种笔记本的单价是5元，买x(x∈{1,2,3,4,5})个笔记本需要y元．试用函数的三种表示法表示函数y＝f(x)．探究点二如何求函数的解析式例2已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－f(x)＝2x＋9，求f(x)．反思与感悟本题已知函数类型，故可用待定系数法求解．即设出函数关系式，代入已知条件，建立关于x的恒等式求解．跟踪训练2（1）已知f(x)是一次函数，满足3f(x＋1)＝6x＋4，则f(x)的解析式（2）已知f(x)是二次函数，若f(0)＝0，且f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，求函数f(x)的解析式．例3已知f(x＋1)＝x2＋4x＋1，求f(x)的解析式．反思与感悟利用换元法、配凑法求函数解析式时要注意新元的取值范围，即所求函数的定义域．跟踪训练3．已知f (1x )＝1x ＋1，则f (x )的解析式为( ) A ．f (x )＝11＋x B ．f (x )＝1＋x x C ．f (x )＝x 1＋xD ．f (x )＝1＋x 例4 已知函数y ＝f (x )满足f (x )＝2f (1x)＋x ，则f (x )的解析式为。

跟踪训练4：已知函数y ＝f (x )满足f (x )＝2f (－x )＋x ，则f (x )的解析式为。