A9.5空间的角xh
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D
E
C
B
A
立体几何
广西南宁三中 许兴华
9.5空间的角
一． 知识回顾：
1．异面直线,ab所成角的定义： ．
2．直线与平面所成角：
（1）直线与平面平行或直线在平面内，则 ．
（2）直线与平面垂直，则 ．
（3）直线是平面的斜线，则定义为 ．
3．最小角定理： ．
4．二面角的概念： ．
5．二面角的平面角： ．
6．求二面角平面角大小的一般方法： ．
二． 基础训练：
1．二面角l内有一点P，若P到平面,的距离分别是5,8，且P在平面,的内的射影的距离为7，则二
面角l的度数是 （ C ）
()A30 ()B60 ()C120 ()D
150
2．已知,EF分别是正方体1111ABCDABCD的棱1,BCCC的中点，则截面1AEFD与底面ABCD所成二面角的正弦
值是 （ C ）
()A32 ()B
3
2
()C35 ()D
3
22
3．对于平面几何中的命题：“如果两个角的两边分别对应垂直，那么这两个角相等或互补”，在立体几何中，类比上述
的命题，可以得到命题：
，这个命题的真假性是 ．
4．在四面体ABCD中，,,ABBCBD两两垂直，且2ABBC，E是AC中点，异面直线,ADBE所成的角为
10
arccos
10
，则二面角DACB的大小为 ．
三． 例题分析：
例1. 如图，已知四棱锥PABCD的底面是直角梯形，90ABCBCD，
2ABBCPBPCCD，侧面PBC底面ABCD
．
（1）PA与BD是否相互垂直，请证明你的结论；
（2）求二面角PBDC的大小；
（3）求证：平面PAD⊥平面PAB．
解：（1）PA与BD相互垂直.证明如下：
取BC的中点O，连结AO，交BD于点E；连结PO．
∵PBPC，∴POBC．又∵平面PBC⊥平面ABCD，
平面PBC∩平面ABCDBC，∴PO⊥平面ABCD．
在梯形ABCD中，可得RtABORtBCD，
∴90BEOOABDBADBCDBA，
即AOBD， ∴PABD ．
（2）连结PE，
由PO⊥平面ABCD，AOBD，可得PEBD，
∴PEO为二面角PBDC的平面角，
设22ABBCPBPCCDa，则在RtPEO中，53,,5POaOEa
.15tanEOPOPEO
∴二面角PBDC为arctan15 ．
（3）取PB的中点N，连结CN，由题意知：平面PBC⊥平面PAB，
则同“（1）”可得CN平面PAB．
取PA的中点M，连结,DMMN，则由////MNABCD，
1
2
MNABCD
，得四边形MNCD为平行四边形. ∴//CNDM，
∴DM⊥平面PAB．∴平面PAD⊥平面PAB．
解答二：
取BC的中点O，由侧面PBC⊥底面ABCD，
PBC
是等边三角形，
得PO⊥底面ABCD．
以O为原点，以BC所在直线为x轴，
过点O与AB平行的直线为y轴，
建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，
设1CD，则在直角梯形中，2ABBC，
在等边三角形PBC中，3PO．∴(1,2,0),(1,0,0),(1,1,0),(0,0,3)ABDP
).3,2,1(),0,1,2(PABD
（1）PA与BD相互垂直.证明如下：∵,0)3(0)2()1(1)2(PABD
∴,PABDPABD．
（2）连结AO，设AO与BD相交于点E；连结PE．
由,000)1()2()2(1BDOA得,OABDAOBD即．
又∵AO为PA在平面ABCD内的射影，
∴PEBD，PEO为二面角PBDC的平面角．
在RtBEO中，5sin5OEOBOBE．
在RtPEO中，tan15POPEOOE．
∴二面角PBDC为arctan15．
（3）取PA的中点M，连结DM，则M的坐标为13(,1,)22．
又33(,0,)22DM，(1,0,3)PB，
∴3310(2)(3)022DMPA
33
100(3)022DMPB
．
∴,,,DMPADMPBDMPADMPB即
∴DM⊥平面PAB． ∴平面PAD⊥平面PAB．
小结：三垂线定理是求二面角的平面角的又一常用方法．
例2.在060的二面角l中，BA,，已知A、B到l的距离分别是2和4，且10AB，A、B在l的射影分
别为C、D，求：（1）CD的长度；（2）AB和棱l所成的角．
·
B
1
P
A
C
D
A
1
C
1
D
1
B
O
H
·
例3.棱长为4的正方体1111ABCDABCD中，O是正方形1111ABCD的中心，点P在棱1CC上，且14CCCP．
（Ⅰ）求直线AP与平面11BCCB所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）；
（Ⅱ）设O点在平面1DAP上的射影是H，求证：1DHAP．
例4. 在三棱锥SABC中，ABC是边长为4的正三角形，平面SAC平面ABC，23SASC，,MN分别
是,ABSB的中点．
（1）证明ACSB；
（2）求二面角NCMB的大小；
（3）求点B到平面CMN的距离．
例5. 如图，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的侧棱AA1的长为a，底面ABCD是边长AB=2a，BC=a的矩形，又E是C1D
1
的中点；
（1）CE与BD1所成角的余弦值；
（2）求证：平面BCE⊥平面BDE；
（3）求二面角B－DC1－C的平面角的大小
四、作业
同步练习g3.10
65空间的角
3．过正方形ABCD的顶点A，引PA⊥平面ABCD，若PAAB，则平面ABP和平面CDP所成的二面角的大小
是 （ ）
()A30 ()B45 ()C60 ()D
90
4．已知正三棱锥两个相邻侧面所成二面角为，那么的取值范围 （ ）
()A18060 ()B
60
()C90 ()D
90或60
5．在正三棱柱111ABCABC中，已知1AB，D在1BB上，且1BD，若AD与平面11AACC所成的角为，则
（ ）
()A13 ()B4 ()C10arcsin4 ()D
6
arcsin
4
6．一直线和直二面角的两个面所成的角分别是,，则的范围是（ ）
()A[,)2 ()B[0,)2 ()C(0,]2 ()D
[0,]
2
D
A
C
A1
B1
C1
D1
B
E
D
E
C
B
A
7．已知AB是两条异面直线,ACBD的公垂线段，1,10,301ABACBDCD，则,ACBD所成的角
为 ．
8．在四面体ABCD中，,,ABBCBD两两垂直，且2ABBC，E是AC中点，异面直线,ADBE所成的角为
10
arccos
10
，则二面角DACB的大小为 ．
9.在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD底面ABCD，PDDC，E是PC中点，作
EFPB
交PB于F．
（1）证明//PA平面EDB：
（2）证明PB平面EFD；
（3）求二面角CPBD的大小．
10.如图直四棱柱 1111ABCDABCD中，底面ABCD是直角梯形，设090ABCBAD，2,8BCAD,异面直线
1AC与DA1
互相垂直，
（1）求证：DA1平面BAC1；（2）求侧棱1AA的长；（3）已知4AB，求DA1与平面11BADC所成的角．
D
1
C
1
B
1
A
1
D
C
B
A
