空间角的计算

高一数学空间角的知识点在高一数学的学习中，我们会接触到许多重要的概念和知识点。

其中，空间角作为数学中的一个重要概念，起着非常关键的作用。

本文将通过对空间角的介绍和相关知识点的探讨，帮助读者深入理解和掌握高一数学中的空间角。

一、什么是空间角？空间角是指位于同一平面内的两条射线之间的夹角。

它可以用来描述物体的旋转或者两个线段之间的方向关系。

空间角的大小通常用角的弧度或者度数来表示。

在几何学中，我们通常使用度数来度量空间角。

二、空间角的计算方法计算空间角时，我们需要先确定两条射线的起始点、共同点和终点。

在具体计算时，可以借助坐标轴或者向量的方法来帮助我们进行求解。

下面通过几个具体的例子来说明空间角的计算方法。

1. 用坐标轴计算空间角假设有两条射线分别为AB和AC，我们可以在坐标轴上确定它们的位置。

设A点的坐标为(0,0,0)，B点的坐标为(x1,y1,z1)，C 点的坐标为(x2,y2,z2)。

首先计算向量AB和向量AC的点积，即(x1,y1,z1)·(x2,y2,z2)。

然后计算向量AB和向量AC的模长，即|AB|和|AC|。

最后计算空间角，使用向量的点积公式cosθ =(x1,y1,z1)·(x2,y2,z2) / (|AB|·|AC|)。

2. 用向量计算空间角利用向量的方法，我们可以将空间角转化为向量间的夹角。

首先计算向量AB和向量AC的内积，即AB·AC。

然后计算向量AB 和向量AC的模长，即|AB|和|AC|。

最后计算空间角，使用向量的内积公式cosθ = AB·AC / (|AB|·|AC|)。

三、空间角的性质空间角具有一些重要的性质，这些性质有助于我们更深入地理解和应用空间角。

1. 空间角的值域空间角的值域为[-1, 1]。

当两条射线共线时，空间角等于0；当两条射线垂直时，空间角等于1或者-1，具体取决于旋转方向。

2. 空间角的加法公式空间角的加法公式是指当两个角相加时，结果等于新的角的余角。

空间角的求法（一）异面直线所成的角：]2,0(平移法：平移其中一条或两条使之成为相交直线所成的角。

题型一 求异面直线所成的角例1：正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中， （1） 求AC 与D A 1所成角的大小；（2）若E 、F 分别为AB 、AD 的中点，求A 1C 1与EF 所成角的大小. 练习1.如图, 正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中, 异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为 ；异面直线A 1B 与DC 1所成角为 ；异面直线A 1B 与CC 1所成角为 。

2．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，已知DA=DC=4，DD 1=3求异面直线A 1B 与B 1C 所成角的余弦值。

3．如图，在四棱锥P —ABCD 中，PO ⊥底面ABCD ， O 为AD 中点,侧棱P A ＝PD =2,底面ABCD 为直角梯形，其中BC ∥AD ,AB ⊥AD , AD =2AB =2BC=2，. (1)求异面直线PB 与CD 所成角的余弦值；b ′Oba（二）直线和平面所成的角[0，2π] 定义法：（1）经过斜线上一点作面的垂线；（2）找出斜线在平面内的射影，从而找出线面角；（3）解直角三角形 题型二 求线面角例2：如图,正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，求直线BC 1与平面ABCD 所成角的大小。

练习1：在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是BC 1的中点．求直线DE 与平面ABCD 所成角的θ大小（用三角函数值表示）．D1C1A1B1ABCDE（三）二面角[0,180]oo定义1（1）过二面角的棱上的一点O 分别在两个半平面内作棱的两条垂线,OA OB ，则AOB ∠叫做二面角l αβ--的平面角 定义2（2）一个平面垂直于二面角l αβ--的棱l ，且与两半平面交线分别为,,OA OB O 为垂足，则AOB ∠也是l αβ--的平面角二面角的平面角的特点：1） 角的顶点在棱上 ；2）角的两边分别在两个面内 ；3）角的边都要垂直于二面角的棱。

§5.10空间角的计算【基础知识梳理】一. 异面直线所成的角1.过空间任一点O 分别作异面直线a 与b 的平行线,''b a 与那么直线''b a 与所成的 的角，叫做异面直线a 与b 所成的角.2.设异面直线a 与b 的方向向量分别为m 和n ，则异面直线a 与b 所成的角=θ .3.异面直线所成角的范围是 . 二. 直线和平面所成的角1. 直线和平面所成的角是指 .2. 设直线a 的方向向量和平面α的法向量分别为m 和n ，则直线a 和平面α所成的角=θ .3. 直线和平面所成角的范围是 .三. 平面与平面所成的角1.在二面角βα--l 的棱上任取一点O ，在两个半平面内分别作射线 ， ， 则AOB ∠叫做二面角βα--l 的平面角. 设 ， ，面角相等或互补.2. 二面角的平面角的范围是 .【基础知识检测】1. 直线1l 的方向向量()1,1v 1-=；直线2l 的方向向量()2,2v 2-=，则直线1l 与2l 的位置关系是（ ）A. 平行B. 相交C.相交但不垂直D.相交且垂直2. 若平面βα、的法向量分别为)6,6,3(v ),2,2,1(u --=-=，则 （ ） A. βα// B. β⊥α C. βα、，相交但不垂直 D. 以上均不正确.3. 如果平面的一条斜线与它在这个平面上的射影的方向向量分别是)1,1,0(b ),1,0,1(a ==，那么，这条斜线与平面所成的角是（ ） A.60 B.30 C.45 D.90NO.35【典型例题探究】题型1：(异面直线所成的角) 在正方体1111D C B A ABCD -中E 、F 分别为BB 1、CC 1的中点，求AE 、BF 所成角的余弦值.变式训练： 长方体1111D C B A ABCD -中，AB=BC=2a ，,a AA 1=E 、H 分别为111BBB A 和的中点，求EH 和AD 1所成角的余弦值.题型 2 ：（直线与平面所成的角）在四棱锥ABCDP -中，底面为直角梯形，AD//BC ，90BAD =∠，ABCD PA 底面⊥且PA=AD=AB=2BC ，M 、N 分别为PC 、PB 的中点.（Ⅰ）证明：；DM PB ⊥（Ⅱ）求CD 与平面ADMN 所成的角.变式训练：如图，在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，侧棱长为2，底面三角形的边长为1，则BC 1与侧面ACC 1A 1所成的角是 ．题型3： 在四面体P-ABC 中，ABC PC 平面⊥，AB=BC=CA=PC ，求二面角B-AP-C 的大小.变式训练：如图，在三棱锥S A B C -中，侧面SA B 与侧面S A C 均为等边三角形，90B A C ∠=°，O 为B C 中点．（1）证明：SO ⊥面ABC;(2)求二面角A SC B --的余弦值．【限时过关检测】 班级______ 学号______ 姓名______ 分数______一、选择题( 每小题9分 )1. 在正三棱柱111C B A ABC -中，若1BB 2AB =，则1AB 与B C 1所成角的大小为 （ ）A. 60B. 90C. 105D. 752. 三棱锥P-ABC 的底面是以AC 为斜边的直角三角形，顶点P 在底面的射影恰好是ABC ∆的外心，PA=AB=1，BC=2，则PB 与底面ABC 所成角为（ ） A.60 B.30 C.45 D.903. 已知三条射线PA ，PB ，PC 两两夹角都是60，则二面角A-PB-C 的余弦值为（ ）A. 31 B. 36 C.23 D.33二、填空题( 每小题9分 )4.给出下列四个命题：① 对确定的两条异面直线，过空间任意一点有且只有一个平面与这两条异面直线都平行 ②一条直线与两个相交平面都平行，则它必与这两个平面的交线平行； ③过平面外一点，作与该平面成θ角的直线一定有无穷多条；OSBAC④对两条异面直线，存在无穷多个平面与这两条直线所成的角相等； 其中正确的命题序号为 .5. 已知正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为26，则侧面与底面所成的二面角等于 三、解答题(17分+20分)6.四棱锥S －ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，侧面SBC ⊥底面ABCD 。

在高中的空间几何学习中，常见的几何形状包括点、线、面、体等，涉及到各种角的计算。

以下是一些常见的角的公式：
1. 平面内的角：
-顶点在圆心的圆心角和半圆角：圆心角等于对应的圆周角，半圆角为180度。

-对顶角：对顶角相等。

-同位角：同位角相等。

-内错角和内错角互补：内错角之和等于180度，内错角互补。

2. 空间内的角：
-平行线与截线：平行线与截线的对应角相等。

-直线与平面：直线与平面的夹角等于其倾斜角。

-平面与平面：两平面的夹角等于它们法向量的夹角。

3. 立体几何中的角：
-直线与立体的交角：直线与平面或立体的夹角等于90度减去它们的夹角余补角。

-两平面之间的夹角：两平面的夹角是它们的法线之间的夹角。

这些公式是空间几何中常见的角度计算原则，通过理解和掌握这些规律，可以更好地解决空间几何题目中涉及到的各种角度问题。

PCDBA 空间角的求法空间角，能比较集中反映空间想象能力的要求，历来为高考命题者垂青，几乎年年必考。

空间角是异面直线所成的角、直线与平面所成的角及二面角总称。

空间角的计算思想主要是转化：即把空间角转化为平面角，把角的计算转化到三角形边角关系或是转化为空间向量的坐标运算来解。

空间角的求法一般是：一找、二证、三计算。

异面直线所成的角的范围：090θ<≤ （一）平移法【例1】已知四边形ABCD 为直角梯形，//AD BC ，90ABC ∠=，PA ⊥平面AC ，且2BC =，1PA AD AB ===，求异面直线PC 与BD 所成角的余弦值的大小。

【解】过点C 作//CE BD 交AD 的延长线于E ，连结PE，则PC 与BD 所成的角为PCE ∠或它的补角。

CEBD ==PE=∴由余弦定理得 222cos 2PC CE PE PCE PC CE +-∠==⋅∴PC 与BD 所成角的余弦值为63 （二）补形法【变式练习】已知正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为8，侧棱长为6，D 为AC 中点。

求异面直线1AB与1BC 所成角的余弦值。

【答案】125A 1C 1CBAB 1 DCP二、直线与平面所成角直线与平面所成角的范围：090θ≤≤ 方法：射影转化法（关键是作垂线，找射影）【例2】如图，在三棱锥P ABC -中，90APB ∠=，60PAB ∠=，AB BC CA ==，点P 在平面ABC内的射影O 在AB 上，求直线PC 与平面ABC 所成的角的大小。

【解】连接OC ，由已知，OCP ∠为直线PC 与平面ABC 所成角设AB 的中点为D ，连接,PD CD 。

AB BC CA ==，所以CD AB ⊥90,60APB PAB ∠=∠=，所以PAD ∆为等边三角形。

不妨设2PA =，则1,3,4OD OP AB ===2223,13CD OC OD CD ∴==+=在Rt OCP ∆中，339tan 13OP OCP OC ∠===【变式练习1】如图，四棱锥S ABCD -中，//AB CD ，BC CD ⊥，侧面SAB 为等边三角形。