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空间角的计算PPT教学课件

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用空间向量求空间角课件(共22张PPT)

用空间向量求空间角课件(共22张PPT)

向量的加法与数乘
向量的加法满足平行四边形法则或三 角形法则，即$vec{a} + vec{b} = vec{b} + vec{a}$。
数乘是指实数与向量的乘积，满足分 配律，即$k(vec{a} + vec{b}) = kvec{a} + kvec{b}$。
向量的数量积
向量的数量积定义为$vec{a} cdot vec{b} = left| vec{a} right| times left| vec{b} right| times cos theta$，其中$theta$为两 向量的夹角。
数量积满足交换律和分配律，即$vec{a} cdot vec{b} = vec{b} cdot vec{a}$和$(lambdavec{a}) cdot vec{b} = lambda(vec{a} cdot vec{b})$。
03 向量的向量积与混合积
向量的向量积
定义
两个向量a和b的向量积是一个向量，记作a×b，其模长为 |a×b|=|a||b|sinθ，其中θ为a与b之间的夹角。
适用范围
适用于直线与平面不垂直的情况。
利用向量的混合积求二面角
1 2 3
定义
二面角是指两个平面之间的夹角。
计算公式
cosθ=∣∣a×b×c∣∣∣∣a∣∣∣∣b∣∣∣∣c∣∣，其中a、 b和c分别是三个平面的法向量，θ是两个平面之 间的夹角。
适用范围
适用于两个平面不平行的情况。
06 案例分析
案例一：利用空间向量求线线角
定义
线线角是指两条直线之间的夹角。
计算公式
cosθ=∣∣a⋅b∣∣∣∣a∣∣∣∣b∣∣∣， 其中a和b是两条直线的方向向量，

空间角的计算PPT教学课件

空间角的计算PPT教学课件

1）求AC1和CB1的夹角，
2）求AC1和面ABB1A1所成角的正弦值
2）直线与平面所成的角
步骤： 1、求出平面的法向量
2、求出直线的方向向量
C1
3、求以上两个向量的夹角，
（锐角）其余角为所求角 A1
B1
设平面ABB1B的法向量：n (1, y, z)
AA1 (0,0, 2a) AB (0, a,0)
42 30
10
二、线面角 斜线与平面所成的角
平面的一条斜线 和它在这个平面内的射影 所成的锐角
A
O
B
当直线与平面垂直时，直
线与平面所成的角是90°
当直线在平面内或
与平面平行时， 直线与平面所成的角是0°
直线与平面所成的角
[ 0°, 90°]
斜线与平面所成的角
（ 0°, 90°） 异面直线所成的角
空间“角”问题
空间的角： 空间的角常见的有：线线角、线面角、面面角。
一、线线角：
异面直线所成角的范围：
0,
2
思考：
C
D
CD, AB 与的关系？
A D1
B
DC, AB 与的关系？
设直线CD的方向向量为a，AB的方向向量为b
a
b
a，b
|
a
a，b b
|
结论：
| cos a,b |
所以B1O是平面MAC的z 一个法向量
设平面B1MA的一个法向量为n (x，y，z) D1
由A(2，0，0)，M (0，0，1)，B1(2，2，2)得 MA (2，0，1)，MB1 (2，2，1)
A1 M
C1 B1
所以n MA 0，n MB1 0

空间角的计算课件

空间角的计算课件

E1
(0,1, 4), F
uuuur
(2,
4,
0)
uuur
所uuu以ur AD1 (4，0，4), AC (4，4，0)
E1F (2，3，-4) r
设r 平u面uuuDr 1AC的法向量为n =(x，y，z)
nr n
• •
uAuDur1 0 AC 0

4x 4x
所以cos 60。= Duu1uAur •uCuuEr =
1
=1
D1A CE 2 t2 4t 5 2
所以t2 4t 3=0
所以t＝1（t=3舍），所以点E的位置是AB的中点.
思考2
如何用向量来求直线与平面所成角?
φ
A
φ
������ C
B
答：直线与平面所成角可以 转化为“直线的方向向量”与 “平面的法向量”的夹角求解.
→
1
所以sin
θ＝|nn·||MA→BB|＝32×2
＝ 14
14 42 .
1
3
4
坐标法：直线所成角可以通过它们方向向量的夹角求得.
uuur uuur uuuur 解：不妨设正方体的棱长为4，以{DA,DC, DD1}
为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz
则各点的坐标为D(0，0，0),B(4，4，0)E
uuuur
uuuur
1
(4，3，4)
F1(0，1，4),可得DF1 (0,1, 4)，B1E1 (0, 1, 4)
角的余弦值。
向量法：直线所成角可以通过它们方向向量的夹角求得.
uuuur uuur
解：u设uurDD1uuuur4a，D1F

《空间角的计算》示范公开课教学课件【高中数学苏教版】

《空间角的计算》示范公开课教学课件【高中数学苏教版】
空间向量法求两个平面所成角(即二面角): 两个平面的法向量的夹角与两个平面所成角(即二面角)相等或互补，即即
运用空间向量坐标运算求二面角的基本步骤:(1)建立空间直角坐标系.(2)求两平面的法向量,.(3)设二面角为，则.
在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M和N分别是A1B1和BB1的中点，则直线AM和CN所成角的余弦值是 .
空间向量法求直线与平面所成角: 直线的方向向量与平面的法向量的夹角为锐角时，直线与平面所成角与这个夹角互余；直线的方向向量与平面的法向量的夹角为钝角时，直线与平面所成角与这个夹角的补角互余，即
运用空间向量坐标运算求直线与平面夹角的一般步骤:(1)建立空间直角坐标系.(2)求直线的方向向量.(3)求平面的法向量.(4)设线面角为，则.
空间向量ห้องสมุดไป่ตู้求异面直线所成角: 设空间两异面直线l1，l2 所成的角为θ，其方向向量分别为，则两条异面直线所成角θ就是它们的方向向量所成角或其补角，即
运用空间向量坐标运算求异面直线所成角的一般步骤：(1)建立恰当的空间直角坐标系；(2)求两异面直线的方向向量；(3)设异面直线所成角为，则；
运用空间向量坐标运算求空间里的角1.求异面直线所成角：(1)建立恰当的空间直角坐标系；(2)求两异面直线的方向向量；(3)设异面直线所成角为，则 .
2.求直线与平面夹角:(1)建立空间直角坐标系.(2)求直线的方向向量.(3)求平面的法向量.(4)设线面角为，则.
3.求二面角:(1)建立空间直角坐标系.(2)求两平面的法向量,.(3)设二面角为，则
如图，三棱锥P－ABC中，PC⊥平面ABC，PC＝3，∠ACB＝D，E分别为线段AB，BC上的点，且CD＝DE＝，CE＝2EB＝2.(1)证明:DE⊥平面PCD;(2)求二面角A－PD－C的余弦值.

空间角PPT教学课件

空间角PPT教学课件
法一：在内a l，在内b l，其方向如左下图， 则二面角 l 的平面角 arccos a b ；
| a || b |
其方向如右上图，则二面角 l 的平面角 arccos a b .
| a || b |
法二：设n1，n2是二面角 l 的两个半平
面的法向量，其方向一个指向内侧，另一个
则PAF为异面直线AP与BC所成的角．
由1可知AB BC，所以CF AF.
又PC 平面ABCF， 所以PF AF. 则AF CF AC sin45 2，
PF PC2 CF 2 6.
在RtPFA中，tanPAF PF 6 3， AF 2
所以异面直线AP与BC所成的角为 .
3
方法2：1同方法1. 2由1知AB 平面PCB，因为PC AC 2.
由1知，A1D是B1D在平面A1 ADD1上的射影，
根据三垂线定理得B1D AE.
3设A1D AE F，连结CF.
因为CD 平面A1 ADD1，且AE DF， 根据三垂线定理得AE CF， 所以DFC是二面角C AE D的平面角． 在RtADE中，由AD DE AE DF，
得DF AD DE 3 . AE 3
故直线DE与平面ABCD所成角的正切值是 5 . 5
【思维启迪】根据条件中E为BC1的中点易想 到BC的中点就是E在平面ABCD上的射影， 这是解答本题的突破口．
变式题：已知S是正三角形ABC所在平面外 一点，且SA SB SC，D是AB的中点，且 SD与BC成45角，则SD与底面ABC所成角 的正弦值为( )
专题四
立体几何
1．两条异面直线所成的角
1定义：直线a、b是异面直线，经过空间一点O，
分别作a//a，b//b，相交直线a，b所成的锐角(或 直角)叫做异面直线a，b所成的角．

空间角及其计算ppt课件

空间角及其计算ppt课件
半平面(α 和 β)叫作二面角的 面 .
二面角的平面角：在二面角的棱 AB 上任取一点 O，过 O
分别在二面角的两个面α，β 内作与棱垂直 的射线 OA，OB，我们把 ∠AOB 叫作
二面角 α-l-β 的平面角，用它来度量二面角
的大小．
二面角 θ 的取值范围为 θ∈ [0°，180°] .
平面角是直角的二面角叫作 直二面角
2×2×1×cos 60°＝3，所以 BD＝ 3，所以 B1D1＝ 3.
又 AB1 与 AD1 所成的角即为 AB1 与 BC1 所成的角 θ ，
所以
cos
θ＝AB221×＋AABD1×12－ABD11D21＝2×5＋25－×3
＝ 2
10 5.
答案:C
严格执行突发事件上报制度、校外活 动报批 制度等 相关规 章制度 。做到 及时发 现、制 止、汇 报并处 理各类 违纪行 为或突 发事件 。
因此，BC⊥PC，
在 Rt△PCB 中，PB＝ PC2＋BC2＝ 13，
在
Rt△PEB
中，sin∠PBE＝PPEB＝
39 13 .
所以直线
PB
与平面
ABCD
所成的角的正弦值为
39 13 .
严格执行突发事件上报制度、校外活 动报批 制度等 相关规 章制度 。做到 及时发 现、制 止、汇 报并处 理各类 违纪行 为或突 发事件 。
【变式探究】
1．(2017·新课标卷Ⅱ)已知直三棱柱 ABC-A1B1C1 中， ∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，则异面直线 AB1 与 BC1 所成角的余弦值为( )
C．120°
D．60°或 120°
解：∠FEG 为两异面直线 AD 与 BC 所成的角或其补角．

用空间向量求空间角课件(共22张PPT)

用空间向量求空间角课件(共22张PPT)

1
M
2 x 0 z 0 即 取z =2得x=1，y = - 2 2 x 2 y z 0 A
D O B
C
y
所以平面B1MA的一个法向量为 n (1， 2， 2) 1 2 4 6 cos B1O， n 6 6 9
x
由图可知二面角为锐角
6 所以二面角B1 MA C的余弦值为 。 6
即为两直线的夹角；当向量夹角为钝角时，两直线的夹角为向
量夹角的补角．
直线和直线在平面内的射影所成的角， 二、线面角： 叫做这条直线和这个平面所成的角.
[0, ] 直线与平面所成角的范围：
A

2
n
思考：如何用空间向量的夹角 表示线面角呢？
B

O

结论： sin
| cos n, AB |
立体几何中的向量方法 ——空间“角”问题
空间的角常见的有：线线角、线面角、面面角
复习回顾
• 直线的方向向量:两点 • 平面的法向量：三点两线一方程 • 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3) 则(1)a·b＝ a1b1＋a2b2＋a3b3 .
复习回顾
• 设直线l1、l2的方向向量分别为a、b，平面α、β的 法向量分别为n1、n2.
10 5
所以直线SA与OB所成角余弦值为
课堂小结：
1.异面直线所成角：
C
D
cos sin
|cos CD, AB | | cos n, AB |

A

B
D1
A
O
2.直线与平面所成角： 3.二面角：
n


B
n2

空间角的计算(课件)高二数学(苏教版2019选择性必修第二册)

空间角的计算(课件)高二数学(苏教版2019选择性必修第二册)

对异面直线所成角的几点强调：
（1）异面直线所成角的范围为（0°，90°］，其余弦值一定是非负数；
（2）异面直线所成的角的求解思路是通过异面直线的方向向量，转化为求方向
向量夹角余弦值的绝对值；
（3）异面直线所成的角也可通过几何法求解，求解思路是通过平移异面直线为
相交直线，转化为求两条相交直线所成的角.
典型例题
利用空间向量求直线和平面所成的角 例 2 如图，在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，F 是 BC 的中点，点 E1 在 D1C1 上，且 D1E1＝14D1C1，试求直线 E1F 与平面 D1AC 所成角的正弦值．
【解析】 设正方体的棱长为1，以典{D→型A，例D→题C，D→D1}为单位正交基底，建立空间直
1
所以 cos〈A→1D，E→F〉＝
2 2×
2＝12， 2
所以A→1D与E→F的夹角为 60°， 即 A1D 与 EF 所成的角为 60°.
典型例题
(2) 在正方体ABCD－A1B1C1D1中， 因为AB⊥平面B1C1CB， 所以A→B是平面B1EB的法向量． 因为A→B＝(0,1,0)，A→1F＝－1，12，－1，
课堂练习
3．如图，在单位正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，M，
N 分别是 CD，CC1 的中点，则异面直线 A1M 与 DN 所成
角的大小是
()
A．π6
B．π4
C．π3
D．π2
【答案】D
课堂练习
【解析】以 D 为坐标原点，分别以 DA，DC，DD1 所在直线为 x 轴、
y 轴、z 轴建立空间直角坐标系 Dxyz(图略)，则 A1(1，0，1)，M0，12，0，
所以|D→F1|2＝|B→E1|2＝(4a)2＋b2＝17|a|2，

求空间角的常用方法PPT课件

求空间角的常用方法PPT课件

故选B．
点评 这里将点O到面 ABC1D1 的距离转化为点 A1 到面 ABC1D1 的距离，比直接求O
到平面ABC1D1 的距离要简单得多 。
第17页/共27页
【例8】 如图1-15，CD，AB是两条异面直线，它们夹在两平行平面 和 间的 部分AB，CD在平面 内的射影分别是12cm和2cm，它们与平面 的交角之差 的绝对值是45o ，求AC与BD之间的距离．
2
2
第10页/共27页
2
PE
PD2 DE2
a2
3 2
a
7a 2
EF
FD2 ED2
a 2
2
3 2
a
2
a
PE 2 EF 2 PF 2
cos PEF 2PF·EF
7 2
2
a
a2
a 2
2
2 7 aa
＝
7 4
＋1－
1 4
＝
5
7
2
7
14
∴二面角P-AB-F的平面角的余弦值为 5 7 14
∵O为底面中心，
∴O为BD中点，从而FO为△DAB的中位线．
∴FO ∴MO
1 AB 2
D1F
D1M ∴四边形 D1FOM 为平行四边形． 故∠MOE(或其补角)即为异面直线 D1F 和OE所成的角．
在△MOE中，OM D1F 22 1 5 ME 2
OE EC2 OC2 1 ( 2)2 3
则
FG
＝(－1，1，＋1)，A1 E
＝(－1，0，－1)，
第12页/共27页
∴ FG A1E 1 0 1 0 FG A1E 选D．
点评 连B1G，B1F 运用平移法及勾股定理的逆定理当然也很简单，这里主要是强调 空间向量法的运用．

空间角的计算PPT课件(高中数学)

空间角的计算PPT课件(高中数学)

2.已知直线l是平面 的斜线,直线l的方向向量
为e , 平面 的法向量为 n ,设直线l和平面
的所成角为1 , e与
关系如何? l
n 的夹角为 2 ,
n
则 1,2
的
e
e
(1)若 e, n 的夹角
1
2
2.
(2)若 e, n的夹角
1
2
2
.
是钝角,则两直线的所成角
2
2 [0,2 ],则两直线的所成角
3.二面角 l 的两个半平面, 法向量分
3.已知两个相交平面, 法向量分别为 n1, n2,
求两平面所成的锐二面角的大小.
(1)n1 (1,1, 0), n2 (0, 1, 1) (2)n1 (1, 1,1), n2 (2,1,1)
1.在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是直角梯形, AB∥CD,PA⊥面ABCD, PA=AD=DC=1,AB=2,M是 棱PB的中点. (1)求证:面PAD⊥面PCD;
(3)在直线PA上求一点M,使得EM⊥CBz . (4)求面PAD和面PBC所成二 P 面角的余弦值.
(5)求二面角A-PB-C的余弦值.
D
A
x
E C
y
B
3.已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱 形，且∠BCD=∠BCC1=∠DCC1=600.
(1)求证:CC1⊥BD;
(2)当 CD 的值是多少时,
空间角的计算
复习:
1.已知空间两异面直线l1,l2的方向向量分别为e1, e2,
设l1与l2的所成角为 , e1,e2的夹角为 , 则 ,
关系如何?
l1
e1
e2
e2

新教材选择性必修二6.3.3空间角的计算(1)课件(80张)

新教材选择性必修二6.3.3空间角的计算(1)课件(80张)

cos
〈
A1B
，C1D
〉＝
| A1B C1D | | A1B || C1D |
＝
18 20×
18
＝3
10 10
，所以异面直线
A1B
与
C1D
所成角的余弦值为3
10 10
.
学情诊断·课时测评
一、单选题
1．在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则直线 BC1 与平面 BB1D1D
1×2＋2×1＋3×1 1＋4＋9· 4＋1＋1
2＋2＋3 ＝
14×6
＝
21 6
，所以
l
与平面 α 所成角的正弦值为
21 6
.
答案：
21 6
5．如图，在直三棱柱 A1B1C1-ABC 中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，A1A＝4，点 D 是 BC 的中点．求异面直线 A1B 与 C1D 所成角的余弦值．
【解析】设直线 PA 与平面 α 所成的角为 θ，
则 sin θ＝cos 〈n，P→A〉 ＝|nn|··P→P→AA
＝
0－14－2 0＋14＋2· 34＋14＋2
＝
3 2
，
所以直线 PA 与平面 α 所成的角为π3 .
答案：π3
9．在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，则异面直线 BA1 与 AC1 所成的角等于________．
1．设直线 l 与平面 α 相交，且 l 的方向向量为 a，α 的法向量为 n，若〈a，n〉＝23π ，
则 l 与 α 所成的角为( )
A．23π
B．π3
C．π6
D．56π
【解析】选 C.如图所示，直线 l 与平面 α 所成的角 θ＝23π －π2 ＝π6 .

第八章 第7讲 空间角的计算.pptx

第八章 第7讲 空间角的计算.pptx

所以AB1⊥平面A1B1C1.
(2)解 设直线AC1与平面ABB1所成的角为θ.
由(1)可知A→C1＝(0，2 3，1)，A→B＝(1， 3，0)，B→B1＝(0，0，2).
设平面ABB1的法向量n＝(x，y，z).
由nn··AB→→BB＝ 1＝00，，即2x＋z＝03，y＝0，可取 n＝(－ 3，1，0).
由题意知各点坐标如下：
A(0，－ 3，0)，B(1，0，0)，A1(0，－ 3，4)，B1(1，0，2)，C1(0， 3，1). 因此A→B1＝(1， 3，2)，A→1B1＝(1， 3，－2)，A→1C1＝(0，2 3，－3).
20
知识衍化体验
考点聚焦突破
由A→B1·A→1B1＝0 得 AB1⊥A1B1. 由A→B1·A→1C1＝0 得 AB1⊥A1C1.
27
知识衍化体验
考点聚焦突破
@《创新设计》
(1)证明 由题设知，平面CMD⊥平面ABCD，交线为CD. 因为BC⊥CD，BC⊂平面ABCD，所以BC⊥平面CMD，故BC⊥DM.
︵ 因为 M 为CD上异于 C，D 的点，且 DC 为直径，所以 DM⊥CM.
P→N＝
25，1，－2，A→N＝
25，1，2.
25
知识衍化体验
考点聚焦突破
设n＝(x，y，z)为平面PMN的法向量，则
nn··PP→→MN＝＝00，，即22y5－x＋4zy＝－02，z＝0，可取 n＝(0，2，1). 于是 cos〈n，A→N〉＝|nn|·|AA→→NN|＝8255. 设 AN 与平面 PMN 所成的角为 θ，则 sin θ＝8255， ∴直线 AN 与平面 PMN 所成的角的正弦值为8255.
所以
sin
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二面角的大小用它的平面角来度量
？ ∠A O B
∠A1O1B1
B1 B
平面角是直角的二 面角叫做直二面角
l
O1 O
A A1
9
以二面角的棱上任意一点为端点，在两 个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两 条射线所成的角叫做二面角的平面角。
A
O
二面角的平面角必须满足：
1）角的顶点在棱上
2）角的两边分别在两个面内
（ 0°, 90°]
最小角原理
斜线与平面所成的角，是这条斜线和这个平 面内的直线所成的一切角中最小的角。
A
O
B
C
例2、如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1 中， 求A1B与平面A1B1CD所成的角
D1 A1
C1
B1
O
D A
C B
二、线面角向量法： 范围： [0, ] 2
线面角等于直线的方向向量与平面的法向量
C1
F1
D1
B1
A(1, 0, 0), B(0,1, 0),
1
11
F1( 2 , 0,1), D1( 2 , 2 ,1)
A1
C
所以：AF1
(
1 2
,
0,1),
BD1
(1 2
,
1 2
,1)
A
By
cos AF1, BD1
AF1 • BD1
x
1 1 4
30
| AF1 || BD1 |
5 3 10
42
设平面AB1C的法向量为n (x，y，z)
A
D1
C1
y
D
则n AB1 0，n AC 0
B
C
所以 xx
z y
0 ，取x 0
=
1，
x
得y = z = -1，故n = (1，-1，-1)， cos n，B1C1
01 0 1 3
3 3
所以B1C1与面AB1C所成的角的正弦值为
3。 3
定义:
①向量法
n1，n2
n1，n2
n2
n1，n2
n2
n1，n2
n1
n1
l
l
cos cos n1, n2 cos cos n1, n2
注意法向量的方向：一进一出，二面角等于法向量夹角； 同进同出，二面角等于法向量夹角的补角
30
所以 BD与1 A所F1成角的余弦值为 10
二、线面角 斜线与平面所成的角
平面的一条斜线 和它在这个平面内的射影 所成的锐角
A
O
B
当直线与平面垂直时，直
线与平面所成的角是90°
当直线在平面内或
与平面平行时， 直线与平面所成的角是0°
直线与平面所成的角
[ 0°, 90°]
斜线与平面所成的角
（ 0°, 90°） 异面直线所成的角
所成角
AB,
n
的余角.
n
cos < AB, n >=
AB n
| AB | | n |
sinα = cos < AB, n >
AB n
| AB | | n |
A
B
sinα = | AB n | | AB | | n |
线面角或等于直线的方向向量与平面的法向量 所成角的补角的余角.
例2、如图，正三棱柱ABC—A1B1C1的底面边长为a,侧棱长为 2a
∴AC1和CB1的夹角为：
x
3
C
D
y
B
练习：Rt ABC中，BCA 900,现将 ABC沿着平面ABC的法向量
平移到A1B1C1位置，已知 BC CA CC1，取A1B1、A1C1的中
取A1B1、A1C1的中点D1、F1，求BD1与AF1所成的角的余弦值.
解：如图所示，建立空间直角坐标
z
系 C,如xy图z 所示，设 则C：C1 1
1）求AC1和CB1的夹角，
2）求AC1和面ABB1A1所成角的正弦值
2）直线与平面所成的角
步骤： 1、求出平面的法向量
2、求出直线的方向向量
C1
3、求以上两个向量的夹角，
（锐角）其余角为所求角 A1
B1
设平面ABB1B的法向量：n (1, y, z)
AA1 (0,0, 2a) AB (0, a, 0)
n n
AA1 AB
0 0
(1, (1,
y, y,
z z
) )
(0, (0,
0, a,
2a) 0) 0
0
z y
0 0
n (1, 0, 0)
AC1 (
3 a, 1 a, 22
2a)
A
cos
AC1, n
|
AC1 AC1 |
n | n
|
3 a2 2 3a2
1 2
所以AC1和面ABB1A1所成角的正弦值为
O
B A
A
B
从一条直线出发的两个半平面所组成的图 形叫做二面角。 这条直线叫做二面角的棱。
这两个半平面叫做二面角的面。
3
表示方法：
B
∠AOB
O
二面角－AB－
A
A
C
B
l
B
A
二面角－ l－
D
二面角C－AB－ D
5
度量：以二面角的棱上任意一点为端点，在
两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这 两条射线所成的角叫做二面角的平面角。
1 2
C B
练习：正方体 ABCD A1B1C1D1 的棱长为1.
求B1C1与面AB1C
所成的角正. 弦值
z
解：设正方体棱长为1，以AB，AD，AA1为单 位正交基底，可得 A(0，0，0)，B1(1，0，1)，
A1
C(1，1，0)，C1(1，1，1)，则B1C1 (0，1，0)，
B1
AB1 (1，0，1)，AC (1，1，0)
l
3）角的边都要垂直于二面角的棱
B
范围:[0, ]
10
二面角的计算几何法：
1、找到或作出二面角的平面角 2、证明 1中的角就是所求的角 3、计算出此角的大小
一“作”二“证”三“计算”
16
练习
１.如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，二面角C1-BD-C
的正切值是___2____.
三、面面角： 二面角的范围： [0, ]
已知F1与E1为四等分点，求异面直线
DF1与BE1的夹角余弦值？
z
D1
F1
C1
A1
E1 B1
① 几何法
② 向量法
D A
x
C
B
y
cos DF1,BE1
15 17
cos DF1,E1B
15 17
质疑：空间向量的夹角与异面直线的夹角有什么
区别？
例1、如图，正三棱柱ABC—A1B1C1的底面边长为a,侧棱长为 2a 求AC1和CB1的夹角，
分析：求异面直线的夹角
解法步骤：1、写出异面直线的方向
向量的坐标。
Z
2、利用空间两个向量的
A1夹角公式Βιβλιοθήκη 出夹角。C1 B131
AC1 (
2
a, a, 2
2a)
CB1 (
3 a, 1 a, 22
2a)
cos
AC1, CB1
|
AC1 CB1 AC1 | | CB1 |
3 a2 2 3a2
1 2
A
空间“角”问题
空间的角： 空间的角常见的有：线线角、线面角、面面角。
一、线线角：
异面直线所成角的范围：
0,
2
思考：
C
D
CD, AB 与的关系？
A D1
B
DC, AB 与的关系？
设直线CD的方向向量为a，AB的方向向量为b
a
b
a，b
|
a
a，b b
|
结论：
| cos a,b |