空间角的计算

空间几何角度计算公式在空间几何中，角度是一个重要的概念，用于描述两条线、平面或多个向量之间的夹角。

计算空间几何角度的公式可以根据具体情况而变化，下面将介绍几种常见的计算公式。

1. 点和直线的夹角设直线L上有一点A，过点A引一直线与直线L相交于点B，计算点A和直线L之间的夹角，可使用以下公式：cosθ = |AB| / |OB|其中θ表示点A和直线L的夹角，|AB|表示线段AB的长度，|OB|表示向量OB的长度。

2. 直线与直线的夹角设两条直线L1和L2，如果它们的方向向量分别为a和b，计算直线L1和直线L2之间的夹角，可使用以下公式：cosθ = |a·b| / (|a| |b|)其中θ表示直线L1和直线L2的夹角，|a·b|表示向量a与向量b的点乘的绝对值，|a|和|b|表示向量a和向量b的长度。

3. 平面和平面的夹角设两个平面α和β，它们的法线向量分别为n1和n2，计算平面α和平面β之间的夹角，可使用以下公式：cosθ = |n1·n2| / (|n1| |n2|)其中θ表示平面α和平面β的夹角，|n1·n2|表示向量n1与向量n2的点乘的绝对值，|n1|和|n2|表示向量n1和向量n2的长度。

4. 空间向量的夹角设两个非零向量a和b，计算向量a和向量b之间的夹角，可使用以下公式：cosθ = (a·b) / (|a| |b|)其中θ表示向量a和向量b的夹角，a·b表示向量a与向量b的点乘，|a|和|b|表示向量a和向量b的长度。

以上就是在空间几何中常用的几种角度计算公式。

根据具体情况，选择适合的公式进行计算，可以帮助我们解决空间几何问题。

空间角的求法（一）异面直线所成的角：]2,0(平移法：平移其中一条或两条使之成为相交直线所成的角。

题型一 求异面直线所成的角例1：正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中， （1） 求AC 与D A 1所成角的大小；（2）若E 、F 分别为AB 、AD 的中点，求A 1C 1与EF 所成角的大小. 练习1.如图, 正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中, 异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为 ；异面直线A 1B 与DC 1所成角为 ；异面直线A 1B 与CC 1所成角为 。

2．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，已知DA=DC=4，DD 1=3求异面直线A 1B 与B 1C 所成角的余弦值。

3．如图，在四棱锥P —ABCD 中，PO ⊥底面ABCD ， O 为AD 中点,侧棱P A ＝PD =2,底面ABCD 为直角梯形，其中BC ∥AD ,AB ⊥AD , AD =2AB =2BC=2，. (1)求异面直线PB 与CD 所成角的余弦值；b ′Oba（二）直线和平面所成的角[0，2π] 定义法：（1）经过斜线上一点作面的垂线；（2）找出斜线在平面内的射影，从而找出线面角；（3）解直角三角形 题型二 求线面角例2：如图,正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，求直线BC 1与平面ABCD 所成角的大小。

练习1：在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是BC 1的中点．求直线DE 与平面ABCD 所成角的θ大小（用三角函数值表示）．D1C1A1B1ABCDE（三）二面角[0,180]oo定义1（1）过二面角的棱上的一点O 分别在两个半平面内作棱的两条垂线,OA OB ，则AOB ∠叫做二面角l αβ--的平面角 定义2（2）一个平面垂直于二面角l αβ--的棱l ，且与两半平面交线分别为,,OA OB O 为垂足，则AOB ∠也是l αβ--的平面角二面角的平面角的特点：1） 角的顶点在棱上 ；2）角的两边分别在两个面内 ；3）角的边都要垂直于二面角的棱。

§5.10空间角的计算【基础知识梳理】一. 异面直线所成的角1.过空间任一点O 分别作异面直线a 与b 的平行线,''b a 与那么直线''b a 与所成的 的角，叫做异面直线a 与b 所成的角.2.设异面直线a 与b 的方向向量分别为m 和n ，则异面直线a 与b 所成的角=θ .3.异面直线所成角的范围是 . 二. 直线和平面所成的角1. 直线和平面所成的角是指 .2. 设直线a 的方向向量和平面α的法向量分别为m 和n ，则直线a 和平面α所成的角=θ .3. 直线和平面所成角的范围是 .三. 平面与平面所成的角1.在二面角βα--l 的棱上任取一点O ，在两个半平面内分别作射线 ， ， 则AOB ∠叫做二面角βα--l 的平面角. 设 ， ，面角相等或互补.2. 二面角的平面角的范围是 .【基础知识检测】1. 直线1l 的方向向量()1,1v 1-=；直线2l 的方向向量()2,2v 2-=，则直线1l 与2l 的位置关系是（ ）A. 平行B. 相交C.相交但不垂直D.相交且垂直2. 若平面βα、的法向量分别为)6,6,3(v ),2,2,1(u --=-=，则 （ ） A. βα// B. β⊥α C. βα、，相交但不垂直 D. 以上均不正确.3. 如果平面的一条斜线与它在这个平面上的射影的方向向量分别是)1,1,0(b ),1,0,1(a ==，那么，这条斜线与平面所成的角是（ ） A.60 B.30 C.45 D.90NO.35【典型例题探究】题型1：(异面直线所成的角) 在正方体1111D C B A ABCD -中E 、F 分别为BB 1、CC 1的中点，求AE 、BF 所成角的余弦值.变式训练： 长方体1111D C B A ABCD -中，AB=BC=2a ，,a AA 1=E 、H 分别为111BBB A 和的中点，求EH 和AD 1所成角的余弦值.题型 2 ：（直线与平面所成的角）在四棱锥ABCDP -中，底面为直角梯形，AD//BC ，90BAD =∠，ABCD PA 底面⊥且PA=AD=AB=2BC ，M 、N 分别为PC 、PB 的中点.（Ⅰ）证明：；DM PB ⊥（Ⅱ）求CD 与平面ADMN 所成的角.变式训练：如图，在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，侧棱长为2，底面三角形的边长为1，则BC 1与侧面ACC 1A 1所成的角是 ．题型3： 在四面体P-ABC 中，ABC PC 平面⊥，AB=BC=CA=PC ，求二面角B-AP-C 的大小.变式训练：如图，在三棱锥S A B C -中，侧面SA B 与侧面S A C 均为等边三角形，90B A C ∠=°，O 为B C 中点．（1）证明：SO ⊥面ABC;(2)求二面角A SC B --的余弦值．【限时过关检测】 班级______ 学号______ 姓名______ 分数______一、选择题( 每小题9分 )1. 在正三棱柱111C B A ABC -中，若1BB 2AB =，则1AB 与B C 1所成角的大小为 （ ）A. 60B. 90C. 105D. 752. 三棱锥P-ABC 的底面是以AC 为斜边的直角三角形，顶点P 在底面的射影恰好是ABC ∆的外心，PA=AB=1，BC=2，则PB 与底面ABC 所成角为（ ） A.60 B.30 C.45 D.903. 已知三条射线PA ，PB ，PC 两两夹角都是60，则二面角A-PB-C 的余弦值为（ ）A. 31 B. 36 C.23 D.33二、填空题( 每小题9分 )4.给出下列四个命题：① 对确定的两条异面直线，过空间任意一点有且只有一个平面与这两条异面直线都平行 ②一条直线与两个相交平面都平行，则它必与这两个平面的交线平行； ③过平面外一点，作与该平面成θ角的直线一定有无穷多条；OSBAC④对两条异面直线，存在无穷多个平面与这两条直线所成的角相等； 其中正确的命题序号为 .5. 已知正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为26，则侧面与底面所成的二面角等于 三、解答题(17分+20分)6.四棱锥S －ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，侧面SBC ⊥底面ABCD 。

在高中的空间几何学习中，常见的几何形状包括点、线、面、体等，涉及到各种角的计算。

以下是一些常见的角的公式：
1. 平面内的角：
-顶点在圆心的圆心角和半圆角：圆心角等于对应的圆周角，半圆角为180度。

-对顶角：对顶角相等。

-同位角：同位角相等。

-内错角和内错角互补：内错角之和等于180度，内错角互补。

2. 空间内的角：
-平行线与截线：平行线与截线的对应角相等。

-直线与平面：直线与平面的夹角等于其倾斜角。

-平面与平面：两平面的夹角等于它们法向量的夹角。

3. 立体几何中的角：
-直线与立体的交角：直线与平面或立体的夹角等于90度减去它们的夹角余补角。

-两平面之间的夹角：两平面的夹角是它们的法线之间的夹角。

这些公式是空间几何中常见的角度计算原则，通过理解和掌握这些规律，可以更好地解决空间几何题目中涉及到的各种角度问题。

PCDBA 空间角的求法空间角，能比较集中反映空间想象能力的要求，历来为高考命题者垂青，几乎年年必考。

空间角是异面直线所成的角、直线与平面所成的角及二面角总称。

空间角的计算思想主要是转化：即把空间角转化为平面角，把角的计算转化到三角形边角关系或是转化为空间向量的坐标运算来解。

空间角的求法一般是：一找、二证、三计算。

异面直线所成的角的范围：090θ<≤ （一）平移法【例1】已知四边形ABCD 为直角梯形，//AD BC ，90ABC ∠=，PA ⊥平面AC ，且2BC =，1PA AD AB ===，求异面直线PC 与BD 所成角的余弦值的大小。

【解】过点C 作//CE BD 交AD 的延长线于E ，连结PE，则PC 与BD 所成的角为PCE ∠或它的补角。

CEBD ==PE=∴由余弦定理得 222cos 2PC CE PE PCE PC CE +-∠==⋅∴PC 与BD 所成角的余弦值为63 （二）补形法【变式练习】已知正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为8，侧棱长为6，D 为AC 中点。

求异面直线1AB与1BC 所成角的余弦值。

【答案】125A 1C 1CBAB 1 DCP二、直线与平面所成角直线与平面所成角的范围：090θ≤≤ 方法：射影转化法（关键是作垂线，找射影）【例2】如图，在三棱锥P ABC -中，90APB ∠=，60PAB ∠=，AB BC CA ==，点P 在平面ABC内的射影O 在AB 上，求直线PC 与平面ABC 所成的角的大小。

【解】连接OC ，由已知，OCP ∠为直线PC 与平面ABC 所成角设AB 的中点为D ，连接,PD CD 。

AB BC CA ==，所以CD AB ⊥90,60APB PAB ∠=∠=，所以PAD ∆为等边三角形。

不妨设2PA =，则1,3,4OD OP AB ===2223,13CD OC OD CD ∴==+=在Rt OCP ∆中，339tan 13OP OCP OC ∠===【变式练习1】如图，四棱锥S ABCD -中，//AB CD ，BC CD ⊥，侧面SAB 为等边三角形。

空间角求法湖南祁东育贤中学 周友良 421600衡阳县一中 刘亚明空间的角是空间图形的一个要素，在异面直线所成的角、线面角、二面角等知识点上，较好地考查了学生的逻辑推理能力以及化归的数学思想.●锦囊妙计空间角的计算步骤：一作、二证、三算1.异面直线所成的角 范围：0°＜θ≤90° 方法：①平移法；②补形法.2.直线与平面所成的角 范围：0°≤θ≤90° 方法：关键是作垂线，找射影.3.二面角方法：①定义法；②三垂线定理及其逆定理；③垂面法. 注：二面角的计算也可利用射影面积公式S ′=S cos θ来计算［例1］在棱长为a 的正方体ABCD —A ′B ′C ′D ′中，E 、F 分别是BC 、A ′D ′的中点.(1)求证：四边形B ′EDF 是菱形；(2)求直线A ′C 与DE 所成的角；(3)求直线AD 与平面B ′EDF 所成的角； (4)求面B ′EDF 与面ABCD 所成的角. 命题意图：本题主要考查异面直线所成的角、线面角及二面角的一般求法，综合性较强，属★★★★★级题目.知识依托：平移法求异面直线所成的角，利用三垂线定理求作二面角的平面角.错解分析：对于第(1)问，若仅由B ′E =ED =DF =FB ′就断定B ′EDF 是菱形是错误的，因为存在着四边相等的空间四边形，必须证明B ′、E 、D 、F 四点共面.技巧与方法：求线面角关键是作垂线，找射影，求异面直线所成的角采用平移法.求二面角的大小也可应用面积射影法.(1)证明：如上图所示，由勾股定理，得B ′E =ED =DF =FB ′=25a ,下证B ′、E 、D 、F 四点共面，取AD 中点G ，连结A ′G 、EG ，由EG ABA ′B ′知，B ′EGA ′是平行四边形.∴B ′E ∥A ′G ,又A ′FD G ,∴A ′GDF 为平行四边形.∴A ′G ∥FD ，∴B ′、E 、D 、F 四点共面 故四边形B ′EDF 是菱形.(2)解：如图所示，在平面ABCD 内，过C 作CP ∥DE ，交直线AD 于P ，则∠A ′CP (或补角)为异面直线A ′C 与DE 所成的角. 在△A ′CP 中，易得A ′C =3a ，CP =DE =25a ,A ′P =213a 由余弦定理得cos A ′CP =1515故A ′C 与DE 所成角为arccos1515. (3)解：∵∠ADE =∠ADF ,∴AD 在平面B ′EDF 内的射影在∠EDF 的平分线上.如下图所示.又∵B ′EDF 为菱形，∴DB ′为∠EDF 的平分线， 故直线AD 与平面B ′EDF 所成的角为∠ADB ′ 在Rt △B ′AD 中，AD =2a ，AB ′=2a ,B ′D =2a 则cos ADB ′=33 故AD 与平面B ′EDF 所成的角是arccos33. (4)解：如图，连结EF 、B ′D ，交于O 点，显然O 为B ′D 的中点，从而O 为正方形ABCD —A ′B ′C ′D 的中心.作OH ⊥平面ABCD ，则H 为正方形ABCD 的中心，再作HM ⊥DE ，垂足为M ，连结OM ，则OM ⊥DE ， 故∠OMH 为二面角B ′—DE ′—A 的平面角.在Rt △DOE 中，OE =22a ,OD =23a ,斜边DE =25a , 则由面积关系得OM =1030=⋅DE OE OD a 在Rt △OHM 中，sin OMH =630=OM OH 故面B ′EDF 与面ABCD 所成的角为arcsin 630.。

高中数学中的立体几何空间角与空间距离计算方法立体几何是数学中的一个分支，其重点研究的是三维空间中点、线、面和体之间的关系。

在立体几何中，空间角和空间距离是非常关键的概念。

本文将详细探讨高中数学中的立体几何空间角与空间距离计算方法。

一、空间角的概念与计算方法1. 空间角的概念空间角指的是由两个非共面向量所张成的角度，在立体几何中具有重要的意义。

空间角的大小是依据两个向量的夹角计算得来的。

2. 空间角的计算方法在计算空间角时，我们首先需要求出两个向量的点积。

设向量a=(a1,a2,a3)和向量b=(b1,b2,b3)，则它们的点积为a*b=a1b1+a2b2+a3b3。

接下来，我们可以利用余弦定理来计算角度，即cosθ=(a*b)/(|a||b|)，其中|a|和|b|分别表示向量a和向量b的模长，θ表示向量a和向量b之间的夹角。

二、空间距离的概念与计算方法1. 空间距离的概念空间距离指的是三维空间中两个点之间的距离，也是立体几何中经常涉及到的一个概念。

2. 空间距离的计算方法我们可以借助勾股定理来计算空间距离。

设点A(x1,y1,z1)和点B(x2,y2,z2)是三维空间中的两个点，它们之间的距离为d，则d=sqrt((x2-x1)^2+(y2-y1)^2+(z2-z1)^2)。

三、空间角和空间距离的应用空间角和空间距离在立体几何中的应用非常广泛，例如在计算棱台的侧面积、计算四面体内切圆半径、求解圆锥截面面积等问题中，我们都需要用到空间角和空间距离的知识。

比如，在计算棱台的侧面积时，我们需要首先求出两条棱所在的平面之间的空间角，然后根据棱长和计算出的角度，就可以快速计算出棱台的侧面积。

在计算四面体内切圆半径时，我们需要先计算出四面体各面的法线向量，然后根据法线向量计算面上的角度，最后用勾股定理求出四面体内切圆的半径。

在求解圆锥截面面积时，我们需要用到空间角和空间距离的知识，以找出圆锥截面的边界和计算截面的面积。

空间角的范围什么是空间角空间角是物体之间相对位置的一种度量，用于描述在三维空间中两个向量之间的夹角。

它是向量的方向性特征的量化表示。

在数学上，空间角可以通过向量的点积和模长来计算。

给定两个向量A和B，它们的空间角θ可以通过以下公式计算：θ = arccos(A·B / |A|·|B|)其中，A·B表示向量A和向量B的点积，|A|和|B|分别表示向量A和向量B的模长。

空间角的范围空间角的范围是从0到π之间的实数。

这是因为点积的值范围是从-1到1之间，而空间角θ的取值范围是从0到π之间。

当两个向量的方向相同时，它们的空间角为0。

当两个向量的方向完全相反时，它们的空间角为π。

当两个向量的方向相互垂直时，它们的空间角为π/2。

在实际应用中，空间角的范围可以用于描述物体之间的相对位置关系。

例如，在机器人技术中，空间角可以用于判断机器人的朝向和目标位置之间的夹角，从而实现精确的导航和定位。

空间角的应用空间角在物理学、工程学和计算机图形学等领域中具有广泛的应用。

在物理学中，空间角被用于描述光线的传播方向和反射方向之间的夹角。

通过测量空间角，可以计算出光线的折射角和反射角，从而研究光的传播规律和光学器件的设计。

在工程学中，空间角被用于描述机械零件之间的相对位置关系。

通过测量空间角，可以确定机械零件的装配方式和运动轨迹，从而实现机械系统的设计和优化。

在计算机图形学中，空间角被用于描述三维模型之间的相对位置关系。

通过计算空间角，可以确定三维模型的旋转角度和投影方向，从而实现计算机图形的渲染和动画效果。

总结空间角是一种用于描述物体之间相对位置的度量，可以通过向量的点积和模长来计算。

空间角的范围是从0到π之间的实数，用于表示两个向量之间的夹角。

空间角在物理学、工程学和计算机图形学等领域中具有广泛的应用，可以用于研究光的传播规律、机械系统的设计和优化，以及计算机图形的渲染和动画效果等方面。

通过深入理解空间角的概念和应用，我们可以更好地理解和应用三维空间中的向量和位置关系。