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空间角总结什么是空间角？空间角是几何学中的一个重要概念，用来描述两个向量之间的夹角。
空间角通常用希腊字母θ（theta）表示，其单位是弧度（rad）。
空间角的概念可以扩展到三维空间中，帮助我们描述物体之间的方向关系和位置关系。
空间角的特征空间角具有以下几个重要特征：1.空间角是无向角：空间角没有方向之分，只关注两个向量之间夹角的大小，与向量的起点和终点无关。
2.空间角的大小范围：空间角的取值范围是0到π（也就是0到180度）。
3.水平角和垂直角：当两个向量在同一平面内，夹角为水平角；当两个向量互相垂直，夹角为垂直角。
4.空间角的计算方法：可以使用余弦定理或向量的点积来计算空间角的大小。
空间角的计算方法余弦定理余弦定理是计算空间角的常用方法之一。
设有两个向量A和B，它们之间的夹角θ满足以下关系：cos(θ) = (A·B) / (|A| * |B|)其中，A·B表示向量A和向量B的点积，|A|和|B|表示向量A和向量B的模。
通过余弦定理，我们可以根据向量的数值计算出它们之间的夹角。
向量的点积另一种计算空间角的方法是使用向量的点积。
向量A·B的点积可以通过以下公式计算得到：A·B = |A| * |B| * cos(θ)其中，θ表示向量A和向量B的夹角。
通过这个公式，我们可以根据两个向量的点积来计算它们之间的夹角。
球面角与立体角除了空间角之外，还有两个相关概念：球面角和立体角。
球面角球面角是指由球心发出的射线与球面上两个端点所夹的角。
球面角的单位是球面度（sr），1球面度是球面上的一个单位面积所占的立体角。
球面角可以通过球面面积和球半径来计算。
立体角立体角用来描述三维空间中的角度，是由空间中一点发出的射线与空间中的两个向量所夹的角。
立体角的单位是立体度（steradian，sr），1立体度表示空间中的一个单位面积所占的立体角。
立体角可以通过空间角和距离来计算。
空间的角1.三垂线定理, 逆定理3. 空间角的计算步骤 一作、二证、三算.4.异面直线所成角：范围(]0,90︒︒计算方法: ①平移法 ②向量法：α=arccos a ba b5.直线与平面所成的角: ①定义：斜线和射影所成的锐角；线面垂直时直角②范围 []0,90︒︒；③最小角定理：斜线和平面内直线所成的角中，线面角最小. ⑤线面角求法：a 定义法 b 向量法6.二面角求法：()1定义法； ()2三垂线定理及其逆定理法；()3射影面积法：cos S S θ=射影多边形原多边形， ()4向量法例1. 如图，在四棱锥O ABCD -中，底面ABCD 四边长为1的菱形，4ABC π∠=,OA ABCD ⊥底面, 2OA =,M 为OA 的中点，N 为BC 的中点求异面直线AB 与MD 所成角的大小；例2. 如图，正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都为2，D 为1CC 中点．()1求证：1AB ⊥平面1A BD()2求二面角1A A D B --的大小； ()3求点C 到平面1A BD 的距离．1.(07北京)如图，在Rt AOB △中，π6OAB ∠=，斜边4AB =．Rt AOC △可以通过Rt AOB △以直线AO 为轴旋转得到，且二面角B AO C --是直二面角．动点D 的斜边AB 上．()1求证：平面COD ⊥平面AOB ； ()2当D 为AB 的中点时，求异面直线AO 与CD 所成角的大小；()3求CD 与平面AOB 所成角的最大值．αAPO aABCD1A1C1BOCADB。
空间角度在机械零件加工中经常可以遇到具有空间角度的斜孔、斜面，在加工这些零件或设计这些零件夹具时，常常需要进行空间角度的计算。
因此，在这里就对空间角度的计算及应用进行讨论。
一、关于双斜线的空间角度计算在机械制图中我们把和三个投影面的位置都倾斜的直线叫做一般位置直线，在这我们称一般位置直线为双斜线。
1、双斜线的空间角度某斜孔零件如图所示，立体图剖切图从图中可以看到：斜孔和三个基本投影面都是倾斜的，但斜孔倾斜的方向和角度大小完全可以由斜孔轴线来表示，而斜孔轴线可看成是一般直线及双斜线，因此倾斜孔的空间角度问题就简化为双斜线的空间角度问题。
下面我们就来讨论双斜线的角度及角度代号。
1）、方向角为便于讨论，可把空间直线和三个投影面的关系抽象成一个长方体，双斜线就作为对角线，如图。
从图中可看出红色直线的方向可以由与投影轴之间的角度来确定。
直线与X轴、Y轴、Z轴的夹角通常用α、β、γ表示，称为方向角。
α表示双斜线与X投影轴之间的夹角。
β表示双斜线与Y投影轴之间的夹角。
γ表示双斜线与Z投影轴之间的夹角。
注意在这里所讨论的夹角都是双斜线与投影轴之间所夹的正锐角。
如图如果双斜线不通过原点，可以在直线上的任意点作三条线分别平行于X、Y、Z轴，这三条线与双斜线的夹角也是方向角。
如图2）、真实倾角从双斜线和三个投影面之间的几何关系看，双斜线和三个投影面之间存在着倾角，即线和面之间的倾角。
双斜线对投影面的倾角是可用双斜线和它在该投影面上投影之间的夹角表示。
双斜线与W （yz）面、V（xz）面、H（xy）面的夹角通常用α0、β0、γ0表示，称为真实倾角。
α0表示双斜线与W（yz）面的夹角。
β0表示双斜线与V（xz）面的夹角。
γ0表示双斜线与H（xy）面的夹角。
由下图可看出方向角和真实倾角之间的关系：α+α0=90°、β+β0=90°、γ+γ0=90°3）、投影角如图所示双斜线在三个投影面上的投影与投影轴之间的夹角也可反应空间直线的方向，我们把这些夹角称为投影角。
空间几何角度计算公式在空间几何中，角度是一个重要的概念，用于描述两条线、平面或多个向量之间的夹角。
计算空间几何角度的公式可以根据具体情况而变化，下面将介绍几种常见的计算公式。
1. 点和直线的夹角设直线L上有一点A，过点A引一直线与直线L相交于点B，计算点A和直线L之间的夹角，可使用以下公式：cosθ = |AB| / |OB|其中θ表示点A和直线L的夹角，|AB|表示线段AB的长度，|OB|表示向量OB的长度。
2. 直线与直线的夹角设两条直线L1和L2，如果它们的方向向量分别为a和b，计算直线L1和直线L2之间的夹角，可使用以下公式：cosθ = |a·b| / (|a| |b|)其中θ表示直线L1和直线L2的夹角，|a·b|表示向量a与向量b的点乘的绝对值，|a|和|b|表示向量a和向量b的长度。
3. 平面和平面的夹角设两个平面α和β，它们的法线向量分别为n1和n2，计算平面α和平面β之间的夹角，可使用以下公式：cosθ = |n1·n2| / (|n1| |n2|)其中θ表示平面α和平面β的夹角，|n1·n2|表示向量n1与向量n2的点乘的绝对值，|n1|和|n2|表示向量n1和向量n2的长度。
4. 空间向量的夹角设两个非零向量a和b，计算向量a和向量b之间的夹角，可使用以下公式：cosθ = (a·b) / (|a| |b|)其中θ表示向量a和向量b的夹角，a·b表示向量a与向量b的点乘，|a|和|b|表示向量a和向量b的长度。
以上就是在空间几何中常用的几种角度计算公式。
根据具体情况，选择适合的公式进行计算，可以帮助我们解决空间几何问题。
第65讲 空间的角及计算【考点解读】了解空间三种角的概念，并会求三种角的大小.【知识扫描】1、异面直线,a b 所成的角：范围(0,]2π① 平移法：过空间上一点（注意取图形中的特殊点）作1//a a 、1//b b ，则1a 与1b 所成的锐角或直角就是异面直线,a b 所成的角；（书写时要分三步：作— 指— 求） ② 证明a b ⊥，则a 与b 的夹角为2π； ③ 向量法：求a < ，b >（[0,]π∈)，再确定异面直线a 与b 所成的角((0,]2πα∈)。
2、直线与平面所成的角：范围[0,)π① 定义法：找出直线PA 在平面α内的射影AO （射影AO 怎么找），则锐角PAO ∠就是直线PA 与平面α所成的角；（书写时要分三步：作— 证— 求） ② 证明a α⊥(或//a α)，则直线a 与平面α所成的角2π（或0）； ③ 向量法：求a 与α的法向量n 所成的角,a n <> ，则直线a 与平面α所成的角θ为,2a n π-<>或,2a n π<>- ，总之有||sin |cos ,|||||a n a n a n θ⋅=<>=⨯。
3、二面角① 直接法：直接作出二面角AB αβ--的平面角（书写时要分三步：作—证— 求）；② 向量法：设平面α的法向量1n 与平面β的法向量2n所成的角为θ，则所求的二面角为θ或πθ-（要依图形确定是取θ，还是取θπ-）。
【考计点拨】牛刀小试：1．在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，若AB=2，A A 1=1，则点A 到平面A 1BC 的距离为（B ）A ．43B ．23 C ．433 D ．32．在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，若AB=2BB 1,则AB 1与C 1B 所成的角的大小为 （B ）A.60ºB. 90ºC.105ºD. 75º3．正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是AA 1与CC 1的中点，则直线ED 与D 1F 所成角的大小是（A）A ．15 B 。
空间几何中的角度与距离计算在空间几何中，角度与距离的计算是非常重要的。
通过正确计算角度和距离，我们能够准确描述和分析物体的位置、运动以及相互关系。
本文将介绍空间几何中常用的角度计算方法和距离计算方法。
一、角度计算在空间几何中，角度是表示物体之间相对方向关系的重要指标。
常见的角度计算方法有以下几种：1. 余弦定理余弦定理是计算三角形内角的常用方法之一。
在空间几何中，如果已知三点的坐标，可以通过余弦定理计算出这三个点所形成的夹角。
余弦定理的公式如下：cos A = (b² + c² - a²) / (2bc)其中，A为夹角的大小，a、b、c为夹角对应的边长。
2. 矢量法矢量法是一种基于向量运算的角度计算方法。
通过将空间中的两个向量进行运算，可以得到它们之间的夹角。
常见的向量法角度计算包括点乘法和叉乘法。
（1）点乘法：两个向量的点乘结果等于它们的模长相乘再乘以它们之间的夹角的余弦值。
可以通过点乘法计算向量之间的夹角。
（2）叉乘法：两个向量的叉乘结果等于它们的模长相乘再乘以它们之间的夹角的正弦值。
可以通过叉乘法计算向量之间的夹角。
3. 三角函数在空间几何中，三角函数也是用于角度计算的常用方法之一。
通过正弦、余弦和正切等三角函数的运算，可以计算出角度的大小。
三角函数的计算方法需要先将坐标系进行转换，然后根据坐标的数值，利用相应的三角函数公式进行计算。
二、距离计算在空间几何中，距离是表示物体之间远近程度的重要指标。
常见的距离计算方法有以下几种：1. 欧几里得距离欧几里得距离是空间几何中最常用的距离计算方法。
对于二维或三维空间中的两个点，欧几里得距离可以通过计算它们在各坐标轴上的差值的平方和再开方的方式得到。
欧几里得距离的公式如下：d = √[(x₂-x₁)² + (y₂-y₁)² + (z₂-z₁)²]其中，d为距离，(x₁, y₁, z₁)和(x₂, y₂, z₂)分别为两个点的坐标。
在高中的空间几何学习中，常见的几何形状包括点、线、面、体等，涉及到各种角的计算。
以下是一些常见的角的公式：
1. 平面内的角：
-顶点在圆心的圆心角和半圆角：圆心角等于对应的圆周角，半圆角为180度。
-对顶角：对顶角相等。
-同位角：同位角相等。
-内错角和内错角互补：内错角之和等于180度，内错角互补。
2. 空间内的角：
-平行线与截线：平行线与截线的对应角相等。
-直线与平面：直线与平面的夹角等于其倾斜角。
-平面与平面：两平面的夹角等于它们法向量的夹角。
3. 立体几何中的角：
-直线与立体的交角：直线与平面或立体的夹角等于90度减去它们的夹角余补角。
-两平面之间的夹角：两平面的夹角是它们的法线之间的夹角。
这些公式是空间几何中常见的角度计算原则，通过理解和掌握这些规律，可以更好地解决空间几何题目中涉及到的各种角度问题。
PCDBA 空间角的求法空间角，能比较集中反映空间想象能力的要求，历来为高考命题者垂青，几乎年年必考。
空间角是异面直线所成的角、直线与平面所成的角及二面角总称。
空间角的计算思想主要是转化：即把空间角转化为平面角，把角的计算转化到三角形边角关系或是转化为空间向量的坐标运算来解。
空间角的求法一般是：一找、二证、三计算。
异面直线所成的角的范围：090θ<≤ （一）平移法【例1】已知四边形ABCD 为直角梯形，//AD BC ，90ABC ∠=，PA ⊥平面AC ，且2BC =，1PA AD AB ===，求异面直线PC 与BD 所成角的余弦值的大小。
【解】过点C 作//CE BD 交AD 的延长线于E ，连结PE，则PC 与BD 所成的角为PCE ∠或它的补角。
CEBD ==PE=∴由余弦定理得 222cos 2PC CE PE PCE PC CE +-∠==⋅∴PC 与BD 所成角的余弦值为63 （二）补形法【变式练习】已知正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为8，侧棱长为6，D 为AC 中点。
求异面直线1AB与1BC 所成角的余弦值。
【答案】125A 1C 1CBAB 1 DCP二、直线与平面所成角直线与平面所成角的范围：090θ≤≤ 方法：射影转化法（关键是作垂线，找射影）【例2】如图，在三棱锥P ABC -中，90APB ∠=，60PAB ∠=，AB BC CA ==，点P 在平面ABC内的射影O 在AB 上，求直线PC 与平面ABC 所成的角的大小。
【解】连接OC ，由已知，OCP ∠为直线PC 与平面ABC 所成角设AB 的中点为D ，连接,PD CD 。
AB BC CA ==，所以CD AB ⊥90,60APB PAB ∠=∠=，所以PAD ∆为等边三角形。
不妨设2PA =，则1,3,4OD OP AB ===2223,13CD OC OD CD ∴==+=在Rt OCP ∆中，339tan 13OP OCP OC ∠===【变式练习1】如图，四棱锥S ABCD -中，//AB CD ，BC CD ⊥，侧面SAB 为等边三角形。
高中数学中的立体几何空间角与空间距离计算方法立体几何是数学中的一个分支，其重点研究的是三维空间中点、线、面和体之间的关系。
在立体几何中，空间角和空间距离是非常关键的概念。
本文将详细探讨高中数学中的立体几何空间角与空间距离计算方法。
一、空间角的概念与计算方法1. 空间角的概念空间角指的是由两个非共面向量所张成的角度，在立体几何中具有重要的意义。
空间角的大小是依据两个向量的夹角计算得来的。
2. 空间角的计算方法在计算空间角时，我们首先需要求出两个向量的点积。
设向量a=(a1,a2,a3)和向量b=(b1,b2,b3)，则它们的点积为a*b=a1b1+a2b2+a3b3。
接下来，我们可以利用余弦定理来计算角度，即cosθ=(a*b)/(|a||b|)，其中|a|和|b|分别表示向量a和向量b的模长，θ表示向量a和向量b之间的夹角。
二、空间距离的概念与计算方法1. 空间距离的概念空间距离指的是三维空间中两个点之间的距离，也是立体几何中经常涉及到的一个概念。
2. 空间距离的计算方法我们可以借助勾股定理来计算空间距离。
设点A(x1,y1,z1)和点B(x2,y2,z2)是三维空间中的两个点，它们之间的距离为d，则d=sqrt((x2-x1)^2+(y2-y1)^2+(z2-z1)^2)。
三、空间角和空间距离的应用空间角和空间距离在立体几何中的应用非常广泛，例如在计算棱台的侧面积、计算四面体内切圆半径、求解圆锥截面面积等问题中，我们都需要用到空间角和空间距离的知识。
比如，在计算棱台的侧面积时，我们需要首先求出两条棱所在的平面之间的空间角，然后根据棱长和计算出的角度，就可以快速计算出棱台的侧面积。
在计算四面体内切圆半径时，我们需要先计算出四面体各面的法线向量，然后根据法线向量计算面上的角度，最后用勾股定理求出四面体内切圆的半径。
在求解圆锥截面面积时，我们需要用到空间角和空间距离的知识，以找出圆锥截面的边界和计算截面的面积。
空间角的概念与计算在几何学中，角是一个基本的概念，用于描述物体之间的相对方向。
而空间角则是在三维空间中描述物体之间方向关系的重要指标。
本文将介绍空间角的概念及其计算方法。
一、空间角的概念空间角是用来描述三维空间中两个矢量之间的夹角关系。
在二维空间中，我们可以通过一条射线和一条直线之间的夹角来描述角度，而在三维空间中，空间角则需要考虑更多的因素。
具体而言，对于任意两个非零矢量a和b，它们之间的空间角被定义为它们的夹角θ，满足0 ≤ θ ≤ π。
其中，θ=0时表示a和b共线，θ=π/2时表示a和b正交，θ=π时表示a和b反向。
二、空间角的计算1. 余弦定理计算空间角余弦定理是空间角计算中常用的方法之一。
对于两个非零矢量a和b，它们之间的空间角θ满足以下关系：cosθ = (a·b) / (|a|·|b|)其中，·表示矢量的点积，|a|和|b|分别表示矢量a和b的模长。
通过求解上式，我们可以得到空间角θ的值。
2. 向量叉积计算空间角另一种常用的空间角计算方法是利用向量的叉积。
对于两个非零矢量a和b，它们之间的空间角θ满足以下关系：sinθ = |a×b| / (|a|·|b|)其中，×表示矢量的叉积。
通过求解上式，我们可以得到空间角θ的正弦值，进而计算出空间角的值。
三、实例演示下面通过一个实例来演示如何计算空间角。
假设有两个矢量a = (1, 2, 3)和b = (4, 5, 6)。
我们希望计算出它们之间的空间角θ。
首先，我们可以通过求解余弦定理来计算空间角的余弦值：cosθ = (1×4 + 2×5 + 3×6) / √(1² + 2² + 3²) × √(4² + 5² + 6²)= (4 + 10 + 18) / √14 × √77= 32 / √1078 ≈ 0.979然后，通过反余弦函数可以求得空间角的弧度值：θ = arccos(0.979) ≈ 0.199 rad最后，将弧度值转换为度数，即可得到空间角的度数表示：θ ≈ 0.199 × (180/π) ≈ 11.4°因此，矢量a和b之间的空间角约为11.4°。
空间中的角度计算与应用角度是空间中一种重要的几何概念，可以用来描述物体之间的相对位置和方向关系。
在工程、物理、建筑、航天等领域中，角度计算和应用都扮演着重要的角色。
本文将介绍空间中角度的计算方法和几个相关应用。
一、空间中的角度计算方法在二维平面中，我们可以使用直尺和量角器等工具来测量角度。
但在空间中，由于有长度、高度和深度三个方向的变化，所以需要使用更高级的工具和方法来计算角度。
1. 三维空间中的角度计算方法在三维空间中，我们通常使用向量来表示方向和位置。
一个向量可以用起点和终点来表示，这两个点在三维坐标系中分别有三个坐标值。
设两个向量A和B，它们的坐标分别为(Ax, Ay, Az)和(Bx, By, Bz)。
我们可以使用向量的点积和模长计算它们之间的夹角θ。
点积的计算公式为：A·B = Ax·Bx + Ay·By + Az·Bz向量的模长计算公式为：|A| = √(Ax^2 + Ay^2 + Az^2)两个向量的夹角θ的余弦值可表示为：cosθ = (A·B) / (|A|·|B|)通过反余弦函数可求得夹角θ的值，即θ = arccos(cosθ)2. 四元数计算法四元数是一种用于表示旋转的数学工具，它可以用一个实部和三个虚部来表示。
四元数既可以描述物体的姿态和旋转角度，也可以用来计算两个物体之间的旋转或夹角。
具体计算步骤如下：1）定义两个四元数q1和q2，分别表示两个物体的姿态；2）求解它们的乘积p = q1 * q2的实部，得到一个新的四元数；3）通过arccos函数计算p的实部的绝对值，得到两个物体之间的夹角。
二、空间中角度的应用在物理和工程领域，空间中的角度计算和应用非常广泛，下面介绍几个常见的应用场景。
1. 机械设计与运动控制在机械设计和运动控制领域，角度的计算和控制是非常重要的。
例如，在机器人运动控制中，需要根据机器人末端执行器的位置和姿态，计算出各个关节的角度，以实现期望的运动轨迹。
空间角的求法方法归纳
空间角的求法方法归纳
在数学和物理学中，空间角是一种非常重要的概念。
物体在空间中的角度关系经常被用到各种计算和分析中。
因此，求解空间角的方法也变得尤为重要。
本文将按类划分，总结空间角的求法方法。
立体角的求法
立体角是三维空间中用来描述四面体的角度大小的量，并且与其各个顶点相对应。
求解四面体的立体角可以通过以下公式进行计算：
V5 = 1/3(arccos(A1) + arccos(A2) + arccos(A3) - π )
其中V5指四面体的立体角，A1、A2、A3为三个向量的夹角余弦，pi 为圆周率。
平面角的求法
平面角是在二维平面中两个射线之间的角度大小，于是端点重合，两条射线叫做角的顶点，并记为O。
平面角的计算公式如下：
cosθ = a·b / |a||b|
其中，a和b分别表示两个向量，|a|和|b|表示向量的模，lala和lblb都为0，则cosθ没有定义。
球面角的求法
球面角是指在球面上相互靠近的两条弧（或线）之间的角度大小。
求解球面角需要先计算其对应的球面扇形的面积，然后进行换算即可，具体公式如下：
S = R²θ
其中R表示球体半径，θ表示对应的球面角。
总结
空间角的求法方法主要包括立体角、平面角和球面角三种。
其中立体角的求解需要根据四面体的三个向量夹角余弦值计算，平面角的计算需要先计算两个向量的点积并除以其模，而球面角的求解则需要先计算出对应的球面扇形面积。
这些空间角的求法方法可以帮助我们更准确地分析并解决各类问题。
第52讲 空间角及其计算
1．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，BC 1与平面BDD 1B 1所成的角为(A)
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．90°
取B 1D 1的中点E ，连接C 1E ，BE ，
因为C 1E ⊥平面BDD 1B 1，所以∠C 1BE 即为所求角θ. 因为sin θ＝2
22＝1
2
，所以θ＝30°，选A.
2．正四棱锥的侧棱长为23，侧棱与底面所成的角为60°，则该棱锥的体积为(B) A ．3 B ．6
C ．9
D ．18
棱锥的底面对角线长为2×23cos 60°＝23，高为23sin 60°＝3，设底面边长为
a ，则2a ＝23，所以a ＝6，
所以底面面积为a 2＝6，
所以其体积V ＝1
3
×6×3＝6，所以选B.
3．已知二面角α-l -β的大小为60°，m ，n 为异面直线，且m ⊥α，n ⊥β，则m ，n 所成
的角为(B)
A ．30°
B ．60°
C ．90°
D ．120°
4．如图，平面α⊥平面β，A ∈α，B ∈β，AB 与平面α、β所成的角分别为π4和π
6
.过A 、B
分别作两平面交线的垂线，垂足为A ′、B ′，若AB ＝12，则A ′B ′＝(B)
A. 4 B ．6 C
．8 D ．9
连接AB ′，设AB ＝a ，可得AB 与平面α所成的角为∠BAB ′＝π
4
，在Rt △BAB ′
中，有AB ′＝2
2
a .
同理可得AB 与平面β所成的角为∠ABA ′＝π
6
，
所以A ′A ＝1
2
a .
因此在Rt △AA ′B ′中，A ′B ′＝
(
22a )2－(12a )2＝12
a ， 因为AB ＝12，所以A ′B ′＝6，故选B.
5．长为2a 的线段AB 在平面α内的射影线段A 1
B 1的长为a ，则直线AB 与平面α所成
的角的大小为 60° .
设直线AB 与平面α所成的角为θ，则cos θ＝a 2a ＝1
2
，则θ＝60°.
6．已知正三棱锥的侧棱长是底面边长的2倍，则侧棱与底面所成角的余弦值等于 36
.
如图，O 为底面正△ABC 的中心，则OP ⊥平面ABC ，∠PCO 即为所求角，
设AB ＝1，
则PC ＝2，OC ＝
33， 所以cos ∠PCO ＝OC PC ＝3
6.
7．(2017·天津卷)如图，在四棱锥P -ABCD 中，AD ⊥平面PDC ，AD ∥BC ，PD ⊥PB ，AD ＝1，BC ＝3，CD ＝4，PD ＝2.
(1)求异面直线AP 与BC (2)求证：PD ⊥平面PBC ；
(3)求直线AB 与平面PBC 所成角的正弦值．
(1)如图，由已知AD ∥BC ，故∠DAP 或其补角即为异面直线AP 与BC 所成的角．
因为AD ⊥平面PDC ，直线PD ⊂平面PDC ， 所以AD ⊥PD .
在Rt △PDA 中，由已知，得AP ＝AD 2＋PD 2＝5，
故cos ∠DAP ＝AD AP ＝5
5
.
所以异面直线AP 与BC 所成角的余弦值为
55
. (2)证明：由(1)知AD ⊥PD .又因为BC ∥AD ，所以PD ⊥BC . 又PD ⊥PB ，PB ∩BC ＝B ，所以PD ⊥平面PBC .
(3)过点D 作DF ∥AB ，交BC 于点F ，连接PF ，则DF 与平面PBC 所成的角等于AB 与平面PBC 所成的角．
因为PD ⊥平面PBC ，所以PF 为DF 在平面PBC 上的射影，所以∠DFP 为直线DF 和平面PBC 所成的角．
由于AD ∥BC ，DF ∥AB ，故BF ＝AD ＝1. 由已知，得CF ＝BC －BF ＝2. 又AD ⊥DC ，所以BC ⊥DC . 在Rt △DCF 中，可得DF ＝
CD 2＋CF 2＝25，
在Rt △DPF 中，可得sin ∠DFP ＝PD DF ＝5
5
.
所以直线AB 与平面PBC 所成角的正弦值为55
.
8．(2014·新课程卷Ⅱ)直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠BCA ＝90°，M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1
的中点，BC ＝CA ＝CC 1，则BM 与AN 所成的角的余弦值为(C)
A. 110
B. 25
C. 3010
D. 22
取BC 的中点D ，连接MN ，ND ，AD ，
由于MN 綊1
2
B 1
C 1綊B
D ，因此ND 綊BM ，
则ND 与NA 所成的角即为异面直线BM 与AN 所成的角． 设BC ＝2，则BM ＝ND ＝6，AN ＝5，AD ＝5， 因此，cos ∠AND ＝ND 2＋NA 2－AD 22ND ·NA ＝30
10.
9．已知正四面体A -BCD 的棱长为a .
(1)AC 与平面 BCD 所成角的余弦值为
3
3 ； (2)二面角A -BD -C 的平面角的余弦值为 1
3 .
设A 在底面BCD 上的射影为O ，连接OA ，连接OC 并延长与BD 相交于E ，连
接AE .
(1)因为AO ⊥平面BCD ，所以∠ACO 就是AC 与平面BCD 所成的角． 因为△BCD 是正三角形， 所以O 是△BCD 的中心．
在Rt △AOC 中，OC ＝23×32a ＝3
3a ，
所以cos ∠ACO ＝OC AC ＝3
3.
所以AC 与平面BCD 所成角的余弦值为33
. (2)因为四面体A -BCD 为正四面体， 所以△BCD 和△ABD 都为正三角形， 所以OE ⊥BD 且AE ⊥BD ，
所以∠AEO 为二面角A -BD -C 的平面角，
所以OE ＝13×32a ＝3a 6，AE ＝3
2
a ，
所以cos ∠AEO ＝OE AE ＝1
3.
所以二面角A -BD -C 的平面角的余弦值为1
3
.
10．如图，已知菱形ABCD 的边长为a ，∠ABC ＝60°，PC ⊥平面ABCD ，且PC ＝a ，E 为P A 的中点．
(1)求证：平面BED ⊥平面ABCD ； (2)求PB 与平面P AC 所成角的正弦值； (3)求二面角D -P A -B 的平面角的余弦值．
(1)证明：设AC 交BD 于O ，连接OE ，因为O 是AC 的中点，E 是P A 的中点，
所以OE ∥PC ，又PC ⊥平面ABCD ， 所以OE ⊥平面ABCD ，
因为OE ⊂平面BED ，所以平面BED ⊥平面ABCD . (2)连接OP ，因为ABCD 是菱形，所以BD ⊥AC ， 又PC ⊥平面ABCD ，所以BD ⊥PC ， PC ∩AC ＝C ，所以BD ⊥平面P AC ， 所以OP 是BP 在平面P AC 上的射影， 所以∠BPO 即为所求角．
在Rt △BPO 中，OB ＝
3
2a ，PB ＝2a ， 所以sin ∠BPO ＝OB PB ＝6
4.
所以PB 与平面P AC 所成角的正弦值为
64
. (3)过D 作DF ⊥P A 于F ，连接BF ，由(2)知BD ⊥P A ， DF ∩BD ＝D ，所以P A ⊥平面BFD ，BF ⊂平面BFD ， 所以P A ⊥BF ，
所以∠DFB 即是所求二面角的平面角． 在△DFB 中，可考虑用余弦定理求∠DFB . 因为PD ＝P A ＝2a ，
取AD 的中点G ，连接PG ，则PG ⊥AD ， PG ＝
PD 2－DG 2＝
72
a ， 由等面积法知AD ×PG ＝P A ×DF ， 得DF ＝a ×72a
2a
＝14
4a ，
BF ＝DF ＝14
4
a ，BD ＝3a ，
所以cos ∠DFB ＝1416a 2＋1416a 2
－3a 22×1416a 2
＝－5
7.
所以二面角D -P A -B 的平面角的余弦值为－5
7
.。
