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备战2020年高考高三一轮单元训练金卷 数学(理) 第17单元 选修4-5 不等式选讲 A卷 含答案

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单元训练金卷▪高三▪数学卷（A） 第17单元 选修4-5 不等式选讲 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知xab的解集是{|39}xx，则实数a，b的值是（ ） A．3a，6b B．3a，6b C．6a，3b D．3a，6b 2．设a，b是满足0ab的实数，那么（ ） A．abab B．abab C．abab D．abab

3．设Rx，则“12xx＞”是“10+1x”的（ ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 4．设集合|125 Sxxx，|4 Txxa，RST，则a的取值范围为（ ） A．2a或1a B．21a C．21a D．2a或1a 5．若存在实数x，使13xax成立，则实数a的取值范围是（ ） A．[]2,1 B．[]2,2 C．[]2,3 D．[]2,4 6．若关于x的不等式15xxm的解集为R，则实数m的取值范围是（ ） A．,64, B．,46, C．6,4 D．4,6 7．若关于x的不等式20kxx恰好有4个整数解，则实数k的取值范围是（ ）

A．32,53 B．32,53 C．3,15 D．3,15 8．两圆222240xyaxa和2224140xybyb恰有三条公切线，若Ra，Rb， 且0ab，则2211ab的最小值为（ ） A．49 B．109 C．1 D．3 9．设实数a，b，c，d，e满足关系：8abcde，2222216abcde，则实数e的最大值为（ ） A．2 B．165 C．3 D．25

10．不等式2223xxaa对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为（ ） A．14，， B．25，， C．1,2 D．12，， 11．已知a，b，0,1c，且1abbcac，则111111abc的最小值为（ ） A．332 B．932 C．632 D．9332 12．已知21fxx，ab，则fafb与ab的大小关系为（ ） A．fafbab B．fafbab C．fafbab D．不确定

第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．已知函数35Rfxxxaa的定义域为R，则实数a的取值范围是________．

14．已知函数2211 11xxfxxx函数gxfxfx，则不等式2gx的解集为________． 15．若实数1xyz，则22223xyz的最小值为__________． 16．若关于x的不等式Rxxaba在1,2上恒成立，则实数b的取值范围是__________．

三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知函数1fxxax．

此卷只装订不密封 班级 姓名 准考证号 考场号 座

位号 （1）若2a，求函数fx的最小值； （2）如果关于x的不等式2fx的解集不是空集，求实数a的取值范围．

18．（12分）已知函数2223fxxx． （1）求不等式15fx的解集； （2）若2fxaxx对于Rx恒成立，求a的取值范围．

19．（12分）已知函数1fxxaxa． （1）当1a，求函数fx的定义域； （2）当1,2a时，求证：2215fxfx．

20．（12分）已知0ab，且1maabb． （1）试利用基本不等式求m的最小值t； （2）若实数x，y，z满足2224xyzt，求证：23xyz． 21．（12分）已知函数1fxx，关于x的不等式321fxx的解集记为A． （1）求A； （2）已知a，bA，求证：fabfafb． 22．（12分）已知0a，0b，0c．若函数fxxaxbc的最小值为2．

（1）求abc的值； （2）证明：11194abbcca． 单元训练金卷▪高三▪数学卷（A） 第17单元 选修4-5 不等式选讲 答 案 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】D 【解析】由题得bxab，所以abxab， 因为xab的解集是{|39}xx，所以3ab且9ab，所以3a，6b． 故选D． 2．【答案】B 【解析】用赋值法．令2a，2b，代入检验；A．选项为04＞不成立， C．选项为04＞不成立，D．选项为44＜不成立，故选B． 3．【答案】A 【解析】当0x时，由12xx得12xx，得1x，此时无解，

当0x时，由12xx得12xx，得13x， 综上，不等式12xx的解为13x． 由10+1x得10x，所以1x，所以不等式10+1x的解为1x．

因为1{|1}|3xxxx，则“12xx”是“10+1x”的必要不充分条件，故选A． 4．【答案】B 【解析】{|32}Sxxx或，{|44}Txaxa，所以43 2142aaa， 故选B． 5．【答案】D 【解析】由111xaxxaxa…，不等式13xax„有解， 可得13a„，即313a剟，求得24a剟，故选D． 6．【答案】A

【解析】因为11xxmm，所以15m，∴4m或6m，故选A． 7．【答案】B 【解析】本题可用排除法，当1k时，解得1x有无数个整数解，排除D， 当34k时，不等式化为2291620xx，得887x有5数个整数解，排除C， 当23k时，不等式化为224920xx，得665x，恰有4数个整数解，排除A， 故选B． 8．【答案】C 【解析】因为两圆的圆心和半径分别为1,0Ca，12r，20,2Cb，21r，所以由题设可知两圆相外切，则1212CCrr，故2249ab，即224199ab， 所以22222222221141114454199999999abbaababab，故选C． 9．【答案】B 【解析】解：根据柯西不等式可知： 222222222

41111abcdabcdabcd，

∴224168ee，即226446416eee，∴25160ee，∴1605e，故选B． 10．【答案】A 【解析】结合绝对值三角不等式的性质可得22224xxxx，

即22xx的最大值为4，由恒成立的条件可得234aa，解得4a或1a， 即实数a的取值范围为14，，．故选A． 11．【答案】D 【解析】用基本不等式公式求得3abc，利用柯西不等式公式求得 1111119111abcabc



，

从而求得11199933111111233abcabc．故选D． 12．【答案】B 【解析】2222221111abfafbabab 2211abababababababababab

，

所以fafbab，故选B．

第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．【答案】28，，

【解析】因为函数35Rfxxxaa的定义域为R， 所以35xxa恒成立， 又333xxaxxaa，则35a， 即35a或35a，即8a或2a， 即实数a的取值范围是28，，． 14．【答案】2,2

【解析】231111 11xxfxxxxx，231111 11xxfxxxxx， 所以22341211 341xxxgxxxxx，所以2gx的解集为2,2．故答案为2,2． 15．【答案】611 【解析】由柯西不等式得，222211231123xyzxyz（） ∴22262311xyz，即22223xyz的最小值为611，故答案为611． 16．【答案】2,3 【解析】由式子可知，显然0b，bxax在1,2上恒成立， 即存在Ra，bbxaxx，则bbxaxxx，在1,2上恒成立， 令bfxxx，bgxxx，(0)b， fx在1,2单调递增，max222bfxf，2221bxbgxxx， 当1b，即1b，gx在1,2上单调递增，min1122bgxgb， 解得23b，213b， 当12b，即14b，gx在1,b上单调递减，在,2b上单调递增． ming222bgxbb，解得1282b，即14b， 当2b，即4b，gx在1,2上单调递减，min22222bbgxg， 解得0b，所以4b．综上所述，23b，故答案为2,3． 三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．【答案】（1）3；（2）3,1． 【解析】（1）当2a时，知1213fxxaxxx， 当210xx，即12x时取等号，∴fx的最小值是3． （2）∵111fxxaxxaxa，当10xax时取等号， ∴若关于x的不等式2fx的解集不是空集，只需12a，解得31a， 即实数a的取值范围是3,1． 18．【答案】（1）74,2；（2）194a．

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2020年高考理科数学通用版3维专题复习专题检测：(20)选修4-5不等式选讲版含解析

2020年高考理科数学通用版3维专题复习专题检测：(20)选修4-5不等式选讲版含解析

本资源的初衷 ,是希望通过网络分享 ,能够为广阔读者提供更好的效劳 ,为您水平的提高提供坚强的动力和保证 .内容由一线名师原创 ,立意新 ,图片精 ,是非常强的一手资料 .专题检测 (二十 ) 选修4 -5 不等式选讲1．(2021·沈阳质检)函数f (x )＝|x －a |－12x (a >0)． (1)假设a ＝3 ,解关于x 的不等式f (x )<0；(2)假设对于任意的实数x ,不等式f (x )－f (x ＋a )<a 2＋a 2恒成立 ,求实数a 的取值范围． 解：(1)当a ＝3时 ,f (x )＝|x －3|－12x , 即|x －3|－12x <0 , 原不等式等价于－12x <x －3<12x , 解得2<x <6 ,故不等式的解集为{x |2<x <6}．(2)f (x )－f (x ＋a )＝|x －a |－|x |＋a 2,原不等式等价于|x －a |－|x |<a 2 , 由三角绝||对值不等式的性质 ,得|x －a |－|x |≤|(x －a )－x |＝|a | ,原不等式等价于|a |<a 2.又a >0 ,∴a <a 2 ,解得a >1.故实数a 的取值范围为(1 ,＋∞)．2．(2021·全国卷Ⅰ)函数f (x )＝－x 2＋ax ＋4 ,g (x )＝|x ＋1|＋|x －1|.(1)当a ＝1时 ,求不等式f (x )≥g (x )的解集；(2)假设不等式f (x )≥g (x )的解集包含[－1,1] ,求a 的取值范围．解：(1)当a ＝1时 ,不等式f (x )≥g (x )等价于x 2－x ＋|x ＋1|＋|x －1|－4≤0. ①当x ＜－1时 ,①式化为x 2－3x －4≤0 ,无解；当－1≤x ≤1时 ,①式化为x 2－x －2≤0 ,从而－1≤x ≤1；当x ＞1时 ,①式化为x 2＋x －4≤0 ,从而1＜x ≤－1＋172. 所以f (x )≥g (x )的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－1≤x ≤－1＋172. (2)当x ∈[－1,1]时 ,g (x )＝2.所以f (x )≥g (x )的解集包含[－1,1] ,等价于当x ∈[－1 ,1]时 ,f (x )≥2.又f (x )在[－1,1]的最||小值必为f (－1)与f (1)之一 ,所以f (－1)≥2且f (1)≥2 ,得－1≤a ≤1.所以a 的取值范围为[－1,1]．3．(2021·石家庄质检)设函数f (x )＝|x －1|－|2x ＋1|的最||大值为m .(1)作出函数f (x )的图象；(2)假设a 2＋2c 2＋3b 2＝m ,求ab ＋2bc 的最||大值．解：(1)f (x )＝⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧ x ＋2 x ≤－12 －3x－12<x <1 －x －2 x ≥1画出图象如下列图．(2)由(1)知m ＝32. ∵32＝m ＝a 2＋2c 2＋3b 2＝(a 2＋b 2)＋2(c 2＋b 2)≥2ab ＋4bc , ∴ab ＋2bc ≤34 ,∴ab ＋2bc 的最||大值为34, 当且仅当a ＝b ＝c ＝12时 ,等号成立． 4．(2021·宝鸡质检)函数f (x )＝|2x －a |＋|2x ＋3| ,g (x )＝|x －1|＋2.(1)解不等式|g (x )|<5；(2)假设对任意x 1∈R ,都存在x 2∈R ,使得f (x 1)＝g (x 2)成立 ,求实数a 的取值范围． 解：(1)由||x －1|＋2|<5 ,得－5<|x －1|＋2<5 ,∴－7<|x －1|<3 ,得不等式的解集为{x |－2<x <4}．(2)因为对任意x 1∈R ,都有x 2∈R ,使得f (x 1)＝g (x 2)成立 ,所以{y |y ＝f (x )}⊆{y |y ＝g (x )} ,又f (x )＝|2x －a |＋|2x ＋3|≥|(2x －a )－(2x ＋3)|＝|a ＋3| ,g (x )＝|x －1|＋2≥2 ,所以|a ＋3|≥2 ,解得a ≥－1或a ≤－5 ,所以实数a 的取值范围为(－∞ ,－5]∪[－1 ,＋∞)．5．(2021·东北四市 (高|考 )模拟)a >0 ,b >0 ,函数f (x )＝|x ＋a |＋|2x －b |的最||小值为1.(1)证明：2a ＋b ＝2；(2)假设a ＋2b ≥tab 恒成立 ,求实数t 的最||大值．解：(1)证明：因为－a <b 2, 所以f (x )＝⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧ －3x －a ＋b x ≤－a－x ＋a ＋b －a <x <b 2 3x ＋a －bx ≥b 2显然f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－∞ b 2上单调递减 ,在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫b 2 ＋∞上单调递增 ,所以f (x )的最||小值为f ⎝⎛⎭⎫b 2＝a ＋b 2, 所以a ＋b 2＝1 ,即2a ＋b ＝2. (2)因为a ＋2b ≥tab 恒成立 ,所以a ＋2b ab ≥t 恒成立．因为a ＋2b ab ＝1b ＋2a ＝12⎝⎛⎭⎫1b ＋2a (2a ＋b ) ＝12⎝⎛⎭⎫5＋2a b ＋2b a ≥12⎝⎛⎭⎫5＋22a b ·2b a ＝92. 当且仅当a ＝b ＝23时 ,a ＋2b ab 取得最||小值92,所以t ≤92 ,即实数t 的最||大值为92. 6．(2021·贵州适应性考试)函数f (x )＝|x －1|＋|x －5| ,g (x )＝1＋x 2.(1)求f (x )的最||小值；(2)记f (x )的最||小值为m ,实数a ,b 满足a 2＋b 2＝6 ,求证：g (a )＋g (b )≤m . 解：(1)∵f (x )＝|x －1|＋|x －5|≥|x －1－x ＋5|＝4 ,∴f (x )min ＝4.(2)证明：由(1)知m[1×g (a )＋1×g (b )]2≤(12＋12)[g 2(a )＋g 2(b )] ,即[g (a )＋g (b )]2≤2(a 2＋b 2＋2) ,又g (x )＝x 2＋1>0 ,a 2＋b 2＝6 ,∴0<g (a )＋g (b )≤4(当且仅当a 2＝b 2＝3时取等号)．即g (a )＋g (b )≤m .7．(2021·太原模拟)函数f (x )＝|x －a |＋12a(a ≠0)． (1)假设不等式f (x )－f (x ＋m )≤1恒成立 ,求实数m 的最||大值；(2)当a <12时 ,函数g (x )＝f (x )＋|2x －1|有零点 ,求实数a 的取值范围． 解：(1)∵f (x )＝|x －a |＋12a, ∴f (x ＋m )＝|x ＋m －a |＋12a, ∴f (x )－f (x ＋m )＝|x －a |－|x ＋m －a |≤|x －a －x －m ＋a |＝|m | ,∴|m |≤1 ,即－1≤m ≤1 ,∴实数m 的最||大值为1.(2)当a <12时 , g (x )＝f (x )＋|2x －1|＝|x －a |＋|2x －1|＋12a＝⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧ －3x ＋a ＋12a ＋1 x <a －x －a ＋12a＋1 a ≤x ≤12 3x －a ＋12a －1 x >12∴g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－∞ 12上单调递减 ,在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12 ＋∞上单调递增． 又函数g (x )有零点 ,∴g (x )min ＝g ⎝⎛⎭⎫12＝12－a ＋12a ＝－2a 2＋a ＋12a≤0 , ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 0<a <12 －2a 2＋a ＋1≤0或⎩⎨⎧a <0 －2a 2＋a ＋1≥0 解得－12≤a <0 , ∴实数a 的取值范围是⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫－12 0. 8．(2021·成都二诊)函数f (x )＝4－|x |－|x －3|.(1)求不等式f ⎝⎛⎭⎫x ＋32≥0的解集； (2)假设p ,q ,r 为正实数 ,且13p ＋12q ＋1r＝4 ,求3p ＋2q ＋r 的最||小值． 解：(1)由f ⎝⎛⎭⎫x ＋32＝4－⎪⎪⎪⎪x ＋32－⎪⎪⎪⎪x －32≥0 , 得⎪⎪⎪⎪x ＋32＋⎪⎪⎪⎪x －32≤4. 当x <－32时 ,－x －32－x ＋32≤4 ,解得－2≤x <－32； 当－32≤x ≤32时 ,x ＋32－x ＋32≤4恒成立 , ∴－32≤x ≤32； 当x >32时 ,x ＋32＋x －32≤4 ,解得32<x ≤2.综上 ,f ⎝⎛⎭⎫x ＋32≥0的解集为[－2,2]． (2)令a 1＝3p ,a 2＝2q ,a 3＝r .由柯西不等式 ,得⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1a 12＋⎝⎛⎭⎫1a 22＋⎝⎛⎭⎫1a 32·(a 21＋a 22＋a 23) ≥⎝⎛⎭⎫1a 1·a 1＋1a 2·a 2＋1a 3·a 32＝9 , 即⎝⎛⎭⎫13p ＋12q ＋1r (3p ＋2q ＋r )≥9. ∵13p ＋12q ＋1r ＝4 ,∴3p ＋2q ＋r ≥94, 当且仅当13p ＝12q ＝1r ＝43 ,即p ＝14 ,q ＝38 ,r ＝34时 ,取等号． ∴3p ＋2q ＋r 的最||小值为94.。

高2020届高2017级高三新坐标一轮复习数学选修4-5第2节不等式的证明方法

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步一步地寻求结论成立的必要条件，最后达到题设的已知条件或已被
证明的事实．
()
(4)使用反证法时，“反设”不能作为推理的条件应用． ( )
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[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)×
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2．(教材改编)不等式：①x2＋3＞3x；②a2＋b2≥2(a－b－1)；③ba
＋ab≥2，其中恒成立的是(
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[证明] (1)因为( a＋ b)2＝a＋b＋2 ab， ( c＋ d)2＝c＋d＋2 cd， 由题设 a＋b＝c＋d，ab＞cd， 得( a＋ b)2＞( c＋ d)2. 因此 a＋ b＞ c＋ d.
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(2)①必要性：若|a－b|＜|c－d|，则(a－b)2＜(c－d)2，
19
量)时，等号成立．
(3)柯西不等式的三角不等式：设 x1，y1，x2，y2，x3，y3∈R，
则
x1－x22＋y1－y22
＋
x2－x32＋y2－y32
≥ x1－x32＋y1－y32.
答案 栏目导航
8
(4)柯西不等式的一般形式：设 a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…， bn 是实数，则(a21＋a22＋…＋a2n)(b21＋b22＋…＋b2n)≥(a1b1＋a2b2＋…＋ anbn)2，当且仅当 bi＝0(i＝1,2，…，n)或存在一个数 k，使得 ai＝kbi(i ＝1,2，…，n)时，等号成立．
解析答案
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3．若 a＝ 3－ 2，b＝ 6－ 5，c＝ 7－ 6，则 a，b，c 的大
小关系为( )
A．a>b>c
B．a>c>b
2020版高考数学(文)大一轮复习导学案：选修4-5 不等式选讲

2020版高考数学(文)大一轮复习导学案：选修4-5 不等式选讲

选修4－5 不等式选讲[基础梳理]1．绝对值三角不等式(1)定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立；(2)定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．2．绝对值不等式的解集(1)含绝对值的不等式|x|<a与|x|>a的解集：(2)|ax＋b|≤c、|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法：①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c．3．基本不等式定理1：如果a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．定理2：如果a，b>0，那么a＋b 2≥，当且仅当a＝b时，等号成立，即两个正数的算术平均不小于(即大于或等于)它们的几何平均．定理3：如果a，b，c全为正实数，那么a＋b＋c3，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．4．柯西不等式设a，b，c，d均为实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，等号当且仅当ad＝bc时成立．1．一组重要关系|a ＋b |与|a |－|b |，|a －b |与|a |－|b |，|a |＋|b |之间的关系： (1)|a ＋b |≥|a |－|b |，当且仅当a ＞－b ＞0时，等号成立．(2)|a |－|b |≤|a －b |≤|a |＋|b |，当且仅当|a |≥|b |且ab ≥0时，左边等号成立，当且仅当ab ≤0时，右边等号成立． 2．两个等价关系(1)|x |＜a ⇔－a ＜x ＜a (a ＞0)． (2)|x |＞a ⇔x ＜－a 或x ＞a (a ＞0)． 3．一个关键解绝对值不等式的关键是去掉绝对值符号． 4．一个口诀解含绝对值的不等式的基本思路可概括为十二字口诀“找零点，分区间，逐个解，并起来．” [四基自测]1．不等式|x －1|<1的解集为( ) A ．(1，2) B ．(0，2) C ．(－1，1) D ．(0，1)答案：B2．不等式|x －1|－|x －5|＜2的解集为________． 答案：(－∞，4)3．不等式|x ＋1|>|x －1|的解集为________． 答案：(0，＋∞)4．若关于x 的不等式|ax －2|＜3的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－53＜x ＜13，则a ＝________． 答案：－3考点一 解绝对值不等式◄考基础——练透[例1] (2016·高考全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝|x ＋1|－|2x －3|. (1)画出y ＝f (x )的图象． (2)求不等式|f (x )|＞1的解集．解析：(1)如图所示：(2)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －4，x ≤－1，3x －2，－1＜x ＜32，4－x ，x ≥32，|f (x )|＞1，当x ≤－1时，|x －4|＞1，解得x ＞5或x ＜3， 所以x ≤－1.当－1＜x ＜32时，|3x －2|＞1，解得x ＞1或x ＜13， 所以－1＜x ＜13或1＜x ＜32.当x ≥32时，|4－x |＞1，解得x ＞5或x ＜3，所以32≤x ＜3或x ＞5.综上，x ＜13或1＜x ＜3或x ＞5，所以|f (x )|＞1的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，13∪(1，3)∪(5，＋∞).含绝对值不等式的解法续表(2018·高考全国卷Ⅱ)设函数ƒ(x )＝5－|x ＋a |－|x －2|.(1)当a ＝1时，求不等式ƒ(x )≥0的解集； (2)若ƒ(x )≤1，求a 的取值范围．解析：(1)当a ＝1时，ƒ(x )＝⎩⎨⎧2x ＋4，x ≤－1，2，－1＜x ≤2，－2x ＋6，x ＞2.可得ƒ(x )≥0的解集为{x |－2≤x ≤3}． (2)ƒ(x )≤1等价于|x ＋a |＋|x －2|≥4.而|x ＋a |＋|x －2|≥|a ＋2|，且当x ＝2时等号成立． 故ƒ(x )≤1等价于|a ＋2|≥4. 由|a ＋2|≥4可得a ≤－6或a ≥2.所以a 的取值范围是(－∞，－6]∪[2，＋∞)． 考点二 绝对值不等式成立求参数◄考能力——知法 [例2] (2018·高考全国卷Ⅰ)已知ƒ(x )＝|x ＋1|－|ax －1|. (1)当a ＝1时，求不等式ƒ(x )＞1的解集；(2)若x ∈(0，1)时不等式ƒ(x )＞x 成立，求a 的取值范围． 解析：(1)当a ＝1时，ƒ(x )＝|x ＋1|－|x －1|，即ƒ(x )＝⎩⎨⎧－2，x ≤－1，2x ，－1＜x ＜1，2，x ≥1.故不等式ƒ(x )＞1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＞12.(2)当x ∈(0，1)时|x ＋1|－|ax －1|＞x 成立等价于当x ∈(0，1)时|ax －1|＜1成立． 若a ≤0，则当x ∈(0，1)时|ax －1|≥1；若a ＞0，则|ax －1|＜1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪0＜x ＜2a ，所以2a ≥1，故0＜a ≤2.综上，a 的取值范围为(0，2]．巧用“||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |”求最值(1)求|a |－|b |的范围：若a ±b 为常数M ，可利用||a |－|b ||≤|a ±b |⇔－|M |≤|a |－|b |≤|M |确定范围．(2)求|a |＋|b |的最小值：若a ±b 为常数M ，可利用|a |＋|b |≥|a ±b |＝|M |，从而确定其最小值．(2019·大庆模拟)设函数f (x )＝|2x －1|－|x ＋4|. (1)解不等式：f (x )>0；(2)若f (x )＋3|x ＋4|≥|a －1|对一切实数x 均成立，求a 的取值范围． 解析：(1)原不等式即为|2x －1|－|x ＋4|>0，当x ≤－4时，不等式化为1－2x ＋x ＋4>0，解得x <5， 即不等式组⎩⎨⎧x ≤－4|2x －1|－|x ＋4|>0的解集是{x |x ≤－4}．当－4<x <12时，不等式化为1－2x －x －4>0，解得x <－1，即不等式组⎩⎪⎨⎪⎧－4<x <12|2x －1|－|x ＋4|>0的解集是{x |－4<x <－1}．当x ≥12时，不等式化为2x －1－x －4>0，解得x >5， 即不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥12|2x －1|－|x ＋4|>0的解集是{x |x >5}．综上，原不等式的解集为{x |x <－1或x >5}．(2)∵f (x )＋3|x ＋4|＝|2x －1|＋2|x ＋4|＝|1－2x |＋|2x ＋8|≥|(1－2x )＋(2x ＋8)|＝9. ∴由题意可知|a －1|≤9，解得－8≤a ≤10， 故所求a 的取值范围是{a |－8≤a ≤10}．考点三不等式的证明◄考基础——练透[例3] (2017·高考全国卷Ⅱ)已知a>0，b>0，a3＋b3＝2.证明：(1)(a＋b)(a5＋b5)≥4；(2)a＋b≤2.证明：(1)(a＋b)(a5＋b5)＝a6＋ab5＋a5b＋b6＝(a3＋b3)2－2a3b3＋ab(a4＋b4)＝4＋ab(a2－b2)2≥4.(2)因为(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3＝2＋3ab(a＋b)≤2＋3（a＋b）24(a＋b)＝2＋3（a＋b）34，所以(a＋b)3≤8，因此a＋b≤2.证明不等式的方法与技巧(1)当已知与所求之间的关系较明显，从已知或不等式性质入手进行转换，可得到所求时，利用综合法．(2)如果已知条件与待证明的结论直接联系不明显，可考虑用分析法；如果待证明的命题以“至少”“至多”等方式给出或为否定性命题、唯一性命题，则考虑用反证法．(3)在必要的情况下，可能还需要使用换元法、构造法等技巧简化对问题的表述和证明．尤其是对含绝对值不等式的求解或证明，其简化的基本思路是化去绝对值号，转化为常见的不等式(组)求解．多以绝对值的几何意义或“找零点、分区间、逐个解、并起来”为简化策略．绝对值三角不等式，则往往作为不等式放缩的依据．1．已知实数a，b，c满足a>0，b>0，c>0，且abc＝1.(1)证明：(1＋a )(1＋b )(1＋c )≥8. (2)证明：a ＋b ＋c ≤1a ＋1b ＋1c .证明：(1)1＋a ≥2a ，1＋b ≥2b ，1＋c ≥2c ， 相乘得：(1＋a )(1＋b )(1＋c )≥8abc ＝8. (2)1a ＋1b ＋1c ＝ab ＋bc ＋ac ， ab ＋bc ≥2ab 2c ＝2b ， ab ＋ac ≥2a 2bc ＝2a ， bc ＋ac ≥2abc 2＝2c ， 相加得a ＋b ＋c ≤1a ＋1b ＋1c .2．已知函数f (x )＝|x －12|＋|x ＋12|，M 为不等式f (x )<2的解集． (1)求M ；(2)证明：当a ，b ∈M 时，|a ＋b |<|1＋ab |.解析：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ，x ≤－12，1，－12<x <12，2x ，x ≥12.当x ≤－12时，由f (x )<2得－2x <2，解得x >－1； 当－12<x <12时，f (x )<2；当x ≥12时，由f (x )<2得2x <2，解得x <1. 所以f (x )<2的解集M ＝{x |－1<x <1}．(2)证明：由(1)知，当a ，b ∈M 时，－1<a <1，－1<b <1，从而(a ＋b )2－(1＋ab )2＝a 2＋b 2－a 2b 2－1＝(a 2－1)(1－b 2)<0. 因此|a ＋b |<|1＋ab |.课时规范练 A 组 基础对点练1．已知函数f (x )＝|x －1|＋|x －a |. (1)若a ＝－1，解不等式f (x )≥3；(2)如果∃x ∈R ，使得f (x )＜2成立，求实数a 的取值范围． 解析：(1)若a ＝－1，f (x )≥3，即为|x －1|＋|x ＋1|≥3， 当x ≤－1时，1－x －x －1≥3，即有x ≤－32； 当－1＜x ＜1时，1－x ＋x ＋1＝2≥3不成立； 当x ≥1时，x －1＋x ＋1＝2x ≥3，解得x ≥32.综上可得，f (x )≥3的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－32∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞； (2)∃x ∈R ，使得f (x )＜2成立，即有2＞f (x )min ， 由函数f (x )＝|x －1|＋|x －a |≥|x －1－x ＋a |＝|a －1|， 当(x －1)(x －a )≤0时，取得最小值|a －1|， 则|a －1|＜2，即－2＜a －1＜2，解得－1＜a ＜3. 则实数a 的取值范围为(－1，3)． 2．设函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －52＋|x －a |，x ∈R .(1)当a ＝－12时，求不等式f (x )≥4的解集；(2)若关于x 的不等式f (x )≥a 在R 上恒成立，求实数a 的最大值． 解析：(1)f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －52＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋12＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋2，x ＜－12，3，－12≤x ≤52，2x －2，x ＞52.由f (x )≥4得⎩⎪⎨⎪⎧x ＜－12，－2x ＋2≥4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞52，2x －2≥4. 解得x ≤－1或x ≥3，所以不等式的解集为{x |x ≤－1或x ≥3}．(2)由绝对值的性质得f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －52＋|x －a |≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫x －52－（x －a ）＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －52，所以f (x )的最小值为⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －52，从而⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －52≥a ，解得a ≤54，因此a 的最大值为54.3．已知函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －2|.(1)当a ＝－3时，求不等式f (x )≥3的解集；(2)若f (x )≤|x －4|的解集包含[1，2]，求a 的取值范围．解析：(1)当a ＝－3时，f (x )＝⎩⎨⎧－2x ＋5，x ≤2，1，2＜x ＜3，2x －5，x ≥3.当x ≤2时，由f (x )≥3得－2x ＋5≥3，解得x ≤1； 当2＜x ＜3时，f (x )≥3无解；当x ≥3时，由f (x )≥3得2x －5≥3，解得x ≥4； 所以f (x )≥3的解集为{x |x ≤1或x ≥4}． (2)f (x )≤|x －4|⇔|x －4|－|x －2|≥|x ＋a |. 当x ∈[1，2]时，|x －4|－|x －2|≥|x ＋a | ⇔4－x －(2－x )≥|x ＋a |⇔－2－a ≤x ≤2－a . 由条件得－2－a ≤1且2－a ≥2，即－3≤a ≤0. 故满足条件的a 的取值范围为[－3，0]． 4．已知函数f (x )＝|2x －a |＋a .(1)当a ＝2时，求不等式f (x )≤6的解集；(2)设函数g (x )＝|2x －1|.当x ∈R 时，f (x )＋g (x )≥3，求a 的取值范围． 解析：(1)当a ＝2时，f (x )＝|2x －2|＋2. 解不等式|2x －2|＋2≤6得－1≤x ≤3. 因此f (x )≤6的解集为{x |－1≤x ≤3}． (2)当x ∈R 时，f (x )＋g (x )＝|2x －a |＋a ＋|1－2x |≥|2x －a ＋1－2x |＋a ＝|1－a |＋a ，当x ＝12时等号成立，所以当x ∈R 时，f (x )＋g (x )≥3等价于|1－a |＋a ≥3.① 当a ≤1时，①等价于1－a ＋a ≥3，无解． 当a ＞1时，①等价于a －1＋a ≥3，解得a ≥2. 所以a 的取值范围是[2，＋∞)．B 组 能力提升练5．已知函数f (x )＝|x ＋2|－m ，m ∈R ，且f (x )≤0的解集为[－3，－1]．(1)求m 的值；(2)设a ，b ，c 为正数，且a ＋b ＋c ＝m ，求3a ＋1＋3b ＋1＋3c ＋1的最大值．解析：(1)由题意，|x ＋2|≤m ⇔⎩⎨⎧m ≥0，－m －2≤x ≤m －2， 由f (x )≤0的解集为[－3，－1]，得⎩⎨⎧－m －2＝－3，m －2＝－1，解得m ＝1. (2)由(1)可得a ＋b ＋c ＝1，由柯西不等式可得(3a ＋1＋3b ＋1＋3c ＋1)(12＋12＋12)≥(3a ＋1＋3b ＋1＋3c ＋1)2， ∴3a ＋1＋3b ＋1＋3c ＋1≤32， 当且仅当3a ＋1＝3b ＋1＝3c ＋1，即a ＝b ＝c ＝13时等号成立， ∴3a ＋1＋3b ＋1＋3c ＋1的最大值为3 2.6．设不等式－2＜|x －1|－|x ＋2|＜0的解集为M ，a ，b ∈M ，(1)证明：⎪⎪⎪⎪⎪⎪13a ＋16b ＜14； (2)比较|1－4ab |与2|a －b |的大小，并说明理由． 解析：(1)证明：记f (x )＝|x －1|－|x ＋2|＝⎩⎨⎧3，x ≤－2，－2x －1，－2＜x ＜1，－3，x ≥1，由－2＜－2x －1＜0解得－12＜x ＜12，则M ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12. ∵a ，b ∈M ，∴|a |＜12，|b |＜12.∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪13a ＋16b ≤13|a |＋16|b |＜13×12＋16×12＝14. (2)由(1)得a 2＜14，b 2＜14.因为|1－4ab |2－4|a －b |2＝(1－8ab ＋16a 2b 2)－4(a 2－2ab ＋b 2)＝(4a2－1)(4b2－1)＞0，所以|1－4ab|2＞4|a－b|2，故|1－4ab|＞2|a－b|.。

选修4-5不等式选讲近十年高考真题(带解析)

选修4-5不等式选讲近十年高考真题(带解析)

选修4-5不等式选讲近十年高考真题（带解析）一、解答题1．2021年全国高考乙卷数学（文）试题已知函数()3f x x a x =-++．（1）当1a =时，求不等式()6f x ≥的解集;（2）若()f x a >-，求a 的取值范围．2．2021年全国高考甲卷数学（理）试题已知函数()2,()2321f x x g x x x =-=+--．（1）画出()y f x =和()y g x =的图像；（2）若()()f x a g x +≥，求a 的取值范围．3，2020年全国统一高考数学试卷（新课标Ⅰ）已知函数()|31|2|1|f x x x =+--．（1）画出()y f x =的图像；（2）求不等式()(1)f x f x >+的解集．4．2020年全国统一高考数学试卷（新课标Ⅱ） 已知函数2()|21|f x x a x a =-+-+.（1）当2a =时，求不等式()4f x ≥的解集；（2）若()4f x ≥，求a 的取值范围.5．2019年全国统一高考数学试卷（新课标Ⅰ）已知a ，b ，c 为正数，且满足abc =1．证明：（1）222111a b c a b c++≤++； （2）333()()()24a b b c c a +++≥++．6．2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）已知()|||2|().f x x a x x x a =-+--（1）当1a =时，求不等式()0f x <的解集；（2）若(,1)x ∈-∞时，()0f x <，求a 的取值范围.7．2018年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标I 卷）已知()11f x x ax =+--.（1）当1a =时，求不等式()1f x >的解集；（2）若()0,1x ∈时不等式()f x x >成立，求a 的取值范围.8．2018年全国普通高等学校招生统一考试理数（全国卷II ） 设函数()52f x x a x =-+--.（1）当1a =时，求不等式()0f x ≥的解集；（2）若()1f x ≤恒成立，求a 的取值范围.9．2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标1卷）已知函数2()4f x x ax =-++，()|1||1|g x x x =++-．（1）当1a =时，求不等式()()f x g x ≥的解集；（2）若不等式()()f x g x ≥的解集包含[–1，1]，求a 的取值范围．10．2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2卷）已知0a >，0b >，332a b +=，证明：(1)()()554a b a b ++≥；(2)2a b +≤.11．2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标1卷） 已知函数. （Ⅰ）画出的图象； （Ⅱ）求不等式的解集．12．2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标2卷） 已知函数11()22f x x x =-++，M 为不等式()2f x <的解集. （Ⅰ）求M ；（Ⅱ）证明：当a ，b M ∈时，1a b ab +<+.13．2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ）已知函数()|1|2||,0f x x x a a =+-->.（1）当1a =时，求不等式()1f x >的解集；（2）若()f x 的图象与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围.14．2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅱ）设a b c d ,,,均为正数，且a b c d +=+，证明：（Ⅰ）若ab cd >，则a b c d +>+；（Ⅱ）a b c d +>+是a b c d -<-的充要条件．15．2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅰ）若且（I ）求的最小值；（II ）是否存在，使得？并说明理由.16．2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（全国Ⅱ卷） 设函数1()|(0)f x x x a a a=++- （1）证明：()2f x ≥；（2）若(3)5f <，求a 的取值范围．17．2013年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标1） 已知函数()212f x x x a =-++，()3g x x =+，（Ⅰ）当2a =-时，解不等式：()()f x g x <；（Ⅱ）若1a >-，且当1,22a x ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭时，()()f x g x ≤，求a 的取值范围． 18．2013年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标2卷）设a ，b ，c 均为正数，且a+b+c=1，证明：（Ⅰ）ab+bc+ac ≤13；（Ⅱ）2221a b c b c a++≥. 19．2012年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（课标卷）已知函数()f x =2x a x ++-.(Ⅰ)当3a =-时，求不等式()f x ≥3的解集；(Ⅱ) 若()f x ≤4x -的解集包含[1,2]，求a 的取值范围.（命题意图）本题主要考查含绝对值不等式的解法，是简单题.20．2012年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（大纲卷）已知抛物线C ：2(1)y x =+与圆2221:(1)()(0)2M x y r r -+-=>有一个公共点A ，且在A 处两曲线的切线与同一直线l（I ） 求r ；（II ） 设m 、n 是异于l 且与C 及M 都相切的两条直线，m 、n 的交点为D ，求D 到l 的距离．参考答案1．（1）(][),42,-∞-+∞.（2）3,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭. 【分析】（1）利用绝对值的几何意义求得不等式的解集.（2）利用绝对值不等式化简()f x a >-，由此求得a 的取值范围.【详解】（1）当1a =时，()13f x x x =-++，13x x -++表示数轴上的点到1和3-的距离之和，则()6f x ≥表示数轴上的点到1和3-的距离之和不小于6， 当4x =-或2x =时所对应的数轴上的点到13-，所对应的点距离之和等于6， ∴数轴上到13-，所对应的点距离之和等于大于等于6得到所对应的坐标的范围是4x ≤-或2x ≥，所以()6f x ≥的解集为(][),42,-∞-+∞.（2）依题意()f x a >-，即3a x a x -+>-+恒成立，333x a x x a a x -++-+=≥++，当且仅当()()30a x x -+≥时取等号，()3min f x a ∴=+,故3a a +>-，所以3a a +>-或3a a +<，解得32a >-. 所以a 的取值范围是3,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭. 【点睛】 解绝对值不等式的方法有零点分段法、几何意义法．解含有两个绝对值，且其中的x 的系数相等时，可以考虑利用数轴上绝对值的几何意义求解；利用绝对值三角不等式求最值也是常见的问题，注意表述取等号的条件.2．（1）图像见解析；（2）112 a≥【分析】（1）分段去绝对值即可画出图像；（2）根据函数图像数形结和可得需将()y f x=向左平移可满足同角，求得()y f x a=+过1,42A⎛⎫⎪⎝⎭时a的值可求.【详解】（1）可得2,2()22,2x xf x xx x-<⎧=-=⎨-≥⎩，画出图像如下：34,231()232142,2214,2xg x x x x xx⎧-<-⎪⎪⎪=+--=+-≤<⎨⎪⎪≥⎪⎩，画出函数图像如下：（2）()|2|f x a x a +=+-，如图，在同一个坐标系里画出()(),f x g x 图像，()y f x a =+是()y f x =平移了a 个单位得到， 则要使()()f x a g x +≥，需将()y f x =向左平移，即0a >，当()y f x a =+过1,42A ⎛⎫ ⎪⎝⎭时，1|2|42a +-=，解得112a =或52-（舍去）， 则数形结合可得需至少将()y f x =向左平移112个单位，112a ∴≥.【点睛】关键点睛：本题考查绝对值不等式的恒成立问题，解题的关键是根据函数图像数形结合求解. 3．（1）详解解析；（2）7,6⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭.【分析】（1）根据分段讨论法，即可写出函数()f x的解析式，作出图象；（2）作出函数()1f x+的图象，根据图象即可解出．【详解】（1）因为()3,1151,1313,3x xf x x xx x⎧⎪+≥⎪⎪=--<<⎨⎪⎪--≤-⎪⎩，作出图象，如图所示：（2）将函数()f x的图象向左平移1个单位，可得函数()1f x+的图象，如图所示：由()3511x x--=+-，解得76x=-．所以不等式()(1)f x f x>+的解集为7,6⎛⎫-∞-⎪⎝⎭．【点睛】本题主要考查画分段函数的图象，以及利用图象解不等式，意在考查学生的数形结合能力，属于基础题．4．（1）32x x ⎧≤⎨⎩或112x ⎫≥⎬⎭；（2）(][),13,-∞-+∞. 【分析】（1）分别在3x ≤、34x <<和4x ≥三种情况下解不等式求得结果；（2）利用绝对值三角不等式可得到()()21f x a ≥-，由此构造不等式求得结果.【详解】（1）当2a =时，()43f x x x =-+-.当3x ≤时，()43724f x x x x =-+-=-≥，解得：32x ≤； 当34x <<时，()4314f x x x =-+-=≥，无解；当4x ≥时，()43274f x x x x =-+-=-≥，解得：112x ≥； 综上所述：()4f x ≥的解集为32x x ⎧≤⎨⎩或112x ⎫≥⎬⎭. （2）()()()()22222121211f x x a x a x ax a a a a =-+-+≥---+=-+-=-（当且仅当221a x a -≤≤时取等号）， ()214a ∴-≥，解得：1a ≤-或3a ≥，a ∴的取值范围为(][),13,-∞-+∞. 【点睛】本题考查绝对值不等式的求解、利用绝对值三角不等式求解最值的问题，属于常考题型. 5．（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）利用1abc =将所证不等式可变为证明：222a b c bc ac ab ++≥++，利用基本不等式可证得()2222222a b c ab bc ac ++≥++，从而得到结论；（2）利用基本不等式可得()()()()()()3333a b b c c a a b b c c a +++++≥+++，再次利用基本不等式可将式转化为()()()333a b b c c a +++++≥.【详解】（1）1abc = 111111abc bc ac ab a b c a b c ⎛⎫∴++=++⋅=++ ⎪⎝⎭()()()()2222222222222a b c a b b c c a ab bc ac ++=+++++≥++当且仅当a b c ==时取等号 ()22211122a b c a b c ⎛⎫∴++≥++ ⎪⎝⎭，即：222111a b c a b c ++++≥ （2）()()()()()()3333a b b c c a a b b c c a +++++≥+++，当且仅当a b c ==时取等号又a b +≥b c +≥a c +≥a b c ==时等号同时成立）()()()3333a b b c c a ∴+++++≥⨯=又1abc = ()()()33324a b b c c a ∴+++++≥【点睛】 本题考查利用基本不等式进行不等式的证明问题，考查学生对于基本不等式的变形和应用能力，需要注意的是在利用基本不等式时需注意取等条件能否成立.6．（1）(,1)-∞；（2）[1,)+∞【分析】（1）根据1a =，将原不等式化为|1||2|(1)0x x x x -+--<，分别讨论1x <，12x ≤<，2x ≥三种情况，即可求出结果；（2）分别讨论1a ≥和1a <两种情况，即可得出结果.【详解】（1）当1a =时，原不等式可化为|1||2|(1)0x x x x -+--<；当1x <时，原不等式可化为(1)(2)(1)0x x x x -+--<，即2(1)0x ->，显然成立， 此时解集为(,1)-∞；当12x ≤<时，原不等式可化为(1)(2)(1)0x x x x -+--<，解得1x <，此时解集为空集；当2x ≥时，原不等式可化为(1)(2)(1)0x x x x -+--<，即2(10)x -<，显然不成立；此时解集为空集；综上，原不等式的解集为(,1)-∞；（2）当1a ≥时，因为(,1)x ∈-∞，所以由()0f x <可得()(2)()0a x x x x a -+--<， 即()(1)0x a x -->，显然恒成立；所以1a ≥满足题意；当1a <时，2(),1()2()(1),x a a x f x x a x x a-≤<⎧=⎨--<⎩，因为1a x ≤<时， ()0f x <显然不能成立，所以1a <不满足题意； 综上，a 的取值范围是[1,)+∞. 【点睛】本题主要考查含绝对值的不等式，熟记分类讨论的方法求解即可，属于常考题型. 7．（1）12x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭；（2）(]0,2 【详解】分析：(1)将1a =代入函数解析式，求得()11f x x x =+--，利用零点分段将解析式化为()2,1,2,11,2, 1.x f x x x x -≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩，然后利用分段函数，分情况讨论求得不等式()1f x >的解集为12x x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭；(2)根据题中所给的()0,1x ∈，其中一个绝对值符号可以去掉，不等式()f x x >可以化为()0,1x ∈时11ax -<，分情况讨论即可求得结果.详解：（1）当1a =时，()11f x x x =+--，即()2,1,2,11,2, 1.x f x x x x -≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩故不等式()1f x >的解集为12x x⎧⎫⎨⎬⎩⎭． （2）当()0,1x ∈时11x ax x +-->成立等价于当()0,1x ∈时11ax -<成立． 若0a ≤，则当()0,1x ∈时11ax -≥；若0a >，11ax -<的解集为20x a <<，所以21a≥，故02a <≤． 综上，a 的取值范围为(]0,2．点睛：该题考查的是有关绝对值不等式的解法，以及含参的绝对值的式子在某个区间上恒成立求参数的取值范围的问题，在解题的过程中，需要会用零点分段法将其化为分段函数，从而将不等式转化为多个不等式组来解决，关于第二问求参数的取值范围时，可以应用题中所给的自变量的范围，去掉一个绝对值符号，之后进行分类讨论，求得结果. 8．(1)[2,3]-；(2) ][(),62,-∞-⋃+∞. 【详解】分析：（1）先根据绝对值几何意义将不等式化为三个不等式组，分别求解，最后求并集，（2）先化简不等式为|||2|4x a x ++-≥，再根据绝对值三角不等式得|||2|x a x ++-最小值，最后解不等式|2|4a +≥得a 的取值范围． 详解：（1）当1a =时，()24,1,2,12,26, 2.x x f x x x x +≤-⎧⎪=-<≤⎨⎪-+>⎩可得()0f x ≥的解集为{|23}x x -≤≤． （2）()1f x ≤等价于24x a x ++-≥．而22x a x a ++-≥+，且当2x =时等号成立．故()1f x ≤等价于24a +≥． 由24a +≥可得6a ≤-或2a ≥，所以a 的取值范围是][(),62,-∞-⋃+∞．点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向． 9．（1）1{|1}2x x --≤≤；（2）[1,1]-． 【详解】试题分析：（1）分1x <-，11x -≤≤，1x >三种情况解不等式()()f x g x ≥；（2）()()f x g x ≥的解集包含[1,1]-，等价于当[1,1]x ∈-时()2f x ≥，所以(1)2f -≥且(1)2f ≥，从而可得11a -≤≤．试题解析：（1）当1a =时，不等式()()f x g x ≥等价于21140x x x x -+++--≤.①当1x <-时，①式化为2340x x --≤，无解；当11x -≤≤时，①式化为220x x --≤，从而11x -≤≤；当1x >时，①式化为240x x +-≤，从而1x <≤.所以()()f x g x ≥的解集为{|1x x -≤≤. （2）当[]1,1x ∈-时，()2g x =.所以()()f x g x ≥的解集包含[]1,1-，等价于当[]1,1x ∈-时()2f x ≥.又()f x 在[]1,1-的最小值必为()1f -与()1f 之一，所以()12f -≥且()12f ≥，得11a -≤≤.所以a 的取值范围为[]1,1-.点睛:形如||||x a x b c -+-≥(或c ≤)型的不等式主要有两种解法：(1)分段讨论法：利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为(,]a -∞，(,]a b ，(,)b +∞ (此处设a b <)三个部分，将每部分去掉绝对值号并分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集．(2)图像法：作出函数1||||y x a x b =-+-和2y c =的图像，结合图像求解． 10．(1) 见解析(2) 见解析 【分析】（1）由柯西不等式即可证明，（2）由a 3+b 3＝2转化为()()323a b a b +-=+ab，再由均值不等式可得：()()323a b a b +-=+ab ≤2()2a b +，即可得到14（a +b ）3≤2，问题得以证明．【详解】证明：（1）由柯西不等式得：553324a b a b a b ++≥+（）（）（）＝，当且仅当ab 5＝ba 5，即a ＝b ＝1时取等号； （2）∵a 3+b 3＝2，∴（a +b ）（a 2﹣ab +b 2）＝2， ∴（a +b ）[（a +b ）2﹣3ab ]＝2， ∴（a +b ）3﹣3ab （a +b ）＝2，∴()()323a b a b +-=+ab ，由均值不等式可得：()()323a b a b +-=+ab ≤2()2a b +∴（a +b ）3﹣2()334a b +≤，∴14（a +b ）3≤2， ∴a +b ≤2，当且仅当a ＝b ＝1时等号成立． 【点睛】本题考查了不等式的证明，掌握柯西不等式和均值不等式是关键，属于中档题．11．（1）见解析（2）【解析】试题分析：（Ⅰ）化为分段函数作图；（Ⅱ）用零点分区间法求解.试题解析：（Ⅰ）的图像如图所示.（Ⅱ）由的表达式及图像，当时，可得或；当时，可得或，故的解集为；的解集为，所以的解集为.【考点】分段函数的图像，绝对值不等式的解法【名师点睛】不等式选讲多以绝对值不等式为载体命制试题,主要涉及图像、解不等式、由不等式恒成立求参数范围等.解决此类问题通常转换为分段函数求解,注意不等式的解集一定要写成集合的形式.12．（Ⅰ）{|11}M x x =-<<；（Ⅱ）详见解析. 【详解】试题分析：（I ）先去掉绝对值，再分12x ≤-，1122x -<<和12x ≥三种情况解不等式，即可得M ；（II ）采用平方作差法，再进行因式分解，进而可证当a ，b ∈M 时，1a b ab +<+． 试题解析：（I ）12,,211(){1,,2212,.2x x f x x x x -≤-=-<<≥当12x ≤-时，由()2f x <得22,x -<解得1x >-； 当1122x -<<时，()2f x <；当12x ≥时，由()2f x <得22,x <解得1x <.所以()2f x <的解集{|11}M x x =-<<.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当,a b M ∈时，11,11a b -<<-<<，从而22222222()(1)1(1)(1)0a b ab a b a b a b +-+=+--=--<，因此1.a b ab +<+【考点】绝对值不等式，不等式的证明.【名师点睛】形如x a x b c -+-≥（或c ≤）型的不等式主要有两种解法：（1）分段讨论法：利用绝对值号内式子对应的方程的根，将数轴分为(,]a -∞，(,]a b ，(,)b +∞ （此处设a b <）三个部分，在每个部分去掉绝对值号并分别列出对应的不等式进行求解，然后取各个不等式解集的并集．（2）图象法：作出函数1y x a x b =-+-和2y c =的图象，结合图象求解． 13．（Ⅰ）2{|2}3x x <<（Ⅱ）（2，+∞） 【解析】 试题分析：(Ⅰ)由题意零点分段即可确定不等式的解集为223x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭； (Ⅱ)由题意可得面积函数为为()2213a +，求解不等式()22163a +>可得实数a 的取值范围为()2,+∞ 试题解析：（I ）当1a =时，()1f x >化为12110x x +--->， 当1x ≤-时，不等式化为40x ->，无解； 当11x -<<时，不等式化为320x ->，解得213x <<；当1x ≥时，不等式化为20x -+>，解得12x ≤<． 所以()1f x >的解集为223xx ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭． （II ）由题设可得，()12,1,312,1,12,,x a x f x x a x a x a x a --<-⎧⎪=+--≤≤⎨⎪-++>⎩所以函数()f x 的图像与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为21,03a A -⎛⎫⎪⎝⎭，()21,0B a +，(),1C a a +，ABC ∆的面积为()2213a +． 由题设得()22163a +>，故2a >． 所以a 的取值范围为()2,+∞14．（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）详见解析． 【解析】（Ⅰ）因为2a b =++2c d =++a b c d +=+，ab cd >，得22>>．（Ⅱ）（ⅰ）若a b c d -<-，则22()()a b c d -<-．即22()4()4a b ab c d cd +-<+-．因为a b c d +=+，所以ab cd >，由（Ⅰ>． （ⅱ>，则22>，即a b ++>c d ++a b c d +=+，所以ab cd >，于是22()()4a b a b ab -=+-2()4c d cd <+-2()c d =-．因此a b c d -<-，综上，>是a b c d -<-的充要条件．考点：推理证明．15．（1）最小值为（2）不存在a ，b ，使得236a b +=. 【解析】试题分析：（111a b =+≥，得2ab ≥，且当a b ==33a b +≥≥a b ==成立.所以33a b +的最小值为（2）由（1）知，23a b +≥≥上6>，从而不存在a ，b ，使得236a b +=.试题解析：（111a b =+≥，得2ab ≥，且当a b ==.故33a b +≥≥a b ==.所以33a b +的最小值为（2）由（1）知，23a b +≥由于6>，从而不存在a ，b ，使得236a b +=. 考点：1.基本不等式的应用;2.代数式的处理16．（1）详见解析；（2）15(22+． 【详解】试题分析：本题第（1）问，可由绝对值不等式的几何意义得出min ()2f x =，从而得出结论；对第（2）问，由0a >去掉一个绝对值号，然后去掉另一个绝对值号，解出a 的取值范围. 试题解析：（1）证明：由绝对值不等式的几何意义可知：min ()f x =12a a+≥，当且仅当1a =时，取等号，所以()2f x ≥.（2）因为(3)5f <，所以1335a a ++-<⇔1335a a ++-<⇔132a a-<-⇔11232a a a -<-<-52a <<. 【易错点】在应用均值不等式时,注意等号成立的条件:一正二定三相等.考点：本小题主要考查不等式的证明、绝对值不等式的几何意义、绝对值不等式的解法、求参数范围等不等式知识，熟练基础知识是解答好本类题目的关键.17．（Ⅰ）{}|02x x <<（Ⅱ）4(1,]3a ∈- 【解析】试题分析：（I ）当a =-2时，不等式()f x ＜()g x 化为212230x x x -+---<，设函数y =21223x x x -+---，y =15,? 21{2,? 1236,? 1x x x x x x -<--≤≤->，其图像如图所示，从图像可知，当且仅当(0,2)x ∈时，y ＜0，∴原不等式解集是{|02}x x <<.（Ⅱ）当x ∈[2a -，12)时，()f x =1a +，不等式()f x ≤()g x 化为13a x +≤+， ∴2x a ≥-对x ∈[2a -，12)都成立，故2a-≥2a -，即a ≤43，∴a 的取值范围为（-1，43].考点：绝对值不等式解法，不等式恒成立问题．点评：中档题，绝对值不等式解法，通常以“去绝对值符号”为出发点．有“平方法”，“分类讨论法”，“几何意义法”，不等式性质法等等．不等式恒成立问题，通常利用“分离参数法”，建立不等式，确定参数的范围．18．（Ⅰ）证明见解析；（II ）证明见解析. 【详解】（Ⅰ）由222a b ab +≥，222c b bc +≥，222a c ac +≥得：222a b c ab bc ca ++≥++，由题设得，即2222221a b c ab bc ca +++++=， 所以3()1ab bc ca ++≤，即13ab bc ca ++≤. （Ⅱ）因为22a b a b +≥，22b c b c +≥，22c a c a +≥，所以222()2()a b c a b c a b c b c a+++++≥++，即222a b c a b c b c a++≥++，所以2221a b c b c a++≥.本题第（Ⅰ）（Ⅱ）两问，都可以由均值不等式,相加即得到.在应用均值不等式时,注意等号成立的条件:“一正二定三相等”. 【考点定位】本小题主要考查不等式的证明,熟练基础知识是解答好本类题目的关键.19．1．{x |x ≤1或x ≥4} 2．[－3,0] 【详解】(Ⅰ)当3a=-时，()f x =25,2{1,?2325,3x x x x x -+≤<<-≥，当x ≤2时，由()f x ≥3得253x -+≥，解得x ≤1； 当2＜x ＜3时，()f x ≥3，无解；当x ≥3时，由()f x ≥3得25x -≥3，解得x ≥4， ∴()f x ≥3的解集为{x |x ≤1或x ≥4}； (Ⅱ)()f x ≤4x -⇔42x x x a ---≥+，当x ∈[1,2]时，42x a x x +≤---=42x x -+-=2，∴22a x a --≤≤-，有条件得21a --≤且22a -≥，即30a -≤≤，故满足条件的a的取值范围为[－3,0]20．(1)2r （【详解】【命题意图】本试题考查了抛物线与圆的方程，以及两个曲线的公共点处的切线的运用，并在此基础上求解点到直线的距离．【点评】该试题出题的角度不同于平常，因为涉及的是两个二次曲线的交点问题，并且要研究两曲线在公共点出的切线，把解析几何和导数的工具性结合起来，是该试题的创新处．另外对于在第二问中更是难度加大了，出现了另外的两条公共的切线，这样的问题对于我们以后的学习也是一个需要练习的方向．。