重庆市历年高考文科数学真题及答案详解

2024年重庆市高考数学真题及参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。

1.已知1i z =--，则||z =().A.0B.1D.22.已知命题:R p x ∀∈，|1|1x +>；命题:0q x ∃>，3x x =.则().A.p 和q 都是真命题B.p ⌝和q 都是真命题C.p 和q ⌝都是真命题D.p ⌝和q ⌝都是真命题3.已知向量a ，b 满足||1a = ，|2|2a b += ，且(2)b a b -⊥ ，则||b =().A.12B.22C.32D.14.某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植新型水稻，得到各块稻田的亩产量（单位：kg ）并部分整理如下表所示.根据表中数据，下列结论正确的是()A.100块稻田亩产量的中位数小于1050kgB.100块稻田中的亩产量低于1100kg 的稻田所占比例超过80%C.100块稻田亩产量的极差介于200kg 到300kg 之间D.100块稻田亩产量的平均值介于900kg 到1000kg 之间5.已知曲线22:16(0)C x y y +=>，从C 上任意一点P 向x 轴作垂线PP '，P '为垂足，则线段PP '的中点M 的轨迹方程为().A.221(0)164x y y +=> B.221(0)168x y y +=>C.221(0)164y x y +=> D.221(0)168y x y +=>6.设函数2()(1)1f x a x =+-，()cos 2g x x ax =+，当(1,1)x ∈-时，曲线()y f x =和()y g x =恰有一个交点，则a =()A.-1B.12C.1D.27.已知正三棱台111ABC A B C -的体积为523，6AB =，112A B =，则1A A 与平面ABC 所成角的正切值为().A.12 B.1C.2D.38.设函数()()ln()f x x a x b =++，若()0f x ≥，则22a b +的最小值为().A.18B.14C.12D.1二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。

普通高等学校招生统一考试（重庆卷）数学试题卷（文史类）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（1）命题“若p 则q ”的逆命题是（A ）若q 则p （B ）若⌝p 则⌝ q （C ）若q ⌝则p ⌝ （D ）若p 则q ⌝（2）不等式102x x -<+ 的解集是为 （A ）(1,)+∞ （B ） (,2)-∞- （C ）（-2，1）（D ）(,2)-∞-∪(1,)+∞ 【答案】：C 【解析】：10(1)(2)0212x x x x x -<⇒-+<⇒-<<+ 【考点定位】本题考查解分式不等式时，利用等价变形转化为整式不等式解． （3）设A ，B 为直线y x =与圆221x y += 的两个交点，则||AB =（A ）1 （B （C （D ）2 【答案】：D【解析】：直线y x =过圆221x y +=的圆心(0,0)C 则||AB =2 【考点定位】本题考查圆的性质，属于基础题． （4）5(13)x - 的展开式中3x 的系数为 （A ）-270 （B ）-90 （C ）90 （D ）270（5）sin 47sin17cos30cos17-（A ）2-（B ）12-（C ）12（D ）2【答案】：C 【解析】：sin 47sin17cos30sin(3017)sin17cos30cos17cos17-+-=sin 30cos17cos30sin17sin17cos30sin 30cos171sin 30cos17cos172+-====【考点定位】本题考查三角恒等变化，其关键是利用473017=+ （6）设x R ∈ ，向量(,1),(1,2),a x b ==-且a b ⊥ ，则||a b += （A（B（C）（D ）10 【答案】：B（7）已知2l o g 3o g 3a =+2log 9log b =-3log 2c =则a,b,c 的大小关系是（A ） a b c =< （B ）a b c => （C ）a b c << （D ）a b c >>【答案】：B 【解析】：222213log 3log log 3log 3log 322a =+=+=，222213log 9log 2log 3log 3log 322b =-=-=，2322log 21log 2log 3log 3c ===则a b c => 【考点定位】本题考查对数函数运算．（8）设函数()f x 在R 上可导，其导函数()f x '，且函数()f x 在2x =-处取得极小值，则函数()y xf x '=的图象可能是【答案】：C【解析】：由函数()f x 在2x =-处取得极小值可知2x <-，()0f x '<，则()0xf x '>；2x >-，()0f x '>则20x -<<时()0xf x '<，0x >时()0xf x '>【考点定位】本题考查函数的图象，函数单调性与导数的关系，属于基础题．（9）设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，1和a 且长为a 的棱异面，则a 的取值范围是（A ） （B ） （C ）（D ）【答案】：A【解析】：2BE ==，BF BE <，2AB BF =<【考点定位】本题考查棱锥的结构特征，考查空间想象能力，极限思想的应用，是中档题．． （10）设函数2()43,()32,xf x x xg x =-+=-集合{|(())0},M x R f g x =∈> {|()2},N x R g x =∈<则MN 为（A ）(1,)+∞ （B ）（0，1） （C ）（-1，1） （D ）(,1)-∞ 【答案】：D【解析】：由(())0f g x >得2()4()30g x g x -+>则()1g x <或()3g x >即321x -<或323x ->所以1x <或3log 5x >；由()2g x <得322x-<即34x<所以3log 4x <故(,1)MN =-∞二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡的相应位置。

2023年普通高等学校招生全国统一考试(重庆卷)数学试卷卷（文史类）数学试卷卷(文史类)共5页。

满分150分。

考试时间120分钟。

注意事项:1.答题前,务必将自己地姓名、准考证号填写在答题卡规定地位置上。

2.答选择题时,必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目地解析标号涂黑。

如需改动,用橡皮擦擦干净后,再选涂其他解析标号。

3.答非选择题时,必须使用0.5毫米黑色签字笔,将解析书写在答题卡规定地位置上。

4.所有题目必须在答题卡上作答,在试卷卷上答题无效。

5.考试结束后,将试卷卷和答题卡一并交回。

参考公式:如果事件A 、B 互斥,那么 P(A+B)=P(A)+P(B).如果事件A 、B 相互独立,那么P(A ·B)=P(A)·P(B).如果事件A 在一次试验中发生地概率是P ,那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次地概率 P n (K)=k m P k (1-P)n-k一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出地四个备选项中,只有一项是符合题目要求地.(1)已知｛a n ｝为等差数列,a 2+a 8=12,则a 5等于(A)4 (B)5(C)6(D)7【解析】C【解析】本小题主要考查等差数列地性质。

由285212a a a +==得:56a =,故选C 。

(2)设x 是实数,则"x ＞0"是"|x |＞0"地 (A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件【解析】A【解析】本小题主要考查充要条件地判定。

由0x >||0x ⇒>充分 而||0x >0x ⇒>或0x <,不必要,故选A 。

(3)曲线C :cos 1.sin 1x y θθ=-⎧⎨=+⎩(θ为参数)地普通方程为(A)(x -1)2+(y +1)2=1(B) (x +1)2+(y +1)2=1(C) (x -1)2+(y -1)2=1(D) (x -1)2+(y -1)2=1【解析】C【解析】本小题主要考查圆地参数方程。

普通高等学校招生全国统一考试
文科数学
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合A={x|x>-1}，B={x|x<2}，则A∩B=
A．（-1，+∞）
B．（-∞，2）
C．（-1，2）
2.设z=i（2+i），则z=
A．1+2i
B．-1+2i
C．1-2i
D．-1-2i
3.已知向量a=（2，3），b=（3，2），则|a-b|=
A．√2
B．2
C．5√2
D．50
4.生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标。

若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为
A．2/3
B．3/5
C．2/3
D．1/5
5.在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测。

甲：我的成绩比乙高。

乙：丙的成绩比我和甲的都高。

丙：我的成绩比乙高。

成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为A．甲、乙、丙
B．乙、甲、丙
C．丙、乙、甲
D．甲、丙、乙。

绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）数 学（文史类）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则(A) (B) (C) (D)2.“”是“”的(A) 充要条件 (B) 充分不必要条件(C)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件3.函数22(x)log (x 2x 3)f =+-的定义域是(A) (B)(C) (D)4.重庆市2013年各月的平均气温（°C ）数据的茎叶图如下则这组数据中的中位数是(A) 19 (B) 20 (C ) 21.5 (D )235.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(A) (B) (C) (D)6.若11tan ,tan()32a a b =+=,则(A) (B) (C) (D)7.已知非零向量满足||=4||(+)b a a a b ，且2则的夹角为(A) (B) (C) (D)8.执行如图（8）所示的程序框图，则输出s 的值为(A) (B) (C) (D)9.设双曲线22221(a0,b0)x ya b-=>>的右焦点是F，左、右顶点分别是,过F做的垂线与双曲线交于B，C两点，若,则双曲线的渐近线的斜率为(A) (B) (C) (D)10.若不等式组2022020x yx yx y m+-≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩,表示的平面区域为三角形，且其面积等于，则m的值为(A)-3 (B) 1 (C) (D)3二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填写在答题卡相应位置上.11．复数的实部为________.12.若点P（1，2）在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P处的切线方程为___________.13. 设的内角A，B，C的对边分别为,且,则c=________.14.设,则的最大值为________.15. 在区间上随机地选择一个数p，则方程有两个负根的概率为________.三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

２010年高考重庆卷文科数学试题及答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共５０分.在每小题给出的四个备选项中.只有一项是符合题目要求的. １－10 BADC Ｂ ＡCDDC（1)4(1)x +的展开式中2x 的系数为(A)4 （Ｂ）6 (Ｃ)1０ (D ）20解析：由通项公式得2234T C 6x x ==(2)在等差数列{}n a 中,1910a a +=,则5a 的值为（Ａ)5 (Ｂ)6 (C ）８ (D)10 解析:由角标性质得1952a a a +=，所以5a =5（3)若向量(3,)a m =,(2,1)b =-,0a b =，则实数m 的值为 （Ａ)32-（B)32（C)2 （Ｄ)６ 解析:60a b m =-=，所以m =６（４）函数y =的值域是（Ａ)[0,)+∞ （B)[0,4] (C)[0,4) (D)(0,4) 解析:[)40,0164160,4x x >∴≤-<(5）某单位有职工75０人，其中青年职工３５０人,中年职工250人,老年职工１50人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本 . 若样本中的青年职工为7人，则样本容量为 (A)7 (B ）15 （C ）25 (D ）35 解析：青年职工、中年职工、老年职工三层之比为７:5:3,所以样本容量为715715=（6)下列函数中，周期为π，且在[,]42ππ上为减函数的是 （A ）sin(2)2y x π=+ (B ）cos(2)2y x π=+ (C)sin()2y x π=+（D)cos()2y x π=+ 解析:C 、D 中函数周期为2π，所以错误当[,]42x ππ∈时,32,22x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，函数sin(2)2y x π=+为减函数而函数cos(2)2y x π=+为增函数，所以选Ａ（7)设变量,x y 满足约束条件0,0,220,x x y x y ≥⎧⎪-≥⎨⎪--≤⎩则32z x y =-的最大值为（A)０ (B)2 (Ｃ）4 （D ）6 解析:不等式组表示的平面区域如图所示,ﻩ当直线32z x y =-过点Ｂ时，在ｙ轴上截距最小，ｚ最大 由Ｂ(２,2)知max z =4 （８）若直线y x b =-与曲线2cos ,sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（[0,2)θπ∈)有两个不同的公共点,则实数b 的取值范围为(A）(2(B)[22-+(C)(,2(22,)-∞-++∞（D)(22解析:2cos ,sin x y θθ=+⎧⎨=⎩化为普通方程22(2)1x y -+=，表示圆，1,<解得22b <<法2：利用数形结合进行分析得22AC b b =-∴=同理分析,可知22b <<(9)到两互相垂直的异面直线的距离相等的点(A ）只有１个 (Ｂ）恰有3个 （C)恰有4个 (Ｄ）有无穷多个解析:放在正方体中研究,显然，线段1OO 、E Ｆ、F Ｇ、ＧH 、H Ｅ的中点到两垂直异面直线AB 、CD 的距离都相等, 所以排除A 、B 、C,选D亦可在四条侧棱上找到四个点到两垂直异面直线AB 、CD 的距离相等（10)某单位拟安排6位员工在今年６月１4日至１６日（端午节假期)值班，每天安排２人,每人值班1天 ． 若6位员工中的甲不值１４日,乙不值16日,则不同的安排方法共有(A)30种 （B ）3６种 （C ）42种 (D ）48种解析:法一：所有排法减去甲值14日或乙值１６日，再加上甲值1４日且乙值16日的排法即2212116454432C C C C C C -⨯+=42法二:分两类甲、乙同组,则只能排在15日，有24C =６种排法甲、乙不同组,有112432(1)C C A +=36种排法,故共有42种方法二.填空题：本大题共5小题，每小题５分,共2５分．把答案填写在答题卡相应位置上． （11){}|10x x -<< (１2）min 2y =- （13）BF =2 (14)370 （15）12-(11)设{}{}|10,|0A x x B x x =+>=<，则A B =＿＿＿_____＿_＿_ .解析:{}{}{}|1|0|10x x x x x x >-⋂<=-<<(12）已知0t >,则函数241t t y t -+=的最小值为＿____＿＿＿__＿_ ．解析：241142(0)t t y t t t t-+==+-≥->，当且仅当1t =时,min 2y =- （1３)已知过抛物线24y x =的焦点F 的直线交该抛物线于A 、B两点,2AF =,则BF =____＿＿＿_____ .解析:由抛物线的定义可知12AF AA KF === AB x ∴⊥轴 故AF =BF =2率分别为170、169、168,且各(14)加工某一零件需经过三道工序，设第一、二、三道工序的次品道工序互不影响，则加工出来的零件的次品率为__＿________＿ ．解析:加工出来的零件的次品的对立事件为零件是正品，由对立事件公式得 加工出来的零件的次品率6968673170696870p =-⨯⨯=（15）如题(15）图，图中的实线是由三段圆弧连接而成的一条封闭曲线C ，各段弧所在的圆经过同一点P (点P 不在C 上)且半径相等. 设第i 段弧所对的圆心角为(1,2,3)i i α=,则232311coscossin sin3333αααααα++-=________＿___ . 解析：232312311coscossinsincos33333ααααααααα++++-=又1232αααπ++=,所以1231cos 32ααα++=----－－-－-－-－-－-------－-------－-----－--－－-----－-－-－－--－－-－－--－------－----－－－2010年高考重庆数学（文)解析一、选择题1. B 解析:本题考查了二项式的展开式,属送分题.∵()41+x 的展开式的第1+k 项为k k k x C T 41=+,∴2x 的系数为624=C ．2．A 解析:本题考查了等差数列项的基本性质,即等差中项的性质.∵ 由等差数列性质得102591==+a a a ，∴ 55=a .3.Ｄ解析:本题考查了平面向量数量积的坐标运算.∵ａ＝(3，m),b ＝(2,-1)，∴a ·ｂ=３⨯２+ ｍ⨯(-１）=0,即m ＝６. 4.C 解析:本题考查了函数的定义域和值域.∵ ()+∞∈,04x,∴()16,416∞-∈-x，由函数的定义域知0416≥-x，∴[)16,0416∈-x,即[)4,0416∈-=x y ．5.B 解析:本题考查了统计中的分层抽样.设样本容量为N,由题意得7503507N=，∴N ＝１5. 6．Ａ解析：本题考查了三角函数的诱导公式与性质．满足周期为π的只有A,Ｂ，在A 中 x x y 2cos 22sin =⎪⎭⎫⎝⎛+=π, 又∵⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,4ππx ,∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈ππ,22x ，由余弦函数的图象与性质知x y 2cos =在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,4ππ上递减． 7．Ｃ解析:本题考查了线性规划中的目标函数的最值.作出可行域如下图:由y x z 23-=变式223z x y -=，令0=z ，将23xy =向下平移过直线0=x 和022=--y x 的交点()2,0-时z 最大,所以z 最大=()42203=-⨯-⨯.8.Ｄ解析:本题考查了圆的参数方程及直线与圆的位置关系.∵ 曲线[)πθθθ2,0,sin ,cos 2∈⎩⎨⎧=+=y x 可化为()1222=+-y x ，又∵ 直线b x y -=与圆()1222=+-y x 有两个不同的公共点,∴12|2|<-b ，即2222+<<-b ．９.Ｄ解析：本题考查了异面直线间的距离.1例如上图中,Ｂ１Ｃ1为两互相垂直的异面直线A １B １、C Ｃ1的公垂线段，在面ＢC １内到两异面直线的距离相等的点可转化为到点Ｂ１与直线ＣＣ1距离相等的点,而以Ｂ１为焦点,ＣC １为准线的抛物线上的点符合题意,所以到两互相垂直的异面直线的距离相等的点有无穷多个.10.C 解析:本题考查了排列组合计数公式.当乙值14日的排法有2414C C ⨯=24种,乙不值14日的排法有182324=⨯C C 种，∴ 满足条件的不同排法有24+18＝42种.二、填空题１1. (－1，０)解析：本题考查了不等式的解法与集合的运算．∵A ＝{}1|->x x ，{}0|<=x x B ，借助于数轴得{}01|<<-=x x B A . １２.-2解析:本题考查了均值不等式.∵,0>t ,∴24124114,02-=-⨯≥-+=+-=>tt t t t t t y t . 13.2解析：本题考查了抛物线焦点弦的性质．设Ａ()11,y x ，Ｂ()22,y x ，由抛物线焦点弦的性质得|ＡF|＝211=+x ， ∴11=x ，又∵焦点坐标为()0,1,∴直线ＡF ⊥x 轴，即12=x ,∴｜BF|＝1+1=２. 14.703解析：本题考查了独立事件的概率. ∵“加工出来的零件为次品”是“加工出来的零件为正品”的对立事件, ∴加工出来的零件为次品的概率P=１703686769687069=⨯⨯-. 1５.21-解析:本题考查了圆的性质与三角函数的化简求值.如图连接三个圆心与弧的交点，得到一个六边形,∵三个圆的半径相等,∴六边形为正六边形，则O=++360321ααα，∴21120cos 3cos3sin3sin3cos3cos 321321321-==++=+-+O ααααααααα．三、解答题：本大题共６小题,共７５分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （１6)解：(I)因为}{n a 是首项为,191=a 公差2-=d 的等差数列，所以,212)1(219+-=--=n n a n2)1(19++=∆n n n S (II ）由题意,31+=-n n n a b 所以,1+=n n b b.21320)331(21-++-=++++=-n n n n n n S T（１7）解：考虑甲、乙两个单位的排列,甲、乙两单位可能排列在6个位置中的任两个，有3026=A 种等可能的结果。

2020年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题（重庆卷，解析版）共4页 满分150分 考试时间120分钟 注意事项：1. 答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。

2. 答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

3. 答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。

4. 所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

5. 考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的。

3.曲线323y x x =-+在点（1，2）处的切线方程为(A) 31y x =- (B) 3+3y x =- (C) 35y x =+ (D)2y x = 【命题意图】本题考查利用导数求函数的切线，是容易题.【解析】∵y '=236x x -+,∴切线斜率为3，则过（1,2）的切线方程为23(1)y x -=-，即31y x =-，故选A. 【答案】A4.从一堆苹果中任取10只称得它的质量如下（单位：克）125 120 122 105 130 114 116 95 120 134 则样本数据落在[114.5,124.5）内的频率为(A)0.2 (B)0.3 (C)0.4 (D)0.56.设a =131log 2,b =122log 3,c =34log 3,则a ,b ,c 的大小关系是 (A) a ＜b ＜c (B) c ＜b ＜a (C) b ＜a ＜c (D) b ＜c ＜a 【命题意图】本题考查对数函数的图像与性质，是简单题.【解析】∵13log y x =与12log y x =在（0，+∞）都是减函数，且0＜12＜1,0＜23＜1， ∴a =131log 2＞0，b =122log 3＞0， 又∵3log y x =在（0，+∞）上是增函数，且0＜43＜1，∴c =34log 3＜0，即c 最小，只有B 符合，故选B. 【答案】B 7.若函数()f x =12x x +-（x ＞2）在x =a 处有最小值，则a = （A ）12+ （B ）13+ （C ）3 （D ）49.设双曲线的左准线与两条渐近线交于,A B 两点，左焦点为在以AB 才为之直径的圆内，则该双曲线的离心率的取值范围为（A ）2) （B ）2) （C ） 2,1)2（D ）(1,)+∞ 【命题意图】本题考查双曲线的性质、点与圆的位置关系，考查学生转化与化归能力、解不等式能力，难度较大.【解析】双曲线的左准线为x =2a c -，渐近线方程为b y x a =±，联立解得（2a c -，abc±），∴||AB =2ab c，根据题意得，2a c c -＜ab c ，即2b ab <，即b a <，即222c a a -<，即222c a <，即2e <，又e ＞1，,1＜e ＜2，故选B.【答案】B10.高为2的四棱锥S ABCD -的底面是边长为1的正方形，点S 、A 、B 、C 、D 均在半径为1的同一球面上，则底面ABCD 的中心与顶点S 之间的距离为（A ）102 （B ）232+ （C ）32（D ）2 【命题意图】本题考查四棱锥与其外接球的相关知识，考查空间想象能力、转化化归能力以及运算求解能力，是难题.【解析】如图，设四棱锥S ABCD -的外接球球心为E ，则OE ⊥面ABCD ，在Rt EOC ∆中，EC =1，22OC =,∴EO =22， ∵设四棱锥S ABCD -的高SH =2，∴EO ∥SH 且EO =12SH ， 取SH 的中点M ，连结EM ，则四边形OHME 为矩形，∴EM ⊥SH ，SM =22，在Rt SME ∆中，ES =1，则EM =22，∴OH =22， 在Rt SHO ∆中，OS =22OH SH +=102,故选A. 【答案】A二.填空题，本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填写在答题卡相应位置上 11. 6(12)x +的展开式中4x 的系数是 .14.从甲、乙等10位同学中任选3位去参加某项活动，则所选3位中有甲但没有乙的概率为 【命题意图】本题考查组合计算和等可能事件的概率计算，是中档题.【解析】10位同学任选3人共有310C 种选法,其中含甲不含乙共有28C 种选法，故所选3位中有甲但没有乙的概率为28310C C =730.【答案】73015.若实数a ，b ，c 满足22ab+=2a b+,222a b c ++=2a b c++，则c 的最大值是 .【命题意图】本题考查基本不等式的应用，指数、对数等相关知识，考查了转化与化归思想，是难题. 【解析】∵2a b+=22a b +≥22a b +2a b+≥4，又∵222ab c ++=2a b c++，∴22a bc ++=22a bc+•，∴221c c-=2a b+≥4，即221c c -≥4，即43221c c-⨯-≥0，∴2c ≤43，∴c ≤24log 3=22log 3-，∴c 的最大值为22log 3-. 【答案】22log 3-三、解答是：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.(本小题满分13分，(Ⅰ)小问7分，(Ⅱ)小问6分.)设{n a }是公比为正数的等比数列，1a =2,3a =24a +. (Ⅰ)求{n a }的通项公式;(Ⅱ)设{n b }是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{n n a b +}的前n 项和n S .【命题意图】本题考查等比数列的通项公式和等比数列、等差数列的前n 项和公式，考查函数与方程思想和运算求解能力，是简单题.【解析】(Ⅰ)设等比数列{n a }的公比为q ，由1a =2,3a =24a +知，2224q q =+， 即220q q --=，解得q =2或q =－1（舍去），∴q =2， ∴{n a }的通项公式n a =2n （*n N ∈）；(Ⅱ) n S =2(12)(1)12122n n n n --+⨯+⨯-=1222n n ++-. 17.(本小题满分13分，(Ⅰ)小问6分，(Ⅱ)小问7分.)某市公租房的房源位于、、三个片区.设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的.求该市的4位申请人中:(Ⅰ)没有人申请A 片区房源的概率; (Ⅱ)每个片区的房源都有人申请的概率.【命题意图】本题考查应用排列组合知识和两个计数原理求等可能事件的概率、独立重复试验，考查运用概率知识分析解决问题能力，是中档题.【解析】(Ⅰ) (法1)设事件A 表示“没有人申请A 片区房源”所有可能的申请方式有43种，其中没有人申请A 片区房源方式有42种，则没有人申请A 片区房源的概率为()P A =4423=1681.（法2）设“申请A 片区房源”为事件A ，∵每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的，∴()P A =13, 对每位申请房源作为一次试验，应为每人申请房源相互独立，4人申请房源可以看成4次独立重复试验，故没人申请A 片房源的概率为40P （）=004412()()33C =1681； (Ⅱ)记“每个片区的房源都有人申请”为事件B,所有可能的申请方式有43种，其中每个片区的房源都有人申请的方式有2343C A 种，∴每个片区的房源都有人申请的概率为()P B =234343C A =49.18. (本小题满分13分，(Ⅰ)小问7分，(Ⅱ)小问6分.)设函数()f x =sin cos 3cos()cos x x x x π-+（x R ∈）.(Ⅰ)求()f x 的最小正周期;(Ⅱ)若函数()y f x =的图象按b =（4π，32）平移后得到函数()y g x =的图象,求()y g x =在[0，4π]上的最大值. 【命题意图】本题考查诱导公式、两角和与差的正余弦公式、周期公式、向量平移、三角函数在某个区间上的最值求法和运算求解能力，是中档题. 【解析】(Ⅰ) ()f x =21sin 232x x =13sin 2(1cos 2)22x x ++ =3sin(2)32x π++∴()f x 的最小正周期为T =22π=π. (Ⅱ)依题意得()g x =3()42f x π-+=33sin[2()]4322x ππ-+++=sin(2)36x π-当x ∈[0,4π]时，26x π-∈[,]63ππ-，∴12-≤sin(2)6x π-≤32，∴2312-≤()f x ≤332， ∴()g x 在[0,4π]的最大值为332.19. (本小题满分12分，(Ⅰ)小问5分，(Ⅱ)小问7分.)设()f x =3221x ax bx +++的导数为()f x ',若函数y =()f x '的图象关于直线x =12-对称，且(1)f '=0. (Ⅰ)求实数a ,b 的值; (Ⅱ)求函数()f x 的极值.【命题意图】本题考查考查利用导数求函数的极值、二次函数的图像与性质，考查方程与不等式思想、转化和化归思想，属容易题.【解析】(Ⅰ)()f x '=262x ax b++, ∵若函数y =()f x '的图象关于直线x =12-对称，且(1)f '=0, ∴212a -=12-且261210a b ⨯+⨯+=，解得a =3，b =－12. (Ⅱ)由(Ⅰ)知()f x =3223121x x x +-+，()f x '=26612x x +-=6(2)(1)x x +-，()f x 的变化如下： x（－∞，－2） －2 （－2,1） 1 （1，+∞） ()f x ' + 0 － 0 ＋ ()f x极大值21极小值－6∴当x =－2时，()f x 取极大值，极大值为21， 当x =1时，()f x 取极小值，极小值为－6.DCBA20.(本小题满分12分，(Ⅰ)小问6分，(Ⅱ)小问6分.如图，在四面体ABCD 中，平面ABC ⊥平面ACD ，AB ⊥BC ，AC =AD =2，BC =CD =1.(Ⅰ)求四面体ABCD 的体积;(Ⅱ)求二面角C AB D --的平面角的正切值.【命题意图】本题考查简单几何体的体积计算、二面角的求法，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力及转化与化归思想，是中档题.【解析】(Ⅰ) 如图，过D 作DF ⊥AC 于F ，∵平面ABC ⊥平面ACD ， ∴DF ⊥平面ABC ，则DF 是四面体ABCD 的面ABC 上的高， 设CD 中点为G ，∵AC =AD =2，∴AG ⊥CD ， ∴AG =22AC CG -=22122-=152, ∵12AC DF •=12CD AG •, ∴DF =AG CDAC•=154, 在Rt ABC ∆中，AB =22AC BC -=3,∴ABC S ∆=12AB BC •=32, ∴四棱锥ABCD 的体积V =13ABC S DF ∆•=58. (Ⅱ)（几何法）过F 作FE ⊥AB 与E ，连结DE ，由(Ⅰ)知DF ⊥面ABC ， 由三垂线定理知DE ⊥AB ，∴DEF ∠为二面角C AB D --的平面角， 在Rt AFD ∆中，AF =22AD DF -=22152()4-=74,在Rt ABC ∆中，FE ∥BC ， ∴EF AF BC AC =, ∴FE =BC AF AC •=78, 在Rt EFD ∆中，tan DEF ∠=DF EF=2157.21. (本小题满分12分，(Ⅰ)小问4分，(Ⅱ)小问8分.)如图，x=22OB 1yxPNM椭圆的中心为原点O ，离心率e =22,一条准线的方程是x =22. (Ⅰ)求椭圆的标准方程;(Ⅱ)设动点P 满足:OP =2OM ON +,其中M ,N 是椭圆上的点，直线OM 与ON 的斜率之积为12-.问:是否存在定点F ,使得||PF 与点P 到直线l ：x =210的距离之比为定值？若存在,求F 的坐标;若不存在,说明理由.【命题意图】本题考查了椭圆标准方程的求解与椭圆的定植问题，考查学生综合运用知识解决问题能力、运算求解能力和探究问题能力，难度较大.【解析】(Ⅰ) ∵e =c a =22,2a c =22,解得a =2，c =2，∴2b =22a c -=2，∴椭圆的标准方程为22142x y +=； (Ⅱ)设P (x ，y )，11(,)M x y ，22(,)N x y ，则由OP =2OM ON +，得(,)x y =1122(,)2(,)x y x y +=1212(2,2)x x y y ++，∴x =122x x +，y =122y y +，∵M ,N 在椭圆2224x y +=上，∴122124x y +=，222224x y +=，∴222x y +=221212(2)2(2)x x y y +++=222212121212(44)2(44)x x x x y y y y +++++ =222211221212(2)4(2)4(2x y x y x x y y +++++）=1212204(2x x y y ++）.设OM k ,ON k 分别表示直线OM ，ON 的斜率，由题设条件知，OM ON k k •=1212y y x x =12-， ∴121220x x y y +=， ∴222x y +=20，∴点P 在椭圆2212010x y +=上，该椭圆的右焦点为F 10离心率e 2，右准线为l ：x =10∴根据椭圆的第二定义，存在定点F 10，使得||PF 与点P 到直线l 的距离之比为定值.。

1998年重庆高考文科数学真题及答案本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试120分钟．第Ⅰ卷(选择题共65分)一．选择题：本大题共15小题；第(1)－(10)题每小题4分，第(11)－第(15)题每小题5分，65分．在每小题给出四项选项，只一项符合题目要求的 (1) sin600º( )(A)(B) － (C) (D) － 21212323(2) 函数y =a |x |(a ＞1)的图像是( )(3) 已知直线x =a (a ＞0)和圆(x －1)2＋y 2=4相切，那么a 的值是( )(A) 5 (B) 4 (C) 3 (D) 2 (4) 两条直线A 1x ＋B 1y ＋C 1=0，A 2x ＋B 2y ＋C 2=0垂直的充要条件是( )(A) A 1A 2＋B 1B 2=0 (B) A 1A 2－B 1B 2=0 (C)(D) 12121-=B B A A 12121=A A BB (5) 函数f (x )=( x ≠0)的反函数f －1(x )= ( ) x1(A) x (x ≠0) (B) (x ≠0) (C) －x (x ≠0) (D) －(x ≠0)x 1x 1(6) 已知点P(sin α－cos α，tg α)在第一象限，则[ 0，2π]内α的取值范围是 ( )(A) ()∪() (B) ()∪() 432ππ，45ππ，24ππ，45ππ，(C) ()∪() (D) ()∪()432ππ，2325ππ，24ππ，ππ，43(7) 已知圆锥的全面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面积展开图扇形的圆心角为( )(A) 120º (B) 150º (C) 180º (D) 240º (8) 复数－i 的一个立方根是i ，它的另外两个立方根是( )(A)I (B) －I (C) ±I (D) ±i 2123±2123±2123+2123-(9) 如果棱台的两底面积是S ，S ′，中截面的面积是S 0，那么( )(A) 2 (B) S 0=S S S '+=0S S '(C) 2S 0=S ＋S ′ (D)S SS '=22(10) 2名医生和4名护士被分配到2所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士．不同的分配方法共( )(A) 6种 (B) 12种 (C) 18种 (D) 24种 (11) 向高为H 的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V 与水深h 的函数关系的图像如右图所示，那么水瓶的形状是( )(12) 椭圆=1的焦点为F 1，点P 在椭圆上，如果线段PF 1的中点M 在y 轴上，那么31222y x +点M 的纵坐标是( )(A) ±(B) ± (C) ± (D) ± 43232243(13) 球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长为，经过这3个点的小61圆的周长为4π，那么这个球的半径为( )(A) 4 (B)2 (C) 2 (D) 333(14) 一个直角三角形三内角的正弦值成等比数列，其最小内角的正弦值为( )(A)(B) (C) (D)251-2252-215-2252+(15) 等比数列{a n }的公比为－，前n 项的和S n 满足S n =，那么的值为21∞→n lim 11a 11a( )(A) (B)±(C) (D) 3±232±26±二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上．(16) 设圆过双曲线的一个顶点和一个焦点，圆心在双曲线上，则圆116922=-y x心到双曲线中心距离是__________(17) (x ＋2)10(x 2－1)的展开的x 10系数为____________（用数字作答） (18) 如图，在直四棱柱A 1B 1C 1D 1－ABCD 中，当底面四边形ABCD 满足条件____________时，有A 1C ⊥B 1D 1．(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考试所有可能的情形)(19) 关于函数f (x )=4sin(2x ＋)(x ∈R )，有下列命题3π①y =f (x )的表达式可改写为y =4cos(2x －)；②y =f (x )是以2π为最小正周期的周期函数；6π③y =f (x )的图像关于点对称； ④y =f (x )的图像关于直线x =－对称．⎪⎭⎫⎝⎛-06，π6π其中正确的命题的序号是______ (注：把你认为正确的命题的序号都填上．) 三．解答题：本大题共6小题；共69分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． (20) (本小题满分10分)设a ≠b ，解关于x 的不等式a 2x ＋b 2(1－x )≥[ax ＋b (1－x )]2．21) (本小题满分11分)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，设a ＋c =2b ，A －C=，求sin B 的3π值．以下公式供解题时参考：， ，2cos2sin2sin sin ϕθϕθϕθ-+=+2sin2cos2sin sin ϕθϕθϕθ-+=-， ．2cos 2cos 2cos cos ϕθϕθϕθ-+=+2sin 2sin 2cos cos ϕθϕθϕθ-+-=-(22) (本小题满分12分)如图，直线l 1和l 2相交于点M ，l 1 ⊥l 2，点N ∈l 1．以A 、B 为端点的曲线段C 上的任一点到l 2的距离与到点N 的距离相等．若△AMN 为锐角三角形，|AM |=，|AN |=3，且|BN |=6．建立适当的坐17标系，求曲线C 的方程．(23) (本小题满分12分)已知斜三棱柱ABC －A 1 B 1 C 1的侧面A 1 ACC 1与底面ABC 垂直，∠ABC =90º，BC =2，AC=2，且AA 1 ⊥A 1C ，AA 1= A 1 C 1．3(Ⅰ)求侧棱A 1A 与底面ABC 所成角的大小；(Ⅱ)求侧面A 1 ABB 1 与底面ABC 所成二面角的大小； (Ⅲ)求侧棱B 1B 和侧面A 1 ACC 1的距离．(24) (本小题满分12分)如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱．污水从A 孔流入，经沉淀后从B 孔流出．设箱体的长度为a 米，高度为b 米．已知流出的水中该杂质的质量分数与a ，b 的乘积ab 成反比．现有制箱材料60平方米．问当a ，b 各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A 、B 孔的面积忽略不计)．(25) (本小题满分12分)已知数列{b n }是等差数列，b 1=1，b 1＋b 2＋…＋b 10=100． (Ⅰ)求数列{b n }的能项b n ； (Ⅱ)设数列{a n }的通项a n =lg(1＋)，记S n 是数列{a n }的前n 项的和．试比较S n 与nb 1lg b n +1的大小，并证明你的结论． 211998年普通高等学校招生全国统一考试 数学试题(文史类)参考解答及评分标准一．选择题：本题考查基本知识和基本运算．第(1)－(10)题每小题4分，第(11)－(15)题每小题5分．满分65分．(1) D (2) B (3) C (4) A (5) B (6) B (7) C (8) D (9) A (10) B (11) B (12) A (13) B (14) C (15) D 二．填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分16分．(16)(17) －5120 316(18) AC ⊥BD ，或任何能推导出这个条件的其他条件．例如ABCD 是正方形，菱形等 (19)①，③注：第(19)题多填、漏填的错填均给0分． 三．解答题：（20）本小题主要考查不等式基本知识，不等式的解法．满分10分． 解：将原不等式化为(a 2－b 2)x +b 2≥(a －b )2x 2＋2(a －b )bx ＋b 2， 移项，整理后得 (a －b )2(x 2－x ) ≤0， ∵ a ≠b 即 (a －b )2＞0， ∴ x 2－x ≤0， 即 x (x －1) ≤0．解此不等式，得解集 {x |0≤x ≤1}．(21) 本小题考查正弦定理，同角三角函数基本公式，诱导公式等基础知识，考查利用三角公式进行恒等变形的技能及运算能力．满分11分．解：由正弦定理和已知条件a ＋c =2b 得sin A ＋sin C =2sin B ．由和差化积公式得． B CA C A sin 22cos 2sin 2=-+由A ＋B ＋C =π，得 =，2)sin(C A +2cos B又A －C =，得cos =sin B ，3π232B∴cos =2sin cos ．232B 2B 2B ∵ 0＜＜， ≠0， 2B 2π2cos B ∴sin=， 2B 43从而cos== 2B 2sin 12B -413∴ sin B == ⨯23413839(22) 本小题主要考查根据所给条件选择适当的坐标系，求曲线方程的解析几何的基本思想．考查抛物线的概念和性质，曲线与方程的关系以及综合运用知识的能力．满分12分．解法一：如图建立坐标系，以l 1为x 轴，MN 的垂直平分线为y 轴，点O 为坐标原点．依题意知：曲线段C 是以点N 为焦点，以l 2为准线的抛线段的一段，其中A 、B 分别为C 的端点．设曲线段C 的方程为y 2=2px (p ＞0)，(x A ≤x ≤x B ，y ＞0)，其中x A ，x B 分别为A ，B 的横坐标，P =|MN |．所以 M (－，0)，N (，0)． 2P 2P由 |AM |=，|AN |=3得17(x A ＋)2＋2Px A =17， ① 2P (x A －)2＋2Px A =9． ②2P由①、②两式联立解得x A =，再将其代入①式并由p ＞0解得P4或． ⎩⎨⎧==14A x p ⎩⎨⎧==22Ax p因为△AMN 是锐角三角形，所以＞x A ，故舍去． 2P⎩⎨⎧==22A x p ∴ P =4，x A =1．由点B 在曲线段C 上，得x B =|BN |－=4． 2P综上得曲线段C 的方程为y 2=8x (1≤x ≤4，y ＞0)．解法二：如图建立坐标系，分别以l 1、l 2为x 、y 轴，M 为坐标原点．作AE ⊥l 1，AD ⊥l 2，BF ⊥l 2，垂足分别为E 、D 、F ． 设 A (x A ，y A )、B (x B ，y B )、N (x N ，0)． 依题意有x A =|ME|=|DA|=|AN|=3， y A =|DM |==2，由于△AMN 为锐角三角形，故22DA AM -2有x N =|AE |+|EN |=4．=|ME |+=422AE AN -X B =|BF |=|BN |=6．设点P (x ，y )是曲线段C 上任一点，则由题意知P 属于集合 {(x ，y )|(x －x N )2+y 2=x 2，x A ≤x ≤x B ，y ＞0}． 故曲线段C 的方程y 2=8(x －2)(3≤x ≤6，y ＞0)．(23) 本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，棱柱的性质，空间的角和距离的概念，逻辑思维能力、空间想象能力及运算能力．满分12分．注：题中赋分为得到该结论时所得分值，不给中间分． 解：(Ⅰ)作A 1D ⊥AC ，垂足为D ，由面A 1ACC 1⊥面ABC ，得A 1D ⊥面ABC ，∴ ∠A 1AD 为A 1A 与面ABC 所成的角． ∵ AA 1⊥A 1C ，AA 1=A 1C ，∴ ∠A 1AD=45º为所求．(Ⅱ)作DE ⊥AB ，垂足为E ，连A 1E ，则由A 1D ⊥面ABC ，得A 1E ⊥AB ．∴∠A 1ED 是面A 1ABB 1与面ABC 所成二面角的平面角． 由已知，AB ⊥BC ，得ED ∥BC ．又D 是AC 的中点，BC =2，AC =2， 3∴ DE =1，AD =A 1D =，tg A 1ED==． 3DEDA 13故∠A 1ED=60º为所求．(Ⅲ) 作BF ⊥AC ，F 为垂足，由面A 1ACC 1⊥面ABC ，知BF ⊥面A 1ACC 1． ∵ B 1B ∥面A 1ACC 1，∴ BF 的长是B 1B 和面A 1ACC 1的距离． 在Rt △ABC 中，，2222=-=BC AC AB ∴ 为所求． 362=⋅=AC BC AB BF (24) 本小题主要考查综合应用所学数学知识、思想和方法解决实际问题的能力，考查建立函数关系、不等式性质、最大值、最小值等基础知识．满分12分．解法一：设y 为流出的水中杂质的质量分数，则y =，其中k ＞0为比例系数，依题abk意，即所求的a ，b 值使y 值最小．根据题设，有4b ＋2ab ＋2a =60(a ＞0，b ＞0)， 得 (0＜a ＜30＝， ① aab +-=230于是 aaa kab k y +-==230226432+-+-=a a k⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-=264234a a k()2642234+⋅+-≥a a k18k =当a ＋2=时取等号，y 达最小值．264+a 这时a =6，a =－10(舍去)． 将a =6代入①式得b =3．故当a 为6米，b 为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小． 解法二：依题意，即所求的a ，b 的值使ab 最大． 由题设知 4a ＋2ab ＋2a =60 (a ＞0，b ＞0) 即 a ＋2b ＋ab =30 (a ＞0，b ＞0)． ∵ a ＋2b ≥2， ab ∴ 2＋ab ≤30，2ab 当且仅当a =2b 时，上式取等号． 由a ＞0，b ＞0，解得0＜ab ≤18．即当a =2b 时，ab 取得最大值，其最大值18． ∴ 2b 2=18．解得b =3，a =6．故当a 为6米，b 为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小．(25) 本小题主要考查等差数列基本概念及其通项求法，考查对数函数性质，考查归纳，推理能力以及用数学归纳法进行论证的能力．满分12分．解：(Ⅰ)设数列工{b n }的公差为d ，由题意得b 1=1，10b 1＋=100．d2)110(10-解得 b 1=1，d =2．∴ b n =2n －1． (Ⅱ)由b n =2n －1，知S n =lg(1＋1)＋lg(1＋)＋…＋lg(1＋) 31121-n =lg[(1＋1)(1＋)· … ·(1＋)]，31121-n lg b n ＋1=lg ． 2112+n因此要比较S n 与lg b n ＋1的大小，可先比较(1＋1)(1＋)· … ·(1＋)与2131121-n 的大小．12+n 取n =1有(1＋1)＞，112+⋅取n =2有(1＋1)(1＋)> 31112+⋅由此推测(1＋1)(1＋)· … ·(1＋)＞． ①31121-n 12+n 若①式成立，则由对数函数性质可判定：S n ＞lgb n ＋1． 21下面用数学归纳法证明①式． (i)当n =1时已验证①式成立．(ii)假设当n =k (k ≥1)时，①式成立，即 (1＋1)(1＋)· … ·(1＋)＞， 31121-k 12+k 那么，当n =k ＋1时， (1＋1)(1＋)· … ·(1＋)(1＋) 31121-k 1)1(21-+k ＞(1＋) 12+k 121+k =(2k ＋2)．1212++k k ∵ [(2k ＋2)]2－[]21212++k k 32+k =123848422+++++k k k k k =＞0， 121+k ∴(2k ＋2) ＞=．1212++k k 32+k ()112++k 因而 (1＋1)(1＋)· … ·(1＋)(1＋)＞． 31121-k 121+k 1)1(2++k 这就是说①式当n =k ＋1时也成立．1由(i)，（ii）知①式对任何正整数n都成立．由此证得：S n>lg b n＋1．2。