2.3 离散型随机变量的分布列及其期望
基础梳理
1．离散型随机变量的分布列
(1)随机变量
如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量，随机变量常用字母X，Y，ξ，η等表示．
(2)离散型随机变量
对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．
(3)分布列
设离散型随机变量X可能取得值为x1，x2，„，xi，„xn，X取每一个值xi(i＝1,2，„，n)的概率为P(X＝xi)＝pi，则称表
X x1 x2 „ xi „ xn
P p1 p2 „ pi „ pn
为随机变量X的概率分布列，简称X的分布列．
(4)分布列的两个性质
①pi≥0，i＝1,2，„，n；②p1＋p2＋„＋pn＝_1_.
2．两点分布
如果随机变量X的分布列为
X 1
0
P p q
其中0
3．超几何分布列
在含有M件次品数的N件产品中，任取n件，其中含有X件次品数，则事件{X＝k}发生的概率为：P(X＝k)＝CkMCn－kN－MCnN(k＝0,1,2，„，m)，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n、M、N∈N*，则称分布列
X 0 1 „ m
P C0M·Cn－0N－MCnN C1MCn－1N－MCnN „ CmMCn－mN－MCnN
为超几何分布列． 4.二项分布
在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为k，在每次试验中事件A发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P(X＝k)＝Cknpk(1－p)n－k(k＝0,1,2，„，n)，此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)，并称p为成功概率．
5.离散型随机变量的均值与方差
若离散型随机变量X的分布列为
X x1 x2 „ xi „ xn
P p1 p2 „ pi „ pn
基础训练
1．抛掷均匀硬币一次，随机变量为( )．
A．出现正面的次数 B．出现正面或反面的次数
- 1 - 1 离散型随机变量的期望、方差和正态分布
【知识回顾】
1.期望：若离散型随机变量ξ，当ξ=xi的概率为P（ξ=xi）=Pi（i=1，2，…，n，…），则称Eξ=∑xi pi为ξ的数学期望，反映了ξ的平均值.
2.方差：称Dξ=∑（xi＊Eξ）2pi为随机变量ξ的均方差，简称方差.D叫标准差，反映了ξ的离散程度.
3.性质：（1）E（aξ+b）=aEξ+b，D（aξ+b）=a2Dξ（a、b为常数）.
（2）若ξ～B（n，p），则Eξ=np，Dξ=npq（q=1＊p）.
4．总体密度曲线:样本容量越大，所分组数越多，各组的频率就越接近于总体在相应各组取值的概率．设想样本容量无限增大，分组的组距无限缩小，那么频率分布直方图就会无限接近于一条光滑曲线,这条曲线叫做总体密度曲线．
总体密度曲线b单位O频率/组距a
它反映了总体在各个范围内取值的概率．根据这条曲线，可求出总体在区间(a，b)内取值的概率等于总体密度曲线，直线x=a，x=b及x轴所围图形的面积．
观察总体密度曲线的形状，它具有“两头低，中间高，左右对称”的特征，具有这种特征的总体密度曲线一般可用下面函数的图象来表示或近似表示：
),(,21)(222)(xexfx
式中的实数、)0(是参数，分别表示总体的平均数与标准差，函数)(xf称为正态函数，)(xf的图象称为正态曲线．正态分布一般记为),(2N
5．正态分布),(2N是由均值μ和标准差σ唯一决定的分布,随机变量X的取值区间在（a，b]上的概率等于总体密度函数在[a，b]上的定积分值.也就是随机变量X的取值区间在（a，b]上的概率等于正态曲线与直线x=a，x=b及x轴所围成的封闭图形的面积.
6．正态曲线的性质：
（1）曲线在x轴的上方，与x轴不相交
（2）曲线关于直线x=μ对称
（3）当x=μ时，曲线位于最高点
（4）当x＜μ时，曲线上升（增函数）；当x＞μ时，曲线下降（减函数） 并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x轴为渐近线，向它无限靠近
教师学科教案
[ 20 –20 学年度 第__学期 ]
任教学科： _____________
任教年级： _____________
任教老师： _____________
xx 市实验学校
育人犹如春风化雨，授业不惜蜡炬成灰
§2．3 离散型随机变量的均值与方差
§2．3．1 离散型随机变量的均值
教学目标：
知识与技能： 了解离散型随机 量的均 或期望的意 ，会根据离散型随机 量的分布列求出均 或期望．
过程与方法： 理解公式“ E（ aξ +b） =aEξ +b”，以及“若ξ : B（ n,p ）， Eξ =np” . 能熟 地 用它
求相 的离散型随机 量的均 或期望。
情感、态度与价值观： 承前启后，感悟数学与生活的和 之美 , 体 数学的文化功能与 人文价 。
教学重点： 离散型随机 量的均 或期望的概念
教学难点： 根据离散型随机 量的分布列求出均 或期望 授课类型： 新授
课时安排： 1 教学过程：
一、复习引入： 1. 离散型随机 量的二 分布: 在 一次随 机 中， 某 事 件 可能生 也可能 不
生，在 n 次独立重复 中 个事件 生的次数 ξ 是一个随机 量．如果在一次 中
某事件 生的概率是 P，那么在 n 次独立重复 中 个事件恰好 生 k 次的概率是
Pn (k) C nk p k qn k ，（ k＝ 0,1,2, ⋯， n， q 1 p ）．
于是得到随机 量 ξ 的概率分布如下：
ξ 0 1 ⋯ k ⋯ n
P Cn0 p0qn C n1 p1q n 1 ⋯ Cnk p k q n k ⋯C nn pn q0
称 的随机 量 ξ 服从二 分布， 作 ξ～ B(n ， p) ，其中 n， p 参数，并
离散型随机变量的期望与方差知识集结知识元离散型随机变量的期望与方差
知识讲解1．离散型随机变量的期望与方差
【知识点的知识】1、离散型随机变量的期望
数学期望：一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为x1x2…xn…
Pp1p2…pn…
则称Eξ＝x1p1+x2p2+…+xnpn+…为ξ的数学期望，简称期望．
数学期望的意义：数学期望离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平
均水平．
平均数与均值：一般地，在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令p1＝p2＝…＝pn，则有p1＝p2＝…＝pn＝，Eξ＝（x1+x2+…+xn）×，所以ξ的数学期望又称为平均数、均值．
期望的一个性质：若η＝aξ+b，则E（aξ+b）＝aEξ+b．
2、离散型随机变量的方差；
方差：对于离散型随机变量ξ，如果它所有可能取的值是x1，x2，…，xn，…，且取这些值的概
率分别是p1，p2，…，pn…，那么，
称为随机变量ξ的均方差，简称为方差，式中的Eξ是随机变量ξ的期望．
标准差：Dξ的算术平方根叫做随机变量ξ的标准差，记作．方差的性质：．
方差的意义：
（1）随机变量的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的；
（2）随机变量的方差、标准差也是随机变量的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定
与波动、集中与离散的程度；
（3）标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛．例题精讲
离散型随机变量的期望与方差
例1.在某公司的一次投标工作中，中标可以获利12万元，没有中标损失成本费0.5万元、若中标
的概率为0.6，设公司盈利为X万元，则D（X）=（）A．7B．31.9C．37.5D．42.5
例2.设随机变量ξ服从分布B（n，p），且E（ξ）=1.2，D（ξ）=0.96，则（）A．n=6，p=0.2B．n=4，p=0.3C．n=5，p=0.24D．n=8，p=0.15
例3.已知A，B两个不透明盒中各有形状、大小都相同的红球、白球若干个．A盒中有m个红球与10-m个白球，B盒中有10-m个红球与m个白球（0
