(优选)随机变量的数学期望

随机变量的期望和方差公式随机变量的期望与方差是数学统计分析中经常被研究和使用的重要概念，它们是描述随机变量分布特性和表示它们在统计分析中的重要指标。

在本文中，我们将介绍随机变量期望和方差的概念及其相关数学公式，并举例说明。

首先，让我们来看一下随机变量的定义。

随机变量是一个描述某个系统性质的变量，它的取值在进行抽样的时候是未知的，而且每次抽样的结果都是不同的，因此它是一种随机的变量。

例如，我们可以通过抽样来表示某种游戏中获胜者的人数，这就是一个随机变量。

其次，让我们来讨论随机变量的期望和方差。

期望是指一个随机变量的期待值，它是描述一个随机变量的核心概念。

它可以用来表示随机变量的整体行为特征，以及可能出现的结果在一定范围内的可能性大小。

期望的数学表示形式为：E(X)=∑XiP(Xi)其中，E(X)为期望，X表示随机变量的取值，P(Xi)表示X取值Xi的概率。

方差是指随机变量的波动程度，它可以用来描述随机变量的取值与已知期望之间的偏差程度。

方差的数学表示形式为：Var(X)=E[(X-E(X))^2]其中，Var(X)表示方差，E(X)表示期望，X表示随机变量的取值。

现在让我们来举个例子，来说明这两个公式。

假设我们有一个抛硬币的实验，抛出正面的概率为0.5，反面的概率也为0.5。

那么，这个实验的期望值可以由以下公式得到：E(X)=0.5*1+0.5*(-1)=0这表示，我们预期在这个实验中获得正面和反面的概率是一样的，所以期望的最终结果是0。

同样，我们可以用方差的公式来计算这个实验的方差：Var(X)=E[(X-E(X))^2]=0.5*(1-0)^2+0.5*(-1-0)^2=1 这表示，我们预期在这个实验中获得正面和反面的结果有一定的差异，所以方差的最终结果是1。

总之，本文介绍了随机变量的期望和方差的概念以及其相关的数学公式，并举例说明了它们的用法。

我们可以利用它们来更好地描述随机变量，从而更全面地理解和掌握它们。

随机变量的期望值计算随机变量的期望值是概率论中一个非常重要的概念，它代表了随机变量在一次试验中平均取得的值。

在实际问题中，计算随机变量的期望值可以帮助我们更好地理解随机现象的规律性，为决策提供依据。

本文将介绍随机变量的期望值的计算方法，包括离散型随机变量和连续型随机变量的情况。

一、离散型随机变量的期望值计算对于离散型随机变量X，其取值为有限个或可数个，记为{x1,x2, ..., xn}，对应的概率分布为P(X=x1), P(X=x2), ..., P(X=xn)。

则随机变量X的期望值E(X)的计算公式为：E(X) = x1*P(X=x1) + x2*P(X=x2) + ... + xn*P(X=xn)其中，x1, x2, ..., xn为随机变量X可能取得的值。

例如，假设一个骰子，其点数为1、2、3、4、5、6，对应的概率分布相等，即P(X=1)=P(X=2)=...=P(X=6)=1/6。

则骰子的点数的期望值为：E(X) = 1*(1/6) + 2*(1/6) + 3*(1/6) + 4*(1/6) + 5*(1/6) +6*(1/6) = 3.5因此，这个骰子的点数的期望值为3.5。

二、连续型随机变量的期望值计算对于连续型随机变量X，其取值为一个区间[a, b]，概率密度函数为f(x)，则随机变量X的期望值E(X)的计算公式为：E(X) = ∫(a到b) x*f(x) dx其中，f(x)为随机变量X的概率密度函数。

例如，假设一个连续型随机变量X的概率密度函数为f(x) = 2x，x∈[0,1]。

则该随机变量X的期望值为：E(X) = ∫(0到1) x*2x dx = 2∫(0到1) x^2 dx = 2*[x^3/3] (0到1) = 2*(1/3) = 2/3因此，该连续型随机变量X的期望值为2/3。

综上所述，随机变量的期望值计算是概率论中的重要内容，通过对离散型和连续型随机变量的期望值计算方法的了解，可以更好地应用于实际问题中，分析随机现象的规律性，为决策提供支持。

随机变量的数字特征一、数学期望E（x)的性质：性质一：常数C，E（C)=C;性质二：X为随机变量，C为常数，则E(CX）=CE（X)；性质三：X，Y为随机变量，则E(X+Y)=E(X)+E(Y)；性质三：X,Y为相互独立的随机变量时，E（XY）=E（Ｘ）Ｅ（Ｙ）二、方差的性质：D(X)=E(X²）-[E(X)]²性质一：C为常数，则D(C)=0；性质二：X为随机变量，C为常数，则D(CX)=C²D(X)D(X±C)=D(X)性质三：X，Y为相互独立随机变量Ｄ（X±Y)=D(X)+D(Y)当X，Y不相互独立时：D(X±Y）=D(X)+D(Y)±2COV(X,Y);关于协方差COV（X+Y，X-Y)=D(X)-D(Y)的证明？证：由COV（X，Y）=E（XY）-E(X)E(Y) 得COV（Ｘ＋Ｙ，Ｘ－Ｙ）＝E[(X+Y)（X-Y)]-E（X+Y)E(X-Y) =E（X^2-Y^2）-{[E(X)+E(Y)][E(X)-E(Y)]}=E(X^2)-E(Y^2)-E(X)E(X)+E(Y)E(Y)=E(X^2)-E(X)E(X)-[E(Y^2)-E(Y)(Y)]=D(X)-D(Y)三、常用函数期望与方差：⑴（0-1）分布：①分布律：P{X=K}=p^k(1-p)^1-k,k=0,1,2...(0<p<1）②数学期望：p③方差：pq (q=1-p)⑵二项分布B（n,p):①分布律：P{X=K}=（n,k)p^k(1-p)n-k (k=0,1..n;n>=1,0<p<1,q=1-p)②数学期望：np③方差：npq⑶泊松分布π（λ）：①分布律：P{X=k}=(λ^k *e^(-λ))/k! (k=0,1,2...;λ>0)②数学期望：λ③方差：λ⑷均匀分布U（a,b):①分布律：f(X)=1/(b-a), a<x<b; f(X)=0,x∈其他值时②数学期望：（a+b）/2③方差：（b-a)²/12⑸指数分布E（λ）：①分布律：f(X)=λe^(-λ), X>0; f(X)=0, X≦0;②数学期望：1/λ③方差：1/λ²⑹正态分布N（μ，ρ²）①分布律：f(x)=1/﹙√2π *ρ)*e^(-(x-μ)²/(2ρ²)),(-∞<x<+∞,ρ>0)②数学期望：μ③方差：ρ²四、切比雪夫不等式：随机变量的数学期望E(x)与方差D(x)存在，则对于任意整数ε，不等式：P{|X-E(X)|≥ε}≤D(X)/ε²成立。

《概率论与数理统计》第4－7章复习第四章 随机变量的数字特征常用分布的期望与方差第五章 大数定律及中心极限定理第六章 数理统计的基本概念第七章参数估计常用概率分布的参数估计表自测题第四章﹑数字特征1. 设随机变量X 的密度函数f(x)= ⎩⎨⎧5x 4 0≤x ≤1 0 其他, 求数学期望EX 。

2.设随机变量X ～N (-1，3)，Y ～N (0，5)，Cov(X ,Y )=0.4，求D (X +Y )的值。

3. 设随机变量X 和Y 的密度函数分别为f X (x)= ⎩⎨⎧0.5， 1≤x ≤30， 其它 ，f Y (y)= ⎩⎨⎧3e -3y ， y>00， y ≤0， 若X ，Y 相互独立，求： E(XY)4. 设 X 服从参数为 λ 的普阿松分布(λ>0)，则下列6个等式中那几个是错误的。

DX=1λ, E(X)D(X) =1 , E(X 2)=E(X)[E(X)+1] , E(X) = λ , E (X - λ)2 = 0, EX=λ2+λ5．设随机变量的联合分布律为⎣⎢⎡⎦⎥⎤X ╲Y 1 2 0 1/4 1/12 2 1/6 1/2 求：(1) E(X), E(Y)；(2)D(X), D(Y)；(3) ρxy 。

6．设二维随机变量(X ，Y)的联合分布律为⎣⎢⎡⎦⎥⎤X ╲Y 0 1 3 0 0.1 0.2 0.1 1 0.2 0.4 0，求(1)E(XY); (2)Cov(X,Y)。

试问：X 与Y 是否相互独立？为什么？7. 设随机变量X 的分布律为 ⎣⎡⎦⎤X -2 0 1 2P 0.2 0.3 0.4 0.1.记Y =X 2， 求：(1)D (X )，D (Y )；(2)Cov(X,Y ), ρxy .8. 已知投资某短期项目的收益率R 是一随机变量，其分布为：⎣⎡⎦⎤R -2% 0% 3% 10%P 0.1 0.1 0.3 0.5 。

(1) 求R 的数学期望值E(R)与方差D(R)；(2) 若一位投资者在该项目上投资100万元，求他预期获得多少收益(纯利润)(万元)？9. 假定暑假市场上对冰淇淋的需求量是随机变量X 盒，它服从区间[200，400]上的均匀分布，设每售出一盒冰淇淋可为小店挣得1元，但假如销售不出而屯积于冰箱，则每盒赔3元。

第12讲 随机变量的数字特征习题课教学目的：掌握随机变量的数字特征，了解切比雪夫不等式和大数定律。

教学重点：理解数学期望和方差的概念，掌握它们的性质与计算，熟悉常用分布的数学期望和方差。

教学难点：随机变量函数的数学期望。

教学时数：2学时 教学过程：一、知识要点回顾1. 随机变量X 的数学期望()E X对离散随机变量 ()()i i iE X x p x =∑若1,2,i=，则假定这个级数绝对收敛，否则就没有数学期望。

对连续随机变量 ()()E Xxf x d x+∞-∞=⎰假定这个广义积分绝对收敛，否则就没有数学期望。

2. 随机变量X 的函数()g X 的数学期望[()]E g X ，其中()g X 为实函数。

对离散随机变量 [()]()()i i iE g X g x p x =∑对连续随机变量 [()]()()E g Xg x f x d x+∞-∞=⎰假定所涉及的无穷级数绝对收敛，所涉及的广义积分绝对收敛。

3. 二维随机变量(,)X Y 的函数(,)g X Y 的数学期望[(,)]E g X Y ，其中(,)g X Y 为二元实函数。

对离散随机变量 [(,)](,)(,)i j i j ijE g XY g x y p x y =∑∑对连续随机变量 [(,)](,)(,)E g X Y g x y f x y d xd y+∞+∞-∞-∞=⎰⎰假定所涉及的无穷级数绝对收敛，所涉及的广义积分绝对收敛。

4. 数学期望的性质（假定所涉及的数学期望都存在）(), ()E c c c =为常数()(), ()E c X c E X c =为常数()(), (,)E a X b a E X b a b +=+为常数()()()E X Y E X E Y +=+11()()nni i i i i i E c X c E X ===∑∑若,X Y 相互独立，则()()()E X Y E X E Y =。

概率与统计中的随机变量的期望在概率与统计领域中，随机变量是一个非常重要的概念。

它描述了实验结果的可能取值，并且与每个取值相关联的概率。

而随机变量的期望则是衡量随机变量取值的平均值的指标。

一、随机变量的定义与分类随机变量是一种将样本点映射到实数上的函数。

它可以分为离散随机变量和连续随机变量两种。

离散随机变量：取值为有限或可数个数的随机变量，如抛硬币的结果、掷骰子的点数等。

连续随机变量：取值范围为一个或多个区间的随机变量，如测量身高、体重等。

二、随机变量的期望定义随机变量的期望是对其取值的加权平均值，用于描述其平均水平。

对于离散随机变量，期望的计算公式如下：E(X) = Σ(xi * P(xi))其中，E(X)表示随机变量X的期望，xi表示X的每个可能取值，P(xi)表示X取值为xi的概率。

对于连续随机变量，期望的计算公式为：E(X) = ∫(xf(x)dx)其中，E(X)表示随机变量X的期望，x表示X的取值，f(x)表示X 的概率密度函数。

三、随机变量的期望性质随机变量的期望具有以下几个性质：1. 期望具有线性性质，即E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y)，其中a和b 为常数，X和Y为随机变量。

2. 对于常数a，E(a) = a。

3. 对于函数g(X)，E(g(X))表示函数g(X)的期望。

四、随机变量期望的应用随机变量的期望在实际问题中有着广泛的应用。

以下以两个例子进行说明：例子1：硬币正面朝上的期望次数假设有一枚硬币，投掷一次正面朝上记为事件A，反面朝上记为事件B。

随机变量X表示连续投掷硬币直到出现正面朝上时所需要的次数。

则随机变量X的期望是多少？解：设X为投掷硬币次数，则事件A和事件B的概率分别为P(A) = 0.5和P(B) = 0.5。

根据期望的定义，有：E(X) = 1 * P(A) + (E(X)+1) * P(B)根据等式左右移项可得：E(X) = 1 + E(X) * P(B)整理得到：E(X) = 1 / P(B) = 1 / 0.5 = 2因此，连续投掷硬币直到出现正面朝上时所需要的次数的期望是2次。

数学期望和方差公式数学期望和方差是概率论和统计学中重要的概念，在许多领域中有广泛的应用。

它们是度量随机变量分布的指标，可以帮助我们了解随机现象的平均值和离散程度。

本文将详细介绍数学期望和方差的定义、性质以及计算公式。

一、数学期望数学期望，也称为均值或平均值，是衡量随机变量平均值的指标。

对于离散型随机变量X，它的数学期望E(X)的定义如下：E(X) = Σx * P(X = x)其中，x代表随机变量X可能取到的值，P(X = x)表示随机变量取到x的概率。

对于连续型随机变量X，它的数学期望E(X)的定义如下：E(X) = ∫x * f(x) dx其中，f(x)表示X的概率密度函数。

数学期望具有以下性质：1. 线性性质：对于任意实数a和b，以及任意两个随机变量X和Y，有E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y)。

2. 递推性质：对于离散型随机变量X，可以通过递推公式E(X) = Σx * P(X = x)来计算。

3. 位置不变性：对于随机变量X和常数c，有E(X + c) = E(X) + c。

数学期望的计算公式可以帮助我们求解随机变量的平均值，进而了解随机现象的集中程度。

二、方差方差是衡量随机变量取值的离散程度的指标，它表示随机变量与其均值之间的差异程度。

对于离散型随机变量X，其方差Var(X)的定义如下：Var(X) = Σ(x - E(X))^2 * P(X = x)对于连续型随机变量X，其方差Var(X)的定义如下：Var(X) = ∫(x - E(X))^2 * f(x) dx方差具有以下性质：1. 线性性质：对于任意实数a和b，以及任意随机变量X和Y，有Var(aX + bY) = a^2 * Var(X) + b^2 * Var(Y)。

2. 位置不变性：对于随机变量X和常数c，有Var(X + c) = Var(X)。

3. 零偏性：Var(X) >= 0，当且仅当X是一个常数时，等号成立。

随机变量函数的数学期望前面，我们学习了数学期望的概念，利用数学期望的定义式，可以求出随机变量的数学期望。

【出现第1张PPT】在实际中，已知随机变量大X的分布，但是需要计算的不是大X的期望，而是大X的某个函数的期望，比如说g(X)的期望，那么应该如何计算呢？例如，一个零件的横截面为一个圆面，其直径大X是一个随机变量，则截面面积大Y=4分之(π乘X平方)也是一个随机变量。

如果知道了大X的概率分布，现在需要求大Y的数学期望。

这就涉及到一维随机变量函数的数学期望。

问题的一般表述为：已知随机变量大X的概率分布，如何计算大X的某个函数gX的数学期望呢？【出现第2张PPT】一种方法是，因为g(X)也是随机变量，故应有概率分布，它的分布可以由已知的大X 的分布求出来。

一旦我们知道了g(X)的分布，就可以按照期望的定义，把g(X)的数学期望计算出来。

使用这种方法，必须先求出随机变量函数g(X)的分布，一般是比较麻烦和复杂的。

能否不通过先求函数g(X)的分布，而只根据大X的分布求得g(X)的数学期望呢？答案是肯定的！【出现第3张PPT】下面，我们不加证明的给出如下定理。

来看定理。

设大Y为随机变量大X的函数，大Y=g大X，这里，g是连续函数。

第一种情况，如果大X 是离散型随机变量，分布律为：“大X等于小xk”的概率为小pk，k等于1、2等等。

如果级数∑g小xk乘pk，k从1到无穷，绝对收敛，则大Y的数学期望，也就是g大X，这个函数的数学期望，等于∑g小xk乘pk，k从1到无穷。

第二种情况，如果大X 是连续型随机变量, 其概率密度为小f (x)，如果g小x乘概率密度小f小x，关于小x在负无穷到正无穷上的积分绝对收敛，则大Y的数学期望，也就是函数g大X的数学期望，就等于g小x乘概率密度小f小x，关于小x在负无穷到正无穷上的积分。

【出现第4张PPT】这个定理表明：求随机变量大X的函数“大Y=g大X”的数学期望时，只需要知道大X的概率分布就可以了。