离散型随机变量的数学期望报告.ppt

格式：ppt
大小：1.30 MB
文档页数：36

下载文档原格式

课件8：2.3.1 离散型随机变量的数学期望

【变式1】在10件产品中，有3件一等品、4件二等品、3件三等品．从这10件产品中任取3件，求取出的3件产品中一等品件数X的分布列和数学期望．
解从 10 件产品中任取 3 件，共有 C310种结果．从 10 件产品中任取 3 件，其中恰有 k 件一等品的结果数为 Ck3C37－k，其中 k＝0，1，2，3. ∴P(X＝k)＝C3kCC31370－k，k＝0，1，2，3. 所以随机变量 X 的分布列为
【变式2】某电视台开展有奖答题活动，每次要求答30个选择题，每个选择题有4个选项，其中有且只有一个正确答案，每一题选对得5分，选错或不选得0分，满分150分，规定满100分拿三等奖，满 120分拿二等奖，满140分拿一等奖，有一选手选对任意一题的概率是0.8，则该选手有望能拿到几等奖？解选对题的个数X～B(30，0.8)，故E(X)＝30×0.8＝24，由于24×5＝120(分)，所以该选手有望能拿到二等奖．
如此决策时他的工资均值为3 900×0.2＋2 950×0.3＋ 2 700×0.5＝3 015(元)，最后考虑甲公司，由于甲公司只有极好职位的工资超过3 015元，所以他只接受甲公司极好职位，否则就到乙公司．所以总的决策为：先去甲公司应聘，若甲公司提供极好职位就接受，否则去乙公司应聘；若乙公司提供极好或好的职位就接受，否则就到丙公司；接受丙公司提供的任何职位．工资均值为3 500×0.2＋3 015×0.8＝3 112(元)．
【示例】三家公司为王明提供了面试机会，按面试的时间顺序，三
家公司分别记为甲、乙、丙，每家公司都提供极好、好、一般三种
职位，每家公司将根据面试情况决定给予求职者何种职位或拒绝提
供职位．若规定双方在面试以获得极好、好、一般职位的可能性

离散型随机变量的期望及方差课件

02
离散型随机变量的期望
期望的定义与性质
定义
离散型随机变量的期望定义为所有可能取值的概率加权和，即 $E(X) = sum x_i times P(X=x_i)$。
性质
期望具有线性性质，即$E(aX+b) = aE(X)+b$，其中$a$和$b$为常数。
期望的运算性质
01
交换律
$E(X+Y) = E(X) + E(Y)$
离散型随机变量具有可数性、确定性和随机性等性质，其取值范围称为样本空间，记为Ω。
离散型随机变量的分类
03
伯努利试验
在n次独立重复的伯努利试验中，每次试验成功的概率为p，失败的概率为q=1-p 。例如，抛硬币、摸彩等。
二项分布
泊松分布
在n次独立重复的伯努利试验中，成功的次数X服从参数为n和p的二项分布，记为 B(n,p)。例如，抛n次硬币，出现正面的次数。
方差的定义与性质
方差的定义
方差是用来度量随机变量取值分散程度的量，计算公式为$D(X) = E[(X E(X))^2]$，其中$E(X)$表示随机变量$X$的期望值。
方差的基本性质
方差具有非负性，即对于任意随机变量$X$，有$D(X) geq 0$；当随机变量$X$取常数$c$时，方差$D(X) = 0$ 。
益。
投资决策
在保险公司的投资决策中，离散型随机变量的期望和方差可以用来评估不同投资组合的风险和回报，帮助保险公司做出更明智的
投资决策。
在决策理论中的应用
风险偏好
离散型随机变量的期望和方差可以用来描述个人的风险偏好，通过比较不同决策方案的期望和方差，个人可以做出更明智的决策。

离散型随机变量的数学期望PPT优秀课件1

1
0
p
p
1-p
如果随机变量X服从两点分布，那么 EX= p
探究：若ξ~B(n，p)，则Eξ=
ξ01
…k
…n
P Cn0p0qn Cn1p1qn-1 … Cnkpkqn-k … Cnnpnq0
证明：∵P(ξ=k)= Cnkpkqn-k
(∵ k Cnk =n Cn-1k-1)
∴E ξ =0×Cn0p0qn+ 1×Cn1p1qn-1+ 2×Cn2p2qn-2 +
X2 0 1 2 3 pk 0.5 0.3 0.2 0
如何比较甲、乙两个工人的技术？对于问题1
E(X1)＝0×0.7＋1×0.1＋2×0.1＋3×0.1＝0.6
E(X2)＝0×0.5＋1×0.3＋2×0.2＋3×0＝0.7 由于E(X1)＜E(X2)，即甲工人生产出废品数的均值小，从这个意义上讲，甲的技术比乙的技术好。
变式有场赌博，规则如下：如掷一个骰子，出现1，你赢8
元；出现2或3或4，你输3元；出现5或6，不输不赢．这场赌博对你是否有利?
Eξ=
对你不利!劝君莫参加赌博.
超几何分布
E nM
N
例4:（2009上海）
某学校要从5名男生和2名女
生中选出2人作为上海世博会
Eξ=7.5,则a= 0.1 b= 0.4.
例2
在篮球比赛中，如果某运动员罚球命中的概率为0.7，那么他罚球一次得分设为 X，X的均值是多少？
X
0
1
p
0.3
0.7
解：该随机变量X服从两点分布: P(X=1)=0.7、P(X=0)=0.3
所以：EX=1×P(X=1)+0×P(X=0)=0.7

离散型随机变量的期望与方差课件

方差的基本性质
方差是正数或零，无负值；方差越大，随机变量的取值越分散；两个随机变量的方差相等，则它们是同方差。
方差的计算
方差的计算公式
方差=E[(X-E[X])^2]，其中E[X]表示随机变量X的期望。
方差的简化计算
对于离散型随机变量，方差可以简化为方差=1/n Σ(xi-μ)^2，其中xi表示随机变量X的取值，μ表示随机变量X的期望，n表示随机变量X的取值个数。
离散型随机量的期望与方件
目录
• 离散型随机变量的期望 • 离散型随机变量的方差 • 离散型随机变量的期望与方差的关系 • 离散型随机变量的期望与方差的计算
实例 • 离散型随机变量的期望与方差在概率
论中的应用
01
离散型随机量的期望
定义与性质
期望的性质 2. 期望是一个可计算的数值，与概率分布中的权值
01
02
03
04
方差是用来度量随机变量取值分散程度的数学概念。
方差越大，说明随机变量的取值越分散；方差越小，说明随
机变量的取值越集中。
方差与标准差是两个紧密相关的概念，标准差是方差的平方
根。
方差在概率论中有很多重要的应用，例如在金融、统计学、
机器学习等领域。
期望与方差在金融风险控制中的应用
期望的性质与用途
3. 期望的计算公式是一个加权平均值。期望的用途
1. 期望是评估一个随机变量取值水平的指标。
期望的性质与用途
01
2. 期望可以用于预测随机变量的未来取值。
02
3.期望可以用于计算其他统计量，如方差、协方差等。
02
离散型随机量的方差
方差的定义与性质
方差的定义

离散型随机变量的数学期望PPT课件

第31页/共38页
【解】 (1)设“这箱产品被用户接收”为事件A， P(A)= ∴n＝2. (2)X的可能取值为1,2,3. P(X=1)= P(X=2)= P(X=3)=
第11页/共38页
(2)Eξ＝2×694＋3×6148＋4×2614＋5×1624＋6×644＝145.
• [点评] 本题主要考查某事件发生概率的求法，以及离散型随机变量分布列的数学期望的求法．问题(1)，对ξ的取值做到不重不漏，这是学生容易出错的地方．利用好计数原理和排列、组合数公式，求事件发生的概率，问题(2)比较容易，用好离散型随机变量分布列的数学期望公式即可．
（2） EX 6 0.63 2 0.251 0.1 (2) 0.02 4.34
（3）设技术革新后的三等品率为x，则此时1件产品的平均利润为E(x) 6 0.7 2 (1 0.7 0.01 x) 1 x (2) 0.01 4.76 x(0 x 0.29)
依题意， E(x) 4.73，即所以三等品率最多为3%
第25页/共38页
例4：一次单元测验由20个选择题构成，每个选择题有4 个选项.其中仅有一个选项正确，每题选对得5分.不选或选错不得分，满分100分.学生甲选对任一题的概率为0.9，学生乙则在测验中对每题都从各选项中随机地选择一个. 分别求学生甲和学生乙在这次测验中的成绩的均值.
思路分析：设甲、乙选对题数分别为X1、X2，则甲、乙两人的成绩分别为Y1= 5X1、Y2= 5X2，问题转化为求:E(Y1)= E(5X1)= 5E(X1)
P
1 4
1 3
1 5
m
1 20
(1)求 m 的值； (2)求 E(X)； (3)若 Y＝2X－3，求 E(Y).
1 ; 17 , 62 6 30 15

人教高中数学选修2-3第二章 2.3.1离散型随机变量的数学期望(共24张PPT)

B 表示事件：该地的 1 位车主购买乙种保险但不购买甲种保险； C 表示事件：该地的 1 位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种；
D 表示事件：该地的 1 位车主甲、乙两种保险都不购买． (1)P(A)＝0.5，P(B)＝0.3，C＝AUB，
P(C)＝P(AUB)＝P(A)＋P(B)＝0.8.
(2)D＝ C ，P(D)＝1－P(C)＝1－0.8＝0.2，
练习：
1、某射手射击所得环数ξ 的分布列如下：
ξ p 4 0.02 5 0.04 6 0.06 7 0.09 8 0.28 9 0.29 10 0.22
能否估计出该射手n次射击的平均环数？
8.32
2、甲、乙两个工人生产同一产品，在相同的条件下，他们生产100件产品所出的不合格品数分别用X1，X2表示， X1，X2的概率分布下：
甲选项正确的个数X~B(12，0.9) E(X)=10.8
甲得分Y=5X E(Y)=54
乙的选项正确的个数Z~B(12,0.25) E(Z)=3 乙得分Z`=5Z E(Z`)=15
例4 一个袋子里装有大小相同的5个白球和4个黑
球，从中任取3个，求其中所含白球个数的期望.
X P
0 4/84
1 30/84
离散型随机变量的数学期望
某校为了解学生迟到情况，每天记录迟到人数.下表是在100天中的记录.计算每天平均有问题：已知分布列如何求均值？多少人迟到？
人数天数 0 30 1 30 2 20 3 20
解法1:(0×30+1×30+2×20+3×20)/100=1.3
X P 0
30/100
1
30/100
事件首次发生所需要的试验次数X服从几何分布. 超几何分布：设有总数为N件的两类物品，其中有一类物品的件数为M，从所有物品中任取n件（n不超过N），这n件中所含的这类物品的件数

离散型随机变量的数学期望.ppt

E(aξ＋b)＝aEξ＋b．
随机变量的期望与方差
例题讲解例1、篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得 0分．已知某运动员罚球命中的概率为0.7，求他罚球一次的得分的期望
P( 0) 0.3 ，所以解：因为 P( 1) 0.7， E 1 P ( 1) 0 P ( 0)
随机变量的期望与方差
随机变量的期望与方差
问题引入某射手射击所得环数的分布列如下：

P
4 5 6 7 8 9 10 0.02 0.04 0.06 0.09 0.28 0.29 0.22
能否根据分布列估计射手n 次射击的平均环数？在n 次射击中，预计有大约： P( 4) n 0.02n 次得4环， P( 5) n 0.04n 次得5环， …… P( 10) n 0.22n 次得10环． n 次射击的总环数约等于 (4 0.02 5 0.04 10 0.22) n n 次射击的平均环数约等于4 0.02 5 0.04 10 0.22 8.32
可得的期望 E 1 0.15 2 0.1275 10 0.2316 5.35
随机变量的期望与方差
例4、高二（1）班的联欢会上设计了一项游戏，在一个中袋中装有10个红球，20个白球，这些球除了颜色外完全相同，某同学一次从中摸出5个球，其中红球的个数为X,求X的数学期望。
例5、从批量较大的成品中随机取出10件产品进行质量检查，若这批产品的不合格率为0.05.设随机变量X表示这10件产品中的不合格数，求随机变量X的数学期望E （X ）
随机变量的期望与方差
例题讲解例6、证明：服从二项分布 ~ B(n, p) 的随机变量的期望 E np.

3.2.3离散型随机变量的数学期望课件高二下学期数学选择性

.
3.若X服从参数为N,M,n的超几何分布,即X~H(N,M,n),则E(X)=

.
过关自诊
1.一名射手每次射击中靶的概率为0.9,则独立射击3次中靶的次数X的数学
2.7
期望是
.
解析 E(X)=3×0.9=2.7.
2.在10件产品中有3件次品,从中不放回地抽5件产品,抽到次品数的数学期
是
3
2
.
C 23 C 01
P(X=0)= C 2
4
B.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
=
1
C 13 C 11
,P(X=2)=
2
C 24
=
1
,故
2
X的
4.随机变量ξ的分布列如图所示,则其数学期望E(ξ)=( B )
ξ
1
2
P
a
b
A.1
B.2
C.3
D.不能确定
解析由题意可知a+b+a=1,即2a+b=1,而
D.E(aX)=44.1
解析由题意和分布列的性质得0.5+0.1+b=1,且E(X)=4×0.5+0.1a+9b=6.3,
解得b=0.4,a=7.
∴E(aX)=aE(X)=7×6.3=44.1,E(bX+a)=bE(X)+a=0.4×6.3+7=9.52.
故ABD正确.
1.定义:一般地,若离散型随机变量X的分布列为
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

0.0
4
1.概率分布列
• 一般地，假定随机变量X有n个不同的取值，它们分别是x1,x2, …,xn 且P(X=xi)=pi, （i=1,2, …,n）
• 则称为随机变量X 的分布列，简称为X的分布列.
表格表示
X
x1
x2
…
xn
P
P1,
p2
…
pn
此表叫X概率分布列，
0.0
5
5
互动探索
1、某人射击10次,所得环数分别是:1，1，1，1，2，2， 2，3，3，4；则所得的平均环数是多少？
不漏，这是学生容易出错的地方．利用好计数原理和排列、组合数公式，求事件发生的概率，问题(2)比较容易，用好离散型随机变量分布列的数学期望公式即可．
0.0
13
高考链接：
（广东卷17）随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126 件、二等品50件、三等品20件、次品4件．已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元．设1件产品的利润（单位：万元）为X．（1）求X的分布列；（2）求1件产品的平均利润（即X的数学期望）；（3）经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%，一等品率提高为70%．如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？
0.2 0.5 0.3
试问哪个射手技术较好?
0.0
8
解设甲,乙射手击中的环数分别为 X1, X 2 . E( X1) 8 0.3 9 0.1 10 0.6 9.3(环), E( X2 ) 8 0.2 9 0.5 10 0.3 9.1(环),
故甲射手的技术比较好.
0.0
则称
E( X ) x1 p1 x2 p2 xi pi xn pn
为随机变量X的均值或数学期望。
它反映了离散型随机变量取值的平均水平。
0.0
7
例1 谁的技术比较好? 甲,乙两个射手, 他们的射击技术分别为
甲射手
击中环数 8 9 10
概率
0.3 0.1 0.6
乙射手
击中环数 8 9 10
概率
2、二项分布：
一般地，在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每次试验中事件A发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为
P( X k) Cnk pk (1 p)nk , k 0,1, 2,..., n.
此时称随机变量X服从二项分布，记作X~B(n,p),并称p为成功概率。
9
• 3．(2011·福建福州质检)已知某一随机变量ξ的概率分布列如下，且Eξ＝6.3，则a的值为( )
ξ4 a 9
• A.5
B．6
P 0.5 0.1 b
• C．7
D．8
• 解析：由分布列性质知：0.5＋0.1＋b＝1，∴b＝0.4 • ∴Eξ＝4×0.5＋a×0.1＋9×0.4＝6.3
• ∴a＝7.故选C.
离散型随机变量的数学期望
0.0
1
复习引入
前面我们学习了互斥事件、条件概率、相互独立事件的意义，这些都是我们在具体求概率时需要考虑的一些模型，吻合模型用公式去求概率简便.
⑴ P( A B) P( A) P(B)（当 A与B 互斥时）；
⑵ P(B | A) P( AB) P( A)
⑶ P( AB) P( A)P(B) （当 A与B 相互独立时）那么求概率还有什么模型呢？
P(ξ＝6)＝2×82 2＝
4 64.
所以，当 ξ＝4 时，其发生的概率最大，为 P(ξ＝4)＝2614.
0.0
12
(2)Eξ＝2×694＋3×6148＋4×2614＋5×1624＋6×644＝145.
• [点评] 本题主要考查某事件发生概率的求法，以及离散型随机
变量分布列的数学期望的求法．问题(1)，对ξ的取值做到不重
0.0
14
• 【解析】（1）X的所有可能取值有6，2，1，-2；
P(X 6) 126 0.63 200
，P( X 2) 50 0.2，5 200
P( X 1) 20 , 0.1 200
P(X 2) 4 0.02 200
故的分布列为：
X 6 2 1 -2
P 0.63 0.25 0.1 0.02
0.0
2
1.基本概念 1.独立重复试验定义：一般地，在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验
注：独立重复试验的基本特征：
1、每次试验是在同样条件下进行； 2、每次试验都只有两种结果:发生与不发生； 3、各次试验中的事件是相互独立的； 4、每次试验,某事件发生的概率是相同的。
0.0
3
基本概念
（2） EX 6 0.63 2 0.25 1 0.1 (2) 0.02 4.34
（3）设技术革新后的三等品率为x，则此时1件产品的平均利润为E(x) 6 0.7 2 (1 0.7 0.01 x) 1 x (2) 0.01 4.76 x(0 x 0.29)
• 答案：C
0.0
10
• 类型一求离散型随机变量的期望
• 解题准备：求离散型随机变量的期望，一般分两个步骤：
• ①列出离散型随机变量的分布列；②利用公式Eξ＝x1p1＋x2p2 ＋…＋xipi＋…，求出期望值．
• 【典例1】 (2011·福州市高中毕业班综合测试卷)口袋里装有大小相同的卡片八张，其中三张标有数字1，三张标有数字2，两张标有数字3，第一次从口袋里任意抽取一张，放回口袋后第二次再任意抽取一张，记第一次与第二次取到卡片上数字之和
X 1111222334 2 10
把环数看成随机变量的概率分布列：
X
1
2
3
4
P
4
3
2
1
10
10
10பைடு நூலகம்
10
4
3
2
1
E(X ) 1 2 3 4 2
10
10 0.0 10
10
6
一、离散型随机变量取值的均值
一般地，若离散型随机变量X的概率分布为：
X x1 x2 ··· xi ··· xn P p1 p2 ··· pi ··· pn
为ξ.
• (1)ξ为何值时，其发生的概率最大？说明理由．
• (2)求随机变量ξ的期望Eξ.
0.0
11
[解析] (1)依题意，随机变量 ξ 的取值是 2、3、4、5、6.
因为 P(ξ＝2)＝3822＝694；
P(ξ＝3)＝2×8232＝1684；
P(ξ＝4)＝32＋28×2 3×2＝2614；
P(ξ＝5)＝2×832×2＝1624；