§4曲线与方程4．1曲线与方程授课提示：对应学生用书第46页一、方程的曲线与曲线的方程的意义一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作满足某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关系：1．曲线上点的坐标都是这个方程的解；2．以这个方程的解为坐标的点都在曲线上．那么，这个方程叫作曲线的方程，这条曲线叫作方程的曲线．二、求曲线方程(直接法)的一般步骤1．建立适当的坐标系，用有序实数对(x，y)表示曲线上任意一点M的坐标；2．写出适合条件的点M的集合P＝{M|p(M)}；3．用坐标表示条件p(M)，列出方程f(x，y)＝0；4．化方程f(x，y)＝0为最简形式；5．说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．一般地，步骤5可以省略不写，如有特殊情况，可以适当说明，另外也可以省略2，直接列出曲线方程．[疑难提示]对曲线与方程的理解曲线是满足条件的图形，方程是曲线的方程，包含对其中未知数的限制．[想一想]1．如果曲线C的方程是f(x，y)＝0，那么点P(x0，y0)在曲线C上的充要条件是什么？提示：若点P在曲线C上，则f(x0，y0)＝0；若f(x0，y0)＝0，则点P在曲线C上，∴点P(x0，y0)在曲线C上的充要条件是f(x0，y0)＝0.[练一练]2．设方程f(x，y)＝0的解集非空，如果命题“坐标满足方程f(x，y)＝0的点都在曲线C 上”是不正确的，则下列命题正确的是()A．坐标满足方程f(x，y)＝0的点都不在曲线C上B．曲线C上的点的坐标都不满足方程f(x，y)＝0C．坐标满足方程f(x，y)＝0的点有些在曲线C上，有些不在曲线C上D．一定有不在曲线C上的点，其坐标满足f(x，y)＝0解析：“坐标满足方程f (x ，y )＝0的点都在曲线C 上”不正确，即“坐标满足方程f (x ，y )＝0的点不都在曲线C 上”是正确的．“不都在”包括“都不在”和“有的在，有的不在”两种情况，故A 、C 错．B 显然错．答案：D授课提示：对应学生用书第47页探究一 曲线与方程的概念[典例1] 已知方程x 2＋(y －1)2＝10.(1)判断点P (1，－2)，Q (2，3)是否在此方程表示的曲线上；(2)若点M (m 2，－m )在此方程表示的曲线上，求m 的值． [解析] (1)∵12＋(－2－1)2＝10，(2)2＋(3－1)2＝6≠10，∴点P (1，－2)在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上，点Q (2，3)不在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上．(2)∵点M (m 2，－m )在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上，∴x ＝m 2，y ＝－m 适合上述方程，即(m 2)2＋(－m －1)2＝10，化简整理得5m 2＋8m －36＝0，解得m ＝2或m ＝－185， ∴m 的值为2或－185.“曲线的方程”和“方程的曲线”是以平面直角坐标系为平台的两个重要概念，两者必须同时具备以下两个条件：(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上．也就是说，曲线C 是一个点集，以方程f (x ，y )＝0的实数解为坐标的点的集合F ＝{(x ，y )|f (x ，y )＝0}，曲线和方程的概念中的两个条件可以表示为(1)C ⊆F ；(2)F ⊆C .由两个集合相等的概念知C ＝F .所以曲线和方程的概念中的两个条件实际上是两个集合相等，这是判断方程是否为所给曲线的方程，曲线是否为所给方程的曲线的标准．1．下列曲线(含直线)与方程能否建立“曲线的方程”和“方程的曲线”的关系？说明理由．(1)曲线C ：过点A (2,0)且平行于y 轴的直线；方程f (x ，y )＝0：|x |＝2.(2)曲线C ：到两坐标轴的距离的积等于1的点的集合；方程f (x ，y )＝0：xy ＝1.解析：(1)过点A (2,0)且平行于y 轴的直线上的点的坐标x ＝2都是方程|x |＝2的解；而以方程|x |＝2的解为坐标的点不都在这条直线上．也就是说，曲线与方程只满足关系(1)而不满足关系(2)，故该曲线C 的方程为x ＝2，方程|x |＝2表示两条直线．(2)到两坐标轴的距离的积等于1的点的坐标不都是方程xy ＝1的解，如点(1，－1)，而以方程xy ＝1的解为坐标的点都在曲线C 上．也就是说，曲线与方程只满足关系(2)而不满足关系(1)，故该曲线C 的方程为xy ＝±1，方程xy ＝1表示位于一、三象限的双曲线．2．(1)判断点A (－4,3)，B (－32，－4)，C (5，25)是否在方程x 2＋y 2＝25(x ≤0)所表示的曲线上；(2)方程x 2(x 2－1)＝y 2(y 2－1)所表示的曲线是C ，若点M (m ，2)与点N ⎝⎛⎭⎫32，n 在曲线C 上，求m ，n 的值．解析：(1)把点A (－4,3)的坐标代入方程x 2＋y 2＝25中，满足方程，且点A 的横坐标满足x ≤0，则点A 在方程x 2＋y 2＝25(x ≤0)所表示的曲线上；把点B (－32，－4)的坐标代入x 2＋y 2＝25， 因为(－32)2＋(－4)2＝34≠25，所以点B 不在方程x 2＋y 2＝25(x ≤0)所表示的曲线上；把点C (5，25)的坐标代入x 2＋y 2＝25，得(5)2＋(25)2＝25，满足方程，但因为横坐标5不满足x ≤0的条件，所以点C 不在方程x 2＋y 2＝25(x ≤0)所表示的曲线上．(2)因为点M (m ，2)，N ⎝⎛⎭⎫32，n 在曲线C 上，所以它们的坐标都是方程的解，所以m 2(m 2－1)＝2×1，34×⎝⎛⎭⎫－14＝n 2(n 2－1)，解得m ＝±2，n ＝±12或±32.探究二 根据方程研究曲线[典例2] 方程y ＝|x |x2所表示的图形是( )[解析] 方程y ＝|x |x 2＝⎩⎨⎧ 1x ，x ＞0，－1x ，x ＜0，结合各选项的图形可得正确的图形为 B.[答案] B判断方程表示什么曲线的问题，一般的解题方法是对方程进行同解变形，此时可将方程视为函数，研究其定义域，从而把方程变形到易于判断或熟知的方程为止．对于复杂的方程，需进行因式分解，得到每个简单方程表示的曲线，此时，原方程表示的曲线即为上述各曲线．3．方程(2x ＋3y －1)(x －3－1)＝0表示的曲线是( )A ．两条直线B ．两条射线C ．两条线段D ．一条直线和一条射线解析：由(2x ＋3y －1)(x －3－1)＝0，得2x ＋3y －1＝0(x ≥3)或x －3－1＝0，即2x ＋3y －1＝0(x ≥3)或x ＝4，所以方程(2x ＋3y －1)(x －3－1)＝0表示的曲线是一条直线和一条射线．故选D.答案：D4．(1)方程(x ＋y －1)x －1＝0表示什么曲线？(2)方程2x 2＋y 2－4x ＋2y ＋3＝0表示什么曲线？解析：(1)由方程(x ＋y －1)x －1＝0可得：⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x ＋y －1＝0，或x －1＝0， 即x ＋y －1＝0(x ≥1)或x ＝1，∴方程表示直线x ＝1和射线x ＋y －1＝0(x ≥1)，(2)方程的左边配方得2(x －1)2＋(y ＋1)2＝0，而2(x －1)2≥0，(y ＋1)2≥0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2(x －1)2＝0，(y ＋1)2＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1， ∴方程表示的图形为点A (1，－1)．探究三 求曲线的方程求曲线方程的常用方法—⎪⎪⎪⎪ —直接法—定义法—代入法—参数法5．已知A (0,4)，点B 是曲线2x 2＋1－y ＝0上任意一点，且M 是线段AB 的中点，求动点M 的轨迹方程．解析：设B (x 1，y 1)，M (x ，y )，由M 是线段AB 的中点，得⎩⎨⎧x ＝x 12y ＝y 1＋42，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2x y 1＝2y －4. 又点B 在曲线2x 2＋1－y ＝0上，∴2x 21＋1－y 1＝0，∴2×(2x )2＋1－(2y －4)＝0，即8x 2－2y ＋5＝0，∴动点M 的轨迹方程是8x 2－2y ＋5＝0.6．已知两圆C 1：(x －4)2＋y 2＝169，C 2：(x ＋4)2＋y 2＝9，动圆在⊙C 1的内部，且和⊙C 1内切，和⊙C 2外切，求动圆圆心的轨迹方程．解析：由已知可得圆C 1与C 2的圆心坐标分别为C 1(4,0)，C 2(－4，0)，其半径分别为r 1＝13，r 2＝3.设动圆的圆心为C ，其坐标为(x ，y )，动圆的半径为r .由于圆C 1与圆C 相内切，依据两圆内切的充要条件，可得|C 1C |＝r 1－r .①由于圆C 2与圆C 相外切，依据两圆外切的充要条件，可得|C 2C |＝r 2＋r .②由①＋②可得|CC 1|＋|CC 2|＝r 1＋r 2＝13＋3＝16，即点C 到两定点C 1与C 2的距离之和为16，且|C 1C 2|＝8，可知动点C 的轨迹是以C 1与C 2为焦点的椭圆．由题意，得c ＝4，a ＝8，∴b 2＝a 2－c 2＝64－16＝48.即动圆圆心的轨迹为焦点在x 轴上的椭圆，其方程为x 264＋y 248＝1. 7．已知A 为定点，线段BC 在定直线l 上滑动，|BC |＝4，点A 到直线l 的距离为3，求△ABC 外心的轨迹方程．解析：建立平面直角坐标系，使x 轴与l 重合，点A 在y 轴上(如图所示)，则A (0,3)． 设△ABC 的外心为P (x ，y )，因为点P 在线段BC 的垂直平分线上，所以不妨令B (x ＋2,0)，C (x －2,0)．连接AP ，BP .因为点P 在线段AB 的垂直平分线上，所以|P A |＝|PB |，即x 2＋(y －3)2＝22＋y 2，化简得x 2－6y ＋5＝0.于是△ABC 外心的轨迹方程为x 2－6y ＋5＝0.8．A 为定点，线段BC 在定直线l 上滑动，已知|BC |＝4，A 到l 的距离为3，求△ABC 的外心的轨迹方程．解析：解法一(直接法) 建立平面直角坐标系，使x 轴与l 重合，A 点在y 轴上(如图所示)，则A (0，3)．设外心P 的坐标为(x ，y )，∵P 在BC 的垂直平分线上，∴B (x ＋2,0)，C (x －2,0)．∵P 也在AB 的垂直平分线上，∴|P A |＝|PB |，即x 2＋(y －3)2＝22＋y 2，化简，得x 2－6y ＋5＝0.即△ABC 的外心的轨迹方程为x 2－6y ＋5＝0.解法二(参数法) 建立坐标系(同解法一)，得A (0,3)．设BC 边的垂直平分线的方程为x ＝t ，①则点B 的坐标为(t ＋2,0)，于是AB 的中点是⎝⎛⎭⎫t ＋22，32，从而AB 的垂直平分线方程为y －32＝t ＋23⎝⎛⎭⎫x －t ＋22.② 由①②式消去t ，得x 2－6y ＋5＝0，即为所求．转化思想在求解有关轨迹方程问题中的应用[典例] 已知点Q (2,0)和圆x 2＋y 2＝1，动点M 到圆O 的切线长等于圆O 的半径与|MQ |的和，求动点M 的轨迹方程．[解析] 如图，过M 作圆的切线MN ，N 为切点，设M (x ，y )．由题意知|MN |＝|MQ |＋|ON |，由于|MN |＝|OM |2－|ON |2＝x 2＋y 2－1， |MQ |＝ (x －2)2＋y 2，|ON |＝1， 所以x 2＋y 2－1＝(x －2)2＋y 2＋1两边平方整理得2x －3＝(x －2)2＋y 2，再两边平方整理得3x 2－y 2－8x ＋5＝0.即：9⎝⎛⎭⎫x －432－3y 2＝1.因为2x －3＝(x －2)2＋y 2中2x －3≥0，所以x ≥32.所以动点M 的轨迹方程为9⎝⎛⎭⎫x －432－3y 2＝1⎝⎛⎭⎫x ≥32. [感悟提高] (1)对方程的化简及自变量的取值是重难点．(2)求曲线方程要注意两个等价：一是所列方程与题目要求是否等价；二是对方程化简变形是否等价．莘莘学子，最重要的就是不要去看远方模糊的，而要做手边清楚的事。
