距离的计算课件 (北师大版选修2-1)

思考交流
1.如何用向量法求与平面平行的直线到平面的距离？
• 2将.如问何求题平转行化平面为间求的点距离到？平面的距离。因为当直
线与平面平行，两个平面平行时，直线上的点或 其中一个平面上的点到另一个平面的距离均相等，
所以只要在直线（或平面）上取一个定点， 则该点到平面的距离即为所求距离。
例2.已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 a,求直线 BD 到平面
设n＝(x，y，z)是平面AMN的法向量，
从而
n n
MN 2x 2y 0， 解得
AM 2x 4z 0，
x 2z， y 2z.
取z＝1，得n＝(2，－2，1)，由于 AB＝(0，4，0)，
所以
AB在n上的投影为
n
AB＝ n
8 ＝－8 . 4 41 3
学习目标
【学习目标】
1.理解点到平面的距离的概念,会用向量法求 点到平面的距离.
2.了解直线到平面的距离,平面到平面的距离 的概念,并会用向量法将这两种距离转化为点到平 面的距离计算.
温故夯基 问题1：如何求平面的法向量？
（1）若在空间图形中容易找出一个平面的垂线，则该垂线的方向向量即为该平面的法向量。 （2）若平面的垂线不易找出，则采用待定系数法求平面的法向量。步骤如下： 第一步：建立空间直角坐标系，设法向量 n=(x,y,z)； 第二步：找出平面内的两个不共线的向量 a 和 b； 第三步：利用 n.a=0,n.b=0 建立方程组； 第四步：解方程组，由于方程组的解不确定，所以取其中的一组解，就求出了此平面的一个 法向量。|�Βιβλιοθήκη ���� |Aβn
A'
P
其中 n0 是平面 的单位法向量

距离的计算
知识复习
1、直线的方向向量 2、平面的法向量 3、向量的投影
一、点到平面的距离
问题：已知点 M (1,1,2) ，平面 过 原点 O ，且垂直于向量 n (1,2,2) . . 求点 M 到平面 的距离 d .
一、点到平面的距离
M
n
O
N
例 1 . 如 图 ， 空 间 直 角 坐 标 系 内 有 单 位 正 方 体
二、点到直线的距离
A
l O
d
s
D
例 2.如 图 ， 空 间 直 角 坐 标 系 内 有 长 方 体 ABCD
A1B1C1D 1， AA1AB2,AD1,点 F,G分 别 是 AB,
CC1的 中 点 ， 求 点 D 1到 直 线 zGF的 距 离 .
D1
C1
A1
B1
G
D
A
x
F
C y
B
思考
1、如何求与平面平行的直线到 B C D A 1 B 1 C 1 D 1 ， 求 点 A z到 平 面 B D C 1 的 距 离 .
D1
C1
A1
B1
G
D
A
x
F
C y
B
二、点到直线的距离
问题：已知点 A(1, 1,2) ，直线 l 过 原点 O ，且平行于向量 s (1, 2, 2) 求点 A 到直线 l 的距离 d .
课堂小结
1、求点到平面的距离的步骤 2、求点到直线的距离的步骤

题型一
题型二
题型三
反思计算空间中两点间的距离一般有三种方法: (1)构造三角形,通过解三角形求解; (2)建立适当的空间直角坐标系,求出两点的坐标,利用公式求解; (3)把线段用向量表示,转化为求向量的模,利用|a|2=a· a求解.
题型一
题型二
题型三
【变式训练1】
如图所示,已知线段AB在平面α内,线段AC⊥α,线段BD⊥AB,线段 DD'⊥α于D',如果∠DBD'=30°,AB=a,AC=BD=b,求CD的长. 分析:求CD的长就是求 |������������|,把������������ 用已知的有向线段表示出来再 求.
=|������������|2+|������������ |2+| ������������ |2+2(������������ ·������������ + ������������ ·������������ + ������������ ·������������ ) =b2+a2+b2+2(0+b2cos 60° + 0)=a2+3b2,
2.6.1
点到直线的距离、点到平面的距离
1.理解点到直线的距离、点到平面的距离的概念. 2.掌握点到直线的距离公式、点到平面的距离公式. 3.体会用向量法求点到直线的距离、点到平面的距离的解题思 想.
1.点到直线的距离 (1)因为直线和直线外一点确定一个平面,所以空间点到直线的距 a 2
)
������ D. 2
B.a
C. 2a
答案 :A
2.点到平面的距离 (1)如图所示,设 π 是过点 P 垂直于向量 n 的平面 ,A 是平面 π 外 一定点.作 AA'⊥π,垂足为 A',则点 A 到平面 π 的距离 d 等于线段 AA' 的长度.而向量������������在 n 上的投影的大小| ������������· n0|等于线段 AA'的长度, 所以点 A 到平面 π 的距离 d=| ������������· n0|.

(4)求
BC
在
A1C
上的投影
BC
•
|
A1C A1C
|
4 14
2
(5)求点 B 到直线 A1C 的距离 d
| BC |2 BC • A1C | A1C |
2 35 7
训练 2 长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，已知 AB=4,BC=3,
AA1=2,求直线 CD1 与平面 A1BC1 间的距离
B
x z 0 x y 0 n (1,1,1)
∴ d n • DA 3 |n| 3
知识总结
通过上面的学习，我们我们知道空间中的 距离问题有两大类，六小类
其中，点到直线距离的计算方法不但可 以解决点到直线的距离问题还可以解决两条 平行直线之间的距离
点到平面距离的计算方法不但可以解决 点到平面的距离问题，还可以解决直线与平 面的距离、平面与平面的距离以及异面直线 的距离问题
x
3z 0 n (
3,0,1)
xA
y 0
(2)计算点 B1 到平面 A1BC 上一点 A1 的向量 A1B1 (1,1,0)
(3)
求点 B1 到平面 A1BC 的距离 d
n • A1B1 |n|
3 2
例 1 如图，在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，已知 AB=1，
BC=2，AA1=3，求点 B 到直线 A1C 的距离
E
C1
A(4,0,0) ， M (2,0,4) ， N(4,2,4) ， D(0,0,0)
F B1
∴ AM (2,0,4)， AN (0,2,4) ， AD (4,0,0)
C y 设平面 AMN 的一个法向量 n (x, y, z) ，则