基于阻滞增长模型的三种群竞争模型的同伦分析解法

I G I T C W技术 分析Technology Analysis80DIGITCW2024.04随着信息技术的加速迭代，社交媒体平台开始步入全面勃兴的新阶段。

不同的社交平台之间存在竞争关系，而占用活跃用户数量越多的应用将会获得越多的市场份额，在市场中处于优势地位。

因此分析不同社交媒体之间的竞争关系，以期达到资源的合理利用是相当重要的。

1 预备知识一个经典的描述两个种群互相竞争的L o t k a -Volterra 模型为[1]（1）式中，分别表示种群x 和种群y 数量的净增长率，分别表示种群y 对x 和种群x 对y 的影响因子，分别代表环境资源容许的种群x 和种群y 的最大数x 和y 的种内作用系数。

2 模型建立2.1 单一社交软件情况根据Malthus 模型[2]，假设只考虑单一社交软件，而忽略不同社交软件之间的竞争，在没有限制的情况下，该社交软件的用户数量每年以一定的倍数增长，将此常数表示为r 。

在t 到t +Δt 时间内该社交软件的用户群体数量x =x (t )的增长量为：（2）满足微分方程：（3）在实际情况中，根据Logistic 模型[2]，由于用户规模总是受到政策、用户使用偏好等因素的限制，不可能呈现指数增长趋势，为此引入环境容量，用k 表示，此时，用户数量增长情况模式可修正为：（4）而在一定区域内所能提供的用户数量是有限的，即各个区域的市场大小是有限的，它也会影响这个社交软件用户规模的增长，为此再引入区域最大市场容量N ，得到：（5）式中，随着x 可知环境容量和区域市场对该社交软件用户规模的增长有阻滞效应，且为该模型的平衡点。

2.2 引入竞争社交软件的情况[3]在单一社交软件系统的情况下，再引入同类的竞争性社交软件，这两种社交软件分别表示为x 、y ，对它基于Lotka-Volterra模型的社交平台的流量之争分析凌世祎（东北大学秦皇岛分校数学与统计学院，河北 秦皇岛 066099）摘要：文章以抖音与微信活跃用户数量作为研究对象，在Lotka-Volterra模型的基础上加以改进，建立抖音与微信社交软件平台之间的用户数竞争模型并进行全面的动力学行为分析，得出抖音和微信市场规模达到正平衡点可实现资源的合理利用，实现最大经济效益。

对种间竞争中的Lotka-Volterra 模型的理解竞争，这一自然法则，不论是在人类社会，还是在自然世界，都是普遍存在的。

竞争也是生物学家一直研究的一个课题，从达尔文在《物种起源》中提到“物竞天择，适者生存”的概括性阐述，再到lotka-volterra 模型的提出乃至后来的发展，人类对竞争的了解也越来越微观、理性。

在这篇文章中，主要是阐述本人对种间竞争中的Lotka-Volterra 模型的理解。

20世纪40年代，美国学者Lotka （1925）和意大利学者Volterra （1926）分别独立的提出了描述种间竞争的模型，奠定了种间竞争关系的理论基础，这个模型对现代生态学理论的发展有着重大影响。

一、Lotka-Volterra 模型假定：两个物种，单独生长时其增长形式符合Logistic 模型，方程为 物 种1： dN1 / d t = r 1 N1 (1- N1/K1 )物 种2： dN2 / d t = r 2 N2 (1- N2/K2 )(1-N/K)项可理解为尚未利用的“剩余空间”项，而N/K 是“已利用空间项”。

即：当两物种竞争或共同利用空间时，已利用空间项除N 1外还要加上N 2，即：式中：α是种2的一个个体对种1的阻碍系数（竞争系数） β是种1的一个个体对种2的阻碍系数。

α和β是物种2和物种1的竞争系数，其和环境容纳量K1和K2决定两个种的竞争结果或者说:α表示每个N2个体所占的空间相当于α个N1个体;β表示每个N1个体所占的空间相当于β个N2个体。

若α=1，每个N2个体对N1种群产生的竞争抑制效应，与每个N1对自身种群所产生的相等；若α＞1，物种2的竞争抑制效应比物种1（对N1种群）的大；若α＜1，物种2的竞争抑制效应比物种1（对N1种群）的小；β同理。

（a ）图表示物种1的平衡条件① 全部空间为N1所占，即N1=K1，N2=0；② 全部空间为N2所占，即N1=0，N2=K1／α；两端点连线代表所有的平衡条件。

lotka-volterra模型的假设
Lotka-Volterra模型，又称为Lotka-Volterra方程或LV方程，是一组描述两个或两个以上相互竞争或相互捕食的种群动态的微分方程。

这个模型由意大利科学家Vito Volterra和Albert Lotka在20世纪初独立提出，用于分析生态学中的种群增长问题。

Lotka-Volterra模型基于以下几个基本假设：
1. 种群恒定：假设每个种群的个体数量在短时间内保持恒定，即出生率和死亡率在短期内平衡。

2. 密度无关：假设种群的增长率与种群密度无关，即种群的增长不受密度效应的影响。

3. 资源充足：假设生态系统中的资源（如食物、空间等）是充足的，不会成为限制种群增长的因素。

4. 没有迁移：假设种群之间没有个体的迁移，每个种群都是封闭的。

5. 没有疾病和天敌：假设没有疾病和天敌的影响，即种群的生存率是100%。

6. 指数增长：假设种群的增长遵循指数增长规律，即每代的增长率是恒定的。

7. 二维生态位：假设种群之间存在生态位分化，每个种群占据一个生态位，相互之间不存在竞争。

Lotka-Volterra模型简化了实际的生态过程，因此在应用时需要谨慎，并考虑到模型假设与实际情况之间的差异。

在现实世界的生态系统中，这些假设往往并不完全成立，因此Lotka-Volterra模型通常需要通过实验数据进行校正，或者与其他生态模型结合使用，以更准确地描述种群动态。

几类生物竞争模型的解全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：生物竞争是生态系统中普遍存在的现象，不同生物种群之间为了获取有限的资源或生存空间而展开斗争的过程。

生物竞争模型是对这种竞争过程进行数学建模和研究的方法，通过模型可以更好地理解和预测种群之间的相互作用及演化规律。

在生物学研究中，主要有几类生物竞争模型，包括物种竞争模型、资源竞争模型、捕食者-猎物模型等。

一、物种竞争模型：物种竞争模型用于描述不同种群之间的竞争关系，其中最著名的模型之一是Lotka-Volterra竞争模型。

该模型是由意大利数学家阿尔弗雷多·洛特卡和美国生物学家维托尔·沃尔泰拉于20世纪初提出的，它基于如下假设：1）只有两个物种竞争；2）竞争对个体出生和死亡的速率有影响。

Lotka-Volterra竞争模型可以用以下微分方程表示：\begin{cases}\frac{dx}{dt} = ax - bx^2 - cxy \\\frac{dy}{dt} = -fy + exy\end{cases}x和y分别表示两个竞争物种的种群数量，a、b、c、d为相关参数。

该模型可以描述两个种群在共享资源时的竞争关系，通过数值计算可以得到不同种群数量随时间的演化规律。

资源竞争模型用于研究不同种群对有限资源的竞争过程，其中最典型的模型是Rosenzweig-MacArthur资源竞争模型。

该模型基于几个基本假设：1）资源是有限的；2）种群的增长受到资源的限制；3）不同种群对资源的利用有差异。

Rosenzweig-MacArthur资源竞争模型可以用以下微分方程表示：三、捕食者-猎物模型：捕食者-猎物模型用于描述捕食者和猎物之间的相互作用，其中最著名的模型是Lotka-Volterra捕食者-猎物模型。

该模型基于捕食者和猎物种群数量之间的相互依赖关系，可以用以下微分方程表示：x表示猎物种群数量，y表示捕食者种群数量，a、b、c、d为相关参数。