种群竞争的数学模型及应用

关于种间竞争及其数学模型发展状况的研究综述摘要：种间竞争是不同种群之间为争夺生活空间、资源、食物等而产生的一种直接或间接抑制对方的现象。

两个种群间的竞争关系可以用一定的数学模型来进行描述。

自1925年Lotka 和1926年V olterra提出Lotka-Volterra竞争方程以来，种间竞争的数学模型已得到不断的发展和完善，本文将根据各种文献总结其发展状况。

在一个自然环境中有两个种群生存时，它们之间的关系有相互竞争、相互依存、弱肉强食。

其中不同种群之间为争夺生活空间、资源、食物等而产生的一种直接或间接抑制对方的现象称为种间竞争。

在科学技术不断发展的今日，将种间竞争的发展趋势归纳整理成一定的数学模型，并利用数学模型来研究其进一步的发展趋势是一种必然现象。

1925年Lotka和1926年V olterra创立了经典的Lotka-V olterra竞争方程，其简单的推导是这样的：假定在相同的环境条件下的单种群符合Logistic方程：(1)其中，t为时间；X为种群大小；过去一般认为是种群的内禀增长率，但是近年来研究表明，它并不是内禀增长率，而是与环境资源及理想化条件均有关的比增长速度参数[1]；为种群的最大值，即环境容纳量。

当这两个种群在这种相同的资源有限的条件下，具有相似的营养要求或食性，则二者必然发生竞争，满足以下竞争方程：（2）其中，t、、、为单种群增长Logistic方程中相应的参数，为种群j对种群i的竞争数，表示单位数量j种群相当于多少i种群，i，j=1,2，i≠j，当=1，即两种群相互的竞争系数互为倒数，表示两个种群的营养要求或食性完全相同。

方程（2）即为著名的Lotka-V olterra竞争方程。

但是经典Lotka-V olterra竞争方程的推导过程是建立在Logistic方程上的，缺乏其他的生物、物理或化学的原理和理论。

同时，Logistic方程的建立同样缺乏可靠的理论基础。

所以其准确性存在严重的问题。

种间竞争模型的构建刘乐乐201100140084（山东大学生命科学学院，济南，250100）【摘要】本文建立并分析了生活在同一环境中的两个生物种群受到有限资源的限制而竞争的数学模型。

【关键词】生物种群；竞争；模型1 简介1.1 高斯假说（竞争排斥理论）生态学是研究生物与环境之间关系的科学。

生物与生物之间的关系，包括竞争、捕食、寄生、共生、中性、互惠、偏利、偏害。

在一个稳定环境中，两个以上受资源限制的、但具有相同资源利用方式的种，不能长期共存在一起，即完全的竞争者不能共存。

当两物种利用同样的有限资源时，种间竞争就会发生。

⑴在一个稳定的环境内，两个以上受资源限制的、但具有相同资源利用方式的物种，不能长期共存在一起；⑵要求相同资源的两个物种不共存于一个空间；⑶长期共存在同一地区的两个物种，由于剧烈竞争，他们必然会出现栖息地、食物、活动时间或其他特征上的生态位变化。

1.2 STELLA模拟软件简介STELLA( Strongly-TypEd, Lisp-likeLanguage)是最早用于动态模拟的软件之一,由美国IseeSystems Inc. 创立, 因其图形界面十分友好,在国外已成为一个构造系统模型和模拟复杂系统动态相互关系的工具而被广泛应用于科研、教学、管理等多学科领域,发挥了巨大作用。

我们以种群生态模型为基础, 介绍STELLA在生态系统分析与模拟中的应用, 作为深入研究和挖掘这一模拟软件在描述复杂的生态系统过程、动态变化及调节机制的基础。

STELLA是个面向对象的程序语言,它提供了图形界面和4个关键图标以便于构建系统动力学模型, 即:库（stock）、流（flow）、转换器（converter）和连接器辅助参数来表示。

这些特征的图标出现在建模区, 由使用者建立它们之间的相互联系,这些联系可以用数学、逻辑或图形函数来表达。

STELLA软件可将模型运行后的结果用图或表的形式在界面上非常直观地显示出来,并可根据使用者的需要随意产生或消除系统内各要素的时间变化或相关关系图、表。

几类生物竞争模型的解全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：生物竞争是生态系统中普遍存在的现象，不同生物种群之间为了获取有限的资源或生存空间而展开斗争的过程。

生物竞争模型是对这种竞争过程进行数学建模和研究的方法，通过模型可以更好地理解和预测种群之间的相互作用及演化规律。

在生物学研究中，主要有几类生物竞争模型，包括物种竞争模型、资源竞争模型、捕食者-猎物模型等。

一、物种竞争模型：物种竞争模型用于描述不同种群之间的竞争关系，其中最著名的模型之一是Lotka-Volterra竞争模型。

该模型是由意大利数学家阿尔弗雷多·洛特卡和美国生物学家维托尔·沃尔泰拉于20世纪初提出的，它基于如下假设：1）只有两个物种竞争；2）竞争对个体出生和死亡的速率有影响。

Lotka-Volterra竞争模型可以用以下微分方程表示：\begin{cases}\frac{dx}{dt} = ax - bx^2 - cxy \\\frac{dy}{dt} = -fy + exy\end{cases}x和y分别表示两个竞争物种的种群数量，a、b、c、d为相关参数。

该模型可以描述两个种群在共享资源时的竞争关系，通过数值计算可以得到不同种群数量随时间的演化规律。

资源竞争模型用于研究不同种群对有限资源的竞争过程，其中最典型的模型是Rosenzweig-MacArthur资源竞争模型。

该模型基于几个基本假设：1）资源是有限的；2）种群的增长受到资源的限制；3）不同种群对资源的利用有差异。

Rosenzweig-MacArthur资源竞争模型可以用以下微分方程表示：三、捕食者-猎物模型：捕食者-猎物模型用于描述捕食者和猎物之间的相互作用，其中最著名的模型是Lotka-Volterra捕食者-猎物模型。

该模型基于捕食者和猎物种群数量之间的相互依赖关系，可以用以下微分方程表示：x表示猎物种群数量，y表示捕食者种群数量，a、b、c、d为相关参数。

种群增长和竞争的数学模型摘 要：本文首先简要介绍Malthus 和Logistic 两种单种群增长模型，然后详细介绍双种群竞争的Volterra 模型，最后介绍了多种群的Gause-Lotka-Volterra 和三种群的RPS 博弈模型，对其做了比较和分析，得出了一些有益的启示。

为了保持自然资料的合理开发与利用，人类必须保持并控制生态平衡，甚至必须控制人类自身的增长。

本文首先简要介绍Malthus 和Logistic 两种单种群增长模型，然后详细介绍双种群竞争的V olterra 模型，最后介绍了三种群的Gause-Lotka-V olterra 和RPS 博弈模型。

一般生态系统的分析可以通过一些简单模型的复合来研究，根据生态系统的特征建立相应的模型。

种群的数量本应取离散值，但由于种群数量一般较大，为建立微分方程模型，可将种群数量看作连续变量，甚至允许它为可微变量，由此引起的误差将是十分微小的。

1.1 马尔萨斯（Malthus ）模型马尔萨斯在分析人口出生与死亡情况的资料后发现，人口净增长率r 基本上是一常数，（r =b -d , b 为出生率，d 为死亡率），既： 1dN r N dt = 或 dNrN dt= (1)其解为0()0()r t t N t N e -=(2)其中N 0=N (t 0)为初始时刻t 0时的种群数。

马尔萨斯模型的一个显著特点：种群数量翻一番所需的时间是固定的。

令种群数量翻一番所需的时间为T ，则有： 002rT N N e =(3)ln 2T r=(4)人口统计数据与Malthus 模型计算数据对比：表1 世界人口数量统计数据表2 中国人口数量统计数据比较历年的人口统计资料，可发现人口增长的实际情况与马尔萨斯模型的预报结果基本相符，例如，1961年世界人口数为30.6亿（即3.06×1010），人口增长率约为2%，人口数大约每35年增加一倍。

查1700年至1961年共260年的人口实际数量，发现两者几乎完全一致，且按马氏模型计算，人口数量每34.6年增加一倍，两者也几乎相同。

生物物种间竞争关系和共存机制的数学模型建立生命是自然界中最为神奇的现象之一，其中生物竞争和共存关系是生态系统中最基础的核心问题之一。

在生态系统中，数量庞大的生物群落栖息在同样庞大的生境中，不同生物间的竞争和共存决定了自然界的生态平衡。

为了更好地理解生物物种之间的竞争和共存机制，数学建模成为了解决问题的有效途径之一。

一、生态学中的竞争和共存问题竞争和共存是生态学中经常讨论的概念，它们是自然界中量与质、生命与环境之间相互制约的基本关系。

竞争包括了两个或两个以上的生物个体在争夺有限资源时所发生的相互抵消和影响。

种间竞争是生态系统中一种自然现象，是因为多个生物之间对同一资源的有限性需求，导致它们之间进行了互相抢夺的行为。

竞争可以是直接或间接的，它们通常会导致人口数量减少，减少生存率，进而可能会导致灭种。

共存是种群间相处的一种形式，它指的是不同种间占有资源的方式和繁殖策略，它使得两个或两个以上的个体能够在生态系统中共同生存。

竞争和共存问题是生态学研究的重点之一。

生物如何分配资源、如何寻找到所需资源、如何优化资源利用成为一个值得深度研究和探索的问题。

此时引入数学模型，可以更加准确地刻画竞争和共存现象，帮助我们进一步深入理解它们之间的复杂关系。

二、基于拉夫指数的竞争关系建模拉夫指数（LV）是描述生态学竞争和共存的重要概念之一。

拉夫指数是指在只有两种相互竞争的物种共同占有有限资源的情况下，一种生物个体最多占有多少资源，而仍能使另一生物个体后代的数量为0。

对于两个物种 A 和 B，设两个物种在占有该资源的数量分别为 xA 和 xB 。

具体而言，两个物种之间的竞争关系满足x * (r - α * x - β * y)的关系式，其中，xA 和xB 都是正实数，r 代表资源总量，α 和β 是系数，它们反映出了这种物种对应单位资源的占用能力。

结合实际情况，我们可以设置不同的系数，来对不同的物种进行建模。

基于拉夫指数建模可以帮助我们评估当两个或多个物种竞争时，其竞争关系的数量、制约，从而帮助我们更好地解释竞争与共存的行为模式。

种群生态学的数学建模与研究
本文以《种群生态学的数学建模与研究》为标题，旨在讨论种群生态学中应用数学建模和研究的应用价值。

种群生态学是一门涉及生物学和生态学的综合性分支学科，是研究种类的数量、多样性和分布的一门学科。

随着生态系统的复杂性和不断变化，种群生态学的研究也面临着越来越多的挑战。

而数学建模和研究的应用则可以更好地把握某一种或多种物种的变化趋势，更深入地分析种类的繁殖方式和发展趋势，从而更好地控制以及保护物种种群。

首先，我们必须明白数学建模和研究在种群生态学中起到的作用。

首先，数学建模和研究可以更加准确地把握物种变化趋势，更好地开展种群动态、物种数量变化、繁殖方式和生活空间的研究，更好地控制物种的变化趋势。

其次，数学建模和研究可以更好地分析不同的生态系统的物种变化趋势，更准确地预测不同物种在未来的发展趋势，从而设计出更好的保护策略。

其次，必须明白种群生态学的数学建模和研究在现实环境中的应用价值。

在实际应用中，数学建模和研究可以帮助我们更好地评估和控制物种变化，及时发现物种数量及其更替、物种繁殖方式及其演变和流行病的发生及变化趋势，从而有针对性地保护某一物种或物种种群。

此外，数学建模和研究还可以用于研究不同地域生态系统之间的差异性，以了解和计算跨境区域物种的分布和数量以及相应的生物多样性。

综上所述，种群生态学的数学建模和研究在现实环境中具有十分
重要的作用。

它不仅可以帮助我们更加准确地把握物种变化趋势，而且还可以帮助我们更好地认识和把握不同生态系统的物种数量及其变化趋势，并利用这些信息来设计有效的保护策略，以减少和控制物种的损失，实现环境安全和生物多样性的建设。

种内竞争与种间竞争数学模型实例分析1.1问题提出问题一：甲和乙两类群均能独立生存，比方将鲤鱼群放生，其在水中和卿鱼间的相互作用。

问题二：甲可以独自存活，但乙却只能依存甲而生活，这两者在一起能相互促进，令甲乙都得到存活，比方，植物能独自存活，但以花粉为食的昆虫却放须依靠其生存，而昆虫同时会帮助植物授粉推动其繁殖。

问题三：甲乙双方都无法独立生存，只能依靠彼此获得共生。

1.2问题分析（1）在某自然环境下只存在单类生物群体（即生态学中的种群）生存的情况下，人们往往通过Logistic 模型描述该种群数量产生的演变，公式为：)1()(N x rx t x -=')(t x 为种群为时刻t 的数量，r 代表固有增长率，N 代表环境资源下所能接受的最大种群量。

其中)1(N x -反应了一些种群对有限资源的消耗造成的影响其自身增长的作用，N x 代表着相对于N 来讲，单位数量中某个种群所消耗的食量（假设总量=1）（2）若同一自然环境内存在2个或多个种群，即其会产生竞争或依存关系，又或是供应链的关系，以下我们会由稳定转态角度展开对其依存关系的探讨。

1.3模型假设甲乙两种群各种独立于某个环境生存时，其数量产生的演变将遵守Logisti 规律。

设)(),(21t x t x 为两个种群数量，21,r r 为其固有增长率，21,N N 是它们的最大容量。

于是对于甲种群有：)1()(11111N x x r t x -=' 同理对于乙种群有 )1()(22221N x x r t x -=' 1.4模型建立与稳定性分析对于问题一：1、建立模型：)1()(22111111N x N x x r t x σ+-=' ④ )1()(11222222N x N x x r t x σ+-=' ⑤ 1σ的含义:单位数量乙（相对于2N ）提供给甲的食量为单位数量(相对于1N )消耗食量的1σ2σ的含义:单位数量甲（相对于1N ）提供给乙的食量为单位数量乙(相对于2N )消耗食量的1σ2、稳定性分析：3、数学建模过程与结果：根据数学实验以及数学建模的相关知识，利用数学软件Matlab 分别求解微分方程的图形和相轨线图形：Matlab 模型：function xdot=sheir(t ，x)n1=16；n2=1；r1=25；r2=18；q1=05；q2=16；xdot=[r1*x(1)*(1-(x(1)/n1)+q1*(x(2)/n2))；r2*x(2)*(1-(x(2)/n2)+q2*(x(1)/n1))]；>> ts=0:01:15；>> x0=[01，01]；>> [t，x]=ode45('sheir'，ts，x0)；[t，x]，>> plot(t，x)，grid，gtext('x(t)')，gtext('y(t)')，>> plot(t，x)，grid，gtext('x1(t)')，gtext('x2(t)')，>> ts=0:01:15；>> x0=[01，01]；>> [t，x]=ode23('sheir'，ts，x0)；[t，x]，>> plot(t，x)，grid，gtext('x1(t)')，gtext('x2(t)')，相轨线：4、由上图可知：甲乙可以彼此立生存。

种群增长模型及其适用范围
种群增长模型是用来描述种群数量随时间变化的数学模型。

常见的种群增长模型包括指数增长模型、逻辑斯蒂增长模型和修正的逻辑斯蒂增长模型。

1. 指数增长模型：假设在理想条件下，种群数量以固定的增长率（r）呈指数增长。

该模型适用于种群初始数量较小、资源无限、无竞争和捕食者等限制因素的情况。

但在实际情况下，由于资源有限和环境容纳量的限制，指数增长模型通常不能长期适用。

2. 逻辑斯蒂增长模型：考虑了环境容纳量（K）对种群增长的限制。

该模型假设种群增长率随种群数量的增加而逐渐降低，当种群数量达到环境容纳量时，增长率降为零。

逻辑斯蒂增长模型适用于资源有限的情况，能够更好地描述种群数量的实际增长情况。

3. 修正的逻辑斯蒂增长模型：在逻辑斯蒂增长模型的基础上，考虑了种群的密度依存性和环境变化等因素。

该模型可以更好地适应实际情况下种群增长的复杂性。

这些模型的适用范围取决于具体情况，例如种群的特征、环境条件、资源限制等。

在实际应用中，需要根据具体情况选择合适的模型，并结合实际数据进行验证和调整。

物种竞争模型-概述说明以及解释1.引言1.1 概述在物种竞争模型研究领域，物种之间的相互作用和竞争关系一直是一个重要的研究方向。

物种竞争模型可以帮助我们理解生态系统中的物种相互作用和资源分配，并且对于预测和管理生态系统的稳定性和多样性也具有重要意义。

物种竞争是指同一生态位上的不同物种为获得有限资源而相互斗争的过程。

竞争可以是直接的，例如争夺食物和栖息地，也可以是间接的，例如通过影响环境条件或其他生物的生存和繁殖。

在一个生态系统中，物种之间的竞争关系既可以是对抗性的，也可以是互惠互利的。

物种竞争模型的研究，涉及到许多重要的概念和理论，例如生态位、资源分配、种群增长和演替等。

通过建立数学模型来描述物种竞争的过程，我们可以定量地分析不同物种之间的竞争关系，并研究这些关系对生态系统动态和稳定性的影响。

物种竞争模型在生态学、进化生物学和环境保护等领域中都有广泛的应用。

它们可以用于解释物种多样性的形成和维持机制，预测物种的分布和演变，评估物种对环境变化的响应能力，以及制定生物多样性保护和生态系统恢复的策略。

本篇文章将详细介绍物种竞争模型的基本概念和理论，并探讨物种竞争的影响因素。

同时，我们还将总结现有的竞争模型应用案例，并展望未来物种竞争模型研究的发展方向。

在接下来的章节中，我们将逐步展开讨论，希望通过本文的阐述，能够增进对物种竞争模型的理解，促进相关领域的研究和应用的发展。

1.2 文章结构:本文将按照以下结构进行叙述和讨论。

第一部分是引言，包括对物种竞争模型的概述、文章结构和目的的介绍。

通过引言，读者可以了解本文的主要内容和研究目的，为后续的正文部分做好铺垫。

第二部分是正文，主要分为两个小节。

首先，将介绍物种竞争模型的基本概念和背景知识，包括不同竞争模型的定义、应用范围和研究方法等。

在这一节中，将重点讨论各种竞争模型的特点和适用性，以及它们在实际生态系统中的应用情况。

接下来，将介绍物种竞争的影响因素。

物种之间的竞争关系受到多种因素的影响，包括资源可利用性、环境条件、种群密度和物种间的相互作用等。