种群竞争模型

种群竞争模型一.问题的提出Causs 根据实验分析，得出结论“吃同种食物的两种不同生物是不能长期共存的。

”你如何理解这句话这里不妨将我们讨论的对象想象为生活在同一草原上的羚羊和老鼠。

二.模型假设1.假设种群密度相当。

2.假设种群个体都是健康的。

3.假设没有受自然灾害的影响，只是靠搞自身的竞争力三.符号说明以)(1t x 、)(2t x 表示处于相互竞争关系中甲、乙二种群在时刻t 的数量，1． 资源有限，设其总量为1，)2,1(=i N i 分别表示甲、乙二种群在单种群情况下自然资源所能承受的最大种群数量；2． 种群数量的增长率)2,1)((=i t xi 与该种群数量)2,1)((=i t x i 成正比，同时也与有闲资源)2,1)((=i t s i 成正比；3． 各种群在对所占据资源的利用上是不充分的，)2,1(=i i σ分别表示甲、乙二种群对对方已占用资源的相对挑剔程度，通俗的讲，是在对方用过的盘子里捡“剩骨头”。

比方，若)1,0(1∈σ时，表示在乙种群看来，甲种群是“奢侈的”，它可以在甲种群用过的盘子里捡到“剩骨头”，若11>σ时，说明乙种群在食物选择上是“过分”挑剔的，或者可理解为，对于乙种群，甲种群在资源利用上对资源有破坏性；换一个说法，)2,1(=i i σ反映了甲、乙二种群适应能力，1σ越小、2σ越大，则甲种群的相对适应能力越强；4． )2,1(=i r i 分别表示甲、乙二种群的固有增长率。

四.模型建立根据模型假设，可得如下数学模型：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-⋅-=⋅--=⋅⋅=⋅⋅=22112222111122221111//1//1N x N x s N x N x s s x r x s x r x σσ经化简，得：⎩⎨⎧-⋅-⋅⋅=⋅--⋅⋅=)//1()//1(2211222222111111N x N x x r x N x N x x r x σσ五.模型求解与分析模型方程的解没有解析表达式，我们的兴趣和目的是：当t 充分大时，)(1t x 、)(2t x 的变化趋势怎样？利用平衡点的稳定性，对两种群的变化趋势可作出判断。

用离散型种群竞争模型分析传染病的发展【摘要】本文利用离散型种群竞争模型分析传染病的发展。

在分析了研究背景、研究目的和研究意义。

正文部分介绍了传染病传播模型分析和离散型种群竞争模型，并探讨了两者结合应用于传染病发展分析的可能性。

探讨了种群竞争模型对传染病控制的启示，以及在传染病研究中局限性。

结论部分总结了研究成果，展望了未来研究方向，并提出了对传染病控制的建议。

本研究为传染病控制提供了新的模型和分析方法，有助于更好地理解传染病的发展规律和控制策略。

【关键词】传染病、离散型种群竞争模型、传播、控制、分析、发展、启示、局限性、研究总结、未来研究方向、建议1. 引言1.1 研究背景传染病一直是人类面临的重要公共卫生问题，其传播速度和规模往往难以预测和控制。

随着全球化的快速发展和人口流动的增加，传染病的传播范围越来越广，对于防控传染病的重要性也变得日益突出。

传染病的传播涉及到复杂的生态学和人群行为等因素，传统的数学模型往往难以全面描述传染病的传播规律。

离散型种群竞争模型是一种可以较好地描述种群竞争关系和生态系统变化的数学模型。

通过将种群个体划分为离散的单位，可以更好地理解个体之间的相互作用和竞争关系，从而揭示种群演化的规律。

将离散型种群竞争模型应用于传染病的研究中，可以更好地分析传染病在不同种群之间的传播方式和规律，为传染病的控制提供新的思路和方法。

本研究旨在利用离散型种群竞争模型分析传染病的发展，探讨种群竞争模型对传染病控制的启示，同时也对离散型种群竞争模型在传染病研究中的局限性进行探讨，并提出相应的建议和展望未来研究方向。

希望通过本研究可以更好地理解传染病传播的规律，为传染病防控提供科学依据和参考。

1.2 研究目的研究目的是通过离散型种群竞争模型来深入分析传染病的发展机理，探讨不同种群之间的竞争对传播过程的影响，从而为传染病的预防和控制提供科学依据。

通过模型分析，我们旨在揭示传染病在不同种群之间传播的特点和规律，探讨种群竞争对传染病传播的影响机制，为制定有效的防控策略提供理论支持。

实例动物种群的相互竞争与相互依存的模型实例2 动物种群的相互竞争与相互依存的模型在生物的种群关系中,一种生物以另一种生物为食的现象,称为捕食.一般说来,由于捕食关系,当捕食动物数量增长时,被捕食动物数量就逐渐下降,捕食动物由于食物来源短缺,数量也随之下降,而被捕食动物数量却随之上升.这样周而复始,捕食动物与被捕食动物的数量随时间变化形成周期性的震荡.田鼠及其天敌的田间种群消长动态规律也是如此.实验调查数据表明:无论是田鼠还是其天敌的数量都呈周期性的变化,天鼠与天敌的作用系统随时间序列推移,田鼠密度逐渐增加,其天敌随之增加,但时间上落后一步.由于天敌密度增加,则田鼠密度降低,而田鼠密度的降低,则其天敌密度亦减少,如此往复循环,从而形成一定的周期.试用数学模型来概括这一现象,并总结出其数量变化的近似公式.一问题分析及模型的建立设x(t)和y(t)分别表示t时刻田鼠与其天敌的数量,如果单独生活,田鼠的增长速度正比于当时的数量,即dx=λx dtdy=-μy dt而田鼠的天敌由于没有被捕食对象,其数量减少的速率正比于当时的数量,即现在田鼠与其天敌生活一起,田鼠一部分遭到其天敌的消灭,于是以一定的速率α减少,减少的数量正比于天敌的数量,因此有dx=(λ-αy)x dt类似地,田鼠的天敌有了食物,数量减少的速率μ减少β,减少的量正比于田鼠的数量,因此有dy=-(μ-βx)y dt上述公式,最后两个方程联合起来称为Volterra-Lot方程,这里α,β,λ,μ均为正数,初始条件为x(0)=x0,y(0)=y0现在通过实验调查所得到的数据如表,此数据为每隔两个月田间调查一次,得到的田鼠及其天敌种群数量的记录,数量的单位经过处理.试建立合理的数学模型.表田鼠种群数量记录29.7 33.1 32.5 69.1 134.2 236.0 269.6 162.2 69.6 39.8 34.0 20.7 22.0 37.6 57.6 124.6 225.0 272.7 195.7 94.5 41.9 25.7 10.9 22.5 33.5 48.2 92.5 183.3 268.5 230.6 115.5表田鼠天敌种群数量记录1.6 1.3 1.1 1.2 1.1 1.3 1.82.2 2.4 2.2 1.9 1.5 1.5 1.2 0.91.1 1.3 1.62.3 2.4 2.2 1.7 1.8 1.5 1.2 1.0 0.9 1.1 1.3 1.9 2.3二模型的求解Volterra-Lotok方程的解析解即x,y的显示解难求出,因此公式的参数方程不宜直接用Matlab函数来拟合解,可用如下的方法来求其近似解.Volterra-Lotok可转化为⎧dlnx=(λ-αy)dt ⎧dlny=(-μ+βx)dt⎧在区间[ti-1,ti]上积分,得lnxi-lnxi-1=λ(ti-ti-1)-αS1ilnyi-lnyi-1=-μ(ti-ti-1)+βS2i这里,S1i=⎧titi-1ydt,S2i=⎧xdt, i=1, ,m ti-2ti于是得到方程组⎧A1P1=B1 ⎧ AP=B2⎧22这里⎧t1-t0 t-tA1= 21t-t⎧mm-1-S11⎧⎧t1-t0⎧ -S12⎧ t2-t1A= 2 ⎧ ⎧ t-t-Sim⎧m-1⎧⎧m-S⎧⎧-S22⎧ ⎧⎧-S2m⎧⎧⎧-μ⎧⎧λ⎧ ⎧ P=P1= 2 β⎧⎧ α⎧⎧⎧⎧⎧B1=(lnxyx1y, ,lnm)T B=(ln1, ,lnm)T x0xm-1y0ym-1T-1TA2B2 因此方程组参数的最小二乘解为 T-1T P=(AA)A1B1 P=(A2A2)111由于x(t)和y(t)均为未知,因此S1i,S2用数值积分方法的梯形公式解S1i=⎧⎧titi-1ydt≈ti-ti-1(yi+yi-1) 2 S2=titi-1xdt=ti-ti-1(xi+xi-1) 2这样就可求得参数的近似值.模型参数求解的程序为clear all,clcX=[29.7 33.1 32.5 69.1 134.2 236.0 269.6 162.2 69.6 39.8 ...34.0 20.7 22.0 37.6 57.6 124.6 225.0 272.7 195.7 94.5 41.9 25.7 ... 10.9 22.5 33.5 48.2 92.5 183.3 268.5 230.6 115.5];Y=[1.6 1.3 1.1 1.2 1.1 1.3 1.8 2.2 2.4 2.2 1.9 1.5 1.5 1.2 0.9 ...1.1 1.3 1.62.3 2.4 2.2 1.7 1.8 1.5 1.2 1.0 0.9 1.1 1.3 1.9 2.3];N=[X;Y];T=[0:2:60];for i=1:30A(i,1)=T(i+1)-T(i);A(i,[2 3])=((T(i+1)-T(i))/2)*[-(N(1,i+1)+N(1,i)),-(N(2,i+1)+N(2,i))];B(i,[1 2])=[log(N(1,i+1)/N(1,i)),log(N(2,i+1)/N(2,i))];end;A1=A(:,[1 3]);P1=inv((A1'*A1))*A1'*B(:,1)A2=A(:,[1 2]);P2=inv((A2'*A2))*A2'*B(:,2)上述结果代入Volterra-Lotok方程,用MATLAB函数ode45求方程在时间[0,60]的数值解.作图可看到田鼠及其天敌数量的周期震荡.求方程Volterra-Lotok的数值解的程序为定义函数vlok为[vlok.m]function dydt=vlok(T,Y)dydt=[(0.8765-0.5468*Y(2))*Y(1);(-0.1037+0.0010*Y(1))*Y(2)];clear all, clcX=[29.7 33.1 32.5 69.1 134.2 236.0 269.6 162.2 69.6 39.8 ...34.0 20.7 22.0 37.6 57.6 124.6 225.0 272.7 195.7 94.5 41.9 25.7 ... 10.9 22.5 33.5 48.2 92.5 183.3 268.5 230.6 115.5];Y=[1.6 1.3 1.1 1.2 1.1 1.3 1.8 2.2 2.4 2.2 1.9 1.5 1.5 1.2 0.9 ...1.1 1.3 1.62.3 2.4 2.2 1.7 1.8 1.5 1.2 1.0 0.9 1.1 1.3 1.9 2.3]; N=[X,Y];T=[0:2:60];[t,Y]=ode45(@vlok,[0:0.5:60],[29.7 1.6]);plot(t,Y(:,1)/100,'k');hold on;plot(t,Y(:,2),'-.k');title('田鼠及其天敌的Volterra-Lotok模型拟合曲线');xlabel('时间');ylabel('数量(只/每百)');gtext('田鼠');gtext('天敌');legend('田鼠','天敌');legend('田鼠','天敌');图田鼠及其天敌的模拟曲线实线和虚线分别为田鼠和天敌的实际值,田鼠的数量为y坐标乘以100.。

数学实验设计课题：两种群相互竞争模型如下：()1(11)12()2(12)12x y x t r x s n n x y y t r y s n n ⎧=--⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩其中x （t ），y(t)分别是甲乙两种群`的数量，r1，r2为它们的固有增长率，n1，n2为它们的最大容量。

s1的含义是，对于供养甲的资源而言，单位数量乙（相对n2）的消耗量为单位数量甲（相对n1）消耗的s1倍，对于s2也可做相应的解释。

分析：这里用x (t)表示甲种群在时刻t 的数量，即一定区域内的数量。

y(t)表示乙种群在时刻t 的数量。

假设甲种群独立生活时的增长率（固有增长率）为r1，则x (t)/ x=r1，而种群乙的存在会使甲的增长率减小，且甲种群数量的增长也会抑制本身数量的增长，即存在种间竞争。

这里，我们设增长率的一部分减少量和种群乙的数量与最大容纳量的比值成正比，与s1（s1表示最大容纳量乙消耗的供养甲的资源是最大容纳量甲消耗该资源的s1倍）成正比。

另一部分的减少量和种群甲的数量与甲的最大容纳量的比值成正比。

则我们可以得到如下模型：x(t)=r1*x*(1-x/n1-s1*y/n2)同样，我们可以得到乙种群在t时刻的数量表达式：y(t)=r2*y*(1-s2*x/n1-y/n2)如果给定甲、乙种群的初始值，我们就可以知道甲、乙种群数量随时间的演变过程。

对于上述的模型，我们先设定好参数以后，就可以用所学的龙格库塔方法及MATLAB 软件求其数值解；问题一：设r1=r2=1,n1=n1=100,s1=0.5,s2=2, 初值x0=y0=10，计算x(t),y(t)，画出它们的图形及相图(x,y)，说明时间t充分大以后x(t),y(t)的变化趋势（人民今天看到的已经是自然界长期演变的结局）。

编写如下M文件：function xdot=jingzhong(t,x)r1=1;r2=1;n1=100;n2=100;s1=0.5;s2=2; xdot=diag([r1*(1-x(1)/n1-s1*x(2)/n2),r 2*(1-s2*x(1)/n1-x(2)/n2)])*x;然后运行以下程序：ts=0:0.1:10;x0=[10,10];[t,x]=ode45(@jingzhong,ts,x0);[t,x]plot(t,x),grid,gtext('\fontsize{12}x(t)'),gtext('\fontsize {12}y(t)'),pause,plot(x(:,1),x(:,2)),grid, xlabel('x'),ylabel('y')得到10年间甲、乙两种群数量变化的图象为：123456789100102030405060708090100相图为：1020304050607080901000510152025xy结论：当t 充分大时，x 和y 的数量悬殊变大，最终是一方灭绝，一方繁荣。

7种群的相互竞争模型中数值计算与结果分析在生态系统中，物种之间存在着各种类型的相互关系，其中最为常见的是竞争关系。

而在生态学中，研究相互竞争的模型可以帮助我们理解不同物种之间的相互作用以及生态系统的稳定性。

本文将介绍基于7种群的相互竞争模型，并进行数值计算与结果分析。

1.模型的建立考虑一个由7种群（A、B、C、D、E、F、G）组成的竞争关系网络。

我们可以用以下方程来描述每个种群的变化率：dA/dt = rA(1-(A+αB+βC+γD+εE+ζF+ηG)/K1)（1）dB/dt = rB(1-(B+αA+βC+γD+εE+ζF+ηG)/K2)（2）dC/dt = rC(1-(C+αA+βB+γD+εE+ζF+ηG)/K3)（3）dD/dt = rD(1-(D+αA+βB+γC+εE+ζF+ηG)/K4)（4）dE/dt = rE(1-(E+αA+βB+γC+δD+ζF+ηG)/K5)（5）dF/dt = rF(1-(F+αA+βB+γC+δD+εE+ηG)/K6)（6）dG/dt = rG(1-(G+αA+βB+γC+δD+εE+ζF)/K7)（7）其中，r为生殖率，K为环境容纳量，α、β、γ、δ、ε、ζ和η为不同群体之间的竞争系数。

为了进行模拟计算，我们需要选择合适的参数值和初始条件。

首先，我们将初始种群密度设定为随机数，并将参数值设定为0.1接下来，我们使用数值计算方法（如欧拉法或四阶龙格-库塔法）来求解上述方程。

通过迭代计算，可以得到在不同时间点上每个种群的密度变化。

在得到结果之后，我们可以对数据进行统计和分析，以了解不同种群之间的竞争关系。

常用的分析方法包括计算平均密度、最大和最小密度、竞争强度等。

此外，我们还可以通过绘制种群密度随时间的变化曲线来直观地观察群体之间的竞争过程。

通过曲线的变化趋势，可以分析群体的生长速率、竞争关系的稳定性以及群体的周期性波动等。

最后，我们可以对不同的参数进行敏感性分析，以探讨不同竞争系数和环境容纳量对种群竞争模型的影响。

几类生物竞争模型的解全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：生物竞争是生态系统中普遍存在的现象，不同生物种群之间为了获取有限的资源或生存空间而展开斗争的过程。

生物竞争模型是对这种竞争过程进行数学建模和研究的方法，通过模型可以更好地理解和预测种群之间的相互作用及演化规律。

在生物学研究中，主要有几类生物竞争模型，包括物种竞争模型、资源竞争模型、捕食者-猎物模型等。

一、物种竞争模型：物种竞争模型用于描述不同种群之间的竞争关系，其中最著名的模型之一是Lotka-Volterra竞争模型。

该模型是由意大利数学家阿尔弗雷多·洛特卡和美国生物学家维托尔·沃尔泰拉于20世纪初提出的，它基于如下假设：1）只有两个物种竞争；2）竞争对个体出生和死亡的速率有影响。

Lotka-Volterra竞争模型可以用以下微分方程表示：\begin{cases}\frac{dx}{dt} = ax - bx^2 - cxy \\\frac{dy}{dt} = -fy + exy\end{cases}x和y分别表示两个竞争物种的种群数量，a、b、c、d为相关参数。

该模型可以描述两个种群在共享资源时的竞争关系，通过数值计算可以得到不同种群数量随时间的演化规律。

资源竞争模型用于研究不同种群对有限资源的竞争过程，其中最典型的模型是Rosenzweig-MacArthur资源竞争模型。

该模型基于几个基本假设：1）资源是有限的；2）种群的增长受到资源的限制；3）不同种群对资源的利用有差异。

Rosenzweig-MacArthur资源竞争模型可以用以下微分方程表示：三、捕食者-猎物模型：捕食者-猎物模型用于描述捕食者和猎物之间的相互作用，其中最著名的模型是Lotka-Volterra捕食者-猎物模型。

该模型基于捕食者和猎物种群数量之间的相互依赖关系，可以用以下微分方程表示：x表示猎物种群数量，y表示捕食者种群数量，a、b、c、d为相关参数。

实验10 种群竞争模型上机实验
一、实验目的和要求
1．利用MATLAB软件计算种群竞争模型的数值解；
2．画出模型的相轨线。

二、实验环境
Windows系列操作系统，Matlab软件。

三、实验任务：
1.课本P227 计算与验证. 利用MATLAB软件计算种群竞争模型(2)、(3)的数值解，并画出相轨线图形；
建立M文件：
2. 考虑有两个物种在它们共同生活的环境中为获得食物而相互竞争，假设在缺
少任何物种的情况下，另一种物种的数量都是有界的（Logistic ）。

不考虑竞争，在t 时刻，两种物种的数量为x(t)和y(t)满足微分方程
2
11222dx a x b x dt
dy a y b y dt
⎧=-⎪⎪⎨
⎪=-⎪⎩ 除此之外，假设竞争使对方的数量减少，减少的速度与两个物种数量的乘积
()()x t y t 成比例，假设取负的比例常数12,c c --。

建立模型，计算竞争模型的平
衡点；分析在什么情况下，两种物种能够共存？什么情况下，只有一种物种能够存活？
若参数12121214,16,1/2,1a a b b c c ======，分析四个平衡点的稳定性。

并用Matlab 作出稳定平衡点附近的相轨线分布图。

建立M 文件：
四、程序代码及运行结果（经调试后正确的源程序）
五、实验总结
通过本节课我学会了利用MATLAB软件计算种群竞争模型的数值解，并且画出模型的相轨线。