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数学建模种群相互依存模型

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种群相互依存模型
1) 问题的提出
自然界中处于同一环境下两个种群相互依存而共生的现象是很普遍的。

比方植物与昆虫，一方面植物为昆虫提供了食物资源，另一方面，尽管植物可以独立生存，但昆虫的授粉作用又可以提高植物的增长率。

事实上，人类与人工饲养的牲畜之间也有类似的关系。

我们关心两个相互依存的种群，它们之间有着类似于在农业社会中人和牛的关系。

其发展和演进有着一些什么样的定性性质呢？ 2）模型假设
以)(1t x 、)(2t x 表示处于相互依存关系中甲、乙二种群在时刻t 的数量， 1． 种群数量的增长率
)2,1)((=i t x i &与该种群数量)2,1)((=i t x i 成正比，同时也与有闲资
源
)2,1)((=i t s i 成正比；
2． 两个种群均可以独立存在，而可被其直接利用的自然资源有限，均设为“1”，
)2,1(=i N i 分别表示甲、
乙二种群在单种群情况下自然资源所能承受的最大种群数量；
此外，两种群的存在均可以促进另一种群的发展，我们视之为另一种群发展中可以利用的资源，
)2,1(=i i σ为二折算因子，21/N σ表示一个单位数量的乙可充当种群甲的生
存资源的量，12/N σ表示一个单位数量的甲可充当种群乙的生存资源的量； 3． )2,1(=i r i 分别表示甲、乙二种群的固有增长率。

3） 模型建立
根据模型假设，可得如下数学模型：
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-⋅+=⋅+-=⋅⋅=⋅⋅=221122
2211112
2221
111//1//1N x N x s N x N x s s x r x s x r x σσ&&
经化简，得：
＝
⎩⎨⎧-⋅+⋅⋅=⋅+-⋅⋅=)//1()//1(2211222222111111N x N x x r x N x N x x r x σσ&& 4）模型求解
与种群竞争模型相同，我们只求解模型方程的平衡点，并讨论其稳定性，从而对两种群的变化趋势作出判断。

为此，令
⎩⎨
⎧=-⋅+⋅⋅=⋅+-⋅⋅0)//1(0)//1(22112222211111N x N x x r N x N x x r σσ，
求得该模型的四个平衡点：
)0,0(1P 、)0,(12N P 、),0(23N P 、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅-+⋅⋅-+2212
1211411,11N N P σσσσσσ。

类似于在种群竞争模型中的讨论，我们可以得到平衡点的稳定性如下表：
1
P
)
(
2
1
r
r+
-
2
1
r
r⋅
不稳定2
P)
1(
2
2
1
σ
+
-r
r)
1(
2
2
1
σ
+
⋅
-r
r
不稳定3
P)
1(
1
1
2
σ
+
-r
r)
1(
1
2
1
σ
+
⋅
-r
r
不稳定4
P
2
1
2
2
1
1
1
)
1(
)
1(
σ⋅
σ
-
σ
+
+
σ
+r
r
2
1
2
1
2
1
1
)
1
)(
1(
σ⋅
σ
-
σ
+
σ
+
r r1
2
1
<
σ⋅
σ可知，只有在1
2
1
<
σ⋅
σ的情况下，平衡点
4
P是稳定的。

此时甲、乙两种群将分别趋向于非零的有限值；否则由于二者均能独立生存又相互提供食物，将使二者均趋向无穷。

5）练习题5的解答
在种群相互依存的模型中，按以下四种情况作相轨线示意图，并解释平衡点的意义。

(1)σ1<1,σ1σ2<1
(2)σ2>1,σ1σ2>1
(3)σ1>1,σ2<1,σ1σ2>1
(4)σ1<1,σ2>1,σ1σ2<1
相轨图如下：
图1所示的情况下，P1(N1,0)稳定，即能够独立生存的种群甲趋向最大容量，而不能独立生存的种群乙将灭绝。

图4所示的情况下，P2稳定，甲，乙分别趋向非零的有限的值。

而其余的两种情况无稳定的平衡点，相互提供的食物可能使二者趋向无穷，如图2。

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独立种群相互依存模型(1)

独立种群相互依存模型(1)

独立种群相互依存模型摘要：本文从种群的增长规律出发，对Logistic 模型进行修改，建立了可以独立生存、共处时又能互相提供食物的两种群的依存模型。

并通过微分方程组描述了两种群数量的变化规律，且对微分方程组稳定点的分析, 得出了在共处的条件下两种群不会同时都对对方有很大的促进作用的结论。

关键词：Logistic 模型 微分方程组 稳定点1 问题的复述如果两个种群都能独立生存，共处时又能相互提供食物，则建立种群依存模型并讨论平衡点的稳定性，解释稳定的意义。

2 合理的假设2.1 该区域内作为考虑对象的仅有两种群，若存在其他种群视其不对该两种群的发展产生影响。

2.2 考虑的系统是封闭的，亦即无考虑种群物种个体的迁移。

2.3 区域足够大，即可容纳足够多的种群个体，进而可视各种群个体数是可微的，且区域可提供种群存在的资源足够多但有限。

2.4 符号说明t ：时间 ()1x t 、()2x t ：两物种与t 时刻的个体数 1,2N ：两种群的最大容纳量1,2r ：两种群的固有增长率1σ：单位数量乙提供的供养甲的食物量为单位数量甲消耗的供养甲食物量的1σ倍2σ：单位数量乙提供的供养甲的食物量为单位数量甲消耗的供养甲食物量的2σ倍3 模型的建立有甲乙两个种群，当它们独自在一个自然环境中生存时，数量的演变均遵从Logistic 规律。

由因为两种群均可独立生存，共处时又能相互提供食物。

故种群甲乙的数量演变规律可以写作：()()'12111112'2122222111x x x t r x N N x x x t r x N N σσ⎧⎛⎫=-+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=-+ ⎪⎪⎝⎭⎩ （1） 则（1）刻画了该区域所考查两种群的发展规律，即为依存模型。

4 模型的求解令： ()121211112,1x x f x x r x N N σ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ （2）()211222221,1x x g x x r x N N σ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭（3） 令： ()1212112,1x xx x N N ϕσ=-+（4） ()2112221,1x xx x N N φσ=-+（5）由（2）（3）知，（1）为自治方程，为此：令：()()1212,0,0f x x g x x =⎧⎪⎨=⎪⎩ 解为：()11,0P N ()220,P N ()()11223121211,11N N P σσσσσσ++⎛⎫⎪--⎝⎭ ()40,0P 此为（1）的四个平衡点。

种群问题模型

种群问题模型

2
(P2，M) M (M, ) + +
许可证的数量要小于
P t m
考虑到不可控因素数量为
P t P2 或许更好。
17
4.2.2.受年龄性别影响的种群模型
例2．人口增长的年龄结构模型
1.问题的提出 根据资料建立描述人口增长的模型，并对每 一个时间段和每一个年龄组，计算出相应的 总人口数（计算年限为19个5年的时间段）
P 0, P m, P M , P 1
mM mM , P2 , m 2 M 2 mM 3 3
m2 M 2 2mM mM , m2 M 2 mM 0 0
1 m M m M mM P 0 1 3 mM m M P M 1 1 P m 1 m mM M M m P2 1 M 1 P2 m, 1 1 m 3 m m2 mm M P2 1 m 1 P2 M 1 1 2 M M 3 M
dY F (Y ) dt T Y (t ) y1 (t ), y2 (t ), , yn (t ) 式中的向量值函数
F (Y ) f1 (Y ), f 2 (Y ),, f n (Y )

与自治微分方程类似，称使方程组 F (Y ) 0 的
* * * * T 解Y y1 , y2 ,, yn 为系统
第4章 种群问题模型
• 种群问题是指种群在数量或密度上随时间 的变化问题，有单物种种群和多物种种群 问题之分。 • Malthus模型和Logistic模型就是在历史上很 有名的研究人口增长的单种群数学模型的 案例，种群数学模型对种群生态学的发展 起到了难以估计的作用。
数学建模-生物种群模型分析

数学建模-生物种群模型分析

dx r1 f 1 ( x) g1 ( y ) xdt dy r2 f 2 ( x) g 2 ( y ) ydt
线性化，得
dx x ( a10 a11 x a12 y ) dt dy y ( a a x a y ) 20 21 22 dt
x(t ) c11e c12te y(t ) c e1t c te1t 21 22
2017/11/2
1t
1t
p (a d ), q ad bc
1 , 2 1 2 0
p, q
p p 2 4q 1, 2 2 平衡点类型 稳定性
A） B） C）
aij 0, i, j 1,2,3; ai 0 0, i 1,2,3
2017/11/2
dx1 dt x1 (a10 a11 x1 a12 x2 a13 x3 ) dx2 x2 (a20 a21 x1 a22 x2 a23 x3 ) dt dx3 dt x3 (a30 a31 x1 a32 x2 a33 x3 )
f ( x0 , y 0 ) 0 g ( x0 , y 0 ) 0
记为
P 0 ( x0 , y0 )
2017/11/2
稳定与不稳定：如果存在某个邻域，使系统（1）的 解 ( x(t ), y (t )) 从这个邻域内的某一初值 ( x(0), y(0))
出发，满足
lim x(t ) x 0 , lim y (t ) y 0
竞争。图示如下：
2017/11/2
dx1 dt x1 ( a10 a11 x1 a12 x2 a13 x3 ) dx2 （ A x ( a a x a x a x 2 20 21 1 22 2 23 3 ) dt dx3 dt x3 ( a30 a31 x1 a32 x2 )
按Logistic规律建立两种群依存模型(荟萃知识)

按Logistic规律建立两种群依存模型(荟萃知识)

按Logistic规律建立两种群依存模型摘要：自然界中处于同一环境下的两个种群相互依存而共生的现象是很普遍的，在两种群共生依存的条件下又可以将其分为三类。

例如，人类与植物二者可以独立生存，当两者在一起是可以促进增长。

植物可以独立生存，但昆虫的受粉作用又可以提高植物的增长率，而昆虫却不能离开植物单独存活。

豆科植物和根瘤菌都不能独立生存，只有在一起才能共生。

豆科植物供给根瘤菌碳水化合物，根瘤菌供给植物氮素养料，从而形成互利共生关系。

通过分析以上三种关系，按logistic 增长规律分别建立相应的模型，分析其平衡点的稳定性，并运用matlab软件作数值解及图形，验证平衡点稳定性的结论。

关键词：相互依存三种关系logistic模型平衡点稳定性一、问题提出：自然界中的两种群存在关系有相互竞争、相互依存、食饵捕食。

其中相互依存又包括：甲乙均可独立生存，在一起时相互促进；甲可以独立生存而乙不可以独立生存在一起相互促进增长；甲乙都不可以独立生存，在一起相互促进增长。

按照Logistic 规律建立两种群相互依存的三种模型。

二、 模型假设1.假设第一类情况为甲乙均可独立生存，在一起时相互促进；2.假设第二类情况为甲可以独立生存而乙不可以独立生存在一起相互促进增长；3.假设第三类情况为甲乙都不可以独立生存，在一起相互促进增长；4.种群数量的演变遵从Logistic 规律。

三、符号说明)(1t x ——甲种群在t 时刻的数量； )(2t x ——乙种群在t 时刻的数量； 1N ——环境资源容许甲种群的最大数量；2N ——环境资源容许乙种群的最大数量； 1r ——甲种群的固有增长率； 2r ——乙种群的固有增长率；1σ——单位数量乙提供的供养甲的食物量为单位数量甲消耗的供养甲食物量的1σ倍；2σ——单位数量乙提供的供养甲的食物量为单位数量甲消耗的供养甲食物量的2σ倍；三、 模型建立4.1模型一：甲乙均可独立生存，在一起时相互促进。