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数学建模种群相互依存模型

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独立种群相互依存模型(1)

独立种群相互依存模型(1)

独立种群相互依存模型摘要：本文从种群的增长规律出发，对Logistic 模型进行修改，建立了可以独立生存、共处时又能互相提供食物的两种群的依存模型。

并通过微分方程组描述了两种群数量的变化规律，且对微分方程组稳定点的分析, 得出了在共处的条件下两种群不会同时都对对方有很大的促进作用的结论。

关键词：Logistic 模型 微分方程组 稳定点1 问题的复述如果两个种群都能独立生存，共处时又能相互提供食物，则建立种群依存模型并讨论平衡点的稳定性，解释稳定的意义。

2 合理的假设2.1 该区域内作为考虑对象的仅有两种群，若存在其他种群视其不对该两种群的发展产生影响。

2.2 考虑的系统是封闭的，亦即无考虑种群物种个体的迁移。

2.3 区域足够大，即可容纳足够多的种群个体，进而可视各种群个体数是可微的，且区域可提供种群存在的资源足够多但有限。

2.4 符号说明t ：时间 ()1x t 、()2x t ：两物种与t 时刻的个体数 1,2N ：两种群的最大容纳量1,2r ：两种群的固有增长率1σ：单位数量乙提供的供养甲的食物量为单位数量甲消耗的供养甲食物量的1σ倍2σ：单位数量乙提供的供养甲的食物量为单位数量甲消耗的供养甲食物量的2σ倍3 模型的建立有甲乙两个种群，当它们独自在一个自然环境中生存时，数量的演变均遵从Logistic 规律。

由因为两种群均可独立生存，共处时又能相互提供食物。

故种群甲乙的数量演变规律可以写作：()()'12111112'2122222111x x x t r x N N x x x t r x N N σσ⎧⎛⎫=-+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=-+ ⎪⎪⎝⎭⎩ （1） 则（1）刻画了该区域所考查两种群的发展规律，即为依存模型。

4 模型的求解令： ()121211112,1x x f x x r x N N σ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ （2）()211222221,1x x g x x r x N N σ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭（3） 令： ()1212112,1x xx x N N ϕσ=-+（4） ()2112221,1x xx x N N φσ=-+（5）由（2）（3）知，（1）为自治方程，为此：令：()()1212,0,0f x x g x x =⎧⎪⎨=⎪⎩ 解为：()11,0P N ()220,P N ()()11223121211,11N N P σσσσσσ++⎛⎫⎪--⎝⎭ ()40,0P 此为（1）的四个平衡点。

种群问题模型

种群问题模型
2
(P2，M) M (M, ) + +
许可证的数量要小于
P t m
考虑到不可控因素数量为
P t P2 或许更好。
17
4.2.2.受年龄性别影响的种群模型
例2．人口增长的年龄结构模型
1.问题的提出 根据资料建立描述人口增长的模型，并对每 一个时间段和每一个年龄组，计算出相应的 总人口数（计算年限为19个5年的时间段）
P 0, P m, P M , P 1
mM mM , P2 , m 2 M 2 mM 3 3
m2 M 2 2mM mM , m2 M 2 mM 0 0
1 m M m M mM P 0 1 3 mM m M P M 1 1 P m 1 m mM M M m P2 1 M 1 P2 m, 1 1 m 3 m m2 mm M P2 1 m 1 P2 M 1 1 2 M M 3 M
dY F (Y ) dt T Y (t ) y1 (t ), y2 (t ), , yn (t ) 式中的向量值函数
F (Y ) f1 (Y ), f 2 (Y ),, f n (Y )

与自治微分方程类似，称使方程组 F (Y ) 0 的
* * * * T 解Y y1 , y2 ,, yn 为系统
第4章 种群问题模型
• 种群问题是指种群在数量或密度上随时间 的变化问题，有单物种种群和多物种种群 问题之分。 • Malthus模型和Logistic模型就是在历史上很 有名的研究人口增长的单种群数学模型的 案例，种群数学模型对种群生态学的发展 起到了难以估计的作用。

数学建模生物种群模型(课件资料)

数学建模生物种群模型(课件资料)
案例分析中，可以采用回归分析、时间序列分析等方法建立模型，并利用历史数据对模型进行验证和优化。
THANKS
感谢观看
06
生物种群模型的实践应用与案例分析
生物种群模型是数学建模的一个重要分支，用于描述生物种群随时间变化的规律和预测未来发展趋势。
实践应用中，生物种群模型可以帮助我们理解种群动态，预测种群数量变化，制定合理的资源利用和保护策略。
生物种群模型的应用范围广泛，包括野生动物、农作物、微生物等多种生物类型。
详细描述
Verhulst模型是在Logistic模型的基础上引入了一个额外的项，以考虑种群增长过程中的饱和效应。这个模型可以更好地描述种群数量的变化趋势，特别是在种群数量接近
总结词
Malthus模型假设种群增长是无限的，没有考虑到资源限制对种群增长的影响。该模型通过一个简单的微分方程描述种群数量的指数增长，但与实际情况相比，预测结果往往过于乐观。
详细描述
VS
描述种群数量变化趋势更为准确的模型
详细描述
Gompertz模型是一个改进的种群增长模型，它考虑了种群增长初期的缓慢和后期的加速增长趋势。该模型通过一个非线性的微分方程来描述种群数量的变化，可以更好地拟合实际数据，并给出更为准确的预测结果。
总结词
03
数学建模在生物种群模型中的应用
03
风险决策分析
根据决策者对不同方案的主观偏好和效用函数，选择最优方案。
效用决策分析
在多个目标之间进行权衡和取舍，选择最优方案。
多目标决策分析
通过时间序列分析，预测某种群在未来一段时间内的数量变化趋势。
种群数量预测
根据种群数量变化趋势，制定合理的资源分配方案，以实现种群数量的有效控制和管理。

实例 动物种群的相互竞争与相互依存的模型

实例 动物种群的相互竞争与相互依存的模型

实例动物种群的相互竞争与相互依存的模型实例2 动物种群的相互竞争与相互依存的模型在生物的种群关系中,一种生物以另一种生物为食的现象,称为捕食.一般说来,由于捕食关系,当捕食动物数量增长时,被捕食动物数量就逐渐下降,捕食动物由于食物来源短缺,数量也随之下降,而被捕食动物数量却随之上升.这样周而复始,捕食动物与被捕食动物的数量随时间变化形成周期性的震荡.田鼠及其天敌的田间种群消长动态规律也是如此.实验调查数据表明:无论是田鼠还是其天敌的数量都呈周期性的变化,天鼠与天敌的作用系统随时间序列推移,田鼠密度逐渐增加,其天敌随之增加,但时间上落后一步.由于天敌密度增加,则田鼠密度降低,而田鼠密度的降低,则其天敌密度亦减少,如此往复循环,从而形成一定的周期.试用数学模型来概括这一现象,并总结出其数量变化的近似公式.一问题分析及模型的建立设x(t)和y(t)分别表示t时刻田鼠与其天敌的数量,如果单独生活,田鼠的增长速度正比于当时的数量,即dx=λx dtdy=-μy dt而田鼠的天敌由于没有被捕食对象,其数量减少的速率正比于当时的数量,即现在田鼠与其天敌生活一起,田鼠一部分遭到其天敌的消灭,于是以一定的速率α减少,减少的数量正比于天敌的数量,因此有dx=(λ-αy)x dt类似地,田鼠的天敌有了食物,数量减少的速率μ减少β,减少的量正比于田鼠的数量,因此有dy=-(μ-βx)y dt上述公式,最后两个方程联合起来称为Volterra-Lot方程,这里α,β,λ,μ均为正数,初始条件为x(0)=x0,y(0)=y0现在通过实验调查所得到的数据如表,此数据为每隔两个月田间调查一次,得到的田鼠及其天敌种群数量的记录,数量的单位经过处理.试建立合理的数学模型.表田鼠种群数量记录29.7 33.1 32.5 69.1 134.2 236.0 269.6 162.2 69.6 39.8 34.0 20.7 22.0 37.6 57.6 124.6 225.0 272.7 195.7 94.5 41.9 25.7 10.9 22.5 33.5 48.2 92.5 183.3 268.5 230.6 115.5表田鼠天敌种群数量记录1.6 1.3 1.1 1.2 1.1 1.3 1.82.2 2.4 2.2 1.9 1.5 1.5 1.2 0.91.1 1.3 1.62.3 2.4 2.2 1.7 1.8 1.5 1.2 1.0 0.9 1.1 1.3 1.9 2.3二模型的求解Volterra-Lotok方程的解析解即x,y的显示解难求出,因此公式的参数方程不宜直接用Matlab函数来拟合解,可用如下的方法来求其近似解.Volterra-Lotok可转化为⎧dlnx=(λ-αy)dt ⎧dlny=(-μ+βx)dt⎧在区间[ti-1,ti]上积分,得lnxi-lnxi-1=λ(ti-ti-1)-αS1ilnyi-lnyi-1=-μ(ti-ti-1)+βS2i这里,S1i=⎧titi-1ydt,S2i=⎧xdt, i=1, ,m ti-2ti于是得到方程组⎧A1P1=B1 ⎧ AP=B2⎧22这里⎧t1-t0 t-tA1= 21t-t⎧mm-1-S11⎧⎧t1-t0⎧ -S12⎧ t2-t1A= 2 ⎧ ⎧ t-t-Sim⎧m-1⎧⎧m-S⎧⎧-S22⎧ ⎧⎧-S2m⎧⎧⎧-μ⎧⎧λ⎧ ⎧ P=P1= 2 β⎧⎧ α⎧⎧⎧⎧⎧B1=(lnxyx1y, ,lnm)T B=(ln1, ,lnm)T x0xm-1y0ym-1T-1TA2B2 因此方程组参数的最小二乘解为 T-1T P=(AA)A1B1 P=(A2A2)111由于x(t)和y(t)均为未知,因此S1i,S2用数值积分方法的梯形公式解S1i=⎧⎧titi-1ydt≈ti-ti-1(yi+yi-1) 2 S2=titi-1xdt=ti-ti-1(xi+xi-1) 2这样就可求得参数的近似值.模型参数求解的程序为clear all,clcX=[29.7 33.1 32.5 69.1 134.2 236.0 269.6 162.2 69.6 39.8 ...34.0 20.7 22.0 37.6 57.6 124.6 225.0 272.7 195.7 94.5 41.9 25.7 ... 10.9 22.5 33.5 48.2 92.5 183.3 268.5 230.6 115.5];Y=[1.6 1.3 1.1 1.2 1.1 1.3 1.8 2.2 2.4 2.2 1.9 1.5 1.5 1.2 0.9 ...1.1 1.3 1.62.3 2.4 2.2 1.7 1.8 1.5 1.2 1.0 0.9 1.1 1.3 1.9 2.3];N=[X;Y];T=[0:2:60];for i=1:30A(i,1)=T(i+1)-T(i);A(i,[2 3])=((T(i+1)-T(i))/2)*[-(N(1,i+1)+N(1,i)),-(N(2,i+1)+N(2,i))];B(i,[1 2])=[log(N(1,i+1)/N(1,i)),log(N(2,i+1)/N(2,i))];end;A1=A(:,[1 3]);P1=inv((A1'*A1))*A1'*B(:,1)A2=A(:,[1 2]);P2=inv((A2'*A2))*A2'*B(:,2)上述结果代入Volterra-Lotok方程,用MATLAB函数ode45求方程在时间[0,60]的数值解.作图可看到田鼠及其天敌数量的周期震荡.求方程Volterra-Lotok的数值解的程序为定义函数vlok为[vlok.m]function dydt=vlok(T,Y)dydt=[(0.8765-0.5468*Y(2))*Y(1);(-0.1037+0.0010*Y(1))*Y(2)];clear all, clcX=[29.7 33.1 32.5 69.1 134.2 236.0 269.6 162.2 69.6 39.8 ...34.0 20.7 22.0 37.6 57.6 124.6 225.0 272.7 195.7 94.5 41.9 25.7 ... 10.9 22.5 33.5 48.2 92.5 183.3 268.5 230.6 115.5];Y=[1.6 1.3 1.1 1.2 1.1 1.3 1.8 2.2 2.4 2.2 1.9 1.5 1.5 1.2 0.9 ...1.1 1.3 1.62.3 2.4 2.2 1.7 1.8 1.5 1.2 1.0 0.9 1.1 1.3 1.9 2.3]; N=[X,Y];T=[0:2:60];[t,Y]=ode45(@vlok,[0:0.5:60],[29.7 1.6]);plot(t,Y(:,1)/100,'k');hold on;plot(t,Y(:,2),'-.k');title('田鼠及其天敌的Volterra-Lotok模型拟合曲线');xlabel('时间');ylabel('数量(只/每百)');gtext('田鼠');gtext('天敌');legend('田鼠','天敌');legend('田鼠','天敌');图田鼠及其天敌的模拟曲线实线和虚线分别为田鼠和天敌的实际值,田鼠的数量为y坐标乘以100.。

数学建模-生物种群模型分析

数学建模-生物种群模型分析
dx r1 f 1 ( x) g1 ( y ) xdt dy r2 f 2 ( x) g 2 ( y ) ydt
线性化，得
dx x ( a10 a11 x a12 y ) dt dy y ( a a x a y ) 20 21 22 dt
x(t ) c11e c12te y(t ) c e1t c te1t 21 22
2017/11/2
1t
1t
p (a d ), q ad bc
1 , 2 1 2 0
p, q
p p 2 4q 1, 2 2 平衡点类型 稳定性
A） B） C）
aij 0, i, j 1,2,3; ai 0 0, i 1,2,3
2017/11/2
dx1 dt x1 (a10 a11 x1 a12 x2 a13 x3 ) dx2 x2 (a20 a21 x1 a22 x2 a23 x3 ) dt dx3 dt x3 (a30 a31 x1 a32 x2 a33 x3 )
f ( x0 , y 0 ) 0 g ( x0 , y 0 ) 0
记为
P 0 ( x0 , y0 )
2017/11/2
稳定与不稳定：如果存在某个邻域，使系统（1）的 解 ( x(t ), y (t )) 从这个邻域内的某一初值 ( x(0), y(0))
出发，满足
lim x(t ) x 0 , lim y (t ) y 0
竞争。图示如下：
2017/11/2
dx1 dt x1 ( a10 a11 x1 a12 x2 a13 x3 ) dx2 （ A x ( a a x a x a x 2 20 21 1 22 2 23 3 ) dt dx3 dt x3 ( a30 a31 x1 a32 x2 )

种群相互依存模型

种群相互依存模型

种群的相互依存摘要：甲乙两种群的相互依存有三种形式：1) 甲可以独自生存，乙不能独自生存；甲乙一起生存时相互提供食物、促进增长。

2) 甲乙均可以独自生存；甲乙一起生存 时相互提供食物、促进增长。

3) 甲乙均不能独自生存；甲乙一起生存时相互提供食物、促进增长。

本文分别对这三种相互依存的关系进行分析，从种群的增长规律出发，对Logistic 模型进行修改，建立两种群相互依存的模型。

并通过微分方程组描述了两种群数量的变化规律，且对微分方程组稳定点的分析, 分别得出了两种群相互依存的条件。

关键词：Logistic 模型 微分方程组 稳定点 鞍点 平衡点 自治方程第一种情况的分析： （1.）模型假设1.以)(1t x 、)(2t x 表示甲、乙二种群在时刻t 的数量，1r 表示甲种群的固有增长率,)2,1(=i N i 分别表示甲、乙二种群在单种群情况下自然资源所能承受的最大种群数量2.甲独自生存时，数量变化服从Logistic 规律; 甲乙一起生存时乙为甲提供食物、促进增长。

3.乙种群没有甲的存在会灭亡,死亡率为2r ,甲乙一起生存时甲为乙提供食物、促进增长；乙的增长又受到本身的阻滞作用 (服从Logistic 规律)。

4.乙为甲提供食物是甲消耗的σ1 倍,甲为乙提供食物是乙消耗的σ2 倍(2.)模型建立:经过分析得到以下方程:)1()()1()(2211212222111211N xN x x r t x N x N x x r t x -+-=+-=••σσ (1)上式刻画了区域所考查的两种群的发展规律，即为依存模型.(3)模型求解:欲求此问题的相互依存的条件我们先来介绍以下的知识内容：微分方程理论性简介：此问题为动态过程，且建此模的目的是研究时间充分长以后过程的变化趋势 ——平衡状态是否稳定。

为了分析这种稳定与不稳定我们常常不是通过求解微分方程，而是通过用微分方程稳定性理论研究平衡状态的稳定性。

数学模型_种群的相互竞争


的根
0
若从P0某邻域的任一初值出发，都有 lim x 1 ( t ) x 1 , t
lim x 2 ( t ) x 2 , 称P0是微分方程的稳定平衡点 t
0
模型
x1 x2 x 1 ( t ) r1 x 1 1 1 N1 N2
x1 x 2 x 2 ( t ) r2 x 2 1 2 N1 N 2
种群的相互竞争
• 一个自然环境中有两个种群生存，它们之间的 关系：相互竞争；相互依存；弱肉强食。 • 当两个种群为争夺同一食物来源和生存空间相 互竞争时，常见的结局是，竞争力弱的灭绝， 竞争力强的达到环境容许的最大容量。 • 建立数学模型描述两个种群相互竞争的过程， 分析产生这种结局的条件。
模型假设 • 有甲乙两个种群，它们独自生存
t 时 x 1 ( t ), x 2 ( t )的趋向
(平衡点及其稳定性)
(二阶)非线性 x 1 ( t ) f ( x 1 , x 2 ) 的平衡点及其稳定性 (自治)方程 x ( t ) g ( x , x ) 2 1 2
平衡点P0(x10, x20) ~ 代数方程
f ( x1 , x 2 ) 0 g ( x1 , x 2 ) 0
时数量变化均服从Logistic规律;
x 1 ( t ) r1 x 1 (1 x1 N1 )
x 2 ( t ) r2 x 2 (1
x2 N2
)
• 两种群在一起生存时，乙对甲增长的阻滞作 用与乙的数量成正比; 甲对乙有同样的作用。
模型
x1 x2 x2 x1 x 2 ( t ) r2 x 2 1 2 x 1 ( t ) r1 x 1 1 1 N1 N1 N 2 N2

生物物种间竞争关系和共存机制的数学模型建立

生物物种间竞争关系和共存机制的数学模型建立生命是自然界中最为神奇的现象之一，其中生物竞争和共存关系是生态系统中最基础的核心问题之一。

在生态系统中，数量庞大的生物群落栖息在同样庞大的生境中，不同生物间的竞争和共存决定了自然界的生态平衡。

为了更好地理解生物物种之间的竞争和共存机制，数学建模成为了解决问题的有效途径之一。

一、生态学中的竞争和共存问题竞争和共存是生态学中经常讨论的概念，它们是自然界中量与质、生命与环境之间相互制约的基本关系。

竞争包括了两个或两个以上的生物个体在争夺有限资源时所发生的相互抵消和影响。

种间竞争是生态系统中一种自然现象，是因为多个生物之间对同一资源的有限性需求，导致它们之间进行了互相抢夺的行为。

竞争可以是直接或间接的，它们通常会导致人口数量减少，减少生存率，进而可能会导致灭种。

共存是种群间相处的一种形式，它指的是不同种间占有资源的方式和繁殖策略，它使得两个或两个以上的个体能够在生态系统中共同生存。

竞争和共存问题是生态学研究的重点之一。

生物如何分配资源、如何寻找到所需资源、如何优化资源利用成为一个值得深度研究和探索的问题。

此时引入数学模型，可以更加准确地刻画竞争和共存现象，帮助我们进一步深入理解它们之间的复杂关系。

二、基于拉夫指数的竞争关系建模拉夫指数（LV）是描述生态学竞争和共存的重要概念之一。

拉夫指数是指在只有两种相互竞争的物种共同占有有限资源的情况下，一种生物个体最多占有多少资源，而仍能使另一生物个体后代的数量为0。

对于两个物种 A 和 B，设两个物种在占有该资源的数量分别为 xA 和 xB 。

具体而言，两个物种之间的竞争关系满足x * (r - α * x - β * y)的关系式，其中，xA 和xB 都是正实数，r 代表资源总量，α 和β 是系数，它们反映出了这种物种对应单位资源的占用能力。

结合实际情况，我们可以设置不同的系数，来对不同的物种进行建模。

基于拉夫指数建模可以帮助我们评估当两个或多个物种竞争时，其竞争关系的数量、制约，从而帮助我们更好地解释竞争与共存的行为模式。

两种群相互依存

楚雄师范学院数学系《数学模型》课程教学论文题目：两种群相互依存专业：数学与应用数学班级： 09级数学系2班学号： 20091021202学生姓名：杨艳完成日期： 2011 年 12 月两种群相互依存【摘要】本模型是一个很普遍的现象，此课题研究了自然界中处于同一环境下两个种群相互依存而共生的问题。

两种群相互依存有以下几种情况：①两种群甲和乙均能独立存在；②甲能独立存在，而乙不能；甲乙在一起时能互相促进，使甲乙可以存活下来；③甲和乙均不能独立存在，甲和乙在一起，互相促进增长。

根据两者之间的捕食关系建立模型，最终达到一个种群数量的平衡。

【关键词】平衡点、依存、制约、增长率、死亡率 【正文】一、问题提出：问题一：两种群甲和乙均能独立存在（例如：研究将马群放入草场后草和马两种群的相互作用）；问题二：甲能独立存在，而乙不能；甲乙在一起时能互相促进，使甲乙可以存活下来（例如植物可以独立生存，昆虫的授粉作用又可以提高植物的增长率，而以花粉为食物的昆虫却不能离开植物单独存活）；问题三：甲乙均不能独立生存，甲乙在一起互相促进增长。

二、问题分析：（1）当某个自然环境中只有一种生物的群体（生态学上称种群）生存时，人们常用Logistic 模型来描述这个种群数量的演变过程，即 )1()(Nx rx t x -=')(t x 是种群在时刻t 的数量，r 是固有增长率，N 是环境资源容许的种群最大数量。

其中)1(Nx-反应某种群对有限资源的消耗导致的对它本身增长的阻滞作用，Nx可解释为相对于N 而言单位数量的某种群消耗的供养自身的食物量（设食物总量为1）. （2）如果一个自然环境中有两个或两个以上种群生存，那么它们之间就要存在着或是相互竞争，或是相互依存关系，或是弱肉强食，下面将从稳定转态的角度讨论相互依存关系。

三、模型假设：有甲乙两个种群，当它们独立在一个环境中生存时，数量的演变遵从Logistic 规律。

记)(),(21t x t x 是两个种群的数量，21,r r 是它们固有增长率，21,N N 是它们的最大容量。

种群生态学模型


dN 2 N1 N 2 r2 N 2 1 2 dt K K 1 2
对 2 可作相应的解释。
于是，两个种群的相互竞争模型可以表述如下
dN1 N1 N2 r1 N1 1 1 , N1 (t0 ) N10 K2 dt K1 N1 N 2 dN 2 r N , N ( t ) N 2 2 1 2 2 0 20 K1 K 2 dt
u(0, t ) ( x)u( x, t )dx0 Nhomakorabea其中
u(x, 0) = u0(x)
u u ( x)u ( x, t ) x t
是一个一阶双曲型偏微分方程。
2 种群的相互竞争模型 当某个自然环境中只有一个种群生存时， 基本上可以用 Logistic 模型来描述种群数量的 演变过程。如果一个自然环境中有两个或两个 以上的种群生存，那么它们之间就要存在或者 是相互竞争，或者是相互依存，或者是弱肉强 食（食饵与捕食者）的关系。在此，首先讨论 两个种群竞争同一种有限资源的情形。
设甲乙两个种群，当它们独自在一个自然环 境中生存时，数量的演变均遵从 Logistic 规律，记 N1(t)，N2(t) 是t时刻两个种群的数量，r1、r2 分别 是它们的内禀增长率，K1、K2 分别是它们的饱和 水平。于是对于种群甲有 N1 dN 1 r1 N1 1 dt K 1
N1 dN 1 N2 r1 N1 1 1 K dt K 1 2
这里 1 的意义是：单位数量乙（相对于 K2 而 言）消耗的供养甲的资源为单位数量甲（相对 于 K1 而言）消耗的供养甲的资源的 1 倍。
类似地，甲的生存也影响了乙的增长，种 群乙增长的方程为
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种群相互依存模型
1) 问题的提出
自然界中处于同一环境下两个种群相互依存而共生的现象是很普遍的。

比方植物与昆虫，一方面植物为昆虫提供了食物资源，另一方面，尽管植物可以独立生存，但昆虫的授粉作用又可以提高植物的增长率。

事实上，人类与人工饲养的牲畜之间也有类似的关系。

我们关心两个相互依存的种群，它们之间有着类似于在农业社会中人和牛的关系。

其发展和演进有着一些什么样的定性性质呢？
2）模型假设
以)(1t x 、)(2t x 表示处于相互依存关系中甲、乙二种群在时刻t 的数量，
1． 种群数量的增长率)2,1)((=i t x i 与该种群数量)2,1)((=i t x i
成正比，同时也与有闲资源)2,1)((=i t s i 成正比； 2． 两个种群均可以独立存在，而可被其直接利用的自然资源有限，均设为“1”，)2,1(=i N i 分别表示
甲、乙二种群在单种群情况下自然资源所能承受的最大种群数量；此外，两种群的存在均可以促进另一种群的发展，我们视之为另一种群发展中可以利用的资源，
)2,1(=i i σ为二折算因子，21/N σ表示一个单位数量的乙可充当种群甲的生存资源的量，12
/N σ表示一个单位数量的甲可充当种群乙的生存
资源的量；
3． )2,1(=i r i 分别表示甲、乙二种群的固有增长率。

3） 模型建立
根据模型假设，可得如下数学模型：
经化简，得： ＝
⎩⎨⎧-⋅+⋅⋅=⋅+-⋅⋅=)//1()//1(2211222222111111N x N x x r x N x N x x r x σσ 4）模型求解
与种群竞争模型相同，我们只求解模型方程的平衡点，并讨论其稳定性，从而对两种群的变化趋势作出判断。

为此，令
⎩⎨⎧=-⋅+⋅⋅=⋅+-⋅⋅0)//1(0)//1(22112222211111N x N x x r N x N x x r σσ，
求得该模型的四个平衡点：
)0,0(1P 、)0,(12N P 、),0(23N P 、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅-+⋅⋅-+22121211411,11N N P σσσσσσ。

可知，只有在21的情况下，平衡点4是稳定的。

此时甲、乙两种群将分别趋向于非零的有限值；否则由于二者均能独立生存又相互提供食物，将使二者均趋向无穷。

5）练习题5的解答
在种群相互依存的模型中，按以下四种情况作相轨线示意图，并解释平衡点的意义。

(1) σ1<1,σ1σ2<1
(2) σ2>1,σ1σ2>1
(3)σ1>1,σ2<1,σ1σ2>1
(4)σ1<1,σ2>1,σ1σ2<1
相轨图如下：
图1所示的情况下，P1(N1,0)稳定，即能够独立生存的种群甲趋向最大容量，而不能独立生存的种群乙将灭绝。

图4所示的情况下，P2稳定，甲，乙分别趋向非零的有限的值。

而其余的两种情况无稳定的平衡点，相互提供的食物可能使二者趋向无穷，如图2。