高中重点班数学必修一专题辅导——集合的关系与运算(学生版)

集合、集合与集合的关系、集合的运算 知识精讲

一 知识结构图

内 容 考点 关注点

集 合 集合的概念 元素的三个特性

元素与集合的关系 元素的互异性

集合间的关系 空集是任何集合的子集

集合的运算 集合端点值的取舍

二.学法指导

1.判断一组对象能否组成集合，关键看该组对象是否满足确定性，如果此组对象满足确定性，就可

以组成集合；否则，不能组成集合.同时还要注意集合中元素的互异性、无序性.

2. 集合中的元素具有三个特性，求解与集合有关的字母参数值(范围)时，需借助集合中元素的互异性来检验所求参数是否符合要求．

3．解答含有字母的元素与集合之间关系的问题时，要有分类讨论的意识．

4.利用集合的关系求参数的范围问题，常涉及两个集合，其中一个为动集合(含参数)，另一个为静集合(具体的)，解答时常借助数轴来建立变量间的关系，需特别注意端点问题．

5.求集合并集的两种基本方法：

（1）定义法：若集合是用列举法表示的，可以直接利用并集的定义求解；

（2）数形结合法：若集合是用描述法表示的由实数组成的数集，则可以借助数轴分析法求解.

6.求集合交集的方法为：

(1).定义法，(2)数形结合法．

（2）．若A，B是无限连续的数集，多利用数轴来求解．但要注意，利用数轴表示不等式时，含有端点的值用实点表示，不含有端点的值用空心点表示．

三.知识点贯通

知识点1 元素与集合相关概念

(1)集合中元素的特性：确定性、互异性和无序性．

例1.考察下列每组对象，能构成集合的是( )

①中国各地最美的乡村；

②直角坐标系中横、纵坐标相等的点；

③不小于3的自然数；

④2018年第23届冬季奥运会金牌获得者．

A．③④ B．②③④

C．②③ D．②④ 知识点二 元素与集合的关系

(1)属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A.

(2)不属于：如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A.

第一讲 集合的含义及运算

知识梳理

一：集合的含义及其关系

1.集合中的元素具有的三个性质: 、 、 ;

2.集合的三种表示方法： 、 、 ;

3.常用数集的符号表示

数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 正实数集 复数集

符号

4.元素与集合的关系：

文字语言 属于 不属于

符号语言

二：集合间的基本关系

集合A、B的关系 文字语言 符号语言

A是B的子集 A中任意一元素均为B中的元素.

A是B的真子集 A是B的子集，且B中至少有一个元素不是A的元素.

空集与集合A 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集；任何集合是他本身的子集.

集合A与B相等 集合A与集合B中的所有元素都相同.

三：集合的基本运算

运算 交集 并集 补集

定义 一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集. 一般地，由属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为A与B的并集. 由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于集合U的补集

用符合记作

用韦恩图表示

运算性质

含三种运算的运算性质

进行集合运算的常用方法. 1.处理不等式的解集的运算时常用 ；

2.处理抽象集合的运算时常用 。

重难点突破：

1.集合的概念

掌握集合的概念的关键是把握集合元素的三大特性，要特别注意集合中元素的互异性，在解题过程中最易被忽视，因此要对结果进行检验。

问题1.现有含3个元素的集合，既可以表示为1baa，， ，也可以表示为20aab，，，则20112011ab= .

2．集合的表示法 （1）描述法要紧紧抓住代表元素以及它所具有的性质，如A=|2xxy集合，B=|2xyy，C=()|2xxyy，等的差别，如果对集合中代表元素认识不清，将导致求解错误：

专题 集合运算与关系

考点精要

1．集合的含义．

2．集合的表示．

3．集合间的根本关系．

4．集合的根本运算．

热点分析

热点是集合的根本概念、运算和工具作用，考察重点是集合与集合之间的关系．

知识梳理

1．集合：某些确定的对象集在一路成为集合．

〔1〕集合中的对象称元素，假设a是集合A的元素，记作aA；假设b不是集合A的元素，记作bA．

〔2〕集合中的元素必需知足：肯定性、互异性与无序性．

〔3〕表示一个集合可用列举法、描述法或图示法：

列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内；

描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内；

图示法：集合的表示除列举法和描述法外，还有文恩图〔文氏图〕

画一条封锁的曲线，用它的内部来表示一个集合，如图：

〔4〕常常利用数集及其记法：

非负整数集〔或自然数集〕，记作N； 正整数集，记作N*或N+；

整数集，记作Z； 有理数集，记作Q； 实数集，记作R．

2．集合的包括关系：

〔1〕集合A的任何一个元素都是集合B的元素，那么称A是B的子集，记作AB〔或BA〕． A 表示任意一个集集合相等：组成两个集合的元素完全一样．假设AB且BA，那么称A等于B，记作A=B．假设AB且

AB，那么称A是B的真子集，记作AB．

〔2〕简单性质：

①AA； ②A； ③假设AB，BC，那么AC；

④假设集合A是n个元素的集合，那么集合A有2n个子集〔其中2n－1个真子集〕．

3．全集与补集：

〔1〕包括了咱们所要研究的各个集合的全数元素的集合称为全集，记作S 〔或U〕；

〔2〕假设S是一个集合，AS，那么SA={|}xxSxA且称S中子集A的补集；

〔3〕简单性质：

①S〔SA〕=A； ②SS=，S=S．

4．交集与并集：

〔1〕一般地，由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集．交集{|}ABxxAxB且．

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考点精要

1．集合的含义．

2．集合的表示．

3．集合间的基本关系．

4．集合的基本运算．

热点分析

热点是集合的基本概念、运算和工具作用，考查重点是集合与集合之间的关系．

知识梳理

1．集合：某些确定的对象集在一起成为集合．

（1）集合中的对象称元素，若a是集合A的元素，记作aA；若b不是集合A的元素，记作bA．

（2）集合中的元素必须满足：确定性、互异性与无序性．

（3）表示一个集合可用列举法、描述法或图示法：

列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内；

描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内；

图示法：集合的表示除了列举法和描述法外，还有文恩图（文氏图）

画一条封闭的曲线，用它的内部来表示一个集合，如图：

（4）常用数集及其记法：

非负整数集（或自然数集），记作N； 正整数集，记作N*或N+；

整数集，记作Z； 有理数集，记作Q； 实数集，记作R．

2．集合的包含关系：

（1）集合A的任何一个元素都是集合B的元素，则称A是B的子集，记作AB（或BA）．

集合相等：构成两个集合的元素完全一样．若AB且BA，则称A等于B，记作A=B．若AB且

AB，则称A是B的真子集，记作AB．

（2）简单性质：

①AA； ②A； ③若AB，BC，则AC；

④若集合A是n个元素的集合，则集合A有2n个子集（其中2n－1个真子集）．

3．全集与补集：

（1）包含了我们所要研究的各个集合的全部元素的集合称为全集，记作S （或U）；

（2）若S是一个集合，AS，则SðA={|}xxSxA且称S中子集A的补集； A 表示任意一个集更多精品讲义请关注微信公众号：备课宝 或者 beikehere 备课宝出品