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1．集合的概念了解集合的含义、体会元素与集合的属于关系，能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题．理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集，了解全集与空集的含义．2．集合的基本运算理解两个集合的交集与并集的含义，会求两个简单集合的交集与并集，理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集，能使用韦恩图表达集合间的基本关系及运算．3．命题及其关系理解命题的概念．了解“若p，则q”形式的命题及其否命题、逆命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．理解必要条件、充分条件与充要条件的含义．4．简单的逻辑联结词了解“或”“且”“非”的含义．5．全称量词与存在量词理解全称量词与存在量词的意义，能正确地对含有一个量词的命题进行否定．1．2014～2018年全国卷Ⅰ的考查情况年份2014 2015 2016 2017 2018考查内容第1题集合的交集运算第1题交集运算、元素的个数第1题集合的交集运算第1题集合的运算(交集、并集)第1题集合的运算(交集)分值5分5分5分5分5分2.2014～2018年全国卷Ⅱ的考查情况年份201420152016 2017 2018考查内容第1题集合的运算(交集)第1题集合的运算(并集)第24题第(2)问证明不等式的充要性第1题集合的运算(交集)第1题集合的运算(并集)第2题集合的运算(交集)分值5分5分10分5分5分5分2014年至2018年全国卷Ⅰ和卷Ⅱ直接考查本单元内容的试题共11道，2015年全国卷Ⅱ考查了2道题占15分(其中24题主要是考查不等式的证明)，其他各年考查本单元的试题都为1道，占5分．高考对集合这一考点的考查主要以选择题出现，涉及的知识包括集合的概念，集合与集合的关系及集合的运算，重点是集合的运算．一般都是作为全卷第1小题，且都是基础题，难度不大，属于高考中的“送分题”．常用逻辑用语包含命题与量词，基本逻辑联结词以及充分条件、必要条件、充要条件与命题的四种形式，其中量词是新课标新增内容，2013年高考通过一道小题考查了全称命题、特称命题及复合命题真假的判定．充要条件这一内容，在全国卷高考中直接考查的试题不多，只有2015年全国卷Ⅱ在选考内容中，结合不等式的证明进行了考查．本单元是高中数学的基本内容之一，集合论是现代数学的基础，集合语言简洁、准确，是数学中不可缺少的基本语言．常用逻辑用语是数学语言的重要组成部分，是描述、判断、推理的工具，它可以帮助我们准确地表达数学内容、正确地理解数学概念、合理论证数学结论．对集合这一内容的复习，要重视对集合概念的认识与理解，特别要重视对描述法表示集合的理解，掌握集合与集合之间的关系、集合的运算，要求具备数形结合的思想，会借助V enn图、数轴等工具解决集合之间的关系及集合的运算等问题．高考直接考查常用逻辑用语的试题虽然不多，但常用逻辑用语常和函数、不等式及立体几何中直线、平面的位置关系等知识结合，因此复习时仍要非常重视．在复习时，要以小题、基础题为主，要求掌握p∧q，p∨q，﹁p命题真假的判断，全称命题与特称命题真假的判断及否定，四种命题及其关系，充分条件和必要条件的判断等，同时要注意与其他知识的联系．本单元问题的解答蕴涵了丰富的数学思想方法，如数形结合思想、等价转化思想、分类讨论思想和函数与方程的思想等，在复习中应注意总结领会．第1讲集合的概念与运算1．了解集合的含义、体会元素与集合的属于关系，了解空集、全集的意义．2．理解集合之间的包含与相等关系，能识别给定集合的子集．3．理解交集、并集、补集的概念，会求两个简单集合的交集与并集，会求给定子集的补集．知识梳理1．集合的含义与表示(1)一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)．集合中的元素具有确定性、互异性和无序性三个特征．(2)如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A，如果a不是集合A 的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A.(3)常见数集的记法集合符号自然数集N正整数集N*或N＋整数集Z有理数集Q实数集R(4)常用的集合表示法有：列举法、描述法和图示法.2．集合间的基本关系(1)如果集合A中任何一个元素都是集合B的元素，则称集合A是集合B的子集，记作：A⊆B(或B⊇A).(2)如果集合A⊆B，但存在x∈B，且x∉A，则称集合A是集合B的真子集，记作：A B(或B A).(3)若A⊆B且B⊆A，则集合A与集合B中的元素是一样的，则称集合A与集合B相等．3．集合的基本运算(1)交集：由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合，叫做A与B的交集，记作A∩B，即A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}.(2)并集：由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，叫做A与B的并集，记作A∪B，即A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}.(3)补集：集合A是集合U的子集，由U中所有不属于A的元素组成的集合，叫做U 中子集A的补集，记作∁U A，即∁U A＝{x|x∈U，且x∉A}.1．空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集.2．若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，非空子集有2n－1个，真子集有2n－1个．3．A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B.热身练习1．已知集合A＝{x|x<2}，a＝3，则下列关系正确的是(D)A．a⊆A B．a∉AC．{a}∈A D．{a}⊆A由于3<2，所以a∈A，即{a}⊆A. 2．(2018·达州模拟)已知集合A＝{1,2,3}，B＝{2,3}，则(D)A．A∩B＝∅B．∁A B＝BC．A B D．B AA＝{1,2,3}，B＝{2,3}，所以B⊆A，1∈A但1∉B，所以B A.3．(2017·天津卷)设集合A＝{1,2,6}，B＝{2,4}，C＝{1,2,3,4}，则(A∪B)∩C＝(B)A．{2}B．{1,2,4}C．{1,2,4,6}D．{1,2,3,4,6}＝(－1,0)，C正确；A∪(∁B)＝(－1，＋∞)，D错误．因为A∪B＝{1,2,6}∪{2,4}＝{1,2,4,6}，所以(A∪B)∩C＝{1,2,4,6}∩{1,2,3,4}＝{1,2,4}．4．(2018·石家庄二模)设集合A＝{x|－1<x≤2}，B＝{x|x<0}，则下列结论正确的是(C) A．A∪B＝{x|x<0}B．(∁R A)∩B＝{x|x<－1}C．A∩B＝{x|－1<x<0}D．A∪(∁RB)＝{x|x≥0}因为A＝{x|－1<x≤2}＝(－1,2]，B＝{x|x<0}＝(－∞，0)，所以A∪B＝(－∞，2]，A错误；(∁RA)∩B＝(－∞，－1]，B错误；A∩BR5．(2018·湖南长郡中学联考)集合{y∈N|y＝－x2＋6，x∈N}的真子集的个数是(C)A．3B．4C．7D．8由{y∈N|y＝－x2＋6，x∈N}知，y≥0，所以－x2＋6≥0，又x∈N，所以x＝0,1,2.所以集合为{2,5,6}，其真子集的个数为23－1＝7.(2)设 a ，b ∈R ，集合⎨a ，a ，1⎬＝{a 2，a ＋b,0}，则 a 2019＋b 2019＝__________.n集合的基本概念(1)(经典真题)已知集合 A ＝{x|x ＝3n ＋2，∈N }，B ＝{6,8,10,12,14}，则集合 A ∩B 中元素的个数为A ．5B ．4C ．3D ．2⎧ b ⎫ ⎩⎭(2)考虑集合{a ， ，1}中哪一个元素为 0 入手，利用集合中的元素的确定性和互异性进行(1)求解本题，关键是理解集合 A 的意义，将集合 A 进行化简，可以采用特殊化的方法．A ＝{x|x ＝3n ＋2，n ∈N }＝{2,5,8,11,14，…}，所以 A 与 B 的共同元素只有 8,14 两个，故选 D.ba分析．若 a ＝0，则b无意义，所以 a ≠0，a所以b ＝0，从而 b ＝0，所以{a ，b，1}＝{a,0,1}．a a由{a,0,1}＝{a 2，a,0}，得 a 2＝1，即 a ＝1 或 a ＝－1.又根据集合中元素的互异性 a ＝1 应舍去，所以 a ＝－1.故 a 2019＋b 2019＝(－1)2019＝－1.(1)D(2)－1(1)用描述法表示集合，首先要搞清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，分清是数集、点集还是其他类型的集合．(2)解决含有参数的集合问题时，要注意集合中元素的特征，并注意用互异性进行检验．(3)分类讨论的思想方法常用于解决集合问题．1．(1)若集合 A ＝{x ∈R |ax 2＋ax ＋1＝0}中只有一个元素，则 a 等于(A) A ．4 B ．2C ．0D ．0 或 2(2)已知集合 A ＝{m ＋2,2m 2＋m }，若 3∈A ，则 m 的值为 －3.2(1)当 a ＝0 时，方程化为 1＝0，无解，集合 A 为空集，不符合题意；当 a ≠0 时，由 Δ＝a 2－4a ＝0，解得 a ＝4.(2)因为 3∈A ，所以 m ＋2＝3 或 2m 2＋m ＝3，若 m ＋2＝3，解得 m ＝1，此时 A ＝{3,3}与集合中元素的互异性矛盾，所以 m ＝1，不符合题意；若2m 2＋m ＝3，解得 m ＝1(舍去)或 m ＝－3. 故所求 m 的值为－3.2检验知 m ＝－3满足题意．22集合间的基本关系已知集合 A ＝{x|x 2－3x －10≤0}，若集合B ＝{x|p ＋1≤x ≤2p －1}，且 B A ，则实数 p 的取值范围为________．欲求实数p的取值范围，只需找出关于p 的不等式，可由已知条件，结合数轴找到．由x2－3x－10≤0，解得－2≤x≤5，所以A＝{x|－2≤x≤5}．B A，则有①当B≠时，利用数轴可知：⎧⎪p＋1≤2p－1，⎨－2≤p＋1，解得2≤p≤3.⎪⎩2p－1≤5，②当B＝时，有p＋1>2p－1，即p<2.综合①②得实数p的取值范围是(－∞，3]．(－∞，3]解决有关集合的包含关系的问题时，要注意：(1)所给集合若能化简，则先化简；(2)充分利用数轴、韦恩图等辅助解题；(3)注意空集的特殊性，一般地，若B⊆A，则应分B＝∅与B≠∅两种情况进行讨论．2．已知集合A＝{x|x2－3x－10≤0}，若集合B＝{x|p－6≤x≤2p－1}，且A∩B＝A，则实数p的取值范围为[3,4].由例2知，A＝{x|－2≤x≤5}．A∩B＝A，所以A B，画出示意图(如下图)，⎧⎪2p－1>p－6，所以⎨p－6≤－2，⎪⎩2p－1≥5，⎧p>－5，解得⎨p≤4，⎩p≥3.所以3≤p≤4.故p的取值范围为[3,4]．A ．A ∩B ＝⎨x|x <2⎬ B ．A ∩B ＝∅ C ．A ∪B ＝⎨x|x <2⎬ D ．A ∪B ＝R集合的基本运算(1)(2017· 全国卷Ⅰ)已知集合 A ＝{x|x<2}，B ＝{x|3－2x>0}，则()⎧ 3⎫ ⎩⎭⎧ 3⎫ ⎩⎭(2)(2018· 宝鸡二模)已知全集 U ＝{1,2,3,4,5,6}，集合 M ＝{2,3,5}，N ＝{4,5}，则集合{1,6}可以表示为( )A ．M ∩NB ．M ∪NC. ∁U (M ∪N ) D ．∁U (M ∩N )因为B＝{x|3－2x>0}＝⎧⎨x|x<⎫⎬，A＝{x|x<2}，所以A∩B＝⎧⎨x|x<⎫⎬，A∪B＝{x|x<2}．所以(M∪N)＝{1,6}，故选C.(1)首先化简集合A，B，再利用数轴得到A∩B和A∪B.3⎩2⎭3⎩2⎭(2)画出韦恩图，如图，U(1)A(2)C进行集合的运算时，要注意：①明确集合中元素的意义；②注意将所给集合化简，使之明确化；③注意数形结合，利用韦恩图、数轴等辅助解题．- 21 -/23(2)(2018· 广州一模)设集合 A ＝{x| <0}，B ＝{x|x ≤－3}，则集合{x|x ≥1}＝(D)3．(1)(2018·天津卷)设集合 A ＝{1,2,3,4}，B ＝{－1,0,2,3}，C ＝{x ∈R|－1≤x<2}，则(A ∪B)∩C ＝(C)A ．{－1,1}B ．{0,1}C ．{－1,0,1}D ．{2,3,4}x ＋3x －1A ．A ∩B B ．A ∪BC ．(∁R A)∪(∁R B)D ．(∁R A)∩(∁R B)(1)因为 A ＝{1,2,3,4}，B ＝{－1,0,2,3}，所以 A ∪B ＝{－1,0,1,2,3,4}．又 C ＝{x ∈R|－1≤x<2}，所以(A ∪B)∩C ＝{－1,0,1}，故选 C.- 22 - / 23所以∁ A ＝{x|x ≥1，或 x ≤－3}，∁ B ＝{x|x >－3}．易知(∁ A)∩(∁ B)＝{x|x ≥1}，故选 D.x ＋3(2)因为 A ＝{x| <0}＝{x|－3<x<1}，B ＝{x|x ≤－3}，x －1 R R R R1．研究集合的有关问题，首先要理解集合的概念，其次要注意集合中元素的三个特征：确定性、无序性和互异性，尤其要注意集合中元素的互异性，当集合中的元素含有参数时， 要根据互异性进行检验．2．处理集合问题时，首先要理解用描述法表示的集合的意义，关键是抓住集合的代表元 素．首先看“{ | }”的左边元素的代表形式，然后看右边元素满足的性质，这是认清集合元 素的关键．例如，{y|y ＝f(x)}是数集，表示函数 y ＝f(x)的值域；{x|y ＝f(x)}是数集，表示函数 y ＝f(x)的定义域；{(x ，y)|y ＝f(x)}是点集，表示函数 y ＝f(x)图象上的点构成的集合．3．注意空集∅的特殊性，在解题时，若未能指明集合非空时，要考虑空集的可能性，如 A B ，则有 A ＝∅或 A ≠∅两种可能，解题时常常遗漏对空集的讨论，这一点应引起重视．4．研究集合的关系，处理集合的交、并、补的运算问题，常用韦恩图、数轴等几何工具 辅助解题．一般地，对离散的数集、抽象的集合间的关系及运算，可借助韦恩图，而对连续 的集合间的运算及关系，可借助数轴的直观性，进行合理转化．解题时，首先要把集合进行 化简，使之明确化，尽可能地借助数轴、韦恩图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、 直观化，这实质是数形结合思想在集合中的具体应用．5．处理含参数的集合的包含关系及集合的运算时，端点值的取舍也是一个难点和重点， 其解决办法是对端点值进行单独考虑．- 23 - / 23。
2019-2020学年高一数学《集合及其运算》全套讲义知识点总结及例题讲解一、集合的含义1.集合中元素的特性：确定性、互异性和无序性．2．元素与集合的关系(1)属于：如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A.(2)不属于：如果a不是集合A中的元素，就说a不属于A，记作a∉A.3.常见的数集及表示符号【例1】①中国各地最美的乡村；②直角坐标系中横、纵坐标相等的点；③不小于3的自然数；④2018年第23届冬季奥运会金牌获得者．A．③④B．②③④C．②③D．②④B[①中“最美”标准不明确，不符合确定性，②③④中的元素标准明确，均可构成集合，故选B.]判断一组对象能否组成集合的标准判断一组对象能否组成集合，关键看该组对象是否满足确定性，如果此组对象满足确定性，就可以组成集合；否则，不能组成集合.同时还要注意集合中元素的互异性、无序性.1．判断下列说法是否正确，并说明理由．(1)大于3小于5的所有自然数构成一个集合；(2)直角坐标平面内第一象限的一些点组成一个集合；(3)方程(x－1)2(x＋2)＝0所有解组成的集合有3个元素．[解](1)正确，(1)中的元素是确定的，互异的，可以构成一个集合．(2)不正确，“一些点”标准不明确，不能构成一个集合．(3)不正确，方程的解只有1和－2，集合中有2个元素．【例2】①π∈R；②2∉Q；③0∈N*；④|－5|∉N*.A．1B．2 C．3D．4(2)已知集合A含有三个元素2,4,6，且当a∈A，有6－a∈A，那么a为()A．2 B．2或4C．4 D．0(1)B(2)B[(1)①π是实数，所以π∈R正确；②2是无理数，所以2∉Q正确；③0不是正整数，所以0∈N*错误；④|－5|＝5为正整数，所以|－5|∉N*错误．故选B.(2)集合A含有三个元素2,4,6，且当a∈A，有6－a∈A，a＝2∈A,6－a＝4∈A，所以a＝2，或者a＝4∈A,6－a＝2∈A，所以a＝4，综上所述，a＝2或4.故选B.]判断元素与集合关系的两种方法(1)直接法：如果集合中的元素是直接给出的，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可.(2)推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征.2．集合A 中的元素x 满足63－x∈N ，x ∈N ，则集合A 中的元素为________． 0,1,2 [∵63－x ∈N ， ∴3－x ＝1或2或3或6，即x ＝2或1或0或－3.又x ∈N ，故x ＝0或1或2.即集合A 中的元素为0,1,2.][1．若集合A 中含有两个元素a ，b ，则a ，b 满足什么关系？提示：a ≠b .2．若1∈A ，则元素1与集合A 中的元素a ，b 存在怎样的关系？提示：a ＝1或b ＝1.【例3】 已知集合A 含有两个元素1和a 2，若a ∈A ，求实数a 的值．[思路点拨] A 中含有两个元素：1和a 2―――→a ∈Aa ＝1或a 2＝a ―――→求a 的值检验集合中元素的互异性 [解] 由题意可知，a ＝1或a 2＝a ，(1)若a ＝1，则a 2＝1，这与a 2≠1相矛盾，故a ≠1.(2)若a 2＝a ，则a ＝0或a ＝1(舍去)，又当a ＝0时，A 中含有元素1和0，满足集合中元素的互异性，符合题意．综上可知，实数a 的值为0.1．解决含有字母的问题，常用到分类讨论的思想，在进行分类讨论时，务必明确分类标准．2．本题在解方程求得a 的值后，常因忘记验证集合中元素的互异性，而造成过程性失分．提醒：解答此类问题易忽视互异性而产生增根的情形．1．判断一组对象的全体能否构成集合的依据是元素的确定性，若考查的对象是确定的，就能组成集合，否则不能组成集合．2．集合中的元素具有三个特性，求解与集合有关的字母参数值(范围)时，需借助集合中元素的互异性来检验所求参数是否符合要求．3．解答含有字母的元素与集合之间关系的问题时，要有分类讨论的意识．1．思考辨析(1)接近于0的数可以组成集合．()(2)分别由元素0,1,2和2,0,1组成的两个集合是相等的．()(3)一个集合中可以找到两个相同的元素．()[答案](1)×(2)√(3)×2．已知集合A由x<1的数构成，则有()A．3∈A B．1∈AC．0∈A D．－1∉AC[∵0<1，∴0是集合A中的元素，故0∈A.]3．下列各组对象不能构成一个集合的是()A．不超过20的非负实数B．方程x2－9＝0在实数范围内的解C.3的近似值的全体D．某校身高超过170厘米的同学的全体C[A项，不超过20的非负实数，元素具有确定性、互异性、无序性，能构成一个集合．B项，方程x2－9＝0在实数范围内的解，元素具有确定性、互异性、无序性，能构成一个集合．C项，3的近似值的全体，元素不具有确定性，不能构成一个集合．D项，某校身高超过170厘米的同学，同学身高具有确定性、互异性、无序性，能构成一个集合．故选C.]4．已知集合A含有两个元素a－3和2a－1，若－3∈A，试求实数a的值．[解]∵－3∈A，∴－3＝a－3或－3＝2a－1，若－3＝a－3，则a＝0，此时集合A中含有两个元素－3，－1，符合题意；若－3＝2a－1，则a＝－1，此时集合A中含有两个元素－4，－3，符合题意．综上所述，a＝0或a＝－1.二、集合的表示方法1．集合的表示方法(1)列举法：把集合中的元素一一列举出来(相邻元素之间用逗号分隔)，并写在大括号内，以此来表示集合的方法叫做列举法．(2)描述法：一般地，如果属于集合A的任意一个元素x都具有性质p(x)，而不属于集合A的元素都不具有这个性质，则性质p(x)称为集合A的一个特征性质．此时，集合A可以用它的特征性质p(x)表示为{x|p(x)}．这种表示集合的方法，称为特征性质描述法，简称为描述法．2．区间的概念设a，b是两个实数，且a＜b：(1)集合{x|a≤x≤b}可简写为[a，b]，并称为闭区间；(2)集合{x|a＜x＜b}可简写为(a，b)，并称为开区间；(3)集合{x|a≤x＜b}可简写为[a，b)，集合{x|a＜x≤b}可简写为(a，b]，并都称为半开半闭区间；(4)用“＋∞”表示正无穷大，用“－∞”表示负无穷大，实数集R可以用区间表示为(－∞，＋∞)；(5)满足不等式x≥a，x＞a和x≤b，x＜b的实数x的集合用区间分别表示为[a，＋∞)，(a，＋∞)，(－∞，b]，(－∞，b)．【例1】() A．1B．2C．3D．4(2)用列举法表示下列集合．①不大于10的非负偶数组成的集合；②方程x 2＝x 的所有实数解组成的集合；③直线y ＝2x ＋1与y 轴的交点所组成的集合；④方程组⎩⎨⎧ x ＋y ＝1，x －y ＝－1的解． (1)B [集合A ＝{(1,2)，(3,4)}中有两个元素(1,2)和(3,4)．选B.](2)[解] ①因为不大于10是指小于或等于10，非负是大于或等于0的意思，所以不大于10的非负偶数集是{0,2,4,6,8,10}．②方程x 2＝x 的解是x ＝0或x ＝1，所以方程的解组成的集合为{0,1}． ③将x ＝0代入y ＝2x ＋1，得y ＝1，即交点是(0,1)，故两直线的交点组成的集合是{(0,1)}．④解方程组⎩⎨⎧ x ＋y ＝1，x －y ＝－1，得⎩⎨⎧ x ＝0，y ＝1.∴用列举法表示方程组⎩⎨⎧x ＋y ＝1，x －y ＝－1的解集为{(0,1)}．用列举法表示集合的步骤(1)求出集合的元素；(2)把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次；(3)用大括号括起来.1．已知集合A ＝{－2，－1,0,1,2,3}，对任意a ∈A ，有|a |∈B ，且B 中只有4个元素，求集合B .[解] 对任意a ∈A ，有|a |∈B ，因为集合A ＝{－2，－1,0,1,2,3}，由－1，－2,0,1,2,3∈A ，知0,1,2,3∈B .又因为B 中只有4个元素，所以B ＝{0,1,2,3}．【例2】(1)方程x2－2＝0的所有实数根组成的集合；(2)由大于10小于20的所有整数组成的集合．[解](1)设方程x2－2＝0的实数根为x，并且满足条件x2－2＝0，因此，用描述法表示为A＝{x∈R|x2－2＝0}．方程x2－2＝0有两个实数根2，－2，因此，用列举法表示为A＝{2，－2}．(2)设大于10小于20的整数为x，它满足条件x∈Z，且10<x<20.因此，用描述法表示为B＝{x∈Z|10<x<20}．大于10小于20的整数有11,12,13,14,15,16,17,18,19，因此，用列举法表示为B＝{11,12,13,14,15,16,17,18,19}．集合中的元素具有无序性、互异性，所以用列举法表示集合时不必考虑元素的顺序，且元素不能重复，元素与元素之间要用“，”隔开；用描述法表示集合时，要注意代表元素是什么，从而理解集合的含义，区分两集合是不是相等的集合.2．用描述法表示下列集合：(1)方程x2＋y2－4x＋6y＋13＝0的解集；(2)二次函数y＝x2－10图像上的所有点组成的集合．[解](1)方程x2＋y2－4x＋6y＋13＝0可化为(x－2)2＋(y＋3)2＝0，解得x＝2，y＝－3.所以方程的解集为{(x，y)|x＝2，y＝－3}．(2)“二次函数y＝x2－10图像上的所有点”用描述法表示为{(x，y)|y＝x2－10}．角度一【例3】若集合A＝{x|ax2＋ax－1＝0}只有一个元素，则a＝()A. －4B. 0C. 4D. 0或－4A [依题意，得关于x 的方程ax 2＋ax －1＝0只有一个实根，所以⎩⎨⎧a ≠0，Δ＝0，即⎩⎨⎧ a ≠0，a 2＋4a ＝0，解得a ＝－4，选A.]在集合的表示方法中，经常利用核心素养中的逻辑推理，通过对元素个数与特性的验证分析，探索参数的取值范围.3．若集合A ＝{x |ax 2＋ax ＋1＝0，x ∈R }不含有任何元素，则实数a 的取值范围是________．[0,4) [当a ＝0时，原方程可化为1＝0，显然方程无解，当a ≠0时，一元二次方程ax 2＋ax ＋1＝0无实数解，则需Δ＝a 2－4a ＜0，即a (a －4)＜0，依题意，得⎩⎨⎧ a >0，a －4<0，或⎩⎨⎧a <0，a －4>0，解得0<a <4，综上，得0≤a <4.] 角度二 对参数分类讨论问题【例4】 已知集合A ＝{x |ax 2＋2x ＋1＝0，a ∈R }．(1)若A 中有且只有一个元素，求a 的取值集合．(2)若A 中至多有一个元素，求a 的取值范围．[解] (1)由题意知，A 中有且只有一个元素，即对应方程ax 2＋2x ＋1＝0有且只有一根或有两个相等的实根．当a ＝0时，对应方程为一次方程，此时A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－12，符合题意； 当a ≠0时，对应方程ax 2＋2x ＋1＝0有两个相等实根，即Δ＝4－4a ＝0，a ＝1，符合题意．综上所述，a 的取值集合为{0,1}．(2)由题意知，A 中至多有一个元素，即对应方程ax 2＋2x ＋1＝0无根或只有一根，由(1)知，当a ＝0或1时，A中有且只有一个元素，符合题意；当Δ＝4－4a ＜0，即a ＞1时，对应方程ax 2＋2x ＋1＝0无实根，即A 中无元素，符合题意．综上所述，a 的取值范围为{a |a ＝0或a ≥1}．识别集合含义的两个步骤(1)一看代表元素：例如{x |p (x )}表示数集，{(x ，y )|y ＝p (x )}表示点集. (2)二看条件：即看代表元素满足什么条件(公共特性).提醒：一般地，集合{x |f (x )＝0}表示方程f (x )＝0的解集；,{x |f (x )＞0}表示不等式f (x )＞0的解集；,{x |y ＝f (x )}表示y ＝f (x )中x 的取值的集合；,{y |y ＝f (x )}表示y ＝f (x )中y 的取值的集合.4．若A ＝{x |ax 2＋2x ＋1＝0，a ∈R }＝∅，求a 的取值范围．[解] 因为A ＝∅，则集合A 无元素，即关于x 的方程ax 2＋2x ＋1＝0无实数解，所以a ≠0，且Δ＜0，即⎩⎨⎧ a ≠0，4－4a ＜0，解得a ＞1，所以a 的取值范围为{a |a ＞1}．1．∅与{0}的区别(1)∅是不含任何元素的集合；(2){0}是含有一个元素的集合．2．在用列举法表示集合时应注意：(1)元素间用分隔号“，”；(2)元素不重复；(3)元素无顺序；(4)列举法可表示有限集，也可以表示无限集，若元素个数比较少用列举法比较简单；若集合中的元素较多或无限，但出现一定的规律性，在不发生误解的情况下，也可以用列举法表示．3．在用描述法表示集合时应注意：(1)弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)，是数、还是有序实数对(点)、还是集合或其他形式；(2)(元素具有怎样的属性)当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真，不能被表面的字母形式所迷惑．4．关于无穷大的两点说明(1)∞是一个符号，而不是一个数；(2)以“－∞”或“＋∞”为区间的一端时，这一端必须用小括号．1．下列说法正确的是()A．0∈∅B．∅＝{0}C．∅中元素的个数为0 D．∅没有子集C[空集是不含任何元素的集合，故∅中元素的个数为0.]2．已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是() A．1 B．3C．5 D．9C[x－y∈{－2，－1,0,1,2}．]3．集合{(x，y)|y＝2x－1}表示()A．方程y＝2x－1B．点(x，y)C．平面直角坐标系中的所有点组成的集合D．函数y＝2x－1图像上的所有点组成的集合D[集合{(x，y)|y＝2x－1}的代表元素是(x，y)，x，y满足的关系式为y＝2x －1，因此集合表示的是满足关系式y＝2x－1的点组成的集合，故选D.] 4．用区间表示下列数集：(1){x|x≥1}＝________；(2){x|2<x≤4}＝________；(3){x|x>－1且x≠2}＝________.[答案](1)[1，＋∞)(2)(2,4](3)(－1,2)∪(2，＋∞)三、集合的基本关系1.维恩图一般地，如果用平面上一条封闭曲线的内部来表示集合，那么可作出示意图来形象地表示集合之间的关系，这种示意图称为维恩图．维恩图的优点及其表示(1)优点：形象直观．(2)表示：通常用封闭曲线的内部代表集合．2．子集、真子集、集合相等的相关概念思考：(1)任何两个集合之间是否有包含关系？(2)符号“∈”与“⊆”有何不同？提示：(1)不一定，如集合A＝{0,1,2}，B＝{－1,0,1}，这两个集合就没有包含关系．(2)符号“∈”表示元素与集合间的关系；而“⊆”表示集合与集合之间的关系．3．集合间关系的性质(1)任何一个集合都是它本身的子集，即A⊆A.(2)对于集合A，B，C.①若A⊆B，且B⊆C，则A⊆C；②若A B，B C，则A C.③若A⊆B，A≠B，则A B.a 的值．[解] A ＝{x |x 2－x ＝0}＝{0,1}．(1)当a ＝0时，B ＝∅⊆A ，符合题意．(2)当a ≠0时，B ＝{x |ax ＝1}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a ， ∵1a ≠0，要使A ⊇B ，只有1a ＝1，即a ＝1.综上，a ＝0或a ＝1.集合A 的子集可分三类：∅、A 本身、A 的非空真子集，解题中易忽略∅.1．已知集合A ＝{x |1<x <2}，B ＝{x |2a －3<x <a －2}，且A ⊇B ，求实数a 的取值范围．[解] (1)当2a －3≥a －2，即a ≥1时，B ＝∅⊆A ，符合题意．(2)当a <1时，要使A ⊇B ，需⎩⎨⎧ a <1，2a －3≥1，a －2≤2，这样的实数a 不存在．综上，实数a 的取值范围是{a |a ≥1}．【例(2)若一个集合有n (n ∈N )个元素，则它有多少个子集？多少个真子集？验证你的结论．[解] (1)∅，{a }，{b }，{c }，{d }，{a ，b }，{a ，c }，{a ，d }，{b ，c }，{b ，d }，{c ，d }，{a ，b ，c }，{a ，b ，d }，{a ，c ，d }，{b ，c ，d }，{a ，b ，c ，d }．(2)若一个集合有n (n ∈N )个元素，则它有2n 个子集，2n －1个真子集．如∅，有一个子集，0个真子集．为了罗列时不重不漏，要讲究列举顺序，这个顺序有点类似于从1到100数：先是一位数，然后是两位数，在两位数中，先数首位是1的等等.2．适合条件{1}⊆A{1,2,3,4,5}的集合A的个数是()A．15B．16C．31D．32A[这样的集合A有{1}，{1,2}，{1,3}，{1,4}，{1,5}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,3,4}，{1,3,5}，{1,4,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}，{1,3,4,5}共15个．]【例3】①{0}∈{0,1,2}；②{0,1,2}⊆{2,1,0}；③∅⊆{0,1,2}；④∅＝{0}；⑤{0,1}＝{(0,1)}；⑥0＝{0}A．1 B．2C．3 D．4(2)指出下列各组集合之间的关系：①A＝{－1,1}，B＝{(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}；②A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}；③M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}．(1)B[对于①，是集合与集合的关系，应为{0}{0,1,2}；对于②，实际为同一集合，任何一个集合是它本身的子集；对于③，空集是任何集合的子集；对于④，{0}是含有单元素0的集合，空集不含任何元素，并且空集是任何非空集合的真子集，所以∅{0}；对于⑤，{0,1}是含有两个元素0与1的集合，而{(0,1)}是以有序数组(0,1)为元素的单元素集合，所以{0,1}与{(0,1)}不相等；对于⑥，0与{0}是“属于与否”的关系，所以0∈{0}．故②③是正确的，应选B.](2)[解]①集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，故A 与B之间无包含关系．②等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故A B.③法一：两个集合都表示正奇数组成的集合，但由于n∈N*，因此集合M含有元素“1”，而集合N不含元素“1”，故N M.法二：由列举法知M＝{1,3,5,7，…}，N＝{3,5,7,9，…}，所以N M.判断集合间关系的方法(1)用定义判断.,首先，判断一个集合A中的任意元素是否属于另一集合B，若是，则A⊆B，否则A不是B的子集；,其次，判断另一个集合B中的任意元素是否属于第一个集合A，若是，则B⊆A，否则B不是A的子集；,若既有A ⊆B，又有B⊆A，则A＝B.(2)数形结合判断.,对于不等式表示的数集，可在数轴上标出集合的元素，直观地进行判断，但要注意端点值的取舍.3．能正确表示集合M＝{x∈R|0≤x≤2}和集合N＝{x∈R|x2－x＝0}关系的维恩图是()B[解x2－x＝0得x＝1或x＝0，故N＝{0,1}，易得N M，其对应的维恩图如选项B所示．]1．对子集、真子集有关概念的理解(1)集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，即由x∈A，能推出x∈B，这是判断A⊆B的常用方法．(2)不能简单地把“A⊆B”理解成“A是B中部分元素组成的集合”，因为若A＝∅时，则A中不含任何元素；若A＝B，则A中含有B中的所有元素．(3)在真子集的定义中，A B首先要满足A⊆B，其次至少有一个x∈B，但x∉A.2．集合子集的个数求集合的子集问题时，一般可以按照子集元素个数分类，再依次写出符合要求的子集．集合的子集、真子集个数的规律为：含n个元素的集合有2n个子集，有2n －1个真子集，有2n－2个非空真子集．写集合的子集时，空集和集合本身易漏掉．1．下列集合中，结果是空集的是()A．{x∈R|x2－1＝0}B．{x|x＞6或x＜1}C．{(x，y)|x2＋y2＝0} D．{x|x＞6且x＜1}D[A.{x∈R|x2－1＝0}＝{1，－1}，B．{x|x＞6或x＜1}不是空集，C．{(x，y)|x2＋y2＝0}＝{(0,0)}，D．{x|x＞6且x＜1}＝∅，故选D.]2．集合P＝{x|x2－1＝0}，T＝{－1,0,1}，则P与T的关系为()A．P⊆T B．P∈TC．P＝T D．P TA[集合P＝{x|x2－1＝0}＝{－1,1}，T＝{－1,0,1}，∴P⊆T，故选A.]3．下列正确表示集合M＝{－1,0,1}和N＝{x|x2＋x＝0}关系的维恩图是()B[由N＝{x|x2＋x＝0}，得N＝{－1,0}．∵M＝{－1,0,1}，∴N M，故选B.]4．已知集合A＝{x|－1＜x＜4}，B＝{x|x＜a}，若A⊆B，则实数a的取值范围________．[4，＋∞)[∵集合A＝{x|－1＜x＜4}，B＝{x|x＜a}，A⊆B，∴a≥4.∴实数a的取值范围是[4，＋∞)．]四、交集和并集1．交集2．并集思考：(1)“x∈A或x∈B”包含哪几种情况？(2)集合A∪B的元素个数是否等于集合A与集合B的元素个数和？提示：(1)“x∈A或x∈B”这一条件包括下列三种情况：x∈A，但x∉B；x∈B，但x∉A；x∈A，且x∈B.用维恩图表示如图所示．(2)不等于．A∪B的元素个数小于或等于集合A与集合B的元素个数和．3．并集与交集的运算性质【例1】B等于() A．{x|0≤x≤2}B．{x|1≤x≤2}C．{x|0≤x≤4} D．{x|1≤x≤4}(2)已知集合A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，B＝{6,8,10,12,14}，则集合A∩B中元素的个数为()A．5 B．4C．3 D．2(1)A(2)D[(1)∵A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤4}，如图，故A∩B＝{x|0≤x≤2}．故选A.(2)∵8＝3×2＋2,14＝3×4＋2，∴8∈A,14∈A，∴A∩B＝{8,14}，故选D.]1．求集合交集的运算的方法(1)定义法，(2)数形结合法．2．若A，B是无限连续的数集，多利用数轴来求解．但要注意，利用数轴表示不等式时，含有端点的值用实心点表示，不含有端点的值用空心点表示．1．(2018·全国卷Ⅰ)已知集合A＝{0,2}，B＝{－2，－1,0,1,2}，则A∩B＝() A．{0,2}B．{1,2}C．{0} D．{－2，－1,0,1,2}A[由题意知A∩B＝{0,2}．]2．设集合A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|x<a}，若A∩B≠∅，则a的取值范围是()A．－1<a≤2 B．a>2C．a≥－1 D．a>－1D[因为A∩B≠∅，所以集合A，B有公共元素，在数轴上表示出两个集合，如图所示，易知a>－1.]【例22＝0，x∈R}，则M∪N＝()A．{0}B．{0,2}C．{－2,0} D．{－2,0,2}(2)已知集合M＝{x|－3<x≤5}，N＝{x|x<－5或x>5}，则M∪N＝()A．{x|x<－5或x>－3}B．{x|－5<x<5}C．{x|－3<x<5}D．{x|x<－3或x>5}(1)D(2)A[M＝{x|x2＋2x＝0，x∈R}＝{0，－2}，N＝{x|x2－2x＝0，x∈R}＝{0,2}，故M∪N＝{－2,0,2}，故选D.(2)在数轴上表示集合M，N，如图所示，则M∪N＝{x|x<－5或x>－3}．]求集合并集的两种基本方法(1)定义法：若集合是用列举法表示的，可以直接利用并集的定义求解；(2)数形结合法：若集合是用描述法表示的由实数组成的数集，则可以借助数轴分析法求解.3．已知集合A＝{0,2,4}，B＝{0,1,2,3,5}，则A∪B＝________.{0,1,2,3,4,5} [A ∪B ＝{0,2,4}∪{0,1,2,3,5}＝{0,1,2,3,4,5}．][1．设A ，B 是两个集合，若A ∩B ＝A ，A ∪B ＝B ，则集合A 与B 具有什么关系？提示：A ∩B ＝A ⇔A ∪B ＝B ⇔A ⊆B .2．若A ∩B ＝A ∪B ，则集合A ，B 间存在怎样的关系？提示：若A ∩B ＝A ∪B ，则集合A ＝B .【例3】 已知集合A ＝{x |－3<x ≤4}，集合B ＝{x |k ＋1≤x ≤2k －1}，且A ∪B ＝A ，试求k 的取值范围．[思路点拨] A ∪B ＝A ――――→等价转化B ⊆A ――→分B ＝∅和B ≠∅建立k 的不等关系――→求交集得k 的范围[解] (1)当B ＝∅，即k ＋1>2k －1时，k <2，满足A ∪B ＝A .(2)当B ≠∅时，要使A ∪B ＝A ，只需⎩⎨⎧ －3<k ＋1，4≥2k －1，k ＋1≤2k －1，解得2≤k ≤52.综合(1)(2)可知k ≤52.1．把本例条件“A ∪B ＝A ”改为“A ∩B ＝A ”，试求k 的取值范围．[解] 由A ∩B ＝A 可知A ⊆B .所以⎩⎨⎧ －3≥k ＋1，2k －1≥4，即⎩⎪⎨⎪⎧ k ≤－4，k ≥52，所以k ∈∅.所以k 的取值范围为∅.2．把本例条件“A ∪B ＝A ”改为“A ∪B ＝{x |－3<x ≤5}”，求k 的值．[解] 由题意可知⎩⎨⎧－3<k ＋1≤4，2k －1＝5，解得k ＝3. 所以k 的值为3.1．对并集、交集概念的理解(1)对于并集，要注意其中“或”的意义，“或”与通常所说的“非此即彼”有原则性的区别，它们是“相容”的．“x ∈A ，或x ∈B ”这一条件，包括下列三种情况：x ∈A 但x ∉B ；x ∈B 但x ∉A ；x ∈A 且x ∈B .因此，A ∪B 是由所有至少属于A ，B 两者之一的元素组成的集合．(2)A ∩B 中的元素是“所有”属于集合A 且属于集合B 的元素，而不是部分，特别地，当集合A 和集合B 没有公共元素时，不能说A 与B 没有交集，而是A ∩B ＝∅.2．集合的交、并运算中的注意事项(1)对于元素个数有限的集合，可直接根据集合的“交”“并”定义求解，但要注意集合元素的互异性．(2)对于元素个数无限的集合，进行交、并运算时，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意端点值取到与否．1．思考辨析(1)集合A ∪B 中的元素个数就是集合A 和集合B 中的所有元素的个数和．( )(2)当集合A 与集合B 没有公共元素时，集合A 与集合B 就没有交集.( ) (3)若A ∪B ＝A ∪C ，则B ＝C .( ) (4)A ∩B ⊆A ∪B . ( )[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√2．已知集合M ＝{－1,0,1}，P ＝{0,1,2,3}，则图中阴影部分所表示的集合是( )A．{0,1}B．{0}C．{－1,2,3} D．{－1,0,1,2,3}D[由维恩图，可知阴影部分所表示的集合是M∪P.因为M＝{－1,0,1}，P ＝{0,1,2,3}，故M∪P＝{－1,0,1,2,3}．故选D.]3．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{x|(x＋1)(x－2)＝0，x∈Z}，则A∩B＝() A．{1}B．{2}C．{－1,2}D．{1,2,3}B[∵B＝{x|(x＋1)(x－2)＝0，x∈Z}＝{－1,2}，A＝{1,2,3}，∴A∩B＝{2}．] 4．设A＝{x|x2＋ax＋12＝0}，B＝{x|x2＋3x＋2b＝0}，A∩B＝{2}，C＝{2，－3}．(1)求a，b的值及A，B；(2)求(A∪B)∩C.[解](1)∵A∩B＝{2}，∴4＋2a＋12＝0，即a＝－8，4＋6＋2b＝0，即b ＝－5，∴A＝{x|x2－8x＋12＝0}＝{2,6}，B＝{x|x2＋3x－10＝0}＝{2，－5}．(2)∵A∪B＝{－5,2,6}，C＝{2，－3}，∴(A∪B)∩C＝{2}．五、补集1．全集(1)定义：如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集．(2)记法：全集通常记作U.思考：全集一定是实数集R吗？提示：全集是一个相对概念，因研究问题的不同而变化，如在实数范围内解不等式，全集为实数集R，而在整数范围内解不等式，则全集为整数集Z.2．补集【例1】(1)U，∁U B＝{1,4,6}，则集合B＝________；(2)已知全集U＝{x|x≤5}，集合A＝{x|－3≤x<5}，则∁U A＝________.(1){2,3,5,7}(2){x|x<－3或x＝5}[(1)法一(定义法)：因为A＝{1,3,5,7}，∁U A＝{2,4,6}，所以U＝{1,2,3,4,5,6,7}．又∁U B＝{1,4,6}，所以B＝{2,3,5,7}．法二(Venn图法)：满足题意的Venn图如图所示．由图可知B＝{2,3,5,7}．(2)将集合U和集合A分别表示在数轴上，如图所示．由补集的定义可知∁U A＝{x|x<－3或x＝5}．]求集合的补集的方法(1)定义法：当集合中的元素较少时，可利用定义直接求解.(2)Venn图法：借助Venn图可直观地求出全集及补集.(3)数轴法：当集合中的元素连续且无限时，可借助数轴求解，此时需注意端点问题.1．(1)设集合A＝{x∈N*|x≤6}，B＝{2,4}，则∁A B等于()A．{2,4}B．{0,1,3,5}C．{1,3,5,6} D．{x∈N*|x≤6}(2)已知U＝{x|x>0}，A＝{x|2≤x<6}，则∁U A＝______.(1)C(2){x|0<x<2，或x≥6}[(1)因为A＝{x∈N*|x≤6}＝{1,2,3,4,5,6}，B ＝{2,4}，所以∁A B＝{1,3,5,6}．故选C.(2)如图，分别在数轴上表示两集合，则由补集的定义可知，∁U A＝{x|0<x<2，或x≥6}．]【例R∁R(A∪B)及(∁R A)∩B.[解]把集合A，B在数轴上表示如下：由图知∁R B＝{x|x≤2，或x≥10}，A∪B＝{x|2<x<10}，所以∁R(A∪B)＝{x|x≤2，或x≥10}．因为∁R A＝{x|x<3，或x≥7}，所以(∁R A)∩B＝{x|2<x<3，或7≤x<10}．解决集合交、并、补运算的技巧(1)如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合交集、并集、补集的定义来求解.在解答过程中常常借助于Venn图来求解.(2)如果所给集合是无限集，则常借助数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后进行交、并、补集的运算.解答过程中要注意边界问题.2．全集U＝{x|x<10，x∈N*}，A⊆U，B⊆U，(∁U B)∩A＝{1,9}，A∩B＝{3}，(∁U A)∩(∁U B)＝{4,6,7}，求集合A，B.[解]法一(Venn图法)：根据题意作出Venn图如图所示．由图可知A ＝{1,3,9}，B ＝{2,3,5,8}．法二(定义法)：(∁U B )∩A ＝{1,9}，(∁U A )∩(∁U B )＝{4,6,7}，∴∁U B ＝{1,4,6,7,9}． 又U ＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}， ∴B ＝{2,3,5,8}．∵(∁U B )∩A ＝{1,9}，A ∩B ＝{3}， ∴A ＝{1,3,9}.[1．若A ，B 是全集U 的子集，且(∁U A )∩B ＝∅，则集合A ，B 存在怎样的关系？提示：B ⊆A .2．若A ，B 是全集U 的子集，且(∁U A )∪B ＝U ，则集合A ，B 存在怎样的关系？提示：A ⊆B .【例3】 设集合A ＝{x |x ＋m ≥0}，B ＝{x |－2<x <4}，全集U ＝R ，且(∁U A )∩B ＝∅，求实数m 的取值范围．[思路点拨] 法一：由A 求∁U A ―――――→结合数轴∁U A ∩B ＝∅建立m 的不等关系法二：(∁U A )∩B ＝∅――――→等价转化B ⊆A[解] 法一(直接法)：由A ＝{x |x ＋m ≥0}＝{x |x ≥－m }，得∁U A ＝{x |x <－m }． 因为B ＝{x |－2<x <4}，(∁U A )∩B ＝∅，所以－m ≤－2，即m ≥2， 所以m 的取值范围是{m |m ≥2}．法二(集合间的关系)：由(∁U A)∩B＝∅可知B⊆A，又B＝{x|－2<x<4}，A＝{x|x＋m≥0}＝{x|x≥－m}，结合数轴：得－m≤－2，即m≥2.由集合的补集求解参数的方法(1)如果所给集合是有限集，由补集求参数问题时，可利用补集定义并结合知识求解.(2)如果所给集合是无限集，与集合交、并、补运算有关的求参数问题时，一般利用数轴分析法求解.1．求某一集合的补集的前提必须明确全集，同一集合在不同全集下的补集是不同的．2．补集作为一种思想方法，为我们研究问题开辟了新思路，在正向思维受阻时，改用逆向思维，如若直接求A困难，则使用“正难则反”策略，先求∁U A，再由∁U(∁U A)＝A求A.1．思考辨析(1)全集一定含有任何元素．()(2)集合∁R A＝∁Q A.()(3)一个集合的补集一定含有元素．()[答案](1)×(2)×(3)×2．U＝{0,1,2,3,4}，集合A＝{1,2,3}，B＝{2,4}，则(∁U A)∪B为()A．{1,2,4}B．{2,3,4}C．{0,2,3,4} D．{0,2,4}D[∵∁U A＝{0,4}，B＝{2,4}，∴(∁U A)∪B＝{0,2,4}．]3．设集合S ＝{x |x >－2}，T ＝{x |－4≤x ≤1}，则(∁R S )∪T 等于( ) A ．{x |－2<x ≤1} B ．{x |x ≤－4} C ．{x |x ≤1}D ．{x |x ≥1}C [因为S ＝{x |x >－2}， 所以∁R S ＝{x |x ≤－2}． 而T ＝{x |－4≤x ≤1}，所以(∁R S )∪T ＝{x |x ≤－2}∪{x |－4≤x ≤1}＝{x |x ≤1}．]4．已知全集U ＝{2,0,3－a 2}，U 的子集P ＝{2，a 2－a －2}，∁U P ＝{－1}，求实数a 的值．[解] 由已知，得－1∈U ，且－1∉P ，因此⎩⎨⎧3－a 2＝－1，a 2－a －2＝0，解得a ＝2.当a ＝2时，U ＝{2,0，－1}， P ＝{2,0}，∁U P ＝{－1}，满足题意． 因此实数a 的值为2.近2年高考真题1.(2019全国Ⅰ理)已知集合，则=A ．B ．C ．D ．2.(2019全国Ⅱ理)设集合A ={x |x 2-5x +6>0}，B ={ x |x -1<0}，则A ∩B = A ．(-∞，1) B ．(-2，1)C ．(-3，-1)D ．(3，+∞)3.(2019全国Ⅲ理)已知集合，则A ．B ．C ．D ．4.（2019江苏）已知集合，，则 .5.（2019浙江）已知全集，集合，，则}242{60{}M x x N x x x =-<<=--<，MN }{43x x -<<}42{x x -<<-}{22x x -<<}{23x x <<2{1,0,1,2}{1}A B x x =-=≤，A B ={}1,0,1-{}0,1{}1,1-{}0,1,2{1,0,1,6}A =-{|0,}B x x x =>∈R A B ={}1,0,1,2,3U =-{}0,1,2A ={}1,0,1B =-U ABðA ．B ．C ．D ．6.(2019天津理1)设集合，则A. B. C. D.答案解析1.解析：依题意可得， 所以 故选C ．2.解析：由，，则.故选A.3.解析 因为，，所以．故选A ．4.解析 因为，， 所以.5.解析：，.故选A ．6.解析 设集合，， 则.又， 所以.故选D.{}1-{}0,1?{}1,2,3-{}1,0,1,3-{1,1,2,3,5},{2,3,4},{|13}A B C x x =-==∈<R …()A C B ={}2{}2,3{}1,2,3-{}1,2,3,42426023{|}{|}{} |M x x N x x x x x =-=--=-＜＜，＜＜＜，2|}2{M N x x =-I ＜＜．{}2560(,2)(3,)A x x x =-+>=-∞+∞{}10(,1)A x x =-<=-∞(,1)A B =-∞{}1,0,1,2A =-2{|1}{|11}B x x x x ==-剟?{}1,0,1AB =-{}1,0,1,6A =-{}|0,B x x x =>∈R {}{}{}1,0,1,6|0,1,6AB x x x =->∈=R {1,3}U A =-ð{1}U A B =-ð{}1,1,2,3,5A =-{}13C x x =∈<R …{}1,2A C ={}2,3,4B ={}{}{}{}1,22,3,41,2,3,4A C B ==1．(2018北京)已知集合{|||2}A x x =<，{2,0,1,2}B =-，则AB =A ．{0，1}B ．{–1，0，1}C ．{–2，0，1，2}D ．{–1，0，1，2}2．(2018全国卷Ⅰ)已知集合2{20}=-->A x x x ，则A =R ð A ．{12}-<<x x B ．{12}-≤≤x x C ．{|1}{|2}<->x x x xD ．{|1}{|2}-≤≥x x x x3．(2018全国卷Ⅲ)已知集合{|10}A x x =-≥，{0,1,2}B =，则A B =A ．{0}B ．{1}C ．{1,2}D ．{0,1,2}4．(2018天津)设全集为R ，集合{02}A x x =<<，{1}B x x =≥，则()=R I A B ð A ．{01}x x <≤ B ．{01}x x << C ．{12}x x <≤ D ．{02}x x << 5．(2018浙江)已知全集{1,2,3,4,5}U =，{1,3}A =，则 A ．∅B ．{1，3}C ．{2，4，5}D ．{1，2，3，4，5}答案解析1．A 【解析】{|||2}(2,2)A x x =<=-，{2,0,1,2}B =-，∴{0,1}AB =，故选A ．2．B 【解析】因为2{20}=-->A x x x ，所以2{|20}=--R ≤A x x x ð{|12}=-≤≤x x ，故选B ．3．C 【解析】由题意知，{|10}A x x =-≥，则{1,2}AB =．故选C ．4．B 【解析】因为{1}B x x =≥，所以{|1}R B x x =<ð，因为{02}A x x =<<，=U A ð所以()=R I A B ð{|01}x x <<，故选B ．5．C 【解析】因为{1,2,3,4,5}U =，{1,3}A =，所以{2，4，5}．故选C ．高考模拟题1、（深圳实验、珠海一中等六校2019届高三第二次联考）设全集{}55U x x =-<<，集合{}2450A x x x =--<，集合{}B 24x x =-<<，则(A B)UC ⋃=（ ） A.B.C.D.2、（深圳市宝安区2019届高三9月调研）已知集合2{|1}M x x ==，{|1}N x ax ==，若N M ⊆，则实数a 的取值集合（ ）A ．{1}B ．{1,1}-C ．{1,0}D ．{1,1,0}- 3、（佛山市2019届高三教学质量检测（二））若集合=<-=<<-=B A x x B x x A 求},09|{},25|{2（ ）A ．}23|{<<-x xB ．}25|{<<-x xC ．}33|{<<-x xD ．}35|{<<-x x4、（广州市2019年普通高中毕业班综合测试（二））己知集合A ＝ ，则（ ）A.x|x<2或x ≥6}B.x|x ≤2或x ≥6C.x|x<2或x ≥10}D.x|x ≤2或x ≥105、（揭阳市2019届高三第二次模拟）已知集合{}|11M x x =-<<，{|N x y ==，则MN =（ ）A ．1|12N x x ⎧⎫=≤<⎨⎬⎩⎭B ．1|12N x x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭C ．{}|01N x x =≤<D ．1|12N x x ⎧⎫=-<≤⎨⎬⎩⎭6、（深圳市2019届高三第二次（4月）调研）已知集合2{|0},{|40},M x x N x x =>=-≥则M N =U ( ).=U A ðA. (,2](0,)-∞-+∞UB. (,2][2,)-∞-+∞UC. [3,)+∞D. (0,)+∞7、（雷州市2019届高三上学期期末）设集合}2|{≤=x x A ，}0)3(|{>-=x x x B ，则=B AA ．}2|{≤x xB ．}3|{<x xC ．}32|{<<x xD ．}32|{<≤x x8、（茂名市2019届高三上期末）已知集合A ＝｛1，3，5，7｝，B ＝｛x ｜x 2一7x+10≤0｝，则A ∩B ＝（ ）A 、{1，3｝B 、｛3，5}C 、{5，7｝D 、{1，7｝9、（清远市2019届高三上期末）设集合{}20≤≤∈=x R x M ，{}0)1)(3(<+-∈=x x Z x N ，则=N MA ． []2,0B ． ()3,1-C ． {}1D ． {}2,1,010、（广州市天河区2019高考二模）已知全集U ＝R ，M ＝{x |x ＜﹣1}，N ＝{x |x （x +2）＜0}，则图中阴影部分表示的集合是（ ）A ．{x |﹣1≤x ＜0}B ．{x |﹣1＜x ＜0}C ．{x |﹣2＜x ＜﹣1}D ．{x |x ＜﹣1}答案1、A2、D3、A4、D5、A6、A7、B8、B9、D 10、A。
数学高考总复习:集合的概念和运算【考纲要求】1、理解集合及表示法,掌握子集,全集与补集,子集与并集的定义；2、掌握含绝对值不等式及一元二次不等式的解法；3、学会用定义解题,理解数形结合,分类讨论及等价变换等思想方法。
【知识网络】【考点梳理】1、集合的概念:（1）集合中元素特征,确定性,互异性,无序性； （2）集合的分类:①按元素个数分:有限集,无限集；②按元素特征分；数集,点集。
如数集{y|y=x 2},表示非负实数集,点集{(x,y)|y=x 2}表示开口向上,以y 轴为对称轴的抛物线； （3）集合的表示法:①列举法:用来表示有限集或具有显著规律的无限集,如N +={0,1,2,3,…}；②描述法。
2、两类关系:（1）元素与集合的关系,用∈或∉表示；(2)集合与集合的关系,用⊆,≠⊂,=表示,当A ⊆B 时,称A 是B 的子集；当A ≠⊂B 时,称A 是B 的真子集。
3、集合运算(1)交,并,补,定义:A ∩B={x|x ∈A 且x ∈B},A ∪B={x|x ∈A,或x ∈B},C U A=｛x|x ∈U,且x ∉A ｝,集合U 表示全集；（2）运算律,如A ∩(B ∪C)=(A ∩B)∪(A ∩C),C U (A ∩B)=(C U A)∪(C U B), C U (A ∪B)=(C U A)∩(C U B)等。
【典型例题】集 合集 合 表 示 法集 合 的 关 系集 合 的 运 算描 述 法图 示 法列 举 法 相 等包 含 交 集并 集 补 集子集、真子集类型一:集合的概念、性质与运算例1.(2015 陕西高考)设集合2{|}M x x x ==,{|lg 0}N x x =≤,则MN =( )A.[0,1]B.(0,1]C.[0,1)D.(,1]-∞ 答案:A【试题解析】 错误！未找到引用源。
,错误！未找到引用源。
所以错误！未找到引用源。
故选A. 举一反三:【变式】(2015福建高考)若集合{}234,,,A i i i i = (i 是虚数单位),{}1,1B =- ,则A B 等于 ( )A.{}1-B.{}1C.{}1,1-D.φ 答案:C【试题解析】因为错误！未找到引用源。
集合的基本关系及运算【学习目标】1.理解集合之间包含与相等的含义,能识别一些给定集合的子集.在具体情境中,了解空集和全集的含义.2.理解两个集合的交集和并集的含义,会求两个简单集合的交集与并集.理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集. 【要点梳理】要点一：集合之间的关系1.集合与集合之间的“包含”关系集合A 是集合B 的部分元素构成的集合,我们说集合B 包含集合A;子集：如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素,我们说这两个集合有包含关系,称集合A 是集合B 的子集(subset).记作：A B(B A)⊆⊇或,当集合A 不包含于集合B 时,记作A B,用Venn 图表示两个集合间的“包含”关系：A B(B A)⊆⊇或要点诠释：(1)“A 是B 的子集”的含义是：A 的任何一个元素都是B 的元素,即由任意的x A ∈,能推出x B ∈. (2)当A 不是B 的子集时,我们记作“A ⊆B (或B ⊇A )”,读作：“A 不包含于B ”(或“B 不包含A ”). 真子集：若集合A B ⊆,存在元素x ∈B 且x A ∉,则称集合A 是集合B 的真子集(proper subset).记作：A B(或B A)规定：空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集. 2.集合与集合之间的“相等”关系A B B A ⊆⊆且,则A 与B 中的元素是一样的,因此A ＝B要点诠释：任何一个集合是它本身的子集,记作A A ⊆.要点二：集合的运算 1.并集一般地,由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合,称为集合A 与B 的并集,记作：A ∪B 读作：“A 并B ”,即：A ∪B ＝{x|x ∈A,或x ∈B}Venn 图表示：要点诠释：(1)“x ∈A,或x ∈B ”包含三种情况：“,x A x B ∈∉但”;“,x B x A ∈∉但”;“,x A x B ∈∈且”. (2)两个集合求并集,结果还是一个集合,是由集合A 与B 的所有元素组成的集合(重复元素只出现一次).2.交集一般地,由属于集合A 且属于集合B 的元素所组成的集合,叫做集合A 与B 的交集;记作：A ∩B,读作：“A 交B ”,即A ∩B ＝{x|x ∈A,且x ∈B};交集的Venn 图表示：要点诠释：(1)并不是任何两个集合都有公共元素,当集合A 与B 没有公共元素时,不能说A 与B 没有交集,而是A B =∅.(2)概念中的“所有”两字的含义是,不仅“A ∩B 中的任意元素都是A 与B 的公共元素”,同时“A 与B 的公共元素都属于A ∩B ”.(3)两个集合求交集,结果还是一个集合,是由集合A 与B 的所有公共元素组成的集合. 3.补集 全集：一般地,如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素,那么就称这个集合为全集,通常记作U.补集：对于全集U 的一个子集A,由全集U 中所有不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集(complementary set),简称为集合A 的补集,记作：U U A A={x|x U x A}∈∉；即且；痧补集的Venn 图表示：要点诠释：(1)理解补集概念时,应注意补集U A ð是对给定的集合A 和()U A U ⊆相对而言的一个概念,一个确定的集合A ,对于不同的集合U,补集不同.(2)全集是相对于研究的问题而言的,如我们只在整数范围内研究问题,则Z 为全集;而当问题扩展到实数集时,则R 为全集,这时Z 就不是全集.(3)U A ð表示U 为全集时A 的补集,如果全集换成其他集合(如R )时,则记号中“U ”也必须换成相应的集合(即R A ð).4.集合基本运算的一些结论：A B A A B B A A=A A =A B=B A ⋂⊆⋂⊆⋂⋂∅∅⋂⋂，，，， A A B B A B A A=A A =A A B=B A ⊆⋃⊆⋃⋃⋃∅⋃⋃，，，，U U (A)A=U (A)A=⋃⋂∅，痧 若A ∩B ＝A,则A B ⊆,反之也成立 若A ∪B ＝B,则A B ⊆,反之也成立若x ∈(A ∩B),则x ∈A 且x ∈B 若x ∈(A ∪B),则x ∈A,或x ∈B求集合的并、交、补是集合间的基本运算,运算结果仍然还是集合,区分交集与并集的关键是“且”与“或”,在处理有关交集与并集的问题时,常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件,结合Venn 图或数轴进而用集合语言表达,增强数形结合的思想方法. 【典型例题】类型一：集合间的关系例 1. 请判断①0{0} ;②{}R R ∈;③{}∅∈∅;④∅{}∅;⑤{}0∅=;⑥{}0∈∅;⑦{}0∅∈;⑧∅{}0,正确的有哪些？【答案】②③④⑧【试题解析】①错误,因为0是集合{}0中的元素,应是{}00∈;②③中都是元素与集合的关系,正确;④⑧正确,因为∅是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集,而④中的{}∅为非空集合;⑤⑥⑦错误,∅是没有任何元素的集合.【总结升华】集合的符号语言十分简洁,因而被广泛用于现代数学之中,但往往容易混淆,其障碍在于这些符号与具体意义之间没有直接的联系,突破方法是熟练地掌握这些符号的具体含义.举一反三：【变式1】用适当的符号填空：(1) {x||x|≤1} {x|x 2≤1};(2){y|y ＝2x 2} {y|y ＝3x 2－1}; (3){x||x|＞1} {x|x ＞1};(4){(x,y)|－2≤x ≤2} {(x,y)|－1＜x ≤2}. 【答案】 (1)＝ (2) (3) (4)【总结升华】区分元素与集合间的关系,集合与集合间的关系.例2.(2015秋 确山县期中)已知A ＝{x ｜x 2―4＝0},B ＝{x ｜ax ―6＝0},且B 是A 的子集. (1)求a 的取值集合M ;(2)写出集合M 的所有非空真子集.【思路点拨】对(1)根据A 集合中的元素,B A ⊆,分类讨论B 的可能情况,再注解a ,写出集合M .根据含有n 个元素的集合的真子集个数是2n －1,求解(2).【答案】(1)M ＝{0,3,－3};(2){0},{3},{－3},{0,3},{0,－3},{3,－3} 【试题解析】(1)A ＝{2,－2}.∵B 是A 的子集,∴B ＝∅,{2},{－2}, ①B ＝∅时,方程ax －6＝0无解,得a ＝0;②B ＝{2}时,方程ax －6＝0的解为x ＝2,得2a －6＝0,所以a ＝3;③B ＝{－2}时,方程ax －6＝0的解为x ＝－2,得－2a －6＝0,所以a ＝－3. 所以a 的取值集合M ＝{0,3,－3}.(2)M ＝{0,3,－3}的非空真子集为{0},{3},{－3},{0,3},{0,－3},{3,－3}【总结升华】本题考查集合的子集问题,含有n 个元素的集合的子集个数是2n ,真子集个数是2n －1;非空真子集个数是2n －2.举一反三：【变式1】已知{},a b A ⊆{},,,,a b c d e ,则这样的集合A 有 个.【答案】7个【变式2】同时满足：①{}1,2,3,4,5M ⊆;②a M ∈,则6a M -∈的非空集合M 有( ) A. 16个 B. 15个 C. 7个 D. 6个 【答案】C【试题解析】3a =时,63a -=;1a =时,65a -=;2a =时,64a -=;4a =时,62a -=;5a =时,61a -=;∴非空集合M 可能是：{}{}{}{}{}{}3,1,5,2,4,1,3,5,2,3,4,1,2,4,5,{}1,2,3,4,5共7个.故选C.【变式3】已知集合A ＝{1,3,a}, B ＝{a 2},并且B 是A 的真子集,求实数a 的取值.【答案】 a ＝－1, a ＝3±或a ＝0【试题解析】∵, ∴a 2∈A, 则有：(1)a 2＝1⇒a ＝±1,当a ＝1时与元素的互异性不符,∴a ＝－1; (2)a 2＝3⇒a ＝3±(3)a 2＝a ⇒a ＝0, a ＝1,舍去a ＝1,则a ＝0综上：a ＝－1, a ＝3±或a ＝0.注意：根据集合元素的互异性,需分类讨论.【高清课堂：集合的概念、表示及关系377430 例2】例3. 设M ＝{x|x ＝a 2＋1,a ∈N ＋},N ＝{x|x ＝b 2－4b ＋5,b ∈N ＋},则M 与N 满足( ) A. M ＝N B. M N C. N M D. M ∩N ＝∅【答案】B【试题解析】当a ∈N ＋时,元素x ＝a 2＋1,表示正整数的平方加1对应的整数,而当b ∈N ＋时,元素x ＝b2－4b ＋5＝(b －2)2＋1,其中b －2可以是0,所以集合N 中元素是自然数的平方加1对应的整数,即M 中元素都在N 中,但N 中至少有一个元素x ＝1不在M 中,即M N,故选B.例 4.已知},,,0{},,,{y x N y x xy x M =-=若M ＝N ,则+++2()(x y x )()1001002y xy +++ ＝ .A .－200B .200C .－100D .0【思路点拨】解答本题应从集合元素的三大特征入手,本题应侧重考虑集合中元素的互异性. 【答案】D【试题解析】由M ＝N,知M,N 所含元素相同.由0∈{0,|x|,y}可知0∈若x ＝0,则xy ＝0,即x 与xy 是相同元素,破坏了M 中元素互异性,所以x ≠0.若x ·y ＝0,则x ＝0或y ＝0,其中x ＝0以上讨论不成立,所以y ＝0,即N 中元素0,y 是相同元素,破坏了N 中元素的互异性,故xy ≠00,则x ＝y,M,N 可写为M ＝{x,x 2,0},N ＝{0,|x|,x}由M ＝N 可知必有x 2＝|x|,即|x|2＝|x| ∴|x|＝0或|x|＝1若|x|＝0即x ＝0,以上讨论知不成立 若|x|＝1即x ＝±1当x ＝1时,M 中元素|x|与x 相同,破坏了M 中元素互异性,故 x ≠1当x ＝－1时,M ＝{－1,1,0},N ＝{0,1,－1}符合题意,综上可知,x ＝y ＝－1∴+++2()(x y x )()1001002y x y +++ ＝－2＋2－2＋2＋…＋2＝0【总结升华】解答本题易忽视集合的元素具有的“互异性”这一特征,而找不到题目的突破口.因此,集合元素的特征是分析解决某些集合问题的切入点.举一反三：【变式1】设a,b ∈R ,集合b {1,a+b,a}={0,,b}a,则b －a ＝( ) 【答案】2【试题解析】由元素的三要素及两集合相等的特征：b1{0,,b},0{1,a+b,a}a 0a b=0a∈∈≠∴+，又，∴当b ＝1时,a ＝－1,b{0,b}={0,-1,1}a∴，当b=1a时,∴b ＝a 且a ＋b ＝0,∴a ＝b ＝0(舍) ∴综上：a ＝－1,b ＝1,∴b －a ＝2. 类型二：集合的运算例5.(1)(2014 湖北武汉期中)已知{}22A y y x ==-;{}22B y y x ==-+,则A ∩B ＝( )A.()){}00,,, B.⎡⎣C.[－2,2]D.{(2)设集合M ＝{3,a },N ＝{x |x 2－2x ＜0,x ∈Z},M ∩N ＝{1},则M ∪N 为( ).A. {1,2,a }B. {1,2,3,a }C. {1,2,3}D. {1,3}【思路点拨】(1)先把集合A 、B 进行化简,再利用数轴进行相应的集合运算.(2)先把集合N 化简,然后再利用集合中元素的互异性解题.【答案】(1)C (2)D【试题解析】(1)集合A 、B 均表示构成相关函数的因变量取值范围,故可知：A ＝{y |y ≥－2},B ＝{y |y ≤2},所以A ∩B ＝{y |－2≤y ≤2},选C.(2)由N ＝{x |x 2－2x ＜0,x ∈Z}可得：N ＝{x |0＜x ＜2,x ∈Z}＝{1},又由M ∩N ＝{1},可知1∈M ,即a ＝1,故选D. 举一反三：【变式1】设A 、B 分别是一元二次方程2x 2＋px ＋q ＝0与6x 2＋(2－p)x ＋5＋q ＝0的解集,且A ∩B ＝{21},求A ∪B.【答案】{21, 31,－4} 【试题解析】∵A ∩B ＝{21}, ∴21是方程2x 2＋px ＋q ＝0的解,则有： 0q p 21)21(22=++(1),同理有：6(21)2＋(2－p)·21＋5＋q ＝0(2)联立方程(1)(2)得到：⎩⎨⎧-==.4q ,7p∴方程(1)为2x 2＋7x －4＝0,∴方程的解为：x 1＝21, x 2＝－4, ∴ }4,21{A -=,由方程(2) 6x 2－5x ＋1＝0,解得：x 3＝21, x 4＝31,∴B ＝{21, 31},则A ∪B ＝{21, 31,－4}.【高清课堂：集合的运算377474 例5】【变式2】设集合A ＝{2,a 2－2a,6},B ＝{2,2a 2,3a －6},若A ∩B ＝{2,3},求A ∪B. 【答案】 ｛2,3,6,18｝【试题解析】由A ∩B ＝{2,3},知元素2,3是A,B 两个集合中所有的公共元素,所以3∈｛2,a 2－2a,6｝,则必有a 2－2a ＝3,解方程a 2－2a －3＝0得a ＝3或a ＝－1当a ＝3时,A ＝{2,3,6},B ＝{2,18,3}∴A ∪B ＝{2,3,6}∪｛2,18,3｝＝｛2,3,6,18｝ 当a ＝－1时,A ＝{2,3,6},B ＝{2,2,－9}这既不满足条件A ∩B ＝{2,3},也不满足B 中元素具有互异性,故a ＝－1不合题意,应舍去. 综上A ∪B ＝｛2,3,6,18｝.【高清课堂：集合的运算 377474 例6】例 6. 设全集U ＝{x ∈N ＋|x ≤8},若A ∩(C u B)＝{1,8},(C u A)∩B ＝{2,6},(C u A)∩(C u B)＝{4,7},求集合A,B.【答案】A ＝{1,3,5,8},B ＝{2,3,5,6} 【试题解析】全集U ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}由A ∩(C u B)＝{1,8}知,在A 中且不在B 中的元素有1,8;由(C u A)∩B ＝{2,6},知不在A 中且在B 中的元素有2,6;由(C u A)∩(C u B)＝{4,7},知不在A 中且不在B 中的元素有4,7,则元素3,5必在A ∩B 中.由集合的图示可得A ＝{1,3,5,8},B ＝{2,3,5,6}. 类型三：集合运算综合应用例7.(2014 北京西城学探诊)已知集合A ＝{x |－4≤x ＜2}, B ＝{x |－1≤x ＜3},C ＝{x |x ≥a ,a ∈R}. (1)若(A ∪B )∩C ＝∅,求实数a 的取值范围;(2)若(A ∪B )ÜC ,求实数a 的取值范围.【思路点拨】(1)画数轴;(2)注意是否包含端点.【答案】(1)a ≥3 (2)a ≤－4 【试题解析】(1)∵A ＝{x |－4≤x ＜2}, B ＝{x |－1≤x ＜3},又(A ∪B )∩C ＝∅,如图,a ≥3;(2)画数轴同理可得：a ≤－4.【总结升华】此问题从表面上看是集合的运算,但其本质是一个定区间,和一个动区间的问题.思路是,使动区间沿定区间滑动,数形结合解决问题.举一反三：【变式1】已知集合P ＝｛x ︱x 2≤1｝,M ＝｛a ｝.若P ∪M ＝P,则a 的取值范围是( ) A.(－∞, －1] B.[1, ＋∞) C.[－1,1] D.(－∞,－1] ∪[1,＋∞) 【答案】C【试题解析】P =｛x ︱11x -≤≤｝又 P M P =, ∴M P ⊆,∴ 11a -≤≤ 故选C.例8. 设集合{}{}222|40,|2(1)10,A x x x B x x a x a a R =+==+++-=∈.(1)若A B B =,求a 的值; (2)若A B B =,求a 的值.【思路点拨】明确A B 、A B 的含义,根据的需要,将其转化为等价的关系式B A ⊆和A B ⊆,是解决本题的关键.同时,在包含关系式B A ⊆中,不要漏掉B =∅的情况.【答案】(1)1a =或1a ≤-;(2)1a =. 【试题解析】 首先化简集合A ,得{}4,0A =-. (1)由AB B =,则有B A ⊆,可知集合B 为∅,或为{}0、{}4-,或为{}0,4-.①若B =∅时,224(1)4(1)0a a ∆=+--<,解得1a <-. ②若0B ∈,代入得21011a a a -=⇒==-或.当1a =时,{}{}2|400,4,B x x x A =+==-=符合题意;当1a =-时,{}{}2|00,B x x A ===⊆也符合题意.③若4B -∈,代入得2870a a -+=,解得7a =或1a =. 当1a =时,已讨论,符合题意;当7a =时,{}{}2|1648012,4B x x x =++==--,不符合题意.由①②③,得1a =或1a ≤-. (2),A B B A B =∴⊆.又{}4,0A =-,而B 至多只有两个根,因此应有A B =,由(1)知1a =.【总结升华】两个等价转化：,AB B A B A B B B A =⇔⊆=⇔⊆非常重要,注意应用.另外,在解决有条件A B ⊆的集合问题时,不要忽视A ≠∅的情况.举一反三：【变式1】(2015 源汇区一模)设A ＝{x ｜x 2＋4x ＝0},B ＝{x ｜x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0},其中x ∈R ,如果A ∩B ＝B ,求实数a 的取值范围.【答案】a ＝1或a ≤－1【试题解析】A ＝{x ｜x 2＋4x ＝0}＝{0,－4}, ∵A ∩B ＝B 知,B A ⊆,∴B ＝{0}或B ＝{－4}或B ＝{0,－4}或B =∅,若B ＝{0}时,x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0有两个相等的根0,则2002(1)001a a +=-+⎧⎨⨯=-⎩,∴a ＝－1,若B ＝{－4}时,x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0有两个相等的根－4,则24(4)2(1)4(4)1a a -+-=-+⎧⎨-⨯-=-⎩,∴a 无解, 若B ＝{0,－4}时,x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0有两个不相等的根0和－4,则2402(1)401a a -+=-+⎧⎨-⨯=-⎩,∴a ＝1, 当B =∅时,x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0无实数根,Δ＝[2(a ＋1)]2－4(a 2－1)＝8a ＋8＜0,得a ＜－1,综上,a ＝1或a ≤－1.。
高考中集合及其相关运算复习讲义-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN第一讲集合的概念及运算一、知识清单1、元素与集合（1）元素与集合的关系aa∈⎧⎨∉⎩属于，记为A 不属于,记为A（2）集合中元素的特征（3）集合的分类：有限集、无限集。
特别的，我们把不含有任何元素的集合叫做空集，记做∅（4）常用的数集及其表示符号(5) 集合的表示方法：列举法、描述法、韦恩图法2、集合间的关系3、集合间的运算4、集合间的逻辑关系5、两个常用结论B A B B A B A A B A ⊆⇔=⊆⇔= , 6、设有限集合A ，)()(*∈=N n n A card ,则有 （1）A 的子集个数是n 2（2）A 的真子集个数是12-n （3）A 的非空子集个数是1-2n （4）A 的非空真子集个数是22-n二、突破方法方法1 数轴与韦恩图在解题中的应用数轴和韦恩图是进行交并补运算的有力工具，数形结合是解答集合问题的常用方法，解题时要先把集合中各种形式的元素化简，使之明确化，尽可能的借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具，将抽象的问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的方法解决。
例：设集合}{{}R x x x N R x x x M ∈≤=∈≥=,1|,,0|2,则=N MA.[]10，B.)10[，C.]10(，D.)1,0(方法2 利用分来谈论研究集合问题1、注意空集的特殊性，若未指明集合非空，则要考虑空集的可能性2、在解含参变量的有关集合问题时，有时需对参变量进行分类讨论，同时在解题时，最容易忽略集合元素的互异性，从而导致解题的失误，因此求出参变量后，一定要带入检验。
3、分类讨论要注意分类的标准和层次的划分，做到标准合理、自然，层次划分明确、清晰，对讨论的问题分类做到不重不漏。
例：已知集合},210{，，=A 则集合},|{A y A x y x B ∈∈-=中元素个数是 A.1 B.3 C.5 D.9 三、例题精析考点一 子集、真子集【例题1】：集合}1,0,1{-共有 个子集 【答案】：8【解析】：n 元集的子集个数共有2n 个，所以是8个。
数学专题1 集合与集合的运算[专题内容概述]1、 集合与集合的运算基本方法归纳梳理；2、三个基本问题（集合的元素特征运用问题；集合的运算问题；以集合为载体的综合问题）的解决方法与途径；3、 达标演练（以近几年高考与高三模拟考试中涉及的考题为主体，进行基础达标训练）。
[专题涉及知识点]集合的概念；集合的元素特征；集合的表示方法；集合的交、并、补的运算；集合的综合应用。
[集合与简易逻辑讲义] 一、知识要点归纳梳理：集合是高中数学知识的基础。
在高考中，集合几乎是每年必考的内容之一。
从近几年的高考试题来分析，本专题内容的考查规律是：（1）以选择题、填空题的形式考查集合的基础知识，在难度上以容易题为主；（2）高考中对集合的考查，侧重于集合的交、并、补的综合运算，往往以集合语言与集合思想为载体，考查函数的定义域、函数的值域、方程、不等式、曲线间的相交等问题； ***备考学习策略***（1）立足概念，重视基础，突出重点。
在复习中，要注意理解集合、子集、交集、并集、补集、全集、空集的概念，明确属于、包含、相等关系的意义，掌握有关集合的术语和符号，正确地表示一些简单的集合，对于重点内容，如集合的表示方法、集合中元素的特征、元素与集合及集合与集合的关系等应熟练应用，弄清弄透，做到真正掌握。
（2）重视集合运算中交、并、补的规范训练。
能熟练地利用数轴或图形进行集合的交、并、补运算，树立数形结合思想。
（3）加强集合语言与集合思想的训练。
如对难于从正面入手的数学问题，采取“正难则反”的解题思路，具体应用补集思想；对求解含有参数的集合运算问题，往往采用分类讨论思想等，应达到熟练程度。
要点1 、集合的概念及表示方法（1）集合：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每个对象叫做集合的元素。
①集合中元素的特征：◆ 确定性：集合中的元素必须是确定的，任何一个对象都能被准确地判定是不是固定集 合的元素；◆ 互异性：集合中的任意两个元素都是不相同的，即同一个元素在同一个集合中不能重 复出现；◆ 无序性：在一个集合中，元素的排列与顺序无关。
高三数学总复习讲义——集合一、知识清单：1.元素与集合的关系:用∈或∉表示；2.集合中元素具有确定性、无序性、互异性.3.集合的分类：①按元素个数分：有限集，无限集；②按元素特征分；数集，点集。
如数集{y |y =x 2},表示非负实数集，点集{(x ，y )|y =x 2}表示开口向上，以y 轴为对称轴的抛物线； 4.集合的表示法：①列举法：用来表示有限集或具有显著规律的无限集，如N +={0，1，2，3，…}； ②描述法③字母表示法:常用数集的符号：自然数集N ；正整数集*N N +或；整数集Z ；有理数集Q 、实数集R; 5．集合与集合的关系:用⊆，≠⊂，=表示;A 是B 的子集记为A ⊆B ；A 是B 的真子集记为A ≠⊂B 。
①任何一个集合是它本身的子集，记为A A ⊆；②空集是任何集合的子集，记为A ⊆φ；空集是任何非空集合的真子集； ③如果B A ⊆，同时A B ⊆，那么A = B ；如果A B ⊆，B C ⊆，A C ⊆那么.④n 个元素的子集有2n 个；n 个元素的真子集有2n －1个；n 个元素的非空真子集有2n －2个.6．交集A∩B={x |x ∈A 且x ∈B};并集A ∪B={x |x ∈A ，或x ∈B};补集C U A=｛x |x ∈U ，且x ∉A ｝，集合U 表示全集.7.集合运算中常用结论:①;A B A B A ⊆⇔= A B A B B ⊆⇔= ②()()();U U U A B A B = 痧 ()()()U U U A B A B = 痧 ③()()card A B card A =+ ()()card B card A B - 二、课前预习1．下列关系式中正确的是（ ）(A){}Φ⊆Φ (B){}0∈Φ (C)0{}Φ= (D)0{}⊆Φ2． 3231x y x y +=⎧⎨-=⎩解集为______.3．设{}{}24,21,,9,5,1A a a B a a =--=--,已知{}9A B = ,求实数a 的值.4．设{}220,M x x x x R =++=∈，a =lg(lg10)，则{a }与M 的关系是( ) (A){a }=M (B)M Ü{a } (C){a }ÝM (D)M ⊇{a }5．集合A={x |x =3k -2，k ∈Z}，B={y |y=3n +1，n ∈Z}，S={y |y =6m +1，m ∈Z}之间的关系是( ) (A)S ÜB ÜA (B)S=B ÜA (C)S ÜB=A (D)S ÝB=A6．用适当的符号()∈∉、、=、、茌填空： ①π___Q ; ②{3.14}____Q ;③-R ∪R +_____R; ④{x |x =2k +1, k ∈Z}___{x |x =2k －1, k ∈Z}。
