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锐角三角函数

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A
B
C

锐角三角函数
一、锐角三角函数
1、在ABCRt中，如果各边长度都扩大4倍，则锐角A的正弦值和余弦值（ ）
（A）都没有变化 （B）都扩大4倍
（C）都缩小4倍 （D）不能确定
2、正方形网格中，AOB∠如图放置，则tan∠AOB的值为（ ）

Ａ．55 Ｂ．255 Ｃ．12 Ｄ．2
3.三角形在正方形网格中的位置如图所示，则cosa的值是（ ）
A.43 B.34 错误！未找到引用源。 C. 错误！未找到引用

源。 53 D.54错误！未找到引用源。

4、如图, AB是⊙O的直径, CD是弦, 且CD⊥AB, 若BC=8,
AC=6, 则sin∠ABD
的值为（ ）

A. 43 B. 34 C. 45 D. 35

5、在RtABC中,90C,sinA=35,则cosB=（ ）.
A、53 B. 45 C. 34 D. 35

6、已知：如图，正方形ABCD中，点E为AD边的中点，连结CE． 求ACEsin和
ACEtan
的值．

二、解直角三角形
1．如图,测量人员在山脚A处测得山顶B的仰角为45°, 沿着倾角
为30°的山坡前进1 000m到达D处,在D处测得山顶B的仰角为60°, 则
山的高BC大约是(精确到0.01)( ).
A.1 366.00m; B.1 482.12m; C.1 295.93m; D.1 508.21m

2、如图所示，在300m高的峭壁上测得一塔的塔顶与塔基的俯角分别为
30•°和60°，则塔高CD为（ ）
A．200m B．180m C．150m D．100m

A
B
O

E
D

C
B
A
E
F
DCBA

3、如图，在某区某建筑物AC上，挂着“抗震救灾，众志成城”的宣传条幅BC，小明站在
点F处，看条幅顶端B，测得仰角为30.再往条幅方向前行20米到达点E处，看条幅顶端
B，测得仰角为60，求宣传条幅BC的长.(小明的身高不计，结果精确到1米;可能用到的

数据41.12,73.13）

4、一艘船向正东方先航行，上午10点在灯塔的西南方向k海里处，到下午2点时航行到
灯塔的东偏南60°的方向，画出船的航行方位图，并求出船的航行速度

5、我市某区为提高某段海堤的防海潮能力,计划将长96m 的一堤段(原海堤的横断面如图中
的梯形ABCD)的堤面加宽1.6m, 背水坡度由原来的1:1改成1:2,已知原背水坡长AD=8.0m,
求完成这一工程所需的土方, 要求保留两个有效数字.(注:坡度=坡面与水平面夹角的正切

值;提供数据:)


6．如图7，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，∠ACB=45°，翻折梯形ABCD，使点C重合
于点A，折痕分别交边CD、BC于点F、E，若AD=3，BC=12，
求：（1）CE的长；（2）∠BAE的正切值．

7、如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，点D是BC的中点，DPAC,垂足为点P.
（1）求证：PD是⊙O的切线.
（2）若AC=6, cosA=35，求PD的长.


D

BOCA

P
8、如图，已知AB为⊙O的弦，C为⊙O上一点，∠C=∠BAD，且BD⊥AB于B.
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为3，AB=4，求AD的长.

9、 如图，⊙O的直径AB交弦CD于点M，且M是CD的中点.过点B作BE∥ CD，交AC的延
长线于点E.连接BC．
（1）求证：BE为⊙O的切线；

（2）如果CD=6，tan∠BCD=21，求⊙O的直径的长．

10．如图，△DEC内接于⊙O，AC经过圆心O交O于点B，且AC⊥DE，垂足为F，连结
AD、BE，若1sin2A，∠BED=30°．
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）DCE△是否是等边三角形？请说明理由；
（3）若O的半径2R，试求CE的长．

11．如图，点P在半O的直径BA的延长线上，2ABPA，PC切半O于点C，连
结BC.
（1）求P的正弦值；
（2）若半O的半径为2，求BC的长度.

12．△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D是BC的中点，把一个三角板的直角顶点放在点D
处，将三角板绕点D旋转且使两条直角边分别交AB、AC于E、F .
（1）如图1，观察旋转过程，猜想线段AF与BE的数量关系并证明你的结论；

A
BCDO
E
B
M

D

C
O
A

A
B
C

D

E

O
F

C
BAO
P
（2）如图2，若连接EF，请探索线段BE、EF、FC之间的关系；
（3）如图3，若将“AB=AC，点D是BC的中点”改为：“∠B=30°，AD⊥BC于点D”，其余
条件不变，探索（1）中结论是否成立？若不成立，请探索关于AF、BE的比值.

13．如图所示，在平面直角坐标中，四边形OABC是等腰梯形，BC∥OA，OA=7，AB=4，∠ COA=
60°，点P为x轴上的—个动点，但是点P不与点0、点A重合．连结CP， D点是线段AB
上一点，连PD.
(1)求点B的坐标； (2)当点P运动到什么位置时，△OCP为等腰三角形，求这时点P的
坐标；

(3)当∠CPD=∠OAB，且ABBD=85，求这时点P的坐标.

E
F
D
CB

A
E
F

D
CB

A
E
F

D
CB

A

图1 图2
图3

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锐角三角函数关系公式

锐角三角函数关系公式

锐角三角函数关系公式
锐角三角函数关系公式是指正弦、余弦、正切等三角函数在锐角
三角形中的关系式。

其中最为著名的公式是“正弦定理”和“余弦定理”。

正弦定理指的是，在任意锐角三角形ABC中，有a/sin A=b/sin
B=c/sin C，其中a、b、c分别表示三角形的三边长，A、B、C分别表
示三角形的三个内角。

余弦定理则是指，在任意锐角三角形ABC中，有a²=b²+c²-2bc
cos A，b²=a²+c²-2ac cos B，c²=a²+b²-2ab cos C，其中a、b、c分
别表示三角形的三边长，A、B、C分别表示三角形的三个内角，cos A、cos B、cos C分别表示对应的余弦值。

锐角三角函数关系公式在数学和物理等领域均有广泛应用，能够
帮助人们计算三角函数值，解决各种相关问题。

锐角三角函数

锐角三角函数


B’C’ BC ＝ 即 A’C’ AC
在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角 形的大小如何，∠A的对边与邻边的比是一个固定值。
如图：在Rt △ABC中，∠C＝90°， 我们把锐角A的对边与邻边的比 一个角的正切 表示定值、比 叫做∠A的 正切，记作 tanA。
值、正值。
tan30°= ?

小结
回顾
及时总结经验，要养成积累 方法和经验的良好习惯！
在Rt△ABC中
A的对边 = sinA= A的斜边 A的邻边 = cosA= A的斜边 A的对边 = tanA= A的邻边
a c b c
a b
课后作业
P85 1、2、3
独立完成作业的良好习惯，
是成长过程中的良师益友。
中考语录
中考是一场跳高比赛，取胜关 键在于你起跳时对大地用力多少!
结束寄语
业精于勤而荒于嬉
新人教版九年级数学(下册)第二十八章
§28.1 锐角三角函数（2）
——正切
如图：在Rt △ABC中，∠C＝90°，
正弦
余弦
1、sinA、cosA是在直角三角形中定义的，∠A是锐角(注意数形 结合，构造直角三角形)。 2、sinA、 cosA是一个比值（数值）。 3、sinA、 cosA的大小只与∠A的大小有关，而与直角三角形的 边长无关。 特殊角的正弦、余弦函数值
应用举例
例1、在Rt △ABC中，∠C＝90°，求∠A的三角函数值。
① a=5 b=12 Ｂ
② a=3 b=2
a
Ｃ b
B 6 C
(
Ａ
例2、已知在Rt △ABC中，∠C＝90° ，BC=6， sinA
3 ＝ ,求cosA、tanB的值。 5
锐角三角函数

锐角三角函数

初中数学锐角三角函数初中知识点一、锐角三角函数的定义1.勾股定理：直角三角形两直角边a .b 的平方和等于斜边c 的平方。

222c b a =+ 在Rt △ABC 中，∠C 为直角，则∠A 的锐角三角函数为(∠A 可换成∠B )：定 义表达式 取值范围 关 系正弦 斜边的对边A A ∠=sin c aA =sin1sin 0<<A(∠A 为锐角)B A cos sin = B A sin cos =1cos sin 22=+A A余弦 斜边的邻边A A ∠=coscbA =cos1cos 0<<A(∠A 为锐角)正切的邻边的对边A tan ∠∠=A Aba A =tan 0tan >A(∠A 为锐角)B A cot tan = B A tan cot =AA cot 1tan =(倒数) 1cot tan =⋅A Atan α＝sin cos αα，cot α＝cos sin αα余切的对边的邻边A A A ∠∠=cotab A =cot 0cot >A(∠A 为锐角)注意：（1）正弦.余弦.正切.余切都是在直角三角形中给出的，要避免应用时对任意的三角形随便套用定义；（2）sinA 不是sin 与A 的乘积，是三角形函数记号，是一个整体。

“sinA ”表示一个比值，其他三个三角函数记号也是一样的；（3）锐角三角函数值与三角形三边长短无关，只与锐角的大小有关。

例题:1.在Rt △ABC 中，∠C 为直角，a =1，b =2，则cosA =________ ，tanA =_________．2. 在Rt △ABC 中，∠C 为直角，AB =5，BC =3，则sinA =________ ，tanA =_________．3.在Rt △ABC 中，∠C 为直角， ∠A =300，b =4，则a =__________，c =__________4.（2008·威海中考）在△ABC 中，∠C ＝90°，tanA ＝31，则sinB ＝（ ） A ．1010B ．23 C ．34D ．310105.在△ABC 中，∠C =90°，a, b, c 分别为∠A ，∠B ，∠C 的对边，下列各式错误的是（ ）A .a =c ·sinAB ．b =c ·cosBC ．b =a ·tanBD ．a =b ·tanA6.在△ABC 中，∠C ＝90°，(1)已知：c ＝ 83，∠A ＝60°，求∠B .a .b ． (2) 已知：a ＝36， ∠A ＝30°，求∠B .b .c .7.（2009·漳州中考）三角形在方格纸中的位置如图所示，则tan 的值是（ ）A ．35B ．43 C ．34D ．45练习:1.在Rt △ABC 中，∠C 为直角，若sinA =53，则cosB =_________． 2.已知cosA =23，且∠B =900-∠A ，则sinB =__________． 3.∠A 为锐角，已知sinA =135，那么cos (900-A)=___________ ． 4.在Rt △ABC 中，∠C 为直角，AC =4，BC =3，则sinA =（ ） A ．43 B ．34 C ． 53 D ．54 5.在Rt △ABC 中，∠C 为直角，sinA =22，则cosB 的值是( ) A ．21 B ．23 C ．1D ．22知识点二、特殊角所对的三角函数值1. 0°.30°.45°.60°.90°特殊角的三角函数值(重要)三角函数0° 30°45°60°90° αsin0 2122 231 αcos1 23 22210 αtan 0 331 3- αcot-3133注意：记忆特殊角的三角函数值，可用下述方法：0°.30°.45°.60°.90°的正弦值分别是02.12.22.32.42，而它们的余弦值分别是42.32.22.12.02；30°.45°.60°的正切值分别是13.22.31，而它们的余切值分别是31.22.13。

锐角三角函数

锐角三角函数


30° sinα cosα tanα
45°
60°
思考 两块三角板中有几个不同的锐角？分别求出这几个锐角 的正弦值、余弦值和正切值.
30° sinα cosα tanα
1 2
3 2 3 3
45°
2 2 2 2
60°
3 2
1 2
1
3
仔细观察,说说你发 现这张表有哪些规律?
sinA=cos(90°∠A); 一个锐角的正弦值等于这个角余角的余弦值. cosA=sin(90°∠A) 一个锐角的余弦值等于这个角余角的正弦值. tanA·tan(90°∠A)=1 一个锐角的正切值与这个角余角的正切值互为倒数.
讲师介绍
01
02
03
04
兴趣爱好（星座）：天蝎座、喜欢看书，听音乐和玩轮 滑等。
锐角三角函数
前提
B c ┌ b a C
锐角三角函数是什么？ 为什么这么定义？ 和直角三角形有什么关系？
A
1、正弦
B 斜边c
∟
在Rt△ABC中，∠C＝90°，把锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A的正弦， 记作sinA．
3、正切
B 斜边c
∟
在Rt△ABC中，∠C＝90°，把锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A的正切， 记作tanA．
对 边 a
A
邻边b
C
当∠A=30°时，tanA=? 当∠A=45°时，tanA=? 当∠A=90°时，tanA=?
思考 两块三角板中有几个不同的锐角？分别求出这几个锐角 的正弦值、余弦值和正切值.
锐角三角函数增减性
1、锐角三角函数值都是正值。
2、当角度在0°-90°间变化时，正弦值随着角度的增大（或减小） 而增大（或减小）； 余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）； 正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）。 3、当角度在0°≤∠A≤90°间变化时，0≤sinA≤1,0≤cosA≤1； 当角度在0°<∠A<90°间变化时，tanA&gb