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人教版九年级锐角三角函数全章教案【教案名称】：人教版九年级锐角三角函数全章教案【教学目标】：1. 了解锐角三角函数的概念和基本性质；2. 掌握锐角三角函数的定义和计算方法；3. 能够应用锐角三角函数解决实际问题；4. 培养学生的数学思维和解决问题的能力。
【教学内容】：本教案共包含以下内容：1. 锐角三角函数的引入和概念介绍；2. 正弦函数、余弦函数和正切函数的定义和计算方法；3. 锐角三角函数的性质和关系；4. 锐角三角函数的应用。
【教学步骤】：一、引入和概念介绍1. 通过引导学生观察直角三角形中的角度和边长关系，引入锐角三角函数的概念；2. 介绍正弦函数、余弦函数和正切函数的定义和符号表示；3. 通过实例演示和练习，让学生掌握锐角三角函数的计算方法。
二、正弦函数、余弦函数和正切函数的性质和关系1. 通过图像和表格展示正弦函数、余弦函数和正切函数的周期性、奇偶性和单调性；2. 引导学生观察和总结正弦函数、余弦函数和正切函数之间的关系，如正弦函数与余弦函数的关系、正切函数与正弦函数的关系等；3. 练习题目让学生巩固和应用正弦函数、余弦函数和正切函数的性质和关系。
三、锐角三角函数的应用1. 通过实际问题引导学生应用锐角三角函数解决实际问题，如测量高楼的高度、计算斜坡的坡度等；2. 练习题目和实例让学生掌握如何运用锐角三角函数解决实际问题。
【教学重点】：1. 锐角三角函数的定义和计算方法；2. 正弦函数、余弦函数和正切函数的性质和关系；3. 锐角三角函数的应用。
【教学扩展】：1. 引导学生探究其他三角函数（割函数、余割函数和余切函数）的定义和性质；2. 给予学生更多的应用题目和实例，提高学生运用锐角三角函数解决实际问题的能力；3. 鼓励学生自主学习和探索，拓宽数学知识的广度和深度。
【教学评估】：1. 课堂练习：通过课堂练习，检查学生对锐角三角函数的理解和掌握程度；2. 作业布置：布置相关的作业题目，让学生巩固和应用所学知识；3. 个人表现评估：评估学生在课堂讨论、问题解答和实际应用中的表现。
第二十八章锐角三角函数（全章教案）情 感 态 度 价值观教学重点 要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题．教学难点要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题．教学准备 教师 多媒体课件学生“五个一”课 堂 教 学 程 序 设 计设计意图（一）回忆知识1．解直角三角形指什么？2．解直角三角形主要依据什么？(1)勾股定理：a 2+b 2=c 2(2)锐角之间的关系：∠A+∠B=90°(3)边角之间的关系：tanA=的邻边的对边A A ∠∠（二）新授概念 1．仰角、俯角当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角．教学时，可以让学生仰视灯或俯视桌面以体会仰角与俯角的意义．2．例1如图(6-16)，某飞机于空中A 处探测到目标C ，此时飞行高度AC=1200米，从飞机上看地平面控制点B 的俯角α=16°31′，求飞机A 到控制点B 距离(精确到1米)斜边的邻边A A ∠=cos 斜边的对边A A ∠=sin解：在Rt △ABC 中sinB=AB AC∴AB=B AC sin =2843.01200=4221(米)答：飞机A 到控制点B 的距离约为4221米．例2.2012年6月18日“神州”九号载人航天飞船发射成功。
当飞船完成变轨后，就在离地形表面350km 的圆形轨道上运行。
如图，当飞船运行到地球表面上P 点的正上方时，从飞船上能直接看到地球上最远的点在什么位置？这样的最远点与P 点的距离是多少？（地球半径约为6400km ，结果精确到0.1km ）分析：从飞船上能看到的地球上最远的点，应是视线与地球相切时的切点。
将问题放到直角三角形FOQ 中解决。
．解决此问题的关键是在于把它转化为数学问题，利用解直角三角形知识来解决，在此之前，学生曾经接触到通过把实际问题转化为数学问题后，用数学方法来解决问题的方法，但不太熟练．因此，解决此题的关键是转化实际问题为数学问题，转化过程中着重请学生画几何图形，并说出题目中每句话对应图中哪个角或边(包括已知什么和求什么)，会利用平行线的内错角相等的性质由已知的俯角α得出Rt △ABC 中的∠ABC ，进而利用解直角三角形的知识就可以解此题了．例1小结：本章引言中的例子和例1正好属于应用同一关系式 sinA=斜边的对边A ∠ 来解决的两个实际问题即已知α∠和斜边，求∠α的对边；以及已知∠α和对边，求斜边．（三）．巩固练习1．热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为，看这栋楼底部的俯角为600，热气球与高楼的水平距离为120m ，这栋高楼有多高（结果精确到0.1`m ） 2．如图6-17，某海岛上的观察所A 发现海上某船只B 并测得其俯角α=80°14′．已知观察所A 的标高(当水位为0m 时的高度)为43.74m ，当时水位为+2.63m ，求观察所A 到船只B 的水平距离BC(精确到1m) 教师在学生充分地思考后，应引导学生分析： （1）．谁能将实物图形抽象为几何图形？请一名同学上黑板画出来． （2）．请学生结合图形独立完成。
三角函数全章教案第一课时课题锐角三角函数（一）教学目标一.知识目标: 初步了解正弦、余弦、正切概念；能较正确地用sinA 、cosA 、tanA 表示直角三角形中两边的比；熟记功30°、45°、60°角的三角函数，并能根据这些值说出对应的锐角度数。
二.能力目标 : 逐步培养学生观察、比较、分析，概括的思维能力。
三.情感目标: 提高学生对几何图形美的认识。
（二）.教材分析：1．教学重点: 正弦，余弦，正切概念2．教学难点:用含有几个字母的符号组sinA 、cosA 、tanA 表示正弦，余弦，正切（三）教学程序一．探究活动1．课本引入问题，再结合特殊角30°、45°、60°的直角三角形探究直角三角形的边角关系。
2．归纳三角函数定义。
sinA= ,cosA= ,tanA=3例1.求如图所示的Rt ⊿ABC 中的sinA,cosA,tanA 的值。
二．探究活动二1.让学生画30°45°60°的直角三角形,分别求sin 30°cos45 tan60°归纳结果2. 求下列各式的值（1）sin 30°+ cos30° （2）2sin 45°—cos30°(3) +ta60°-tan30°三．拓展提高 1. P82例4.（略）2. 如图，在⊿ABC 中,∠A=30°,tanB= AC=23,求 AC200cos3045sia 12A ∠的对边斜边A ∠的邻边斜边A A ∠∠的对边的邻边四．小结五．作业课本p86 2,3,6,7,8,10第二课时课题解直角三角形应用（一）一．教学目标 (一)知识目标使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形．(二)能力训练点通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．(三)情感目标渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯．二、教学重点、难点和疑点 1．重点：直角三角形的解法．2．难点：三角函数在解直角三角形中的灵活运用．3．疑点：学生可能不理解在已知的两个元素中，为什么至少有一个是边．三、教学过程 (一)知识回顾1．在三角形中共有几个元素？2．直角三角形ABC 中，∠C=90°，a 、b 、c 、∠A 、∠B 这五个元素间有哪些等量关系呢？(1)边角之间关系 sinA=c a cosA=c b tanA ba (2)三边之间关系 a 2 +b 2 =c 2 (勾股定理)(3)锐角之间关系∠A+∠B=90°．以上三点正是解直角三角形的依据，通过复习，使学生便于应用．（二）探究活动1．我们已掌握Rt △ABC 的边角关系、三边关系、角角关系，利用这些关系，在知道其中的两个元素(至少有一个是边)后，就可求出其余的元素．这样的导语既可以使学生大概了解解直角三角形的概念，同时又陷入思考，为什么两个已知元素中必有一条边呢？激发了学生的学习热情．2．教师在学生思考后，继续引导“为什么两个已知元素中至少有一条边？”让全体学生的思维目标一致，在作出准确回答后，教师请学生概括什么是解直角三角形？(由直角三角形中除直角外的两个已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形)． 3．例题评析例 1在△ABC 中，∠C 为直角，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，且b= 2 a=6，解这个三角形．例2在△ABC 中，∠C 为直角，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，且b= 20 B ∠=350，解这个三角形（精确到0.1）．解直角三角形的方法很多，灵活多样，学生完全可以自己解决，但例题具有示范作用．因此，此题在处理时，首先，应让学生独立完成，培养其分析问题、解决问题能力，同时渗透数形结合的思想．其次，教师组织学生比较各种方法中哪些较好，选一种板演．完成之后引导学生小结“已知一边一角，如何解直角三角形？”答：先求另外一角，然后选取恰当的函数关系式求另两边．计算时，利用所求的量如不比原始数据简便的话，最好用题中原始数据计算，这样误差小些，也比较可靠，防止第一步错导致一错到底．例3在Rt △ABC 中，a=104.0，b=20.49，解这个三角形． (三) 巩固练习在△ABC 中，∠C 为直角，AC=6，BAC ∠的平分线AD=43，解此直角三角形。
人教版九年级锐角三角函数全章教案教学目标：本课程旨在通过探究锐角三角函数，使学生掌握当锐角固定时，对边与斜边的比值是固定值的概念，并能正确进行计算。
同时，通过研究锐角三角函数，培养学生观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力，以及独立思考、勇于创新的精神和良好的研究惯。
教学重点：理解认识正弦（sinA）概念，掌握当锐角固定时，对边与斜边的比值是固定值的概念。
教学难点：引导学生比较、分析并得出：对任意锐角，它的对边与斜边的比值是固定值的事实。
教学过程：一、复旧知、引入新课老师通过一个实际问题的引入，让学生了解锐角三角函数的实际应用。
例如，测量旗杆高度的问题。
二、探索新知通过问题引入的方式，让学生探索锐角三角函数的概念和应用。
活动一：问题的引入老师通过引入实际问题，让学生思考如何应用锐角三角函数来解决问题。
例如，在绿化荒山的问题中，通过计算斜坡与水平面所成角的度数和出水口的高度，求解需要准备多长的水管。
活动二：问题的探索老师通过问题的探索，让学生比较、分析并得出结论。
例如，在任意画一个Rt△ABC，使∠C=90o，∠A=45o的问题中，让学生计算∠A的对边与斜边的比，从而得出结论：在一个直角三角形中，如果一个锐角等于45o，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于2.活动三：问题的拓展老师通过问题的拓展，让学生进一步探索锐角三角函数的应用。
例如，在∠A取其他一定度数的锐角时，让学生比较、分析并得出结论：对任意锐角，它的对边与斜边的比值是固定值。
三、总结归纳老师通过总结归纳，让学生掌握锐角三角函数的概念和应用，以及对边与斜边的比值是固定值的事实。
同时，让学生反思并总结研究锐角三角函数的方法和策略，以便更好地掌握和应用相关知识。
四、作业布置老师布置相关作业，让学生巩固和拓展所学知识。
例如，让学生通过计算和实际应用，进一步掌握锐角三角函数的概念和应用。
同时，让学生思考如何将锐角三角函数与其他数学知识和实际问题相结合，更好地应用所学知识。
锐角三角函数的教案【篇一：锐角三角函数教案】第二十八章锐角三角函数【篇二：人教版九年级锐角三角函数全章教案】第二十八章锐角三角函数教材分析：本章包括锐角三角函数的概念（主要是正弦、余弦和正切的概念），以及利用锐角三角函数解直角三角形等内容。
锐角三角函数为解直角三角形提供了有效的工具，解直角三角形在实际当中有着广泛的应用，这也为锐角三角函数提供了与实际联系的机会。
研究锐角三角函数的直接基础是相似三角形的一些结论，解直角三角形主要依赖锐角三角函数和勾股定理等内容，因此相似三角形和勾股定理等是学习本章的直接基础。
本章内容与已学相似三角形勾股定理等内容联系紧密，并为高中数学中三角函数等知识的学习作好准备。
学情分析：锐角三角函数的概念既是本章的难点，也是学习本章的关键。
难点在于，锐角三角函数的概念反映了角度与数值之间对应的函数关系，这种角与数之间的对应关系，以及用含有几个字母的符号 sina 、cosa 、 tana 表示函数等，学生过去没有接触过，因此对学生来讲有一定的难度。
至于关键，因为只有正确掌握了锐角三角函数的概念，才能真正理解直角三角形中边、角之间的关系，从而才能利用这些关系解直角三角形。
28．1 锐角三角函数（1）第一课时教学目标：知识与技能：1、通过探究使学生知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值都固定（即正弦值不变）这一事实。
2、能根据正弦概念正确进行计算3、经历当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值是固定值这一事实，发展学生的形象思维，培养学生由特殊到一般的演绎推理能力。
过程与方法：通过锐角三角函数的学习，进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想，逐步培养学生会观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力．情感态度与价值观：引导学生探索、发现，以培养学生独立思考、勇于创新的精神和良好的学习习惯．重难点：1．重点：理解认识正弦（sina）概念，通过探究使学生知道当锐角固定时，它的对边与斜边的比值是固定值这一事实．2．难点与关键：难点：引导学生比较、分析并得出：对任意锐角，它的对边与斜边的比值是固定值的事实．教学过程：一、复习旧知、引入新课【引入】操场里有一个旗杆，老师让小明去测量旗杆高度。
教学目标第一章直角三角形的边角关系第 1 课时§1.1.1 锐角三角函数1、经历探索直角三角形中边角关系的过程。
2、理解正切的意义及与现实生活的探索。
3、逐步学习利用数形结合的思想分析问题和解决问题。
4、提高解决实际问题的能力。
教学重点和难点重点：理解正切函数的定义难点：理解正切函数的定义教学过程设计从学生原有的认知结构提出问题直角三角形是特殊的三角形，无论是边，还是角，它都有其它三角形所没有的性质。
这一章，我们继续学习直角三角形的边角关系。
师生共同研究形成概念1、梯子的倾斜程度在很多建筑物里，为了达到美观等目的，往往都有部分设计成倾斜的。
这就涉及到倾斜角的问题。
用倾斜角刻画倾斜程度是非常自然的。
但在很多实现问题中，人们无法测得倾斜角，这时通常采用一个比值来刻画倾斜程度，这个比值就是我们这节课所要学习的——倾斜角的正切。
1）（重点讲解）如果梯子的长度不变，那么墙高与地面的比值越大，则梯子越陡；2）如果墙的高度不变，那么底边与梯子的长度的比值越小，则梯子越陡；3）如果底边的长度相同，那么墙的高与梯子的高的比值越大，则梯子越陡；通过对以上问题的讨论，引导学生总结刻画梯子倾斜程度的几种方法，以便为后面引入正切、正弦、余弦的概念奠定基础。
2、想一想（比值不变）☆想一想书本P2想一想通过对前面的问题的讨论，学生已经知道可以用倾斜角的对边与邻边之比来刻画梯子的倾斜程度。
当倾斜角确定时，其对边与邻边的比值随之确定。
这一比值只与倾斜角的大小有关，而与直角三角形的大小无关。
3、正切函数（1）明确各边的名称B斜边∠A的对边（2）tan A A的对边A的邻边A∠A的邻边C（3）明确要求：1）必须是直角三角形；2）是∠ A的对边与∠ A 的邻边的比值。
A☆巩固练习a、如图，在△ ACB中，∠ C = 90 °，1）tanA = ；tanB = ；AC B2）若AC = 4 ，BC = 3 ，则tanA = ；tanB = ；3）若AC = 8 ，AB = 10 ，则tanA = ；tanB = B；Cb、如图，在△ACB中，tanA = 。
第一章 直角三角形的边角关系1.1 锐角三角函数（2）一、知识点1. 认识锐角三角函数——正弦、余弦2. 用sinA,cosA 表示直角三角形中直角边与斜边的比, 用正弦、余弦进行简单的计算. 二、教学目标 知识与技能1. 能利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数——正弦、余弦，理解锐角的正弦与余弦和梯子倾斜程度的关系.2. 能够用sinA,cosA 表示直角三角形中直角边与斜边的比，能够用正弦、余弦进行简单的计算. 过程与方法1. 经历类比、猜想等过程.发展合情推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点. 2、体会解决问题的策略的多样性，发展实践能力和创新精神. 情感态度与价值观1. 积极参与数学活动，对数学产生好奇心和求知欲，学有用的数学. 2、形成实事求是的态度以及交流分享的习惯. 三、重点与难点重点：理解正弦、余弦的数学定义，感受数学与生活的联系. 难点：体会正弦、余弦的数学意义，并用它来解决生活中的实际问题. 四、复习引入设计意图：以练代讲，让学生在练习中回顾正切的含义，避免死记硬背带来的负面作用（大脑负担重，而不会实际运用），测量旗杆高度的问题引发学生的疑问，激起学生的探究欲望. 五、探究新知探究活动1（出示幻灯片4）：如图，请思考： （1）Rt △AB 1C 1和Rt △AB 2C 2的关系是 ； （2）的关系是和222111AB C B AB C B ； （3）如果改变B 2在斜边上的位置，则的关系是和222111AB C B AB C B ； 思考：从上面的问题可以看出：当直角三角形的一个锐角的大小已确定时，它的对边与斜边的比值__________，根据是______________________________________.B 1B 2AC 1C 2它的邻边与斜边的比值呢？设计意图：1、在相似三角形的情景中，让学生探究发现：当直角三角形的一个锐角大小确定时，它的对边与斜边的比值也随之确定了.类比学习，可以知道，当直角三角形的一个锐角大小确定时，它的邻边与斜边的比值也是不变的.2、在探究活动中发现的规律，学生能记忆得更加深刻，这比老师帮助总结，学生被动接受和记忆要有用得多.归纳概念1、正弦的定义：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角∠A的对边BC与斜边AB的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即sinA＝________.2、余弦的定义：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°,我们把锐角∠A的邻边AC与斜边AB的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即cosA=_ _____.3、锐角A的正弦，余弦，正切和余切都叫做∠A的三角函数.温馨提示（1）sinA，cosA是在直角三角形中定义的,∠A是一个锐角；（2）sinA，cosA中常省去角的符号“∠”.但∠BAC的正弦和余弦表示为: sin∠BAC，cos∠BAC.∠1的正弦和余弦表示为: sin∠1，cos∠1；（3）sinA，cosA没有单位，它表示一个比值；（4）sinA，cosA是一个完整的符号，不表示“sin”,“cos”乘以“A”；（5）sinA，cosA的大小只与∠A的大小有关,而与直角三角形的边长没有必然的关系.设计意图：1、类比正切的定义，让学生理解正弦和余弦的含义；2、让学生了解：求一个角的三角函数，是指求这个角的正切、正弦和余弦，不是单指某一个值；3、正弦和余弦容易出现一些不规范的表示方法，在这里先进行明确，可以减少日后不必要的错误.探究活动2：我们知道，梯子的倾斜程度与tanA有关系，tanA越大，梯子越陡，那么梯子的倾斜程度与sinA和cosA有关系吗？是怎样的关系？设计意图：在探究中进一步让学生理解正弦和余弦的含义，体会正弦和余弦的生活意义，避免数学知识的枯燥无味，通过利用正弦和余弦来描述梯子的倾斜程度拓展了学生思维，感受到从不同角度去解释一件事物的合理性，感受数学与生活的联系.探索发现：梯子的倾斜程度与sinA,cosA的关系：sinA越大，梯子；cosA 越，梯子越陡.探究活动3：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,AB=20，，求BC和cosB.BA C通过上面的计算，你发现sinA与cosB有什么关系呢? sinB与cosA呢？在其它直角三角形中是不是也一样呢？请举例说明.小结规律：在直角三角形中，一个锐角的正弦等于另一个锐角的 .设计意图：在探究中进一巩固正弦和余弦的定义，同时发现直角三角形中两个锐角的三角函数值之间存在一定的关系，拓展学生的知识储备.六、归类提升类型一：已知直角三角形两边长，求锐角三角函数值例1、在Rt△ABC中，∠C=90°, BC=3，AB=5，求A的三个三角函数值.类型二：利用三角函数值求线段的长度例2、如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=200，sinA= ，求BC的长七、总结延伸1、锐角三角函数定义：sinA= ，cosA= ，tanA= ；2、温馨提示：（1）sinA，cosA，tanA，是在直角三角形中定义的，∠A是锐角(注意数形结合，构造直角三角形)；（2）sinA，cosA，tanA是一个完整的符号，表示∠A的正切，习惯省去“∠”号；（3）sinA，cosA，tanA都是一个比值，注意区别,且sinA,cosA,tanA均大于0,无单位；（4）sinA，cosA，tanA的大小只与∠A的大小有关，而与直角三角形的边长没有必然关系；（5）角相等，则其三角函数值相等；两锐角的三角函数值相等，则这两个锐角相等.3、在用三角函数解决一般三角形或四边形的实际问题中，应注意构造直角三角形.设计意图：课堂小结，检查学生掌握情况，同时能对知识进行及时梳理，有利于学生归纳和消化，特别对于重要的方法提示和要注意的细节，能再次呈现，使学生印象深刻..八、 随堂小测1、下图中∠ACB=90° ，CD ⊥AB 指出∠A2、1题中如果CD=5，AC=10，则sin ∠ACD= sin ∠DCB=3、如图:在等腰△ABC 中,AB=AC=5,BC=6.求: sinB,cosB,tanB设计意图：设计各种题型，可以检验学生的方法掌握情况，同时巩固学生的知识，提高学生的运用能力，若时间不允许该部分也可作为课后作业完成.BCABCsin a A c=cos b A c =sin b B c=cos a B c=bABCa┌csinA=cosB ，cosA=sinB (∠A+∠B=90。
人教版九年级锐角三角函数全章教案【人教版九年级锐角三角函数全章教案】一、教学目标：1. 理解锐角三角函数的概念和性质；2. 掌握正弦、余弦、正切函数的定义和计算方法；3. 能够应用三角函数解决实际问题；4. 培养学生的逻辑思维和解决问题的能力。
二、教学重点：1. 掌握锐角三角函数的定义和性质；2. 理解三角函数在坐标系中的几何意义；3. 能够应用三角函数解决实际问题。
三、教学难点：1. 理解三角函数的周期性和图像特点；2. 运用三角函数解决实际问题。
四、教学准备：1. 教材：人教版九年级数学教材；2. 教具：黑板、白板、书写工具、计算器等。
五、教学过程：1. 引入（10分钟）通过提问和讨论的方式引导学生回顾和复习之前学过的角的概念和性质，引出锐角的概念，并与直角、钝角进行对比。
2. 基本概念的引入（20分钟）a. 讲解锐角三角函数的定义：正弦、余弦、正切。
b. 讲解三角函数的计算方法和性质。
c. 通过例题演示如何计算三角函数的值。
3. 几何意义的理解（30分钟）a. 介绍三角函数在坐标系中的几何意义。
b. 讲解三角函数的周期性和图像特点。
c. 通过绘制图像和实例分析，让学生理解三角函数的变化规律。
4. 实际问题的应用（40分钟）a. 引导学生通过实例，学习如何应用三角函数解决实际问题，如测量高度、距离等。
b. 给学生一些练习题，让他们独立解决实际问题。
5. 总结与拓展（10分钟）a. 总结本节课所学的内容和方法。
b. 引导学生思考，如何进一步拓展和应用锐角三角函数的知识。
六、教学反思：本节课通过引导学生回顾和复习角的概念和性质，引入锐角的概念，并讲解了锐角三角函数的定义、计算方法和性质。
通过绘制图像和实例分析，让学生理解三角函数的几何意义和变化规律，并应用三角函数解决实际问题。
通过这样的教学过程，学生能够更好地掌握锐角三角函数的知识，提高他们的逻辑思维和解决问题的能力。
同时，教师需要根据学生的实际情况，灵活调整教学方法和教学内容，确保教学效果的最大化。
【锐角三角函数全章教案】锐角三角函数（第一课时）教学三维目标：一.知识目标：初步了解正弦、余弦、正切概念；能较正确地用siaA、cosA、tanA表示直角三角形中两边的比；熟记功30°、45°、60°角的三角函数，并能根据这些值说出对应的锐角度数。
二.能力目标：逐步培养学生观察、比较、分析，概括的思维能力。
三.情感目标：提高学生对几何图形美的认识。
教材分析：1．教学重点: 正弦，余弦，正切概念2．教学难点:用含有几个字母的符号组siaA、cosA、tanA表示正弦，余弦，正切教学程序：一．探究活动1．课本引入问题，再结合特殊角30°、45°、60°的直角三角形探究直角三角形的边角关系。
2．归纳三角函数定义。
siaA=,cosA=,tanA=3例1.求如图所示的Rt⊿ABC中的siaA,cosA,tanA的值。
4.学生练习P21练习1，2，3二．探究活动二1.让学生画30°45°60°的直角三角形,分别求sia 30°cos45° tan60°归纳结果30°45°60°siaAcosAtanA2. 求下列各式的值（1）sia 30°+cos30°（2）sia 45°-cos30°(3)+ta60°-tan30°解直角三角形应用（一）一．教学三维目标(一)知识目标使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形．(二)能力训练点通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．(三)情感目标渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯．二、教学重点、难点和疑点1．重点：直角三角形的解法．2．难点：三角函数在解直角三角形中的灵活运用．3．疑点：学生可能不理解在已知的两个元素中，为什么至少有一个是边．三、教学过程(一)知识回顾1．在三角形中共有几个元素？2．直角三角形ABC中，∠C=90°，a、b、c、∠A、∠B这五个元素间有哪些等量关系呢？(1)边角之间关系 sinA= cosA= tanA=(2)三边之间关系a2 +b2 =c2 (勾股定理)(3)锐角之间关系∠A+∠B=90°．以上三点正是解直角三角形的依据，通过复习，使学生便于应用．（二）探究活动1．我们已掌握Rt△ABC的边角关系、三边关系、角角关系，利用这些关系，在知道其中的两个元素(至少有一个是边)后，就可求出其余的元素．这样的导语既可以使学生大概了解解直角三角形的概念，同时又陷入思考，为什么两个已知元素中必有一条边呢？激发了学生的学习热情．解直三角形应用（二）一．教学三维目标(一)、知识目标使学生了解仰角、俯角的概念，使学生根据直角三角形的知识解决实际问题．(二)、能力目标逐步培养分析问题、解决问题的能力．二、教学重点、难点和疑点1．重点：要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题．2．难点：要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题．三、教学过程（一）回忆知识1．解直角三角形指什么？2．解直角三角形主要依据什么？(1)勾股定理：a2+b2=c2(2)锐角之间的关系：∠A+∠B=90°(3)边角之间的关系： tanA=（二）新授概念1．仰角、俯角当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角．教学时，可以让学生仰视灯或俯视桌面以体会仰角与俯角的意义．解直三角形应用（三）（一）教学三维目标(一)知识目标使学生会把实际问题转化为解直角三角形问题，从而会把实际问题转化为数学问题来解决．(二)能力目标逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．(三)情感目标渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的观点，培养学生用数学的意识．二、教学重点、难点1．重点：要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形元素之间的关系，从而利用所学知识把实际问题解决．2．难点：要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而利用所学知识把实际问题解决．三、教学过程1．导入新课上节课我们解决的实际问题是应用正弦及余弦解直角三角形，在实际问题中有时还经常应用正切和余切来解直角三角形，从而使问题得到解决．2．例题分析例1．如图6-21，厂房屋顶人字架(等腰三角形)的跨度为10米，∠A-26°，求中柱BC(C为底边中点)和上弦AB的长(精确到0.01米)．分析：上图是本题的示意图，同学们对照图形，根据题意思考题目中的每句话对应图中的哪个角或边，本题已知什么，求什么？由题意知，△ABC为直角三角形，∠ACB=90°，∠A=26°，AC=5米，可利用解Rt△ABC的方法求出BC和AB．学生在把实际问题转化为数学问题后，大部分学生可自行完成例题小结：求出中柱BC的长为2.44米后，我们也可以利用正弦计算上弦AB的长。
教学准备1. 教学目标知识目标1．初步了解锐角三角函数的意义，理解在直角三角形中一个锐角的对边与斜边的比值就是这个锐角的正弦，当锐角固定时，它的正弦值是定值;2．能根据已知直角三角形的边长求一个锐角的正弦值.能力目标经历探究锐角三角函数的定义的过程,逐步发现一个锐角的对边与斜边的比值不变的规律，从中思考这种规律所揭示的数学内涵。
情感目标使学生体验数学活动中的探索与发现,培养学生由特殊到一般的演绎推理能力，学会用数学的思维方式思考，发现，总结,验证。
2。
教学重点/难点重点：正确理解正弦概念，会根据直角三角形的边长求一个锐角的正弦值难点：理解在直角三角形中，对于任意一个锐角，它的对边与斜边的比值是固定值.3. 教学用具三角形板,多媒体4. 标签教学过程教学过程设计一、创设情境，引入新课问题：为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，•在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌．现测得斜坡与水平面所成角的度数是30°,为使出水口的高度为35m，那么需要准备多长的水管？思考：如果使出水口的高度为50m，那么需要准备多长的水管？二、新知探究解析：三、例题分析,应用新知例1 如图,在Rt△ABC中，∠C=90°，求sinA和sinB的值．解:在Rt△ABC中，因为AC=4、BC=3，所以AB=5，例2.如图，在Rt △AB中，∠C=90°，AB=13，BC=5求sinA和sinB的值。
解：在Rt △ABC中,例3、如图,在△ABC中， AB=BC=5，sinA=4/5，求△ABC 的面积.解：过A作AD⊥BC，垂足为D,∵ sinA=4/5，∴AD/AB=4/5,∴AD=4，∴BD=3∴BC=2BD=6∴S△ABC =12练习巩固1、判断对错：1) 如图2) 如图sinA= BC/AB （×）2、在Rt△ABC中,把三角形的三边同时扩大100倍，sinA的值（ C ）A.扩大100倍B。
24.3 锐角三角函数1.锐角三角函数第1课时锐角三角函数的定义※教学目标※【知识与技能】了解锐角三角函数的概念，能够正确应用sinA、cosA、tanA表示直角三角形中两边的比.【过程与方法】通过锐角三角函数的学习，进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想，体会数学在解决实际问题中的作用.【情感态度】1.通过学习培养学生的合作意识.2.通过探究提高学生学习数学的兴趣.【教学重点】锐角三角函数的概念.【教学难点】锐角三角函数的概念的理解.※教学过程※一、情境导入如图（1），图（2）都可以用来测量物体的高度.这两个问题的解决，将涉及直角三角形中的边角关系.直角三角形中，它的边与角有什么关系？通过本节的学习，你就会明白其中的道理，并能应用所学知识解决相关的问题.二、探索新知1.某个角的对边、邻边的概念.在Rt△ABC中，直角∠C所对的边AB称为斜边，用c表示，另两边直角边为∠A的对边与邻边，分别用a、b表示（如图）.2.做一做.（1）画一个Rt△ABC，使∠C=90°，∠A=30°，那么∠A的对边与斜边的比值是多少？量一量、算一算.（2）你画的三角形与你同伴画的三角形全等吗？不全等时，比值有什么关系？和你的同伴交流一下.（3）若∠A=45°、60°时，则∠A对边与斜边之比是多少？结论：在Rt△ABC中，只要一个锐角的大小不变（如∠A=30°），那么不管这个直角三角形大小如何，该锐角的对边与邻边的比值是一个固定的值.经过验证，在Rt△ABC中，当锐角A取其他固定值时，∠A的对边与邻边的比值还是一个固定值，与Rt△ABC的大小无关.说明：观察图中的Rt△AB 1C1、Rt△AB2C2和Rt△AB3C3，易知Rt△AB1C1Rt△AB2C2∽Rt△AB3C3.∴==可见，在Rt△ABC中，对于锐角A的每一个确定的值，其对边与邻边的比值是唯一确定的.同样，其对边与斜边，邻边与斜边的比值也是唯一确定的.3.锐角三角形函数的定义∠A的正弦：sinA=∠A的余弦：cosA=∠A的正切：tanA=∠A的正弦、余弦、正切统称为锐角∠A的三角函数.4.知识拓展（1）正弦与余弦三角函数值的取值范围.∵直角三角形中，斜边大于直角边.∴0<sinA<1,0<cosA<1.(2)同角三角函数关系sin2α+cos2α=1;tanα=.(3)互余两角的三角函数值若α、β都是锐角，且α+β=90°,那么：sinα=cosβ,cosα=sinβ.三、巩固练习【例1】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=15，BC=8.试求出∠A的三个三角函数值.解：AB==17,sinA=,cosA=,tanA=.【练习】1.如图，在Rt△MNP中，∠N=90°，则：∠P的对边是，∠P的邻边是；∠M的对边是，∠M的邻边是.第1题图第2题图2.如图，在Rt△DEC中，∠E=90°，CD=10，DE=6.试求出∠D的三个三角函数值.3.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c.根据下列所给条件，分别求出∠B的三个三角函数值：（1）a=3,b=4;(2)a=5,c=13.答案：1.MN PN PN MN2.由勾股定理,得CE=8,所以sinD=,cosD=,tanD=.3.(1)sinB=,cosB=,tanB=.(2)sinB=,cosB=,tanB=.四、应用拓展【例2】已知：Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=,BC=3,求AB、AC的值.解：∵sinA=,∴AB=,∴AC=.【例3】如图，已知α为锐角，sinα=,求cosα、tanα的值.解：方法一：用定义法求解∵sinα=,∴设BC=3x,则AB=5x.由勾股定理，得AC=4x.∴cosα=,tanα=.方法二：用公式求解∵α为锐角，∴cosα==,tanα=.五、归纳小结1.正弦、余弦、正切的定义是在直角三角形中相对其锐角而定义的，其本质是两条线段长度之比，理解好这三个概念是学好本章的关键；2.正弦、余弦、正切实际上都是比值，没有单位，它们只与锐角α的大小有关，与三角形的边长无关；3.对于每一个锐角α的确定的值，它的正弦、余弦和正切都有唯一确定的值与之对应；反之，对于每一个确定的正弦、余弦和正切值，都有唯一的锐角与之对应.※课后作业※1.教材第111页习题24.3第1、2题.2.如图，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AD是∠CAB的平分线，tanB=,求的值.第2课时特殊角的三角函数值※教学目标※【知识与技能】1.熟记30°、45°、60°角的三角函数值，并能根据这些值说出对应的锐角度数.2.在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.【过程与方法】培养学生观察、比较、分析、概括的思维能力.【情感态度】经历观察、操作、归纳等学习数学过程，感受数学思考过程的合理性，感受数学说理的必要性，说理过程的严谨性，养成科学的、严谨的学习态度.【教学重点】特殊角的三角函数值.【教学难点】与特殊角的三角函数值有关的计算.※教学过程※一、复习引入在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1,AB=2,求∠A、∠B的三个三角函数值.回顾锐角三角函数的定义；直角三角形的性质.二、探索新知在Rt△ABC中，∠A=30°，∠C=90°，如图，试求两个锐角的三个三角函数值.解：在直角三角形中，30°角所对的直角边是斜边的一半.所以，若设30°角所对的直角边为1，即BC=1,则AB=2，由勾股定理得：AC=.由三角函数定义,得sin30°=.cos30°=.tan30°=.同理可得sin60°=,cos60°=,tan60°=.2.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=∠B=45°，如图，试求45°角的三角函数值.若设AC=BC=1.则AB=.易得sin45°=,cos45°=,tan45°=1.【例1】求值：sin30°·tan30°+cos60°·tan60°.解：原式=.【例2】在Rt△ABC中，若sinA=,则cos的值是多少？解：由sinA=知A=60°.∴cos=cos30°=.三、巩固练习1.在△ABC中，若cosA=,tanB=，则此三角形一定是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形2.用特殊角的三角函数填空：= = ;= = ;1= ;= .3.化简= .4.点M（-sin60°,cos60°）关于x轴对称的点的坐标是.5.求下列各式的值：（1）sin260°+cos260°;(2)2cos60°+2sin30°+4tan45°;(3).6.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=，BC=.求∠A的大小.答案：1.A 2.sin60° cos30° sin45° cos45°tan45° tan60° 3. 4.5.(1)1 (2)6 (3)6.∠A=45°四、应用拓展1.你能求出tan15°的值吗？如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，延长CB至D，使BD=AB，则∠D=15°.设AC=k,则AB=2k,BC=k,所以CD=BC+BD=BC+AB=(2+)k,所以tan15°===2-.2.仿上面的解题方法，易求tan22.5°=-1.※课后作业※1.教材第111页习题24.3的第3题.2.若∠A、∠B是△ABC的两个内角且满足关系式=0,求∠C的度数.3.若α为锐角，且tan2α-(1+)tanα+1=0.求α的度数.2.用计算器求锐角三角函数值※教学目标※【知识与技能】1.会使用计算器求锐角三角函数的值.2.会使用计算器根据锐角三角函数的值求对应的锐角.【过程与方法】在做题、计算的过程中，逐步熟练计算器的使用.【情感态度】经历计算器的使用过程，熟悉其按键顺序.【教学重点】利用计算器求锐角三角函数的值.【教学难点】计算器的按键顺序. ※教学过程※一、复习引入填表：由上表我们可以直接写出30°，45°，60°角的三角函数值及由特殊值写出相应的锐角.对一些非特殊的角，怎样求它的三个三角函数值呢？二、探索新知1.求锐角三角函数值【例1】求sin63°52′41″的值（精确到0.0001）.解：如下方法将角度单位状态设定为“度”：再按下列顺序依次按键：显示结果为0.897859012.∴sin63°52′41″≈0.8979.【例2】求tan19°15′的值（精确到0.0001）.解：在角度单位状态为“度”的情况下（屏幕显示出）,按下列顺序依次按键：显示结果为0.3492156334.∴tan19°15′≈0.3492.2.由锐角三角函数值求锐角.【例3】若tanx=0.7410,求锐角x.（精确到1′）解：在角度单位状态为“度”的情况下（屏幕显示出）,按下列顺序依次按键：显示结果为36.53844577.再按键,显示结果为36°32′18.4″.所以x≈36°32′.三、巩固练习1.利用计算器求下列三角函数值：（精确到0.0001）（1）sin24°;(2)cos51°42′20″;(3)tan70°21′.2.已知下列锐角α的各三角函数值，利用计算器求锐角α：（精确到1′）（1）sinα=0.2476;(2)cosα=0.4174;(3)tanα=0.1890.答案：1.（1）0.4067 (2)0.6197 (3)2.8006 2.(1)14°20′(2)65°20′(3)10°42′※课后作业※1.教材第111页习题24.3的第4、5题.2.比较大小.cos25° cos32°,tan29° tan39°.3.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=29，AC=25，求∠A的度数.。
28．2 解直角三角形（1）教学目标1．知识与技能理解直角三角形中边与边的关系，角与角的关系和边与角的关系，会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余、以及锐角三角函数解直角三角形，并会用解直角三角形的有关知识解决简单的实际问题．2．过程与方法通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．3．情感、态度与价值观渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯．重点与难点1．重点：直角三角形的解法．2．难点：三角函数在解直角三角形中的灵活运用．教学方法：讲练结合法教学过程一、复习引入上一节我们介绍了直角三角函数．我们知道，一个直角三角形有许多元素的值，各三边的长，三个角的度数，三角的正弦、余弦、正切值．我们现在要研究的是，我们究竟要知道直角三角形中多少值就可以通过公式计算出其他值．二、探究新知1. 先看1972年的情形：设塔顶中心点为B，塔身中心线与垂直中心线的夹角为A，过B点向垂直中心线引垂线，垂足为点C，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5.2m，AB=54.5m．sinA=．所以∠A≈5°28′．教师要求学生求出2001年纠偏后塔身中心线与垂直中心线的夹角．2. 要想使人完全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角a一般要满足50°≤a≤75°，现有一个长6m的梯子，问：(1)．使用这个梯子最高可以完全攀上多高的墙（精确到0.1m）？(2)．当梯子底端距离墙面2.4m时，梯子与地面所成的角a等于多少（精确到1°）？这时人是否能够安全使用这个梯子？教师对问题的解法进行分析：对于问题1，当梯子与地面所成的角a为75°时，梯子顶端与地面的距离是使用这个梯子所能攀到的最大高度．问题1的解法：由sinA= 得 BC=AB·sinA=6×sin75°．由计算器求得sin75°≈0.97，所以 BC≈6×0.97≈5.8．因此使用这个梯子能够完全攀到墙面的最大高度约是5.8m．问题2的解法：由于cosa=，求得a≈66°.因此当梯子底端距离墙面2.4m 时，梯子与地面所成的角大约是66°，由50°<66°<75°可知，这时使用这个梯子是安全的．三、随堂练习如下图，已知A、B两点间的距离是160米，从A点看B点的仰角是11°，AC长为1.5米，求BD的高及水平距离CD．解题方法分析：由A作一条平行于CD的直线交BD于E，构造出Rt△ABE，然后进一步求出AE、BE，进而求出BD与CD．设置此题，即使成绩较好的学生有足够的训练，同时对较差学生又是巩固，达到分层次教学的目的．解：过A作AE∥CD，于是有AC=ED，AE=CD．在Rt△ABE中，sinA= ∴BE=AB·sinA=160·sin11°=30.53（米）． cosA=∴AE=AB·cosA=160·cos11°=157.1（米）．∴BD=BE+ED=BE+AC=30.53+1.5=32.03（米）．CD=AE=157.1（米）．答：BD的高及水平距离CD分别是32.03米，157.1米．四、课时总结利用三角函数解应用题时，首先要把问题的条件与结论都转化为一个直角三角形内的边和角，然后再运用三角函数知识解题．五、作业1．Rt△ABC中，若sinA=，AB=10，那么BC=_____，tanB=______． 2．在△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，那么sinA=________．3．在△ABC中，∠C=90°，sinA=，则cosA的值是（）A． B． C． D.4．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，tanB=cos∠DAC．（1）求证：AC=BD;（2）若sinC=，BC=12，求AD的长．28．2 解直角三角形（2）教学目标1．知识与技能理解直角三角形中边与边的关系，角与角的关系和边与角的关系，会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余、以及锐角三角函数解直角三角形，并会用解直角三角形的有关知识解决简单的实际问题．2．过程与方法通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．3．情感、态度与价值观渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯．教学重点：直角三角形的解法．教学难点：三角函数在解直角三角形中的灵活运用．教学方法：讲练结合法教学过程一、复习引入上一节课我们通过实例大致了解了通过已知条件来求三角形其他元素解法．这一节课我们将提出解直角三角形这一概念，并通过实例说明它的解法．教师提出以下问题要求学生自行解答：三角形有六个元素，分别是三条边和三个内角．在Rt△ABC中，1．根据∠A=75°，斜边AB=6，你能求出这个直角三角形的其他元素吗？2．根据AC=2．4，斜边AB=6，你能求出这个直角三角形的其他元素吗？学生解答完后教师给出解法．二、探究新知事实上，在直角三角形的六个元素中，除直角外，如果再知道两个元素（其中至少有一个是边），这个三角形就可以确定下来，这样就可以由已知的两个元素求出其余的三个元素．在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程，就是解直角三角形．总结：（1）三边之间的关系 a2+b2=c2（勾股定理）28．2-2（2）两锐角之间的关系∠A+∠B=90°．（3）边角之间的关系：sinA=，sinB=cosA==，cosB==tanA==，tanB==例1、如课本图28．2-3，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=，BC=，解这个直角三角形．解：∵tanA=，∴∠A=60°．∠B=90°-∠A=90°-60°=30°．AB=2AC=2．例2、如课本图28．2-4，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=35°，b=20，解这个直角三角形．（精确到0.1）解：∵tanB=．∴a=．∵sinB=，∴c=．∠A=90°-∠B=90°-35°=55°．三、随堂练习：课本第87页练习．四、小结解直角三角形就是已知直角三角形三条边，三个角中的2个元素（其中有一个必须是边）求其他元素的过程．解直角三角形常用的知识有：勾股定理，正弦、余弦、正切，两个内角和为90度．五、作业：习题28．2第1题，第2题．28．2 解直角三角形（3）教学目标1．知识与技能理解直角三角形中边与边的关系，角与角的关系和边与角的关系，会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余、以及锐角三角函数解直角三角形，并会用解直角三角形的有关知识解决简单的实际问题．2．过程与方法通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．3．情感、态度与价值观渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯．教学重点：直角三角形的解法．教学难点：三角函数在解直角三角形中的灵活运用．教学方法：讲练结合法教学过程一、引入本节课将利用解直角三角形知识解决生活中的许多问题．2003年10月15日“神舟”5号载人航天飞船发射成功．我们将应用直角三角形知识探究有关飞船运行的一些知识．二、探究新知例3：当飞船完成变轨后，就在离地球表面350km的圆形轨道上运行．如课本图28．2-5，当飞船运行到地球表面上P点的正上方时，从飞船上能直接看到的地球上最远的点在什么位置？这样的最远点与P点的距离是多少？（地球半径约为6400km，结果精确到0.1km）．分析：从飞船上能直接看到的地球上最远的点，应是视线与地球相切时的切点．如图28．2-5所示，⊙O表示地球，点F是飞船的位置，FQ是⊙O的切线，切点Q是从飞船观察地球时的最远点．的长就是地面上P、Q两点间的距离（不能用弦PQ去代替）．为了计算PQ的长需先求出∠POQ（即∠a）．解：在图28．2-5中，FQ是⊙O的切线，△FOQ是直角三角形．∵cosα= ，∴α≈18°．∴PQ的长为×6400≈1.34×640=2009.6．由此可见，当飞船在P点正上方时，从飞船观测地球时的最远点距离P点约2009.6km．例4：热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离为120m，问这栋高栋有多高？（结果精确到0.1m）分析：我们知道，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的是仰角，视线在水平线下方的是俯角．因此，在课本图28．2-6中，AD 是与水平面平行的直线，则α=30°，β=60°，我们可以把这道题分成两个直角三角形来解．在Rt△ABD中，a=30°，AD=120，所以可以利用解直角三角形的知识求出BD；类似地在△ACD中可以求出CD．进而求出BC．解：如课本图28．2-6，α=30°，β=60°，AD=120．∵tanα=, ∴BD=AD·tanα=120×tan30°=120×=4，CD=AD·tanβ=120×tan60°=120×=120，∴BC=BD+CD=40+120=160≈277.1．答：这栋楼房约为277.1m．三、随堂练习：89页练习第1题、第2题．四、课时总结如果问题不能归结为一个直角三角形，则应当对所求的量进行分解，将其中的一部分量归结为直角三角形中的量．五、作业习题28．2第3题、第4题．28．2 解直角三角形（4）教学目标1．知识与技能理解直角三角形中边与边的关系，角与角的关系和边与角的关系，会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余、以及锐角三角函数解直角三角形，并会用解直角三角形的有关知识解决简单的实际问题．2．过程与方法通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．3．情感、态度与价值观渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯．教学重点：直角三角形的解法．教学难点：三角函数在解直角三角形中的灵活运用．教学方法：讲练结合法教学过程一、探究新知本节课将应用解直角三角形知识解决测量中的方位角问题．（一）方位角与方向角1．方向角：指北或指南方向线与目标方向所成的小于90°的角叫做方向角．如图中的目标方向线OA，OB，OC分别表示北偏东60°,南偏东30°，北偏西70°．特别地，若目标方向线与指北或指南的方向线成45°的角，如图:目标方向线OD与正南方向成45°角，通常称为西南方向．2．方位角:从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角．如图:目标方向线PA，PB，PC的方位角分别是40°，135°，225°．（二）用解直角三角形的方法解决实际问题方法要点在解决实际问题时，我们要学会将千变万化的实际问题转化为数学问题，要善于将某些实际问题中的数量关系归结为直角三角形中的元素（边、角）之间的关系，这样才能很好地运用解直角三角形的方法求解．解题时一般有以下三个步骤：1．审题．按题意画出正确的平面或截面示意图，并通过图形弄清已知和未知．2．将已知条件转化为示意图中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题．如果没有现成是直角三角形可供使用，可通过作辅助线产生直角三角形，再把条件和问题转化到这个直角三角形．3．根据直角三角形（或通过作垂线构造直角三角形）元素（边、角）之间关系解有关的直角三角形．二、例题讲解例5、如图所示，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处．这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远？（精确到0.1海里）分析：这道题的解题思路与上一节课的例4相似．因为△APB不是一个直角三角形，所以我们把一个三角形分解为两个直角三角形，△ACP 与△PCB．PC是东西走向的一条直线．AB是南北走向的一直线，所以AB 与PC是相互垂直的，即∠ACP与∠BDP均为直角．再通过65度角与∠APC互余的关系求∠APC；通过34度角与∠BPC互余的关系求∠BPC．教师分析后要求学生自行做完这道题．学生做完后教师再加以总结并板书．解：在Rt△APC中，PC=PA·cos（90°-650）=80×cos25°≈80×0.91=72.505．在Rt△BPC中，∠B=34°，∵sinB= ，∴PB=因此，当海轮到达位于灯塔P的南偏东34°方向时，它距离灯塔P大约129.7海里．解直角三角形有广泛的应用，解决问题时，要根据实际情况灵活运用相关知识．例如，当我们要测量如课本图28．2-8所示大坝的高度h 时，只要测出仰角α和大坝的坡面长度L，就能算出h=Lsinα．但是，当我们要测量如课本图28．2-9所示的山高h时，问题就不那么简单了．这是由于不能很方便地得到仰角α和山坡长度L．图28．2-8 图28．2-9 图28．2-10与测坝高相比，测山高的困难在于：坝坡是“直”的，而山坡是“曲”的．怎样解决这样的问题呢？我们设法“化曲为直，以直代曲”．我们可以把山坡“化整为零”地划分为一些小段，课本图28．2-10表示其中一部分小段．划分小段时，注意使每一小段上的山坡近似是“直”的，可以量出这段坡长L1，测出相应的仰角α，这样就可以算出这段山坡的高度h1=L1sinα．在每个小段上，我们都构造出直角三角形，利用上面的方法分别算出各段山坡的高度h1，h2，……．然后我们再“积零为整”，把h1，h2，…相加，于是得到山高h．以上解决问题中所用的“化整为零，积零为整”“化曲为直，以直代曲”的做法，就是高等数学中微积分的基本思想，它在数学中有重要地位，在今后的学习中，你会更多地了解这方面的内容．三、随堂练习：课本第91页练习第1题、第2题．四、课时总结利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：1．将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）．2．根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形．3．得到数学问题的答案．4．得到实际问题的答案．五、作业习题28．2第5题、第8题．小结与复习知识结构基础知识1．直角三角形的边角关系：在Rt△ABC中，∠A+∠B=90°， a2+b2=c2，sinA=cosB=， cosA=sinB=，tanA=cotB=， cosA=tanB=．2．互余两角三角函数间的关系：如∠A+∠B=90°，那么sinA=cosB，cosA=sinB．3．同角三角函数间的关系：sin2A+cos2A=1，tanA·cotA=1，tanA=．4．特殊角的三角函数三角函数0°30°45°60°90°sinα01cosα10tanα01不存在cotα不存在1 0解直角三角形的基本类型解直角三角形的基本类型及其解法如下表：类型已知条件解法两边两直角边a、b c=，tanA=，∠B=90°-∠A一直角边a，斜边cb=，sinA=，∠B=90°-∠A一边一锐角一直角边a，锐角A∠B=90°-∠A，b=a·cotA，c=斜边c，锐角A∠B=90°-∠A，a=c·sinA，b=c·cosA解直角三角形注意点1．尽量使用原始数据，使计算更加准确．2．有的问题不能直接利用直角三角形内部关系解题，但可以添加合适的辅助线转化为解直角三角形的问题．3．一些较复杂的解直角三角形的问题可以通过列方程或方程组的方法解题．4．解直角三角形的方法可概括为“有弦（斜边）用弦（正弦、余弦），无弦有切（正切、余切），宁乘毋除，取原避中”其意指：当已知或求解中有斜边时，可用正弦或余弦；无斜边时，就用正切或余切；当所求元素既可用乘法又可用除法时，则用乘法，不用除法；既可由已知数据又可用中间数据求解时，则取原始数据，忌用中间数据．5．必要时按照要求画出图形，注明已知和所求，然后研究它们置于哪个直角三角形中，应当选用什么关系式来进行计算．6．要把添加辅助线的过程准确地写在解题过程之中．7．解含有非基本元素的直角三角形（即直角三角形中中线、高、角平分线、周长、面积等），一般将非基本元素转化为基本元素，或转化为元素间的关系式，再通过解方程组来解．应用题解题步骤度量工具、工程建筑、测量距离等方面应用题的解题步骤可概括为如下几步：第一步，审清题意，要弄清仰角、俯角、坡度、坡角、水平距离、垂直距离、水平等概念的意义．第二步，构造出要求解的直角三角形，对于非直角三角形的图形可作适当的辅助线把它们分割成一些直角三角形和矩形（包括正方形）．第三步，选择合适的边角关系式，使运算尽可能简便，不易出错．第四步，按照题目中已知数的精确度进行近似计算，并按照题目要求的精确度确定答案及注明单位．思想方法总结1．转化思想转化思想贯穿于本章的始终．例如，利用三角函数定义可以实现边与角的转化，利用互余两角三角函数关系可以实现“正”与“余”的互化；利用同角三角函数关系可以实现“异名”三角函数之间的互化．此外，利用解直角三角形的知识解决实际问题时，首先要把实际问题转化为数学问题．2．数形结合思想本章从概念的引出到公式的推导及直角三角形的解法和应用，无一不体现数形结合的思想方法．例如，在解直角三角形的问题时，常常先画出图形，使已知元素和未知元素更直观，有助于问题的顺利解决．3．函数思想锐角的正弦、余弦、正切、余切都是三角函数，其中都蕴含着函数的思想．例如，任意锐角a与它的正弦值是一一对应的关系．也就是说，对于锐角a任意确定的一个度数，sina都有惟一确定的值与之对应；反之，对于sina在（01）之间任意确定的一个值，锐角a都有惟一确定的一个度数与之对应．4．方程思想在解直角三角形时，若某个元素无法直接求出，往往设未知数，根据三角形中的边角关系列出方程，通过解方程求出所求的元素．中考新题型例1 计算：（1）sin230°-cos45°·tan60°（2）分析：把特殊角的三角函数值代入计算即可．解：（1）sin30°-cos45°·tan60°=-×=-（2）原式=+1-3×（）2+2 =+1-1+2（1-）=2说明：熟记30°、45°、60°角的三角函数值，是解决这类问题的关键，这类题也是中考考查的重点，在选择题和填空题中出现的更多．例2 如右图，已知缆车行驶线与水平线间的夹角α=30°，β=45°．小明乘缆车上山，从A到B，再从B到D都走了200米（即AB=BD=200米），请根据所给的数据计算缆车垂直上升的距离．（计算结果保留整数，以下数据供选用：sin47°≈0.7314，cos47°≈0.6820，tan47°≈1.0724）分析：缆车垂直上升的距离分成两段：BC与DF．分别在Rt△ABC和Rt△DBF中求出BC与DF，两者之和即为所求．解：在Rt△ABC中，AB=200米，∠BAC=α=30°，∴BC=AB·sinα=200sin30°=100（米）．在Rt△BDF中，BD=200米，∠DBF=β47°，∴DF=BD·sinβ=200·sin47°≈200×0.7314=146.28（米）．∴BC+DF=100+146.28=246.28（米）．答：缆车垂直上升了246.28米．说明：解直角三角形在实际生活中的应用，是中考考查的重点，也是考查的热点．要解决好这类问题：一是要合理地构造合适的直角三角形；二是要熟记特殊角的三角函数值；三是要有很好的运算能力和分析问题的能力．作业第97-98页 1 2. 8 10。
第二十八章锐角三角函数28．1 锐角三角函数（1）教学目标：1、知识与技能：通过探究使学生知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值都固定（即正弦值不变）这一事实。
能根据正弦概念正确进行计算。
2、过程与方法：通过锐角三角函数的学习，进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想，逐步培养学生会观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力．3、情感态度与价值观：引导学生探索、发现，以培养学生独立思考、勇于创新的精神和良好的学习习惯．教学重点：理解认识正弦（sinA）概念，通过探究使学生知道当锐角固定时，它的对边与斜边的比值是固定值这一事实．教学难点：引导学生比较、分析并得出：对任意锐角，它的对边与斜边的比值是固定值的事实．教学过程：一、复习旧知、引入新课【引入】操场里有一个旗杆，老师让小明去测量旗杆高度。
小明站在离旗杆底部10米远处，目测旗杆的顶部，视线与水平线的夹角为34度，并已知目高为1米．然后他很快就算出旗杆的高度了。
下面我们大家一起来学习锐角三角函数中的第一种：锐角的正弦341米10米二、探索新知 【活动一】问题的引入【问题一】为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行灌溉。
现测得斜坡与水平面所成角的度数是30°,为使出水口的高度为35m ，那么需要准备多长的水管？分析：问题转化为，在Rt△ABC 中，∠C=90o ，∠A=30o ，BC=35m,求AB 根据“在直角三角形中，30o 角所对的边等于斜边的一半”，即可得AB=2BC=70m.即需要准备70m 长的水管结论：在一个直角三角形中，如果一个锐角等于30o ，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于21【问题二】如图，任意画一个Rt △ABC ，使∠C=90o ，∠A=45o ，计算∠A 的对边与斜边的比ABBC，能得到什么结论？（学生思考） 结论：在一个直角三角形中，如果一个锐角等于45o ，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于22。
28.1．1锐角三角函数初三备课组教学目标1．知识与技能（1）了解锐角三角函数的概念，能够正确应用sinA、表示直角三角形中两边的比；记忆30°、45°、60°的正弦函数值，并会由一个特殊角的三角函数值说出这个角；（2）能够正确地使用计算器，由已知锐角求出它的三角函数值，•由已知三角函数值求出相应的锐角．2．过程与方法通过锐角三角函数的学习，进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想，逐步培养学生会观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力．3．情感、态度与价值观引导学生探索、发现，以培养学生独立思考、勇于创新的精神和良好的学习习惯．重点与难点1．重点：正弦三角函数概念及其应用．2．难点：使学生知道当锐角固定时，它的对边与斜边的比值也是固定的这一事实．用含有几个字母的符号组sinA表示正弦，正弦概念．教学过程情境引入比萨斜塔1350 年落成时就已倾斜，其塔顶中心点偏离垂直中心线2.1 m．至今，这座高54.5 m 的斜塔仍巍然屹立．你能用“塔身中心线与垂直中心线所成的角θ”来描述比萨斜塔的倾斜程度吗？问题1为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌．现测得斜坡与水平面所成角的度数是30°，为使出水口的高度为35 m，需要准备多长的水管？这个问题可以归结为:在Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，BC=35 m，求AB．在上面的问题中，如果出水口的高度为50 m，那么需要准备多长的水管？思考：由这些结果，你能得到什么结论？结论：在直角三角形中，如果一个锐角的度数是30°，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值是一个固定值，为0.5 ．问题2：如图，任意画一个Rt△ABC，使∠C=90°，∠A=45°，计算∠A 的对边与斜边的比．B22==∠AB BC A 斜边的对边如图，任意画一个 Rt △ABC ，使∠C =90°，∠A =60°，计算∠A 的对边与斜边的比23==∠AB BC A 斜边的对边在直角三角形中，如果一个锐角的度数是 45°，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比是一个固定值，为 22．22450==AB BC 斜边角的对边在直角三角形中，如果一个锐角的度数是 60°，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比是一个固定值，为 23．23600==AB BC 斜边角的对边在直角三角形中，当锐角 A 的度数一定时，不管三角形的大小如何，它的对边与斜边的比是一个固定值．问题3 任意画 Rt △ABC 和 Rt △'''C B A ，使得∠C =∠C ＇=90°．∠A =∠A ＇，那么 AB BC与 ''''B A C B 有什么关系．你能解释一下吗？解：∵ ∠C = ∠C ＇=90°，∠A =∠A ＇．∴ Rt △ABC ∽Rt △C B A ''' ∴B A C B ABBC ''''= ∴B A AB C B BC ''=''在 Rt △ABC 中，∠C =90°，我们把锐角 A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作 sin A ，即EMBED Equation.3 sin A=c a A =∠斜边的对边sin 30°=21，sin 45°= 22，sin 60°=23例 如图，在 Rt △ABC 中，∠C ＝90°，求 sin A 和 sin B 的值． 练习提高，提升能力练习1 如下三幅图，在 Rt △ABC 中，∠C ＝90°，求 sin A 和 B 的值练习2 判断下列结论是否正确，并说明理由．（1）在 Rt △ABC 中，锐角 A 的对边和斜边同时扩大 100 倍，sin A 的值也扩大 100 倍； （2）如图所示，△ABC 的顶点是正方形网格的格点，则sin B= = ． 反思与小结1．本节课我们学习了哪些知识？2．研究锐角正弦的思路是如何构建的？课后作业1．教科书第 64 页练习．2．课外探究：在直角三角形中，锐角 A 的邻边与斜边的比是否也是一个固定值． 教学反思28.1．2 锐角三角函数 教学目标1．知识与技能（1）了解锐角三角函数的概念，能够正确应用sinA 、tan A 表示直角三角形中两边的比；记忆30°、45°、60°的正弦函数值，并会由一个特殊角的三角函数值说出这个角；（2）能够正确地使用计算器，由已知锐角求出它的三角函数值，•由已知三角函数值求出相应的锐角．2．过程与方法通过锐角三角函数的学习，进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想，逐步培养学生会观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力．C 3 4 A B C C2 6 26BBC AC 4103．情感、态度与价值观引导学生探索、发现，以培养学生独立思考、勇于创新的精神和良好的学习习惯． 重点与难点1．重点：正弦、正切三角函数概念及其应用．2．难点：使学生知道当锐角固定时，它的对边与斜边、对边与邻边的比值也是固定的这一事实．用含有几个字母的符号组sinA 表示正弦、正切，正弦和正切概念．教学过程类比推理，提出概念请同学们回顾一下，我们是如何得到锐角正弦的概念的？在 Rt △ABC 中，∠C =90°，当∠A 确定时，∠A 的对边与斜边比随之确定．此时，其他边之间的比是否也随之确定呢？证明推理，引出概念如图：在△ABC 和△DEF 中，∠A =∠D ，∠C =∠F=90°， AB AC 与 DE DF 相等吗？ AC BC 与 DF EF呢？证明推理，得到概念在 Rt △ABC 中，当锐角 A 的度数一定时，无论这个直角三角形大小如何，∠A 的邻边与斜边的比、对边与邻边的比都是一个固定值．在直角三角形中，锐角的邻边与斜边的比叫做这个锐角的余弦，记作 cos A ．在直角三角形中，锐角的对边与邻边的比叫做这个锐角的正切，记作tan A ．证明推理，得到概念∠A 的正弦、余弦、正切都是∠A 的锐角三角函数．巩固概念如图，在 Rt △ABC 中，∠C =90°，AB =10，BC =6，求 sin A ，cos A ，tan A 的值.小结反思1．通过本节课的学习，我们一共学习了哪几种锐角三角函数，它们是如何定义的？2．在本节课的学习中，我们用到了哪些数学思想方法？课后作业教科书第 68 页习题28.1 第 1 题．教学反思28.1．4 锐角三角函数课型：习题课教学目标：1.主进一步认识锐角三角函数2.准确把握锐角的正弦、余弦和正切间的联系与区别，进而灵活运用锐角三角函数的概念解决问题．学习目标:1．进一步认识锐角正弦、余弦和正切；2．能根据锐角三角函数的定义解决与直角三角形有关的简单计算．学习重点：根据锐角三角函数的定义解决与直角三角形有关的简单计算．知识梳理问题1 锐角三角函数是如何定义的？总结锐角三角函数的定义过程，并写出如图所示的直角三角形中两个锐角的三角函数．问题2 借助两块三角尺说明 30°， 45°，60°角的三角函数值．典型例题例1 已知，如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠BAC =30°，延长 CA 至 D 点，使AD =AB ．求∠D ，tan D ．例2 已知，如图，⊙O 的半径 OA =4，弦 AB = 34 ，求劣弧 AB 的长．例3 已知，如图，钝角△ABC 中，AC =12 cm ，AB =16 cm ，sin A =31．求 tan B ． 小结与反思回顾上述三个例题的解题思路，思考：在解题过程中，求一个锐角的三角函数的实质是求什么？已知一个锐角的三角函数值可以转化为怎样的条件？在这一过程中应该注意什么？布置作业1．如图，在平面直角坐标系中，直径为 10 的⊙A 经过点C （0，5）和点O （0，0），与x 轴交于另一点D ，点 B 是优弧 ODC 上一点，求∠OBC 的余弦值．2．已知：如图，⊙O 的半径 OA =16 cm ，OC ⊥AB 于 C 点，sin ∠AOC =43，求 AB 及 OC 的长．3．已知：如图△ABC 中，D 为 BC 中点，且∠BAD =90°，tan B =31，求∠CAD 三角函数值．28.2．1解直角三角形及其应用课型：新授课教学目标1.结合已学过的勾股定理和三角形内角和定理，研究解直角三角形的方法．2．了解解直角三角形的意义和条件；3．能根据已知的两个条件（至少有一个是边），解直角三角形．教学重点、难点：解直角三角形的依据和方法．教学过程实例引入，初步体验问题1 设塔顶中心点为 B ，塔身中心线与垂直中心线的夹角为∠A ，过点 B 向垂直中心线引垂线，垂足为点 C （如图）．在 Rt △ABC 中，∠C =90°，BC =5.2 m ， AB = 54.5 m ，求∠A 的度数．概念一般地，在直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角．由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形．（1）三边之间的关系a 2+b 2=c 2（勾股定理） ；（2）两锐角之间的关系∠A +∠B =90°；（3）边角之间的关系sin A =c a ， cos A =c b ， tan A =b asin B =c b ， cos B =c a ， tan B = a b．问题3 从问题 1 的解答过程看，在直角三角形中，知道斜边和一条直角边，可以求其余的三个元素．那么，“知道五个元素中的两个元素（至少有一个是边） ，可以求其余元素”，还有哪几种情况呢？例题示范，方法探究例1 在 Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =2 ，BC =6，解这个直角三角形．例2 如图，在 Rt △ABC 中，∠C =90°，∠B =35°，b =20，解这个直角三角形（结果保留小数点后一位）．应用迁移，巩固提高练习：编写一道解直角三角形的题并解答．归纳：在直角三角形中，知道五个元素中的两个元素（至少有一个是边），我们就可以解这个直角三角形．一般有两种情况：（1）已知两条边；（2）已知一条边和一个锐角．归纳交流，总结反思1．什么叫解直角三角形？直角三角形中，除直角外，五个元素之间有怎样的关系？2．两个直角三角形全等要具备什么条件？为什么在直角三角形中，已知一条边和一个锐角，或两边，就能解这个直角三角形？3．你能根据不同的已知条件，归纳相应的解直角三角形的方法吗？课后作业教科书第74 页练习；教科书习题28.2第1 题．教学反思28.2．2解直角三角形及其应用课型：习题课教学目标1.利用解直角三角形进行几何图形的简单计算．2.熟练掌握解直角三角形的方法；3.能灵活运用解直角三角形解决与直角三角形有关的图形计算问题．教学重难点灵活运用解直角三角形解决与直角三角形有关的图形计算问题．知识梳理问题1什么叫解直角三角形？为什么在直角三角形中已知一条边和一个锐角，或已知两边，能够解这个直角三角形？问题2根据不同的已知条件，归纳相应的解直角三角形的方法，完成下表填空.典型例题例1在Rt△ABC 中，∠C=90°，根据下列条件解直角三角形：（1）a=3，c=6；（2）∠B =60°，b =4；（3）∠A =60°，△ABC 的面积 S = 312 ．例2 在△ABC 中，∠C =90°，∠B =30°，AD 是∠BAC 的角平分线，与 BC 相交于点 D ，且 AB =4，求 AD 的长．例3 在△ABC 中，∠B =30°，∠C =45°，AC =4，求 AB 和 BC ．布置作业1．已知在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，垂足为 D ，若∠B =30°，CD =6，求 AB 的长．2．AD ⊥CD ，AB =10，BC =20，∠A =∠C =30°，求 AD ，CD 的长．教学反思28.2．3 解直角三角形及其应用教学目标1.能利用直角三角形中的这些关系解直角三角形．2.使学生把实际问题转化为解直角三角形问题，从而会把实际问题转化为数学问题来解决，进一步提高数学建模能力3.通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．教学重点将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形元素之间的关系，从而利用所学知识解决实际问题．教学过程复习引入，知识储备问题1 如图，P A 切⊙O 于点 A ，PO 交⊙O 于点 B ，⊙O 的半径为 1 cm ，PB =1.2 cm ，则∠AOB = ， 弧AB= ．问题2三种：重叠、向上和向下．应用知识，解决问题问题3 2012 年 6 月 18轨道上运行，如图，当组合体运行到地球表面 表面最远P 点的距离是多少（地球半径约为 6 400 km ，π 取3.142，结果取整数）？ P 水平线铅垂视线视点俯从组合体中能直接看到的地球表面最远的点在什么位置？从组合体中能直接看到的地球表面最远点，应是视线与地球相切时的切点．在平面图形中，用什么图形可表示地球，用什么图形表示观测点，请根据题中的相关条件画出示意图．如图，用⊙O 表示地球，点 F 是组合体的位置，FQ是⊙O 的切线，切点Q 是从组合体观测地球时的最远点．问题中求最远点与P 点的距离实际上是要求什么？需先求哪个量？怎样求？弧PQ的长就是地面上P、Q 两点间的距离，为计算弧PQ 的长需先求出∠POQ（即α）．应用知识，解决问题问题4热气球的探测器显示，从热气球看一栋楼顶部的仰角为30°，看这栋楼底部的俯角为60°，热气球与楼的水平距离为120 m，这栋楼有多高（结果取整数）？（1）从热气球看一栋楼顶部的仰角为30°→α=30°（2）从热气球看一栋楼底部的俯角为60°→β=60°（3）热气球与高楼的水平距离为120 m→AD=120 m，AD⊥BC．（4）这个问题可归纳为什么问题解决？怎样解决？在直角三角形中，已知一锐角和与这个锐角相邻的直角边，可以利用解直角三角形的知识求这个锐角所对的直角边，再利用两线段之和求解．归纳总结应用解直角三角形的方法解决实际问题的一般步骤：（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）；（2）根据条件，适当选用锐角三角函数解直角三角形；（3）得到数学问题的答案；（4）得到实际问题的答案．如果问题不能归结为一个直角三角形，则应当对所求的量进行分解，将其中的一部分量归结为直角三角形中的量．布置作业教科书习题28.2第2，3，4 题教学反思28.2．4解直角三角形及其应用教学目标1.“在航海中确定轮船距离灯塔有多远”的实际问题理解解直角三角形的理论在实际中的应用，进一步领悟解直角三角形的知识也是解决实际问题的有效数学工具。
