1.2.1任意角的三角函数

1.2.1任意角的三角函数（新授课）【教学目标】1.复习三角函数的定义、定义域与值域、符号、及诱导公式；2.利用三角函数线表示正弦、余弦、正切的三角函数值；3.利用三角函数线比较两个同名三角函数值的大小及表示角的范围。

4.掌握用单位圆中的线段表示三角函数值，从而使学生对三角函数的定义域、值域有更深的理解。

5.学习转化的思想，培养学生严谨治学、一丝不苟的科学精神；.【教学重点】任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；终边相同的角的同一三角函数值相等（公式一）【教学难点】任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；三角函数线的正确理解..【教学过程】 一、知识回顾初中锐角的三角函数是如何定义的？在Rt △ABC 中，设A 对边为a ，B 对边为b ，C 对边为c ，锐角A 的正弦、余弦、正切依次为,,a b a sinA cosA tanA c c b===．角推广后，这样的三角函数的定义不再适用，我们必须对三角函数重新定义。

二、预习自学1.探究:结合上述锐角α的三角函数值的求法,我们应如何求解任意角的三角函数值呢?显然,我们只需在角的终边上找到一个点,使这个点到原点的距离为1,然后就可以类似锐角求得该角的三角函数值了.所以,我们在此引入单位圆的定义:在直角坐标系中,我们称以原点O 为圆心,以单位长度为半径的圆.2.思考:如何利用单位圆定义任意角的三角函数的定义?如图,设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点(,)P x y ,那么: (1)y 叫做α的正弦(sine),记做sin α,即sin y α=； （2）x 叫做α的余弦(cossine),记做cos α,即cos x α=； （3）y x叫做α的正切(tangent),记做tan α,即tan (0)y x xα=≠.注意:当α是锐角时，此定义与初中定义相同（指出对边，邻边，斜边所在）；当α不是锐角时，也能够找出三角函数，因为，既然有角，就必然有终边，终边就必然与单位圆有交点(,)P x y ，从而就必然能够最终算出三角函数值.3.思考:如果知道角终边上一点,而这个点不是终边与单位圆的交点,该如何求它的三角函数值呢?前面我们已经知道,三角函数的值与点P在终边上的位置无关，仅与角的大小有关.我们只需计算点到原点的距离r=,那么sinα=cosα=,tanyxα=.所以，三角函数是以为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，又因为角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系，故三角函数也可以看成实数为自变量的函数.1．三角函数定义在直角坐标系中，设α是一个任意角，α终边上任意一点P（除了原点）的坐标为(,)x y，它与原点的距离为(0)r r==>，那么（1）比值yr叫做α的正弦，记作sinα，即sinyrα=；（2）比值xr叫做α的余弦，记作cosα，即cosxrα=；（3）比值yx叫做α的正切，记作tanα，即tanyxα=；2．三角函数的定义域、值域三.典型例题例1.求53π的正弦、余弦和正切值.例2．已知角α的终边过点0(3,4)P--，求角α的正弦、余弦和正切值.例3．求证：当且仅当不等式组sin0{tan0θθ<>成立时，角θ为第三象限角.四、课堂练习6.探究:请根据任意角的三角函数定义,将正弦、余弦和正切函数的定义域填入下表；再将这三种函数的值在各个象限的符号填入表格中：五、课堂小结、本节课你学了哪些知识？有哪些收获？你已经正确理解、掌握它们了吗？六、课后作业1.确定下列三角函数值的符号,然后用计算器验证:(1)cos 250︒; (2)sin()4π-; (3)tan(672)︒-; (4)tan 3π2.求下列三角函数值:(1)'sin148010︒; (2)9cos 4π; (3)11tan()6π-。

2 若a 0则r -17a, 于是
8a 8 15a 15 8a 8 sin , cos , tan 17a 17 17a 17 15a 15
3、已知角的终边在直线y 2 x上，求角的sin ,cos , tan 的值.
OP0 (3) 2 (4) 2 5
y
M0
M
Px, y
M 0 P0 4
OM 0 3
OM x MP y
O
x
OMP ∽ OM 0 P0
P0 3,4
于是， sin y y | MP | M 0 P0 4 ; 1 OP OP0 5 OM 0 x OM 3 cos x ; 1 OP OP0 5
P(a, b)
1
cos a
x

o
M
b tan a
同样的，我们可以利用单位圆来定 义任意角的三角函数。
任意角的三角函数定义
设 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P( x, y )
那么:（1）y 叫做
的正弦，记作 sin ，即 sin y ； （2）x 叫做 的余弦，记作 cos ，即 cos x ； y y tan （3） 叫做 的正切，记作 ，即 tan ( x 0)
y
MP b sin OP r
OM a cos OP r
﹒Pa, b

MP b tan OM a
o
﹒
M
x
问2：对于确定的角 ，这三个比值的大小和 P 点在角 的终边上的位置是否有关呢？
y
P
P(a,b)
﹒
M

任意角的三角函数
三角函数的定义
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[提出问题] 使锐角 α 的顶点与原点 O 重合， 始 边与 x 轴的非负半轴重合，在终边上任 取一点 P，PM⊥x 轴于 M，设 P(x，y)， |OP|＝r. 问题 1：角 α 的正弦、余弦、正切分别等于什么？ y x y 提示：sin α＝r，cos α＝ r ，tan α＝x.
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[活学活用] 若 sin 2α＞0，且 cos α＜0，试确定 α 终边所在的象限．
解：因为 sin 2α＞0，所以 2kπ＜2α＜2kπ＋π(k∈Z)， π 所以 kπ＜α＜kπ＋ (k∈Z)． 2 当 k 为偶数时，α 是第一象限角；当 k 为奇数时，α 为 第三象限角．所以 α 为第一或第三象限角． 又因为 cos α＜0，所以 α 为第三象限角．
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[活学活用] 2 已知角 α 的终边上一点 P(－ 3，y)(y≠0)，且 sin α＝ y， 4 求 cos α，tan α 的值．
解：由题意，得 r＝ 3＋y2. 由三角函数定义， y y 2 得 sin α＝r＝ ＝ y. 3＋y2 4 ∵y≠0，∴y＝ 5或 y＝－ 5.
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－ 3 6 ∴当 y＝ 5时，cos α＝ ＝－ ， 4 3＋5 5 15 tan α＝ ＝－ ； 3 － 3 6 当 y＝－ 5时，cos α＝－ ， 4 － 5 15 tan α＝ ＝ . 3 － 3
2 2
3； 在第四象限取直线上的点(1， 3)， r＝ 12＋－ 32＝2， － 则 3 1 所以 sin α＝－ ，cos α＝ ，tan α＝－ 3. 2 2
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[类题通法] 利用三角函数的定义求值的策略 (1)已知角 α 的终边在直线上求 α 的三角函数值时，常用 的解题方法有以下两种： 法一：先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后利 用三角函数的定义求出相应的三角函数值． 法二： 注意到角的终边为射线， 所以应分两种情况来处理， 取 射 线 上任 一 点 坐标 (a， b)， 则 对 应 角 的正 弦值 sin α＝ b a b ，余弦值 cos α＝ 2 ，正切值 tan α＝a. a2＋b2 a ＋b2 (2)当角的终边上的点的坐标以参数的形式给出时，要根 据问题的实际情况对参数进行分类讨论．

课题：1.2.1 任意角的三角函数（2 ）
一：学习目标
1. 2. 进一步掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义，会用角α 的正弦线、 余弦线、正切线分别表示任意角α 的正弦、余弦、正切函数值； 进一步掌握正弦、余弦、正切的函数的定义域和这三种函数的值在各 象限的符号。
备
注
二：课前预习 （1）已知角 的终边经过 点 (1, 2) ，则 cos 的值为_______________。
2 、 若 三角 形的 两 内角 、 满 足 sin cos 0 ， 则 此三 角 形形 状 是 ( ) B、钝角三角形 C、直角三角形 D、不能确定
A、锐角三角形 3、求下列函数 y
2 cos x 1 定义域
4、已知角 的终边经过点 P( 3, y) ，且 sin （1）求 y （2）求 的终边所在的象限
3 y( y 0) 。 4
（3）求 tan
【课后检测】 1、利用单位圆写出符合下列条件的角
（1）sin
y
1 2
（2）cos
y
1 2
（3） tan 1
y
O
x
O
x
O
x
2 、 当 、 满 足 什 么条 件时 ，有 sin sin ？ 又 什 么条 件时 ， 有
例 2、 已知点 M (4, x) 在角 的终边上， 且满足 x < 0 ，cos = 的值。
4 ， 求 tan 5
例 3、求函数 y = sin x cos x 的定义域。
四：学后反思
课堂检测 任意角的三角函数（2）
班级：
姓名：
1、若角 ( 0 2 )的正弦线与余弦线的数量互为相反数，那么 的值 为