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2018-2019学年高中数学苏教版选修2-3教学案：2.5 随机变量的均值和方差-含解析

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数学 第1课时 离散型随机变量的均值

设有12个西瓜，其中4个重5 kg，3个重6 kg，5个重7 kg. 问题1：任取一个西瓜，用X表示这个西瓜的重量，试想X的取值是多少？

提示：x＝5，6，7. 问题2：x取上述值时，对应的概率分别是多少？ 提示：13，14，512. 问题3：试想西瓜的平均质量该如何表示？ 提示：5×13＋6×14＋7×512.

1．离散型随机变量的均值(或数学期望) (1)定义：若离散型随机变量X的概率分布为 X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn 则称x1p1＋x2p2＋…＋xnpn为离散型随机变量X的均值或数学期望，也称为X的概率分布的均值，记为E(X)或μ，即E(X)＝μ＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn．其中，xi是随机变量X的可能取值，pi是概率，pi≥0，i＝1，2，…，n，p1＋p2＋…＋pn＝1． (2)意义：刻画离散型随机变量取值的平均水平和稳定程度． 2．两种常见概率分布的均值

(1)超几何分布：若X～H(n，M，N)，则E(X)＝nMN． (2)二项分布：若X～B(n，p)，则E(X)＝np．

1．随机变量的均值表示随机变量在随机试验中取值的平均水平，又常称随机变量的平均数，它是概率意义下的平均值，不同于相应数值的算术平均数． 2．离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平，它是一个常数，是随机变量的多次独立观测值的算术平均值的稳定性，即由独立观测组成的随机样本的均值数学 的稳定值．而样本的平均值是一个随机变量，它随着观测次数的增加而趋于随机变量的均值．

[例1] 已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球．现从甲、乙两个盒内各任取2个球． (1)求取出的4个球均为黑球的概率； (2)求取出的4个球中恰有1个红球的概率； (3)设X为取出的4个球中红球的个数，求X的概率分布和均值．

[思路点拨] 首先确定X的取值及其对应的概率，然后确定随机变量的概率分布及均

值． [精解详析] (1)设“从甲盒内取出的2个球均为黑球”为事件A，“从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件B.

由于事件A，B相互独立，且P(A)＝C23C24＝12，

P(B)＝C24C26＝25. 故取出的4个球均为黑球的概率为 P(AB)＝P(A)P(B)＝12×25＝15. (2)设“从甲盒内取出的2个球均为黑球；从乙盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球”为事件C， “从甲盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球；从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件D.

由于事件C，D互斥，且P(C)＝C23C24·C12·C14C26＝415，

P(D)＝C13C24·C24C26＝15. 故取出的4个球中恰有1个红球的概率为 P(C＋D)＝P(C)＋P(D)＝415＋15＝715. (3)X可能的取值为0，1，2，3. 数学 由(1)，(2)得P(X＝0)＝15，P(X＝1)＝715， P(X＝3)＝C13C24·1C26＝130. 从而P(X＝2)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)－P(X＝3)＝310. 所以X的概率分布为 X 0 1 2 3

P 15 715 310 130

故X的均值 E(X)＝0×15＋1×715＋2×310＋3×130＝76.

[一点通] 求离散型随机变量X的均值的步骤： (1)理解X的意义，写出X可能取的全部值； (2)求X取每个值的概率； (3)写出X的概率分布表(有时可以省略)； (4)利用定义公式E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn

求出均值．

1．(广东高考)已知离散型随机变量X的分布列为 X 1 2 3

P 35 310 110

则X的均值E(X)＝________． 解析：E(X)＝1×35＋2×310＋3×110＝32.

答案：32 2．若对于某个数学问题，甲、乙两人都在研究，甲解出该题的概率为23，乙解出该题的概率为45，设解出该题的人数为X, 求E(X)． 解：记“甲解出该题”为事件A，“乙解出该题”为事件B，X可能取值为0，1，2. P(X＝0)＝P(A B)＝P(A)·P(B) 数学 ＝1－23×1－45＝115， P(X＝1)＝P(AB)＋P(AB) ＝P(A)P(B)＋P(A)P(B) ＝23×1－45＋1－23×45＝25， P(X＝2)＝P(AB)＝P(A)P(B)＝23×45＝815. 所以，X的分布列如下表： X 0 1 2

P 115 25 815

故E(X)＝0×115＋1×25＋2×815＝2215.

[例2] 甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为12，乙每次击中目标的概率为23，记甲击中目标的次数为X，乙击中目标的次数为Y. (1)求X的概率分布； (2)求X和Y的均值．

[思路点拨] 甲、乙击中目标的次数均服从二项分布．

[精解详析] (1)P(X＝0)＝C03123＝18； P(X＝1)＝C13123＝38； P(X＝2)＝C23123＝38； P(X＝3)＝C33123＝18. 所以X的概率分布如下表： X 0 1 2 3

P 18 38 38 18

(2)由(1)知E(X)＝0×18＋1×38＋2×38＋3×18＝1.5， 或由题意X～B3，12，Y～B3，23， 数学 所以E(X)＝3×12＝1.5，E(Y)＝3×23＝2. [一点通] 超几何分布和二项分布是两种特殊的而且应用相当广泛的概率分布，解题时如果能发现是这两种分布模型，就可以直接利用规律写出概率分布，求出均值．

3．某运动员投篮命中率为p＝0.6. (1)求一次投篮时命中次数X的均值； (2)求重复5次投篮时，命中次数Y的均值．

解：(1)投篮一次，命中次数X的概率分布如下表： X 0 1

P 0.4 0.6

则E(X)＝p＝0.6.

(2)由题意，重复5次投篮，命中的次数Y服从二项分布，即Y～B(5，0.6)． 则E(Y)＝np＝5×0.6＝3. 4．一个箱子中装有大小相同的1个红球，2个白球，3个黑球．现从箱子中一次性摸出3个球，每个球是否被摸出是等可能的． (1)求至少摸出一个白球的概率； (2)用X表示摸出的黑球数，写出X的概率分布并求X的均值．

解：记“至少摸出一个白球”为事件A，则事件A的对立事件A为“摸出的3个球中

没有白球”， 则P(A)＝C34C36＝15， P(A)＝1－P(A)＝45，

即至少摸出一个白球的概率等于45.

(2)X的所有可能取值为0，1，2，3. P(X＝0)＝C33C36＝120，P(X＝1)＝C13·C23C36＝920，

P(X＝2)＝C23·C13C36＝920，P(X＝3)＝C33C36＝120. X的概率分布为 X 0 1 2 3 数学 P 120 920 920 120

所以E(X)＝0×120＋1×920＋2×920＋3×120＝32，即X的数学期望为32.

[例3] 甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判．设各局中双方获胜的概率均为12，各局比赛的结果相互独立，第1局甲当裁判． (1)求第4局甲当裁判的概率； (2)X表示前4局中乙当裁判的次数，求X的均值．

[思路点拨] (1)第4局甲当裁判的前提是第2局甲胜，第3局甲参加比赛且负．

(2)X的取值为0，1，2. [精解详析] (1)记A1表示事件“第2局结果为甲胜”，A2表示事件“第3局甲参加比赛，结果为甲负”， A表示事件“第4局甲当裁判”． 则A＝A1·A2.

P(A)＝P(A1·A2)＝P(A1)P(A2)＝14. (2)X的可能取值为0，1，2. 记A3表示事件“第3局乙和丙比赛时，结果为乙胜丙”，B1表示事件“第1局结果为乙胜丙”，B2表示事件“第2局乙和甲比赛时，结果为乙胜甲”，B3表示事件“第3局乙参加比赛时，结果为乙负”．

则P(X＝0)＝P(B1·B2·A3)＝P(B1)P(B2)P(A3)＝18，P(X＝2)＝P(B－1·B3)＝P(B－1)P(B3)

＝14， P(X＝1)＝1－P(X＝0)－P(X＝2)＝1－18－14＝58， E(X)＝0·P(X＝0)＋1·P(X＝1)＋2·P(X＝2)＝98. [一点通] 解答此类题目，应首先把实际问题概率模型化，然后利用有关概率的知识去分析相应各事件可能性的大小，并列出概率分布表，最后利用有关的公式求出相应的概率及均值．

5．某保险公司新开设了一项保险业务，若在一年内事件E发生，该公司要赔偿a元，

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高中数学第二章概率2.5.1离散型随机变量的均值学案苏教版选修2-3(2021年整理)

高中数学第二章概率2.5.1离散型随机变量的均值学案苏教版选修2-3(2021年整理)

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2．5.1 离散型随机变量的均值学习目标 1.通过实例理解离散型随机变量均值的概念,能计算简单离散型随机变量的均值。

2.理解离散型随机变量的均值的性质.3.掌握两点分布、二项分布的均值.4。

会利用离散型随机变量的均值，反映离散型随机变量的取值水平，解决一些相关的实际问题．知识点一离散型随机变量的均值或数学期望设有12个西瓜,其中4个重5 kg,3个重6 kg，5个重7 kg.思考1 任取1个西瓜，用X表示这个西瓜的重量，试问X可以取哪些值?思考2 当X取上述值时，对应的概率分别是多少?思考3 如何求每个西瓜的平均重量？梳理离散型随机变量的均值或数学期望一般地，若离散型随机变量X的概率分布如下表:X x1x2…x nP p1p2…p n（1)数学期望：E（X）＝μ＝________________________________________________________________________. (2）性质①p i≥0，i＝1，2，…，n;②p1＋p2＋…＋p n＝1。

(3）数学期望的含义:它反映了离散型随机变量取值的____________．知识点二两点分布、超几何分布、二项分布的均值1．两点分布：若X～0－1分布，则E(X)＝________。

高中数学 第二章 概率 2.5 随机变量的均值和方差 实际应用中均值与方差最值问题求解三法素材 苏教版选修2-3

高中数学 第二章 概率 2.5 随机变量的均值和方差 实际应用中均值与方差最值问题求解三法素材 苏教版选修2-3

2.5实际应用中均值与方差最值问题求解三法有关离散型随机变量的均值与方差的最值问题是随机变量及其分布的热点题型，这类问题一般综合性强，是同学们感到棘手的问题，解决这类问题时应根据问题的题设特点灵活采用相应的方法，现介绍三种常见求解方法。

一、利用配方法例1 某物流公司批发的一种家用电器每周的销售量ξ是一个随机变量，分布列为P （ξ=k ）=201，k=11，12，13，…，30，而该公司每周进货量为区间中的某一整数，公司每销售一台家用电器可获利500元，若供大于求，则每台多余的电器需交保管费100元，若供小于求，则可以从其它公司调剂供应，此时每一台电器仅获利200元，问此公司周初进货量（含上周余量）应为多少才能使周平均利润最大？分析：设周初进货x 台，周利润为η，要求周平均利润的最大值，就是要求E η的最大值，为此需求出η的取值，而η又是ξ的函数，需按供大于求，供不应求给出η的表达式，然后利用函数、数列相应知识求解。

解：设该公司周初进货量（含上周余量）为x 台，周利润为随机变量η，则η=⎪⎩⎪⎨⎧-+--),x (200500x ,500),x (100500ξξξξ ,30,,2x ,1x ,x ,1x ,,13,12,11ΛΛ++==-=ξξξ =⎪⎩⎪⎨⎧+-,200300x ,500,100x 600ξξξ ,30,,2x ,1x ,x ,1x ,,13,12,11ΛΛ++==-=ξξξ ∵P（ξ=k ）=201，k=11，12，13，…，30， ∴E η=201∑-=1x 11(600ξξ-100x)+201×500x+201∑+=+301x )200(300x ξξ=∑-=-1x 11)5x (30ξξ+25x+∑+=+301x )10(15x ξξ=30×2)1x (11-+（x-11）-5x （x-11）+25x+15x （30-x ）+10×230)1x (++（30-x ）=-10x 2+510x+3000=-10（x-25.5）2+9502.5。

2.5.1离散型随机变量的均值 ppt课件(41张) 高中数学苏教版 选修2-3

2.5.1离散型随机变量的均值 ppt课件(41张) 高中数学苏教版 选修2-3

2.5.1 离散型随机变量的均值 课件 （苏教版选修2-3）
学习目标
课前自主学案
2.5.1
课堂互动讲练
知能优化训练
学习目标
1.掌握离散型随机变量的均值的概念及计算方法．
2．掌握超几何分布、二项分布的均值．
3．会用均值分析解决简单的实际问题．
课前自主学案
温故夯基
1．样本平均数的定义 假设样本数据是 x1，x2，„，xn， x 表示这组数
2．两种常见概率分布的均值 (1)超几何分布：若 X～H(n， M， N)，则 E(X) nM N ＝_______ .
np . (2)二项分布： 若 X～ B(n， p)， 则 E(X)＝ _______
问题探究 1．在实际问题中，为什么能用样本均值来估计总
体均值？
提示：随机变量总体的均值是一个常数，不受其
知新益能 1．离散型随机变量的均值(或数学期望) (1)定义：若离散型随机变量X的概率分布为 X x1 P p1 x2 p2 … … xn pn
x1p1＋x2p2＋„＋xnpn 为离散型随机变量 X 的 则称 ___________________ 均值或数学期望，也称为X的概率分布的均值，记 x1p1＋x2p2＋„＋xnpn . 为E(X)或μ，即E(X)＝μ＝_____________________ (2)意义：刻画离散型随机变量取值的 平均水平和稳定程度 ． ___________________
(2)令 Y 表示此员工的月工资， 则 Y 的所有可能取 值为 2 100，2 800,3 500. 1 则 P(Y＝ 3 500)＝ P(X＝ 4)＝ ， 70 8 P(Y＝2 800)＝ P(X＝ 3)＝ ， 35 53 P(Y＝2 100)＝ P(X≤ 2)＝ . 70 1 8 53 E(Y) ＝ 3 500× ＋ 2 800× ＋ 2 100× ＝ 2 70 35 70 280. 所以此员工月工资的期望为 2 280 元．
2019-2020年高中数学2.5随机变量的均值和方差教学案理(无答案)苏教版选修2-3

2019-2020年高中数学2.5随机变量的均值和方差教学案理(无答案)苏教版选修2-3

2019-2020年高中数学2.5随机变量的均值和方差教学案理（无答案）苏教版选修2-3教学目标：1．通过实例，理解取有限值的离散型随机变量均值（数学期望）的概念和意义；2．能计算简单离散型随机变量均值（数学期望），并能解决一些实际问题．教学重点：取有限值的离散型随机变量均值（数学期望）的概念和意义．教学方法：问题链导学．教学过程：一、问题情境1．情景．前面所讨论的随机变量的取值都是离散的，我们把这样的随机变量称为离散型随机变量．怎样刻画离散型随机变量取值的平均水平和稳定程度呢？甲、乙两个工人生产同一种产品，在相同的条件下，他们生产件产品所出的不合格品数分别用X1，X2表示，X1，X2的概率分布如下．2．问题．如何比较甲、乙两个工人的技术？二、学生活动1．直接比较两个人生产100件产品时所出的废品数．从分布列来看，甲出0件废品的概率比乙大，似乎甲的技术比乙好；但甲出3件废品的概率也比乙大，似乎甲的技术又不如乙好．这样比较，很难得出合理的结论．2．学生联想到“平均数”，如何计算甲和乙出的废品的“平均数”？3．引导学生回顾《数学3（必修）》中样本的平均值的计算方法．三、建构数学1．定义．在《数学3（必修）》“统计”一章中，我们曾用公式x1p1＋x2p2＋…＋x n p n计算样本的平均值，其中p i为取值为x i的频率值．类似地，若离散型随机变量的分布列或概率分布如下：其中，p i≥0，i＝1，2，…，n，p1＋p2＋…＋p n＝1，则称x1p1＋x2p2＋…＋x n p n为随机变量X的均值或X的数学期望，记为E(X)或μ．2．性质．（1）E(c)＝c；（2）E(aX＋b)＝aE(X)＋b．（a，b，c为常数）四、数学应用1．例题．例 1 高三（1）班的联欢会上设计了一项游戏，在一个小口袋中装有10个红球，20个白球，这些球除颜色之外完全相同．某学生一次从中摸出5个球，其中红球的个数为X，求X的数学期望．分析从口袋中摸出5个球相当于抽取n＝5个产品，随机变量X为5个球中的红球的个数，则X服从超几何分布H(5，10，30)．例2 从批量较大的成品中随机取出10件产品进行质量检查，若这批产品的不合格品率为0.05，随机变量X表示这10件产品中的不合格品数，求随机变量X的数学期望E(X)．说明例2中随机变量X服从二项分布，根据二项分布的定义，可以得到：当X～B(n，p) 时，E(X)＝np．例3 设篮球队A与B进行比赛，每场比赛均有一队胜，若有一队胜4场,那么比赛宣告结束，假定A，B在每场比赛中获胜的概率都是，试求需要比赛场数的期望．分析先由题意求出分布列，然后求期望．2．练习．根据气象预报，某地区下个月有小洪水的概率为0.25，有大洪水的概率为0.01．现工地上有一台大型设备，为保护设备有以下三种方案：方案1 运走设备，此时需花费3 800元；方案2 建一个保护围墙，需花费2 000元．但围墙无法防止大洪灾，若大洪灾来临，设备受损，损失费为60 000元；方案3 不采取措施，希望不发生洪水，此时大洪水来临损失60 000元，小洪水来临损失1 000元．尝试选择适当的标准，对3种方案进行比较．五、要点归纳与方法小结本节课学习了以下内容：1．离散型随机变量均值（数学期望）的概念和意义；2．离散型随机变量均值（数学期望）的计算方法．。