ANLI POUXI案例剖析员园苑数学学习与研究2022.12———以等差数列概念及通项公式为例◎陈美贤黄在堂许雅楠闫雪(南宁师范大学,广西南宁530000)【摘要】《普通高中数学课程标准(2017版)》的课程基本理念要求体现数学的文化价值,提出数学课程应帮助学生了解数学在人类文明发展中的作用,使其逐步形成正确的数学观.因此,将数学史融入数学教学是很有必要的.本文以“等差数列”为例,将数学史与等差数列的概念及通项公式结合起来进行教学,以期向学生展示数学的魅力,从而激发学生的学习兴趣,提高教师的教学效率.【关键词】等差数列;数学史;教学设计数学是一门历史悠久的学科.了解数学史可以激发学生的学习兴趣,使他们热爱数学、理解数学,进而能透彻掌握数学知识,提高学习效率.另外,在教学中融入数学史,学生可以学习数学家们的伟大精神,有利于培养他们的爱国主义精神、理性精神、科学态度等,这对于学生优秀品格的培养有重要意义,数学史的德育价值在这一过程中也得到了很好的体现.本文以人教A版选择性必修第二册中“等差数列”的教学设计为例进行分析.一、教材分析本节课是人教A版选择性必修第二册第四章“数列”第二节“等差数列”第一课时的内容.数列是高中数学的重要内容之一,有着广泛的应用.而等差数列是在学生学习了数列的概念以及给出数列的两种方法———通项公式与递推公式的基础上,对数列知识的进一步延伸,也是等比数列的对比依据.二、学情分析1.学生已具备的认知基础:学生已经学习了数列的概念以及给出数列的两种方法———通项公式和递推公式,经历了归纳推理的过程,初步具备了归纳总结的能力.同时,学生参与课堂的积极性很高,有较强的团队意识,能通过小组合作得出等差数列的通项公式.教师可以根据这一特点,适当设置小组合作,让学生通过自己的努力,得出等差数列的通项公式.2.学生达成教学目标所需要具备的认知基础:学生的严谨性还不够,对于通项公式中n的取值范围会有所忽略,需要教师在授课时加以引导.另外,学生对于推导通项公式所用到的归纳法和累加法理解得不透彻,需要教师详细讲解.基于以上分析,本节课的教学难点是等差数列通项公式的推导过程.三、设计理念本节课遵循“学生为主体,教师为主导”的理念进行教学,注重知识的形成过程,以问题为主导,让学生自己推导出通项公式.另外,本节课注重学生数学素养的形成和发展,也注重在不同环节上提高学生的数学素养.四、育人价值1.数学抽象素养从生活中的三个实例抽象出三个数列,再从这三个数列中抽象出等差数列的概念.在这个过程中,学生需要自己观察并抽象出相应的知识,培养了数学抽象素养.2.逻辑推理素养在推导通项公式的过程中,学生利用通项公式的定义,观察等差数列定义的符号表示,推导出通项公式,从而更好地理解归纳法和累加法,培养了逻辑推理素养.3.数学运算素养在求等差中项、通项公式的过程中,学生一直在进行计算,培养了数学运算素养.4.数学建模素养用数学符号表示数列,得到数列的一般形式,基于对这个一般形式的分析,揭示出数列的序号与项之间的对应关系的本质是函数关系,得到了“数列是一种函数的结论”,培养了数学建模素养.五、教学目标1.理解等差数列的定义,会用定义判断一个数列是否为等差数列,掌握等差数列的通项公式,并能够运用等差数列的通项公式解决实际问题,发展数学运算、逻辑推理、数学建模等核心素养.2.通过数学史,经历等差数列通项公式的推导过程,体会累加法、归纳法以及从特殊到一般的思想、方程思想,发展数学抽象、逻辑推理等核心素养.3.通过数学史,体会等差数列在生活中的广泛应用,感受数学的魅力;通过探索等差数列的通项公式,激发学习动机,培养探究能力;通过展示数学家推导等差数列通项公式的方法,感受古人的智慧,增强民族自豪感.六、教学重难点教学重点:等差数列的定义,等差数列的通项公式.教学难点:等差数列的通项公式的推导过程.七、教学过程(一)创设情境,引入新知师:我们上节课学习了数列,那么数列的概念是什么呢?大家一起说.(学生一起回答)师:对,按照一定顺序排列的数叫做数列.我们今天继续来学习数列,接下来让我们看这三个情境.设计意图:复习数列的概念,加深学生对数列概念的理解,同时为分析情境做铺垫.案例剖析ANLI POUXI员园愿数学学习与研究 2022.121.情境一师:我们首先来看第一个情境.这是我们熟悉的日历,大家来看2020年11月星期日的日期分别是几号呢?生:1,8,15,22,29.师:这一组日期构成了数列,这个数列有什么特点呢?2.情境二师:我们再来看第二个情境.我们经常买鞋,大家在买鞋的过程中,有没有注意到鞋的尺码是怎么样的?(学生回答)师:好!按照国家统一规定,成年女鞋的尺码是25,24.5,24,23.5,23……这一组数同样构成了数列,这个数列有什么特点呢?3.情境三师:我们再来看第三个情境.这是北京天坛圜丘坛,它的地面由石板铺成,最中间的是圆形的天心石,围绕天心石的是9圈扇环形的石板,从内到外各圈的石板数依次为9,18,27,36,45,…,81,它们同样构成了数列,这个数列又有什么特点呢?师:观察这三组数列,每一个数列各有什么特点呢?它们又有什么共同点呢?给大家三分钟时间,以小组为单位进行讨论.学生对于情境中提出的数列的特点这一问题的回答可能不太一样,但是总体来说,学生可以看出某个数列的数是逐渐减少或逐渐增加的,教师在这一过程中可以引导学生说出后一项与前一项的差为多少,从而归纳出三个数列的共同特点,即后一项与前一项的差是一个常数,进而引出一个特殊的数列———等差数列,这有利于学生自主形成等差数列的概念.设计意图:首先,以学生熟悉的生活中的例子引入新知,这更加贴近学生的生活.同时,对数列实例的分析以及对实例共同特征的归纳,是从直观的一列数过渡到数列的数学定义的关键步骤.与直接给出三个数列让学生来观察每个数列的特点以及共同特点相比,这更能吸引学生的注意力,激发他们的学习兴趣.其次,让学生体会到生活中处处存在数学,感受数学的魅力.最后,通过小组合作,学生各抒己见、积极思考、主动反思,培养了解决问题和语言表达的能力.(二)归纳总结,形成概念1.师:根据刚才的分析,同学们能说出等差数列的定义吗?(预设学生会落下定义中的“从第二项起”)教师进行补充强调.师:这是等差数列定义的语言叙述,大家可以用数学符号来表示吗?学生回答.师:对,符号表示就是a n -a n -1=d (n ∈N ∗,n ≥2).我们今天所学的等差数列是数列的一种.一个数列具有什么样的特性才是等差数列呢?学生回答.设计意图:先让学生对实例进行充分感知,再引导学生给数列下定义.学生通过自己总结等差数列的定义,加深对定义的理解.学生通过用符号来表示等差数列的定义,可以感受数学符号的简洁性,同时也为通项公式的推导打下基础.教师用等差数列的特性来帮助学生认识等差数列,更有利于学生理解等差数列,完成教学目标1.师:其实等差数列是数学史上最早出现并引起人们广泛应用的数列.例如,1858年,苏格兰收藏家收藏的约公元前1650年的阿莫斯纸草上就记载着等差数列.我们来看一下,10人分10斗玉米,从第二个人开始,各人所得依次比前一个人少18斗,那么每人所分得的玉米数就构成了等差数列.如果按从大到小的顺序来看,这个数列的公差是-18.再如,在我国出土的春秋至战国时期楚国的铜环权,其重量大致按等差数列配置.又如成书于公元前2世纪的《周髀算经》中将日行轨道按照季节划分为七个同心圆,被称为“七衡图”,每个同心圆的直径组成等差数列.这些都记载着对等差数列的大量研究,那么同学们能举出生活中的等差数列的例子吗?学生举例.设计意图:结合数学史帮助学生认识等差数列,理解等差数列的定义,这不仅可以帮助学生加深对数列知识的理解,而且可以开阔学生的视野.另外,让学生列举出生活中的等差数列的例子,有利于培养学生的观察能力,让学生感受到等差数列的应用价值,明白数学与生活是紧紧联系在一起的,感受数学的魅力,完成教学目标3.2.(1)给出一些数列,让学生判断其是否为等差数列.如果是,写出首项与公差.(具体题目略)(2)说出判断依据,并总结出公差可以为正、负、0,分别对应递增、递减、常数列.设计意图:通过练习总结判断等差数列的依据,对等差数列的定义加以巩固.同时,让学生观察公差的符号,将新知与旧知联系在一起,这有利于丰富学生原有的知识图式,完成教学目标1.3.师:通过上一节课的学习,我们知道数列有通项公式,那么等差数列是否也有通项公式呢?我们再来看三个情境中的数列,它们是否存在通项公式呢?对于首项为a 1,公差为d 的一般数列{a n },a 2,a 3,a 4分别是多少呢?a n 又是多少呢?可以用a 1和d 表示出来吗?接下来给大家五分钟时间,以小组为单位进行讨论.学生总结展示两种方法:(1)方法一(归纳法)a 2-a 1=d ⇒a 2=a 1+d a 3-a 2=d ⇒a 3=a 2+d ⇒a 3=a 1+2d a 4-a 3=d ⇒a 4=a 3+d ⇒a 4=a 1+3d …a n -a n -1=d ⇒a n =a n -1+d ⇒a n =a 1+(n -1)d (n ∈N ∗,n ≥2)(2)方法二(累加法)a 2-a 1=d a 3-a 2=dANLI POUXI案例剖析员园怨数学学习与研究 2022.12a 4-a 3=d …a n -1-a n -2=d a n -a n -1=d两边分别相加得:a n -a 1=(n -1)d ⇒a n =a 1+(n -1)d (n ∈N ∗,n ≥2)学生展示探究过程,教师补充完善.在用归纳法证明时,要强调先看到规律,再得到(n -1)d ;在用累加法证明时,要强调之所以将所有式子相加是因为如果相加,正负可以相互约掉.不管是哪种方法,都要强调n 的取值范围.设计意图:学生通过小组合作,自主探究等差数列的通项公式,体会归纳法、累加法以及从特殊到一般的数学思想方法,培养了数学运算、逻辑推理等核心素养,突破教学难点,完成教学目标2.师:当n =1时,左边=a 1,右边=a 1,左边等于右边,则当n =1时,式子仍然成立,所以我们就得到了等差数列的通项公式:a n =a 1+(n -1)d (n ∈N ∗).教师对公式加以强调:(1)公式中一定是(n -1)d ;(2)等差数列中除首项外的每一项由首项和公差来确定;(3)一共有四个量a n ,a 1,n ,d ,如果知道其中三个量,就可以求出另一个量,即知三求一.4.设置例题:课本P14例1设计意图:通过对公式的强调以及对例题的讲解,加深学生对公式中各个字母以及对整个公式的理解.同时,通过讲解,学生能体会方程思想,培养数学建模等核心素养,完成教学目标2.5.师:其实这个通项公式在《周髀算经》的“七衡图”问题中已经给出:“欲知次衡径,倍而增内衡之径,二之以内增衡径,得三衡径,次衡放(仿)此.”意思就是:将日行的轨迹按季节不同分为七个同心圆,已知内衡的直径为a 1万里,两衡间距为d2万里,那么我们可以得到次衡的直径为a 2=a 1+2·d2=a 1+d ,依次类推,我们也可以知道其他衡的直径分别为:a 3=a 1+2d ,a 4=a 1+3d ,…,a 7=a 1+6d.这些式子和刚刚我们列出的式子是一致的,所以古人早就给出了求通项公式的方法.设计意图:这样的题目背景丰富、有趣、画面感强,容易把学生带入其中,有利于激发学生的感性体验与理性体验.通过渗透数学史,学生再一次复习了通项公式的证明方法,加深了对推导过程的印象,理解了归纳法与累加法的含义,获得了“再创造”的机会,有利于突破教学难点.同时,学生可以看到今天的推导方法与我国古人的推导方法大体相同,这既可以让他们感受到古人的智慧,激发学生的爱国热情,又可以增强学生学习数学的信心,完成教学目标3.(三)巩固练习,加深理解1.若等差数列{a n }中,a 3=3,a 6=9,求a 1和d.2.已知等差数列{a n }中,a 4=8,a 9=3,求a 10.3.判断100是不是等差数列2,11,20……中的项.设计意图:练习题的设置由浅入深,符合学生的认知结构,有利于学生掌握知识,完成教学目标1.(四)课堂小结1.这节课我们学习了哪些知识?2.这节课我们经历了哪些过程?(五)布置作业必做题:1.课本P15练习第1—5题;2.观察等差数列的通项公式,你认为它与我们熟悉的哪一类函数有关?选做题:求1+2+3+…+100的和.设计意图:一、必做题中的第2题考查的是学生能否将新旧知识联系在一起;选做题是为下一节学习等差数列的前n 项和作铺垫;二、分层布置作业可以有针对性地提高学生解决问题的能力,对于中等生和优等生来说,可以在学习基础知识的基础上为接下来的知识作准备;对于学困生来说,可以增强他们学习数学的信心.总之,分层布置作业符合学生的个性差异,避免出现两极分化的情况.八、教学反思第一,本节课的难点是等差数列通项公式的推导,教师在教学过程中发现学生的逻辑推导能力不够,对于归纳法和累加法的理解不透彻.教师传授的不仅仅是知识,更重要的是让学生学会方法,因此,教师在教学中应适当调整知识点的分配时间,保证有足够的时间去讲解推导过程,使学生能够更好地理解这两种方法.第二,在设置习题时,教师可以引用数学史上的数列原题作为习题,或将数学史上有关数列的结论改编为习题.第三,教师可以按照函数的思想方法指导学生进行数列的学习,该节课的学习可以沿用前一节一般数列的研究路径,即事实—概念—性质—应用,这一教学方式能帮助学生建立知识体系,有利于学生对一类知识的学习.九、结束语本文两次将数学史融入等差数列的教学,第一次是在学生掌握了等差数列的概念之后,试图让学生明白数学与生活的联系,体会数学的实用价值;第二次是在学生掌握了等差数列的通项公式之后,学生经历等差数列通项公式的推导过程,与古人产生共鸣,调动了学习的积极性.数学史的两次融入都有利于学生加深对知识的理解,从而掌握知识.数学史融入教学可以激发学生的学习兴趣,有利于落实四基,培养四能,提高学生的数学素养,进而提升学生的综合素质.同时,数学史融入教学也可以将学生从课内导向课外,使学生形成对文化的认同感,培养学生的爱国主义精神,将“立德树人”这一根本任务落到实处.【参考文献】[1]中华人民共和国教育部制定.普通高中数学课程标准(2017年版)[S ].北京:人民教育出版社,2018.[2]高红磊.将数学史融入高中数列教学的应用研究[D ].杭州师范大学,2018.[3]戴美玲.“等差数列的概念及通项公式”教学设计案例[J ].科学咨询(教育科研),2020(6):212.。
