高中数学13三角函数的图象与性质132余弦函数、正切函数的图象与性质(2)课后训练新人教B版4.

_奇__函数，图象关于原点对称
单调性 在每个开区间____－__π2_＋__k_π_，__π2_＋__k_π___(_k_∈__Z_)___上都 是增函数
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)正切函数在整个定义域内是增函数．( × ) (2)存在某个区间，使正切函数为减函数．( × ) (3)正切函数图象相邻两个对称中心的距离为周期 π.( × ) (4)函数 y＝tan x 为奇函数，故对任意 x∈R 都有 tan(－x)＝ －tan x．( × )
与正切函数有关的图象问题 画出函数 y＝|tan x|的图象，并根据图象判断其单调区 间、奇偶性、周期性．
【解】 由 y＝tan x 得， y＝t－antaxn，xk，π－≤π2x＜＋kkππ＋＜πx2＜（kkπ∈（Zk）∈，Z）， 其图象如图，
由图象可知，函数 y＝|tan x|是偶函数， 单调递增区间为kπ，π2＋kπ(k∈Z)， 单调递减区间为－π2＋kπ，kπ(k∈Z)， 周期为 π.
所以ta1n x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)，故选 B．
2．函数 y＝tanx2满足下列哪些条件________(填序号)． ①在0，π2上单调递增；②为奇函数； ③以 π 为最小正周期； ④定义域为xx≠π4＋k2π，k∈Z.
解析：①令 0＜x＜π2得 0＜x2＜π4，所以 y＝tanx2在0，π2上单调 递增．②tan－x2＝－tanx2，故为奇函数．③T＝ωπ ＝2π，故③ 不正确．④令x2≠π2＋kπ(k∈Z)，得 x≠π＋2kπ(k∈Z)，所以定 义域为{x|x≠π＋2kπ，k∈Z}，所以④不正确． 答案：①②
1.(1)求函数 y＝ 3－tan x的定义域； (2)求函数 y＝ tan x＋1＋lg(1－tan x)的定义域． 解：(1)由题意得 3－tan x≥0， 即 tan x≤ 3， 结合正切函数的图象知 kπ－π2<x≤kπ＋π3(k∈Z)，所以函数的 定义域为 xkπ－π2<x≤kπ＋π3，k∈Z.

1.3.2 余弦函数、正切函数的图象与性质课堂探究探究一 求函数的定义域与正切函数有关的定义域问题通常先借助正切函数的图象在一个周期内得出x 的取值范围，然后加上周期．【例1】 求下列函数的定义域： (1)y(2)y ＝11tan x+．分析：根据题意列出不等式，再根据图象找出不等式的解集．解：(1)由tan xtan x(如图所示)可知，所求定义域为,32k k ππππ⎡⎫++⎪⎢⎣⎭(k ∈Z)．(2)要使函数y ＝11tan x+有意义，则有1tan 0,,2x x k k Z ππ+≠⎧⎪⎨≠+∈⎪⎩ 即x ≠k π－4π，且x ≠k π＋2π(k ∈Z)． 所以函数的定义域为,,42x x R x k x k k Z ππππ⎧⎫∈≠-≠-∈⎨⎬⎩⎭且,且．规律总结利用正切函数的图象，可解不等式tan x >α，其解题步骤是： (1)作出正切曲线y ＝tan x 在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上的图象； (2)求出在,22ππ⎛⎫-⎪⎝⎭内使tan x ＝a 成立的x 的值； (3)利用图象确定tan x >a 在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭内的解；(4)把解扩展到整个定义域内．同理，也可解形如tan x <a 及a <tan x <b 的不等式． 探究二 正切函数的性质1．周期性y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期由公式T ＝2πω求解，y ＝A tan(ωx ＋φ)的最小正周期由公式T ＝πω求解． 2．单调性求y ＝A tan(ωx ＋φ)的单调区间，只需令k π－2π<ωx ＋φ<k π＋2π(k ∈Z)解出x 即可，但ω<0时，应用诱导公式化为正的，还要注意A 的正负对单调性的影响．【例2】 求下列函数的周期： (1)y ＝3tan 23x π⎛⎫+⎪⎝⎭； (2)y ＝|tan x |． 解：(1)因为ω＝2，且T ＝πω， 所以函数的最小正周期T ＝2π． (2)函数y ＝|tan x |的图象如图所示，显然为周期函数，且T ＝π． 【例3】 求y ＝3tan 23x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的图象的对称中心． 解：由2x ＋3π＝2k π (k ∈Z)，得x ＝4k π－6π (k ∈Z)．故所求函数的图象的对称中心为,046k ππ⎛⎫-⎪⎝⎭(k ∈Z)． 温馨提示正切函数y ＝tan x 的图象是中心对称图形，它的对称中心有无数个，其坐标为,02k π⎛⎫⎪⎝⎭(k ∈Z)，但它不是轴对称图形．【例4】 (1)求函数y ＝tan 124x π⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的单调区间；(2)比较tan 1，tan 2，tan 3的大小．分析：对于(1)，由于x 的系数小于零，故应将其进行变形，化为系数为正，再根据正切函数单调性求解；对于(2)可利用正切函数单调性进行比较．解：(1)y ＝tan 124x π⎛⎫-+ ⎪⎝⎭＝－tan 124x π⎛⎫- ⎪⎝⎭，则由k π－2π<12x －4π<k π＋2π得2k π－2π<x <2k π＋32π(k ∈Z)，所以函数y ＝tan 124x π⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的单调递减区间是32,222k k ππππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭ (k ∈Z)．(2)因为tan 2＝tan(2－π)，tan 3＝tan(3－π)， 又因为2π<2<π，所以－2π<2－π<0． 因为2π<3<π，所以－2π<3－π<0， 显然－2π<2－π<3－π<1<2π， 且y ＝tan x 在,22ππ⎛⎫-⎪⎝⎭内是增函数， 所以tan(2－π)<tan(3－x )<tan 1，即tan 2<tan 3<tan 1． 探究三 求函数的值域对于形如y ＝A tan 2x ＋B tan x ＋C 型的函数，可以通过换元法将问题转化为给定区间上的二次函数求值问题，需要注意的是换元后新元的范围，一般可结合函数图象或单调性确定．【例5】 求函数y ＝tan 2x －2tan x 3x π⎛⎫≤⎪⎝⎭的值域． 分析：利用换元法，将原函数化为二次函数的形式来解决． 解：令u ＝tan x ．因为|x |≤3π，所以由正切函数的图象知u ．所以原函数可化为y ＝u 2－2u ，u ． 因为二次函数的开口向上，对称轴方程为u ＝－22-＝1， 所以当u ＝1时，y min ＝12－2×1＝－1．当u y max ＝3＋所以f (x )的值域为[－1,3＋．反思使用换元法求函数值域时，一定要注意换元后自变量的取值范围． 探究四 易错辨析易错点：因作图不准确而致错 【例6】 当x ∈33,22ππ⎛⎫-⎪⎝⎭时，确定方程tan x －sin x ＝0根的个数． 错解：同一平面直角坐标系中作出y ＝tan x 与y ＝sin x 在33,22ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上的图象如图所示，两图象有5个交点，所以方程tan x －sin x ＝0有5个根．错因分析：没有比较x ∈,22ππ⎛⎫-⎪⎝⎭时，y ＝tan x 与y ＝sin x 的大小． 正解：将方程变形为tan x ＝sin x ，作y ＝tan x ，y ＝sin x 在33,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上的图象，则两图象交点的个数就是原方程根的个数．在同一坐标系内画出y ＝tan x 与y ＝sin x 的图象，根据图象判断交点个数．在同一平面直角坐标系中，首先作出y ＝sin x 与y ＝tan x 在,22ππ⎛⎫-⎪⎝⎭内的图象，需明确x ∈0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭时，有sin x <x <tan x (利用单位圆中的正弦线、正切线就可证明)，然后利用对称性作出x ∈33,22ππ⎛⎫-⎪⎝⎭时的两函数的图象，如图所示，由图象可知它们有3个交点．所以方程有3个根．点评判断方程根的个数，对于一些超越方程无法直接求解，可以考虑用数形结合的思想，把方程看成是两个函数，在同一坐标系内画出这两个函数的图象，观察图象交点的个数即为方程根的个数．。

−
中心为(
，)．

−
，即对称

知识梳理·基础回归
解题方法总结
（5）求函数 = ( + ) + ( ≠ )的对称轴的方法；令 + = ( ∈ )
得 =

+−


+−



，即对称中心为(
, )( ∈ )
2、与三角函数）请将上表数据补充完整，并直接写出函数 的解析式；
π
2
（2）当 ∈ − , 0 时，求不等式 ≥ 0的解集．

【解析】（1）由表可知 = 5, 2 =
所以 =
又2 ×
π
3
2π

5π
π
−
6
3
π
= π，所以 = 2，
π
+ = ，所以
2
高考数学
一轮复习讲练测
三角函数的图象与性质
目录
C O N T E N T S
01
考情透视·目标导航
02
知识导图·思维引航
03
考点突破·题型探究
04
真题练习·命题洞见
05
课本典例·高考素材
06
易错分析·答题模板
01
考点要求
考题统计
（1）正弦函数、余弦函数
2024年天津卷第7题，5分
和正切函数的图像性质
位后，所得图象关于坐标原点对称，则的值可以为（
A．
2π
3
B．
π
3
C．
π
6
D．
π
3
的图象向右平移 > 0 个单
）
π
4

2．函数 y＝tan(2x＋φ)的图象过点1π2，0，则 φ 可以是(
)
A．－6π
π B.6
C．－1π2
π D.12
解析：∵y＝tan(2x＋φ)过1π2，0. ∴tan6π＋φ＝0， ∴π6＋φ＝kπ，k∈Z，∴φ＝kπ－6π，当 k＝0 时，φ＝－π6，故选 A. 答案：A
3．函数 y＝tan3x－π4的最小正周期为________． 答案：π3
【知识点拨】 求定义域时，一定要注意正切函数自身的定义域． 另外，这类问题都是由构造三角不等式来确定自变量的范围．解 三角不等式时要充分利用三角函数的图象或三角函数线．
变式训练 1-1 求下列函数的定义域．
(1)y＝tan2x－π6；(2)y＝
tanx 2sinx－
2.
解：(1)要使 y＝tan2x－π6有意义，则 2x－π6≠kπ＋2π，∴x≠k2π＋π3(k∈Z)，
解析：(1)如
x1＝4π，x2＝23π，但
π 2π tan4>tan 3 .
(2)正切函数在每个单调区间上都为增函数．
(3)正切函数图象相邻两个对称中心的距离为半周期π2.
(4)当 x＝π2＋kπ(k∈Z)时，tanx 没有意义，此时式子
tan(－x)＝－tanx 不成立．
答案：(1)× (2)× (3)× (4)×
1.3.2 余弦函数、正切函数的图象与性质(二)
学习目标
1．能借助单位圆中的正切线画出 y＝tanx 的图象． 2．理解正切函数的定义域、值域、周期性、奇偶性及单调性， 并掌握其应用.
新知初探
函数 y＝tanx 的图象与性质
解析式
y＝tanx
图象
定义域 ___x__x_∈__R_且__x≠__k_π_＋__2π_，__k∈__Z____