矢量分析与场论 第四版 谢树艺 习题答案 高等教育出版社

矢量分析与场论 第四版 谢树艺 习题答案 高等教育出版社

习题1 解答

1．写出下列曲线的矢量方程，并说明它们是何种曲线。

1xatybtcos,sin

2xtytzt3sin,4sin,3cos

解： 1ratibtjcossin，其图形是xOy平面上之椭圆。

2rtitjtk3sin4sin3cos，其图形是平面430xy与圆柱面2223xz之交线，为一椭圆。

2．设有定圆O与动圆c，半径均为a，动圆在定圆外相切而滚动，求动圆上一定点M所描曲线的矢量方程。

解：设M点的矢径为OMrxiyj，AOC，CM与x轴的夹角为2；因OMOCCM有

rxiyjaiajaiaj2cos2sincos2sin2

则.2sinsin2,2coscos2aayaax

故jaaiaar)2sinsin2()2coscos2(

4．求曲线3232,,tztytx的一个切向单位矢量。

解：曲线的矢量方程为ktjttir3232

则其切向矢量为kttjidtdr222

模为24221441||tttdtdr

于是切向单位矢量为222122||/tkttjidtdrdtdr

6．求曲线xatyatzat2sin,sin2,cos,在t4处的一个切向矢量。 2 解：曲线矢量方程为 ratiatjatk2sinsin2cos

切向矢量为ratiatjatktdsin22cos2sind

在t4处，traiakt4d2d2

7.求曲线ttztytx62,34,122 在对应于2t 的点M处的切线方程和法平面方程。

解：由题意得),4,5,5(M曲线矢量方程为,)62()34()1(22kttjtitr

在2t的点M处，切向矢量kjiktjtidtdrtt244])64(42[22

于是切线方程为142525,244545zyxzyx即

于是法平面方程为0)4()5(2)5(2zyx，即

01622zyx

8．求曲线rtitjtk23上的这样的点，使该点的切线平行于平面xyz24。

解：曲线切向矢量为dritjtkdt223， ⑴

平面的法矢量为nijk2，由题知

itjtknikttj221432230

得t11,3。将此依次代入⑴式，得kjikjitt2719131|,|311

故所求点为1111,11,,,3927

习题2 解答

1．说出下列数量场所在的空间区域，并求出其等值面。 3 1uAxByCzD1;

2zuarcxy22sin

解：1场所在的空间区域是除AxByCzD0外的空间。

等值面为01111CDCzByAxCDCzByAx或为任意常数）（01C，这是与平面AxByCzD0平行的空间。

2场所在的空间区域是除原点以外的zxy222的点所组成的空间部分。

等值面为)0(,sin)(222222yxcyxz，

当csin0时，是顶点在坐标原点的一族圆锥面（除顶点外）；

当csin0时，是除原点外的xOy平面。

2．求数量场xyuz22经过点M1,1,2的等值面方程。

解：经过点M1,1,2等值面方程为

xyuz22221112，

即zxy22，是除去原点的旋转抛物面。

3．已知数量场uxy，求场中与直线xy240相切的等值线方程。

解：设切点为xy00,，等值面方程为xycxy00，因相切，则斜率为

2100xyk，即002yx

点xy00,在所给直线上，有

xy00240

解之得yx001,2 4 故2xy

4．求矢量222Axyixyjzyk的矢量线方程。

解 矢量线满足的微分方程为

Adr0，

或dxdydzxyxyzy222

有.,zdzxdxydyxdx

解之得),(,212122为任意常数CCxCzCyx

5.求矢量场zkyxjyixA)(22通过点M)1,1,2(的矢量线方程。

解 矢量线满足的微分方程为.)(22zyxdzydyxdx

由12211Cyxydyxdx得，

按等比定理有,)()(22zyxdzyxyxd即.)(zdzyxyxd解得.2zCyx

故矢量线方程为zCyxCyx21,11又)1,1,2(M求得1,2121CC

故所求矢量线方程为.2111zyxyx

习题3 解答

1．求数量场2322uxzyz在点2,0,1M处沿lxixyjzk2423的方向导数。

解：因MMlxixyjzkik242343，其方向余弦为.53cos,0cos,54cos 5 在点)1,0,2(M处有,1223,04,422223yzxzuyzyuxzxu

所以4125300)4(54•••lu

2．求数量场223uxzxyz在点1,1,1M处沿曲线23,,xtytzt朝t增大一方的方向导数。

解：所求方向导数，等于函数u在该点处沿曲线上同一方向的切线方向导数。曲线上点M所对应的参数为1t,从而在点M处沿所取方向，曲线的切向方向导数为33,22,1121tMtMMtdtdztdtdydtdx，

其方向余弦为.143cos,142cos,141cos

又5)23(,1,7)6(2MMMMMMzxzuxyuyxzxu。

于是所求方向导数为14241435142)1(1417)coscoscos(MMzuyuxulu

3．求数量场23uxyz在点2,1,1M处沿哪个方向的方向导数最大？

解： 因uulul0grad grad cos，

当0时，方向导数最大。

,1244)32()(u grad22323kjikyzxjzxixyzkzujyuixuMMM

即函数u沿梯度kjiM1244u grad方向的方向导数最大

最大值为114176u gradM。

4.画出平面场)(2122yxu中2,23,1,21,0u的等值线，并画出场在)2,2(1M与点)7,3(2M处的梯度矢量，看其是否符合下面事实： 6 （1）梯度在等值线较密处的模较大，在较稀处的模较小；

（2）在每一点处，梯度垂直于该点的等值线，并指向u增大的方向。

解：所述等值线的方程为：,4,3,2,1,02222222222yxyxyxyxyx其中第一个又可以写为

0,0yxyx为二直线，其余的都是以Ox轴为实轴的等轴双曲线

（如下图,

图中,u

grad11MG

,u

grad22MG）

由于,u

yjxigrad

故

,22u grad1jiM

,73u grad2jiM

由图可见，其图形都符合所论之事实。

5．用以下二法求数量场uxyyzzx在点1,2,3P处沿其矢径方向的方向导数。

1 直接应用方向导数公式；

2 作为梯度在该方向上的投影。

解：1点P的矢径,32kjir其模.14r其方向余弦为

.143cos,142cos,141cos又

3)(,4)(,5)(PPPPPPyxzuzxyuzyxu

所以。1422143314241415)coscoscos(PPzuyuxulu

7 2,345)(u gradkjikzujyuixuPP

.1431421410kjirrr

故。1422143314241415u grad0•rluPP

6，求数量场zyxxyzyxu62332222在点)0,0,0(O与点)1,1,1(A处梯度的大小和方向余弦。又问在哪些点上梯度为0？

解：,)66()24(32u kzjxyiyxgrad）（

,036u grad,623u gradkjikjiAO

其模依次为：53036,7)6()2(3222222

于是Ou grad的方向余弦为.76cos,72cos,73cos

Au grad的方向余弦为.0cos,51cos,52cos

求使0u grad之点，即求坐标满足066,024,032zxyyx之点，由此解得1,1,2zyx故所求之点为).1,1,2(

7．通过梯度求曲面422xzyx上一点)3,2,1(M处的法线方程。

解：所给曲面可视为数量场xzyxu22的一张等值面，因此，场u在点

M处的梯度，就是曲面在该点的法矢量，即

,222)22(u grad2kjixkjxizxyMM

故所求的法线方程为.231221zyx

8．求数量场22352uxyz在点1,1,3M处等值面朝Oz轴正向一方的法线方