矩阵分块法ppt课件

17 17
a 1 B= 0 0
线性代数
0 a 0 0
0 0 b 1
0 a B1 = 0 B1 O 1 , 其中 = 0 O B2 b B2 = b 1
第二章 §2.5
A1 A+ B = O
O B1 + A2 O
o
o
线性代数
第二章 §2.5
15 15
例2
a 0 设 A= 0 0
1 a 0 0
0 0 b 1
0 0 , 1 b
a 1 B= 0 0
0 a 0 0
0 0 b 1
0 0 0 b
求 A + B,
线性代数 第二章 §2.5
ABA.
16 16
T T A11 L As1 Ar L 1 M . 则 T M ， A = M AT L AT L Asr sr 1r
三、分块对角阵
设A为n阶矩阵，若 A的分块矩阵只有在主对 角线 阶矩阵， 上有非零子块， 块都为零矩阵， 上有非零子块，其余子 块都为零矩阵，且非零 子 块都是方阵， 块都是方阵，即
线性代数 第二章 §2.5
O B2
A1 + B1 = O
, A2 + B2 O
a 1 a 0 2a 1 A1 + B1 = + = , 0 a 1 a 1 2a b 1 b 0 2b 1 A2 + B2 = + = , 1 b 1 b 2 2b
线性代数 第二章 §2.5
21 21
例3
5 0 0 设 A = 0 3 1 , 求 A −1 . 0 2 1 5 0 0 A1 A = 0 3 1 = 0 2 1 O

0 0 3 2
0
0
1
1
3
解：设
A
0
0
0
0 2 0 0
0 0 3 1
0 0 2 1
A1
A2
A3
A1 3 , A2 2 , A3 1
所以 A 3（ 2）1 6
又
A11
1 3
,
A21
1 2
,
A31
1 1
2
3
1 3
0
0 0
故
A1
0
12 0
2
A3 A2 A 0
2 2
1 2 0
1
0 3
1 0
32 3
3 32
0
0
2 0 0
0
0
3
3.
(1)
3 B'
2A
1 3 0
0 2
3 1 0 2 0
0 2
0 1 1 0
0 2
3 2
0 1 1 0 0 1 0 3 1
1 0 6 1 0 0 0 0 6
同理可定义矩阵的初等列变换 (所用记号是 把“r”换成“c”)．
三、 由 P 1AP B 有 P P1APP 1 P B P 1
A PBP 1 A2 AA PBP1PBP1 PBBP1 PB2P 1
A10 PB10P 1
P 1 1 1 4 3 1 1
B2 BB 1 0
0 1 2 0
0 2
(1)2 0
0 22
B3 B2B 1 0
Bs
A1 B1
0
L
0
0L A2 B2 L
LL 00
0
0
L

A12
A22
这是2阶 方阵吗？
A11
a11
a21
a12
a22
A12
a13
a23
a14
a24
为A的子块
A21 a31 a32
A22 a33 a34
矩阵形式上成为以这些子块为元素的分块矩阵。
将一个矩阵分成分块矩阵的方法很多，分块时要注意矩阵的 特点。
例
1 0 0 1 2
0
A 0
1 0
0 1
2 3
3 4
E3 O23
A12
2
E2
0 0 0 2 0
0 0 0 0 2
其中
1 2
A12
2
3
3 4
结论：根据研究问题的实际需要，将矩阵进行分块，可以使矩 阵的结构变得更加清晰，有利于矩阵的计算。
分块矩阵的运算规则
一、分块矩阵的加法
设A、B都是m n矩阵，采用相同的分块法，得到分块矩阵
A
A11
A1r
,
B
B11
B1r
As1 Asr
Bs1 Bsr
其中子块 Aij 与 Bij 同型，规定
A
B
A11
B11
A1r
B1r
.
As1 Bs1 Asr Bsr
如果两个同型矩阵的分块方法相同，它们相加时，即把对应的子块相加，而
每对子块之间的加法，则按着普通矩阵的加法进行运算。
对于分块对角矩阵，可求得
A A1 A2 As
由此可知 A的充0 分必要条件是 ( iA=i1，02，…，s)。从 而可知分块对角矩阵A可逆的充分必要条件是 (i=1，2A，i …，s) 均可逆。并且，当A可逆时，有

(3) 按行分块
a11 a12 a1n β1 a a a β2 21 22 2n A am1 am 2 amn βm
矩阵的分块
7/24
注 究竟选择哪种分块方法, 这取决于矩阵的特点和问 题的需要, 应尽可能使得更多的子块成为零矩阵、
A22 As 2
, Ass
A22
矩阵的分块
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的分块矩阵依次称为分块上三角矩阵, 分块下三角矩阵, 分块对角矩阵, 其中 Aii 都是方阵, i 1,2,, s. 分块上三角矩阵和分块下三角矩阵统称为分块三角矩阵. 上述分块对角矩阵记作 diag(A11, A22, , Ass) .
矩阵的分块
21/24
a11 a12 a a22 21 增广矩阵 A am1 am1 [A [ A | b], 或 A 记为 A
a1n a2 n amn
b] .
b1 b2 , bm
注 1861年, Smith 引进了增广矩阵 . 对方程组做初等变换时 , 只是对系数和常数项进行了
矩阵的分块
10/24
2.3.2 分块矩阵的运算
(1) 分块矩阵的加法
设
A11 A1t B11 B1t , B , A As1 Ast Bs1 Bst A11 B11 A B As1 Bs1 A1t B1t . Ast24
在 mn 线性方程组 Ax b 中, 将未知量向量 x 换成 ns 未知量矩阵 X 、常数项向量 b 换成 ms 矩阵 B, 就得到 所谓的矩阵方程 AX B, 并且称 [A B] 为增广矩阵.

…
A= … .
1 2
m = [am1, am2, …, amn],
m

第二章 矩阵
§2.3 分块矩阵
2. 分块对角矩阵(semi-diagonal matrix)
A1 O … O O A2 … O A= …… …… , O O … As
称为分块对角矩阵(或准对角矩阵), 其中A1, A2, …, As都是方阵.
E(i(k))
(3) E
E(i, j(k))

第二章 矩阵
§2.4 初等变换与初等矩阵
1

1
E(i, j) =
0 … … … 1 1 1 1 … … … 0
………
第i行
………
第j行
1
第 i 列
第 j 列

1

第二章 矩阵
§2.4 初等变换与初等矩阵
1 E(i(k)) =

1
k
1
第 i 列
第i行
x1+2x2 x3 = 3 x2+2x3 = 2 (2) 0=0
x1
5x3 = 1 x2+2x3 = 2 0=0
x1 = 5c + 1 x2 = 2c 2 x3 = c
其中c为任意实数.
Gauss-Jordan reduction
1 2 1 3 0 1 2 2 (2) 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0
2. 初等矩阵的性质 定理1.1. 对mn矩阵A进行一次初等行变换 相当于在A的左边乘以相应的初等 矩阵; 对A施行一次初等列变换相 当于在A的右边乘以相应的初等矩 阵. Nhomakorabea
第一章 矩阵
§2.4 初等变换与初等矩阵

A12 A22
这是2阶 方阵吗？
a11 a12 A11 a21 a22
为A的子块
A21 a31 a32
A22 a33 a34
矩阵形式上成为以这些子块为元素的分块矩阵。
将一个矩阵分成分块矩阵的方法很多，分块时要注意矩阵的 特点。
例
1 0 A 0 0 0 0 0 1 2 1 0 2 3 E3 0 1 3 4 O 23 0 0 2 0 0 0 0 2
对于分块对角矩阵，可求得
A A1 A2 As
由此可知 A 0 的充分必要条件是 Ai 0 ( i=1，2，…， s)。从而可知分块对角矩阵A可逆的充分必要条件是 Ai(i=1， 2，…，s)均可逆。并且，当A可逆时，有 A11 1 A2 1 A 1 As
T A11 T T A12 A T A 1t
A12 A22 As 2
A1t A2 t Ast
T A21 T A22
则

T A2 t
AsT1 AsT2 T Ast
分块矩阵A的转置，不仅要把分块矩阵A的每一行变为同序 号的列，还要把A的每一个子块 Aij 取转置。
1 0 4 2
0 0 E 0 A1 1
0 1 B11 1 B21 0
O E
1 0 1 2 B 1 0 1 1
E B22
则
E AB A1 O B11 E B21 E B11 B22 A1 B11 B21
例2
设5阶方阵

设A为m×k矩阵，B为k×n矩阵，对A,B作分块，使得A的列 分法与B的行分法一致，即
k1
k2
A
A11 A21
A12 A22
Ar1 Ar 2
ks
A1s A2 s
m1 m2 ,
Ars
mr
n1
n2
B11
B12
B B21 B22
Br1 Br 2
np
B1s
B2s
k1 k2
A
A21
A22
Ar 1
Ar 2
则
AT
A1T1 A1T2
A2T1 A2T2
ArT1 ArT2
.
A1Ts
A2Ts
ArTs
A1s
A2 s
,
Ars
如矩阵
1 0 2 1 1
A
0 1
1 4
4 3
5 5
2 6
A11 A21
A12 A22
A13
A23
其中 则
1 0
2 1
1
A11
A11
1 5
;
A2
3 2
1 1
,
A21
1 2
31;
0 1 1
A1
O A11
A21 O
0
1
2
3
5 0 0
§5 矩阵的秩
一、矩阵的秩
定义定12义一:一、矩、矩阵矩阵A阵的的的秩k阶秩子式
设 A 是 mn 的矩阵，任取 A 的 k 个行和 k 个列 (1≤k≤min{m, n})，位于这些行列交叉点处的 kk 个元 素，按照原来的顺序组成一个 k 阶方阵，该方阵对应 的行列式称为矩阵 A 的 k阶子式.

L bs 1 M L bms L d1n M L dsn
C 记 F = AC = ( f ij ), G = BD = ( gij ), H = ( A, B ) = ( hij ), 则 D
hij = (ai 1c1 j + L + air crj ) + (bi 1d1 j + L + bis d sj ) = f ij + gij
= 27[det (a1 , a2 , a3 , a ) + 2det ( a1 , a2 , a3 , b )]
= 27[det (a1 , a2 , a3 , a ) − 2det (a3 , a2 , a1 , b )]
= 27(a − 2c )
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• 设 m×l 矩阵 A 按行分块为 注意 ×
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1 n
b a11 L a1r 11 例3 设 A = M M , B = M b a L amr m1 m1 c11 L c1n d11 C = M M , D = M c L c d rn r1 s1
a11 2×2 分块 a21 × 分块: a31 a12 a22 a32 a13 a23 a33 a14 = A11 a24 A21 a34
A12 A22
A12 A22 A13 A23
a11 2×3 分块 a21 × 分块: a31
a1 AB = M (b ,L bn) , 1 a m
a1 a1B M B= M a a B m m
列数l 注: 将 ai 改为矩阵 Ai (列数 ), 列数 a1b L a1bn 1 = M M (1) bj 改为矩阵 Bj (行数 ), 以上两 行数l 行数 a b L a b m n 式也成立.于是 式可推广为 式也成立 于是(1)式可推广为 于是 m1

A14 A4 = O O 52 O 54 2 4 , , ⇒ A1 = 4 而 A1 = A2 O 52 O
1 0 24 A2 4 = 24 = 6 4 1 2 0 , 4 2
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3 4 4 −3 A= 0 0 0 0
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A1n A1 , n 4） 若 A = O O ; 则A = As n As
As −1 A1 , 则 A −1 = N 5） 若 A = N ; A −1 A 1 s
O A B∗
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例6 设
0 0 625 0 0 625 0 0 3 A1 O A4 = 4 , A = 2 0 ., 解 令 A= , 其中 A1 = 4 0−3 0 2 162 0 2 O A2 0 0 64 16 A18 O 8 8 8 8 8 8 16 A = , A = A1 A2 = A1 A2 = 10 O A2 8
0 0 0 0 1 2 0 0 1 2 0 0 3 0 0 2 1 0 0 1 35
A
B
A
0 0 0 1 0 0 3 都是分块对角阵. 都是分块对角 分块对角阵 0 0 1 0 2 2 0
B
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分块对角矩阵具有下述性质: 分块对角矩阵具有下述性质: 1） A = A1 A2 L As ;
第二章 矩阵及其运算
第四节 分块矩阵
zxs
什么是分块矩阵 分块矩阵的运算 基本应用
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