矩阵分块法
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§2.4 分块矩阵
17 17
a 1 B= 0 0
线性代数
0 a 0 0
0 0 b 1
0 a B1 = 0 B1 O 1 , 其中 = 0 O B2 b B2 = b 1
第二章 §2.5
A1 A+ B = O
O B1 + A2 O
o
o
线性代数
第二章 §2.5
15 15
例2
a 0 设 A= 0 0
1 a 0 0
0 0 b 1
0 0 , 1 b
a 1 B= 0 0
0 a 0 0
0 0 b 1
0 0 0 b
求 A + B,
线性代数 第二章 §2.5
ABA.
16 16
T T A11 L As1 Ar L 1 M . 则 T M ， A = M AT L AT L Asr sr 1r
三、分块对角阵
设A为n阶矩阵，若 A的分块矩阵只有在主对 角线 阶矩阵， 上有非零子块， 块都为零矩阵， 上有非零子块，其余子 块都为零矩阵，且非零 子 块都是方阵， 块都是方阵，即
线性代数 第二章 §2.5
O B2
A1 + B1 = O
, A2 + B2 O
a 1 a 0 2a 1 A1 + B1 = + = , 0 a 1 a 1 2a b 1 b 0 2b 1 A2 + B2 = + = , 1 b 1 b 2 2b
线性代数 第二章 §2.5
21 21
例3
5 0 0 设 A = 0 3 1 , 求 A −1 . 0 2 1 5 0 0 A1 A = 0 3 1 = 0 2 1 O
a 1 B= 0 0
线性代数
0 a 0 0
0 0 b 1
0 a B1 = 0 B1 O 1 , 其中 = 0 O B2 b B2 = b 1
第二章 §2.5
A1 A+ B = O
O B1 + A2 O
o
o
线性代数
第二章 §2.5
15 15
例2
a 0 设 A= 0 0
1 a 0 0
0 0 b 1
0 0 , 1 b
a 1 B= 0 0
0 a 0 0
0 0 b 1
0 0 0 b
求 A + B,
线性代数 第二章 §2.5
ABA.
16 16
T T A11 L As1 Ar L 1 M . 则 T M ， A = M AT L AT L Asr sr 1r
三、分块对角阵
设A为n阶矩阵，若 A的分块矩阵只有在主对 角线 阶矩阵， 上有非零子块， 块都为零矩阵， 上有非零子块，其余子 块都为零矩阵，且非零 子 块都是方阵， 块都是方阵，即
线性代数 第二章 §2.5
O B2
A1 + B1 = O
, A2 + B2 O
a 1 a 0 2a 1 A1 + B1 = + = , 0 a 1 a 1 2a b 1 b 0 2b 1 A2 + B2 = + = , 1 b 1 b 2 2b
线性代数 第二章 §2.5
21 21
例3
5 0 0 设 A = 0 3 1 , 求 A −1 . 0 2 1 5 0 0 A1 A = 0 3 1 = 0 2 1 O
矩阵分块知识点总结
矩阵分块知识点总结一、矩阵分块的基本概念1.1 矩阵分块的定义矩阵分块是一种对矩阵进行分割的方法，将一个大的矩阵分割成若干个较小的子矩阵，这些子矩阵可以是行向量、列向量或者更小的矩阵。
矩阵分块的表示形式可以是方括号、圆括号或者其他符号，不同的表示形式能够提供更加清晰和易于理解的矩阵分块结构。
1.2 矩阵分块的表示形式矩阵分块可以采用不同的表示形式，其中包括方括号表示、圆括号表示和其他符号表示。
以方括号表示为例，一个矩阵可以分割成四个子矩阵，如下所示：A = [ A11, A12A21, A22 ]其中A11、A12、A21、A22为子矩阵，分别表示矩阵A的四个子块。
1.3 矩阵分块的基本性质矩阵分块具有很多基本的性质，其中包括可交换性、可加性、可乘性等。
具体而言，如果矩阵A和B可以进行相应的分块操作，则有以下性质：可交换性：A和B的分块顺序可以交换，即A*B = B*A。
可加性：矩阵A和B的分块和形式，若A和B可以相应分块，则有(A + B) = A + B。
可乘性：矩阵A和B的分块和形式，若A和B可以相应分块，则有(A * B) = A * B。
1.4 矩阵分块的应用矩阵分块在实际中有着广泛的应用，其中包括矩阵的运算、方程组的求解、特征值与特征向量的计算等方面。
矩阵分块能够简化问题的处理过程，提高计算的效率，使得矩阵的性质更加清晰和易于理解，因此在很多领域中得到了广泛的应用。
二、矩阵分块的基本类型2.1 行分块矩阵行分块矩阵是将一个大的矩阵按照行进行分块，将每一行的元素划分成若干个较小的行向量，从而形成一个行分块矩阵。
行分块矩阵的表示形式可以是方括号、圆括号或者其他符号，不同的表示形式能够提供更加清晰和易于理解的矩阵分块结构。
2.2 列分块矩阵列分块矩阵是将一个大的矩阵按照列进行分块，将每一列的元素划分成若干个较小的列向量，从而形成一个列分块矩阵。
列分块矩阵的表示形式可以是方括号、圆括号或者其他符号，不同的表示形式能够提供更加清晰和易于理解的矩阵分块结构。
矩阵分块法
As1
A1r Asr
A11 A
As1
A1r
Asr
其运算律与数乘矩阵相同.
λ为数，那末
3.分块矩阵的乘法.
设A为 m×l 矩阵，B为l×n矩阵，分块成
A11 A12
A
Ai1
Ai2
As1
As 2
A1t
B11 B1 j B1r
Ait
§4. 矩阵分块法
一、分块矩阵的定义
把一个阶数较高的矩阵,用若干条横线和竖 线分成若干小块 , 每一小块都叫做矩阵的子块 , 以子块为元素的矩阵称为分块矩阵.
例如：将3×4矩阵
A
a11 a21
a12 a22
a13 a23
a14 a24
a31 a32 a33 a34
分块形式如下：
A22 A12
a11 a12
1
a21
a22
a31 a32
A21 A11
a13 a23
a14 a24
2
a11 a21
a12 a13 a22 a23
a14 a24
a33 a34
a31
a32 a33
a34
A11 A21
A12 A22
A13 A23
3
a11 a21
a12 a22
a13 a23
0 0 1 1
6.分块矩阵的应用
设A为m×n矩阵，将A按行分块，得
1
A
2
m
其中 i (i 1,2, , m) 是A的第 i 行.
将A按列分块,得
A =（ β1， β2，…， βn ）.
其中 βj ( j = 1, 2, … ,n ). 是 A 的第 j 列. 对于线性方程组
A1r Asr
A11 A
As1
A1r
Asr
其运算律与数乘矩阵相同.
λ为数，那末
3.分块矩阵的乘法.
设A为 m×l 矩阵，B为l×n矩阵，分块成
A11 A12
A
Ai1
Ai2
As1
As 2
A1t
B11 B1 j B1r
Ait
§4. 矩阵分块法
一、分块矩阵的定义
把一个阶数较高的矩阵,用若干条横线和竖 线分成若干小块 , 每一小块都叫做矩阵的子块 , 以子块为元素的矩阵称为分块矩阵.
例如：将3×4矩阵
A
a11 a21
a12 a22
a13 a23
a14 a24
a31 a32 a33 a34
分块形式如下：
A22 A12
a11 a12
1
a21
a22
a31 a32
A21 A11
a13 a23
a14 a24
2
a11 a21
a12 a13 a22 a23
a14 a24
a33 a34
a31
a32 a33
a34
A11 A21
A12 A22
A13 A23
3
a11 a21
a12 a22
a13 a23
0 0 1 1
6.分块矩阵的应用
设A为m×n矩阵，将A按行分块，得
1
A
2
m
其中 i (i 1,2, , m) 是A的第 i 行.
将A按列分块,得
A =（ β1， β2，…， βn ）.
其中 βj ( j = 1, 2, … ,n ). 是 A 的第 j 列. 对于线性方程组
高二数学矩阵的分块
kA11 kA1r kA kA kA sr s1
例
k 3,
1 A 3 4
2 2 5
3 1 6
1 3 3 A 3 3 4 3
2 3 2 3 5 3
3 3 1 3 6 3
其 中Ai 1 , Ai 2 , , Ais的 列 数 分 别 等 于 B1 j , B2 j , , Bsj的 行 数 。 那么 C11 C1r
AB C r1
ik
C rs
其 中C ij
A
k 1
t
Bkj
i 1, , s; j 1, , r .
1 a 1 1 1 a 0 1
0 B 0 1 B2 b B3 b 0 0 C1 1 C3 b 0 C1 a0 0 0b 1 C3 0 0 1 1 0 0 b 1 10
C2 , C4
11
1s
rs
rs
T A A1 s 则 A . A A
T 11 T
T
r1
T
rs
注:
大块小块一起转。
T
A11 A12 例 A A 21 A22 (5) 分块对角矩阵 设 A 为 n 阶矩阵，若 A 的分块矩阵只有对角线上 有非零子块，其余子块都为零矩阵，且非零子块
O A . 1 O D C A B
(2) 由(1)可得
A O 1 XYZ A D C A B, 1 O DC A B
XYZ X Y Z ,
而 X Z 1,
A B A D C A1 B . C D
分块矩阵的概念
As
i 1,2,L , s.
a1 j
按列分块 A
A1, A2 ,L
, An ，其中
Aj
a2 j M
,
j 1,2,L ,n. anj
一、分块矩阵的运算
1、加法 设 A, B 是两个 m n 矩阵，对它们
用同样的分法分块:
A11 A
As1
A1r
B11
, B
A1t
A2t L
Ast
例1 设
1 0 0 0
A
0 1
1 2
0 1
00 ,
1 1 0 1
求 AB.
1 0 1 0
B
1 1
2 0
0 4
1 1
,
1 1 2 0
解 把A, B分块成
1 0
A
0
1
1 0
0 1
E
E
,
1 0 1 0
B
1 1
2 0
0 4
1 1
1 1 2 0
,
O
Bs
A1 B1
则 A B
A2 B2
O
，
O
O
As
BS
A1B1
AB
A2 B2
O
O
.
O
As BS
(2) 准对角矩阵
A1
A
A2
O O
O
As
可逆
Ai 0，i 1,L , s Ai可逆，i 1,L , s
且
A11
A1
A21
O
O
O
As1
5 0 0
AB
Cs1 Csr
大学线性代数课程 第七节 矩阵的分块法 课件
2
1
0
0
0 0 1 2
0
0
1
1
1 2 0
A
2
5
0
1
A1
O
0 0
O A2
,
A1
A11 O
O
A2
1
,
A11
1 2
2
5
,
A21
1 3
1 1
2
1
,
0 0 1 3 2 3
0
0
1 3
1
3
6、设 B 1 2 L s , 则 AB A1 2 L s A1 A2 L As .
A11 L
A
M
As1 L
A1r
A11 L
M
,
R,
则
A
M
Asr
As1 L
k 0 k 3k
kI
kA
kO
kC
kI
0
0
0
k 0 0
2k k 0
4k
0kLeabharlann A1r M.
Asr
3、乘法 设 Aml , ，Bl分n 块成
A11 L
A
M
As1 L
A1t
B11 L
b01
注： 分块时首先满足 I，再考虑对角或三角矩阵， 然后考虑 O以及其它的特殊矩阵.
按行分块或按列分块是两种特殊的分块形式.
二、分块矩阵的运算规则
分块矩阵的运算规律与普通矩阵规律运算相类似.
1、矩阵的加法 设 A与 B为同型矩阵，采用相同的分块法，有
A11 L
A
M
As1 L
A1r
B11 L
矩阵分块法
L
0 L 0 B2 L 0 L L L 0 L Bs
A1B1 0 0 A2B2 = L L 0 0
0 L 0 . L L L As Bs
3）逆矩阵 ）
A1 设 A=
A2
o
o , O As
a 0 A= 1 0
0 0 = ( A1 A2 A3 A4 ), 1 b
LL
二、分块矩阵的运算规则
(1 )
对于加法 : 设矩阵 A 与 B 的行数相同 , 列数相同 , ,有 采用相同的分块法
A11 A= M A s1
L L
A1 r B11 M , B = M B A sr s1
例
设 1 2 A= −1 1 求 A + B.
0 0 0 0 0 0 0 0 , B = 1 2 1 0 −1 1 1 1
0 1 0 2 0 1 , 0 0 0 0 0 0
解 把 A, B 分块成 记
A11 A= A 21
A1 O A2 ⇒ A = A1 A2 L As . A= O O As
A1 O A2 A= O O As
A可逆 ⇔ Ai 可逆i = 1,2,L , s且
A1−1 O −1 A2 −1 A = O O As−1
B22 . 0
T T A11 L A1 A11 L Ar 1 s (4 ) 设 A = M M , 则 AT = M M . T A1 L A A L AT s sr sr 1r
0 L 0 B2 L 0 L L L 0 L Bs
A1B1 0 0 A2B2 = L L 0 0
0 L 0 . L L L As Bs
3）逆矩阵 ）
A1 设 A=
A2
o
o , O As
a 0 A= 1 0
0 0 = ( A1 A2 A3 A4 ), 1 b
LL
二、分块矩阵的运算规则
(1 )
对于加法 : 设矩阵 A 与 B 的行数相同 , 列数相同 , ,有 采用相同的分块法
A11 A= M A s1
L L
A1 r B11 M , B = M B A sr s1
例
设 1 2 A= −1 1 求 A + B.
0 0 0 0 0 0 0 0 , B = 1 2 1 0 −1 1 1 1
0 1 0 2 0 1 , 0 0 0 0 0 0
解 把 A, B 分块成 记
A11 A= A 21
A1 O A2 ⇒ A = A1 A2 L As . A= O O As
A1 O A2 A= O O As
A可逆 ⇔ Ai 可逆i = 1,2,L , s且
A1−1 O −1 A2 −1 A = O O As−1
B22 . 0
T T A11 L A1 A11 L Ar 1 s (4 ) 设 A = M M , 则 AT = M M . T A1 L A A L AT s sr sr 1r
矩阵分块法
以对角矩阵Λn 右乘矩阵Amn 时，把A按列分块，有
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三、按行分块与按列分块
a11
设A
(aij ) mn
a21
am1
a12 a22 am2
a1n
a2
n
,
它有
m
行，若第i
行记作
amn
αiT ai1, ai2 , , ain i 1,2, , m,则矩阵A便记为
可记作
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x1
β1 ,
β2,
,
β
n
x2
b,
xn
即 x11 x22 xn n b.
以对角矩阵 Λm 左乘矩阵 Amn 时，把
A按行分块，有
上一页 返回 下一页
λ1
Λ m A mn
λ2
λm
T 1
T 2
mT
λ11T λ2 2T
λm mT
,
可见，以对角矩阵 Λm 左乘矩阵Amn 的结
4. 当太空卫星发射之后，为使卫星在精确计算过
的轨道上运行，需要校正它的位置.雷达屏幕给出
一组矩阵向量 x1,L , xk ，它们给出卫星在不同时间里
的位置与计划轨道的比较.设 Xk x1, x2,L , xk ,矩阵
Gk
Xk
X
T k
需要在雷达分析数据时计算出来，当
xk 1
到
达时，新的Gk1 必须计算出来.因数据矩阵向量高速
7 1 1 3
AB
14 6
2 3
2 1
4 0
.
0 2 0 1
此题直接求kA, A B, AB会容易些，但为了突
矩阵分块法
以对角矩阵 Λm 左乘 A 的结果是 A 的每一行乘以 Λ 中与该行对应的对角元. 中与该行对应的对角元
以对角矩阵 Λn 左乘矩阵 Am × n 时，把 A 按列 分块， 分块，有
λ1 λ2 AΛn = (a1 , a2 ,L, an ) O λm = (λ1α1 , λ2α 2 ,L, λnα n ) ,
其中 Ai1 , Ai2 , …, Ait 的列数分别等于 B1j , B2j , …, Btj 的行数 那么 的行数,那么
C 11 AB = M C s1
t
L L
C 1r M , C sr
其中
Cij = ∑Aik Bkj (i = 1,L,s; j = 1,L,r) .
的行数相同、列数相同, 其中 Aij 与 Bij 的行数相同、列数相同 那么
A11 + B11 L A1r + B1r A+ B = M M . A + B L A + B s1 sr sr s1
2. 数乘运算
A11 L A1r 设 A= M M , A L A sr s1
即
x 1a 1 + x 2 a 2 + … + x n a n = b .
（4） ）
）、（3）、（ （2）、（ ）、（ ）是线性方程组（1）的 ）、（ ）、（4）是线性方程组（ ） 各种变形. 今后，它们与（ ） 各种变形 今后，它们与（1）将混同使用而不加 区分，并都称为线性方程组或线性方程 区分，并都称为线性方程组或线性方程.
α1Tb1 α1Tb2 L α1Tbn α T T T α α2 b1 α2 b2 L α2 bn AB = (b1, b2 ,L, bn ) = M M M M α T α Tb α Tb L α Tb m m n m1 m2
分块矩阵例题详解
分块矩阵是指将一个矩阵按照一定的规则分成若干个小块，每个小块都是一个矩阵。
分块矩阵在矩阵运算中具有重要的作用，可以简化计算过程。
下面通过例题来详解分块矩阵的运算方法。
例题1：设A = ⌈⌉，B = ⌉⌋，其中a、b、c、d均为常数，求AB和BA。
解：根据分块矩阵的定义，有A = ⎡⎡ a b c d ⎡⎡⎡⎡ e f g h ⎡⎡B = ⎡⎡ i j k l ⎡⎡⎡⎡ m n o p ⎡⎡则AB = ⎡⎡ ai+ej bi+fj ci+gj di+hj ⎡⎡⎡⎡ mi+nj ni+oj pi+qj ri+sj ⎡⎡BA = ⎡⎡ ai+ej bi+fj ci+gj di+hj ⎡⎡⎡⎡ mi+nj ni+oj pi+qj ri+sj ⎡⎡可以看出，AB和BA的每个元素都是原矩阵对应位置元素的乘积之和，因此可以直接计算得到结果。
例题2：设A = ⌈⌉，B = ⌉⌋，其中a、b、c、d均为常数，求A^2和(AB)^2。
解：根据分块矩阵的定义，有A = ⎡⎡ a b c d ⎡⎡⎡⎡ e f g h ⎡⎡B = ⎡⎡ i j k l ⎡⎡⎡⎡ m n o p ⎡⎡则A^2 = AB * BA = ⎡⎡ ai+ej bi+fj ci+gj di+hj ⎡⎡⎡⎡ mi+nj ni+oj pi+qj ri+sj ⎡⎡×⎡⎡ ai+ej bi+fj ci+gj di+hj ⎡⎡⎡⎡ mi+nj ni+oj pi+qj ri+sj ⎡⎡＝ (ai*mi + ai*ni + bi*mi + bi*ni + ...) * (mi*ai + mi*ai + ni*bi + ni*bi + ...)＝ (a^2 + b^2) * (a^2 + b^2) = a^4 + b^4 + 2a^2b^2.同理可得，(AB)^2 = (a^2 + b^2)(m^2 + n^2) = a^4 + b^4 + a^2m^2 + b^2n^2.。
高等代数 矩阵的分块
A
A11
A1r
,
B
B11
B1r
As1 Asr
Bs1 Bsr
其中子块 Aij与 Bij 为同型矩阵，则Leabharlann ABA11
B11
A1r
B1r
.
As1 Bs1 Asr Bsr
2、数量乘法
A11
设分块矩阵
A
As1
A1r
,
Asr
P, 则
A
A11
A1r
.
A
0 1
1 2
0 1
0 0
,
1 1 0 1
求 AB.
1 0 1 0
B
1 1
2 0
0 4
11 ,
1 1 2 0
解 把A, B分块成
1 0 0 0
A
0 1 1
1 2 1
0 1 0
0
0 1
EA1
O
E
,
1 0 1 0
B
1 1
2 0
0 4
1 1
1 1 2 0
B11 E B21 B22
例5 已知3级方阵A按列分块为A (1,2,3 )， 且 A 5, 若B (1 22 , 31 43 ,52 )，求 B .
解法一：
B 1, 31 43 ,52 22 , 31 43 ,52
1, 31,52 1,43 ,52
22 , 31,52 22 ,43 ,52 20 1,3 ,2 20 1,2 ,3
则 AmnD =( A1, A2 ,
1
An
)
2
O
O
n
(1 A1,2 A2 , ,n An )
2-4 矩阵分块法
§4 矩阵分块法本节我们将介绍矩阵运算的一种有用的技巧——矩阵的分块，这种技巧在处理某些较高阶的矩阵时常常被用到。
一、分块矩阵的概念设A 是一个矩阵，我们在它的行或列之间加上一些直线，把这个矩阵分成若干个小块，例如，设A 是一个43⨯矩阵111213212223313233414243a a a a a a A a a a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 我们可以把它分成如下的四块111213212223313233414243a a a a a a A a a a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭用这种方法被分成若干个小块的矩阵称为分块矩阵，每一个小块称为A 的一个子块。
在一个分块矩阵中，每一个小块也可以看成是一个矩阵。
例如，上面的分块矩阵A 是由以下四个矩阵组成的111121a A a ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 1213122223a a A a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 312141a A a ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 3233224243a a A a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭我们可以把A 简单地写成11122122A A A A A ⎛⎫=⎪⎝⎭对一个矩阵来讲，可以有各种不同的分法。
二、分块矩阵的运算规则分块矩阵的运算规则与普通矩阵的运算规则相类似，分别说明如下：（1）分块矩阵的加法设()ij m n A a ⨯=，()ij m n B b ⨯=，采用同样的分块方法得1111r s sr A A A A A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ， 1111r s sr B B B B B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭其中ij A 与ij B 的行数与列数都相同，则11111111r r s s sr sr A B A B A B A B A B ++⎛⎫ ⎪+= ⎪ ⎪++⎝⎭（2）数乘分块矩阵设1111r s sr A A A A A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ，λ为实数，则1111r s sr A A A A A λλλλλ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭（3）分块矩阵的乘法设()ij m l A a ⨯=，()ij l n B b ⨯=，分别分块成1111t s st A A A A A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ， 1111r t tr B B B B B ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭其中12,,i i it A A A （1,2,,i s = ）的列数分别等于12,,,j j t j B B B （1,2,,j r = ）的行数，则1111r s sr C C AB C A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭其中1tij ik kj k C A B ==∑（1,2,,i s = ，1,2,,j r = ）例1 设1000010012101101A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪- ⎪⎝⎭， 1010120110411120B ⎛⎫ ⎪-⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭求乘积AB解 为了求乘积AB ，我们可以对A 、B 进行如下的分块1000010012101101A ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪- ⎪⎝⎭1E O A E ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1010120110411120B ⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭112122B E B B ⎛⎫= ⎪⎝⎭按分块矩阵的乘法可得11111212211121122E O B E B EAB A E B B A B B A B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭而 11121121010111211A B B -⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭2411-⎛⎫= ⎪-⎝⎭122124133112031A B -⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故 1010120124331131AB ⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭（4）分块矩阵的转置设1111r s sr A A A A A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ， 则1111T T s T T T r srA A A A A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭（5）分块对角阵在n 阶方阵A 的分块矩阵中，如果只有在主对角线上有非零的小方阵，而其余子块均为零矩阵，即12s A A A A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭则A 称为分块对角阵。
第四节 分块矩阵
A14 A4 = O O 52 O 54 2 4 , , ⇒ A1 = 4 而 A1 = A2 O 52 O
1 0 24 A2 4 = 24 = 6 4 1 2 0 , 4 2
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3 4 4 −3 A= 0 0 0 0
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A1n A1 , n 4） 若 A = O O ; 则A = As n As
As −1 A1 , 则 A −1 = N 5） 若 A = N ; A −1 A 1 s
O A B∗
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例6 设
0 0 625 0 0 625 0 0 3 A1 O A4 = 4 , A = 2 0 ., 解 令 A= , 其中 A1 = 4 0−3 0 2 162 0 2 O A2 0 0 64 16 A18 O 8 8 8 8 8 8 16 A = , A = A1 A2 = A1 A2 = 10 O A2 8
0 0 0 0 1 2 0 0 1 2 0 0 3 0 0 2 1 0 0 1 35
A
B
A
0 0 0 1 0 0 3 都是分块对角阵. 都是分块对角 分块对角阵 0 0 1 0 2 2 0
B
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结束
分块对角矩阵具有下述性质: 分块对角矩阵具有下述性质: 1） A = A1 A2 L As ;
第二章 矩阵及其运算
第四节 分块矩阵
zxs
什么是分块矩阵 分块矩阵的运算 基本应用
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1 0 24 A2 4 = 24 = 6 4 1 2 0 , 4 2
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3 4 4 −3 A= 0 0 0 0
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A1n A1 , n 4） 若 A = O O ; 则A = As n As
As −1 A1 , 则 A −1 = N 5） 若 A = N ; A −1 A 1 s
O A B∗
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例6 设
0 0 625 0 0 625 0 0 3 A1 O A4 = 4 , A = 2 0 ., 解 令 A= , 其中 A1 = 4 0−3 0 2 162 0 2 O A2 0 0 64 16 A18 O 8 8 8 8 8 8 16 A = , A = A1 A2 = A1 A2 = 10 O A2 8
0 0 0 0 1 2 0 0 1 2 0 0 3 0 0 2 1 0 0 1 35
A
B
A
0 0 0 1 0 0 3 都是分块对角阵. 都是分块对角 分块对角阵 0 0 1 0 2 2 0
B
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分块对角矩阵具有下述性质: 分块对角矩阵具有下述性质: 1） A = A1 A2 L As ;
第二章 矩阵及其运算
第四节 分块矩阵
zxs
什么是分块矩阵 分块矩阵的运算 基本应用
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分 块 矩 阵
Ar1
Ar2
A1s
A2
s
Ars
2. 分块矩阵的加法
将m×n 矩阵A 与B 按相同的分块法分别分成r×s的分块矩阵
A11 A12
A
A21
A22
Ar1
Ar 2
A1s
B11 B12
A2 s
,
B
B21B22
Ars
Br1
Br 2
B1s
B2s
Brs
则
A11 B11 A12 B12
3 1
4
0
0
1
在利用分块矩阵的乘法讨论AB 时，下面的特殊情形值得注意。 设A 为m ×l 矩阵，B 为l×n 矩阵，将右矩阵B 按列分块:
B= b11 b12 bn
则
AB= Ab11 Ab12 Abn
若AB=O，则 Ab11 Ab12 Abn O (OO O) ，从而
线性代数
分块矩阵
1
2
3
分块矩阵 的概念
分块矩阵 的运算
分块对角矩阵
1.1 分块矩阵的概念
定义1
用若干条横线与若干条纵线将矩阵分成若干小块，每个小块 称为矩阵的子块;以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵。
a b 0 0
例如
A
c
d
0
0
0 0 p q
0
0
r
s
按下述分法分块
a b 0 0
A
Abj O( j 1,2, n)
即 bj ( j 1, 2, n) 是矩阵方程 Aml Xl1 Om1 的解，也就是说 B 的列是 Aml Xl1 Om1 的解。
4. 分块矩阵的转置
将m×n 矩阵A 分成r×s的分块矩阵
1.3 矩阵的分块
C AB (Cij )rt , 其 中 Cij Ai1B1 j Ais Bsj
6
1 0 0 0 1 0 1 0
例1
设A
0 1 1
1 2 1
0 1 0
0 0 1
,
B
1 1 1
2 0 1
0 4 2
1 10
计算 AB。
解：根据矩阵A, B的特点, 将A, B分块为:
1 0 0 0
A22 B22
As2 Bs2
A2r B2r
Asr
Bsr
B1r
B2r
Bsr
4
(2) 数与矩阵相乘
A11
设A
A21 As1
A12 A1r
A22 As 2
A2r Asr
，为
常
数
，
A11 A12 A1r
则
A
A21
As1
A22
As 2
A2r
Asr
A1 O
O A2
8
A18 O
O A28
13
2 设A 是分块对角阵, 若A的每一个子块 A i 1,2, , r 都是可逆矩阵,则A可逆
i
(充要条件），
A11
且A1
A2 1
. As1
14
5 0 0
例3
、
设
A
0
3
1
.
求A1.
0 2 1
解
记A
5 0
0 3
0 2
其 中 A1 5,
0 1 1
A1 O
A2
3 2
O A2
11,
则
A11
1 , 5
A21
6
1 0 0 0 1 0 1 0
例1
设A
0 1 1
1 2 1
0 1 0
0 0 1
,
B
1 1 1
2 0 1
0 4 2
1 10
计算 AB。
解：根据矩阵A, B的特点, 将A, B分块为:
1 0 0 0
A22 B22
As2 Bs2
A2r B2r
Asr
Bsr
B1r
B2r
Bsr
4
(2) 数与矩阵相乘
A11
设A
A21 As1
A12 A1r
A22 As 2
A2r Asr
，为
常
数
，
A11 A12 A1r
则
A
A21
As1
A22
As 2
A2r
Asr
A1 O
O A2
8
A18 O
O A28
13
2 设A 是分块对角阵, 若A的每一个子块 A i 1,2, , r 都是可逆矩阵,则A可逆
i
(充要条件），
A11
且A1
A2 1
. As1
14
5 0 0
例3
、
设
A
0
3
1
.
求A1.
0 2 1
解
记A
5 0
0 3
0 2
其 中 A1 5,
0 1 1
A1 O
A2
3 2
O A2
11,
则
A11
1 , 5
A21
2.3 分块矩阵(《线性代数》闫厉 著)
A
7
2
3
3
5
1
求逆矩阵 A 。
解
将矩阵A划分成分块对角矩阵 A diag A1 , A2 , A3 ，其中
8 5
A1
,
3 2
A2 7 ,
2 3
A3
3
5
由公式计算出
2 5
A
,
3 8
T
A22
A2Tt
A1t
A2 t
Ast
AsT1
AsT2
T
Ast
分块矩阵A的转置，不仅要把分块矩阵A的每一行变为同序
号的列，还要把A的每一个子块 Aij 取转置。
五、分块对角矩阵
8 5
3
2
A
7
2
3
3
5
五、分块对角矩阵
设A为n阶矩阵，若A的分块矩阵只有在主对角线上有非零
E
A1 B22
而
1
A1 B11 B21
1
3
0
2 1 0 1 0
1 1 2 1 1
4 1 0 2 4
2 1 1 1 1
1 2 4 1 3 3
a
31
a12
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A 11 B11 A 1r B1r AB . A B A B s1 s1 sr sr 2. 分块数乘 A 11 A 1r 设分块矩阵 A ， k 为常数，则 A s1 A sr kA 11 kA 1r kA . kA s1 kA sr
大规模集成电路本身的矩阵，而其它子矩阵则与这三块 芯片之间的相互联系有关. 考虑矩阵分块的原则是使分块后的子矩阵中有便于 利用的特殊矩阵，如单位矩阵、零矩阵、对角矩阵、三 角矩阵等. 如果把分块矩阵的每一子块当成矩阵的一个 元素，可以按矩阵的运算法则建立分块矩阵对应的运算 法则，下面讨论分块矩阵的运算.
E C kE kC kA k 则 , 0 E 0 k E E C D 0 E D C AB , 0 0 E F E F E C D 0 D CF C AB . E 0 E F E F 然后分别计算 kE, kC, E D, D CF 代入以上各式，得
a12 a 22 am 2
a1n a2 n , 它有 m行，若第i 行记作 a mn
1 T A 2 . T m
T
α i ai1 , ai 2 , , ain i 1,2,, m , 则矩阵 A 便记为
A1 A A2 ， 则称 A 其中每一个 A i (i 1,2, , s ) 都是方阵， As
是分块对角阵，也叫做准对角矩阵. 可以证明，分块对角矩阵的乘积还是分块对角矩阵. 对矩阵分块时，有两种方法应予以重视，这就是按行分 块和按列分块.
即 x1 1 x2 2 xn n b. 以对角矩阵 Λ m 左乘矩阵 A m n 时，把
i
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例如，若一个微型计算机电路板主要有 3 块超大规 模的集成芯片组成，那么电路板的矩阵可以写成一般形 式
A 11 A A 21 A 31 A 12 A 22 A 32 A 13 A 23 , A 33
A 的“主对角线”上的子矩阵，即 A11 ， A 22 ， A 33 是有关超
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k 0 kA 0 0
0 k k 2k 0 k 0 0
3k 2 2 4k 2 1 ,A B 0 6 3 0 2 k
1 2 0 0
3 4 , 0 0
3 7 1 1 14 2 2 4 AB . 6 3 1 0 0 2 0 1
§1.3 矩阵分块法
一、矩阵的分块 二、分块运算 三、按行分块与按列分块 习题1.3
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一、矩阵的分块
在处理阶数较高的矩阵运算时，常采用分块法使大矩 阵的运算化成小矩阵的运算 . 我们将矩阵 A 用若干条纵线 和横线分成许多小矩阵，每一个小矩阵称为 A 的子块，以 子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵. 根据矩阵的特点、运算内容或分析论证的需要可选择 适当的分块方法. 例如五阶方阵
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3. 分块乘法 设 A 为 m l 矩阵，B 为l n 矩阵，分块成
A 11 A 1t B11 B1r A ， B , A A B B s1 t1 st tr C11 C1r t C 则 AB ,其中 ij A ik B kj (i 1,2, s; j 1,2, r ). k 1 C C s1 sr 3 1 0 1 1 2 0 0 0 1 2 4 2 0 0 0 , B , 计算 例 1 设矩阵 A 0 0 1 0 6 3 1 0 0 0 0 1 0 2 0 1 kA, A B, AB.
x1 x2 β1 , β 2 , , β n b, x n
即 x1 1 x2 2 xn n b.
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以对角矩阵 Λ m 左乘矩阵 A m n 时，把 A 按行分块，有
Λ m A m n λ1 λ2 1 λ1 1 T T 2 λ2 2 , T T λm m λm m
这就相当于把每个方程 ai1 x1 ai 2 x2 ain xn bi 记作 i x b i (i 1,2,, m).
T
如果把系数矩阵 A 按列分成 n 块， 与 A 相乘的 从而线性方程组 Ax b x 应对应地按行分成 n 块， 可记作
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x1 x2 β1 , β 2 , , β n b, x n
,
A11 2 1 A 22 ,则 A 可表示成 A A 21 0 2
A12 E 3 A 22 0
A12 . A 22
对后一种方法，并用 ε1 , ε 2 , ε 3 , A 4 , A 5 依次表示 A 的各 列（ ε 常用来表示单位矩阵 E 的第 i 列） ，则 A 又可表示成 A ε1 , ε 2 , ε 3 , A 4 , A 5 . 注意分割线的纵横线必须分割到底.
A(aij)称为系数矩阵 x(x1 x2 xn)T 称为未知数向量 b(b1 b2 bm)T 称为常数项向量 B(A b)称为增广矩阵
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解向量
按行分成 如果把系数矩阵 T α1 b1 T 块，则线性方程组 α 2 b2 可记作 x . T α b m m
T T
m
可见，以对角矩阵 Λ m 左乘矩阵 A m n 的结果是 A 的每一行乘以 Λ 中与该行对应的对角元. 以对角矩阵 Λ n 右乘矩阵 A m n 时，把 A 按列分块，有
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三、按行分块与按列分块
设 A (a
T
) ij m n
a11 a 21 a m1
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二、分块运算
1. 分块加法 设矩阵 A,B 是同型矩阵，采用相同的分块法，有 A 11 A 1r B11 B1r A ， B , A B B s1 A sr s1 sr 其中 A ij 与 Bij 是同型矩阵，则
1 0 A 0 0 0 0 0 1 2 1 0 3 0 0 1 1 1 0 0 2 1 0 0 0 2
可以有多种分块法，以下是其中的两种：
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1 0 0 0 0
0 0 1 2 1 1 0 3 0 0 0 1 1 1 ， 0 0 0 2 1 0 0 0 0 2 0
把它写成矩阵形式 Ax b ，其中 A 为系数矩 ~ 矩 阵 A 按 分 块 矩 阵 的 记 法 ， ~ A A b β 1 , β 2 , , β n , b .
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如果把系数矩阵 A 按行分成 m块，则线
线性方程组的矩阵表示形式
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 , a x a x a x b , 21 1 22 2 2n n 2 Axb am1 x1 am 2 x2 amn xn bm ,
同理，m n矩阵 A 有 n 列， 若第 j 列记为 则 A ,
1
a1 j a2 j β j j 1,2,, n , a mj
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2 , , n .
a11 x1 a12 x2 a1n x a x a x a x 21 1 22 2 2n 对于线性方程组 a m1 x1 a m 2 x2 a mn x
此题直接求 kA, A B, AB会容易些，但为了突 出分块的特点，这里选择了分块矩阵的运算，对于 阶数较高的矩阵来说，分块运算会带来很大的方便.
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4. 分块转置
设
A 11 A 21 A A s1
T T
A 12 A 22 A s2
T
A 1r A 2r , A sr
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T α1 b1 T α2 b2 x . T b α m m
这 就 相 当 于 把 每 个 方 程 ai1 x1 ai 2 x2 ain xn bi 记 作 T i x b i (i 1,2,, m). 如果把系数矩阵 A 按列分成 n 块，与 A 相乘的 x 应对应 地按行分成 n 块，从而线性方程组 Ax b 可记作
对前一种分法，记
0 0 0 A 21 0 , 0 0 0
0 0 1 2 1 0 3 0 0 1 1 1 . 0 0 2 1 0 0 0 2 1 0 0 A 11 E 3 0 1 0 0 0 1
,
1 2 A 12 3 0 1 1
则
A 11 A 21 A s1 T T T A 22 A s 2 A 12 T A . T T T A A A 1r 2r sr 即分块矩阵的转置，是将它的行列依次互换，
同时将各子块转置.
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5. 分块对角阵 设 A为 n 阶方阵，又 A 的分块矩阵只有主对角线上有非零 子块，其余子块都是零矩阵，且非零子块都是方阵，即
解